Моделирование и исследование устойчивости стационарных движений орбитальных упругих систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РГб од 2 2 АПР 1996

На правах рукописи

НАБЙУЛЛЙН МАНСУР КАРИМОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ОРБИТАЛЬНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1996

Работа вшкишена. а Иркутском вычислительном центре СО РАН

Официальные оппоненты:

Доктор физихо-м&тсм&'Гических наук Ажулеико Л Л.

доктор фнзико-матеиатЕческах наук, профессор Белецкий В.В.

дог тор техническим наук,

академик Татарстана Сиразетдинов Т.К.

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН^

Защита состоится _199б года в часов на

заседании дкссертацЕоадаго совета Д ОСл .57.01 в Институте проблем механики РАН по адресу: 117528, Москва, прослехт Вернадского, д. 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан " $ * ¿^У^-^Шб года.

Ученый, секретарь диссертационного совета, кандидат фкз.-мат. наук

Меняйлов А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы.

Исследовании динамики сложных космических систем относительно центра масс в ньютоновском центральном поле сил под воздействием моментов различной физической природа посвящено большое количество работ как в нашей стране так и за рубежом (см. например, библиографии, приведенные в монографиях Б.В.Белецкого, Н.Н.Моисеева и В.В, Румянцева, В.В.Румянцева, В.Г.Демина в обзорах, В. М. Морозова, R.E.Roberson'a, В.А.Сарычева, М. 3. Литвина-Седого, S.K.Sbrivastava, B.J.Moai.

В последнее время, в связи с потребностями развития космической техники и космических полетов, тенденцией увеличения размеров орбитальных систем и уменьшения их жесткости и рядом других факторов (в частности, повышенные требования к точности ориентации составных космических аппаратов относительно клерикальной или орбитальной системы координат) стали весьма актуальными проблемы нелинейной динамики, устойчивости и стабилизации составных космических систем с учетом упругости и деформируемости их отдельных конструкций. Такими конструкциями являются, например, выдвижные штанги, упругие стержни передающих антенн, упругие пластины панелей солнечных батарей, антенны, упругие кольца радио антенн, гибкие тросы, упругие топливные баки с жидким наполнителем и т.п. (обширная библиография приведена в работах А.П.Алпатова, Я.А.Белоноюсо и др., В.В.Горбунцова и др., В.В.Белецкого и Е.М.Левина, Г.Л.Дегтярева и Т.К.Сиразетдинова, Л.В.Докучаева, Д.М.Климова и А.П.Маркеева, Л.К.Лилова, В.Н.Рубановского, Т.К.Сиразетдинова, Ф.Л.Черноусько, H.H. Болотника и др., Misra A.K., Modi V.J.). Как отмечено в работе R.I. Roberson'a, деформируемость конструкций, нежесткость космических аппаратов оказывают влияние на проектирование систем управления ими, и эти факторы весьма значительные сегодня, могут стать еще более важными в будущем, поскольку космические аппараты все больше принимают вид-большой и сложной конструкции.

Во многих теоретических разработках и решении прикладных задач, исследователями используются дискретные модели сложных механических систем, содержащих упругие тела. Упругие тела представляются как совокупность взаимосвязанных абсолютно твердых

тел, соединенных между собой невесомыми пружинами и другими устройствами. Движение систем описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Часто используется и другой подход дискретизации, основанный на представлении компонентов вектора упругого перемещения в виде суммы произведений форм колебаний, зависящих от пространственных координат, на обобщенные координаты, зависящие от времени. Затем, оставляя в разложении компонентов вектора упругого перемещения конечное число членов (обобщенных координат), система с бесконечным числом степеней свобода заменяется системой с конечными числом степеней свобода, движение которой так»® описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Уравнения движения сложных механических систем, состоящих из твердых и упругих тел, стесненных голономными связями в рамках систем с конечным числом степеней свобода, выводятся методами аналитической механики, в том числе из формализма Лагранжа и основных теорем динамики систем. Причем, для широкого класса систем тел вывод уравнений движения в настоящее время алгоритмизирован.

Указанные выше два подхода - метод сосредоточенных параметров и метод нормальных форм колебаний - успешно применяются при моделировании, сложных механических систем и в сочетании с качественными методами и с применением современной вычислительной техники позволяют объяснить суть некоторых физических явлений, получить количественные оценки.Более адекватным является подход моделирования сложных механических систем как системы с распределенными параметрами, моделирование упругих конструкций в виде сплошных континуумов и описание их движений интегро-дифференциальными уравнениями с обыкновенными и частными производными. Однако, в отличие от вышеуказанных ' методов дискретизации, этот подход моделирования еще в полной мере не формализован.

Теоретические исследования движения крупногабаритных космических систем является весьма сложной задачей. Даже вывод дифференциальных уравнений сопряжен с большими трудностями. Особенно трудны задачи отыскания стационарных решений, описывающих стационарные движения и нелинейный -анализ их устойчивости, но именно они встают первыми перед разработчиками систем стабилизации космических аппаратов. Стационарные движения-

положения равновесия упругих космических аппаратов в орбитальной системе осей координат часто являются штатвьши режимами космотеехих аппаратов с гравитационно-градиентной стабилизацией, имеющих продолжительное время функционирования. Примером может служить режим одноосной гравитационной ориентации орбитального комплекса "Салют-Б" "Союз". В стационарном движении упругий спутник сохраняет определенную ориентацию в орбитальной системе координат, что важно для ряда технических прикладных задач. В частности, изучение стационарных движений связано с возможностью получения пассивной ориентации упругих спутников, основанной на использовании свойств окружающих силовых полей, гравитационного и магнитного, эффекта светового давления, сопротивления атмосферы и др.

Первые исследования стационарных движений сложных механических систем, в том числе упругих спутников, и их устойчивости, начаты в работах В.В. Румянцева и его учеников и последователей. Решение задач устойчивости и стабилизации стационарных движений упругих спутников может быть эффективно осуществлен методом функций Ляпунова или теоремой Рауса-Ляпунова, распространенных на системы с распределенными параметрами. При решении этих задач возникают математические трудности, связанные с построением функционалов Ляпунова и проверкой их знакоопределенности, непрерывности по заданной метрике. Если уравнения движения допускают первые интегралы, то построение функционала Ляпунова осуществляется по методу Н.ГЛетаева, в виде связки первых интегралов. Проверка определенно-положительности, (определенно-отрицательности) функционалов, в том числе при ограничениях, 'содержащих конечномерные переменные и распределенные параметры по заданной метрике, представляет трудную и не решенную задачу.

Диссертация посвящена указанным актуальным аспектам проблемы нелинейной динамики орбитальных упругих космических систем.

Цель работы.

Состоит в развитии и обобщении методов составления математических моделей и исследования устойчивости и стабилизации стационарных движений упругих систем, получении достаточных условий их устойчивости'и анализе этих условий.

- б -

Достоверность результатов работы,

Достоверность полученных результатов определяется применением строгих методов аналитической механики, механики сплошных сред, теории устойчивости движения,теории дифференциальных уравнений, математического анализа, высшей алгебры, дифференциальной геометрии, известных и разработанных в диссертации строгих методов нелинейной механики.

Научная новизна.

1) В диссертации разработана методика вывода нелинейных интегро- дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными при краевых условиях, описывающих поступательно-вращательное движение составных крупногабаритных орбитальных систем с деформируемыми конструкциями в ньютоновском центральном поле сил,

2) Впервые дифференциальные уравнения движения сложных механических систем с двумерными упругими элементами записаны в новых канонических переменных Гамильтона.

3> Доказаны новые теоремы об изменении полной и неполной энергии составных сложных механических систем, обобщающие аналогичные теоремы аналитической механики с конечным числом степеней свободы и которые эффективно используются и могут быть использованы при исследовании задач устойчивости и стабилизации спутников с деформируемыми элементами. При определенных предположениях из них, как следствие, получен закон сохранения полной и неполной механической энергии, интеграл типа Якоби. Доказано, что наряду с этими первыми интегралами дифференциальные уравнения движения поступательно-вращательного движения нежестких орбитальных систем допускают интеграл площадей и интегралы, выражающие постоянство проекции кинетических моментов динамически симметричных спутников-гиростатов с деформируемыми элементами на оси их динамической симметрии.

4) Разработан и реализован новый конструктивный подход проверки определенно- положительности* (определенно-отрицательности) и непрерывности функционалов по двум энергетическим метрикам. Предложен модифицированный и обобщенный способ построения из первых интегралов функционалов Ляпунова.

5) Аналитическими методами детально изучены и решены новые конкретные и важные задачи, имеющие теоретическое и прикладное значение. Составлены математические модели орбитальных систем с круглой кольцевой антенной, двумя и одной парой прямоугольных панелей, тремя ларами стершей с точечными массами на свободных концах, а также орбитальной тросовой системы. Найдены их стационарные движения - положения равновесия в орбитальной и регулярные прецессии в неподвижной системе осей координат. Методом функционалов Ляпунова получены достаточные условия устойчивости стационарных движений по двум метрикам и проведен подробно параметрический анализ этих условий. Показано, что деформируемые элементы оказывают существенное влияние на ориентацию и стабилизацию орбитальных систем.

6) Рассмотрена орбитальная система, которая состоят из двух динамически симметричных спутников-гиростатов, связанных между собой при помощи трехстепенного обобщенного шарнира. К корпусу одного из них жестко прикреплена круглая кольцевая деформируемая антенна и упругая штанга с точечной массой на свободном конце. Детально изучено семейство стационарных движений, когда оси динамической симметрии спутников с маховиками, антенны и штанги перпендикулярны кплоскостиорбиты. Методом функционалов Ляпунова получены достаточные условия устойчивости указанного стационарного движения и проведен анализ этих условий устойчивости.

Практическая значимость.

Методика и результата, полученные в диссертации, могут быть использованы при проектировании и исследовательских разработках в различных областях техники, в том числе, авиационной и космической, крупногабаритных орбитальных упругих космических систем, а также для дальнейшего развития теории устойчивости и стабилизации систем с ралределенными параметрами. Результаты работы включены в отчеты по НИР и переданы в НПО "Энергия", Институт космических исследований РАН, НПО "Прикладная механика", использовались в Иркутском ВЦ СО РАН, Иркутском госуниверситете, Казанском техническом университете (КАИ), НПО "ЭНЕРГИЯ", "Жй", НПО "ПРИКЛАДНАЯ ЛЕЩИКА" и других организациях.

Апробация работа.

Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре Иркутского ВЦ СО РАН "Векторные функции Ляпунова" под руководством академика Б.М. Матросова, ежегодных Ляпуновских чтениях, проводимых в Иркутском ВЦ СО РАН; III, IV. V Всесоюзных Четаевских конференциях по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Иркутск-Бухта Песчаная, июнь 1977г.; Звенигород, декабрь 1982 г.; Казань, сентябрь 1987 г.), II, V, VI Всесоюзных конференциях по оптимальному управлению в механических системах (Казань, январь 1978 г.; Львов, апрель

1988 г.), Всесоюзных Каменковских конференциях по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва, январь-февраль 1978; Москва, февраль 1988 г.), семинаре по аналитической механике МГУ под руководством академика В.В, Румянцева, Университетской школе "Метода исследования стационарных движений механических систем" (Колюбакино, март 1979 г.), Всесоюзных и международных научных школах "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Иркутск - Бухта песчаная, август 1979 г.; Иркутск-Утуяик август 1982 г.; Иркутск-Лиственичное, сентябрь-октябрь 1985 г.; Иркутск-Лиственичное, сентябрь 1989 г.; Международная научная школа, состоявшаяся в июне 1992г. и приуроченная к 60-летию со дня рождения академика Б.М. Матросова), Республиканской школе по общей механике и теории упругости (Хелави, сентябрь 1981 г.), Всесоюзной конференции "Современные вопросы математики и механики и приложения" (Москва, апрель 1983 Г.), VI, VII Всесоюзных сьездах по теоретической и прикладной механике (Ташкент, сентябрь 1986 г.; Москва, август 1991 г.), Международном семинаре "Динамика нелинейных систем" (Иркутск-Лиственичное, август 1987 г.), Торжественном научном семинаре, посвященном 80-летию со дня рождения профессора П.А.Кузьмина (Казань, ноябрь 1988 г.), Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Юрмала, апрель

1989 г.), VII Национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варна, сентябрь 1989 г.), Международном симпозиуме ЮТАМ "Dynamical Problems oi Rigid-Elastic Systems and Structures" (Moscow, 1990). Международной конференции по крупногабаритным космическим конструкциям - "IC01ASS 93" (Новгород, май 1993г.),International Aerospace Congress - IAC'94.

th Birth Anniversary of the First Astronaut TORY GAGARIN (August 15-19, 1994, Moscow Russia), семинаре при Научном Совете РАН по механике систем и Яаучгом Совете РАН по проблемам управления движением и навигации под руководством академика А.Ю. Ишлинского, академика Д.М. Климова (Москва, ноябрь 1995 г.), семинаре по аналитической механике и теории устойчивости движения МГУ имени М.В. Ломоносова под руководстом академика В.В. Румянцева (Москва, декабрь 1995 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-23], В совместных публикациях (6, 16, 19, 20] автору принадлежат результаты, связанные с моделированием спутников с упругими элементами и исследованием устойчивости и стабилизации их стационарных движений.

Структура и обЪем диссертации.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Диссертация содержит 354 страницы машинописного текста, в том числе: 333 страницы основного текста, библиография содержит 194 наименования, в приложении помещены 25 рисунков.

Содержание работы.

В первой главе излагается методика составления дифференциальных уравнений движения орбитальных систем с упругими конструкциями в ньютоновском центральном поле сил. В п.1 дается определение сложных механических систем и приводятся примеры, в п.2 вводятся системы координат и обозначения, употребляемые в дальнейших исследованиях, обсуждаются вопросы, связанные с вычислением компонентов вектора упругого перемещения произвольной точки трехмерного деформируемого тела, двухмерных тел - оболочек и пластин, Пользуясь методами дифференциальной геометрии и предполагая, что прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к срединной поверхности, сохраняя при этом свои длину (первая гипотеза Кирхгофа-Лява), выводятся формулы, позволяющие вычислить компоненты вектора упругого перемещения двухмерных тел. В п. п. 3,4 выводятся формулы для вычисления кинетической энергии

механической системы, состоящей из несущего тела и носимых тел, упругих тел, жестко прикрепленных к корпусу несущего тела по некоторому контуру и силовой функции ньютоновских центральных сил. Б качестве первого примера носимых тел рассматриваются одностепенные статически и динамически уравновешенные маховики, оси динамической симметрии которых неизменно связаны с корпусом несущего тела. Система абсолютно твердых тел представляют собой гиростат (В.Вольтерра, Н.Е.Жуковский). В качестве второго примера рассматриваются три одинаковые спаренные двухстепенные гироскопы-гироскопические рамы (А.Ю.Ишлинский, Б.В.Раушенбах, Е.Н.Токарь). В п.5, выписываются компоненты тензора деформации трехмерных и двухмерных упругих тел и главные инварианты тензора деформации, рассматриваются принципы построения функционалов потенциальной энергии упругих деформаций в случае конечных деформаций, а также с учетом физической нелинейности материала упругого тела. Суть построения функционалов потенциальной энергии состоит в том, что удельная потенциальная энергия упругих тел аппроксимируется конечным числом членов ряда по степеням компонентов тензора деформации или же главных инвариантов тензора деформации с соответствующими коэффициентами. Приводятся различные выражения функционалов потенциальной энергии в нелинейной теории упругости. В моделях гипотезы Кирхгофа-Лява выводятся функционалы потенциальной энергии оболочек и пластин с учетом геометрической нелинейности. В п. 6 выписываются функционалы диссипативных сил вязкоупругого тела в модели Кельвина-Фойхгта и Релея, устанавливаются их свойства знакоопределенности и непрерывности. В п.7 дается формулировка принципа Гамильтона-Остроградского применительно к сложным механическим системам, состоящий из твердых и деформируемых тел, стесненных голономными связями. Приводятся выражения элементарных работ диссипативных сил на возможных перемещениях в модели Релея и Кельвина-Фойхгта. В п.8 на основе принципа Гамильтона-Остроградского выводятся дифференциальные уравнения движения и естественные краевые условия, описывающие поступательно-вращательное движение упругого спутника с гиростабилизаторами. Они имеют вид

й-уе-у 1 = V и + о (й = 1.....6+зю,

V. = -£-. V

4 а дц^ Чв Зд^

Ч = <г, 2, Ф1, Ф, в, «р. а^, рк. Путем введения дифференциальных операторов

з д , 3 , Э з Э

. . Е аа . [¿и . ]• .= 2 ¿д [ 1

В1, VI

Рсв до да

гси гев

<3 2 д2 ( ^ % =5т ~ ^ Т(Г. + ? да . 9а. . ..}•

81 БХ "VI 4 31, п' V, } =1 % Чд 4 вг , VI , ^ I

2 д

v . . ..

51, VI э\. , v^.

Ч • „• =

.Е да. . . . .. I'

^ =1 Л) 1 «I, VI, 11

<?и .

«г, П ~ да '

3 I __

, VI ~ да * ^е V, VI, 11 & I, 1 I, VI ~ да , <?а., '

^ 1

(3=1,2,3; гМ ,2; 1=1.....т)

уравнения движения трехмерных и двумерных упругих тел записываются в форме аналога уравнений Лагранжа второго рода

э ( Р1 1 Р1

57 V- Л + гр I - 7 Ъ = + 0.

31;! и. М р I ч. Мр зь

4 81 СВ ^ СБ

*■ »1 а=1 1 са ' 1 г! ■'■>

З-р. , , Л, л

- 7 1- I ГР X ' и . = у , + о , . При этом естественные краевые условия записываются в виде з , з а! л ^

Е Г Е --п . + 0\ Ои . <ЗГ. =0,

3 = 1 Ч>= I «I , VI '

v. v=i u 01, vi ct=i v ca ' v ev ^

v. V

E (r'P #v . .^JRe*.^

S= 1 4 COC J v St , И J->

- V Л +

s v , vi. a=

2 ЗД

Г E ^-П.. 6v . . dS. =0, (s-1,2,3; r=1,2; i=1.....m).

J " aV jvsi.nvl.

r v, Б1, n, j I

V,

t

В п. 9 излагаются теоремы об изменении полной и неполной механической энергии упругого спутника, а также различные их модификации. Из указанных теорем, как следствие, находятся законы сохранения полной механической энергии и механической энергии с "замороженными" носимыми телами. Записывается интеграл площадей. В п.10 аналогичные теоремы доказываются в ограниченной кеплеровской эллиптической и круговой постановке задачи. Из них, при равенстве нулю мощности непотенщальных сил и постоянстве относительных кинетических моментов носимых тел, получается первый интеграл, выражающий закон сохранения полной механической энергии упругого спутника в относительном движении и обобщенный интеграл типа Якоби н = т + П = const, где

3 k m = ~Т Y. + ~2~ КК + J { Pi -

S , У~1 t ~ 4

\ = (Рс + м * Ре). v. = [и - ро + и х (г. + и. - pc)J,

3 3 3

П = - ~ ш2 ) A ,a a , - ш ) к a + У A О, -

2 / s V 3 8 3 V М / S 3 8 2 о / S V 2S 2 V

s, r= i e = i в, v= 1

3 171

S = 1 i =1

В последнем п.II первой главы вводятся канонические переменные Гамильтона и новые канонические переменные.

Доказывается разрешимость функциональных уравнений для обобщенных импульсов относительно скоростей компонентов вектора упругого перемещения. Затем, исходные дифференциальные уравнения

движения и краевые условия записываются в обобщенных канонических переменных. Показывается, что в этих переменных уравнения движения трехмерных и двумерных упругих тел существенно отличаются друг от друга. Уравнения возмущенного движения упругого спутника, записанные в канонических переменных, введением векторных обозначений представляются в виде системы трех векторных интегро-дифференциальных уравнений.

Во второй главе дается единый конструктивный подход к изучению устойчивости стационарных движений спутников с упругими элементами в ньютоновском центральном поле сия тяготения, основанный на методе функционалов Ляпунова.

В п.1 вводятся две метрики р0 и р, которые служат мерой отклонения возмущенного движения от невозмущенного в начальный момент времени и при 0 1; . Приводятся определения определенно-положительно сти (соответственно определенно- отрицательности), непрерывности, допускающего бесконечно малого высшего предела функционалов Ляпупова по введенным метрикам.

Даются формулировки теорем определенно-положительности квадратичной формы с постоянными коэффициентами и при условиях, когда переменные удовлетворяют линейным независимым соотношениям (Р.П11з1ег, П.А.Кузьмин).

В п.2 рассматриваются необходимые и достаточные критерии экстремума функционала в линейном нормированном пространстве по метрике, являющейся квадратом нормы. Эти критерии сводятся к исследованию уравнений, получаемых приравниванием нулю первой вариации функционала и его определенно-положительности. При исследовании определенно-положительности функционалов весьма плодотворной и эффективной оказалась идея введения интегральных характеристик, сплошных сред, предложенная в работах В.В.Румянцева, Если надлежащим выбором интегральных характеристик функционал удается привести к квадратичной форме, а при ограничениях типа линейных функционалов к виду линейных многообразий, то теоремы сформулированные в п.1 могут быть непосредственно применимы.

В л. 3 излагаются определения устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости и основные теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости невозмущенного движения по двум метрикам (А.М.Ляпунов, Н.Г.Четаев, П.А.Кузьмин, Н.Н.Красовский,

В.В.Румянцев, В.М.Матросов, В.И.Зубов, А.А.Мовчан, Т.К. Сиразетдинов).

В п. 4 отыскиваются стационарные решения дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными, описывающих движение упругого спутника в ньютоновском центральном поле сил. Нахождение стационарных решений этих уравнений сопряжено с большими математическими трудностями. Показывается, что стационарным решениям соответствует множество положений равновесия спутника-гиростата с упругими телами в орбитальной системе осей координат. В положении равновесия упругие тела могут находиться как в недеформированном, так и в деформированном состоянии.

В п.5 обсуждаются вопросы приведения квадратичного функционала к квадратичной форме конечного числа переменных. Для этой цели вводятся новые переменные и интегральные характеристики, решается вариационная задача на собственные значения.

В п. 6 доказывается ряд утверадений об определенно-положительности и непрерывности функционала Ляпунова У=н-Ио по энергетическим метрикам

3 т 3

• г г

р = 2 и* + ®2 + Ог + Ф2 + ^ $ р. 5 (и*. + и'. .

811 1=1 а=1

3 т 3

„ ' 2 2

Р0= I "в + + 02 + ф2 + . I I ^ I + <1 ><Ч +

г

1=1 8 , V- 1

В п.7 из критериев определенно-положительности функционала Ляпунова выводятся достаточные условия устойчивости множества положений равновесия упругого спутника

т 1 1

с1 > О, (э^у), а, = а° - 9ш* У |—— + ——I > О,

61? 11 11 о. ¿11 11

1-.1 1 с с '

12 12

а12 > О,

Л = !а I > О (а =а, , в, V = 1, 2, 3).

3 I вУ1 в V Vs > г /

В п.8 проводится тщательный их анализ.

Достаточные условия устойчивости содержат физические

параметры, характеризующие геометрию масс системы в положении относительного равновесия (моменты инерции), жесткостные характеристики деформируемых элементов, кинетические моменты маховиков, орбитальную угловую скорость движения центра масс и т.п. Из них можно сделать определенные выводы. Во-первых, деформируемость конструкций может оказать существенное влияние на ориентацию упругих спутников в орбитальной системе координат. Во-вторых, деформируемость больших конструкций может привести к дестабилизации положения равновесия. Наличие носимых тел-маховиков расширяет семейство стационарных движений и позволяет скомпенсировать дестабилизирующее влияние упругих элементов, но не полностью, поскольку маховики не могут повлиять на жесткостные характеристики. Кинетические момента маховиков входят лишь в некоторые из неравенств достаточных условий устойчивости.

В третьей главе выводятся дифференциальные уравнения движения космических аппаратов, содержащих маховики и гироскопические устройства, круглую антенну и панели солнечных батарей. Антенна и панели солнечных батарей моделируются в виде упругих пластин и рассматриваются как системы с распределенными параметрами.

В п.1 выводятся нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с обыкновенными и частными производными и краевые условия, описывающие движение спутника-гиростата с круглой пластиной в ньютоновском центральном поле сил в ограниченной кемеровской задаче. Круглая кольцевая пластина внутренним контуром жестко прикреплена к корпусу несущего тела.

В п.2 методом разделения переменных решаются задачи о свободном колебании круглой пластины и на собственные значения. Доказывается, что минимум функционала

Ф = I. С >

(а + г) {(V») +■ 2(1 - V)

д л бг а + г

, (а + г)

= 1

(а + г)

2 Л

„

(а + г)

а + г

в классе функций с , имеющих непрерывные частные производные в области % по переменным г, % до четвертого порядка включительно и удовлетворяющих граничным условиям а = О, « = О при г = о, £ > (о есть наименьший из корней уравнения

Частоты колебаний пластины находятся как корни этого трансцендентного уравнения, выраженного через бесселевы функции первого, второго рода и модифицированные при фиксированном индексе. Доказывается утверждение о том, что потенциальная энергия деформации пластины равна или больше квадрата наименьшей круговой частота ее собственных колебаний умноженного на квадратичный функционал, зависящий от прогиба и его частных производных первого порядка по полярному радиусу и углу. Оценка, вытекающая из этого утверждения эффективно используется в дальнейшем при установлении определенно-положительности функционалов Ляпунова.

В п.З отыскиваются частные решения дифференциальных уравнений движения и краевых условий. При этом предполагается, что круглая пластина - антенна может совершать лишь изгибные колебания. Доказывается, что существуют три типа стационарных движений, когда антенна недеформирована, а ее срединная плоскость:

1° ортогональна к радиусу орбиты;

2° ортогональна к касательной траектории центра масс;

3° совладает с плоскостью орбиты.

В п.4 на основе теорем и результатов главы 2 и п.2 главы 3 получаются достаточные условия устойчивости найденных стационарных движений по метрикам р = Р + Рг , р0 = Р1 + Р3, где

\ = К. = 0. И = ар.Я».

3

•2

(а + г)

2 2 V + >1> +

(а + г)

2

г г

+

г

+

+

а + г

(а + г)2

Достаточные условия устойчивости указанных положений равновесия записываются в виде следующих неравенств

Г

1 - з% > о I % =

ж

к к к 1 1 -ь З'У п 1

Ли = А^^Фо + Агг1п% - К - 2 Аз + зп • *)в\ > 0:

м

г Ы соз® о то

1 - 2% > О

2 1 - Зх

> шах(£

Л ): 11' 2 2"

Ы-

X =

х

.к „к 2 .4 ■ 2 1 «П,-

Л11 = 3 - \С°5 % - V" (Ро+2кЗ

бх)

1 ь2

з^ Г

зх

> О;

А + _

2 СО С05

1 - Зя > О % =

„к .к

А. > А, ; IX

»К 3 лП 1

а2 + ЖГ + А-

____> (1 + у.) .

■3 2(1 + X) 3(1 - Зх) •

Аз - А1 + гг4 А-

п 1 - Т^ пЬ ■з 2(1 + X) > 3 И +

Из них следует, что деформируемость антенны оказывает дестабилизирующее влияние на ориентацию спутника. Осевой момент инерции антенны а" сужает область устойчивости для положений равновесия 1°, 2° и расширяет для - 3°. Если размеры антенны достаточно большие и ее осевой момент инерции соизмерим с моментами инерции несущего тела с маховиками, то для стабилизации положений равновесия 1°и 2° потребуется система управления.

В п.5 рассматриваются стационарные движения типа регулярных прецессий динамически симметричного спутника-гиростата с круглой антенной. Выделены три стационарных движения. Во всех трех режимах антенна недеформирована, а ось динамической симметрии: 1° ортогональна к касательной орбиты и составляет постоянный угол

Оо*0 с нормалью е° ("коническая" прецессия); 2° ортогональна к радиусу орбиты и образует постоянный угол во*0

с нормалью е° ("гилерболокдальвая" прецессия); 3° коллинеарна нормали е° ("цилиндрическая" прецессия).

Получение достаточных условий их устойчивости проводится модифицированным подходом Рауса-Ляпунова V = я - но + Х(кэ- Кз>,

и Ляпунова-Четаева

v = н - н0 + я(к3- + \ (к3- к°)2.

Б п.6 главы 3 выводятся нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с обыкновенными и частными производными и краевые условия, которые описывают движение спутника-гиростата с двумя и одной парой деформируемых панелей в ньютоновском центральном поле сил. Панели моделируются в виде прямоугольных пластин симметрично защемленных в корпусе несущего тела. В п.? отыскиваются стационарные решения этих уравнений. Показывается, что уравнения движения спутника-гиростата с двумя парами пластин на круговой орбите допускают три, с одной парой - два семейства стационарных решений, описывающих положения равновесия в недеформированном состоянии пластин.

К первому стационарному решению относится положение равновесия, при котором срединные плоскости расположены у второй пары пластин в плоскости орбиты, у первой пары - перпендикулярно к плоскости и к радиусу орбиты.

Ко второму стационарному решении относится положение равновесия, при котором срединные плоскости пластин расположены у второй пары пластин перпендикулярно к касательной орбиты, у первой нары - перпендикулярно к радиусу орбиты.

К третьему стационарному решению относится положение равновесия, при котором срединные плоскости пластин расположены у первой пары перпендикулярно к касательной орбиты, у второй пары -в плоскости орбиты. Во всех трех положениях равновесия проекция кинетического момента маховиков на нормаль плоскости орбиты остается произвольной величиной. Главные центральные оси инерции спутника-гиростата в недеформированном состоянии пластин коллинеарвы осям орбитальной системы осей координат.

Первому классу решений уравнений движения спутника с одной парой пластин соответствует семейство положений равновесия. В вевозмуценяом движении пара пластин не деформирована, и ее срединная плоскость ортогональна к радиусу орбиты. Одна из

главных центральных осей инерции системы, ортогональная к срединной плоскости лары пластин, направлена по радиусу орбиты, а две из них лежат в плоскости касательной и бинормали к траектории движения центра масс системы, образуя постоянный угол с бинормалью.

Второму классу решений соответствует семейство положений относительного равновесия механической системы. Б невозмущенном движении пара пластин не деформирована и ее срединная плоскость ортогональна касательной к траектории центра масс. Ось, ортогональная к срединной плоскости пластин, направлена по касательной к траектории центра масс, а две из главных центральных осей лежат в плоскости главной нормали и бинормали, образуя постоянный угол с бинормалью. Вектор кинетического момента маховиков в положениях равновесия ортогонален к радиусу орбиты.

В п.п.8-10 путем введения новых переменных и интегральных характеристик, решения вариационной задачи на собственные значения для прямоугольной консольно защемленной пластины, квадратичный функционал Ляпунова сводится к квадратичной форме конечного числа переменных. Затем устанавливаются достаточные критерии его определенно-положительности по энергетической метрике. Из них следует достаточные условия устойчивости положений равновесия рассматриваемых механических систем на круговой орбите и равномерного вращения гиростата с пластинами при движении по инерции. Проводится тщательный их анализ. Показывается, что для выполнения достаточных условий устойчивости необходимо, чтобы параметры механической системы с недеформированными и "замороженными" пластинами удовлетворяли соответствующим условиям устойчивости спутника-гиростата и спутника, полученным в работах В.В.Румянцева и В.В.Белецкого. У эллипсоида инерции ось, расположенная вдоль радиуса орбиты, должна быть значительно больше оси, расположенной по касательной к траектории центра масс. Деформируемость пластин оказывает дестабилизирующее влияние на ориентацию спутнис-гиростата с панелями. Кинетические моменты маховиков расширяют область устойчивости и позволяют частично скомпенсировать дестабилизирующее влияние деформируемости пластин.

Однако может оказаться, что физические параметры,

характеризующие геометрию масс механической системы, ее размеры, жесткостные характеристики панелей, таковы, что достаточные условия не будут выполняться, Б этих случаях стабилизация положений равновесия может быть осуществлена путем создания управляющих воздействий, приложенных к корпусу и панелям,

В четвертой главе рассматриваются вопросы устойчивости и стабилизации положения относительного равновесия спутниса-гироотата с деформируемыми элементами, у которых один из характерных линейных размеров значительно больше двух других. Таковыми конструкциями являются, например, различные выдвижные штанги, применяемые для пассивной гравитационной стабилизации искусственных спутников Земли; ферменные протяженные конструкции балочного типа космических аппаратов; орбитальные тросовые системы (ОТС), некоторые проекты солнечных орбитальных электростанций, и т.п.

В п.1 четвертой главы выводятся нелинейные дифференциальные уравнения и краевые условия спутника-гиростата с тремя парами упругих стержней с точечными массами на свободных концах. Стержни консольно защемлены в корпусе гиростата и расположены симметрично вдоль главных центральных осей эллипсоида инерции, построенного для центра масс. В п.2 записывается нетривиальное частное решение уравнений движения, которое описывает относительное равновесие. В п.3 и л.4 получаются достаточные условия устойчивости и Проводится их анализ. Показывается, что пара стержней, расположенная вдоль радиуса орбиты, оказывает стабилизирующее влияние на ориентацию спутника-гиростата, а пара стержней, направленная по касательной к траектории центра масс и по нормали к плоскости орбиты - дестабилизирующее,

В п. 5 четвертой главы выводятся нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с обыкновенными и частными производными, описывающие поступательно-вращательное движение орбитальной тросовой системы (ОТС) в гравитационном поле. ОТС состоит из тела-носителя (спутника-гиростата) и присоединенного к нему на длинном весомом тросе зонда-спутника. Трос моделируется как гибкая нить, не испытывающая сопротивления на изгиб и кручение. Зонд спутник считается материальной точкой. Записываются три стационарных решения. Трос с зондом-спутником направлен вдоль радиуса орбиты, по касательной к орбите,

ортогонально к плоскости орбиты. Причем последнее решение не имеет физического смысла. Для исследования устойчивости составляется модифицированный функционал Ляпунова-Четаева из интеграла типа Якоби и условия нерастякимости нити в виде i i

V =Н-Н + 4- + 4- ГЯ. W2ás, u'2 + 2«' + «,г=0.

О 2 ■> 4 ■> О 13 23 33 33

о о

Для преобразования квадратичного функционала к квадратичной форме конечного числа переменных, как и прежде решается ряд вариационных задач на собственные значения. Найти минимум функционала

I 3 I э

O s = 1 o s — 1

n =1 /2(2ы 2 +ф 2 ) t (a+l-p ° )2 -(a+s-p °)2]

1 0 1 с 3 ' с 3

в классе непрерывно- дифференцируемых функций до второго порядка включительно в области OSsSi и удовлетворяющих граничным условиям u =u23=u33=q при s=0. Приравнивая нулю первую вариацию Ф , получим уравнение и естественное граничное условие для отыскания собственных значений и собственных функций в виде

, о Г j i a4s-p 1 /2 (20)о2 щ 2)- О -х2 +Яи=0, х=-SI— (

dx <■ •» a+t-o

j =3

du ,

u=(u ,u ), (1-х2)-;— =0.

13* 23 33 dx j x = l

Из этих уравнений имеем

1 i"

X = (2ы 2+ф 2 )р п(2п-1 ), и =р =—!---(х2-1)г, (п=1 ,2,3... )

013 n n 2V áxn

где Р - стандартизованные многочлены Лежандра. Решение а.

удовлетворяет кинематическим граничным условиям для нечетных

степеней п=1,3,5,... Вводятся новые переменные и интегральные

характеристики

i i

у = Гр sv ds, у = fp sv ds, v =u - х = р - ~r"

't3 33 ,J23Jt 3 2 3 ' 23 23 4 23 к2 3 4

a o

l l 2—1 2 T -1 p 2, ^^ 2 T -1 2 T -1

2^-1 2 T -1 p 2 , ^^ 2 -1 2 - -1 p 2 , j =-y J -hp « ds>q, г J =-y J + p V ds.

1 ^13 1 j K3 1 3 23 1 2 3 1 j r3 23

o

При выполнении неравенств

л \ы.р ог-4°>0, л ы'^О,

1 к с 3 3 2 1 20

/4ш0+ЗМк 1г (е4 /2+а1 )2 (1+е1+е1 )/(4+Зе1+Э81 )>0

функционал Ляпунова V определенно- положителен и непрерывен по метрикам р=Р4 + Р2, Р,^^* Р,, где

3 I 3 I

3 = 1 О э = 1 О

I 3 I

О в = 1 о

Из записанных достаточных условий устойчивости следует, что положение равновесия, когда трос с зондом направлен к притягивающему центру и расположен вдоль радиуса орбиты, устойчиво,

В пятой главе рассматриваются составные спутники, состоящие из нескольких абсолютно твердых несущих, носимых и деформируемых тел. К корпусу каждого тела-носителя определенным образом прикреплены деформируемые конструкции. Несущие тела связаны между собой ' обобщенными шарнирами и образуют звездообразную структуру.

В п.1 вводятся системы координат и обозначения, в п.2 и п.З выводятся явные выражения кинетической энергии составного спутника и силовой функции гравитационных сил, действующих на изучаемую сложную механическую систему. В п.4 записываются нелинейные интегро-дифференциальные уравнения с обыкновенными и частными производными, описывающие поступательно-вращательное движение составного спутника в ньютоновском центральном поле сил. Показывается, что при определенных предположениях полученные уравнения движения допускают первые интегралы энергии и площадей, а в ограниченной постановке задачи интеграл типа йсоби.

В п.5 пятой главы в качестве примера рассматривается сложная механическая система, состоящая из двух динамически симметричных гиростатов, у которых оси динамической симметрии пересекаются в обобщенном шарнире. К корпусу одного из гиростатов внутренним

контуром жестко прикреплена упругая круглая пластина и одним концом упругий стержень. Ось симметрии пластины, ортогональная к ее срединной плоскости, и продольная ось стержня с материальной точкой на свободном конце совпадает с осью динамической симметрии гиростата. Предполагается, что стержень может совершать лишь продольные колебания, а пластина осесимметричные. При этих предположениях имеет место постоянство проекций кинетических моментов подсистем на оси динамической симметрии гиростатов.

В п.6 из первых интегралов составляется функционал Ляпунова-Четаева, позволяющий выделить стационарные движения и исследовать их устойчивость.

Из необходимого условия экстремума функционала Ляпунова-Четаева получаются уравнения для нахождения стационарных движений. Приводится одно из семейств таких движений, когда оси симметрии гиростатов совпадают с нормалью к плоскости орбиты. Продольные перемещения точек стержня определяются как решение обыкновенного дифференциального уравнения при краевых условиях. В п.7 исследуется устойчивость указанного семейства стационарных движений и проводится анализ полученных достаточных условий устойчивости.

В гл. 5 диссертации изложена методика вывода дифференциальных уравнений движения составных спутников с распределенными параметрами, разработанная автором. Получены первые интегралы уравнений движения. При исследовании задач устойчивости двухсоставного спутника с упругими элементами функционал Ляпунова построен в виде связки из первых интегралов уравнений движения.

Основные положения, выносимые на защиту.

Г. Методика моделирования составных орбитальных упругих систем, рассматриваемых как сложные механические, системы с распределенными параметрами, нормализация дифференциальных уравнений движения введением новых обобщенных канонических переменных Гамильтона.

2. Теоремы об изменении родной и неполной механической энергии составных орбитальных систем с рапределенными параметрами.

3. Модифицированные и т . обобщенные способы построения функционалов Ляпунова при наличии первых интегралов и геометрических связей и новый конструктивный подход проверки их

определенно- положительности (определенно- отрицательности) и непрерывности по энергетическим метрикам.

4. Результаты исследования стационарных движений орбитальных систем с трехмерными телами, круглой антенной (пластиной), двумя и одной парой панелей солнечных батарей (пластин), тремя парами штанг (стержней) с точечными массами на концах, орбитальной тросовой системы и их устойчивости и стабилизации.

5. Результаты исследования устойчивости стационарных движений орбитальной системы, состоящей из двух динамически симметричных спутников с маховиками и упругими элементами.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Набиуллин М.К. Об устойчивости стационарных движений свободного гиростата в осесимметричных полях тяготения // Изв. АН СССР. МТТ. - 1972.- № 2. -С.- 17-26.

2. Набиуллин М.К. Устойчивость относительных равновесий спутника - гиростата в осесимметричных полях // Теория устойчивости и ее приложения . - Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1979. - С. 190-200,

3. Набиуллин М.К. Об устойчивости стационарного движения гиростата с упругими пластинами в ньютоновском центральном поле сил // Изв. АН СССР. МТТ. - 1981.- № I. - С.- 33-44.

4. Набиуллин М.К. Некоторые вопросы асимптотической устойчивости гиростата с деформируемыми стержнями // Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1981. - С. 165-179,

5. Набиуллин М.К. . Стационарные движения гиростата с деформируемыми пластинами и их устойчивость в ньютоновском центральном поле сил // Изв. АН СССР. ШТ. - 1982.- № 6. -С.- Ю- 14,

6. Матросов В.М., Набиуллин М.К. Динамика спутников и внеатмосферных астрономических обсерваторий // Современные вопросы математики и механики и приложения. - М., 1983. - С. 27.

7. Набиуллин М.К. Устойчивость положения равновесия гиростата с упругой кольцевой пластиной // Метод функций Ляпунова в

динамике нелинейных систем. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1983. -С.- II0-II9.

8. Набиуллин М.К. Об устойчивости положений равновесия и регулярных прецессий гиростата с упругой кольцевой пластиной. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983. - С. -90-105.

9. Набиуллин М.К. 0 стабилизации стационарных движений гиростата с упругими стержнями и пластинами // Шестой. всесоюз. съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докладов. - Ташкент, 1986.- С. 474.

Ю. Набиуллин М.К. Прямой метод Ляпунова в задачах устойчивости стационарных движений систем твердых и упругих тел // Метод функций Ляпунова в современной математике: Тез, докл. Всесоюз. науч. конф. - Харьков, 1986. - С.128.

11. Набиуллин М.К. Об устойчивости стационарных движений составных упругих спутников // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тез. докл.пятой всесоюз. Четаевской конф. Казань, 1987. - С. 70.

12. Набиуллин О. О стабилизации упругого космического аппарата на эллиптической орбите// Тез. докл. VI Всесоюз. конф. по управлению в механических системах. - Львов, 1988. - С. 116.

13. Набиуллин М.К. Об устойчивости регулярных прецессий составного гиростата с деформируемыми элементами на круговой орбите // Тез. докл. Всесоюз.конф. по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамики. - - Моск. авиац. ин-т. - М., 1988. - Деп. в ВИНИТИ 22.12.88, •№ 8887-В-88.

14. Набиуллин М.К. Качественное исследование стационарных решений нелинейных уравнений // Тез. докл. VII Всесоюз, конф. по качественной теории дифференциальных уравнений. -Рига, 1989. - С.166.

15. Набиуллин М.К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние.- 1990,- 217с.

16. Матросов В.И., Козлов Р.И., Сомов Е.И., Набиуллин М.К., Бутырин С.А., Симонов С.А. Метода и программное обеспечение для исследования вращательного движения деформируемых небесных тел // Тез. докл. Всесоюз. совет. "Алгоритмы и программы небесной механики" - Ленинград, 1990. - С. 26.

Ин-т теоретической астрономии АН СССР.

17. Набиуллин М.К. Об устойчивости и стабилизации стационарных движений орбитальных систем с упругостью // Седьмой всесовз. съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотация докладов. - Москва, 1991. - С. 259,

18. Набиуллин М.К. Вращательное движение и устойчивость положения равновесия орбитальной трооовой системы. // Изв. РАН. МТГ. - 1992. - If S. - С. 3-12.

19. Матросов В.М., Козлов Р.И., Набиуллин Ы.К., Сомов Е.И. Устойчивость и управление ориентацией крупногабаритных спутников U Материалы Международной конференции по крупногабаритным космическим конструкциям. - Новгород, 1993.

- С. 35-36.

20. Matrosov V.M., Kozlov R.I., iiabiullin М.К. and Somov I.I. On stability and stabilization of orbital systems oi flexible bodies //IUTAM Symposium. Dynamical problems oi rigid-elastic systems an structures. - Moscow, 1990, -P.43-45.

21. Nabiullin M.K. Stationary Motions and Stability of ilexible Satellites. Idited and with a preface by ?.M.Matrosov //Word Federation Publishers Company, INC. - WEP. INC. USA (to appear).

22. Nabiullin M.K. Stabilization of orbital systems with elasticity in the presence oi viscous and dry friction // International Aerospace Congress.Theory, Applications, Technologies. IAC'94 is dedicated to the 60 th Birth Anniversary of the First Astronaut IURY GAGARIN. Abstracts.

- Moscow, 1994. - P.461.

23. Nabiullin M.K. Stabilization of orbital systems with elasticity in the presence of viscous and dry friction // International Aerospace Congress.Theory, Applications, technologies. IAC'94 is dedicated to the 60 th Birth Anniversary of the first ' Astronaut YURY GAGARIN. Proceedings. Vol 2. - Moscow, 1995. - P.245-249.