Исследование динамической эволюции экзопланет в случае орбитальных резонансов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правшуэукописи

Теплицкая Вера Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ЭКЗОПЛАНЕТ В СЛУЧАЕ ОРБИТАЛЬНЫХ РЕЗОНАНСОВ

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005549200 I * МАИ 2014

Москва-2014

005549200

Работа выполнена на кафедре теоретической механики факультета физико-математических и естественных наук федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Российский университет дружбы народов» (РУДН).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор И.А. Мухаметзянов.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Журавлев Сергей Георгиевич, профессор кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет»

доктор физико-математических наук, профессор Косенко Иван Иванович, профессор кафедры теоретической механики ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт, национальный исследовательский университет».

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки. Вычислительный центр им. A.A. Дородницына Российской академии наук.

Защита диссертации состоится «26» июня 2014 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 в ФГБОУ ВПО Российском университете дружбы народов (РУДН) по адресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, зал № 1.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов (РУДН) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан «_» мая 2014 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.203.34

кандидат физико-математических наук, доцент

Введение. Во многих задачах математической физики и теоретической механики основные закономерности эволюции динамических систем могут быть интерпретированы на базе фундаментальной задачи трех тел. В связи с чрезвычайной сложностью задачи трех тел до настоящего времени не удается построить в конечном виде ее общий интеграл [1-4].

С неинтегрируемостью связана особенность задачи трех тел, выражающаяся в явлении динамического хаоса. Главная специфика хаотических систем состоит в том, что малое возмущение начальных условий для динамической переменной приводит за конечное время к непредсказуемости результирующего движения. Более того, по истечении так называемого времени детерминированного поведения ?сг, когда корреляционная функция реального процесса и наиболее адекватной в начальный момент времени ?о модели близка к нулю, динамический хаос (хотя бы частично предсказуемый при С< ?сг) становится шумом. С другой стороны, наличие в реальных динамических системах диссипативных факторов и связанных с ними асимптотических предельных траекторий приводит к меньшей чувствительности системы к различного рода слабым возмущениям [5]. Так, в частности, в консервативных системах движение около сепаратрисы всегда хаотическое, в то время как для диссипативных систем это утверждение оказывается неверным [6]. Несмотря на даже малые величины рассеяния энергии в гравитирующих динамических системах (например, в экзопланетных системах или кратных звездных системах при перетекании вещества при аккреции), учет диссипативных факторов может существенно отразиться на динамической эволюции компонент системы [7].

Теоретический и практический интерес в ряде случаев представляют решения задачи трех тел при наличии в системе малого параметра ц«1 (т. н. планетный вариант задачи) и существовании между интегралами движения некоторого соотношения, обусловленного рациональной соизмеримостью двух основных частот задачи (резонансом средних движений) [8,9]. Условие двухчастотного резонанса означает выполнение рациональной квазисоизмеримости частот вида: [(к+1)п - кп'\<0(^[), где /-порядок, ^-кратность резонанса; 1,к- натуральные числа; п<п' -частоты или среднесуточные движения гравитирующих тел, ц-приведенная масса [10,11]. Орбитальными резонансами связаны движения некоторых больших планет, спутников, астероидов, занептунных объектов в Солнечной системы. Обнаруженные в последнее время кратные экзопланетные системы также характеризуются орбитальными резонансами [12,13]. Так как максимальный резонансный эффект проявляется для орбитальных двухчастотных резонансов первого порядка (линдбладовских резонансов 2:1, 3:2, 4:3, ...), то получение и исследование аналитических решений планетного варианта задачи трех тел в случае линдбладовских резонансов при наличии возмущающих диссипативных факторов является весьма актуальной и практически значимой задачей [14-16].

Учитывая, что для планетного варианта задачи трех тел заметная неустойчивость в консервативной динамической системе может развиваться лишь на временах [17], то в рамках резонансной задачи трех тел

корректным является исследование эволюции динамической системы лишь на временах порядка 1/ц, когда применение строго обоснованных асимптотических методов позволяет построить аналитическое решение, интерпретирующее орбитальную эволюцию гравитирующих тел. Указанный подход (концепция частичной детерминированности) был реализован ранее в работах [18,19].

При небольших скоростях течений (рассеяния энергии) неконсервативные силы (вязкого трения) корректно моделируются диссипативной функцией Рэлея Ф — положительно определенной квадратичной формой относительно обобщенной скорости.

Общая характеристика работы Актуальность темы. В настоящее время активно реализуются проекты по поиску экзопланетных систем. В связи с этим представляет интерес критический анализ интерпретации результатов поисковых исследований, построение корректных статистических распределений экзопланетных систем с учетом эффектов селекции и обоснованной редукции вычисляемых орбитальных параметров, а также построение прогностических моделей динамической эволюции экзопланетных систем, что будет способствовать более глубокому пониманию происхождения и эволюции Солнечной системы, разрешению проблемы ее уникальности.

Актуальность исследуемой темы обусловлена и фундаментальностью проблемы теоретической астрономии, состоящей в интерпретации происхождения, эволюции динамических (в том числе, экзопланетных) систем, а также в определении роли (распространенности) орбитальных резонансных эффектов в формировании и эволюции экзопланетных систем.

Исследованию динамической эволюции экзопланетных систем посвящено значительное число работ [20-23 и др.], однако основное внимание в них уделено численным исследованиям, до сих пор не удалось получить полного аналитического описания исследуемых систем, детально исследовать влияние диссипативных факторов на орбитальную эволюцию экзопланет. Следовательно, построение в рамках концепции частичной детерминированности на базе резонансного варианта неограниченной задачи трех тел и с учетом диссипативных факторов надежной аналитической модели, позволяющей получить аналитические выражения для всех орбитальных параметров исследуемых гравитирующих тел, корректно выявить роль резонансных динамических эффектов в эволюции орбитальных параметров космических систем является актуальной задачей для современной теоретической астрономии и механики, теории динамических систем и математической физики.

Цели и задачи работы. Целью диссертационного исследования является создание аналитической модели эволюции динамических систем на базе планетного варианта задачи тех тел при учёте орбитального двухчастотного резонанса первого порядка, диссипации рэлеевского типа. Выявление влияния указанных факторов на динамическую эволюцию орбитальных элементов компонент рассматриваемых систем. Что включает решение следующих задач: 1. Создание математической модели, описывающей динамическую эволюцию экзопланетных систем, проведение качественных исследований орбитальных движений исследуемых тел и получение явных аналитических выражений для орбитальных элементов гравитирующих тел; 2. На основе разработанной аналитической теории и в рамках области её корректности моделирование орбитальной эволюции избранных экзопланетных систем.

Методы исследования. Используются асимптотические методы теории возмущений, а также теория эллиптических функций, качественные методы исследований, общие методы нелинейного и функционального анализов, аппарат канонических преобразований.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработан теоретический аппарат, представляющий самостоятельный интерес в теории динамических систем. Полученные аналитические решения и результаты качественных исследований способствуют более глубокому пониманию процессов, лежащих в основе формирования и динамической эволюции экзопланетных систем. Установленные аналитические решения могут быть использованы при построении промежуточной орбиты в численно-аналитических теориях движения космических систем при наличии диссипации и двухчастотных орбитальных резонансов. Практическая значимость работы обусловлена построением прогностических моделей динамической эволюции экзопланетных систем, а также их корректных статистических распределений. Полученные теоретические результаты работы могут найти приложение и при исследовании орбитальной эволюции объектов Солнечной системы (спутниковых систем).

Основные научные результаты, полученные в работе:

1. В случае рэлеевской диссипации для двухчастотных орбитальных резонансов первого порядка в рамках планетного варианта задачи трёх тел получено аналитическое решение в функциях Вейерштрасса, интерпретирующее эволюцию орбитальных элементов исследуемых гравитирующих тел (материальных точек). Получены частные решения для случая «вырождения резонанса», когда за счёт внешних возмущений резонансное слагаемое нелинейно уменьшается с течением времени.

2. Проведены качественные исследования эволюции орбитальных элементов гравитирующих тел, в том числе: получены и исследованы стационарные решения для орбитальных элементов, их устойчивость по Ляпунову; проведена

классификация фазовых траекторий исследуемой динамической системы; оценены вероятности переходов траекторий из различных областей фазовой плоскости динамической системы, оценена возможность захватов в резонанс при различных начальных конфигурациях гравитирующих тел; получены некоторые качественные оценки стохастического слоя, обусловленного диссипацией рэлеевского типа; получены аналитические выражения для основных эволюционных характеристик орбитальных элементов гравитирующих тел системы: девиация элементов орбит, основные периоды вариации, скорости движений линии узлов и линии апсид. Оценено влияние диссипации рэлеевского типа на величины орбитальных параметров исследуемых тел; показано, что в случае «вырождения резонанса» наблюдается бифуркация решений, а стационарные решения приобретают наиболее универсальный - симметричный вид;

3. Для избранных экзопланетных систем на основе полученных аналитических результатов построены прогностические модели их орбитальной эволюции. Получены также корректные распределения (гистограммы) экзопланетных систем по их орбитальным параметрам (большим полуосям, эксцентриситетам) и физическим характеристикам (массе, спектральному классу).

Достоверность полученных результатов обусловлена корректностью применяемых аналитических и качественных методов исследований, обоснованной областью применения моделей. Кроме того, результаты, полученные в работе, основывались на аналитической модели, зарекомендовавшей себя в предельном случае (при отсутствии диссипации) при интерпретации динамической эволюции различных небесно-механических объектов Солнечной системы [17-19]. Достоверность и обоснованность полученных результатов проверялась также их сопоставлением с аналитическими и численными исследованиями других авторов.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Современные проблемы астрономии" (Украина, Одесса, 2007 г.), международной научной конференции "100 лет Тунгусскому феномену: прошлое, настоящее, будущее" (Москва, 2008 г.), Ломоносовских чтениях (Москва, ГАИШ МГУ, 2008 г. и 2009 г.), международной научной конференции "Луна, спутники и планеты: поисковые исследования и сравнения" (Казань, 2009 г.), научной конференции "Астрономия в эпоху информационного взрыва: результаты и проблемы" (Москва, ГАИТИ МГУ, 2012 г.), на семинаре кафедры теоретической механики РУДН "Математическое моделирование процессов динамики" (Москва, 2014).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 5 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 148 страниц, включая 19 рисунков, 7 таблиц и библиографию из 148 наименований.

Содержание работы

Во введении приведен краткий обзор рассматриваемой проблемы, обоснована актуальность темы и достоверность полученных результатов, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна, методы исследования, указана теоретическая и практическая ценность работы, приведены основные результаты работы и форумы, на которых производилась их апробация, а также краткое содержание работы и положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена описанию математической модели задачи. Приводится краткий обзор современного состояния проблемы. Получены уравнения задачи в канонической форме.

В разделе 1.1 рассматривается критерий двухчастотного орбитального резонанса, при котором в начальный момент времени ^ средние движения л; гравитирующих тел Р1 {/=1,2) удовлетворяют неравенству \кп1 - (к+1)п2\ < (~^1л)0[1] [11]. Приведен краткий обзор работ, в которых рассматриваются различные оценки величин резонансных зон, а также интерпретированы понятия кратности и порядка резонанса. Приводится также обоснование максимальной амплитуды эффекта при резонансе первого порядка.

В разделе 1.2 вводится математическая модель диссипации рэлеевского типа, предполагающая, что неконсервативные силы моделируются диссипативной функцией Рэлея Ф - положительно определенной квадратичной формой относительно обобщенной скорости я: Ф = г7"(с|), в которой v=const > 0 (случай рассеяния энергии; в диссертационной работе рассматривается и более общий случай, когда у=у(У).

В разделе 1.3 приводится описание случая вырождения резонанса, когда за счёт внешних возмущений резонансное слагаемое нелинейно уменьшается с течением времени. Для сопоставления рассматривается также модель идеального резонанса.

В разделе 1.4 из общего уравнения движения в динамической

(¡(дЬЛ дЬ 5Ф

неконсервативнои системе: —I — I- — = -—, с помощью преобразования

Лежандра и последующего выбора специального вида переменных получены

„ , дН' ф" дИ'

уравнения задачи в канонической форме: ~ж=~др~' С

гамильтонианом Н*(ц*,р',0 = ).0)Н(ц',р'А({)), где р*=рХ(У, К(0= Хо ехр(уу.

В случае планетного варианта задачи трех тел масса одного из тел {Ро),

которую целесообразно принять за единицу масс, существенно больше масс двух других (Я/ и Р2). В этом случае можно ввести малый параметр (i, и массы Pi и Р2 будут представимы в виде т¡=а t |i, т2= агЦ, где ai и аг действительные величины порядка 0[1]. При этом гамильтониан Н (<\ , р , t) = ).(t)H(q , р /\(t)) в якобиевой системе координат в переменных Делоне будет иметь вид [19]: Я = Нц+R, где

н

УI , Г 2

о.' a'fl + ua.) „ ...

1 + рог, 1 + ¿((а, +ОГ,)

Д-'-^-со stf

Р2 _

расстояние между Р/ и Р^, =|РоР/| (/—1,2), Н - А{гт,г^). Единица времени

выбирается так, чтобы гравитационная постоянная обращалась в единицу.

После введения, для устранения явной зависимости гамильтониана Я* от времени /, канонически сопряженных переменных q'=X(t), р~ получим искомый гамильтониан задачи: Р = H'(q',p',q*)+vq'p".

Вторая глава посвящена получению в случае рэлеевской диссипации для двухчастотных орбитальных резонансов первого порядка аналитического решения в функциях Вейерштрасса.

В разделе 2.1 в канонической форме получены эволюционные уравнения исследуемого неограниченного варианта задачи трех тел путем исключения короткопериодических слагаемых на основании асимптотического метода Цейпеля [19]. При этом гамильтониан задачи представим в виде: Р = +я1 \рВ +Л, +А2р1 +й30(е,Ф„со5(АЧ4 + сов^ +?,))].

Затем исходную каноническую систему удается свести к системе с четырьмя

сВ, дР с/у, д¥ ,. —

степенями свободы вида —- =—, =--(( = 1,4), с гамильтонианом

Л ду, Л дх,

р=х](л[ + А2уз + со5(.г, + кх3) + М2^2у2 соб(х2 + кх3))+х4\у,.

В разделе 2.2 после осуществления ряда канонических преобразований

система ^ = = (/ = П4), относительно новых переменных 4/0 и

Л ду, Л дх,

7=1,2, сводится к канонической системе с двумя степенями свободы = ~Г = "1г"' (/=1'2>> Г = +п1? +СМ1 +,П) + С2{2+С1 ] + у(|,)ч1{1, где

с/Г 8г1/ Л

С г- С4 -известные коэффициенты.

Так как =А(/) = Л0 ехр(1'(*-/„)), А0 =солл/. а переменная ^¡(1) при известных

функциях & (У и является решением линейного дифференциального

уравнения первого порядка, то интегрирование системы с двумя степенями свободы формально сводится к интегрированию неавтономной канонической

системы с одной степенью свободы = = -'И— с гамильтонианом

М ?г,: л

?' = с,|,'[((с, / 2)+¡1 + +с2г2 ] -

Если далее от переменной / перейти к новой переменной г = С3|^,3<Л, при у=

с я3

const, т = ~—exp[3v(t-ta)], то интегрирование последней системы относительно 3v

переменной г осуществляется аналогично случаю v-О, приведенному в работе

[19]: = . = Здесь F = (£2 +r]\f +C,(f22 + vl) + C2£2. ax ari2 dr

В разделе 2.3 для переменных & и rj2 в р - функциях Вейерштрасса получены явные выражения:^ = (\12а^)[р(т + w) + p(t-w)-a2\ ц2 = (»/2д, )[р(г + и1)-»»•)], i2 = -1, в которых инварианты р - функции Вейерштрасса определяются в виде£; =3а]-4а,о,, g, = 2а,а2аг'а;ага'2. Здесь (|2: + ;;2:)2 + C,(i22 + г;2)+С2£2 = -и, является интегральной постоянной а/=2Сг, а2=(2/3)(4и-С ¡2), aj=-C/Q, а4=-С2, a интегральная постоянная w однозначно определяется из соотношений: p(2w) = a2/2, p'(2w) = -ia[ /2 (¡2=-i).

В разделе 2.4 в явном виде получены аналитические выражения, описывающие эволюцию следующих элементов орбит исследуемых гравитирующих тел: больших полуосей, эксцентриситетов, взаимного утла наклона, долгот линии узлов и аргументов перицентров орбит Pj (/= 1,2) [25].

В разделе 2.5 получены частные и асимптотические решения в случае нелинейного уменьшения амплитуды резонансного слагаемого С2с,2- Случай «вырождения резонанса» представляет интерес при описании начального этапа зарождения резонанса в системе, при наличии нестационарных процессов, например, связанных с аккрецией газа или протопланетного вещества на центральную звезду. Были получены различные асимптотические решения в параметрическом виде, выражающиеся, в частности, через соответствующие функции Бесселя. Также было проведено обобщение на случай непостоянства коэффициента пропорциональности v=v(t) диссипативной функции.

В разделе 2.6 приведен краткий обзор численных и численно - аналитических исследований динамических систем с сопоставимыми, рассматриваемым в диссертационной работе, гамильтонианами. Обосновывается вывод о предпочтительности разработанной в диссертационной работе аналитической теории.

В третьей главе проведены качественные исследования эволюции орбитальных элементов гравитирующих тел.

В разделе 3.1 получены и исследованы стационарные решения, их устойчивость по Ляпунову. Стационарные решения канонической системы с гамильтонианом F = {£} +r/$)2 +Ct (£2 + 77*) + С2<*2 определяются системой алгебраических уравнений: 4£2 + 2С,£2 + С, = 0, q2 = 0. Число действительных корней первого уравнения данной системы обуславливается знаком величины дискриминанта £>=£С/+27С/. Если D>0, то существует единственный действительный корень &(3>, D<0 будет три корня £2(^>0> t;2i3) (при D=0

два из них %2(1> и i/2> будут равны между собой). Стационарные точки (¿/^,0) являются устойчивыми по Ляпунову (эллиптические точки типа центра),

а 0) - неустойчивая стационарная точка (гиперболическая точка) [25]. В случае Б=0 решение (£/5/,,0) будет соответствовать устойчивой стационарной точке, а (¿/''^О)- неустойчивой (гиперболического типа). При С/>-(3/2)С/3 стационарная точка [¿¿3>, 0) будет являться устойчивым центром.

В явном виде были получены аналитические выражения для стационарных значений эксцентриситетов, больших полуосей и угла взаимного наклона, долгот линии узлов и аргументов перицентров орбит экзопланет.

В случае вырождения резонанса при >°о, то есть когда у/>>/, стационарными точками будут также г)2=0, и если С]<0, то стационарные решения еще будут определяться уравнением с/+>//=-С/2. Стационарное решение 1/£, =0, ¿¡1+г)1 = —С, / 2 оказывается устойчивым по Ляпунову (типа устойчивого центра), а само решение + ц] = -С, /2 является предельной траекторией при т—»от. Для тривиальной стационарной точки =£2 =г/2 =0, равно и как в случае С/> 0, из линеаризованных уравнений также следует устойчивость этой стационарной точки (эллиптическая точка).

В разделе 3.2 приведена классификация типов решений, установление которой сводится к исследованию дискриминанта с/ характеристического уравнения 4 р'^з р^з=0, в котором gз - действительные инварианты р -функции Вейерштрасса. Показано, что в зависимости от знака дискриминанта и значения интегральной постоянной и существуют четыре типа фазовых траекторий, каждому из которых соответствуют определенные значения

Тип траектории и С1

I -00 <и<111 ¿е а с,>с,'

II и2<и<111 1ва +¿3 с,>а

III 111<11<113 ¡еЗ С,>С,'

IV -оо<г/<г/| 183 с,<сг

Таблица 1. Классификация фазовых траекторий. С/ =(-3/2)С2

При С,<С,' (IV тип) все траектории на фазовой плоскости ц2 имеют ограниченные движения и обладают орбитальной устойчивостью. При С/>С/ устойчивость имеют траектории, не проходящие через неустойчивую точку {с/", 0), то есть траектории, не совпадающие с двумя ветвями сепаратрисы. При С/=С/* область, соответствующая II типу траекторий, вырождается (стягивается) в неустойчивую точку 0).

Наличие нестационарных возмущений в общем случае приводит к разрушению сепаратрисы и к образованию стохастического слоя, ширина которого зависит от амплитуды и характера возмущений [5]. Однако исследованная модель двухчастотного линдбладовского резонанса для планет с массой порядка массы Юпитера остается корректной для кратностей к<3.

Стохастическая неустойчивость, связанная с «перекрытием резонансов», в этом случае не возникает.

В разделе 3.3 оценены вероятности переходов между различными областями фазовой плоскости.

Вероятности переходов W-,j (i,j=1,2,3; ¡ф]) траекторий из различных областей фазовой плоскости в другие, в том числе вероятность захвата в резонанс (в либрационную зону III), определяются выражениями [17]:

Wu= [2 (-1/ K/(4-j) + 0-3) TC/2J / [(-1/ж/2 - к], W,rl/Wij: i=l,2; j=2,3 (Щ), в которых А = е,у/, + aresinе2, f =С2!4, g =-Ci/4, v,=f'gl{fg). y/;>=(27//16gJ),

^ + arccos|l-i//2| 3

1

El = — 2 2

Знак штрих означает

производную по возмущающему параметру 8 (или параметрам), от которого зависят/,

При у/2>2 на фазовой плоскости существует лишь один тип движения. Если у/, > 0 (когда изменения / и § происходят в одном направлении, а g>0) уход фазовой траектории из резонансной (либрационной) зоны оказывается более вероятен во внешнюю (I), нежели во внутреннюю (II) зону. В случае когда g=coI¡sts,/ =уаг, переходы траекторий на фазовой плоскости из резонансной зоны во внешнюю или во внутреннюю становятся равновероятными, при этом захват в резонанс невозможен.

В разделе 3.4. Рассмотрено влияние нестационарных возмущений, описываемых функцией Рэлея, явно зависящей от переменной времени, на изменение энергии исследуемой динамической системы. Вблизи двух ветвей сепаратрисы, разграничивающей области траекторий различных типов движений на фазовой плоскости исследуемой системы, были получены аналитические выражения для вариации энергии 6Е рассматриваемой системы. В результате удалось получить оценку ширины стохастического слоя, обусловленного наличием рэлеевской диссипации. Она оказалась пропорциональной степенной функции малого параметра нестационарных возмущений. С ростом кратности орбитального резонанса, как и при увеличении амплитуды диссипативной функции Рэлея, ширина стохастического слоя вблизи невозмущенной сепаратрисы увеличивается.

Принципиальное отличие полученного результата от работы [26], посвященной случаю коорбитального резонанса 1:1, связано с тем, что в [26] не исследовались эволюционные уравнения задачи, а появление стохастического слоя было обусловлено массовым параметром задачи, так что при массовом параметре, отличном от нуля, динамическая система оказывалась неинтегрируемой.

В разделе 3.5 приведены аналитические выражения для экстремальных значений и для девиации орбитальных элементов гравитирующих тел, а также для основных периодов изменения орбитальных параметров. Представлены

соответствующие выражения и для стационарных значений орбитальных элементов, и для эволюционных элементов орбит гравитирующих тел.

В спектрах частот, характеризующих вариации больших полуосей, эксцентриситетов и угла взаимного наклона орбит исследуемых движений тел Р] (/=1,2), можно выделить два основных периода Г/ и Тг, один из которых является действительным периодом р- функции Вейерштрасса.

Вековое изменение линии узлов 4£2 за период т=2пт определится выражением = +с,/2-4С,гзм/й0)]|- Аргументы перицентров су,- орбит Pj (/'=1,2), хотя

и содержат периодическую составляющую с периодом х=2ш, в общем случае также имеют апериодический характер. В зависимости от начальных условий движения линии апсид орбит Р, (/—1,2) могут быть как прямыми, так и обратными.

В четвертой главе проведено моделирование динамической эволюции избранных экзопланетных систем. Приведен краткий обзор исследований экзопланетных систем.

В Солнечной системе динамические параметры исследуемых объектов измеряются в соответствующих масштабных единицах Земли и Солнца, но «солнечно-земные» параметры априори не являются адаптированными (внутренне-согласованными) для произвольных экзопланетных систем, так как не учитывают их иерархию — доминирующую роль центральной звезды при эволюции планетной системы [27]. Самосогласованную нормировку следует применять и для экзопланетных систем.

В разделе 4.1 получены корректные распределения экзопланетных систем по большим полуосям, эксцентриситетам массе, спектральному классу звезды. Для каждого статистического распределения был вычислен коэффициент корреляции между соответствующими значениями параметров в самосогласованной и не адаптированной системах единиц. Расхождения между одноименными значениями в разных системах единиц оказываются существенными при коэффициенте корреляции меньшим 0.97. Как и ожидалось, коэффициенты корреляции по выборкам для фиксированных спектральных классов звезд существенно выше, чем для всей выборки.

В разделе 4.2 разработанная аналитическая модель применяется к избранным кандидатам в экзопланетные системы. 32 экзопланетные системы были выбраны по следующим критериям: 1) выполнение резонансного соотношения; 2) преимущественно малые значения больших полуосей орбит; 3) малые эксцентриситеты и малые углы взаимных наклонов орбит экзопланет. Для каждой системы были вычислены все интегральные постоянные, являющиеся параметрами разработанной аналитической модели. Наряду с параметром массы нормированными величинами масс а/ а^, диссипативным фактором V, при фиксированных кратностях к, параметрами модели являются интегральные

постоянные С, С/, С2, С}, у, и, «о, од, Ою, qio-

Установлено, что уравнение определяющее множество

катастроф К, в переменных С/ и С2 характеризуется локальной геометрической структурой типа сборки Уитни. Вариация параметров С/ и С2>0 может приводить к потере устойчивости рассматриваемых решений. Большинство из приводимых экзопланетных систем характеризуется бифуркационной устойчивостью с учетом как неопределенности интегральных постоянных, так и воздействия диссипативных факторов (v#0).

В разделе 4.3 для избранных экзопланетных систем вычислены стационарные значения орбитальных элементов, получены экстремальные значения девиаций стационарных орбит, а также построены соответствующие фазовые траектории и оценены вероятности переходов межу различными зонами фазовой плоскости. Большинство из избранных систем характеризуется тремя стационарными решениями (орбитами). Эксцентриситеты стационарных орбит характеризуются существенными вариациями. При наличии диссипации (v^O) максимальные значения больших полуосей стационарных орбит уменьшаются. Максимальные значения эксцентриситетов стационарных орбит не обнаруживают статистически значимой корреляции с изменением диссипативного фактора v.

На примере системы 24 Sex b,c исследовано влияние вырождения резонанса. Показано, что с ростом т (при приближении к стационарному решению) III тип траекторий, которым изначально характеризуется данная система, вырождается.

В разделе 4.4 на основе теории, разработанной во второй главе, для избранных экзопланетных систем вычислены основные эволюционные характеристики орбитальных элементов, включая экстремальные значения, девиацию элементов орбит, основные периоды Tt и Тг вариации орбитальных параметров, скорости движений линии узлов и линии апсид, а также оценено влияние диссипации рэлеевского типа на величины орбитальных элементов исследуемых экзопланетных систем. Значения этих величин для некоторых систем приведены в таблицах 2 и 3.____

Экзопланетная система Да.хЛт) Да,хГ(т) Де, J<r AcS

v=0 v-v„ v=0 v=v0 v-0 V=Vo

KOI-872 b KOI-872 с 0.000003 0.000097 0.000003 0.000090 0.00423903 0.07843793 0.007721 0.078241 4.58984E-05 0.000040534

Kepler-23 b Kepler-23 с 0.001265 0.000645 0.001485 0.000757 0.09643216 0.03064769 0.0953 0.030288 1.00002E-05 9.7668E-06

Kepler-24 b Kepler-24 с 0.000559 0.000963 0.000636 0.001096 0.05544324 0.05940601 0.054375 0.058262 1.23167E-06 1.18468E-06

Таблица 2. Вариации больших полуосей (средневзвешенных), эксцентриситетов и угла взаимного наклона орбит избранных экзопланет при диссипативном факторе, равном нулю и у0=0,1ц.

Экзопланетная T, T2 T, T-. ДП AQ ra'i w'i

система v=0 V=V0 v=0 v=v0 v=0 v=v„

KOI-872 b KOI-872 с 362.8903 126.8631 338.3271 113.3754 0.117569 0.111127 0.001808 0.021237 0.001808 0.021237

Kepler-23 b 254.114 131.8396 252.2767 129.9102 0.175103 0.173825

Кер1ег-23 с

Кер1ег-24 Ь Кер1ег-24 с 191.9152 95.52267 189.5684 93.19427 0.15346 0.151592

Таблица 3. Основные периоды, вековое изменение линии узлов ДО, = &П2 за период т=2ст и скорости

движения линии апсид орбит избранных экзопланет при диссипативном факторе, равном нулю и у0=0, 1ц.

Сопоставление полученных результатов с данными, основанными на численном интегрировании (на сопоставимых интервалах времени), показало преимущество аналитической модели в интерпретации основных эволюционных характеристик экзопланетных систем. Учет влияния рэлеевской диссипации позволил более корректно исследовать эволюцию орбитальных элементов резонансных экзопланетных систем, близко расположенных к центральной звезде.

В заключительном разделе главы 4 приведено сопоставление исследуемых экзопланетных систем с планетами Солнечной системы. Значительное число обнаруживаемых экзопланетных систем отличается от планет Солнечной системы тем, что массивные экзопланеты находятся вблизи звезд. Но подобная конфигурация не прослеживается даже в спутниковых системах планет-гигантов Солнечной системы. В то же орбитальные резонансы распространены не только в Солнечной системе, но и в других звездных системах [13]. В целом, современные данные по экзопланетным системам свидетельствуют не о том, что Солнечная система уникальна, а о том, что планетные системы могут быть весьма разнообразными.

В заключении приведены основные результаты работы.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построение аналитической теории орбитальной эволюции двухчастотных динамических систем при резонансе первого порядка в случае рэлеевской диссипации, включающей: а) получение аналитического решения, интерпретирующего эволюцию всех орбитальных элементов исследуемых гравитирующих тел; б) получение частных решений для случая «вырождения резонанса»; в) классификацию полученных типов решений, нахождение стационарных решений для орбитальных элементов, их устойчивости, а также аналитические выражения для основных эволюционных характеристик орбитальных элементов гравитирующих тел системы: девиация элементов орбит, основные периоды вариации, скорости движений линии узлов и линии апсид; г) оценку вероятностей переходов траекторий из различных областей фазовой плоскости динамической системы и возможности захватов в резонанс при различных начальных конфигурациях гравитирующих тел; д) некоторые качественные оценки стохастического слоя, обусловленного диссипацией рэлеевского типа;

2. Практическое приложение разработанной теории к избранным

экзопланетным системам, позволившее: а) построить прогностические модели орбитальной эволюции избранных экзопланетных систем и выявить роль резонансных эффектов в орбитальной эволюции экзопланет; б) оценить влияние диссипации рэлеевского типа на величины орбитальных параметров исследуемых экзопланетных систем; в) построить с учетом доминирующей роли центральной звезды корректные распределения экзопланетных систем по их орбитальным параметрам и физическим характеристикам.

Научная новизна работы состоит в том, что все перечисленные результаты, выносимые на защиту, впервые получены автором.

Личный вклад автора и публикации по теме диссертационной работы

Основные результаты по теме диссертационной работы опубликованы в следующих работах:

1. About influence of orbital dynamic resonances for peculiarity of statistical arrangement of asteroids and comets. Odessa Astronomical Publications Vol. 20, 2007, P. 90-93. http://www.astro-observ.odessa.ua/index.php?go=Content&id=50 (соавтор Б.P. Мушаилов);

2. О роли резонансных объектов в статистических распределениях кентавров и занептунных объектов. Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. 2010. №1. С. 59-64 (соавтор Б.Р. Мушаилов);

3. О корректных статистических распределениях экзопланет по их динамическим параметрам. Космические исследования. 2010. Т. 48. С. 380-384 (соавторы Б.Р. Мушаилов, Л.М. Ивановская);

4. О надёжности определения .орбитальных параметров экзопланет доплеровским методом. Космич. исслед. 2012. Т.50. №6. С. 452-461 (соавтор Б.Р. Мушаилов);

5. Качественные исследования эволюции орбитальных элементов в планетном резонансном варианте задачи трех тел в случае рэлеевской диссипации. Космич. исслед.. 2013, Т. 51, № 5. С. 402-411. (соавтор Б.Р. Мушаилов);

В работах [4,5] личный вклад автора заключается в получении аналитических результатов, их интерпретации и проведении численных расчетов. В статьях [13] автору принадлежит разработка и реализация алгоритма вычислений.

Список цитируемой литературы

1. Painlevé Р. //Bull. Astron. 1898. V. XV. P. 82.

2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ. 1985. Т.З. С. 5-304.

3. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды. М.: Наука. 1971-72. Т. 1,2.771 е.; 801 с.

4. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Эдит. УРСС. 2001. 320 с.

5. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука. 1991. 240 с.

6. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир. 1984. 528 с.

7. BatyginK., Morbidelli A //arXiv: 1204.2791 v2 [astro-ph.EP] 22 Aug 2012.

8. Гребенников E.A., Митропольский Ю.А. Рябов Ю.А. Ведение в резонансную аналитическую динамику. М.: Янус-К. 1999. 320с.

9. Журавлев С.Г. Орбитальное движение Метод исследования острорезонансных задач небесной механики и космодинамики. Т. 1. Архангельск: ГП «Солти». 2000. 307 с.

10. Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. Некоторые вопросы динамической эволюции малых тел Солнечной системы. М.: Препринт МО ГАИШ. 1992. 27. 19 с.

11. Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. //Космич. исслед. 1995. Т. 33. № 1. С. 109.

12. Michtchenko Т., Ferraz-MeUo S., Beauge С. //arXiv:l 112.1208vl[astro-ph.EP] (2011).

13. Schneider J. //http://spacetimes.ru/exoplanets (2012).

14. Бардин Б.С., Чекин A.M. //ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 353.

15. Маркеев А.П. //ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 757.

16. Холостова О.В. //ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 5. С. 789.

17. Мушаилов Б.Р., Герасимов И.А. //Астрон. вест. 1996. Т.30. №4. С. 355.

18. Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. //Астрон. вестн. 1995. Т.29. №1. С. 67.

19. Мушаилов Б.Р. //Астрон. вестн. 1995. Т.29. № 4. С. 375.

20. Емельяненко В.В. //Астрон. вестн. 2012. Т.46. №5. С.347.

21. Papaloizou J., Szuszkiewicz Е. IIEAS Publications Ser. 2010. V. 42. P. 333.

22. Beaug'e С., Ferraz-Mello S. and Michtchenko, Т., //Astroph. J. 2003. V. 593, P.l 124.

23. Callegari Jr., N.. Michtchenko Т., Ferraz-Mello S. //Cel. Mech. & Dynam. Astron. 2004. V.89. P. 201.

24. Герасимов H.A., Myuiaunoe Б.Р. //Астрон. вестн. 1995. Т.29. №1. С.58.

25. Мушаилов Б.Р., Теплицкая B.C. //Космич. исслед. 2013, Т. 51, № 5. С. 402.

26. Wisdom J. //Astron. J. 1980. V.85. P. 1122.

27. Гребеников E.A., Земцова Н.И. //Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. Изд-во ВЦ РАН, 2012. С. 72.

28. Ida S„ Lin D. //Astroph. J. 2004. V.604. P. 388.

29. Сафронов В. С., Витязев А. В. Происхождение Солнечной системы. Итоги науки и техники. Астрономия. М.: ВИНИТИ. 1983. Т. 24. С.5-93.

30. Энеев Т. М„ КозловН. Н. //Астрон. вестн. 1981. Т. 15. № 2. С. 80-94; № 3. С.131.

31. Marois С., Macintosh В., Barman Т. et al. //Science. 2008. V. 322. P. 1348.

АННОТАЦИЯ

Теплицкая B.C.

Исследование динамической эволюции экзопланет в случае орбитальных

резонансов

В рамках планетного варианта задачи трёх тел при учете рэлеевской диссипации и двухчастотных орбитальных резонансов первого порядка получено аналитическое решение в функциях Вейерштрасса, интерпретирующее эволюцию всех орбитальных элементов системы. Проведены качественные исследования эволюции орбитальных элементов гравитирующих тел. Оценено влияние диссипации рэлеевского типа на величины орбитальных параметров исследуемых тел динамической системы. Аналитичесие результаты применены в рамках моделирования динамической эволюции избранных экзопланетных систем.

ABSTRACT

Teplitskaya V.S.

Research the dynamical evolution of exoplanet systems in the presence of orbital

resonances

Planetary version of three-body problem given with Rayleigh dissipation and the first order of dual-frequency mean motion resonances is considered. The analytical solution, that interprets the evolution of the orbital elements, is obtained in the Weierstrass function. A qualitative study of the evolution of the orbital elements of gravitating bodies was conducted. The Rayleigh type dissipation's influence on the orbital parameters of the dynamical system is estimated. Analytical results are applied for simulation dynamic evolution of selected exoplanet systems.

Подписано в печать: 23.04.14

Объем: 1,0 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 228 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинский проспект, д.2 (495) 978-66-63, www.reglet.ru

Федеральное Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

04201458659

ТЕПЛИЦКАЯ ВЕРА СЕРГЕЕВНА

УДК 521.1

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ЭКЗОПЛАНЕТ В СЛУЧАЕ ОРБИТАЛЬНЫХ РЕЗОНАНСОВ

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

И.А. Мухаметзянов

Москва-2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение......................................................................................4

Глава 1. Математическая модель задачи...............................................17

1.1. Орбитальный двухчастотный резонанс в задаче трёх тел.................18

1.2. Диссипация рэлеевского типа...................................................22

1.3. Случай вырождения резонанса..................................................24

1.4. Уравнения задачи..................................................................27

Глава 2. Аналитическое решение........................................................30

2.1. Эволюционные уравнения задачи (исключение

короткопериодических слагаемых)....................:...........................30

2.2. Канонические преобразования..................................................32

2.3. Решения в функциях Вейерштрасса............................................35

2.4. Аналитические выражения для элементов орбит...........................39

2.5. Решения в случае вырождения резонанса.....................................41

2.6. Сопоставление с результатами численного интегрирования..............55

Глава 3. Качественные исследования...................................................57

3.1. Стационарные решения и их устойчивость...................................58

3.2. Классификация типов решений.................................................62

3.3. Оценка вероятностей «захватов и уходов» из ,

орбитальных резонансов...............................................................65

3.4. Параметры стохастического слоя (критерии возникновения динамического хаоса)..................................................................67

3.5. Вариации элементов орбит......................................................80

Глава 4. Моделирование динамической эволюции избранных

экзопланетных систем........................................:............................89

4.1. Статистические распределения.................................................99

4.2. Интегральные постоянные....................................................105

4.3. Прогностические сценарии эволюции.......................................113

4.4. Эволюционные характеристики элементов орбит.........................120

4.5. Сопоставление с планетами Солнечной системы.........................127

Заключение.................................................................................130

Литература..................................................................................133

Введение

Во многих задачах математической физики и теоретической механики основные закономерности эволюции динамических систем могут быть интерпретированы на базе фундаментальной задачи трех тел. Однако классическая задача трех тел, в которой учитываются лишь гравитационные эффекты взаимодействий, в известной степени, представляет собой идеализированный - вырожденный случай. Тем не менее, в связи с чрезвычайной сложностью задачи трех тел до настоящего времени не удается построить в конечном виде ее общий интеграл [1-4].

С неинтегрируемостью связана особенность задачи трех тел, выражающаяся в явлении динамического хаоса, обусловленного существованием специфической локальной неустойчивости относительно малых возмущений орбит системы, когда траектории системы могут представлять собой реализацию случайных временных процессов, несмотря на то, что в системе непосредственно отсутствуют какие-либо внешние случайные силы (воздействия) [5,6]. Главная специфика хаотических систем состоит в том, что малое возмущение начальных условий для динамической переменной приводит за конечное время к непредсказуемости результирующего движения. Более того, по истечении так называемого времени детерминированного поведения tcr, когда корреляционная функция реального процесса и наиболее адекватной в начальный момент времени модели близка к нулю, динамический хаос (хотя бы частично предсказуемый при ёсг) становится шумом, т.е. процессом для которого не имеется предсказательной модели [7,8].

С другой стороны, наличие в реальных динамических системах диссипативных факторов и связанных с ними асимптотических предельных траекторий приводит к меньшей чувствительности системы к различного рода

слабым возмущениям [9]. Так, в частности, в консервативных системах движение около сепаратрисы всегда хаотическое, в то время как для диссипативных систем это утверждение оказывается неверным [10]. Несмотря на даже малые априори величины рассеяния энергии в гравитирующих динамических системах (например, в экзопланетных системах или кратных звездных системах при перетекании вещества при аккреции), учет диссипативных факторов может существенно отразиться на динамической эволюции "гравитационно активных" компонент системы [11].

Теоретический и практический интерес в ряде случаев представляют решения задачи трех тел при наличии в системе малого параметра ц (так называемый планетный вариант задачи) и существовании между интегралами движения некоторого соотношения, обусловленного рациональной соизмеримостью двух основных частот задачи. В ряде случаев резонансные эффекты могут приводить к устойчивым орбитальным движениям. Условие двухчастотного резонанса означает выполнение рациональной квазисоизмеримости частот вида: [(к+1)п -кп 1<0( ^[¡й), где /-порядок, к-кратность резонанса; 1,к- натуральные числа; п<п' -частоты или среднесуточные движения гравитирующих тел, //-приведенная масса [12,13]. В космических системах орбитальными резонансами связаны движения некоторых больших планет, спутников, астероидов, занептунных объектов в Солнечной системы. Обнаруженные в последнее время кратные экзопланетные системы также характеризуются орбитальными резонансами [14,15].

Так как максимальный резонансный эффект проявляется для орбитальных двухчастотных резонансов первого порядка (линдбладовских резонансов 2:1, 3:2, 4:3, ...), то получение и исследование аналитических решений планетного ограниченного и неограниченного вариантов задачи трех тел в случае

линдбладовских резонансов при наличии возмущающих диссипативных факторов является весьма актуальной и практически значимой задачей [16,17,18], в том числе и при исследовании экзопланетных систем.

Учитывая, что для планетного варианта задачи трех тел заметная неустойчивость в консервативной динамической системе может развиваться лишь на временах ¿»[Г1 [6,7], то в рамках резонансной задачи трех тел корректным является исследование эволюции динамической системы лишь на временах порядка 1/ц, когда применение строго обоснованных асимптотических методов позволяет построить аналитическое решение, интерпретирующее орбитальную эволюцию гравитирующих тел. Указанный подход (концепция частичной детерминированности) был реализован ранее в работах [6,19-22 и др.].

При небольших скоростях течений (рассеяния энергии) неконсервативные силы вязкого трения корректно моделируются диссипативной функцией Рэлея Ф - положительно определенной квадратичной ' формой относительно обобщенной скорости 4. Подобные возмущения в динамике систем с конечным числом степеней свободы уже длительное время моделируются данной диссипативной функцией, введённой Лордом Рэлеем.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящее время активно реализуются проекты по поиску экзопланетных (внесолнечных) систем, совершенствуются методы их обнаружения. В связи с этим представляет интерес критический анализ интерпретации результатов поисковых исследований, построение корректных статистических распределений экзопланетных систем с учетом эффектов селекции и обоснованной редукции их вычисляемых орбитальных параметров,

а также построение прогностических моделей динамической эволюции экзопланетных систем. Исследование динамической эволюции экзопланетных систем будет также способствовать более глубокому пониманию происхождения и эволюции Солнечной системы, разрешению проблемы ее уникальности.

Актуальность исследуемой темы обусловлена и фундаментальностью проблемы теоретической астрономии, состоящей в интерпретации происхождения, эволюции динамических (в том числе, экзопланетных) систем, а также в определении роли (распространенности) орбитальных резонансных эффектов в формировании и эволюции экзопланетных систем.

Исследованию динамической эволюции экзопланетных систем в настоящее время посвящено значительное количество работ [9, 11, 15, 23-42] однако основное внимание в них уделено численным исследованиям, не удалось получить полного аналитического описания исследуемых систем, всесторонне исследовать различные динамические эффекты в экзопланетных системах, эволюцию всех их орбитальных параметров, надежно оценить вероятности захватов в орбитальный резонанс, детально исследовать влияние диссипативных факторов на орбитальную эволюцию экзопланетных систем.

Следовательно, построение в рамках концепции частичной детерминированности на базе резонансного варианта неограниченной задачи трех тел и с учетом диссипативных факторов надежной аналитической модели, позволяющей получить аналитические выражения для всех орбитальных параметров исследуемых гравитирующих тел (двухчастотных резонансных экзопланетных систем), корректно выявить роль резонансных динамических эффектов в эволюции орбитальных параметров космических систем является актуальной задачей для современной теоретической астрономии и механики, теории динамических систем и математической

физики.

Цели и задачи работы

Целью диссертационного исследования является создание аналитической модели эволюции динамических систем на базе планетного варианта задачи тех тел при учёте дополнительных факторов, как-то орбитальный двухчастотный резонанс первого порядка, наличие в моделируемой системе небольших скоростей течений (рассеяния энергии). Выявление роли указанных факторов (резонанс первого порядка, диссипация рэллеевского типа) на динамическую эволюцию всех орбитальных элементов компонент рассматриваемых динамических систем. В процессе реализации целей работы предполагалось решение следующих задач:

1. Создание математической модели, описывающей динамическую эволюцию экзопланетных систем, проведение полных качественных исследований орбитальных движений исследуемых тел и получение явных аналитических выражений для всех орбитальных элементов гравитирующих тел;

2. На основе разработанной аналитической теории и в рамках области её корректности моделирование орбитальной эволюции избранных экзопланетных систем.

Методы исследования

Используются асимптотические методы теории возмущений, а также теория эллиптических функций, качественные методы исследований, общие методы нелинейного и функционального анализов. Применяется аппарат канонических преобразований, вычислительные методы математического моделирования.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработан теоретический аппарат, базирующийся на применение теории эллиптических функций, теории канонических систем, асимптотических методов теории возмущений и представляющий самостоятельный интерес в теории динамических систем. Полученные аналитические решения и результаты качественных исследований способствуют более глубокому пониманию процессов, лежащих в основе формирования и динамической эволюции экзопланетных систем. Кроме того, установленные аналитические решения могут быть использованы в качестве промежуточной орбиты при построение численно-аналитических теорий движения космических систем при наличии диссипации и двухчастотных орбитальных резонансов.

Практическая значимость работы обусловлена построением прогностических моделей динамической эволюции экзопланетных систем, а также их корректных статистических распределений. Полученные теоретические результаты работы могут найти приложение и при исследовании орбитальной эволюции объектов Солнечной системы (спутниковых систем), экзопланет.

Основные новые результаты, полученные в работе:

1. В случае рэлеевской диссипации для двухчастотных орбитальных резонансов первого порядка в рамках неограниченного планетного варианта задачи трёх тел получено аналитическое решение в функциях Вейерштрасса, интерпретирующее эволюцию всех орбитальных элементов исследуемых гравитирующих тел. Получены частные решения для случая «вырождения резонанса», когда за счёт внешних возмущений - резонансное слагаемое нелинейно уменьшается с течением времени.

2. Проведены качественные исследования эволюции орбитальных элементов гравитирующих тел, в том числе:

- получены и исследованы стационарные решения для орбитальных элементов, их устойчивость по Ляпунову. Установлено, что характеристическое уравнение для стационарных решений представляет собой локальную геометрическую структуру типа сборки Уитни, обладающей структурной устойчивостью;

проведена классификация фазовых траекторий исследуемой динамической системы;

- оценены вероятности переходов траекторий из различных областей фазовой плоскости динамической системы, оценена возможность захватов в резонанс при различных начальных конфигурациях гравитирующих тел (интегральных постоянных);

- получены некоторые качественные оценки • стохастического слоя, обусловленного диссипацией рэлеевского типа;

- получены аналитические выражения для основных эволюционных характеристик орбитальных элементов гравитирующих тел (материальных точек) системы: девиация элементов орбит, основные периоды вариации, скорости движений линии узлов и линии апсид. Показано, что при приближении эксцентриситетов орбит к своему максимальному значению движение линии апсид замедляется, что при прочих равных условиях понижает вероятность столкновений (сближений) гравитирующих тел;

- оценено влияние диссипации рэлеевского типа на величины орбитальных параметров исследуемых тел динамической системы;

- показано, что в случае «вырождения резонанса» наблюдается бифуркация решений, а стационарные решения приобретают наиболее универсальный -симметричный вид;

3. Для избранных экзопланетных систем на основе полученных аналитических результатов построены прогностические модели их

орбитальной эволюции. Получены также корректные распределения (гистограммы) экзопланетных систем по их орбитальным параметрам (большим полуосям, периодам, эксцентриситетам) и физическим характеристикам (массе, спектральному классу). Проведен корректный учет влияния неинерциапьности системы звезда - экзопланеты, обусловленной барицентрическим движением звезды.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных в работе результатов обусловлена корректностью применяемых аналитических и качественных методов исследований, обоснованной областью применения моделей. Кроме того, результаты, полученные в работе, основывались на аналитической модели, зарекомендовавшей себя в предельном случае (при отсутствии диссипации) при интерпретации динамической эволюции различных небесно-механических объектов Солнечной системы, движущихся в двухчастотном орбитальном резонансе первого порядка [6, 12,13, 19-22, 43-54]. Достоверность и обоснованность полученных результатов достигалась также их сопоставлением с аналитическими и численными, исследованиями других авторов [11, 28, 29, 32- 42, 55, и др.].

Апробация результатов работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Современные проблемы астрономии" (Украина, Одесса, 2007 г.), международной научной конференции "100 лет Тунгусскому феномену: прошлое, настоящее, будущее" (Москва, 2008 г.), Ломоносовских чтениях (Москва, ГАИШ МГУ, 2008 г. и 2009 г.), международной научной конференции "Луна, спутники и планеты: поисковые

исследования и сравнения" (Казань, 2009 г.), научной конференции "Астрономия в эпоху информационного взрыва: результаты и проблемы" (Москва, ГАИШ МГУ, 2012 г.), на семинаре кафедры теоретической механики РУДН "Математическое моделирование процессов динамики" (Москва, 2014), а также на объединенных заседаниях координационных советов по астрометрии и небесной механики ГАИШ МГУ.

Публикации

Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 9 печатных работах.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 148 страниц, включая 19 рисунков, 7 таблиц и библиографию из 148 наименований.

Содержание работы

Во введении приведен краткий обзор рассматриваемой проблемы, обоснована актуальность темы и достоверность полученных результатов, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна, методы исследования, указана теоретическая и практи�