Устойчивость нетривиальных положений относительного равновесия упругого космического аппарата на круговой орбите тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ИРКУТСКИЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКШ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи ЧАШШН Сергей Васильевич

уда 531.36

УСТОЙЧИВОСТЬ НЕТРИВИАЛЬНЫХ полсшнии ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ УПРУГОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ

OI.Cg.OI - теоретическая ызханика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 1992

Работа выполнена в Иркутском вычислительном центре СО РАН

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Л.Ю.АНАПОШЖИЙ

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

В.М.МОРОЗОВ

доктор, физико-математических наук А.С.АНДРЕЕВ

Ведущая организация - Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится г.

в ^ часов на заседают, специализированного Совета Д.053.05.01 при Московском государственном университете имени Ы.В.Лоыонова по адресу: 119899, р. Москва, Ленинские горы, Главное здание ИГУ, сектор ПА% дуя.

С диссертацией иожно ознакомиться о читальной зоге библиотеки механико-математического факультета ЫГУ

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного Совета,кандидат физико-математических '»щук

Д.В.Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Диссертационная работа посвящена нахождению положений относительных равновесий, определяемых как состояние покоя в орбитальной системе координат, упругого космического аппарата (КА) и условий их устойчивости. Космический аппарат двинется в центральном ньютоновском поле сил так, что центр масс вращается с постоянной угловой скоростью по кеплеровой круговой орбите. Изучается движение вокруг центра масс КА (ограниченная постановка задачи).

Актуальность темы. Развитие ракетно-космической техники, в частности, вывод на орбиту Земли больших космических конструкций привело к интенсивному изучению влияния деформируемости конструкции на движение КА. в центральном ньютоновском поле сил. Среди различных задач динамики упругих НА значительное место занимают вопроси пассивной стабилизации, в том числе гравитационной,- главным образом ввиду того, что при такой стабилизации не расходуется рабочее тело КА.

Актуальность темы обусловлена также теп, что из всех положений относительного равновесия упругого КА на круговой орбите, нетривиальные положения равновесия (КА деформирован в положении равновесия) составляют более широкий класс и одновременно, менее изученный нежели тривиальные равновесия (КА недеформирован).

Вопросам устойчивости стационарных движений (в том числе положений равновесий) сложных механических систем (механических систем, включающих в свой состав подсистемы с конечным

числом степеней свободы и распределенными параметрами) посвящено большое количество работ (см., например, обзоры, [I, 2]). При эгоы с помощью различных подходов может проводиться дискретизация задачи (метод пространственной дискретизации, модальный анализ, метод Релея-Ритца и.др. [2] ) и использоваться различные подходы при исследовании устойчивости.-

Наиболее существенные результаты получены в работах В.В. Румянцева, В.Н.Рубановского, В.Ы.Морозова, В.А.Саысоюза, В.В.Белецкого, М.К.Набиуллина, В.Г.Вильке, Ф.Л.Черноуско,

A.П.Маркеева, Л.В.Докучаева, В.П.Легостаева, С.Н.Павлова,

B.П.Пегрука,

Однако, вопросам устойчивости нетривиальных стационарных движений посвящено значительно меньшее количество работ. Из работ, касающихся этого вопроса и не вошедших в обзоры 1982 года [1.2] , можно указать работу В.Н.Рубановского [з], из

[1] Рубановский В.Н.Устойчивость установившихся движений сложных механических систем.Итоги науки и техники.Сер.Общая механика, ВИШИ, 1962, т.5.

[2] Докучаев Л.В.Нелинейная динамика упругого летательного аппарата.Итоги науки и техники.Сер.Общая механика,ВИНИТИ,

1982, г.5.

[3] Рубановский В.Н. Устойчивость стационарных вращений свободного твердого тела с упругой цилиндрической оболочкой, содержащей жидкость,при движении по инерции.Сб.Устойчивость движения. Аналитическая механика.Управление движением. М.: Наука. 1981.

названия которой ясна рассматриваемая задача. В установившемся движении оболочка деформирована и указывается форт жидкой шсси.

В работе Набиуллина М.К. [4 ] рассматривается, в частности, в центрально» ньютоновском поле сил в ограниченной постановке движение КА, моделируемого твердым телом с упругими стержнями, расположенными по главным центральным осям неде-формированного КА. В нетривиальном положении равновесия стержни подвержены продольным деформациям (изгиб оси стержня отсутствует).

В последних двух работах исследования проводятся без дискретизации задачи на основе прямого метода Ляпунова (метод интегральных характеристик). Однако при аналитическом отыскании, например, упругих деформаций в нетривиальном положении равновесия КА последние будут представляться в виде бесконечного ряда разложения по собственным функциям соответствующего оператора теории упругости, что в свою очередь позволяет с самого начала полагать, что вектор упругой деформации представляется в виде бесконечного ряда разложения по некоторой полной системе функций (указанным выше собственным функциям).

В монографии Л.В.Докучаева [5] рассматривается при дискретизации задачи методом Релея-Ритца-Галеркина движение в

[4] Набиулдин М.К, Стационарные движения и устойчивость движения упругих спутников. - Н.: Наука, 1990.

[5] Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. М.: Машиностроение. 198?,

центральном ньютоновском поле сил упругого КА. Используются линейные уравнения движения и заключение об устойчивости стационарных движений делается на основании изучения расположения корней характеристического уравнешя. Упругое звено КА в установившемся движении может быть деформировано.

А.П.Маркеев в [б] , используя для анализа уравнений движения упругого КА дискретизацию на основе модального анализа и асимптотический метод, аналогичный разработанному й.Л.Чер-ноуско, приводит условия устойчивости относительного равновесия упругого КА на круговой орбите для случая плоских движений. Анализ устойчивости равновесия проводится на основании анализа корней соответствующего линейного уравнения второго по'рядка. В положении равновесия упругий КА деформирован.

При нахоздении положений относительных равновесий КА и условий их устойчивости на основании прямого метода Ляпунова, до сих пор был недостаточно освещен подход, не использующий усечение ряда представления перемещений точек КА в результате упругой деформации в виде бесконечного ряда по некоторой системе функций (например, по собственным формам свободных упругих колебаний КА).

Цель работы. На основании прямого метода Ляпунова развивается методика.позволяющая без усечения бесконечного ряда разложения упругих перемещений по некоторой, системе функ-

[6] Маркеев А.П. К динамике упругого тела в гравитационном поле // Космич. исследования. 1989. т. ХХУП, в. 2.

цпй находить положения относительного равновесия упругого КА и аналитические условия устойчивости найденных равновесий.

Научная новизна. . На основания прямого метода Ляпунова условия устойчивости положений относительных равновесий упругого КА получаются в результате исследования определенной положительности квадратичной формы бесконечного числа переменных. Получены условия,накладываемые на параметры механической системы,которые обеспечивают существование и единственность положений относительных равновесий и условия недэ-формированности КА в положении относительного равновесия. При рассмотрении примеров упругого КЛ (твердое тело + упругая кольцевая пластина,твердое тело + прямолине-ный упругий стержень) продемонстрирован подход, позволяющий в зависимости от расположения упругого звена относительно связанной систем! координат, делать выводы о характере деформации КА в положении относительного равновесия (например, об отсутствии деформации).

Предлагается критерий усечения ряда разложения упругих перемещений точек КА, основанный на использовании метода редукции при приближенном отыскании положений относительных равновесий и условий их устойчивости.

Достоверность результатов. Достоверность обусловлена применением строго обоснованных математических методов.

Практическая ценность.. Диссертация- носит теоретический характер. Изложенные в ней методы и результаты могут приме-

няться при исследованиях стационарных движений упругих НА, что подтверждается плановыми pa6oTai.ni, проводимыми в Иркутском вычислительном центра РАН с участием автора диссертации.

Апробация работы. Результаты, излоаеншэ в диссертации освещались в докладах на Республиканской конференции "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (г. Донецк, 1990) на УП Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (г. Москва, 1991), на У Международной аколе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (г. Иркутск, 1992), на научных семинарах ИрЩ РАН.

Публикации. Результаты диссертационной работы отражены в четырех опубликованных работах (см. список работ автора по теме диссертации).

Структура м объем работы. Диссертация состоит из ¿ведения, трех глав (восемь параграфов), заключения, списка литературы из 68 наименований и содержит 94 страницы машинописного текста, включая I рисунок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы и определены методы исследования. Дан обзор работ, опубликованных по теме диссертации, кратко изложено ее содержание.

В первом параграфе формулируется постановка задачи. Рассматривается движение в центральном ньютоновском поле сил относительно центра масс КА, моделируемого твердым телом

(корпусом) с присоединенным к нему однородным упругим звеном произвольной формы. Центр масс упругого КЛ движется с постоянной угловой скоростью СО по кеплеровой круговой орбите вокруг притягивающего центра, пренебрегается влиянием движения КЛ относительно центра масс на движение последнего по орбите.

Вводятся основные системы координат: жестко связанная с корпусом КА системы координат (ССК) и орбитальная система координат (ССК) с полисом в центре масс КА.

Исследования проводятся при следующих предположениях:

1. Вектор перемещения в результате деформации произвольной точки КЛ, задаваемой в недефорыированном положении радугу— сом-вектором1 с началом п полюсе ССК, представляется в виде

[5. б] : о» _

^ (I)

где известные функции У^йН V (г> - компоненты в ССК), ' такие, ото

В^р - функции Кронекера,^ - область, занимаемая T04KSJ.ni КА в недеформированноы состоянии.

2. Центральна эллшсоид инерции КА в кедефориированном состоянии является трехосным.

3. В процессе движения компоненты тензора инерции 3 упругого КА относительно центра масс 0 ограничены.

Из этого предположения следует, что а^О^сЪ^ ..

принадлежит пространству бесконечных последовательностей

оо ^

с нормой ЦЦ -- _

Тензор инерции КЛ относительно центра масс 0 (с учетом

(I))

3-ф*а*Е-Ч^у.а+а»^ зс+21о ад з (2)

•г Л-Л1 Г

где Е-<^(/1,1 АХ символом: обозначается диадное произведение .

Матрицы компонентов тензоров 30,в осях ССК есть,

соответственно, 10- ¿^Д!,^ Д^ ^

4. В качестве потенциальной энергии сил гравитационного притяжения берется приближенное выражение [7}

+ (3) •

где - масса КА, - радиус круговой орбиты, - произведение универсальной гравитационной постоянной на кассу притягивающего центра, ^ - орт, направленный из притягивающего

центра в центр масс КЛ. ' ,4

/ V

5. Потенциальная энергия изотропного упругого звена КА

при малых деформациях определяется выражением б]

оо с*э £ I

где вещественные постоянные С^ъО , собственная часто-

^7} Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. - М.: Наука, 1965.

та п. -го тона свободных упругих колебаний, причем /\„<Л,<...

При помощи основных теорем динамики выписываются уравнения движения упругого КА около центра масс, приводятся известные интегралы уравнений движения: 17 - интеграл типа Яко-би, и* - интегралы направляющих косинусов (Ь

Во втором параграфе на основании теоремы Рауса-Ляпунова, сн. например [в] , выписываются уравнения стационарных движений (равновесий), проводится их анализ.

Составляется связка интегралов уравнений движения

У г и^ ЪсоА(ц>и5- ^иксцуЦ,-» ^ы-с неопределенными множителями Лагракгга взятыми в виде степенных рядов по С| ^

«1 со

С использованием метода теории возмущений ^э! обобщен. ные координаты (направляющие косинусы осей), задающие ориентацию ССК относительно ССК, определяются в виде степенных

[В] Рубановский В.Н., Степанов С.Я. О теореме Рауса и методе Четаева построения функции Ляпунова из интегралов уравнений движения // 1ШМ, 1969, в. 5. [э]Гельфонд И.Н. Лекции по линейной алгебре. - М.-Л.: ГИГГЛ, 1951.

рядов по Значения координат 'Ц 2.,...), характери-

зующих деформацию КА в нетривиальном положении относительного равновесия, предлагается определять приближенно из соответствующей линеаризованной системы алгебраических уравнений методом редукции.

Показано, что в положении относительного равновесия главные центральные оси КА (построенные дяя дай ¡ого равновесия) коллинеарны осям орбитальной системы координат, а каздоцу набору координат , удовлетворяющее уравнениям ста-

ционарных движений, соответствует четыре различных положения относительного равновесия.

Чтобы существовало тривиальное положение относительного равновесия (^-О,^-1.2-,...^необходимо и достаточно, чтобы кк 1«У№ VI

Мп-х1^ »«я <5>

1 Ч п

где 1п компоненты тензора осях ССК. Здесь целые-, попарно неравные числа берутся из множества ^1,2,3^ н определенным образом характеризуют положение относительного равновесия.

Вторая глава (§ 3 — § 5) посвящена исследованию устойчивости положений относительных равновесий, найденных в главе I. Исследования проводятся на основании пряного метода Ляпунова.

В третьем параграфе условия устойчивости выписываются для упругого КА, моделируемого механической системой с конечным числом степеней свободы. Такая ситуация возникает, например, при дискретизации сложной механической системы по ш-

тоду Релея-Ритца-Галеркина. Условия устойчивости получены с помощью критерия Сильвестра при исследовании определенно!! пологаггельности второй вариация функции Ляпунова.

В четвертом параграфе с использованием теоремы В.В.Ру-мящева исследуется устойчивость полокевй откосительннх КЛ по части переменных. Космический аппарат моделируется механической системой со счетным числом степеней свободы. При этом вводится дополнительное предполег.еюю \_5, 10, II ] : тензор инерции упругого КА в первом приближении сохраняет диагональный вид относительно главных в недеформпрованном состоянии осей координат.

Условия устойчивости могут быть сведены к "онечкому числу непротиворечива неравенств, накладываемых на параметры системы. Проводится сравнение с известными условиями устойчивости.

Пятый параграф второй главы посвящен исследованию устойчивости по совокупности переменных положений относительных равновесий упругого КА, моделируемого механической системой со счетным числом степеней свободы. Исследование опирается на теорему К.П.Персидского об устойчивости по Ляпунову счетно] Легостаев В.П. Устойчивость деформированного спутника

Ц Космич. исследования, 1970, Т.8, й> 4. [и] Павлов Ю.Н., Петрук В.П. Пространственные колебания гравитационно ориентированного^ спутника. Устойчивость относительного равновесия // Космич. исследования, 1976, Т.4, 16.

ных систем дифференциальных уравнений. Задача сводится к получению условий определенной положительности второй вариации функционала Ляпунова, которая представляет собой квадратичную форму бесконечного числа переменных. Приводятся необходимые и достаточные условия определенной положительности квадратичной формы бесконечного числа переменных, когда вектор переменных принадлежит пространству бесконечных последовательностей . С использованием этого выписываются условия устойчивости положений равновесия.

Третья глава работы посвящена отысканию приближенного решения уравнений,определяющих деформацию КА в положении относительного равновесия и рассмотрению модельных примеров.

В шестом параграфе нелинейная система алгебраических уравнений для определения ^(.п-1,1."^определяющих деформацию КА в положении равновесия,линеаризуется по С|° в нуле и ео решение предлагается находить методом редукции ^12] . Приводятся условия на параметры механической системы, обеспечивающие существование и единственность решения С^^С^ из пространства (¡.^ и сходимость метода редукции. Эти условия накладывают ограничение снизу на величину минимальной разности между главными центральными моментами инерции КА в недеформированном положении.

В седьмом параграфе рассматривается КА, моделируемый твердым телом с защемленной в нем по внутреннему контуру

[12] Вулих В.З. Введение в функциональный анализ. - М.: Наука, 1967.

круглой однородной упругой кольцевой пластиной. Используется деформационная модель, когда перемещения точек пластины в результате малой деформации перпендикулярны ее срединной плоскости в недеформированном состоянии [13 ] . С учетом условий (5), варьируя положение пластины в недеформированном положении относительно осей ССК, показано, что КА недефораь рован в положении относительного равновесия лишь тогда, когда нормаль к плоскости недефоршровашой пластины коллинеар-на одной из осей ССК. При остальных вариантах расположения пластины положения относительного равновесия будут нетривиальными.

В восьмом параграфе рассматривается пример КА, моделируемого твердым телом с защемленный в нем одним концом прямолинейным упругим стержнем постоянного кругового сечения. Ось недеформированного стержня произвольно направлена относительно осей ССК. В процессе движения стержень совершает малые продольные и поперечные колебания.перемещением центра масс КА относительно ССК пренебрегается. В виду малости деформаций в тензоре инерции КА (2) пренебрегаем нелинейными по членами (формально 3^=0; V,...) Такое упрощение при изучении положений относительных равновесий представляет интерес с точки зрения обнаружения известных в литературе эффектов для этой достаточно изученной модели КА.

Рассматривая всевозможные варианты расположения оси не-

[13] Кирхгоф Г. Механика, лекции по математической физике. Ы.: Изд. АН СССР, 1962

деформированного стержня относительно ССК, показывается, что тривиальное положение относительного равновесия реализуется, если ось недеформированного стержня направлена по одной из осей ССК и по касательной к орбите. Если недефор-ыированнал ось коллинеарна одной из осей ССК и перпендикулярна плоскости орбиты (направлена по нормали к орбите в центре масс КА в сторону притягивающего центра или от него), то в положении относительного равновесия стержень будет с сжат (сжат или растянут, соответственно). При других вариантах расположения оси стержня в ССК в положении относительного равновесия стержень будет изогнут. Соответствующим подбором параметров механической системы положения равновесия могут быть сделаны устойчивыми. Эти выводы совпадают с известными.

Заключение содержит краткое изложение результатов, полученных в диссертации и выносящихся на защиту:

1) Утверждение, качественно описывающее положения относительных равновесий упругого КА, в том числе нетривиальные (утверждение I § 2 диссертации).

2) Необходимые и достаточные условия того,что положение относительного равновесия КА будет тривиальным (утверждение 2 § 2).

3) Достаточные условия устойчивости по части переменных положений относительного равновесия КА, рассматриваемого как механическая система со счетным числом степеней свободы (утвервдения 5, б § 4).

4) Достаточные условия устойчивости положений относительного равновесия по совокупности переменных (утверждение 8 § 5).

5) Условия существования единственного решения и сходимости метода редукции при приближенном отыскании нетривиальных

•положений относительного равновесия (утвервденио 9 § 6).

Список опубликованных работ по теме диссертации

I. Чайкин C.B. Исследование устойчивости нетривиальных положений равновесия упругого летательного аппарата с использованием теоремы Рауса. - Иркутск: Иркутский вычислительный центр, 1990, препр. if 4, 32 с.

. 2. Чайкин C.B. Анализ устойчивости нетривиального положения равновесия упругого спутника с использованием теоремы Рауса // Тезисы докладов республиканской конференции Динамика твердого тела и устойчивость движения. Донецк, 1990, с. 31

3. Атапольский Л.Ю., Чайкин'C.B. Об устойчивости положений относительных равновесий упругого летательного аппарата// Аннотации докладов УП Всесоюзного съезда по теоретичес-

и прикладной механика. Москва, 1991, с. 15

4. Чайкин C.B. Положения относительного равновесия упругого спутника на круговой орбите и их устойчивость // Прикл. мат.. и механика, 1992, т. 56, вып.4