Исследование нелинейной динамики твердых и упругих летательных аппаратов в гравитационном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Л£\ ,5 Л I

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ С.ОРДЖОНИКИДЗЕ

На правах рукописи

БАРДИН БОРИС САБИРОВЙЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ТВЕРДЫХ И УПРУГИХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва Издательство МАИ

1992

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской революции авиационном институте имени Серго Орджоникидзе.

Научный руководитель - д.ф.-м.н., профессор А.П.Маркеев.

Официальные оппоненты - д.ф.-м.н., профессор Г.В.Горр

д.ф.-и.и., профессор А.П.Иванов

Ведущая организация: Институт теоретической астрономии РАН

Защита состоится " " /¿(¡.¿¿¿иг 1992 г. на заседании специализированного совета К 053.18.02 в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской революции авиационном институте имени Серго Орджоникидзе.

С диссертацией можно ..ознакомиться в библиотеке МАИ.

Просьба принять участив в обсуждении диссертации или прислать свой отзыв в одном экземпляре , заверенном печатью.

Адрес института: 125871, Москва, ГСП, Волоколамское шоссе, 4.

Предварительный заказ пропусков по телефону: 158-44-66.

Автореферат разослан " <?т 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физ.-мат.наук,доцент

" - „.I

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Искусственные спутники Земли /ИСЗ/ в последние десятилетия получают все большее применение во многих областях науки и техники. В зависимости от своего функционального назначения они могут существенно различаться габаритами , конфигурацией , а также свойствами материалов из которых они изготовлены. Это обуславливает разнообразие, математических моделей , используемых для описания движения ИСЗ.

Для космического аппарата /КА/, конструкция которого обладает большой жесткостью и имеет небольшие габаритные размеры,в качестве математической модели часто используется абсолютно твердое тело. Если , кроме того из всех внешних возмущений учитывать только гравитационные , то движение такого спутника относительно центра масс описывается гамильтоновой системой обыкновенных дифференциальных уравнений 6— порядка. Проинтегрировать эту систему в общем виде врядаш возможно , поэтому особый интерес представляет нахождение точного или приближенного аналитического представления частных движений некоторого класса /стационарных , периодических , условно-периодических/. К таким движениям относятся также и асимптотические движения , стремящиеся с возрастанием времени к стационарным , периодическим и условно-периодическим движениям.

Асимптотические движения интересны еще и тем , что они относятся к таким движениям , траектории которых могут разделять фазовое пространство на области с различным характером поведения траекторий /подобно сепаратрисам на фазовой плоскости математического маятника/ и что они тесно связаны с неустойчивостью предельного движения и явлениями стохастичности в детерминированной динамике. В приложениях к задачам ориентации спутников асимптотические движения важны также потому , что по их траекториям спутник может перейти в заданный номинальный режим , только под действием гравитационных моментов без управления. Первые четыре главы настоящей работы посвящены исследованию асимптотических движений спутников, моделируемых абсолютно твердым телом.

Быстрое развитие космической техники приводит к появлению КА, при проектировании и использовании которых необходимо учитывать возможные упругие деформации всей конструкции или ее отдельных элементов в процессе полета. Математической моделью таких КА может

служить вязкоупрутая среда. В этом случае уравнения движения КА представляют собой весьма сложную систему интегро-дифференциальных уравнений с обыкновенными -и: частными производными. Аналитическое исследование которой возможно при некоторых дополнительных предположениях.

КА долгое время функционирующие на орбите , как правило , большую часть своего времени проводят в пассивном полете , поэтому наиболее характерными режимами движения для них являются квазистатические режимы. Если рассматривать процесс движения , как квазистатический и принять естественные физические предположения о том, что КА является достаточно жестким , а диссипативные силы малы , по сравнению с упругими , то исследование можно выполнить на основании подхода , состоящего в синтезе методов.модального анализа и малого параметра. Для его применения необходимо знать решение /точное или приближенное/ задачи о свободных упругих колебаниях изучаемой космической конструкции. В этой связи немалый интерес представляет исследование движения отдельных космических конструкций /стержень , круговое кольцо , оболочка , и т.д./ , для которых указанная задача решена аналитически. В этом случае результаты исследования , на основании упомянутого подхода , представляются в удобной для анализа аналитической форме , кроме того , изучение движения таких объектов позволяет понять характерные закономерности движения и более сложных конструкций.

Исследованию квазистатических режимов движения вязкоупругого КА посвящены пятая и шестая главы настоящей работы.

Цель работы

Цель работы состоит в исследовании:

- движений абсолютно твердого динамически симметричного спутника , асимптотических к его регулярным прецессиям ;

- движений абсолютно твердого спутника , асимптотических к одному частному случаю его плоского вращения ;

- плоских резонансных колебаний и вращений КА , моделируемого вяз-коупругим , однородным круговым кольцом с закрепленной в нем точечной массой ;

- эволюции быстрых вращений плоского вязкоупругого КА.

Целью работы также является исследование движений асимптотически стремящихся к положению равновесия гамильтоновых систем ,при 4

резонансах первого и второго порядков.

Научная новизна

1. Найдены достаточные условия существования и исследована, аналитическая структура решений , асимптотических к положению равновесия гамильтоновых систем , при резонансах первого и второго порядков. Для гамильтоновых систем с одной степенью свободы указаны случаи , когда других асимптотических решений не существует.

2. Исследована задача о движениях абсолютно твердого динамически симмэтричного спутника , асимптотических к его регулярным прецессиям , при резонансах первого и второго порядков.

3. Решена задача о движениях абсолютно твердого спутника , асимптотических к одному частному случаю его плоского вращения , а также исследован вопрос об устойчивости этого вращения.

4. Исследована задача о движениях , относительно центра масс .однородного вязкоупругого кругового кольца с закрепленной в нем точечной массой в плоскости эллиптической орбиты.

5. Выполнен анализ эволюции быстрых вращений относительно центра масс плоской вязкоупругой космической конструкции.

Практическая ценность

Содержащиеся в работе результаты исследования асимптотических движений абсолютно твердого спутника могут использоваться для получения пассивной ориентации и стабилизации КА. Общетеоретические результаты исследования асимптотических решений гамильтоновых систем , полученные в работе , представляют интерес не только для рассмотренных в райоте задач , но и для других задач небесной механики. Заключения о движении вязкоупругих КА , сделанные в работе , могут быть использованы при проектировании и анализе движения крупногабаритных космических конструкций.

Апробация работы

Основные результаты были изложены в докладах: 1. На республиканской конференции по динамике твердого тела и устойчивости движения в-г.Донецке , 1990 г.

2. На семинаре кафедры теоретической механики МАИ /1992г./

Публикация работы. По теме диссертации опубликовано две статьи в журналах "Прикладная математика и механика" и "Космические исследования" ; издан один препринт в институте проблем механики РАН ; опубликованы тезисы доклада в сборнике тезисов докладов Республиканской конференции по динамике твердого тела и устойчивости движения / Донецк , 1990г. / ; депонирована в ВИНИТИ одна рукопись.

Объем и структура -работы. Диссертация состоит из введения , шести глав , четырех приложений , списка литературы. Основной текст работы изложен на 113 стр. машинописного текста , содержит 18 рисунков. Список литературы содержит 116 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор исследований по динамике твердых и;упругих летательных аппаратов в гравитационном поле , а также обзор исследований асимптотических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В первой главе выполнено исследование решений асимптотически стремящихся при£-*--'°° / ^-время/к положению равновесия га-мильтоновой система с одной степенью свободы при резонансах первого и второго порядков. Предполагается , что гамильтониан системы - периодически зависит от времени. В §1.1 дана постановка задачи и указано , что в зависимости от порядка резонанса и кратности элементарных делителей,линеаризованной в окрестности положения равновесия системы , исследование распадается на четыре различных случая , которые далее рассматриваются отдельно. В §1.2 найдены условия существования асимптотических решений в случае резонанса = л/ / где .ИЛ - характеристические показатели линеаризованной системы ; /V - целое число / и простых элементарных делителей , а также указаны случаи , когда асимптотических к положению равновесия решений не существует. Изучена аналитическая структура асимптотических решений. В §1.3 выполнено исследование аналитической структуры асимптотических решений в случае резонанса Л = V и непростых элементарных делителей. Результаты этого параграфа согласуются с аналогичными результатами Г.А.Мермана и 6

М.А.Балитинова. В §1.4 получены условия существования и изучена аналитическая структура асимптотических решений при резонансе ¿.А = <1а/+1 в случаях простых и непростых элементарных делителей , а также указаны условия при которых не существует решений асимптотических к положению равновесия.

Во второй главе исследуются решения , асимптотически стремящиеся при f+í и к положению равновесия гамильтоновЬй системы с (а&л) степенями свободы , функция Гамильтона которых является ¿Я" - периодической или независящей от времени. Рассматриваются случаи резонансов первого и второго порядков. В §2.1 дана постановка задачи и перечислены случаи на которые распадается исследование. В §2.2 исследованы случаи резонансов первого и второго порядков , когда элементарные делители простые. Найдены достаточные условия существования и приближенное аналитическое представление асимптотических к положению равновесия решений. Аналогичное исследование проведено в §2.3 для случая непростых элементарных делителей. Для автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в §2.4 выполнено дополнительное исследование и найдены условия , при которых не существует решений асимптотических к положению равновесия.

В третьей главе , на основании общетеоретических результатов главы 2 , рассмотрена задача о движениях абсолютно твердого динамически симметричного спутника , асимптотических к его регулярным прецессиям. Исследование проводилось для значений параметров »отвечающих границам областей устойчивости регулярных прецессий ,где имеют место резонансы первого и второго порядков. В §3.1 дана постановка задачи. В §3.2 указаны участки границ областей устойчивости цилиндрической и гиперболоидальной прецессий , где существуют четыре однопараметрических семейства движений , асимптоти -ческих к цилиндрической или гиперболоидальной прецессиям ,а также получено приближенное аналитическое представление этих движений . Вне указанных участков не существует движений асимптотических к цилиндрической или гиперболоидальной прецессиям. Исключение могут составить лишь две граничные точки , где провести исследование , на основании используемых в работе результатов , не представляется возможным. В §3.3 рассмотрены границы области устойчивости конической прецессии и указан участок , где существует два двухпа-раметрических семейства движений асимптотических к конической .. прецессии , а также получено приближенное аналитическое представление этих движений. Вне указанного участка движений асимптоти -

7

ческих к фонической прецессии не существует.

В четвертой главе рассматриваются плоские движения относительно центра масс абсолютно твердого спутника на эллиптической орбите. Если выполняется соотношение ос =.- Ле. /где е -эксцентриситет орбиты , ос*.ь(А -С)/в ,А ,В , С - главные центральные моменты инерции спутника/, то уравнение движения допускает частное решение , соответствующее вращению спутника , при котором он совершает один оборот в абсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите. В §4.1 дана постановка задачи о движениях асимптотических к этому вращению и устойчивости последнего. В §4.2 рассматривается линеаризованная , в окрестности изучаемого вращения , сивтема уравнений движения. Как показали численные расчеты при 0.8<е< 0.9001 имеет место неустойчивость , т.к. характеристические показатели линеаризованной системы имеют отличные от нуля вещественные части противоположных знаков. По этой же причине на основании теории асимптотических движений , разработанной Ляпуновым и Пуанкаре , существует два однопараметрических семейства движений асимптотических к рассматриваемому вращению. В §4.3 проведено аналитическое исследование при е*<1 . В этом случае имеет место устойчивость , а асимптотических движений не существует. В §4.4 на основании результатов работ А.П.Маркеева , Г.А.Щербины , А.Г.Сокольского , Г.А.Мермана и результатов главы 1 , выполнено численное исследование задачи при произвольных значениях эксцентриситета. Получены следующие результаты : в областях 0<е< О.ЬЯ 0.9001 < е_< 0.91*9 , за исключением точек е*-0.8?¥г , е^йШО, 0.9095-, е%> = олъзк , а ооимеет

место устойчивость по Ляпунову и не существует движений_спутника, асимптотических к изучаемому вращению ; в точках е\ , е% , где реализуется резонанс третьего порядка имеет место неустойчивость вращения , и существует шесть однопараметрических семейств движений , асимптотически стремящихся к нему, в точках е* , е* , где реализуется резонанс четвертого порядка , имеет место неустойчивость и существует восемь однопараметрических семейств асимптотических движений ; на границах области устойчивости в точках е.0-9М1;где имеет место, резонанс второго порядка , вращение устойчиво по Ляпунову и движений асимптотических к нему не существует, а в точке вг0.9Ш, где имеет место резонанс первого порядка вращение неустойчиво и существует два однопараметрических семейства асимптотических движений. При е=е , е- 2-кр и значениях эксцентриситета близких к 1 исследование не проводилось. 8

В пятой главе рассматривается задача о плоских движениях относительно центра масс упруговязкой конструкции в гравитационном поле на кеплеровской орбите. Конструкция представляет собой тонкое нерастяжимое однородное круговое кольцо , в некоторой точке которого жестко закреплена материальная точка произвольной массы. Диссипативные силы в материале кольца моделируются силами вязкого трения. Задача решается в рамках линейной теории упругости. Предполагается , что кольцо обладает большой жесткостью , а затухание его свободных упругих колебаний происходит за время много меньше периода обращения центра масс по орбите.

В §5.1 дана постановка задачи. В §5.2 исследована задача о свободных изгибных колебаниях упруговязкого кругового колы© с закрепленной в нем материальной точкой. Получены уравнения для определения частот этих колебаний и выписаны соответствующие им собственные функции. В §5.3 получено приближенное уравнение плоских движений упруговязкого кругового кольца с материальной точкой относительно центра масс на слабоэллиптической орбите в квазистатическом режиме. В §5.4 изучено движение рассматриваемой конст -рукции на круговой орбите. Исследована устойчивость эксцентриси-тетных колебаний на слабоэллиптической орбите. В §5.5 уравнение движения исследуется методом усреднения. Найдены стационарные режимы колебаний и вращений конструкции при резонансах. Получены условия , при которых стационарные режимы разрушаются под влиянием диссипации. Выполнено исследование устойчивости стационарных режимов.

В последней , шестой главе исследуется эволюция быстрых вращений относительно центра масс плоской вязкоупругой космической конструкции на круговой орбите. Задача решается в рамках линейной теории упругости с учетом сил внутреннего трения. Предполагается, что конструкция обладает большой жесткостью , а затухание ее свободных упругих колебаний происходит за время много меньшее периода обращения центра масс по орбите. В §6.1 дана постановка задачи. В §6.2 получены приближенные дифференциальные уравнения движения плоской конструкции в квазистатическом режиме ее упругих колебаний. Принято , что угловая скорость вращения конструкции велика по сравнению со средним движением центра масс по орбите , но мала по сравнению с наименьшей частотой упругих колебаний конструкции. В §6.3 рассматривается быстрая диссипативная эволюция изучаемой конструкции. Установлено , что предельным на данном этапе эволюции движением системы является ее быстрое вращение от-

9

носительно оси перпендикулярной плоскости конструкции. В §6.4 рассмотрена медленная диссипативная эволюция.Исследование проводилось на основании метода усреднения. Установлено , что на этом этапе эволюции конструкция эволюционирует так , что в зависимости от параметров задачи , предельным движением является , либо вращение относительно оси перпендикулярной плоскости конструкции и лежащей в плоскости орбиты , либо вращение в плоскости орбиты. В §6.5 на основании результатов предыдущих параграфов показано ,что быстрые вращения упруговязкого кольца с закрепленной в нем материальной точкой эволюционируют с возрастанием времени так , что предельным движением является вращение относительно оси , перпендикулярной плоскости кольца и лежащей в плоскости орбиты центра масс.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В работе рассмотрен ряд задач нелинейной динамики твердых и упругих летательных аппаратов в центральном ньютоновском гравитационном поле. На основании общетеоретических результатов по исследованию асимптотических решений в системах Гамильтона , найдены условия существования и изучена аналитическая структура некоторых асимптотических движений абсолютно твердого спутника. В предположении о квазистатическом характере движения исследована динамика упруговязких космических конструкций определенной конфигурации на круговой и эллиптических орбитах. Исследование проводилось в рамках линейной теории упругости.

Получены следующие основные результаты

1. Найдены достаточные условия существования и исследована аналитическая структура решений , асимптотических к положению равновесия гамильтоновых систем , при резонансах первого и второго порядков. Для систем с одной степенью свободы , функция Гамильтона которых лЖ - периодически зависит от времени , и автономных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы установлено , что найденные достаточные условия являются и необходимыми.

2. Рассмотрена задача о движениях абсолютно твердого динамически симметричного спутника , асимптотических к его регулярным прецессиям на круговой орбите. Исследование выполнено на границе областей устойчивости регулярных прецессий , где имеют место

резонансы первого и второго порядков. Найдено приближенное аналитическое представление движений спутника , асимптотических к его цилиндрической , конической и гиперболоидальной прецессиям.

3. Рассмотрен один частный случай плоского вращения относительно центра масс на эллиптической орбите абсолютно твердого спутника. Аналитически исследована устойчивость этого вращения при малых значениях эксцентриситета. При произвольных значениях эксцентриситета заключение об устойчивости получено численно , на основании известных критериев. Найдены значения эксцентриситета , при которых существуют семейства движений спутника , асимптотические к это?ду вращению и указано число таких семейств.

4. Рассмотрены квазистатическйе движения однородного упруговязко-го нерастяжимого кругового кольца в гравитационном поле на кеплеровской орбите. Найдены положения относительного равновесия этого кольца на круговой орбите и исследована их устойчивость. Рассмотрены эксцентриситетные колебания , исследованы резонансные колебания и вращения на слабоэллиптической орбите. В качестве вспомогательной решена задача о нахождении собственных форм плоских изгибных колебаний упругого кольца с закрепленной в нем материальной точкой.

5. Исследована эволюция быстрых вращений относительно центра масс плоской упруговязкой космической конструкции на круговой орбите. Найдены предельные режимы движения и условия , при которых конструкция эволюционирует к тому или иному предельному режиму. На основании полученных результатов показано , что быстрые вращения упруговязкого однородного кругового кольца с затепленной в нем материальной точкой эволюционируют с возрастанием времени так , что предельным движением является вращение относительно оси , перпендикулярной плоскости кольца и лежащей в плоскости орбиты центра масс.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Бардин Б.С. Об асимптотических решениях гамильтоновых систем при резонансе первого порядка. - ПММ, 1991, т. 55, вып. 4 , с. 587-593.

2. Бардин Б.С. О движениях спутника , асимптотических к его регулярным прецессиям. - Космич. исслед., 1991, т. 29, вып. 6 ,

с. 822 - 827.

3. Климов Д.М., Маркеев А.П., Бардин Б.С. Квазистатические движения вязкоупругого кольца с материальной точкой в гравитационном поле. - М., 1992. - 32 с. ( Препринт / ИПМех РАН: № 410 ).

4. Бардин Б.С. Построение движений спутника , асимптотических к его эксцентриситетным колебаниям. - М.: МАИ, 1988 , 43 с. Деп. в ВИНИТИ 1.07.88, Л 5313 - 1388. РЖМех., 1988, № 11А72.

5. Бардин Б.С. О движениях спутника , асимптотических к его регулярным прецессиям. - Тезисы докладов Республиканской конференции по динамике твердого тела и устойчивости движения. - Дснацс, 4-6 сентября 1990 , с. 3.