Квазистатический подход в задачах динамики вязкоупругого тела в гравитационном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

^¡ЙСКОВСЙЙ ОРДЩА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ С.0РДК0НИКВДЗЕ

На правах рукописи

ХОЛОСТОВА ОЛЬГА ВЛАДИМИРОВНА

КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ВЯЗКОУПРУГОГО ТЕМ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва

Издательство МАИ 1992

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской революции ¿виационном институте имени Серго Орджоникидзе.

Научный руководитель -д.ф.-м.н., профессор В.Г.Веретенников.

Официальные оппоненты - д.ф.-м.н., гл.научн.сотр. Л.Д.Акуленко

д.ф.-м.н., профессор Г.В.Горр

Ведущая организация: Институт теоретической астрономии РАН

Защита состоится _ 1992 г. на заседании

специализированного совета К 053.18.02 в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской революции авиационном институте имени Серго Орджоникидзе.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Просьба принять участие в обсуждении диссертации или прислать свой отзыв в одном экземпляре, заверенном печатью.

Адрес института: 125871, Москва, ГСП, Волоколамское шоссе, 4. Предварительный заказ пропусков по телефону: 158-44-66.

Автореферат разослан " 45» СШреи^ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат.наук,доцент

Л.Ф.Лобанова

'..''Л .-: с ? .. ';

I П, ОЕЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

—^ктуУсдь^ость темы

Динамика вязкоупрурого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле в последние десятилетия получила значительное развитие. Актуальность исследований по этой проблеме обусловлена широтой их практических приложений: от динамики крупногабаритных космических конструкций, например, проектируемых больших космических антенн - спутников связи, до задачи об эволюции движения Луны и планет Солнечной системы. Кроме того, упомянутые исследования важны и с теоретической точки зрения, так как они разрабатывают далекий от завершения раздел теоретической механики - динамику тел, не являющихся абсолютно твердыми и обладающих внутренним трением. И, наконец, исследования по динамике вязко-упругих тел важны еще и потому, что они представляют обширное поле использования и совершенствования аналитических, численных и качественных методов механики.

Во многих работах большие упругие космические конструкции представляются в виде связанных между собой твердых тел или твердого тела, имеющего упругие ответвления. Часто более пригодной может оказаться континуальная модель, когда вся космическая конструкция или некоторые ее деформируемые элементы моделируются сплошной вязкоупругой средой. В общем случае эта модель приводит к исследованию системы интегро-дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными, что представляет собой весьма сложную задачу.

Плодотворным оказался метод исследования, основанный на синтезе методов модального анализа и малого параметра. Движение вяз-коупругого тела при использовании "модального подхода" описывается бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Дополнительные естественные физические предположения позволяют ввести в систему уравнений движения малые параметры, после чего решение уравнений строится асимптотическими методами, разработанными для систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Регулярная часть асимптотического разложения решений для обобщенных координат, описывающих деформации тела, соответствует квазистатическим деформациям - вынужденным

упругим колебаниям под действием гравитационных сил и сил инерции.

Исследование квазистатических режимов движения имеет большое теоретическое и прикладное значение. Во-первых, квазистатические режимы дают одну из весьма немногих возможностей анализа динамики в очень сложной проблеме о движении упруговязкого тела в гравитационном поле. А во-вторых, для космических станций, рассчитанных на длительное время существования (месяцы или даже годы), квазистатические режимы движения являются основными, так как большую часть времени станция проводит в пассивном полете, при отсутствии управляющих воздействий.

Исследованию квазистатических режимов движения вязкоупруго-го тела в гравитационном поле при помощи "модального подхода" посвящена настоящая работа.

Цель работы

Цель работы состоит в исследовании при помощи квазистатического подхода нелинейных задач динамики крупногабаритных космических конструкций, моделируемых сплошными вязкоупругими телами - кольцом, вытянутым телом, тонкой сферической оболочкой; особое внимание уделено исследованию динамики космической антенны, моделируемой абсолютно твердым телом с закрепленной в нем круговой мембраной. Целью работы является также получение математического обоснования и оценки погрешности асимптотики решений уравнений движения вязкоупругого тела, полученных при помощи "модального метода" в случае квазистатического режима деформаций тела. Одна из целей работы - выяснение влияния упругости и внутреннего трения на известные, хорошо изученные движения абсолютно твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле: положения относительного равновесия в орбитальной системе координат, регулярные прецессии, периодические колебания и вращения в плоскости орбиты.

Научная новизна

I. Математическое обоснование алгоритма построения асимптотического решения уравнений движения вязкоупругого тела в квазистатическом режиме его упругих колебаний и оценка погрешности асимптотики решения уравнений движения.

2. Исследование плоских нелинейных, резонансных и нерезонансных, колебаний и вращений тела при наличии упругих колебаний вдоль одной из его осей на круговой и эллиптической орбитах.

3. Выявление трех типов частных движений тонкого кругового однородного нерастяжимрго вязкоупругого кольца на круговой орбите и исследование их устойчивости.

4. Анализ эволюции быстрых вращений относительно центра масс тонкой замкнутой вязкоупругой сферической оболочки.

5. Исследование динамики космической антенны, моделируемой абсолютно твердым телом с закрепленной в нем круговой мембраной: получение уравнений движения антенны; исследование устойчивости положений относительного равновесия в квазистатическом режиме деформаций; исследование устойчивости стационарного вращения динамически симметричной антенны вокруг нормали к плоскости круговой орбиты центра масс и анализ эволюции ее быстрых вращений вокруг центра масс.

Практическая ценность

Содержащееся в работе математическое обоснование квазистатического подхода в динамике вязкоупругих тел позволяет утверждать, что используемый метод может быть эффективным при прогнозировании динамического поведения крупногабаритных космических конструкций на этапе пассивного полета на больших интервалах времени. Полученные в работе результаты исследования движения вязкоупругих тел конкретной конфигурации важны для динамики космических аппаратов, не являющихся абсолютно твердыми. Эти результаты могут быть использованы также на этапе предварительного проектирования и для космических конструкций более сложных конфигураций.

Апробация работы

Основные результаты были изложены в докладах:

1. На Шестом национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике в г.Варна (Болгария), 1989.

2. На семинаре кафедры теоретической механики МАИ (1992г.).

Публикация работы. По теме диссертации опубликовано 7 статей в журналах: "Космические исследования", "Известия АН СССР. Механика твердого тела" и "Прикладная математика и механика"; издан I препринт в Институте проблем механики РАН; опубликованы тезисы доклада в сборнике трудов Шестого национального конгресса по теоретической и прикладной механике (г.Варна,Болгария).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Основной текст работы изложен на 145 стр. машинописного текста, содержит 12 рисунков. Список литературы содержит 122 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность использования нва-зистатического подхода в задачах динамики вязкоупругих тел в гравитационном поле и дается исторический обзор исследований по этой проблеме.

Глава I посвящена исследованию асимптотики решений уравнений движения вязкоупругого тела в квазистатическом режиме его "упругих колебаний. В § I выписаны уравнения движения тела относительно центра масс, состоящие из уравнений движения тела как целого и уравнений для нормальных (обобщенных) координат. В § 2 описан квазистатический режим упругих колебаний тела и приведен "'алгоритм построения асимптотического решения уравнений тела в этом режиме. В § 3 на основании методов теории сингулярных возмущений дается математическое обоснование описанного в § 2 алгоритма и указана оценка погрешности решения уравнений движения.

Во второй главе рассматриваются плоские нелинейные колебания и вращения вязкоупругого тела в предположении, что возбуждающиеся в нем упругие колебания происходят вдоль одной из лежащих в плоскости орбиты осей системы координат, связанной с телом.

В § I выписано приближенное дифференциальное уравнение плоского движения в квазистатическом режиме упругих колебаний тела. В § 2 найдены стационарные решения этого уравнения на круговой орбите, соответствующие относительным равновесиям тела в орбитальной системе координат, и исследована их устойчивость. В § 3 в предположении об отсутствии резонанса в вынужденных ко-

лебаниях найдены периодические эксцентриситетные колебания на орбите с малым эксцентриситетом, рождающиеся из асимптотически устойчивых на круговой орбите положений равновесия. Установлена асимптотическая устойчивость этих колвваяий. В § 4 исследуется устойчивость эксцентрисстгетннх колебаний при параметрическом резонансе. Найденные области неустойчивости лежат внутри соответствующих областей для абсолютно твердого тела.

В § 5 изучается случай резонанса в вынужденных колебаниях. Периодическое решение ищется в веде рада по дробным степеням эксцентриситета. Найдена кривая разветвления, являющаяся границей двух областей, в одной из которых существует единственное устойчивое периодическое решение, а в другой - три решения, одно из которых неустойчиво, а два другие устойчивы.

В последнем, шестом параграфе главы 2 методом усреднения исследуется движение тела, близкого к динамически симметричному, на орбите произвольного эксцентриситета. В качестве порождающего принимается решение, отвечающее динамически симметричному абсолютно твердому телу. В нерезонансном случае, когда величины 2Ш и 4СО не являются целыми числами ( и) - отношение угловой скорости вращения тела в порождающем движении к среднему движению центра масс), усредненное уравнение линейно и легко интегрируется. Установлено, что предельным движением тела является его равномерное вращение вокруг нормали к плоскости орбиты с угловой скоростью - функцией эксцентриситета.

При резонансах Ли)*т, и ( м. и I - целые числа)

получены усредненные уравнения, указаны их стационарные решения, приведены условия существования и устойчивости этих решений.

В главе 3 изучается движение тонкого однородного нерастяжимого кольца постоянного сечения в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой орбите. Рассматриваются такие движения кольца относительно центра масс, когда его упругие колебания являются изгибными колебаниями в плоскости кольца.

В § I выписаны дифференциальные уравнения движения кольца и получены уравнения, описывающие движение кольца в квазистатическом режиме его упругих колебаний. В § 2 найдены следующие частные движения кольца:I) кольцо расположено в плоскости орбиты и вращается вокруг нормали к плоскости орбиты с уменьшающейся по величине угловой скоростью; 2) относительное равновесие кольца в орбитальной системе координат, когда его плоскость ле-

жит в плоскости орбиты; 3) относительное равновесие, когда плоскость кольца перпендикулярна вектору скорости центра масс.

В п.2.1 при помощи второго метода Ляпунова получено достаточное условие устойчивости в первом приближении вращения кольца с уменьшающейся угловой скоростью. В п.2.2 исследуется устойчивость относительного равновесия кольца в плоскости орбиты. Здесь имеет место критический случай одного отрицательного и двух пар чисто мнимых корней. Для решения задачи используется "принцип сведения" в теории устойчивости и теорема Каменкова об устойчивости в случае двух пар чисто мнимых корней. Показано, что относительное равновесие асимптотически устойчиво.

В п.2.3 при помощи анализа линеаризованных уравнений движения показана неустойчивость относительного равновесия кольца, когда его плоскость перпендикулярна вектору скорости центра масс.

В главе 4 рассматривается движение тонкой упругой замкнутой сферической оболочки в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой орбите. Целью главы является изучение эволюции быстрых вращений оболочки в квазистатическом режиме ее упругих колебаний.

В § I выписаны частотное уравнение и собственные формы свободных упругих колебаний оболочки. В § 2 составлены уравнения движения сферической оболочки относительно центра масс в форме , уравнений Рауса.

В § 3 получены приближенные дифференциальные уравнения движения оболочки в квазистатическом режиме ее упругих колебаний. Принято, что угловая скорость вращения оболочки велика по сравнению со средним движением центра масс по орбите, но мала по сравнению с наименьшей частотой упругих колебаний оболочки. Приближенные уравнения исследуются методом усреднения. Для упрощения исследования усредненной системы из четырех уравнений интервал времени, на котором изучается движение оболочки, уменьшается на один порядок. Показано, что в этом случае в пределах рассматриваемой точности величину кинетического момента оболочки можно считать постоянной.

Установлено, что движения оболочки, когда вектор ее кинетического момента перпендикулярен плоскости орбиты, неустойчивы, а движения, когда этот вектор лежит в плоскости орбиты, устойчивы относительно возмущений угла между вектором кинетического момента и нормалью к плоскости орбиты. В фазовом пространстве

трех переменных системы эти последние движения происходят в плоскости, которая является "притягивающей" плоскостью. Исследование усредненной системы уравнений ограничивается затем изучением ее поведения в "притягивающей" плоскости (§ 4).

Найдены стационарные решения системы, когда вектор кинетического момента перпендикулярен фиксированной оси оболочки или составляет с ней некоторый отличный от £¡3. постоянный угол, а также решение, когда оболочка равномерно вращается вокруг своей оси, совпадающей с вектором кинетического момента. Получены условия устойчивости указанных частных решений. В плоскости двух параметров задачи - функций коэффициента Пуассона оболочки и ее относительной толщины - ввделено четыре подобласти, в каждой из которых характер движения оболочки различен. Для каждой из этих подобластей указаны предельные движения.

В последней, пятой главе рассматривается движение системы, состоящей из несущего абсолютно твердого тела и упруговязкой круглой мембраны, закрепленной в теле по своему контуру. Ось симметрии мембраны совпадает с одной из главных центральных осей инерции системы в недеформированном состоянии, центр мембраны и центр масс недеформированной системы, вообще говоря, не совпадают. Движение происходит в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой орбите.

В § I дан вывод уравнений движения системы (несущее тело и мембрана). В п.1.1 выписаны собственные формы свободных упругих колебаний мембраны. В п.п.1.2 и 1.3 найдены основные кинематические и динамические характеристики системы и дан вывод дифференциальных уравнений движения.

В § 2 указаны положения равновесия системы в квазистатическом режиме и исследована их устойчивость. В п.2.1 найдены положения относительного равновесия в орбитальной системе координат. В этих положениях мембрана деформирована, но неподвижна относительно несущего тела; ось симметрии мембраны направлена по радиусу-вектору центра масс относительно притягивающего центра, по нормали к плоскости орбиты или по вектору скорости центра масс системы. В пп. 2.2-2.4 проводится исследование устойчивости трех указанных относительных равновесий.

В пп.2.2 и 2.4 задача об устойчивости стационарных движений, когда ось симметрии мембраны направлена соответственно по радиу-

су-вектору и по вектору скорости центра масс, решена рассмотрением линейного приближения. Вопрос об устойчивости решается в тех же двух областях, что и в соответствующей задаче для трехосного спутника - твердого тела. Установлено, что устойчивость по Ляпунову для твердого тела (в одной области) стала асимптотической для системы с мембраной, а гироскопическая устойчивость для твердого тела (в другой области) разрушена за счет упругости и диссипации.

В случае относительного равновесия, когда ось симметрии мембраны перпендикулярна плоскости орбиты (п.2.3), гироскопическая устойчивость (имевшая место для твердого тела) также разрушена до неустойчивости. Для другой области имеем критический случай пары чисто мнимых корней. Дня выяснения вопроса об устойчивости рассматривается нелинейная задача; построена функция Ляпунова. Установлена устойчивость по Ляпунову изучаемого равновесия, причем по части переменных устойчивость является асимптотической.

В § 3 рассматриваемая система (несущее тело и мембрана) предполагается динамически симметричной, причем ось симметрии совпадает с осью мембраны. Целью параграфа является исследование устойчивости одного частного движения системы.

В п.3.1 система уравнений движения, полученная в § I, записана в углах Эйлера, и в ней исключен угол собственного вращения (в квазистатическом режиме упругих колебаний мембраны). В п.3.2 указано частное решение этой системы, когда плоскость круговой границы мембраны расположена параллельно плоскости орбиты; мембрана деформирована, но неподвижна относительно несущего тела, а система равномерно вращается вокруг оси симметрии мембраны с произвольной по величине угловой скоростью.

Для исследования устойчивости этого решения применяется теорема Ляпунова-Малкина (имеет место особенный случай критического случая одного нулевого корня). Условия устойчивости записываются в виде системы неравенств, которые исследуются при помощи расчетов на ЭВМ. По части переменных, характеризующих отклонение оси симметрии мембраны от нормали к плоскости орбиты, имеет место асимптотическая устойчивость. Полученные области устойчивости рассматриваемого решения лежат внутри областей устойчивости аналогичного решения для динамически симметричного абсолютно твердого тела.

В § 4 изучается эволюция быстрых вращений динамически симметричной системы. В п.4.1 найдено выражение для функции Рауса. В п.4.2 получены уравнения движения системы в квазистатическом режиме упругих колебаний мембраны. В п.4.3 изучается быстрая диссипативная эволюция системы. Установлено, что предельным на данном этапе эволюции движением системы, в зависимости от соотношения между осевым и экваториальным моментами инерции, является ее быстрое вращение либо вокруг оси мембраны, либо вокруг оси, перпендикулярной оси мембраны. В пп.4.4 и 4.5 рассмотрена медленная диссипативная эволюция системы для каждого из двух указанных вариантов движения. Исследование проводится при помощи метода усреднения. В обоих случаях система эволюционирует так, что вектор ее кинетического момента с возрастанием времени стремится расположиться в плоскости орбиты.

В п. 4.6 рассмотрена эволюция быстрых вращений системы со сферическим тензором инерции. В этом случае этап быстрой дисси-пативной эволюции отсутствует. При помощи метода усреднения показано, что с течением времени вектор кинетического момента системы. стремится расположиться в плоскости орбиты, ось мембраны -совпасть с вектором кинетического момента, а предельным движением системы является ее быстрое вращение вокруг этой оси.

В заключении сформулированы некоторые направления дальнейшего развития квазистатического подхода в задачах исследования вязкоупругих тел в гравитационном поле.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В работе рассмотрен ряд задач нелинейной динамики вязкоуп-ругого тела, моделируемого сплошной вязкоупругой средой, в центральном ньютоновском гравитационном поле на круговой и эллиптической орбитах. Метод исследования основан на синтезе методов модального анализа и малого параметра. Упругие деформации тела предполагаются квазистатическими, внутреннее трение задается диссипативной функцией Рэлея. Исследование проводится в рамках линейной теории упругости.

Получены следующие основные результаты

I. Дано математическое обоснование алгоритма построения асимптотического решения уравнений движения вязкоупругого тела в ква-

зистатическом режиме его упругих колебаний и указана оценка погрешности асимптотики решения уравнений движения.

2. Изучены плоские движения вязкоупругого тела вытянутой формы при наличии упругих колебаний вдоль одной из его осей: положения равновесия на круговой орбите и их устойчивость, экс-центриситетные колебания на орбите малого эксцентриситета в нерезонансноы и резонансном случаях и их устойчивость; исследовано движение тела, близкого к динамически симметричному,

на орбите произвольного эксцентриситета в нерезонансном и резонансном случаях.

3. Найдены три типа стационарных движений тонкого однородного нерастяжимого вязкоупругого кольца на круговой орбите: когда оно расположено в плоскости орбиты или в плоскости, перпендикулярной вектору скорости центра масс, а также плоское вращение кольца с уменьшающейся по величине угловой скоростью. Доказана асимптотическая устойчивость первого из указанных ти' пов движений, неустойчивость второго типа движения, а для

третьего типа движения получено достаточное условие устойчивости в линейном приближении.

4. Исследована эволюция быстрых вращений тонкой замкнутой вязко-упругой сферической оболочки: получены уравнения движения, изучены движения оболочки в "притягивающей" плоскости, когда вектор кинетического момента лежит в плоскости орбиты. Найдены стационарные движения оболочки и получены условия их устойчивости. В плоскости двух параметров задачи - функций коэффициента Пуассона оболочки и ее относительной толщины - выделено четыре подобласти, в каждой из которых характер движе-•ния оболочки различен. Для каждой из подобластей указаны предельные движения.

5. Изучено движение космической антенны, моделируемой абсолютно твердым телом с закрепленной в нем круговой мембраной: получены уравнения движения антенны; найдены относительные равновесия антенны, когда ось симметрии мембраны направлена по радиусу-вектору центра масс относительно притягивающего центра, по нормали к плоскости орбиты или по вектору скорости центра масс антенны, и исследована устойчивость этих равновесий; для динамически симметричной антенны найдено частное движение -стационарное вращение вокруг нормали к плоскости круговой орбиты центра масс, при помощи расчетов на ЭВМ получены области

устойчивости этого движения. Исследована эволюция быстрых вращений динамически симметричной антенны при различных соотношениях между осевым и экваториальным моментами, указаны предельные движения.

Выполненные в работе исследования показали, что квазистатический подход оказался весьма эффективным в задаче динамики крупногабаритных космических конструкций, так как он позволил выделить режим движения, являющийся основным для конструкций, рассчитанных на длительное время функционирования в пассивном полете, и получить важные качественные и количественные результаты. Эти результаты могут быть полезны в динамике космических аппаратов, не являющихся абсолютно твердыми, а также могут быть использованы на этапе предварительного проектирования космических конструкций более сложных конфигураций.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Холостова О.В. О плоских квазистатических движениях вязкоул-ругого тела в гравитационном поле. - Космич.исслед., 1991,

т.29, вып.2, с.183-193.

2. Маркеев А.П., Холостова О.В. О плоских резонансных движениях и регулярных прецессиях космического аппарата с деформируемыми элементами. - Космич.исслед., 1991, т.29, вып.З,

с.328-339.

3. Климов Д.М., Маркеев А.П., Холостова О.В. К динамике упруго-вязкого кольца в гравитационном поле. - Препринт ИПМех РАН, 1989, № 406. - 35 с.

4. Климов Д.11., Маркеев А.II., Холостова О.В. К динамике упруго-вязкого кольца в гравитационном поле. - Шестой национальный конгресс по теоретической и прикладной механике. Тезисы, Варна, 1989, № 1-22.

5. Климов Д.М., Маркеев А.Г1., Холостова О.В. Об устойчивости движения упруговязкого кольца в гравитационном поле. - ДММ, 1991, т.55, вып.1, с.20-25.

6. Холостова О.В. О быстрых вращениях упругой сферической оболочки в гравитационном поле. - Изв.АН СССР. Механика твердого тела, 1991, № 2, с.129-139.

7. Холостова O.B. О движении твердого тела с упруговязкой мембраной в гравитационном поле. -.Изв.АН СССР. Механика твердого тела, 1992, № I, с.3-13.

8. Холостова О.В. Об устойчивости одного частного движения твердого тела с упруговязкой мембраной.на круговой орбите.-ПММ, 1992, т.56, №.1, с.29-33.

9. Холостова О.В. Об эволюции быстрых вращений тела с упруго-вязкой мембраной на круговой орбите. - Изв.АН СССР. Механика твердого тела, 1992, № 2, с.3-8.