Эволюция движения систем вязкоупругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

Шатина Любовь Сергеевна

Эволюция движения систем вязкоупругих тел

01.02.01 — Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математическйх наук

1 7 май 2012

Москва - 2012

005043224

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и ме-хатроники механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Вильке В.Г.,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Марков Ю.Г.,

доктор физико-математических наук, профессор

Зленко A.A.,

кандидат физико-математических наук, доцент

Ведущая организация: Вычислительный центр

им. A.A. Дородницына Российской академии наук

Защита диссертации состоится 25 мая 2012 года в 16 часов 30 минут на заседании совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное Здание МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 25 апреля 2012 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент Прошкин В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача о движении вязкоупругих тел в гравитационном поле сил является модельной задачей в теории приливов. Первые фундаментальные исследования в этой области принадлежат Дж.Г. Дарвину. Более детальное исследование приливных эффектов, учитывающее новую научную информацию о планетах и их спутниках, было проведено во второй половине XX века такими учеными как Г.Макдональд, П. Голдрайх, С. Пил, У. Каула и другими. Ряд важных результатов по приливной эволюции вращательного движения небесных тел был получен Белецким В.В. В данной работе применяется метод разделения движений и усреднения, разработанный Вильке В.Г. для изучения механических систем с бесконечным числом степеней свободы, движение которых описывается сложными системами интегродифференциальных уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах. Указанный метод позволяет перейти от этих уравнений к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию движения исследуемой системы. Изучению систем, содержащих вязкоупрутие элементы большой жесткости, посвящены работы Черноусько Ф.Л., Вильке В.Г., Маркова Ю.Г., Маркеева А.П. и др.

Исследования по влиянию упругих и диссипативных сил на эволюцию движения небесных тел актуальны также в связи с попыткой объяснить расхождения между теоретическими результатами и данными наблюдений и необходимостью уточнения законов движения тел в гравитационном поле сил. Цель работы состоит в развитии и углублении методов исследования эволюции движения систем с бесконечным числом степеней свободы и применении этих и ранее известных методов к исследованию диссипативной эволюции движения небесных тел.

Основные результаты диссертации и их научная новизна. В работе проведено исследование диссипативной эволюции поступательно-вращательного движения систем вязкоупругих тел в грави-

тационном поле сил. Планеты моделируются однородными изотропными телами из материала Кельвина-Фойгта, имеющими шаровую форму в естественном недеформированном состоянии.

• Проведено исследование поступательно-вращательного движения двух вязкоупругих планет в поле сил взаимного притяжения в "плоском" случае, когда центры масс планет движутся в неподвижной плоскости, а ось вращения каждой из планет направлена по нормали к этой плоскости. Описано деформированное состояние планет в первом приближении по малым параметрам. Методом разделения движений и усреднения получена система уравнений, описывающих эволюцию поступательно-вращательного движения системы в переменных Андуайе-Делоне. Найдены стационарные решения этой системы и исследована их устойчивость на основе уравнений в вариациях. Показано, что эволюционная система имеет не более двух стационарных решений. В случае существования одного стационарного решения оно является неустойчивым. В случае существования двух стационарных решений стационарное движение, соответствующее большему расстоянию между центрами масс планет асимптотически устойчиво, а меньшему - неустойчиво. В стационарном движении планеты обращены друг к другу одной стороной и равномерно вращаются вокруг общего центра масс по круговым орбитам. Для планет Солнечной системы вычислены значения радиусов стационарных орбит. В рамках модельной задачи о движении двух вязкоупругих тел в поле сил взаимного притяжения получено уравнение, описывающее эволюцию медленной угловой переменной долготы перигелия. В качестве примера рассмотрена система "Солнце-Меркурий". Существенным обстоятельством является тот факт, что движение меньшей по массе планеты (Меркурия) происходит не в центральном ньютоновском поле сил, а в гравитационном поле массивного вращающегося вяз-

коупругого тела (Солнца).

• Рассмотрено движение связки двух вязкоупрутих планет в гравитационном поле массивного вязкоунругого тела. Методом разделения движений и усреднения получена система дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию поступательно-вращательного движения системы. Для системы "Солнце-Земля-Луна" с использованием дапных наблюдений определены числовые значения эквивалентных коэффициентов вязкости планет. На основе полученных уравнений построены графики зависимости угловых скоростей и элементов орбит изучаемых небесных тел от времени. Проведено качественное исследование эволюционной системы уравнений движения в случае, когда тело наименьшей массы моделируется материальной точкой. Показано, что в зависимости от начальных условий эта система может иметь не более двух стационарных решений, и доказана их неустойчивость.

• Получены векторные уравнения, описывающие движение трех вязкоупругих тел в поле сил взаимного притяжения в неограниченной постановке задачи с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Найдено стационарное движение системы - аналог треугольных точек либрации в классической задаче трех тел. Получены поправки к взаимным расстояниям между центрами масс планет в стационарной конфигурации.

Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми

Методы исследования. В работе используются методы аналитической механики, метод разделения движений, применяемый к механическим системам, содержащим деформируемые элементы большой жесткости (Черноусько Ф.Л. (1980), Вильке В.Г. (1983)), метод усреднения для систем с быстрыми и медленными переменными (Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. (2009)).

Достоверность результатов. Все результаты в диссертации

получены методами аналитической механики и асимптотическими методами на основе сформулированных в ней гипотез. Качественно-аналитические результаты проиллюстрированы и подтверждены с помощью численного анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в приливной теории движения планет и их спутников, а также при построении новых усложненных моделей в небесной механике и в динамике полета космических аппаратов. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Институте проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, Вычислительном центре имени A.A. Дородницына РАН, Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН и других научно-исследовательских центрах.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2009" (Москва, 13-18 апреля 2009 г.)

• European Geosciences Union General Assembly 2009 (Vienna, Austria, 19-24 April 2009)

• Симбирская молодежная научная школа по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвященная памяти академика В.В. Румянцева (Ульяновск, 8-12 июня 2009 г.)

• European Planetary Science Congress 2009 (Potsdam, Germany, 14-18 September 2009)

• Международный молодежный научный форум "Ломоносов-2011" (Москва, 11-15 апреля 2011 г.)

• X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 24-30 ав-

густа 2011 г.)

• Семинар "Динамика относительного движения" под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева, доц. К.Е. Якимовой, доц. Е.В.Мелкумовой (2012 г.)

• Семинар "Математические методы технической механики" под руководством проф. С.Я.Степанова и доц. А;А.Бурова (2012 г.)

• Семинар "Аналитическая механика и теория устойчивости" под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. A.B. Карапетяна (2012 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 4 публикациях, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1,2] выполнены в соавторстве с научным руководителем д.ф.-м.н. Вильке В.Г., которому принадлежат постановки задач и методы их исследования, и в соавторстве с д.ф.-м.н. Шатиной A.B., которая проводила научные консультации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 133 наименований. Работа содержит 14 рисунков. Общий объем диссертации -91 страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описана предметная область и цель настоящей диссертации, дан обзор работ, посвященных исследованию влияния деформаций и внутреннего трения на эволюцию поступательно-вращательного движения систем небесных тел, а также изложены основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена задаче о движении двух вязкоупругих планет в поле сил взаимного притяжения. Планеты моделируются однородными изотропными вязкоупругими телами масс mi и шг из материала Кельвина-Фойгта, имеющими в естественном недеформи-рованном состоянии шаровую форму. Так как рассматриваемая система изолирована, ее центр масс движется равномерно и прямоли-

нейно и может быть принят за начало инерциальной системы отсчета

охуг.

Для описания вращательного движения планет вводятся подвижные системы координат , где Сг - центр масс г-ои планеты. Переход от подвижных осей к осям Кенита ортогональным оператором (г = 1,2). Положение точки Mi г -ой планеты определяется радиусом-вектором Кд^ио формуле

й-м* =Нг + 1\(г;+и;(г<,4)) (г = 1,2),

где Н^ - радиус-вектор точки Си Г£ - радиус-вектор точки М.1 шара в недеформированном состоянии относительно подвижной системы координат С1х\'х2 х\ , и{ = уи\',и3') - вектор упругого смещения.

Векторы Нч и операторы Г; однозначно определяются по заданному векторному полю Rмi следующими условиями:

К-г (0 ~ ~~~ I (гь £) pidvi, I \iidvi = 0, [ гоЬUidvi = 0, Jvi JVi

где — {г е Е3 : |г| < Г{о} - область, занимаемая г-ой планетой в естественном недеформированном состоянии, —

dх

dxi2> dx^>,

p¿ - плотность г-ой планеты (г = 1,2).

Потенциальная энергия упругих деформаций определяется функционалом

п~/ /

/Р1Р2 dv1dv2,

V, Ль - К-л/зІ

где / - универсальная гравитационная постоянная.

Деформированное состояние планет описывается в рамках классической теории упругости малых деформаций с помощью квадратичного функционала

г

& [и] = [и*] = / оси [ІІЕ ~ аі2ПіЕ) ¿Уі,

і=1 і=1 •'У*

_ Ег (1 - щ) „2(1-2 щ)

2(1 + ^(1-2ч)>аа (1-1/0 ' 3

аа >0, 0 < аа < 3, = ^

.(О

где - модуль Юнга г-ой планеты, щ - ее коэффициент Пуассона.

Функционал диссипативных сил = ^¿[¿ч] согласно модели Кельвина-Фойгта определяется соотношением = Хг^г^г] где х» > 0 - коэффициент внутреннего вязкого трения.

Кинетическая энергия системы задается функционалом = > < -?

+

> + ^ [ Х + и4)]2 1=1 12 2 ^

J X (г^ + 11{) , 11;) + ^.Р^Щ | ,

где - угловая скорость г-го шара, х (•) = Г^ ^Г»(-) (г = 1,2).

Взаимное расположение планет описывается вектором 11 = Их — Кг, соединяющим их центры масс.

Рассматривается частный случай, когда движение центров масс планет происходит в неподвижной плоскости ОХУ, а их вращение происходит по нормали к этой плоскости. Существование такого класса движений было доказано в монографии Вильке В.Г. (1997), где были получены уравнения движения рассматриваемой системы в векторном виде.

В п. 1.1 формулируется постановка задачи, и выводятся уравнения движения системы в форме уравнений Рауса, каноническую часть которых составляют уравнения относительно переменных Ан-дуайе-Делоне, а лагранжеву - уравнения в форме вариационного принципа Д'Аламбера-Лагранжа относительно обобщенных коорди-

нат, описывающих деформированное состояние планет. Вращательное движение планет описывается переменными Д, <Р1, /25 ^21 а. движение конца вектора К - переменными С?, 5, I. Здесь -модуль кинетического момента г-ой планеты относительно ее центра масс, <р{ - угол, задающий в рассматриваемом частном случае поворот подвижных осей С^х^х^хз' относительно соответствующих осей Кенига, - модуль момента количества движения конца вектора К относительно начала инерциальной системы отсчета, Ь - модуль момента количества движения по круговой орбите с данным значением полной энергии, д - долгота перигелия орбиты, I - средняя аномалия.

В п. 1.2 методом разделения движений и усреднения выводится приближенная система уравнений относительно переменных "действие" и медленных угловых переменных, описывающих диссипа-тивную эволюцию поступательно-вращательного движения системы.

В соответствии с рассматриваемой моделью, жесткость планет предполагается большой, и вводятся безразмерные малые параметры £{ (г = 1,2), обратно пропорциональные модулям Юнга планет. При £{ = 0 уравнения движения системы интегрируются и описывают движение двух абсолютно твердых шаров в поле сил взаимного притяжения, когда конец вектора К описывает кеплеровскую орбиту, а угловые скорости планет постоянны. Это невозмущенное движение используется в качестве порождающего для определения векторов упругого смещения 11( в первом приближении по малым параметрам.

В результате подстановки найденных решений и^ в правые части канонических уравнений для "медленных" переменных Д, <3, д и усреднения их по "быстрой" угловой переменной I, получена следующая эволюционная система уравнений:

и

(5X2

^ (е) - (е)| (г = 1, 2)

(1а)

¿1 С7(т1+т2)3 Ь3

+

15^/3т?т1 ( 3 2 1 Л] С6(гщ4-т2)6 V 2 8 Л

(М)

где радиус г-ой планеты в естествепном недеформированном состоянии, = - ее угловая скорость, - центральный момент

инерции в недеформированном состоянии(г == 1,2), е — ^ 1 — -

эксцентриситет орбиты конца вектора И, п — т—-3—- его

(тех Ч-тг)^

среднее орбитальное движение, = /ш2, 72 =

Л - ^РЬ/ибгп}2т12Р2^Х1 Г) _ 4тг(1 + ^)(13 + 9^Ип 1 (т1+га2)6 ' ^_ 105(51/{+7) '

(е) = 1 + Зе2 + §е4, Г2 (е) = 1 + Ще* + ^е4 + ^з (е) = 1 + ^е2 + 2|5е4 + ^е6 + §|е8.

Уравнения (1а)-(1с) образуют замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Iч, Ь, б, имеющую первый интеграл, выражающий закон сохранения модуля момента количества движения системы относительно общего центра масс,

С? +11 +12 = (70. (2)

Уравнение (1(1) интегрируется после нахождения функций Д, /2, Ь и С.

Стационарные решения полученных уравнений найдены в п. 1.3.

Показано, что в стационарном движении система двух планет движется как твердое тело, то есть планеты обращены друг к другу одной стороной, а их центры масс равномерно движутся по круговым орбитам.

В зависимости от значения первого интеграла (2) система может иметь не более двух стационарных решений.

При Со > где к = ^ + то| /2тп1то2' система имеет два

стационарных решения, одно из которых, соответствующее большему расстоянию между центрами масс планет, асимптотически устойчиво, а второе неустойчиво.

Если Со = Узк, то система имеет ровно одно неустойчивое стационарное движение.

В случае Со < | УЗк стационарных движений нет.

Этот результат соответствует полученному ранее в монографии Вильке В.Г. (1997).

Полученные результаты иллюстрируются на примере Солнечной системы в п. 1.4, где в качестве первого тела рассматривается Солнце, а в качестве второго - одна из планет. Показано, что для всех планет Солнечной системы выполнено условие существования двух стационарных: решений. Вычислены радиусы стационарных орбит и проведено сравнение полученных результатов с текущими значениями больших полуосей орбит планет. Показано, что планеты земной группы (Меркурий, Венера, Земля, Марс) находятся ближе к неустойчивым стационарным орбитам, а орбиты дланет-гигантов (Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна) близки к соответствующим устойчивым стационарным орбитам.

Уравнение (1(1), описывающее эволюцию медленной угловой переменной д, рассматривается отдельно в п. 1.5 на примере системы Солнце-Меркурий.

Правую часть уравнения (1с1) можно представить в следующем виде:

9 = 91+д2 + д1 + Я2, (3)

гпР П■ - 27/1/2mim2ri0fe(i/i)£i _2 ( 3 2 i 4\ ГД6 Чг~ 28^(1-е^(т1 + гп2)^П V1 + 2е + Не>

5t--140тга7/'2(1 — е2)2- {% ~ 1,2)'

W ~ (5i/ + 7)-' a = —/m2m " " большая полуось орбиты.

Следует отметить, что существенным отличием между аналогичным уравнением, полученным в диссертации Шатиной A.B. (2007), где изучалось движение планеты в центральном поле сил, и уравнением (3), описывающим изменение долготы перигелия орбиты планеты, движущейся в гравитационном поле массивного вязкоупругого тела, является наличие в его правой части слагаемого git зависящего от массы, радиуса и угловой скорости этого тела, причем в случае системы Солнце-Меркурий именно оно вносит основной вклад в эволюцию перигелия, так как <§: 1, С 1 и |||| 1.

Приближенно можно считать, что л ^ 9V7 (rai + m2)h тгцг10 2

д 140^/2 (i_e2)2 ^ (4)

Согласно данным наблюдений, смещение перигелия Меркурия составляет 570"/Ю0лет (Роузвер Н.Т. (1985)).

На

основании формулы (4) были вычислены значения модуля Юнга вязкоупругого тела, моделирующего Солнце, для разных значений коэффициента Пуассона

Таким образом, соответствующим выбором модуля Юнга Ei в рамках данной постановки задачи можно добиться совпадения теоретического значения наблюдаемого смещения перигелия Меркурия с наблюдаемым.

Во второй главе исследуется движение двойной планеты, моделируемой двумя вязкоупругими шарами с массами т2 и тз, в гравитационном поле вязкоупругого тела массы пц. Предполагается, что

тг/тп! <С 1, тпз/тпг -С 1, а расстояние между телами, составляющими двойную планету, много меньше расстояния от их барицентра до третьего тела. Эта глава является обобщением работы Вильке В.Г., Шатиной А.В. (2001), где движение двойной планеты осуществлялось по орбитам с нулевыми эксцентриситетами в гравитационном поле неподвижного притягивающего центра.

В п. 2.1 описывается "плоская" постановка задачи, когда центры масс планет движутся в неподвижной плоскости, а их угловые скорости ортогональны этой плоскости. Взаимное расположение планет описывается с помощью векторов Их = С\С и Иг = С2С3, где Сг -центр масс г-ой планеты, С - барицентр двойной планеты. Получены уравнения движения системы в форме уравнений Рауса, состоящих из канонических уравнений относительно переменных Андуайе-Делоне /ь 12, /3, Ьх, 1/2, Си С2, ¥>1, 'Р2, <Рзу к, к, 9и 92, где переменные 1к, '-рк {к = 1,2,3) описывают вращательное движение планет, а переменные Сд^, Ь^, (_?' = 1,2) - орбитальное движение концов векторов 1*.!, 1^2, и уравнения в форме вариационного принципа Д'Аламбера-Лаграшка для определения векторов упругого смещения.

В п. 2.2 методом разделения движений и усреднения осуществляется построение приближенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных "действие", описывающих эволюцию поступательно-вращательного движения двойной планеты в гравитационном поле массивного вязкоупругого тела. В случае отсутствия деформаций "невозмущенные" уравнения интегрируются и описывают движение, когда концы векторов Их и 11.2 движутся по кеплеровским орбитам, а планеты вращаются с постоянными угловыми скоростями. Это движение используется в качестве порождающего для определения вынужденных колебаний вяз-коупругих шаров.

В результате подстановки найденных в первом приближении по малому параметру е» функций и^(г»,£) (г = 1,2,3) в правые части

уравнений относительно переменных "действие" и усреднения этих уравнений по быстрым угловым переменным 1ь и ¿2 (рассматривается нерезонансный случай), получена следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений седьмого порядка:

А = -^{^ЖеО-пг^Иео}, (5а)

^ = 0 =2,3), (5Ъ)

Е §Ш (ех) ~ Ш^з ы} , (5с)

Е §§ ^ - п*щРз ы} - (5с1)

Е {»Щъ ~п^ ' (5е)

=

и =

<?i =

<?2 =

i=2

Л 18/:. _

где Дц = -- - мй

Л 18p?/8ml2 (тпд + т3)" PaieiXi

~ лТБ 1

(т2 + ту) Ауе^-

Ali = д^ё -

(пг2 +тоз)

функции Fl (с), -^(б), р2,{е) И выражение £>21 определены вьппе, / -универсальная гравитационная постоянная, iW = mi + 771.2 + тпз, Pi - плотность г-ой планеты, г ¿о- ее радиус в естественном недеформи-рованном состоянии, о;,- = - угловая скорость г-ой планеты, Д- -ее центральный момент инерции в недеформированном состоянии / G^

(г = 1,2,3), Ej = у 1 — - эксцентриситет орбиты конца вектора

т? — 1 „ /27TCi (m2 + m3)3 /2m?ml

ствующие средние орбитальные движения.

Система уравнений (5) имеет первый интеграл, выражающий закон сохранения модуля кинетического момента системы относительно общего центра масс:

h + h + h + Gi + G2 = G0.

В п. 2.3 для случая, когда планета массы т^ моделируется материальной точкой (А и = Л23 = 0), проведено исследование стационарных решений соответствующей системы уравнений. Показано, что в зависимости от начальных условий система может иметь одно или два стационарных решения, оба из которых неустойчивы, либо не иметь стационарных решений. В стационарном движении все три планеты расположены на одной прямой и равномерно вращаются вокруг общего центра масс как твердое тело.

В п. 2.4 осуществлен переход от уравнений (5) относительно переменных Андуайе-Делоне к уравнениям относительно переменных oji (г = 1,2,3), rij, Cj (j = 1,2). В рамках изучаемой постановки задачи рассмотрен пример системы "Солнце-Земля-Луна". На основе данных наблюдений определены числовые значения параметров системы - эквивалентных коэффициентов вязкости планет. С помощью системы Matlab7.0.1 получены графики, отображающие картину эволюции системы в будущем.

В настоящее время Луна удаляется от Земли. Согласно полученным численным результатам, наибольшее расстояние, на которое она удалится, составит 512,4 тыс. км, что в 1,3 раза больше текущего значения большой полуоси ее орбиты. Одновременно с этим период обращения Земли вокруг оси сравняется с периодом обращения Луны вокруг Земли и составит 42,2 суток. Эти значения близки к полученным в работе Вильке В.Г., Шатиной A.B. (2001). Далее угловая скорость Земли продолжит убывать, а среднее орбитальное движение Луны - возрастать, и стационарного движения система не достигнет. Эксцентриситет лунной орбиты будет возрастать до мак-

симального значения, равного 0,1112, а затем начнет убывать.

Описанная картина эволюции лунной орбиты сходна с той, что была получена Г. Макдональдом (1964) при рассмотрении движения Луны по эксцентрической орбите без учета влияния Солнца.

В главе 3 исследуется поступательно-вращательное движение трех планет, моделируемых однородными изотропными вязкоупру-гими шарами масс Ш1, тг и тпз в поле сил взаимного притяжения в общей постановке задачи.

В п. 3.1 на основе вариационного принципа Д'Аламбера-Лагранжа выводятся точные уравнения движения системы.

В п. 3.2 методом разделения движений получена система приближенных уравпений движения трех вязкоупругих шаров с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией.

В случае, когда планеты моделируются абсолютно твердыми шарами, система имеет стационарные движения, в которых центры масс планет образуют равносторонний треугольник, и система равномерно вращается относительно общего центра масс с угловой скоростью, направленной вдоль постоянного вектора кинетического момента (лагранжевы треугольные точки либрации).

В п. 3.3 найден аналог треугольных точек либрации для системы трех вязкоупругих тел. В этом движении диссипация энергии отсутствует, планеты движутся как одно тело с постоянной угловой скоростью П, при этом их центры масс находятся в неподвижной плоскости, ортогональной вектору угловой скорости, образуя треугольник общего положения. Стороны этого треугольника И\2, Дхз и Д23 в первом приближении по малым параметрам е^ = 1>2,3) определяются следующими формулами:

Щ = Л +

п(1) л 4таг + 28то2 - 5т3 28т.1 + 4тп2 - 5ш3

Щ2' = -—-— 4- Дг-тт;-+

1 12ГП1 127712

„(1) . 4т 1 + 28т3 - 5т,1 28тх 4- 4т3 - 5то2

К\3' = а.1-—--+ А3-—-,

х-3 12тх 12то3

„(i) . . 4шг + 28m3 — 5тпг 28m2 + 4тпз - 5mi = Al + Aa--+ Аз-12шз-'

где / - универсальная гравитационная постоянная, И = /МП~2,

М = т! + т2 + т3, А^ = 105(5^ + 7)- гПо " ради"

ус г-ой планеты в недеформированном состоянии, - ее плотность (г = 1,2,3).

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Публикации по теме диссертации

1. Вильке В.Г., Шатпина A.B., Шатина Л.С. Движение трех вяз-коупругих планет в поле сил взаимного притяжения // Космические исследования, 2009, т.47, №5, с. 471-476.

2. Вильке В.Г., Шатина A.B., Шатина Л.С. Эволюция движения двух вязкоупругих планет в поле сил взаимного притяжения // Космические исследования, 2011, т.49, №4, с. 355-362.

3. Шатина Л.С. Эволюция движения двойной планеты в гравитационном поле массивного вязкоупругого тела // Вестник МГУ, сер.1, математика-механика, 2011, №6, с.32-37.

4. Шатина Л.С. Эволюция движения связки двух вязкоупругих планет в гравитационном поле массивной вязкоупрутой планеты // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, №4, часть 2, с. 361-363.

Подписано в печать /%.134,10 /Я Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. У,С Тираж У5 экз. Заказ /¿?

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имениМ. В. Ломоносова

61 12-1/814

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет Кафедра теоретической механики и мехатроники

На правах рукописи УДК 531.391

Шатина Любовь Сергеевна

Эволюция движения систем вязкоупругих тел

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук профессор В.Г. Вильке

Москва-2012

Оглавление

Введение 3

1 Эволюция движения двух вязкоупругих планет 12

1.1 Постановка задачи. Уравнения движения................................13

1.2 Построение приближенных эволюционных уравнений движения двух деформируемых шаров......................................................17

1.3 Стационарные движения и их устойчивость..............................25

1.4 Стационарные орбиты планет Солнечной системы......................30

1.5 Смещение перигелия Меркурия............................................32

2 Эволюция движения двойной планеты 34

2.1 Постановка задачи. Уравнения движения................................34

2.2 Построение возмущенной системы уравнений............................40

2.3 Стационарные решения и их устойчивость................................52

2.4 Эволюция движения системы Солнце-Земля-Луна......................55

3 О движении трех вязкоупругих планет 66

3.1 Постановка задачи. Уравнения движения................................66

3.2 Построение возмущенной системы уравнений............................70

3.3 Аналог треугольных точек либрации в задаче о движении трех вязкоупругих планет............................................................77

Заключение 80

Литература 82

Введение

В настоящей работе рассматривается эволюция поступательно-вращательного движения систем деформируемых планет и спутников, моделируемых однородными изотропными вязкоупругими телами. Рассматриваются задачи о движении систем двух и трех тел, а также о движении планеты со спутником в гравитационном поле массивного деформируемого тела.

Вопрос о влиянии приливов на движение небесных тел возник давно, в первую очередь в связи с наблюдаемым замедлением вращения Земли. Впервые мысль о том, что именно приливы, вызываемые Луной, являются причиной удлинения суток, высказал философ И.Кант в эссе "Untersuchung der Frage ...", где он утверждал, что Луна создает замедляющий момент, воздействующий на поверхность Земли до тех пор, пока земной день не сравняется по длительности с лунным месяцем. Хотя в своих рассуждениях Кант учитывал лишь океанические приливы, а не приливные деформации Земли как тела, его выводы предвосхитили результаты последующих исследователей.

Позже, в 1787 году, П.С.Лаплас предпринял попытку объяснить наблюдаемые явления в терминологии механики Ньютона, не затрагивая вопросов, связанных с приливами. Однако впоследствии Делоне и Адаме пересмотрели теоретические результаты Лапласа, показав, что они сильно расходятся с уточненными к тому моменту данными наблюдений.

Первые фундаментальные работы по изучению приливов и их воздействия на движение небесных тел были созданы в конце XIX века сэром Джорджем Говардом Дарвином [42, 105, 106]. Именно идеи Дарвина лежат в основе большинства современных теорий приливной эволюции.

Вслед за Э.Рошем и У.Томпсоном, исследовавшим равновесную форму жидкого небесного тела, деформирующегося под воздействием притяжения со стороны обращающейся вокруг него точечной массы, Дарвин в своих работах по изучению приливной эволюции системы "планета-спутник" моделировал планету однородным телом, состоящим из несжимаемой вязкой жидкости, а спутник - материальной точкой, движущейся в поле тяготения планеты. В силу вязкости, которую Дарвин полагал единственным источником трения в системе, вытянутая равновесная форма деформируемого тела смещена относительно оси, соединяющей его

центр масс с центром масс возмущающего тела, что приводит к вековой эволюции поступательно-вращательного движения системы. Основываясь на этой модели, Дарвин получил приливной потенциал в виде разложения в ряд Фурье по времени, где для учета диссипации каждой компоненте приписывается запаздывание по фазе.

Рассматривая систему Земля-Луна, Дарвин проследил влияние приливного трения на ее движение в прошлом и будущем. Он пришел к заключению, что наблюдаемое удлинение суток, происходящее значительно быстрее удлинения месяца, продолжится до тех пор, пока продолжительность одного оборота Земли вокруг своей оси не сравняется со временем одного обращения Луны по орбите, составив, согласно его расчетам, около 55 современных суток. Таким образом, Луна и Земля будут обращены друг к другу одной стороной, двигаясь как твердое тело. При этом Луна будет постепенно удаляться от Земли, переходя на новую орбиту с большей полуосью. Это движение изолированной системы Земля-Луна сходно с тем, как, согласно расчетам Дарвина, двигалась система на начальном этапе эволюции, когда Земля и Луна также были обращены друг к другу одной стороной, двигаясь на очень малом расстоянии с периодом обращения от трех до пяти часов, однако, в отличие от него является устойчивым. Положение же равновесия Луны на близкой орбите Дарвин считал неустойчивым, так что за небольшим смещением ее от изначального положения следует либо падение Луны на Землю, либо быстрое от нее удаление. Однако, сам Дарвин говорил о необходимости уточнения своих рассуждений, в частности, об учете влияния солнечных приливов, разрушающих устойчивость равновесного движения системы, что приводит к приближению Луны к Земле и, в конечном итоге, обрушению на нее.

Во второй половине XX века с появлением новых данных о движении небесных тел, полученных при помощи космических аппаратов и методов радиолокационной астрономии, интерес к приливной теории возродился. В первую очередь приливная теория была призвана дать описание эволюции Земли и Луны, а также объяснить резонансное движение Венеры, Меркурия и некоторых спутников. В работах Г.Макдональда, П.Голдрайха, У.Каулы, Ф.Мигнарда, П.Хата и других авторов [39, 100-112,115, 116, 119, 123, 124, 128] был развит динамический подход к приливному трению и проведено детальное исследование оказываемых им эффектов. Их выводы относительно будущего системы Земля-Луна сходны с теми, к которым пришел Дарвин, однако, выводы о ее прошлом разнятся в зависимости от выбранной модели трения. Можно выделить две основных группы приливных моделей, получивших название приливов по Дарвину и приливов по Макдональду. В первом случае [110, 112, 119] предполагается, что угол запаздывания пропорционален скорости обращения деформируемого тела вокруг своей оси, а во втором [115, 116, 123, 124] он полагается постоянным.

В последнее время появился ряд работ [107-109, 113, 114, 118, 120-122, 125-

127, 129, 130], обобщающих и развивающих классические модели, в том числе с учетом достижений в области сейсмологии и геофизики [107]. Особый интерес проблема приливного взаимодействия представляет в связи с исследованиями космического пространства за пределами Солнечной системы. Во многих работах изучается резонансное движение планет и спутников, влияние приливных эффектов на обитаемость экзопланет [103, 114], проводится исследование эволюции планет, подобных Земле, в том числе обращающихся вокруг звезд, находящихся на более поздних стадиях эволюции, чем Солнце [126, 120], а также проводятся расчеты, позволяющие сделать предположения о внутреннем строении экзопланет [120]. Помимо этого, особенности движения наблюдаемых планет позволяют сделать выводы о наличии вблизи других небесных тел, возмущающих их обриты [121].

Проблемам эволюции движения небесных тел посвящен цикл работ В.В. Белецкого [6-12]. Действие приливов на движение тела в гравитационном поле притягивающего центра (Солнца) учитывается путем введения приливного момента, заданного формулой М = Мп25 ^

х ег] х ег, где к - некоторая положительная константа, г - расстояние от Солнца до центра масс планеты или спутника, 6 - угол запаздывания приливного горба, еш - единичный вектор по направлению угловой скорости планеты, ег - единичный вектор, направленный вдоль оси, соединяющей центр масс планеты и центр притяжения. Главным выводом из анализа эволюционных уравнений является существование предельного движения, к которому стремятся все планеты. Так, динамически симметричное тело стремится к вращению вокруг главной оси инерции, направление которой стремится совпасть с нормалью к плоскости орбиты. Для тела, динамически близкого к сфере, центр масс которого движется по фиксированной круговой орбите, предельным движением является равномерное вращение вокруг нормали к плоскости орбиты с угловой скоростью равной орбитальной. В случае же движения тела по эллиптической орбите его угловая скорость зависит от эксцентриситета е и при е = 0 становится равной скорости орбитального движения. Также на основании формулы, связывающей отношение абсолютной угловой скорости вращения планеты к орбитальной с эксцентриситетом, сделаны выводы о вероятности захвата планет в резонансное движение.

В работе [80] воздействие приливного трения на вращательное движение планеты было исследовано на основе модельной задачи о движении твердого шара, покрытого слоем вязкой жидкости, по круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил. В силу вязкости максимумы приливных горбов, возникающих на свободной поверхности жидкости под воздействием гравитации со стороны притягивающего центра, смещаются относительно оси, соединяющей центр масс шара с притягивающим центром, что приводит к возникновению тормозящего момента приливного трения. Было описано относительное течение жидкости, форма свободной поверхности, а также определен приливной момент и выполнены его

численные оценки для планеты, имеющей те же параметры, что и Земля.

В работах [89, 90] Ф.Л. Черноусько для изучения движения механических систем с упругостью и диссипацией был предложен асимптотический метод разделения движений. Он основан на предположении о том, что время затухания собственных упругих колебаний рассматриваемой механической системы много меньше характерного времени движения ее как целого. Этим методом в указанных работах были получены уравнения движения в виде уравнений динамики твердого тела с дополнительными слагаемыми, обусловленными упругостью и диссипацией.

Влияние упругих сил на вращательное движение деформируемого тела, близкого к шару, было исследовано в работах [49, 76], в работе [76] были учтены также и диссипативные силы. Эффекты, связанные с нежесткостью в искусственных механических системах, изучались в [74, 81, 82]. Квазистатические движения вяз-коупругого тела относительно центра масс исследовались в работах [66, 67].

В настоящей работе применяется подход, разработанный Вильке В.Г. в монографиях [16, 17], где методы классической аналитической механики были обобщены на случай систем с бесконечным числом степеней свободы. Движения таких механических систем описываются сложными системами интегродифференциаль-ных уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах, определяемых в каждом случае естественным образом исходя из выбранной модели. Описанный в монографии метод разделения движений и усреднения позволяет перейти от этих уравнений к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию движения изучаемой системы. Указанный метод был применен в целом ряде работ, посвященных проблемам небесной механики [18-22,25-35, 53-55, 58, 60, 83, 92-94, 97, 133].

В числе прочих в монографии [16] рассмотрены задачи о движении вязкоупру-гого тела в центральном ньютоновском поле сил, системы свободных вязкоупругих тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения, задача о движении двух деформируемых планет в поле сил взаимного притяжения, исследованы резонансные явления при эволюции поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты. Показано, что рассеяние энергии при деформации тел вызывает стремление систем к стационарным движениям - равномерным вращениям как целого, на которых диссипация энергии отсутствует.

Одной из моделей, описывающих приливные явления в Солнечной системе, служит вязкоупругое тело, движущееся в гравитационном поле притягивающего центра. Эта задача была рассмотрена также в работе [18]. Были выведены точные уравнения движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил в рамках линейной теории вязкоупругости. Приближенные векторные уравнения, описывающие движение центра масс шара и изменение его момента количеств движений относительно центра масс были получены методом разделения движений. В качестве невозмущенного движения было взято движение абсолютно

твердого шара в гравитационном поле притягивающего центра. В этом случае точные уравнения интегрируются в квадратурах и описывают движение, в котором шар равномерно вращается вокруг неподвижной оси, а его центр масс описывает кеплеровскую орбиту. Показано, что в зависимости от значения модуля момента количества движения системы возмущенная система уравнений может иметь одно или два стационарных решения, либо не иметь ни одного. В стационарном движении центр масс шара движется по круговой орбите, а деформированный шар имеет постоянную ориентацию в орбитальной системе координат. В случае существования двух стационарных орбит устойчивой является орбита с большим радиусом, орбита же с меньшим - неустойчивой.

Ограниченная постановка задачи о движении вязкоупругой планеты при условии, что ее центр масс движется по круговой орбите, была рассмотрена в работах [16, 27, 28]. Методом разделения движений и усреднения были получены приближенные уравнения, описывающие вращательное движение планеты в переменных Андуайе, и исследована эволюция этого движения. Плоское поступательно-вращательное движение планеты на орбите с ненулевым эксцентриситетом было описано в переменных Делоне-Андуайе в работе [30]. Эволюционные уравнения данной системы в пространственном случае были получены и исследованы в работе [93].

Указанный метод был применен и к другим классическим задачам небесной механики, обобщенным на случай деформируемых планет, в том числе к задаче двух тел [16, 35], ограниченной круговой задаче трех тел [32] и задаче N тел [21].

Для задачи двух тел, оба из которых моделируются вязкоупругими телами, в [16] были получены уравнения движения в векторном виде, а также показано, что в зависимости от начальных условий система может иметь не более двух стационарных решений, причем в случае существования двух стационарных решений то, что соответствует большему расстоянию между центрами масс планет является устойчивым, а меньшему - неустойчивым.

В [32] рассматривается ограниченная круговая задача трех тел, когда два массивных тела, моделируемых материальными точками, движутся по заданным круговым орбитам, а центр масс сферически симметричного деформируемого тела малой массы движется в плоскости круговых орбит первых двух тел, причем его угловая скорость направлена по нормали к этой плоскости. Показано, что орбита центра масс деформируемого тела стремится к круговой с центром в наиболее массивном теле, при этом, если она находится внутри орбиты массивного тела меньшей массы, то ее радиус уменьшается, стремясь к новому стационарному значению, а если вне, то увеличивается.

Особый интерес представляет класс моделей, учитывающих неоднородность строения планет [25, 92, 102]. В [25] изучена модель планеты, состоящей из твердых осесимметричных оболочки и ядра с различными главными моментами инерции,

соединенных вязкоуиругим слоем и взаимодействующих по закону всемирного тяготения друг с другом и внешней точечной массой. Получены уравнения, описывающие движение ядра относительно оболочки, и в качестве примера рассмотрена система Земля-Луна.

В основе многих исследований динамики вязкоупругих тел лежит асимптотический метод разделения движений и усреднения в сочетании с модальным подходом [2, 13-15, 43, 44, 47, 50, 63, 69, 71-72]. Согласно этому методу вектор упругого смещения представляется в виде ряда по ортонормированным собственным формам задачи свободных колебаний упругой планеты, коэффициенты которого являются обобщенными нормальными координатами, описывающими движение упругой планеты по внутренним степеням свободы. Данный метод был в том числе применен к изучению вращательного движения динамически симметричной планеты на фиксированной кеплеровской орбите в поле притягивающего центра [43, 73], пространственному варианту задачи о движении материальной точки в поле притяжения симметричной вязкоупругой планеты, вращающейся вокруг оси симметрии [15, 63], движения системы "деформируемая планета-спутник" в гравитационном поле притягивающего центра в плоском и пространственном случаях [72, 73], задаче трех