Метод сравнения в задачах об асимптотической устойчивости и неустойчивости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Об исследовании устойчивости неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.1. Введение в метод сравнения. Теорема Важевского. Основные теоремы сравнения с вектор-функцией Ляпунова.

1.2. Локализация положительного предельного множества.

1.3. Теоремы о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы ОДУ.

1.4. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных.

1.4.1. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения по части переменных при предположении ограниченности решений по неконтролируемым координатам.

1.4.2. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения по части переменных без предположения ограниченности решений по неконтролируемым координатам.

Метод функций Ляпунова является основным в качественном исследовании устойчивости движения различных систем [28, 14, 29, 1, 20, 56, 57, 58]. Но основной трудностью при применении этого метода к конкретным задачам является построение функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям той или иной теоремы. Поэтому одним из главных направлений развития метода функций Ляпунова является расширение класса функций, применяемых для исследования устойчивости.

Дальнейшим развитием метода функций Ляпунова явился метод сравнения, который возник в начале 60-х годов как объединение прямого метода с теорией дифференциальных неравенств типа Чаплыгина [23, 43, 64]. Основная идея принципа сравнения заключается в том, что если существует функция Ляпунова, удовлетворяющая заданным сравнительным оценкам, то различные динамические свойства исходного уравнения вытекают из соответствующих динамических свойств системы сравнения. Как и второй метод Ляпунова, метод сравнения не требует решения уравнений возмущенного движения, а значит, имеет большие возможности в приложениях. В отличие от второго метода Ляпунова, в теоремах сравнения производная функции Ляпунова не является знакопостоянной в общем случае. Иными словами, метод сравнения представляет собой обобщение прямого метода Ляпунова [27, 58].

Этот метод стал развиваться во многих направлениях, в частности, в работах [65, 30] вместо одной функции Ляпунова было предложено использовать несколько функций, каждая из которых удовлетворяет менее жестким требованиям, чем исходная функция. Была выдвинута идея векторной функции Ляпунова (ВФЛ), удовлетворяющей конечномерному дифференциальному неравенству типа Чаплыгина-Важевского [42], и были получены первые теоремы об устойчивости с ВФЛ [30, 31, 32]. В работе [24] была получена теорема сравнения для асимптотической устойчивости с использованием знакопостоянной вектор-функции Ляпунова.

Благодаря методу сравнения были получены интересные результаты в задачах устойчивости консервативных, диссипативных, гироскопических систем, реакторов, нелинейных систем регулирования [2, 58, 22, 60]. Его основные результаты подытожены в работах [81, 27, 42, 39].

Другой подход к проблеме ослабления условий на функцию Ляпунова и ее производную дает метод предельных уравнений. Его начало было положено в работах [70, 72, 83]. При помощи определенных предположений относительно правой части неавтономной системы, предельное множество ее решения можно представить как объединение непрерывных кривых, составляющих множество, квазиинвариантное относительно предельных систем. В работах [3, 4, 5, 6] был доказан целый ряд теорем о локализации предельного множества решений неавтономной системы, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы, когда функция Ляпунова имеет знакопостоянную производную.

Проблема распространения прямого метода Ляпунова на задачи устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием возникла в 50-х годах, и за это время появилось множество публикаций, посвященных этой проблеме [51, 79, 77, 22, 76, 19].

Один из подходов основан на идее обобщения метода Ляпунова путем использования вместо знакоопределенных функций конечного числа переменных знакоопределенных функционалов со значениями на отрезках интегральных линий [22, 63]. Но несмотря на естественность и теоретическую завершенность такого подхода, построение конкретного функционала и исследование знака его производной часто представляет довольно сложную задачу.

Другой подход основан на использовании функций Ляпунова [51, 25, 52, 67]. Практическое применение метода функций Ляпунова к исследованию устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом сопряжено с большими трудностями. Одна из основных трудностей - оценка знака производной функции Ляпунова в силу исходных уравнений, так как ее аргументами являются координаты вектор-функции x(t) при различных значениях аргумента. Поэтому требование монотонности функции V(t, х) вдоль решений является слишком жестким. Принципиальные результаты в вопросе применения второго метода Ляпунова к системам с запаздывающим аргументом получены B.C. Разумихиным [51]. Им было доказано, что для того чтобы судить об устойчивости нулевого решения функционально-дифференциальных систем с запаздыванием, достаточно исследовать знак производной функции Ляпунова V(t,x) лишь на множестве непрерывных кривых, удовлетворяющих при каждом t > to + h ( h - величина запаздывания) условию V(cr, х(а)) < V(t,x(t)) , и < t. Согласно аргументации Разумихина [53], это возможно благодаря тому, что всякая определенно положительная функция V(t, х) задает точечно множественное отображение, когда каждой точке х) G RxRn возможно поставить в соответствие множество решений х{9) системы уравнений возмущенного движения, удовлетворяющих условию

V(0, х(в)) < х) при 9 < t

В силу положительной определенности функции V(t, х) указанное множество ограничено и возможно найти функцию координат и вреdV мени, являющуюся наибольшим значением функционала —— на этом at множестве. Такая функция есть аналог и обобщение производной dV в силу системы обыкновенных дифференциальных уравнении и at играет роль этой производной в теории устойчивости систем с последействием.

Этот принцип Разумихина существенно упростил оценку знака производной функции Ляпунова для систем с запаздывающим аргументом. На этом пути удалось доказать аналоги практически всех теорем прямого метода Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений [53, 20].

В работе [18] метод сравнения с ВФЛ был распространен на исследование устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Были получены теоремы сравнения с ВФЛ для устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого положения равновесия системы, которые позволили свести исследование устойчивости решений систем с запаздыванием к исследованию устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работе [27] был предложен гибкий механизм выбора различных минимальных классов функций, относительно которых оцениваются производные функции Ляпунова. Был доказан общий принцип сравнения в терминах функций Ляпунова, справедливый как для уравнений с конечным запаздыванием, так и для уравнений с бесконечным запаздыванием. Кроме того, в работе [27] были предложены различные модификации метода сравнения, которые улучшают механизм изучения уравнений с запаздыванием. Были получены различные теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости для ин-тегродифференциальных уравнений Вольтерра.

Проблема применения метода предельных функций Ляпунова к исследованию устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа рассматривалась в работах [7, 11, 12, 61, 68], где на основе свойства квазиинвариантности положительного предельного множества получены различные теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости ФДУ запаздывающего типа.

Целью диссертации является :

- разработка новых способов исследования устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений и функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа на основе объединения метода сравнения с методом предельных уравнений.

- применение полученных теорем к исследованию асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого положения равновесия механических систем.

В первой главе исследуются задачи о локализации предельного множества решения неавтономной системы, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы ОДУ, когда функция Ляпунова не имеет знакопостоянной производной. Исследование проводится с использованием метода нелинейной вариации параметров.

В первом разделе излагаются основные понятия метода сравнения для скалярных и векторных функций, приводятся классические теоремы сравнения с вектор-функцией Ляпунова (ВФЛ).

Во втором разделе доказывается теорема о локализации положительного предельного множества решений системы ОДУ на основе вектор-функции Ляпунова.

В третьем разделе доказываются теоремы о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы. Эти теоремы развивают результаты работ [3, 11, 53, 27].

В четвертом разделе эти результаты развиваются для задачи об устойчивости по части переменных [55, 46, 4, 5, 6, 16, 17, 57]. Получены теоремы об асимптотическои устойчивости и неустойчивости по части переменных. При этом задача решается при предположении ограниченности решений по неконтролируемым координатам и без этого предположения.

В пятом разделе исследуется устойчивость склерономной механической системы. На основе полученных теорем выведены условия асимптотической устойчивости по части переменных нулевого положения равновесия этой системы.

Во второй главе метод, развитый в предыдущей главе, распространяется на исследование задач об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием.

В первом разделе для функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа формулируются теоремы о существовании решений, о его единственности, о продолжаемости и непрерывной зависимости решения от начальных условий.

Во втором разделе доказывается теорема о локализации положительного предельного множества ограниченного решения на основе вектор-функции Ляпунова.

В третьем разделе доказываются теоремы о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения, являющиеся развитием для функционально-дифференциальных уравнений соответствующих теорем первой главы.

В четвертом разделе проводится исследование устойчивости по части переменных. Доказываются теоремы об устойчивости по части переменных, о частичной асимптотической устойчивости и частичной неустойчивости нулевого решения ФДУ с конечным запаздыванием.

Апробация работы.

Отдельные разделы диссертации докладывались и обсуждались на:

VI-VIII ежегодной научно-практической конференции Ульяновского госуниверситета (1997, 1998, 1999 гг.) семинарах, проводимых кафедрой механики и теории управления Ульяновского госуниверситета

Международной конференции " Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киевский университет, 19-23 мал 1997г., 25-29 мая 1999г.) семинаре по аналитической механике и устойчивости в МГУ под руководством акад. РАН В.В.Румянцева и проф. А.В.Карапетяна (март 2000г.)

Основные результаты диссертационной работы содержатся в 6 работах [13, 47, 48, 49, 50, 82].

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект N 96-01-01067 и проект N 99-01-01005)

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Разработан новый способ исследования предельного поведения решений неавтономной системы дифференциальных уравнений, основанный на сочетании метода сравнения с вектор-функцией Ляпунова и метода предельных уравнений.

2. Выводятся новые теоремы о локализации положительного предельного множества ограниченного решения, о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Получены новые достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных нулевого решения неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений на основе применения вектор-функции Ляпунова. Исследована задача о частичной асимптотической устойчивости склерономной механической системы.

4. Получены новые теоремы о локализации положительного предельного множества ограниченного решения системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения такой системы. На основании этих теорем выведены новые критерии асимптотической устойчивости нулевого решения неавтономных функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием первого и второго порядка.

5. Получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных нулевого решения системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием.

Заключение.

1. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова // Итоги науки и техники. Общая механика. 1975. Т.2. М.: ВИНИТИ, с.53-112.

2. Анапольский Л.Ю., Матросов В.М. Метод сравнения в анализе процессов // Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. М.: Наука. 1975. С. 198-205.

3. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. 1984. Т.48. Вып.2. С. 225-232.

4. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных// ПММ. 1984. Т. 48. Вып.5. С.707-713.

5. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнений// ПММ. 1987. Т.51. Вып.2. С.253-260.

6. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости // ПММ. 1991. Т.55. Вып.4. С.539-547.

7. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономного функционально-дифференциального уравнения// В сб. "Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления движением". Новосибирск: Наука, 1991.

8. Андреев A.C. Методы исследования устойчивости неавтономных уравнений. Учебное пособие. Ульяновск: филиал МГУ в г. Ульяновске, 1994, 80 с.

9. Андреев A.C. Об устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы // ПММ. 1996. Т.60. Вып.З. С.388-396.

10. Андреев A.C. Об устойчивости неустановившегося движения // Фундаментальные проблемы математики и механики : Ученые записки УлГУ. Часть 1./ Под ред. А.А.Бутова. Вып. 1. Ульяновск. УлГУ. 1996. С. 15-23.

11. Андреев A.C. Об устойчивости неавтономного функционально-дифференциального уравнения // Доклады Российской Академии наук. Сент. 1997. Т.356. N.2.

12. Барбашин E.A. Функции Ляпунова. M: Наука. 1970. 240 с.

13. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР, 1952. Т.86, N 3. С.53-546.

14. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991.

15. Воротников В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движений по отношению к части переменных / / АиТ. 1993. N 3. С.3-62.

16. Громова П.С. Метод векторных функций Ляпунова для систем с отклоняющимся аргументом // Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. Под ред. В.М.Матросова, Л.Ю.Анапольского. Новосибирск. Наука. 1981. С.45-54.

17. Ким A.B. К методу функций Ляпунова для систем с последействием // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Новосибирск. 1987. С.79-83.

18. Ким A.B. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последствием // Екатеринбург: Изд-во Уральского унив. 1992. 144 с.

19. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1958. 474с.

20. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

21. Кордуняну К. Применение дифференциальных неравенств к теории устойчивости // Analele Stiintifice ale Univ, "A.J. Cusa" din Jasi. 1960. Sec.l. V.6. N1. P.47-58.

22. Косов A.A. О глобальной устойчивости неавтономных систем. 1,11. // Известия высших учебных заведений. Математика. 1997. N 7(422). С.28-35. N 8(423). С.33-42.

23. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211с.

24. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир. 1964. 168с.

25. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк A.A. Устойчивость движения : метод сравнения. Киев. Наукова думка. 1991. 248с.

26. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Л.: Го-стехиздат, 1950. 472 с.

27. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Изд. 2-е, испр. М.: Наука, 1966. 530 с.

28. Матросов В.М. Об устойчивости движения // ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 6. С.992-1002.

29. Матросов В.М. К теории устойчивости движения II // Тр. КАИ. Мат. и мех. 1963. Вып. 80. С.22-33.

30. Матросов В.М. К теории устойчивости движения III // Тр. меж-вуз. конф. по приклад, теории устойчивости движения и аналитической механике. КАИ. 1964. С.103-109.

31. Матросов В.М. Развитие метода функций Ляпунова в теории устойчивости // Тр. II Всесоюзного съезда по теор. и приклад, механике (1964) М.: Наука, 1965. T.l. С.112-125.

32. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова 1,11// Дифференц. уравнения, 1968. Т.4. N 8. С.1374-1386; N 10. С. 1739-1752.

33. Матросов В.М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова 1,11// Дифференц. уравнения, 1969. Т.5. N 7. С.1171-1185; N 12. С.2129-2143.

34. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе сложных систем с распределенными параметрами // АиТ. 1973. N1. С.5-22.

35. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в системах с обратной связью // АиТ. 1973. N9. С.63-75.

36. Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем, II // Дифференциальные уравнения. 1975. Т.11, N 3. С.403-417.

37. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск : Наука. 1980. 479 с.

38. Матросов В.М., Маликов А.И. Развитие идей A.M. Ляпунова за 100 лет. Известия ВУЗов. Математика, 1993, N 4. С.3-47.

39. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971. 312с.; 3-е изд. М. Наука, 1987. 304с.

40. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости // Под ред. A.A. Воронова и В.М. Матросова. М. : Наука, 1987. 312с.

41. Мельников Г.И. Некоторые вопросы прямого метода Ляпунова // ДАН СССР. 1956. 110. N 3. С.326-329

42. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352с.

43. Озиранер A.C., Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных // ПММ. 1974. Вып.2.

44. Озиранер A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных // ПММ. 1973. Т.37. Вып.4. С.659-665.

45. Перегудова O.A. Метод векторных функций Ляпунова и вариация параметров // Фундаментальные проблемы математики и механики : Ученые записки УлГУ. / Под ред. акад. РАЕН, проф. A.C. Андреева. Вып. 1(5). Ульяновск. УлГУ. 1998. С.104-109.

46. Перегудова O.A. Метод векторных функций Ляпунова и вариация параметров. // Четвертая Крымская: Международная Математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". Тезисы докладов. Симферополь. 1998. С.52.

47. Разумихин Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 4. С.500-512.

48. Разумихин B.C. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем с запаздыванием // Авт. и телемех. 1960. Т. 21. N 6. С.740-748.

49. Разумихин Б.С. Устойчивость эредитарных систем. // Отв. ред. A.A. Воронов. М. : Наука, 1988. 106с.

50. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика, физика, астрономия, химия. 1957. N 5. С.9-16.

51. Румянцев В.В. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения относительно части переменных // ПММ. 1971. Т.35. Вып.1. С.147-152.

52. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения// Дифф. уравнения. 1983. Т. 19. N 5. С.739-776.

53. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация по отношению к части переменных. М: Наука, 1987. 253с.

54. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир. 1980. 300 с.

55. Сабаев Е.Ф. Применение дифференциальных неравенств в исследовании устойчивости нелинейных систем //В кн. Динамика систем, Горький. : Горьк. ун-та. 1974. Вып.2. С. 108-134

56. Сабаев Е.Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложения в динамике реакторов. М.: Атомиздат. 1980. 192с.

57. Седова Н.О. Метод функций Ляпунова и предельных уравнений в задаче об устойчивости ФДУ с конечным запаздыванием // Фундаментальные проблемы математики и механики. Уч. записки УлГУ. Вып.4. 1997. С.86-90.

58. Хатвани Л. О применении дифференциальных неравенств к теории устойчивости // Вестник Моск. ун-та. Математика и механика. 1975. N 3. С.83-89

59. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

60. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений // С.А. Чаплыгин. Избр. труды по механике и математике. М.: ГИТТЛ. 1954. С. 490-583.

61. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М: Изд-во АН СССР. 1962. 535с.

62. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. 175с.

63. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. 127 с.

64. Andreev A., Sedova N. On the stability of nonautonomous equations with delay via limiting equations// Func. Diff. Equations (Israel), Vol.5, N1-2, 1998. P.21-37.

65. Artstein A. Uniform asymptotic stability via the limiting equations // J. Differ. Equat. 1978. V.27. P.172-189.

66. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary equation// J. Differ. Equat. 1977. V.23. N.2. P.216-223.

67. Artstein Z. On the limiting equations and invariance of time-dependent difference equations / / Stability of dynamical systems (Theory and Applications) Proceedings of NSF Conference, Mississippi State University, 1978. P.3-9.

68. Artstein Z. The limiting equations of ordinary differential equations // J. Differ. Equat. 1977. V.25. N2. P. 184-202.

69. Becker L.C., Burton T.A., Zhang S. Functional Differential Equations and Jensen's Inequality // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1989. У.138. N 1. P.137-156.

70. Bellman R. Vector Lyapunov functions // SIAM J. Contr., Ser. A. 1962. N 1. P. 32-34.

71. Burton T.A., Hatvani L. On nonuniform asymptotic stability for nonautonomous functional differential equations. Differential and Integral Equations 3, 285-293, (1990).

72. Haddock J., Terjeki J. Liapunov-Razumikhin functions and an invariance principle for functional differential equations // J. Differential Equations. 1983. Y.48, N 1. P.95-122.

73. Hatvani L. On the asymptotic stability of the solutions of functional differential equations // Colloq. Math. Soc. J.Bolyai. Qualitative theory of differential equations. Szeged (Hungary). 1988. P.227-238.

74. Kato J. Uniform asymptotic stability and total stability // Tohoku Math. Journ. 1970, V.22. P.254-269.

75. Kato J. On Liapunov-Razumikhin type theorems for functional differential equations. Funkc. Evkac., 1973, vol.16, N 3, p.225-239.

76. La Salle J.P. The stability of dynamical systems. Philadelphia : SIAM, 1976. 76p.

77. McNabb A. Comparison theorems for differential equitions //J. Math. Anal, and Applic. 1986. V.119. P.417-428.

78. Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. 1, 2 // Trans. Amer. Math. Soc., 1967. V.22. P.254-269.

79. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokio: The Math. Soc. of Japan, 1966, 216p.