Эволюция движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

□□ЗОВ9272

Шатина Альбина Викторовна

ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Специальность 01 02 01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2007

003069272

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета)

Научный консультант-

доктор физико-математических наук, профессор Вильке Владимир Георгиевич

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор Белецкий Владимир Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор Баркин Юрий Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор Марков Юрий Георгиевич

Ведущая организация:

Вычислительный центр им А А Дородницына Российской академии наук

Защита диссертации состоится 18 мая 2007 года в 16 05 на заседании диссертационного совета Д 501 001 22 при Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу

119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 17 апреля 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент В А Прошкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию эволюции поступательно-вращательного движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы, моделируемых либо вязкоупругими телами, либо твердыми телами с жестко прикрепленными к ним вязкоупругими элементами

Вопрос о влиянии внутреннего вязкого трения на поступательно-вращательное движение деформируемого тела возник много лет назад, прежде всего в связи с изучением приливной эволюции движения планет Солнечной системы В небесной механике для описания движений естественных и искусственных тел, как правило, используются простейшие модели классической механики — материальная точка и абсолютно твердое тело, а приливная теория базируется на ряде гипотез относительно величины приливных горбов и их расположения относительно вращающейся планеты

Первые фундаментальные работы по изучению приливной эволюции в системе "планета-спутник" были выполнены в конце XIX века небесным механиком и космогонистом Дж Г Дарвиным В 60-е годы XX века новая научная информация о планетах и спутниках, полученная с помощью космических аппаратов и радиолокационной астрономии возродила интерес к приливной теории Макдональд Г, Гойлдрах П , Пил С , Каула У и ряд других авторов провели более детальное исследование эффектов приливного трения

Приливные силы оказывают влияние не только на орбиты спутников, но также и на их вращательные движения, и являются важнейшим дисси-пативным фактором, приводящим произвольное первоначальное движение тела к захвату в резонансный режим движения Ряд важных результатов по приливной эволюции вращательного движения небесных тел был получен Белецким В В (1975, 1978)

Исследования по влиянию деформируемости и внутренней вязкости материала на движение тела стали также актуальны в связи с попыткой объяснения расхождений между теоретическим результатами и данными наблюдений в динамике Земли, с появлением искусственных спутников и

обнаружением новых эффектов в их угловых движениях, обусловленных упругими свойствами

При изучении динамики систем, содержащ1гх вязкоупругие элементы большой жесткости, широко применяется асимптотический метод, предложенный Черноусько Ф Л (1978, 1980) Получаемые с помощью этого метода уравнения движения имеют вид уравнений динамики твердого тела с дополнительными слагаемыми, обусловленными внутренней упругостью и диссипацией, и описывают движение системы, устанавливающееся после затухания собственных упругих колебаний и вызванное внешними силами и силами инерции

Для исследования эволюции движения механических систем, содержащих вязкоупругие элементы большой жесткости, используется асимптотический метод разделения движений и усреднения (Вильке В Г , 1983), который позволяет перейти от уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, неизвестными в которой являются переменные "действие" невозмущенной задачи

Одно из важных направлений, посвященных изучению динамики распределенных систем, представлено в монографиях Вильке В Г (1986, 1997), где хорошо развитые методы классической аналитической механики обобщаются на случай систем с бесконечным числом степеней свободы Для ряда моделей рассматриваемых систем доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений уравнений движения Рассмотрены задачи о движении вязкоупругого тела в центральном ньютоновском поле сил, системы вязкоупругих тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Эти и другие задачи являются модельными задачами в теории приливов на новом ее этапе развития, когда на смену моделей абсолютно твердого тела и материальной точки приходит модель пространственного вязкоупругого тела

Цель диссертации состоит в развитии и углублении методов исследования эволюции движения систем с бесконечным числом степеней свободы и применении этих и ранее известных методов к исследованию дис-сипативной эволюции движения естественных и искусственных тел в задачах небесной механики и механики космического полета

Основные результаты диссертации и их научная новизна.

Для исследования эволюции поступательно-вращательного движения вязкоупругого тела, а также твердого тела с жестко прикрепленными к нему вязкоупругими элементами, предложен асимптотический метод, сочетающий в себе метод разделения движений и метод Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными Этот метод в предположении больших коэффициентов жесткости и демпфирования вязкоупругой среды, а также наличия малых внешних периодических возмущений, позволяет получить приближенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую медленную диссипативную эволюцию поступательно-вращательного движения изучаемой механической системы Получена эволюционная система уравнений и проведен ее анализ в задаче о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил Указанная система уравнений описывает взаимное изменение параметров орбиты и вращательного движения вязкоупругого шара и может быть использована при изучении приливной эволюции движения планет Солнечной системы

Исследована эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел, являющейся модельной задачей небесной механики Рассмотрен случай, когда массивные тела, моделируемые материальными точками с массами 1 и // (//<<1), и центр масс вязкоупругого шара движутся в одной плоскости, а вращение вязкоупругого шара относительно центра масс происходит вокруг нормали к этой плоскости Показано, что эволюция движения вязкоупругого шара разбивается на три этапа, характеризующихся различными временами Получены уравнения, описывающие движение вязкоупругого шара на каждом из этих этапов в классе квазикруговых орбит

Исследована эволюция движения двойной планеты, моделируемой материальной точкой массы и однородным деформируемым вязко-упругим шаром массы т , в гравитационном поле неподвижного центра - материальной точки единичной массы ¡л {/л«т<< 1) в классе квазикруговых орбит Рассмотрен случай, когда движение

5

центра масс вязкоупругого шара и материальной точки массы ц происходит в одной плоскости, проходящей через притягивающий центр, а вращение шара относительно центра масс происходит вокруг нормали к этой плоскости Построены фазовые портреты, позволяющие выявить взаимосвязь между изменением радиуса орбиты центра масс двойной планеты и расстоянием между составляющими ее элементами

• Получена эволюционная система уравнений, описывающая поступательно-вращательное движение сферически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил Найдены многообразия стационарных решений и исследована их устойчивость на основе уравнений в вариациях

• Исследована эволюция вращательного движения динамически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите Получены приближенные уравнения, описывающие поведение рассматриваемой механической системы на этапах "быстрой" и "медленной" диссипативной эволюции Для этапа "медленной" диссипативной эволюции построены фазовые портреты

• Рассмотрен пространственный вариант задачи о двойной планете Методом разделения движения построена возмущенная система уравнений, описывающая поступательно-вращательное движение планеты и спутника с учетом возмущений, вызываемых упругостью и диссипацией Проведен анализ квазистатических деформаций вяз-коупругой планеты, моделируемой однородным изотропным вязко-упругим шаром Получено квазистатическое решение задачи теории упругости в случае, когда планета моделируется механической системой, состоящей из абсолютно твердой невесомой сферы, к которой с внешней стороны жестко прикреплена вязкоупругая сферическая оболочка, а внутри имеется подвижное внутреннее ядро

Все результаты диссертации являются новыми

Методы исследования. В работе используются методы аналитической механики, метод разделения движений, применяемый к механическим системам, содержащим деформируемые элементы большой жесткости (Черноусько Ф JI (1980), Вильке В Г (1983)), метод усреднения, асимптотический метод Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и мед-

ленными переменными (Арнольд В И , Козлов В В , Нейштадт А И (1985))

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы получены на основе сформулированных в ней гипотез и строго обоснованы

Практическая ценность работы. Результаты диссертационной работы, полученные в задачах о поступателыга-врашательном движении вяз-коупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, в задаче о двойной планете и в ограниченной круговой задаче грех тел, могут найти применение в приливной теории движения планет и их спутников и геодинамике Результаты исследования поступательно-вращательного движения спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил и вращательного движения спутника на круговой орбите могут быть использованы на этапе предварительного проектирования больших космических конструкций Методические приемы, использованные при выводе точных уравнений движения в рамках рассматриваемой модели и получении приближенной системы уравнений, описывающей поступательно-вращательное движение, могут быть полезны при исследовании сложных механических систем

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Ш-ем и 1У-ом Международных симпозиумах по классической и небесной механики (Великие Луки, 1998, 2001), на Международном научном симпозиуме по проблемам механики деформируемых тел, посвященном 90-летию со дня рождения А А Ильюшина (Москва, 2001), на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на УШ-ой Международной конференции Устойчивость, управление и динамика твердого тела (Донецк, 2002) Результаты диссертации докладывались на научных семинарах механико-математического факультета МГУ им Ломоносова под руководством акад Румянцева В В и проф Карапетяна А В (1999, 2002, 2007), под руководством чл-корр РАН Белецкого В В и проф Голубева ЮФ (2001, 2002), под руководством проф Вильке В Г и проф Самсонова В А (2001), на научном семинаре в ГАИШ им Штернберга П К под руководством проф Баркина Ю В (2001), на научном семинаре кафедры теоретической механики Московского энергетического института под руководством проф Мартыненко

Ю Г (2001), на 52-ой, 53-ей, 54-ой научно-технических конференциях МИРЭА (Москва, 2003, 2004, 2005), на семинаре под руководством проф Шевалье Л и Паскаль М в университете Пьера и Мари Кюри (Париж, Франция, 2001)

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 13 статьях (из них 10 - в рецензируемых отечественных журналах), список которых приведен в конце автореферата В совместных работах с Вильке В Г авторы внесли равный вклад и несут равную ответственность за полученные результаты

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы Работа содержит 34 рисунка Общий объем диссертации составляет 250 страниц Список цитируемой литературы включает 141 наименование

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, приведен обзор литературы соответствующей тематики и кратко изложено содержание диссертации

Глава 1. Асимптотические методы в механике систем с бесконечным числом степеней свободы

В первой главе диссертации формулируется постановка задачи о поступательно-вращательном движении механической системы с бесконечным числом степеней свободы, выводятся уравнения движения и излагаются асимптотические методы исследования Под механической системой с бесконечным числом степеней свободы понимается либо вязкоупругое тело, либо твердое тело с жестко прикрепленными к нему вязкоупругими элементами

Постановка задачи и вывод уравнений движения в форме уравнений Рауса из вариационного принципа Д'Аламбера-Лагранжа составляют содержание § 1 1

Предполагается, что рассматриваемая механическая система занимает область С2 = П1 и 02 в евклидовом пространстве Е , причем П, — это

область, занимаемая твердым телом, а — вязкоупругим в естественном недеформированном состоянии (в случае вязкоупругого тела П, - 0) Помимо инерциальной системы координат ОХ УХ вводятся система осей Ке-нига С'С|С2^з и подвижная система координат Сх1х2х3 с началом в центре масс механической системы в деформированном состоянии Положение точки МеО относительно инерциальной системы координат ОХ)"/, определяется радиус-вектором

где г е О, и (г,/) - вектор упругого смещения, обращающийся в нуль для точек твердого тела, Г1( — радиус-вектор точки С, Г — оператор перехода от системы координат Сх\х2х-, к системе осей Кенига

Радиус-вектор Г1с и "связанная" с деформируемой системой система координат Сххх2х3 определяются однозначно по заданному векторному полю Щг, I) следующими условиями

где т — масса всей системы, р — распределенная плотность, (Ьс = сЬс^<1х2(1х з

Предполагается, что деформируемая часть рассматриваемой механической системы однородна, изотропна и имеет постоянную плотность р, а относительные перемещения точек при деформациях и(г,/) малы

Потенциальная энергия упругих деформаций задается в соответствии с линейной теорией упругости квадратичным функционалом ^[и], который по предположению содержит множителем "большой" параметр N, характеризующий жесткость упругой среды Вводится малый параметр £ = N~l При е = 0 вектор-функция и(г, г) полагается равной нулю, и механическая система представляет собой абсолютно твердое тело Функционал внутренних диссипативных сил £/[и] определяется соотношением = где х > 0 — коэффициент внутреннего вязкого трения, те

рассматривается модель Кельвина-Фойгта

Кинетическая энергия системы определяется равенством

Щг,/) = Кс(0 + Г(0(г + и(г,0),

(1)

(2)

T = - ^R2pdx = - J[r_1Rc + tox(r + u) + u]2p<&, юх() = Г-1Г(), (3) n a

а функционал потенциальной энергии внешних сил полагается заданным в виде

n = n[R,a,//], n[R,a + 2^,/i]=n[R,or,//], (4)

где a{t) = a>0t + а{0), а>0 = const, ц — малый параметр Вариационный принцип Д'Аламбера-Лагранжа имеет вид

Jr/5R/x£c + (V КП, Ж) + (V иё[и] + V u3[n], Ju)n2 +

a

+ j<5udx+ к2 jrot Sudx = О, V¿u€ 93, (5)

a2 n2

где 3wj = >.t (/), X2 =3i2(0 - неопределенные множители Лагранжа, порожденные условиями (2)

Конфигурационным пространством системы является прямое произведение Жх95, где .11 — шестимерное дифференцируемое многообразие с локальными координатами qx, , q6, а 93 - банахово пространство векторных функций u(r,r) Обобщенные координаты с/,, ,q6 определяют положение точки С в системе координат OXYZ и ориентацию подвижной системы координат Cxjx2x3 относительно осей Кенига з

Rc =кС(?1»?2»9З). r = r(q4,qs,q6), откуда следует, что Т = j[q,q,u,u], П = 1\[ц,и,а,/л]

Уравнения движения выводятся из вариационного принципа Д'Аламбера-Лагранжа (5) и выписываются в форме уравнений Рауса, причем канонические переменные (p,q), где р = V q 7' - обобщенные импульсы, используются для описания поступательно-вращательного движения деформированной системы, а лагранжевы переменные и, (г, t) (г = 1,2,3) для описания деформаций

Функционал Рауса определяется равенством 6

Ж = - Т +11 + (ч.Ч)-»(Р.Ч) >

1=1

а уравнения движения имеют вид

[-—Уи^г + Уи5? + Уи2[и]+К1><5и| + >.2 [гог<5ш& = 0 У<5иеЗЗ (7)

V Л п2

Система уравнений (6)—(7) представляет собой сложную систему ин-тегродифференциальных уравнений в банаховом пространстве, содержащую малые параметры е и ц Малый параметр е отвечает за возмущения, связанные с нежесткостью рассматриваемой механической системы, а малый параметр // - с малыми возмущениями, индуцируемыми полем внешних сил Предполагается, что при е = 0, ц = 0 задача является интегрируемой, а потому в целях использования асимптотических методов от переменных осуществляется переход к переменным (1,<р), которые в невозмущенной задаче (т е при £ = 0, /г = 0 ) являются переменными "действие-угол" В классе рассматриваемых в данной диссертации задач в роли таких переменных выступают переменные Андуайе-Делоне

В § 1 2 дано описание переменных Андуайе-Делоне, выписаны соотношения, позволяющие выразить функционал Рауса в этих переменных, те представить его в виде ¿(1 =5£[1,<р,и,и,а,ц\ Показано, что уравнения (6) в переменных (I, <р) сохраняют свою структуру, т е имеют вид 8Ж 8.91 , „ „

—> <Рк=-^~> ,6 (8)

°<Рк д1к

и совместно с уравнениями (7) и условиями (2) образуют полную систему уравнений, определяющую движение данной механической системы

На следующем шаге к полученной системе уравнений применяется метод разделения движений, описание которого содержится в §1 3

При £ = 0, когда жесткость упругой среды бесконечно велика, перемещения и(г, г) обращаются в нуль, и рассматриваемая механическая система движется как твердое тело Функционал Рауса в этом случае имеет вид

У1[\,ф,0,0а,/л ] = Ль(I)'+ /А'[1 а уравнения (0 8) выглядят следующим образом

1к=-М^~, <рк=сок(1) + м^-, к = 1, ,6,^(1) = ^- (9)

д(рк 81 к 81к

Уравнение (7) после умножения обеих его частей на N~1 становится сингулярно возмущенным, т е содержащим малый параметр при старшей производной по времени Из уравнения (7) определяется вектор-функция и, описывающая вынужденные колебания точек вязкоупругой среды, обусловленные действием внешних сил и сил инерции, которые называются квазистатическими Указанное решение представляется в виде

и = ш [ (г, I, ф, а, х, //) + О(е{хсо )2), (10)

где со = шах сок (1(0))

к

После линеаризации правых частей уравнений (8) по и и и и подстановки в них вместо и и и найденного частного решения (10) получается замкнутая система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных, описывающих поступательно-вращательное движение механической системы, и учитывающая возмущения, связанные с внутренней упругостью и диссипацией

Математическое обоснование и оценка погрешности метода разделения движений в динамике систем с упругими и диссипативными элементами в случае, когда эта система имеет конечное число степеней свободы, изложено в работах Черноусько Ф Л , Шамаева А С (1983), Синицына Е В (1991) на основе метода пограничных функций для систем сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений (Васильева А Б , Бутузов В Ф (1973)), а в работе Сидоренко В В (1995) на основе метода теории интегральных многообразий (Митропольский Ю А , Лыкова О Б (1973), Стрыгин В В , Соболев В А (1988)) В работе Шатиной А В (1990) получено асимптотическое представление решения линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве с малым параметром при старшей производной и неоднородном члене

В §1 4 излагаются асимптотические методы исследования полученной в §1 3 системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая имеет вид

дК

— + £^(1 к = 1, ,«,

дсрк

(р1 =(0^)+ + 1 = 1> >т (И)

31,

В рассматриваемой постановке задачи к,1 = 1, ,6 Однако, вследст-

12

вие применения метода разделения движений правые части получаются независящими от некоторых угловых переменных и, следовательно, уравнения для этих переменных отделяются от системы (11) Порядок системы уравнении (11) в ряде случаев также понижается из-за наличия первых интегралов

При е = О система уравнений (11) становится стандартной в смысле применения к ней метода усреднения (Арнольд В И (1978)) Переменные "действие" в этом случае не эволюционируют, т к при отсутствии диссипации энергии, вызываемой внутренним вязким трением упругой среды, данная система является консервативной

Если К = О, то система уравнений (11) исследуется методом усреднения Усреднение по быстрым угловым переменным в предположении отсутствия резонансов приводит к замкнутой системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных действие и медленных угловых переменных

Если К{\,<|>,а, /() ^ 0, то система уравнений (11) рассматривается как система с малым параметром ¡л при фиксированном значении параметра е Рассматривается ситуация, когда при ц = О уравнения (И) выглядят следующим образом

1к=£ХГк0(1), к = 1, ,п, (12)

^ =^(1) + £С?/0(1), / = 1, ,т (13)

Система уравнений (12) образует замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных действие Предполагается, что она обладает притягивающим множеством - аттрактором, к которому стремятся почти все решения этой системы Это притягивающее множество содержится во множестве стационарных решений, определяемых системой уравнений 7^0(1) = 0, к = 1, ,п

Решение системы уравнений (11) по аналогии с методом методом Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными (Арнольд В И , Козлов В В , Нейштадт А И (1985)) ищется в виде

lk=Jk+|лNkx{3,\ц,s,x) + ^í1Nk2(J,v?,e,x)+ , к = I <р1=1//1+мМп(3,\\>,е,х)+М2М12(-1,у,г,х)+ ,/=1, ,т, (14)

где 3 = , Jn), V)/ = {рс,у/х, ,цгт ), функции 2ж -периодичны

по угловым переменным у/х, ,у/т,а и имеют по этим переменным нулевое среднее

Как функции времени переменные Jx, , ./„ и (//,, ,у/т определяются следующей системой дифференциальных уравнений

цг1=В10{3,е)+р1Вп(3,Е,х)+/-12В12{3,£,х)+ ,1 = 1 ,т, (15)

где

Ак0{3,Е,х)=ЕХРк0{3), В10 (3,е)=а>1 (з)+еС10 (Л) (16)

Полагая в ¡л -окрестности асимптотически устойчивого стационарного решения системы (12) Ако(3,е,х)=£ХМЛко(3) и подставляя разложения (14), (15) в уравнения (11), приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра ¡л можно последовательно определить неизвестные функции Ак],К^,В1},М1} (к = 1, ,п,1 = 1, ,т, } = 1,2, ) при условии отсутствия резонансных соотношений

Если Ак1(3,е,х) £ 0, к- 1, ,п , то приближенные уравнения, описывающие эволюцию переменных действие на этапе медленной диссипа-тивной эволюции, имеют вид

Jk=£XFko(3)+ex^lFkl{3),k=h ,п (17)

Если же Ак1(3,е,х) = 0, к = 1, ,п , то следует найти функции Ак2(3,е,х), определяющие эволюцию переменных действие во втором приближении по малому параметру ¡л Функции Ак1(3,е,х) второго приближения по малому параметру /л необходимо искать также в случае, когда система уравнений (17) обладает асимптотически устойчивым стационарным решением В /л2 - окрестности этого стационарного решения необходимо учитывать следующее приближение по // Тогда эволюционная система уравнений примет вид

Jk=cx(Fk0{3)+|лFkx{3)+ц2Fk2(3)), к=\, ,п (18)

Система уравнений (12) описывает "быструю" диссипативную эволюцию переменных действие, а приближенная система дифференциальных уравнений (17) (или (18)) описывает "медленную" диссипативную эволю-

14

цию этих переменных

Глава 2. Эволюция движения вязкоупругого шара

Вторая глава диссертации посвящена исследованию эволюции движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил

В §2 1 формулируется постановка задачи, выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса с использованием переменных Андуайе-Делоне, составляющих гамильтонову часть переменных и описывающих поступательно-вращательное движение шара Обобщенные координаты, описывающие деформацию шара, составляют лагранжеву часть переменных В данной задаче поле внешних сил центральное, и, следовательно, сохраняется вектор момента количеств движения С0 относительно притягивающего центра, который равен сумме векторов моментов количеств движения в орбитальном движении и в движении относительно центра масс в о = в + К Инерциальная система координат ОХУ7. выбирается так, что ее начало совпадает с притягивающим центром, а ось 02 направлена по вектору С о

Деформированное состояние шара описывается классической теорией упругости малых деформаций, в частности функционал потенциальной энергии упругих деформаций имеет вид

Й[и]= -а2ПЕ)с1х, а1 >0, 0<а2 <3,

где Е — модуль упругости Юнга, у — коэффициент Пуассона

Потенциальная энергия внешнего и внутреннего гравитационных полей представляется функционалами

в центральном пыотоповском поле сил

Е(1 —V)

2(1 + г)(1 — 2у) '

где у = /т{, / — гравитационная постоянная, тх - масса притягивающего центра, т - масса вязкоупругого шара, г0 — его радиус в естественном не-деформированном состоянии

В §2 2 методом разделения движений и усреднения осуществляется построение приближенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных "действие", описывающих диссипа-тивную эволюцию поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в центральном поле сил

В соответствии с рассматриваемой в первой главе моделью жесткость деформируемого шара предполагается большой, и вводится малый параметр е , обратно пропорциональный модулю упругости Юнга При е = 0 соответствующая система уравнений описывает движение абсолютно твердого шара в центральном ньютоновском поле сил Эта система является интегрируемой, а движение, ею описываемое, таково центр масс шара движется по кеплеровской орбите как материальная точка с массой, равной массе шара, при этом шар равномерно вращается вокруг оси, неизменно ориентированной в инерциальной системе координат Рассматриваются финитные движения, когда кеплеровская орбита в невозмущенном движении представляет собой эллипс Это невозмущенное движение используется в качестве порождающего для определения вынужденных колебаний вязкоупругого шара

Решение задачи о деформации шара при отсутствии массовых сил было получено Томсоном с использованием сферических функций Специальный вид массовых сил в исследуемой задаче позволяет получить ее решение в виде суммы однородных сферических функций третьего и первого порядков (Ляв А (1935), Лейбензон Л С (1942)) Функции, описывающие вынужденные колебания вязкоупругого шара, используются для формирования правых частей "возмущенной" системы уравнений, описывающей его поступательно-вращательное движение Далее применяется метод усреднения (рассматривается нерезонансный случай)

Полученные в результате указанной процедуры эволюционные уравнения представляют собой замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка относительно переменных действие

/, = -Act)}

/, =-Aú)j

I з = —Aco ц

(l - e2 ) 9/2 cosS2 (e)«2 ~ zF2 (Фа (l ~ ) ^j>

(l-e2) ^2j-^(zcosi + cos^j)/7'] (e)a>2 — cos(e)a»4 (l - e2) ^ |, ¿ = Д«4 (l- e2 Г (e)02 - F3(e)fl,4(l -e2)"3/2 },

G = A«44 (l - ^ Г/2 (Ф2 ~ F2 (e)®411" ^}.

Я = -/3, (19)

где

2 ^ 4яг0 (1 + v)(9v + 13) y2m3 /2 „ /3

Л = 18frp Z)2, D2 =-----со, =L-r-, co2 = cos£,

2 2 105(5v + 7) ¡} A I2

eos ó 2 = — , eos i = H / G, z = cos(^i + /), e2 = 1-G2/L2 , h

Fx(e) = 1 + 3e2 + —e4, F2(e) = 1 + —¿>2 + — И + —e6, 1 8 2 2 8 16

. , 31 2 255 4 185 6 25 8

F*(e) = 1 + — e +-e +-e +—e

3 2 8 16 64

Здесь /2 = |K|, К — вектор момента количеств движения шара относительно центра масс, , /3 - проекции вектора К на оси Сх3 и Сс3 соответственно, L,G,H - переменные Делоне, описывающие орбиту центра масс Переменная G- модуль вектора момента количеств движения G в орбитальном движении, Н - проекция вектора G на ось OZ, е - эксцентриситет орбиты центра масс шара, / - наклонение орбиты, cos / = Н /G

Уравнения (19) имеют три первых интеграла Два из них являются следствием закона сохранения момента количеств движения G0, третий является следствием сферической симметрии и соответствует тому факту, что в усредненных уравнениях угол между осью Сх3 связанной с шаром подвижной системы координат, и вектором кинетического момента К относительно точки С остается неизменным Эти уравнения описывают при-

ливную эволюцию поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты в поле притягивающего центра

В §2 3 проводится анализ эволюционной системы уравнений Находятся стационарные решения системы и исследуется их устойчивость на основе уравнений в вариациях Показано, что в стационарном движении центр масс движется по круговой орбите, ортогональной вектору С0, ось вращения шара направлена по нормали к плоскости орбиты, при этом деформированный шар обращен одной стороной к притягивающему центру Если модуль вектора С0 удовлетворяет условию

С0>^[зАуТт¥, (20)

где А — момент инерции недеформированного шара относительно его диаметра, у — гравитационная постоянная, т — масса шара, то имеются

две стационарные орбиты Если С0 =~~]ЗАу2т3 , то такая орбита одна В

случае, когда С0 <~4]ЗАу2т3 , стационарных решений эволюционная

система не имеет В случае двух стационарных орбит устойчивым является стационарное движение, соответствующее орбите большего радиуса, а стационарное движение с меньшим радиусом орбиты неустойчиво Этот результат соответствует полученному ранее в работе Вильке В Г (1980) при анализе векторных эволюционных уравнений относительно вектора кинетического момента вращательного движения К и радиус-вектора центра масс шара

Следует отметить, что в случае существования одной стационарной орбиты ее радиус равен -Д^2г0, где г0 — радиус шара, а в случае двух стационарных орбит радиус меньшей орбиты меньше этого значения Однако эволюционные уравнения выводятся в предположении, что радиус шара много меньше расстояния от его центра масс до притягивающего центра Это предположение исключает из рассмотрения орбиты с радиусами порядка г0 В изолированной системе планета — притягивающий центр (Солнце) условие (20) выполнено для всех планет Солнечной системы Таким образом, можно утверждать, что диссипативная эволюция поступательно-вращательного движения планеты в центральном ньютоновском

поле сил протекает так, что ее движение стремится к стационарному

Тот факт, что приливные силы приводят первоначальное вращение тела к захвату в резонансный режим движения, когда период обращения по орбите и период вращения вокруг оси совпадают, был установлен Белецким В В (1965) при исследовании вращательного движения твердого тела под действием приливных сил, момент которых определялся феноменологически В Солнечной системе почти стационарное движение осуществляет Луна относительно Земли, спутники Юпитера Ио, Европа, Ганимед, Каллисто, ряд других спутников планет

В силу полученной эволюционной системы уравнений найдены производные по времени от наклонения орбиты г (угла между векторами С 0 и С ), угла между векторами СвиК,и эксцентриситета орбиты е Показано, что существует класс движений, когда вращение вязкоупругого шара относительно центра масс происходит вокруг нормали к плоскости

орбиты, совпадающей с вектором С0 Если 1Ф 0, то -- < 0, и, следовательно, наклонение орбиты в процессе эволюции уменьшается Эволюция угла (5, имеет более сложный характер В частности, в случае обратных вращений (когда к/2 < с), + / < тг) угол <5, уменьшается, а в случае прямых вращений (0 <5, +кл,'2) может происходить увеличение угла если угловая скорость вращения планеты вокруг своей оси превышает ее среднее движение по орбите Эффект возможного увеличения угла <51 с последующим его уменьшением до нуля описан в работах Белецкого В В (1975) при исследовании приливной эволюции вращательного движения планет

Показано, что уравнения движения допускают класс орбит с нулевым эксцентриситетом Если е * О , то в случае обратных вращений е уменьшается, а в случае прямых вращений может происходить увеличение эксцентриситета при достаточно большой угловой скорости собственного вращения по сравнению с орбитальной

В §2 4 рассмотрен частный случай задачи о движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, когда центр масс шара движется в плоскости ОАТ, а вращение относительно центра масс происходит вокруг нормали к плоскости орбиты Правые части "возмущенной" системы уравнений в этом случае зависят лишь от одной угловой переменной -

истинной аномалии, по которой и производится усреднение Проблема ре-зонансов в данном случае отсутствует Построены фазовые портреты в плоскости переменных (£,/), где / =| К | в случае прямого вращения и

/ = —|К| в случае обратного вращения, а Ь =| в | (1 — е2)~°5, а также в плоскости переменных (1,е)

Глава 3. Эволюция движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел

Третья глава диссертации посвящена исследованию эволюции движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел Рассматривается следующая постановка задачи Два массивных тела, моделируемых материальными точками Л/, и М2 с массами равными единице и ц, где // «1, движутся по круговым орбитам под действием сил ньютоновского притяжения вокруг общего центра масс О в плоскости ОХУ При этом ОМ2 = Ъ, ОМ{ = /лЬ , а угол а между осью ОХ и радиус-

вектором ОМ2 точки М 2 изменяется по

закону а(0 = £Уз?/(1 + /')+о;(0)> соъ=^[/Ь~ъ, где / - гравитационная постоянная Третье те то - это вязкоупругий шар массы от, т « /л Предполагается, что третье малое по массе тело не влияет на движение первых двух и движется в гравитационном поле, порожденном первыми двумя телами Его центр масс С движется в плоскости ОХУ, а вращение относительно центра масс происходит вокруг нормали к этой плоскости, Я -радиус-вектор точки С

Потенциальная энергия внешних гравитационных полей задается функционалом

1^+Г(г + и))2 2 + Г(г + и))2 '

-> ->

где К! = МХС = Я + цЬе, К2=М2С = К-Ье, е = (соз«,5таг,0)

В §3 1 формулируется постановка задачи и выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса с использованием канонических переменных Андуайе-Делоне, описывающих поступательно-вращательное

движение вязкоупругого шара, и лагранжевых переменных и,(г,/), г = 1,2,3, описывающих его деформации Конфигурационное пространство данной механической системы есть прямое произведение трехмерного дифференцируемого многообразия и банахова пространства векторных функций и(г,г) Полученная система уравнений движения содержит малый параметр е, обратно пропорциональный модулю упругости шара, и малый параметр ¡л При е = 0 соответствующие уравнения описывают движение абсолютно твердого шара в ограниченной круговой задаче трех тел К этим уравнениям можно применить метод усреднения Переменные "действие", определяющие орбиту центра масс шара и момент количеств движения относительно центра масс, в усредненных уравнениях в этом случае не изменяются

В §3 2 методом разделения движений и асимптотическим методом, аналогичным методу Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными, строится приближенная система уравнений, описывающая диссипативную эволюцию переменных "действие" Равенству // = 0 соответствует задача о движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, рассмотренная в §2 4 Эта задача имеет в качестве притягивающего множества стационарное решение — гравитационно-стабилизированное вращение вязкоупругого шара на круговой орбите Показано, что уравнения движения допускают класс квазикруговых орбит, т е орбит с нулевым эксцентриситетом В этом классе движений строится приближенная система уравнений относительно переменных действие, описывающих изменение радиуса орбиты центра масс вязкоупругого шара и его вращательного движения

Показано, что эволюция движения вязкоупругого шара разбивается на три этапа, характеризующихся различными временами На этапе "быстрой" диссипативной эволюции, протекающей со скоростью порядка £% (нулевое приближение по малому параметру ¡и), уравнения, описывающие эволюцию переменных действие, имеют вид

/ = 18£^2/з2й>2(ю2 ~®1)> К = -\Ъ£хВ2рг(о\{(о1 (21)

где 7 =| К | в случае прямого вращения шара и / = — | К | в случае обратного вращения шара, К — вектор момента количеств движения шара относительно центра масс,

А - момент инерции недеформированного шара относительно диаметра

Система уравнений (21) имеет асимптотически устойчивое стационарное решение, соответствующее режиму гравитационной стабилизации шара на круговой орбите В //-окрестности указанного стационарного решения учитывается первое приближение по малому параметру /г

Приближенные уравнения, описывающие эволюцию переменных /,А с учетом членов первого приближения по малому параметру /л, имеют вид (для ясности изложения здесь сохранены обозначения для переменных действие)

При ц = 1 интеграл, определяющий функцию а(ц), расходится При <7 < 1, т е для внешних орбит вязкоупругого шара, функция а (с/) принимает положительные значения, а при > 1, т е для внутренних орбит вязко-упругого шара, функция а (с/) принимает отрицательные значения

Из системы (22) следует, что и в первом приближении по малому параметру ц сохраняется момент количеств движения 6'0 относительно точки О С0 = 0, (70 = I + Л Система уравнений (22) также как и система (21), обладает асимптотически устойчивым стационарным решением, соответствующим движению шара, при котором его центр масс движется по орбите радиуса А' 01 , отличного от Я0 , с угловой скоростью

со\ =й»2(1 + 2/л7(<7))

Таким образом, на первом этапе "медленной" диссипативной эволюции, протекающей со скоростью порядка ехц, орбита вязкоупругого шара незначительно смещается к орбите тела массы /л, т е для внутренних орбит вязкоупругого шара радиус квазикруговой орбиты увеличивается, а для внешних - уменьшается, стремясь к новому своему стационарному

1 = \%ех^2р2со\ {(а>2 —со1) + 2/иа>2а(д)}, Л = -1 %ех01р1 со\ {(со2 - а>1) + 2//®2а(я)} >

(22)

значению Л01

2

В /1 -окрестности этого асимптотически устойчивого стационарного решения учитывается следующее приближение по малому параметру ¡и Получено уравнение, описывающее эволюцию момента количеств движения <30 в виде О0=\8ех/л2 02р2а>2(д)Ь(д) Показано, что эволюционная система уравнений с учетом членов второго порядка по малому параметру // стационарных решений не имеет На втором этапе "медленной" диссипативной эволюции, протекающей со скоростью порядка £ХИ2, орбита вязкоупругого шара удаляется от орбиты тела массы // для внутренних планет радиус квазикруговой орбиты уменьшается, а для внешних - увеличивается

Полученные на основе приближенных уравнений результаты справедливы для областей изменения радиусов квазикруговых орбит, исключающих окрестность точки Ъ, в которой могут находиться точки либрации, так как в этом случае оказываются некорректными процедура усреднения по быстрой угловой переменной и разложение в ряд одного из гравитационных потенциалов

Глава 4. Эволюция движения двойной планеты

В четвертой главе диссертации изучается эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты при взаимодействии приливов, порождаемых на ней центральным телом и спутником

Двойная планета, моделируемая материальной точкой массы /г и однородным деформируемым вязкоупругим шаром массы т, движется в гравитационном поле неподвижного центра с массой, равной 1 (¡и « т «1) Предполагается, что движение центра масс деформируемой планеты и материальной точки происходит в одной плоскости, проходящей через притягивающий центр, а вращение вязкоупругой

планеты относительно ее центра масс происходит вокруг нормали к этой плоскости При этом радиус орбиты центра масс двойной планеты много больше взаимного расстояния между составляющими ее элементами

В §4 1 выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса Канонические переменные Андуайе-Делоне используются для описания ор-

23

биты центра масс двойной планеты и орбит вязкоупругого шара и материальной точки массы /г относительно их общего центра масс, а также для описания вращательного движения вязкоупругого шара Функции, описывающие деформации шара, составляют лагранжеву часть переменных Показано, что уравнения движения допускают класс квазикруговых орбит, т е орбит с нулевыми эксцентриситетами Дальнейшее исследование проводится в этом классе движений Указанная упрощенная модель позволяет выявить наиболее важные закономерности эволюционных процессов, происходящих в рассматриваемой механической системе

В соответствии с общей постановкой задачи, сформулированной в первой главе, жесткость вязкоупругого шара предполагается большой и вводится малый параметр е, обратно пропорциональный модулю упругости При е = О шар представляет собой абсолютно твердое тело, и исходная задача распадается на три, не связанные друг с другом задачи задачу о движении центра масс двойной планеты относительно притягивающего центра, задачу о движении связки двух планет относительно их общего центра масс и задачу о вращении шара относительно собственного центра масс Рассеяние энергии при деформациях вязкоупругого шара вызывает "перекрестные" связи между этими независимыми задачами и является причиной эволюции рассматриваемой системы

В §4 2 методом разделения движений и усреднения осуществляется построение приближенной системы эволюционных уравнений, которая представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка относительно переменных действие, описывающих изменение расстояния от притягивающего центра до центра масс двойной планеты, расстояния от центра масс вязкоупругого шара до материальной точки массы /л и вращения вязкоупругого шара Указанная система уравнений имеет вид

А! = -18ехр2£>2а14(т1 ~соъ)>

1 Ц^СОч

Л2 = —\%£%р й2 2 ,(а>2-а>з). (т + м)

/ = - А,-А2 (23)

Переменные Л15 Л2 выражаются через радиус орбиты центра масс двойной планеты ^ и расстояние /?2 между центром масс деформируемого

24

шара и спутником с помощью соотношении

= А' 2 , /0=/(|я + А).

/(т + мУ /отг т + Р

Переменная I равна модулю момента количеств шара относительно центра масс, взятого со знаком плюс в случае прямого вращения, и со знаком минус в случае обратного вращения Величины , со2, &>з , входящие в правые части уравнений (23), имеют вид

/2(т + и)Ъ /о >4 I

сох =--г-, со2 = - , ®з= —'

Л, Л 2 А

где А - момент инерции недеформированного шара относительно диаметра,/ - универсальная гравитационная постоянная Уравнения (23) имеют первый интеграл ] + Ал +Л2 = С0, который является следствием закона сохранения момента количеств движения рассматриваемой механической системы относительно притягивающего центра

В §4 3 на основе полученной в §4 2 системы уравнений проводится качественное исследование эволюции движения системы Находятся стационарные решения, и исследуется их устойчивость на основе уравнений в вариациях Показано, что в зависимости от величины модуля момента количеств движения Са существует либо два, либо одно, либо ни одного стационарного решения В стационарном движении (в случае его существования) конфигурация двойной планеты неизменна в орбитальной системе координат, связанной с движением ее центра масс Все стационарные решения являются неустойчивыми

Построены фазовые портреты в плоскости переменных (Л,,Л2), где ~ (ш + //)4/3а _

д 2 —-д 2 Соответствующая система уравнении имеет вид

/.ап

л\2 V,

А, =--—[_-б,, +Л! +иЛ2],

~ азД г к _ л ~ п

л2 +Л! +иЛ2],

А 2 А 2

где А = \%£ХргВ2^{т + ц~)П А~\ » =-^—57?.

т(т + ц)

(т + м)

Движение по фазовым траекториям происходит таким образом, что, в конце концов, либо двойная планета приближается к притягивающему центру, либо спутник (тело массы //) падает на планету Численным методом получена фазовая траектория для двойной планеты Земля-Луна, движущейся в поле притяжения Солнца, в рамках рассматриваемой в этой главе постановки задачи Эволюция движения системы Земля-Луна происходит так, что в настоящее время радиусы орбит ^ и Я2 увеличиваются, а вращение Земли вокруг собственной оси замедляется После того как угловая скорость вращения Земли сравняется с орбитальной в ее движении относительно Луны (период обращения Луны вокруг Земли при этом согласно полученным результатам увеличится в 1,476 раз и составит 40,32 современных суток) расстояние между Луной и Землей начнет уменьшаться Следует отметить, что часть интегральной кривой, соответствующая уменьшению К2, расположена вблизи кривой, на которой угловая скорость вращения Земли совпадает с орбитальной в ее движении относительно Луны Подобную картину эволюции Земли и Луны описывал Дарвин и позже Макдональд По последним оценкам увеличение суток за счет приливного трения составляет 0,003 с за 100 лет (Сидоренков Н С , 2004)

Глава 5. Эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил

В пятой главе диссертации изучается эволюция поступательно-вращательного движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил

Спутник представляет собой динамически симметричное твердое тело, по оси симметрии которого расположена пара гибких вязкоупругих стержней При отсутствии деформаций в стержнях главные центральные моменты инерции спутника равны между собой, т е его центральный эллипсоид инерции - сфера Диссипация энергии происходит за счет внутреннего трения в материале стержней Жесткость стержней предполагается большой, и вводится малый параметр е, обратно пропорциональный жест-

кости упругих элементов

В §5 1 формулируется постановка задачи и выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса Используется линейная теория изгиба тонких нерастяжимых стержней Канонические переменные Андуайе-Делоне описывают поступательно-вращательное движение спутника, а ла-гранжевы переменные »)(.?,/), 1/2 - деформации стержней (здесь -координата точки стержня по оси симметрии спутника, I - время) Так как поле внешних сил центральное, то имеет место закон сохранения момента количеств движения относительно притягивающего центра

В §5 2 методом разделения движений и усреднения строится приближенная система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных "действие" и медленной угловой переменной g - долготы перигелия от восходящего узла, описывающая эволюцию движения рассматриваемой механической системы

В §5 3 определяются многообразия стационарных решений усредненной системы уравнений, и исследуется их устойчивость на основе уравнений в вариациях Стационарные точки эволюционной системы уравнений соответствуют стационарным движениям системы, на которых диссипация энергии равна нулю Для одного класса стационарных движений спутника его центр масс описывает эллиптическую орбиту, стержни перпендикулярны плоскости орбиты, а скорость вращения вокруг оси симметрии, совпадающей со стержнями, произвольна Описанное стационарное движение устойчиво практически только для прямых вращений спутника с угловой скоростью большей среднего движения по орбите

Другой класс стационарных решений соответствует движению центра масс по круговой орбите, когда угловая скорость вращения спутника совпадает с орбитальной, а, вообще говоря, деформированные стержни имеют произвольную ориентацию в орбитальной системе координат Так же, как и в задаче о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, рассмотренной в главе 2, в зависимости от величины модуля момента количеств движения число стационарных орбит может быть равно нулю, одному или двум В случае двух стационарных орбит устойчивым является стационарное решение, соответствующее орбите большего радиуса

В окрестности этого стационарного решения условие отсутствия ре-зонансов нарушается, поэтому его исследование проводится на основе возмущенной системы уравнений, полученной в результате применения метода разделения движений Точные уравнения движения допускают такой класс движений, при котором эксцентриситет и наклонение орбиты равны нулю, а ось вращения ортогональна плоскости орбиты В указанном классе движений проводится исследование устойчивости стационарных решений, соответствующих режиму гравитационной стабилизации спутника на круговой орбите Стационарные движения, соответствующие такому положению спутника, при котором стержни лежат в плоскости орбиты и направлены по радиус-вектору центра масс, неустойчивы А стационарные решения, соответствующие расположению стержней по касательной к орбите, устойчивы

Глава 6. Эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите

В шестой главе диссертации изучается эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите Спутник моделируется осесимметричным твердым телом, по оси симметрии которого расположена пара гибких вязкоупругих стержней

В §6 1 формулируется постановка задачи и выводятся уравнения движения Для определения радиус-вектора точки стержня в связанной со спутником системе координат используется линейная теория изгиба тонких нерастяжимых стержней Вводится малый параметр е , пропорциональный обратной величине жесткости упругих элементов, и малый параметр ц, пропорциональный квадрату орбитальной угловой скорости Для описания вращательного движения спутника относительно центра масс используются канонические переменные Андуайе

В §6 2 методом разделения движений осуществляется построение "возмущенной" системы уравнений относительно переменных Андуайе При /.1 = 0 указанная система уравнений описывает быструю диссипатив-ную эволюцию вращательного движения симметричного твердого тела с двумя вязкоупругими стержнями относительно центра масс, причем правые части этих уравнений не зависят от угловых переменных Переменные , /3 (12 - модуль вектора кинетического момента К вращательного

28

движения, /3 - проекция вектора К на нормаль к плоскости орбиты) в этих уравнениях не эволюционируют, а скорость эволюции переменной 1Х (/) — проекция вектора К на ось симметрии недеформированного спутника) имеет порядок е/ В случае динамически вытянутого спутника (А > С) значение переменной I] уменьшается и стремится к нулю, а в случае динамически сжатого спутника (А < С) значение переменной 1Х увеличивается н стремится совпасть с /2 Эволюционная система уравнений, описывающая быструю диссипативную эволюцию, имеет вид 2 (А С} . 2 т2\тЪ

Л =-тЬр

а5с

-(/22 -Л2)Л3> /2=о, /3= о (¿1>о)

В §6 3 изучается этап медленной диссипативной эволюции в случае а > с Асимптотическим методом, аналогичным методу Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными, в окрестности аттрактора /, = 0, /2 = 12 (0), 'з = /3 (0) получены уравнения, описывающие эволюцию переменных /2, /3 с учетом периодических возмущений, вызываемых переменной 1Х Скорость эволюции этих переменных имеет порядок ехи2 С сохранением обозначений для переменных действие эволюционная система уравнений имеет вид

12 =-4пАси2(12)

1 + -

-20-

1Ъ = -щ | 8со2 (12)-у- + П

,/з4

-бЧг-5

где пх=—ехц1йхр1(о1с2 а 2, й)2(12) = 12/а , □= Р-- , у = //и,, / -16

гравитационная постоянная, тх — масса притягивающего центра Построен фазовый портрет в плоскости переменных х = 13121 и у = 12А~1, который аналогичен фазовому портрету, полученному Белецким В В (1975) при анализе вращательного движения сферически симметричного твердого тела под действием приливного момента Система дифференциальных уравнений относительно переменных .г и у имеет единственное стационарное решение х = 1, у = С1 (П - орбитальная угловая скорость),

29

которое соответствует гравитационной стабилизации спутника в орбитальной системе координат Соответствующая стационарная точка в плоскости (х, у) является устойчивым узлом На основе неусредненной возмущенной системы уравнений получен следующий результат положение равновесия, при котором ось симметрии спутника направлена по радиус-вектору его центра масс, устойчиво, а положение равновесия, при котором ось симметрии спутника направлена по касательной к орбите, неустойчиво В §6 4 изучается этап медленной диссипативной эволюции в случае А < С Точные уравнения движения допускают такой класс решений, когда вектор кинетического момента К направлен по оси симметрии (/[ = /2) В этом классе движений асимптотическим методом Крылова-Боголюбова строится приближенная система уравнений, описывающая эволюцию переменных 12, /3 Скорость эволюции переменных

/2,/3 имеет порядок г/// Соответствующие уравнения имеют вид

Построен фазовый портрет системы в плоскости переменных (х, у) Анализ эволюционной системы уравнений позволяет сделать вывод, что в случае А < С движение спутника стремится к прямому вращению вокруг оси симметрии, направленной по нормали к плоскости орбиты Значение предельной угловой скорости определяется начальными условиями

Глава 7. О поступательпо-вращательном движении вязкоуиругой планеты в гравитационном поле притягивающего центра и спутника

В 7-ой главе диссертации рассмотрен пространственный вариант задачи о двойной планете исследуется поступательно-вращательное движение вязкоупругой планеты в гравитационном поле притягивающего центра и спутника, которые моделируются материальными точками Спутник и

8

планета движутся относительно общего центра масс, которые в свою очередь совершают движение относительно притягивающего центра

В §7 1 из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа выводится точная система уравнений движения рассматриваемой механической системы в рамках линейной модели теории вязкоупругости

В §7 2 методом разделения движений строится возмущенная система уравнений, описывающая поступательно-вращательное движение планеты и спутника с учетом возмущений, вызываемых упругостью и диссипацией

В §7 3 проводится анализ квазистатических деформаций вязкоупру-гой планеты, моделируемой однородным изотропным вязкоупругим шаром Деформированное состояние вязкоупругой планеты, вызываемое полем гравитационных сил и сил инерции, описывается вектором упругого смещения

и = £и, =гг(и10 +11П +и120 -лги120 +«1зо -X»по)>

где

(24)

«ю =Р «п =Р(

2 2 Г '

/т

[с1хг2 + </2г02]г,

ах

12 2 1/ ч2

-со г --(со,г)

г + (а2г2 + а3г02)

|£У2Г-(С0,Г)С^}

з р/м «120=—

1,130 = 01 1

г + (а2г

-а^о2)

I

У

г + (а2г2 +а3Гд)

^Г-йьГ)?!

о) - вектор угловой скорости системы координат, интегральным образом

связанной с шаром, £)1 =[(?1|, Т?2 = [К.2Q1 = ОЦ И2 = ВР , £> - центр масс деформируемого шара, Г - материальная точка, моделирующая спутник, " единичные векторы, направленные по (3, и Л2 соот-

ветственно, коэффициенты а),с1],1 = 1,2,3, у = 1,2 являются дробно-

рациональными функциями коэффициента Пуассона v ,е = Е-1, Е - модуль Юнга, г0 - радиус шара в естественном недеформированном состоянии, р - его плотность Зависимость от времени вектора упругого смещения и = и(г,/) осуществляется через со, (31,К2, из невозмущенной

системы уравнений, описывающей поступательно-вращательное движение абсолютно твердого шара в гравитационном поле притягивающего центра и спутника

Получено уравнение поверхности вращающейся планеты, определяемое слагаемыми и,0,ип в правой части (24) Найдены главные центральные моменты инерции вращающейся планеты в виде А = А0[1 + ерсо2г£/х (у)-ЕфпгаХ /2 (у)], С = А0[1 + ера 2 г02/3 0') - /2 М]»

,, . 95у3 -13у2 -1671/ + 53 ,,, 4(1-2У)(4-ЗУ) ГДС * = 35(1 —У)(5У + 7) '(Г)= 35(1-V) '

2(25у3 -39У2 —61У + 59) , 2 2

Л (»/)=—--, Ап = — тгь, т - масса планеты

' 35(1-^(5^ + 7) 0 5 0

Получены значения модуля вектора упругого смещения, позволяющие оценить величину приливных горбов, создаваемых притягивающим центром и спутником и определяемых слагаемыми ч120, и 110 в формуле (24)

В §7 4 найдены стационарные движения и исследована их устойчивость на основе уравнений в вариациях Показано, что в стационарном движении, когда диссипация энергии равна нулю, центр масс планеты и спутник движутся по круговым орбитам относительно притягивающего центра, располагаясь с ним на одной прямой Вязкоупругая планета в стационарном движении неподвижна в орбитальной системе координат Показано, что указанное стационарное движение является неустойчивым

В §7 5 в качестве модели вязкоупругой планеты рассматривается система, состоящая из абсолютно твердой невесомой сферы, к которой с внешней стороны жестко прикреплена вязкоупругая сферическая оболочка, а внутри имеется подвижное внутреннее ядро Получено квазистатическое решение задачи теории упругости, которое описывает деформации упругого слоя планеты под действием гравитационных сил и сил инерции Показано, что действие внешних гравитационных полей в рассматриваемом приближении вызывает центрально симметричные деформации упругого сферического слоя планеты, а колебания внутреннего ядра нарушают эту симметрию

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1) Шатина А В Об асимптотических свойствах решений одного класса механических систем с бесконечным числом степеней свободы // Вестник МГУ, сер 1, матем -мех , №4,1990, с 85-89

2) Вильке В Г, Шатина А В Эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил // Космические исследования, т 37, вып 3, 1999, с 289-295

3) Вильке В Г, Шатина AB Эволюция движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел // Прикладная математика и механика, т 64, вып 5, 2000, с 772-782

4) Шатина А В Эволюция движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Космические исследования, 2001, т39, №3, с 303-315

5) Вильке В,Г, Шатина А В Эволюция движения двойной планеты // Космические исследования, 2001, т 39, №3, с 316-323

6) Вильке В Г, Шатина AB Эволюция движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел // Нелинейная механика M Наука, Физматлит, 2001, с 385-401

7) Шатина А В Эволюция вращательного движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями // Космические исследования, 2002, т 40 №2, с 178-192

8) Вильке В Г, Шатина А В Медленная диссипативная эволюция движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел //Прикладная математика и механика, т 66, вып 5, 2002, с 782-792

9) Шатина А В Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара // Механика твердого тела, ISSN 0321-1975, 2002, Вып 32, с 194-202

10) Шатина А В Эволюция движения вязкоупругой планеты // Новая геометрия природы Труды международной научной конференции (август 25-сентябрь 5, 2003) Т III Астрономия Образование Естественнонаучная философия Казань Казанский гос университет им В И Ульянова-Ленина, 2003,с 166-170

11) Шатина А В Быстрая и медленная днссипативная эволюция в механических системах, содержащих вязкоупругие элементы // Известия РАН, Механика твердого тела, №2, 2004, с 14-23

12) Вжъке В Г, Шатина А В О поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в гравитационном поле притягивающего центра и спутника// Космические исследования, 2004, т 42, №1, с 95-106

13) Шатина ABO деформациях планеты, содержащей подвижное внутреннее ядро, в гравитационном поле центрального тела и спутника // Известия РАН, Механика твердого тела, №1, 2005, с 3-12

Подписано в печать 09 04 2007 Формат 60x84 1/16

Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 1,86 Уел кр-отт 7,44 Уч-изд л 2,0 Тираж 100 экз Заказ 297

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)" 119454, Москва, пр Вернадского, 78

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МЕХАНИКЕ СИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ

СВОБОДЫ.

§1.1. Постановка задачи. Уравнения движения.

§ 1.2. Канонические переменные Андуайе - Делоне.

§1.3. Метод разделения движений в механических системах с бесконечным числом степеней свободы.

§1.4. Применение метода усреднения и других асимптотических методов к исследованию "возмущенной" системы уравнений.

ГЛАВА 2. ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОГО ШАРА В

ЦЕНТРАЛЬНОМ НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ.

§2.1. Постановка задачи и уравнения движения.

§2.2. Построение приближенных эволюционных уравнений движения деформируемого шара.

§2.3. Исследование эволюционных уравнений.

§2.4. Частный случай.

ГЛАВА 3. ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОГО ШАРА В

ОГРАНИЧЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ.

§3.1. Постановка задачи. Уравнения движения.

§3.2. Построение приближенных эволюционных уравнений движения вязкоупругого шара

ГЛАВА 4. ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ДВОЙНОЙ ПЛАНЕТЫ

§4.1. Модель системы. Уравнения движения.

§4.2. Построение приближенных эволюционных уравнений.

§4.3. Исследование эволюционных уравнений.

ГЛАВА 5. ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ СИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА С ГИБКИМИ ВЯЗКОУПРУГИМИ СТЕРЖНЯМИ В

ЦЕНТРАЛЬНОМ НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ.

§5.1. Постановка задачи. Уравнения движения.

§5.2. Построение приближенных эволюционных уравнений.

§5.3. Стационарные точки и их устойчивость.

ГЛАВА 6. ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ СИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА С ГИБКИМИ ВЯЗКОУПРУГИМИ СТЕРЖНЯМИ НА

КРУГОВОЙ ОРБИТЕ.

§6.1. Постановка задачи. Уравнения движения.

§6.2. Построение "возмущенной" системы уравнений.

Быстрая диссипативная эволюция.

§6.3. Медленная диссипативная эволюция в случае А>С.

§6.4. Медленная диссипативная эволюция в случае А<С.

ГЛАВА 7. О ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ

ПОЛЕ ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА И СПУТНИКА.

§7.1. Постановка задачи. Уравнения движения.

§7.2. Построение возмущенной системы уравнений.

§7.3. Деформации вязкоупругой планеты, вызываемые полем гравитационных сил и сил инерции.

§7.4. Стационарные решения и их устойчивость.

§7.5. О деформациях планеты, содержащей подвижное внутреннее ядро.

Настоящая работа посвящена исследованию эволюции поступательно-вращательного движения механических систем, моделируемых деформируемыми вязкоупругими телами, а также твердыми телами с жестко прикрепленными к ним вязкоупругими элементами.

Вопрос о влиянии внутреннего вязкого трения на поступательно-вращательное движение деформируемого тела возник много лет назад, прежде всего в связи с изучением приливной эволюции движения планет Солнечной системы. Механизм приливной эволюции можно описать следующим образом. Центральное тело, вокруг которого движется планета, создает горбы в вязкоупругом теле планеты. Эти горбы стремятся расположиться по линии планета - центральное тело. Из-за вращения планеты относительно ее собственного центра масс они перемещаются в теле планеты в направлении, противоположном ее вращению. Кроме того, изменение расстояния до притягивающего центра приводит к изменению величины приливных горбов. В силу наличия внутреннего вязкого трения эти процессы сопровождаются рассеянием энергии, что приводит к эволюции поступательно-вращательного движения планеты.

В небесной механике для описания движений естественных и искусственных тел, как правило, используются простейшие модели классической механики - материальная точка и абсолютно твердое тело, а приливная теория базируется на ряде гипотез относительно величины приливных горбов и их расположения относительно вращающейся планеты.

Первые фундаментальные работы по изучению приливной эволюции в системе "планета-спутник" были выполнены в конце XIX века небесным механиком и космогонистом Джорджем Говардом Дарвиным [57,62,133,134]. В качестве возмущающего потенциала, определяющего приливное трение, Дарвин использовал потенциал, обусловленный статической деформацией однородного упругого шара. Разложив этот потенциал в ряд Фурье, Дарвин получил уравнения, описывающие эволюцию элементов орбиты спутника.

Исследуя эволюцию двойной планеты "Земля-Луна", Дарвин пришел к следующему заключению. Приливы порождают силы трения, замедляющие вращение Земли. Одновременно с замедлением вращения Земли замедляется орбитальное движение Луны относительно Земли. В дальнейшем будет происходить постепенное увеличение земных суток и месяца до тех пор, пока оба периода вращения не сравняются (согласно расчетам Дарвина этот общий период должен составить примерно 55 современных суток). При этом Луна будет медленно удаляться от Земли, переходя на другую орбиту с большей полуосью.

По Дарвину на начальном этапе эволюции Земля и Луна практически составляли одно тело и их периоды вращения и обращения также были равными. Однако в системе "планета-спутник" такое движение является неустойчивым. При небольшом смещении спутника от первоначального положения гигантские приливные волны разрушают положение относительного равновесия и приводят либо к падению спутника на планету, либо к быстрому удалению его от планеты. Состояние же относительного равновесия при максимальном удалении Луны от Земли в изолированной системе "Земля-Луна" Дарвин считает устойчивым. Дарвин также указывал и на то, что действие приливообразующих сил солнечного тяготения разрушит эту устойчивость и приведет к тому, что Луна начнет приближаться к Земле и, в конечном счете, обрушится на нее.

В 60-е годы XX века вновь возродился интерес к приливной теории, прежде всего в связи с изучением приливной эволюции Земли и Луны. Этому способствовала новая научная информация о планетах и спутниках, полученная с помощью космических аппаратов и радиолокационной астрономии. Макдональд Г., Голдрайх П., Пил С., Каула У. и ряд других авторов провели более детальное исследование эффектов приливного трения [53,81,101,135-137]. Результаты их исследования в целом оказались близкими к классическим результатам Дж. Дарвина. Что же касается методов исследования, то для приливного потенциала была использована феноменологическая формула, и производные по времени орбитальных элементов спутника выражались непосредственно через силы, определяемые приливным потенциалом. В основу модели приливных сил положена гипотеза о наличии угла запаздывания приливных горбов при вращении планеты. Предполагалось, что главные центральные моменты инерции планеты находятся в квадратичной зависимости от угловой скорости вращения. В отличие от статической теории Дарвина в работах Макдональда, Голдрайха, Пила был развит динамический подход к проблеме приливного трения.

Точные астрономические наблюдения подтверждают так называемое вековое замедление вращения Земли. Особенно точные измерения удалось выполнить в связи с появлением в 60-е годы XX века атомных стандартов времени. В 80-е годы XX века появились новые методы измерений: лазерная локация спутников и Луны, системы глобального позиционирования и т.д. [105]. Удлинение суток за счет приливного трения по последним данным составляет 3,3 с за 100 тысяч лет, при этом Луна удаляется от Земли на 3,8 см в год [132].

Приливные силы оказывают влияние не только на орбиты спутников, но также и на их вращательные движения. Известно, что ряд спутников планет Солнечной системы вращается в резонансном режиме 1:1, когда период обращения по орбите и период обращения вокруг оси совпадают. Такое движение реализуется Луной при ее движении относительно Земли, многими спутниками Юпитера и Сатурна, спутниками Марса. Приливные силы являются важнейшим диссипативным фактором, приводящим произвольное первоначальное вращение тела к захвату в резонансный режим движения.

Проблеме приливной эволюции вращательного движения небесных тел посвящен цикл работ Белецкого В.В. [10-16]. В этих работах небесное тело моделируется абсолютно твердым телом, а приливной момент задается формулой: М = [ш отн х er]х ег ,где г - расстояние от центра притяжения г до центра масс планеты, ег - единичный вектор по направлению радиус-вектора от центра притяжения до центра масс планеты, &отн - угловая скорость вращения планеты относительно орбитальной системы координат, к - некоторая константа.

Главный результат исследования вращательного движения небесных тел под действием приливного момента: существование предельного движения, к которому стремятся все решения усредненных эволюционных уравнений. Например, для тела, центральный эллипсоид инерции которого близок к сфере, а центр масс движется по фиксированной круговой орбите, таким предельным движением является прямое вращение вокруг нормали к плоскости орбиты с угловой скоростью, равной орбитальной. Для фиксированной эллиптической орбиты значение предельной угловой скорости определяется эксцентриситетом орбиты. Динамически симметричное тело под действием приливного момента стремится к вращению вокруг наименьшей оси его центрального эллипсоида инерции, а сама эта ось стремится совпасть с нормалью к орбите тела.

Так как приливы вызваны нежесткостью небесных тел, то самый естественный способ исследования приливных явлений состоит в отказе от модели абсолютно твердого тела в описании движения планет. Такой отказ связан с переходом от систем с конечным числом степеней свободы, рассматриваемых в классической механике, к системам с бесконечным числом степеней свободы механики сплошных сред. Исследования по влиянию деформируемости и внутренней вязкости материала на движение тел стали также актуальны в связи с попыткой объяснения расхождений между теоретическими результатами и данными наблюдений в динамике Земли [1,2,3,93,105], с появлением искусственных спутников и обнаружением новых эффектов в их угловых движениях, обусловленных упругими свойствами [65,129,138,139].

Некоторые общие вопросы динамики вращений упругих тел исследованы в работах [67,93,116,117]. Для изучения динамики систем с упругими и диссипативными элементами Черноусько Ф.Л. предложил асимптотический метод разделения движений [116,117], основанный на предположении, что рассматриваемая механическая система достаточно жесткая, а время затухания ее свободных упругих колебаний много меньше характерного времени движения как целого. Этот метод позволяет получить уравнения движения рассматриваемой системы в виде уравнений динамики твердого тела с дополнительными слагаемыми, обусловленными внутренней упругостью и диссипацией. Движение тела, устанавливающееся после затухания собственных упругих колебаний и вызванное внешними силами и силами инерции, называется квазистатическим.

В 80-90-е годы XX века появилось много работ, посвященных изучению квазистатических движений вязкоупругого тела относительно центра масс [58,64,75,83-86,103,104,114].

Одно из важных направлений, посвященное изучению динамики распределенных систем, было разработано В ильке В.Г. в монографиях [30,32], где хорошо развитые методы классической аналитической механики были обобщены на случай систем с бесконечным числом степеней свободы. Для ряда моделей рассматриваемых систем доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений уравнений движения. Рассмотрены задачи о движении вязкоупругого тела в центральном ньютоновском поле сил, системы вязкоупругих тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения, задача о движении системы тяжелое упругое-твердое тело с неподвижной точкой и многие другие задачи.

Задача о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил (см. также [26]) является модельной задачей в приливной теории движения планет Солнечной системы. В работе [26] получены точные уравнения движения деформируемого тела в центральном ньютоновском поле сил в рамках линейной теории вязкоупругости. При отсутствии деформаций получаемая система уравнений описывает поступательно-вращательное движение соответствующего твердого тела. Если твердое тело - шар, то эти уравнения интегрируются, а само движение таково: центр масс шара описывает кеплеровскую орбиту, при этом шар равномерно вращается вокруг оси, неизменно ориентированной в инерциальной системе координат. Указанное движение принимается за невозмущенное в задаче о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Применение метода разделения движений в предположении о квазистатическом характере деформаций вязкоупругой среды приводит к возмущенной системе векторных уравнений относительно вектора кинетического момента вращательного движения и радиус-вектора центра масс шара, описывающих эволюцию движения вязкоупругого шара под действием приливных сил.

Показано, что в стационарном движении центр масс шара движется по круговой орбите, вектор момента количеств движения шара относительно притягивающего центра ортогонален плоскости орбиты, а деформированный шар неподвижен в орбитальной системе координат, т.е. обращен одной стороной к притягивающему центру. В зависимости от величины модуля вектора момента количеств движения в рассматриваемой задаче может быть п стационарных орбит (и = 0,1,2). В случае двух стационарных орбит движение с меньшим радиусом орбиты неустойчиво, а с большим - устойчиво.

Система уравнений, описывающая движение механической системы, содержащей сплошную среду, является сложной системой интегродифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Для исследования эволюции движения таких систем Вильке В.Г. был предложен асимптотический метод разделения движений и усреднения [27]. Этот метод позволяет перейти от уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, неизвестными в которой являются переменные "действие" невозмущенной задачи. Методом разделения движений и усреднения были получены эволюционные уравнения вращательного движения вязкоупругого шара на круговой орбите [35,36], поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил в случае, когда вращение шара происходит вокруг оси, ортогональной плоскости движения его центра масс [38,106]. Указанный метод был применен к целому ряду других задач [19,20,28,41,45,63,85,8789,121].

При изучении динамики вязкоупругих тел распространенным является модальный подход, когда вектор упругого смещения представляется в виде бесконечного ряда по ортонормированным собственным формам свободных колебаний, а движение деформируемого тела по внутренним степеням свободы описывается обобщенными нормальными координатами (модальными переменными) [29,69].

Модальный подход в сочетании с асимптотическим методом разделения движений и усреднения использовался в работах [25,59,60,72,78,79,89-91] для исследования ряда небесно-механических задач поступательно-вращательного движения деформируемых тел. Так в работах [60,89] проведен детальный анализ эволюции осевого вращения динамически симметричной вязкоупругой планеты при условии, что ее центр масс движется по фиксированной кеплеровской орбите в поле притягивающего центра. В работах [25,59,79] изучается пространственный вариант задачи о движении спутника (материальной точки) в поле притяжения динамически симметричной, сжатой вязкоупругой планеты, ось вращения которой совпадает с осью симметрии. Получены приближенные уравнения, позволяющие выявить общие закономерности эволюции наклонений и вращений системы.

Цель данной диссертационной работы состоит в развитии и углублении методов исследования эволюции движения систем с бесконечным числом степеней свободы и применение этих методов и известных ранее методов [27,30,32] к задачам небесной механики и механики космического полета. Для исследования эволюции движения вязкоупругого тела, а также твердого тела с жестко прикрепленными к нему вязкоупругими элементами в центральном ньютоновском поле сил при наличии малых внешних возмущений предложен асимптотический метод, сочетающий в себе метод разделения движений для систем с бесконечным числом степеней свободы и обобщенный метод Крылова-Боголюбова для систем с медленными и быстрыми переменными [126]. Указанный метод применен к исследованию эволюции движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел [42,43,47] и к исследованию эволюции движения динамически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите [122]. Методом разделения движений и усреднения получены эволюционные уравнения и проведен их анализ в задачах о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил [121,124,125], в задаче о двойной планете [45] и в задаче о поступательно-вращательном движении сферически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями [41]. Методами аналитической динамики получены уравнения движения вязкоупругой планеты в гравитационном поле притягивающего центра и спутника. Проведен анализ квазистатических деформаций планеты в случаях, когда планета моделируется однородным вязкоупругим шаром [48] и когда планета имеет внешний упругий слой и внутреннее подвижное ядро [127].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации формулируется постановка задачи о поступательно-вращательном движении механической системы с бесконечным числом степеней свободы, выводятся уравнения движения и излагаются асимптотические методы исследования. Под механической системой с бесконечным числом степеней свободы понимается либо вязкоупругое тело, либо твердое тело с жестко прикрепленными к нему вязкоупругими элементами.

Постановка задачи и вывод уравнений движения в форме уравнений Рауса из вариационного принципа Д'Аламбера-Лагранжа составляют содержание §1.1.

Предполагается, что рассматриваемая механическая система занимает область Q = QjUQ2 в евклидовом пространстве Е3, причем Q, - это область, занимаемая твердым телом, a Q2 - вязкоупругим в естественном недеформированном состоянии (в случае вязкоупругого тела Qj=0). Помимо инерциальной системы координат OXYZ вводятся система осей

Кенига и подвижная система координат с началом в центре масс механической системы в деформированном состоянии. Положение точки MeQ относительно инерциальной системы координат OXYZ определяется радиус-вектором где reQ, u(r,/) - вектор упругого смещения, обращающийся в нуль для точек твердого тела, Rc - радиус-вектор точки С, Г - оператор перехода от системы координат Сх{х2х3 к системе осей Кёнига •

Радиус-вектор Rc и "связанная" с деформируемой системой система координат Сххх2х3 определяются однозначно по заданному векторному полю R(r,f) следующими условиями [30,32]: где т - масса всей системы, р - распределенная плотность, dx = dx\dx2dx3.

Предполагается, что деформируемая часть рассматриваемой механической системы однородна, изотропна и имеет постоянную плотность р, а относительные перемещения точек при деформациях u(r,t) малы.

Потенциальная энергия упругих деформаций задается в соответствии с линейной теорией упругости квадратичным функционалом $[и], который по предположению содержит множителем "большой" параметр N, характеризующий жесткость упругой среды. Вводится малый параметр e = N~]. При £ = 0 вектор-функция u(r,t) полагается равной нулю, и механическая система представляет собой абсолютно твердое тело. Функционал внутренних диссипативных сил Я)[й] определяется соотношением = где j > 0 - коэффициент внутреннего вязкого трения, т.е. рассматривается модель Кельвина-Фойгта.

Кинетическая энергия системы определяется равенством: а функционал потенциальной энергии внешних сил полагается заданным в

R(r,0 = Rc(0 + r(0(r + u(r,0),

0.1)

0.2)

0.3) виде: n = n[R

0.4)

Вариационный принцип Д'Аламбера-Лагранжа имеет вид: (VRn, SR) + (Vu$[u] + Уй2>[й],<5и)а2 + Q Xj \Sadx + X2 rotSudx = 0, VSueffl,

0.5) q2 Q2 где = =Ц(0 ~ неопределенные множители Лагранжа, порожденные условиями (0.2).

Конфигурационным пространством системы является прямое произведение Ж х Я, где JI - шестимерное дифференцируемое многообразие с локальными координатами q{,.,q6, а & - банахово пространство векторных функций u(r,f). Обобщенные координаты q],.,q6 определяют положение точки С в системе координат OXYZ и ориентацию подвижной системы координат Сх]х2х3 относительно осей Кенига

Уравнения движения выводятся из вариационного принципа Д'Аламбера-Лагранжа (0.5) и выписываются в форме уравнений Рауса, причем канонические переменные (p,q), где p = - обобщенные импульсы, используются для описания поступательно-вращательного движения деформированной системы, а лагранжевы переменные и,- (г, t) (z = 1,2,3) для описания деформаций.

Функционал Рауса определяется равенством откуда следует, что Т = т[q, q, й, и\ П = II[q, u, a, fi\. 6 i=1 а уравнения движения имеют вид: дЖ . д01

Рк > Як » dqk дрк

0.6) d dt

V^ + Vu^ + V^[u] + Ji,,<3u) + Ji2 Jrot<3ii^ = 0 VSueffl (0.7)

Ja2 n2

Система уравнений (0.6)-{0.7) представляет собой сложную систему интегродифференциальных уравнений в банаховом пространстве, содержащую малые параметры е и ju. Малый параметр е отвечает за возмущения, связанные с нежесткостью рассматриваемой механической системы, а малый параметр ju - с малыми возмущениями, индуцируемыми полем внешних сил. Предполагается, что при е = 0, // = 0 задача является интегрируемой, а потому в целях использования асимптотических методов от переменных (р, q) осуществляется переход к переменным (I, <р), которые в невозмущенной задаче (т.е. при е = 0, ju = 0) являются переменными "действие-угол". В классе рассматриваемых в данной диссертации задач в роли таких переменных выступают переменные Андуайе-Делоне.

В §1.2 дано описание переменных Андуайе-Делоне, выписаны соотношения, позволяющие выразить функционал Рауса в этих переменных, т.е. представить его в виде 91 = £%[I,<p,u,u,ar,//]. Показано, что уравнения (0.6) в переменных (1,ф) сохраняют свою структуру, т.е. имеют вид:

• д91 . дЖ

-—, (Рк=тг> к = 1,.,6. (0.8) дсрк д1к и совместно с уравнениями (0.7) и условиями (0.2) образуют полную систему уравнений, определяющую движение данной механической системы.

На следующем шаге к полученной системе уравнений применяется метод разделения движений, описание которого содержится в §1.3.

При е = 0, когда жесткость упругой среды бесконечно велика, перемещения u(r,7) обращаются в нуль, и рассматриваемая механическая система движется как твердое тело. Функционал Рауса в этом случае имеет вид:

1,ср,0,0аг,//] = ^)(1) + /Ж[1,ср, а,//], а уравнения (0.8) выглядят следующим образом:

0.9) д(рк д1к д1к

Уравнение (0.7) после умножения обеих его частей на N~l становится сингулярно возмущенным, т.е. содержащим малый параметр при старшей производной по времени. Из уравнения (0.7) определяется вектор-функция и, описывающая вынужденные колебания точек вязкоупругой среды, обусловленные действием внешних сил и сил инерции, которые называются квазистатическими. Указанное решение представляется в виде: и = £11} (г, I, ф, а, х, ц) + 0{е (х&)2), (0.10) где со = шах й)к (1(0)). к

После линеаризации правых частей уравнений (0.8) по и и и и подстановки в них вместо и и й найденного частного решения (0.10) получается замкнутая система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных, описывающих поступательно-вращательное движение механической системы, и учитывающая возмущения, связанные с внутренней упругостью и диссипацией.

Математическое обоснование и оценка погрешности метода разделения движений в динамике систем с упругими и диссипативными элементами в случае, когда эта система имеет конечное число степеней свободы, изложено в работах [118, 107] на основе метода пограничных функций для систем сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений [23], а в работе [103] на основе метода теории интегральных многообразий [94,108]. В работе [119] было получено асимптотическое представление решения линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве с малым параметром при старшей производной и неоднородном члене.

В § 1.4 излагаются асимптотические методы исследования полученной в §1.3 системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая имеет вид: дК д(рк дК ф1 =a)l(i) + {i — + sGfy^a, х,м\ / = U-, т. (0.11) dIi

При £ = 0 система уравнений (0.11) становится стандартной в смысле применения к ней метода усреднения [5,6]. Переменные "действие" в этом случае не эволюционируют, т.к. при отсутствии диссипации энергии, вызываемой внутренним вязким трением упругой среды, данная система является консервативной. Далее система уравнений (0.11) рассматривается как система с малым параметром /и при фиксированном значении параметра е. Эволюция движения при этом разбивается на ряд этапов, характеризующихся различными временами. В результате применения асимптотического метода, аналогичного методу Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными [7] удается получить приближенные уравнения, описывающие медленную диссипативную эволюцию переменных "действие" в виде:

Если К = 0, то система уравнений (0.11) исследуется методом усреднения.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию эволюции движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил.

В §2.1 формулируется постановка задачи, выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса с использованием переменных Андуайе-Делоне, составляющих гамильтонову часть переменных и описывающих поступательно-вращательное движение шара. Обобщенные координаты, описывающие деформацию шара, составляют лагранжеву часть переменных. В данной задаче поле внешних сил центральное, и, следовательно, сохраняется вектор момента количеств движения G0 относительно притягивающего центра, который равен сумме векторов моментов количеств движения в орбитальном движении и в движении относительно центра масс: G0 =G + K. Инерциальная система координат OXYZ выбирается так, что ее начало совпадает с притягивающим центром, а ось 02 направлена по вектору G0.

В §2.2 методом разделения движений и усреднения осуществляется построение приближенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных "действие", описывающих диссипативную эволюцию поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в центральном поле сил.

В соответствии с рассматриваемой в первой главе моделью жесткость деформируемого шара предполагается большой, и вводится малый параметр е, обратно пропорциональный модулю упругости Юнга. При б = 0 соответствующая система уравнений описывает движение абсолютно твердого шара в центральном ньютоновском поле сил. Эта система является интегрируемой, а движение, ею описываемое, таково: центр масс шара движется по кеплеровской орбите как материальная точка с массой, равной массе шара; при этом шар равномерно вращается вокруг оси, неизменно ориентированной в инерциальной системе координат. Рассматриваются финитные движения, когда кеплеровская орбита в невозмущенном движении представляет собой эллипс. Это невозмущенное движение используется в качестве порождающего для определения вынужденных колебаний вязкоупругого шара.

Решение задачи о деформации шара при отсутствии массовых сил было получено Томсоном с использованием сферических функций [80]. Специальный вид массовых сил в исследуемой задаче позволяет получить ее решение в виде суммы однородных сферических функций третьего и первого порядков [77,80]. Функции, описывающие вынужденные колебания вязкоупругого шара, используются для формирования правых частей "возмущенной" системы уравнений, описывающей его поступательно-вращательное движение, к которой далее применяется метод усреднения (рассматривается нерезонансный случай).

Полученные в результате указанной процедуры эволюционные уравнения представляют собой замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка относительно переменных действие, имеющую три первых интеграла. Два из них являются следствием закона сохранения момента количеств движения G0; третий является следствием сферической симметрии и соответствует тому факту, что в усредненных уравнениях угол между осью Сг3 связанной с шаром подвижной системы координат, и вектором кинетического момента К относительно точки С остается неизменным. Эти уравнения описывают приливную эволюцию поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты в поле притягивающего центра.

В §2.3 проводится анализ эволюционной системы уравнений. Находятся стационарные решения системы и исследуется их устойчивость на основе уравнений в вариациях. Показано, что в стационарном движении центр масс движется по круговой орбите, ортогональной вектору G0, ось вращения шара направлена по нормали к плоскости орбиты, при этом деформированный шар обращен одной стороной к притягивающему центру. Если модуль вектора G0 удовлетворяет условию

0.12) где А - момент инерции недеформированного шара относительно его диаметра, у - гравитационная постоянная, т - масса шара, то имеются две стационарные орбиты. Если G0 = jфАуЬп^, то такая орбита одна. В случае, когда G0 <^фЛу2т3, стационарных решений эволюционная система не имеет. В случае двух стационарных орбит устойчивым является стационарное движение, соответствующее орбите большего радиуса, а стационарное движение с меньшим радиусом орбиты неустойчиво. Этот результат соответствует полученному ранее в работе [26] при анализе векторных эволюционных уравнений относительно вектора кинетического момента вращательного движения К и радиус-вектора центра масс шара.

Следует отметить, что в случае существования одной стационарной орбиты ее радиус равен .ДДг0, где г0 - радиус шара, а в случае выполнения условия (0.12) радиус меньшей орбиты меньше этого значения. Однако эволюционные уравнения выводятся в предположении, что радиус шара много меньше расстояния от его центра масс до притягивающего центра. Это предположение исключает из рассмотрения орбиты с радиусами порядка г0.

В изолированной системе планета - притягивающий центр (Солнце) условие (0.12) выполнено для всех планет Солнечной системы. Таким образом, можно утверждать, что диссипативная эволюция поступательно-вращательного движения планеты в центральном ньютоновском поле сил протекает так, что ее движение стремится к стационарному.

В силу полученной эволюционной системы уравнений найдены производные по времени от наклонения орбиты i (угла между векторами G0 и G), угла 8{ между векторами G0 и К, и эксцентриситета орбиты е. Показано, что существует класс движений, когда вращение вязкоупругого шара относительно центра масс происходит вокруг нормали к плоскости di орбиты, совпадающей с вектором G0. Если 0, то —<0, и, dt следовательно, наклонение орбиты в процессе эволюции уменьшается. Эволюция угла Sl имеет более сложный характер. В частности, в случае обратных вращений (когда ж/2 <S{ +i<n) угол S{ уменьшается, а в случае прямых вращений (0 < Sl + / <;г/2) может происходить увеличение угла S], если угловая скорость вращения планеты вокруг своей оси превышает ее среднее движение по орбите. Эффект возможного увеличения угла с последующим его уменьшением до нуля описан в работах [11,15] при исследовании приливной эволюции вращательного движения планет.

Показано, что уравнения движения допускают класс орбит с нулевым эксцентриситетом. Если е * О, то в случае обратных вращений е уменьшается, а в случае прямых вращений может происходить увеличение эксцентриситета при достаточно большой угловой скорости собственного вращения по сравнению с орбитальной.

В §2.4 рассмотрен частный случай задачи о движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, когда центр масс шара движется в плоскости OXY, а вращение относительно центра масс происходит вокруг нормали к плоскости орбиты. Правые части "возмущенной" системы уравнений в этом случае зависят лишь от одной угловой переменной - истинной аномалии, по которой и производится усреднение. Проблема резонансов в данном случае отсутствует. Построены фазовые портреты в плоскости переменных (L, I), где / =| К | в случае прямого вращения и I = -1К | в случае обратного вращения, а

Л Л с

L =| G | (1 - е ) ' , а также в плоскости переменных (/, е).

Третья глава диссертации посвящена исследованию эволюции движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел. Рассматривается следующая постановка задачи. Два массивных тела, моделируемых материальными точками с массами равными единице и /л, где /л«1, движутся по круговым орбитам под действием сил ньютоновского притяжения вокруг общего центра масс О в плоскости OXY. Третье тело - это вязкоупругий шар массы т, т«/л. Предполагается, что третье малое по массе тело не влияет на движение первых двух и движется в гравитационном поле, порожденном первыми двумя телами. Его центр масс движется в плоскости OXY, а вращение относительно центра масс происходит вокруг нормали к плоскости орбиты.

В §3.1 формулируется постановка задачи и выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса с использованием канонических переменных Андуайе-Делоне, описывающих поступательно-вращательное движение вязкоупругого шара, и лагранжевых переменных u;(r,t), / = 1,2,3, описывающих его деформации. Конфигурационное пространство данной механической системы есть прямое произведение трехмерного дифференцируемого многообразия Ж и банахова пространства векторных функций u(r, t). Полученная система уравнений движения содержит малый параметр е, обратно пропорциональный модулю упругости шара, и малый параметр ju. При е = 0 соответствующие уравнения описывают движение абсолютно твердого шара в ограниченной круговой задаче трех тел. К этим уравнениям можно применить метод усреднения. Переменные "действие", определяющие орбиту центра масс шара и момент количеств движения относительно центра масс, в усредненных уравнениях в этом случае не изменяются.

В §3.2 методом разделения движений и асимптотическим методом, аналогичным методу Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными, строится приближенная система уравнений, описывающая диссипативную эволюцию переменных "действие". Равенству /л = О соответствует задача о движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, рассмотренная в §2.4. Эта задача имеет в качестве притягивающего множества стационарное решение -гравитационно-стабилизированное вращение вязкоупругого шара на круговой орбите. Показано, что уравнения движения допускают класс квазикруговых орбит, т.е. орбит с нулевым эксцентриситетом. В этом классе движений строится приближенная система уравнений относительно переменных действие, описывающих изменение радиуса орбиты центра масс вязкоупругого шара и его вращательного движения.

Показано, что эволюция движения вязкоупругого шара разбивается на три этапа, характеризующихся различными временами. На этапе "быстрой" диссипативной эволюции, протекающей со скоростью порядка ех (нулевое приближение по малому параметру //), движение вязкоупругого шара стремится к стационарному, соответствующему режиму его гравитационной стабилизации на круговой орбите с центром в точке О и радиусом R0. В //окрестности указанного стационарного решения учитывается первое приближение по малому параметру ц. На следующем этапе "медленной" диссипативной эволюции, протекающей со скоростью порядка ехц, орбита вязкоупругого шара незначительно смещается к орбите тела массы (л, т.е. для внутренних орбит вязкоупругого шара радиус квазикруговой орбиты увеличивается, а для внешних - уменьшается, стремясь к новому своему стационарному значению R0l. В fj, -окрестности этого асимптотически устойчивого стационарного решения учитывается следующее приближение по малому параметру /л. На втором этапе "медленной" диссипативной эволюции, протекающей со скоростью порядка sx/J2, орбита вязкоупругого шара удаляется от орбиты тела массы /л. Эволюционная система уравнений с учетом членов второго порядка по малому параметру // стационарных решений не имеет.

В четвертой главе диссертации изучается эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты при взаимодействии приливов, порождаемых на ней центральным телом и спутником.

Двойная планета, моделируемая материальной точкой массы // и однородным деформируемым вязкоупругим шаром массы т, движется в гравитационном поле неподвижного центра с массой, равной 1 (//<<W<<1). Предполагается, что движение центра масс деформируемой планеты и материальной точки происходит в одной плоскости, проходящей через притягивающий центр, а вращение вязкоупругой планеты относительно ее центра масс происходит вокруг нормали к этой плоскости. При этом радиус орбиты центра масс двойной планеты много больше взаимного расстояния между составляющими ее элементами.

В §4.1 выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса. Канонические переменные Андуайе-Делоне используются для описания орбиты центра масс двойной планеты и орбит вязкоупругого шара и материальной точки массы // относительно их общего центра масс, а также для описания вращательного движения вязкоупругого шара. Функции, описывающие деформации шара, составляют лагранжеву часть переменных. Показано, что уравнения движения допускают класс квазикруговых орбит, т. е. орбит с нулевыми эксцентриситетами. Дальнейшее исследование проводится в этом классе движений. Указанная упрощенная модель позволяет выявить наиболее важные закономерности эволюционных процессов, происходящих в рассматриваемой механической системе.

В соответствии с общей постановкой задачи, сформулированной в первой главе, жесткость вязкоупругого шара предполагается большой и вводится малый параметр е, обратно пропорциональный модулю упругости. При е = 0 шар представляет собой абсолютно твердое тело, и исходная задача распадается на три, не связанные друг с другом задачи: задачу о движении центра масс двойной планеты относительно притягивающего центра, задачу о движении связки двух планет относительно их общего центра масс и задачу о вращении шара относительно собственного центра масс. Рассеяние энергии при деформациях вязкоупругого шара вызывает "перекрестные" связи между этими независимыми задачами и является причиной эволюции рассматриваемой системы.

В §4.2 методом разделения движений и усреднения осуществляется построение приближенной системы эволюционных уравнений, которая представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка относительно переменных действие, описывающих изменение расстояния от притягивающего центра до центра масс двойной планеты, расстояния от центра масс вязкоупругого шара до материальной точки массы ц и вращения вязкоупругого шара. С учетом закона сохранения момента количеств движения относительно неподвижного центра порядок полученной системы уравнений понижается на единицу.

В §4.3 на основе полученной в §4.2 системы уравнений проводится качественное исследование эволюционных процессов. Находятся стационарные решения и исследуется их устойчивость на основе уравнений в вариациях. Показано, что в зависимости от величины модуля момента количеств движения существует либо два, либо одно, либо ни одного стационарного решения. В стационарном движении (в случае его существования) конфигурация двойной планеты неизменна в орбитальной системе координат, связанной с движением ее центра масс. Все стационарные решения являются неустойчивыми.

Построены фазовые портреты в плоскости переменных (Al5A2), где

Л, (m+ju)2 А2 |=л/ (w+/i)5//3 (здесь /- универсальная гравитационная постоянная, Щ - радиус орбиты центра масс двойной планеты, R2 - взаимное расстояние планет с массами т и ц). Движение по фазовым траекториям происходит таким образом, что, в конце концов, либо двойная планета обрушивается на притягивающий центр, либо спутник (тело массы /л) падает на планету. Численным методом получена фазовая траектория для двойной планеты Земля-Луна, движущейся в поле притяжения Солнца, в рамках рассматриваемой в этой главе постановки задачи. Эволюция движения системы Земля-Луна происходит так, что в настоящее время радиусы орбит Rx и R2 увеличиваются, а вращение Земли вокруг собственной оси замедляется. После того как угловая скорость вращения Земли сравняется с орбитальной в ее движении относительно Луны (период обращения Луны вокруг Земли при этом согласно полученным результатам увеличится в 1,476 раз и составит 40,32 современных суток) расстояние между Луной и Землей начнет уменьшаться. Следует отметить, что часть интегральной кривой, соответствующая уменьшению R2, расположена вблизи кривой, на которой угловая скорость вращения Земли совпадает с орбитальной в ее движении относительно Луны. Подобную картину эволюции Земли и Луны описывал Дарвин [132,133] и позже Макдональд [101].

В пятой главе диссертации изучается эволюция поступательно-вращательного движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил.

Спутник представляет собой динамически симметричное твердое тело, по оси симметрии которого расположена пара гибких вязкоупругих стержней. При отсутствии деформаций в стержнях главные центральные моменты инерции спутника равны между собой, т.е. его центральный эллипсоид инерции - сфера. Диссипация энергии происходит за счет внутреннего трения в материале стержней. Жесткость стержней предполагается большой, и вводится малый параметр s, обратно пропорциональный жесткости упругих элементов.

В §5.1 формулируется постановка задачи и выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса. Используется линейная теория изгиба тонких нерастяжимых стержней. Канонические переменные Андуайе-Делоне описывают поступательно-вращательное движение спутника, а лагранжевы переменные Ui(s,t), u2(s,t) - деформации стержней (здесь s -координата точки стержня по оси симметрии спутника, t - время). Так как поле внешних сил центральное, то имеет место закон сохранения момента количеств движения относительно притягивающего центра.

В §5.2 методом разделения движений и усреднения строится приближенная система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных "действие" и медленной угловой переменной g долготы перигелия от восходящего узла, описывающая эволюцию движения рассматриваемой механической системы. Рассматривается нерезонансный случай.

В §5.3 определяются многообразия стационарных решений усредненной системы уравнений и исследуется их устойчивость на основе уравнений в вариациях. Для одного класса стационарных движений спутника его центр масс описывает эллиптическую орбиту, стержни перпендикулярны плоскости орбиты, а скорость вращения вокруг оси симметрии, совпадающей со стержнями, произвольна. Описанное стационарное движение устойчиво практически только для прямых вращений спутника с угловой скоростью большей среднего движения по орбите.

Другой класс стационарных решений соответствует движению центра масс по круговой орбите, когда угловая скорость вращения спутника совпадает с орбитальной, а, вообще говоря, деформированные стержни имеют произвольную ориентацию в орбитальной системе координат. Так же, как и в задаче о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил, рассмотренной в главе 2, в зависимости от величины модуля момента количеств движения G0 число стационарных орбит может быть равно нулю, одному или двум. В случае двух стационарных орбит устойчивым является стационарное решение, соответствующее орбите большего радиуса.

В окрестности этого стационарного решения условие отсутствия резонансов нарушается, поэтому его исследование проводится на основе возмущенной системы уравнений, полученной в результате применения метода разделения движений. Точные уравнения движения допускают такой класс движений, при котором эксцентриситет и наклонение орбиты равны нулю, а ось вращения ортогональна плоскости орбиты. В указанном классе движений проводится исследование устойчивости стационарных решений, соответствующих режиму гравитационной стабилизации спутника на круговой орбите. Стационарные движения, соответствующие такому положению спутника, при котором стержни лежат в плоскости орбиты и направлены по радиус-вектору центра масс, неустойчивы. А стационарные решения, соответствующие расположению стержней по касательной к орбите, устойчивы.

В шестой главе диссертации изучается эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите. Спутник моделируется осесимметричным твердым телом, по оси симметрии которого расположена пара гибких вязкоупругих стержней.

В §6.1 формулируется постановка задачи и выводятся уравнения движения. Для определения радиус-вектора точки стержня в связанной со спутником системе координат используется линейная теория изгиба тонких нерастяжимых стержней. Вводится малый параметр б, пропорциональный обратной величине жесткости упругих элементов, и малый параметр ju, пропорциональный квадрату орбитальной угловой скорости. Для описания вращательного движения спутника относительно центра масс используются канонические переменные Андуайе.

В §6.2 методом разделения движений осуществляется построение "возмущенной" системы уравнений относительно переменных Андуайе. При ju = О указанная система уравнений описывает быструю диссипативную эволюцию вращательного движения симметричного твердого тела с двумя вязкоупругими стержнями относительно центра масс, причем правые части этих уравнений не зависят от угловых переменных. Переменные /2, /3 модуль вектора кинетического момента К вращательного движения, /3 - проекция вектора К на нормаль к плоскости орбиты) в этих уравнениях не эволюционируют, а скорость эволюции переменной 1\{1\ - проекция вектора К на ось симметрии спутника) имеет порядок бх. В случае динамически вытянутого спутника (А>С) значение переменной /j уменьшается и стремится к нулю, а в случае динамически сжатого спутника (А<С) значение переменной увеличивается и стремится совпасть с /2.

В §6.3 изучается этап медленной диссипативной эволюции в случае А>С. Асимптотическим методом, аналогичным методу Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными, в окрестности аттрактора /, = 0, /2 = /2 (0), /3 = /3 (0) получены уравнения, описывающие эволюцию переменных /2, /3 с учетом периодических возмущений, вызываемых переменной . Скорость эволюции имеет

Л порядок ехц • Построен фазовый портрет в плоскости переменных д: = /3/21 и У = который аналогичен фазовому портрету, полученному в работе [11] при анализе вращательного движения сферически симметричного твердого тела под действием приливного момента. Система дифференциальных уравнений относительно переменных х и у имеет единственное стационарное решение х = 1, y = Q (Q -орбитальная угловая скорость), которое соответствует гравитационной стабилизации спутника в орбитальной системе координат. Соответствующая стационарная точка в плоскости (х, у) является устойчивым узлом. На основе неусредненной возмущенной системы уравнений получен следующий результат: положение равновесия, при котором ось симметрии спутника направлена по радиус-вектору его центра масс, устойчиво, а положение равновесия, при котором ось симметрии спутника направлена по касательной к орбите, неустойчиво.

В §6.4 изучается этап медленной диссипативной эволюции в случае А<С. Точные уравнения движения допускают такой класс решений, когда вектор кинетического момента К направлен по оси симметрии (/j =/2). В этом классе движений асимптотическим методом Крылова-Боголюбова строится приближенная система уравнений, описывающая эволюцию переменных /2, /3 . Скорость эволюции переменных /2, /3 имеет порядок бхц2 . Построен фазовый портрет системы в плоскости переменных (х,у). Анализ фазового портрета позволяет сделать вывод, что в случае А<С движение спутника стремится к прямому вращению вокруг оси симметрии, направленной по нормали к плоскости орбиты. Значение предельной угловой скорости определяется начальными условиями.

Эволюционные уравнения, полученные в данной главе, полностью согласуются с уравнениями, полученными в главе 5 при исследовании поступательно-вращательного движения сферически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил.

В 7-ой главе диссертации рассмотрен пространственный вариант задачи о двойной планете: исследуется поступательно-вращательное движение вязкоупругой планеты в гравитационном поле притягивающего центра и спутника, которые моделируются материальными точками. Спутник и планета движутся относительно общего центра масс, которые в свою очередь совершают движение относительно притягивающего центра.

В §7.1 из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа выводится точная система уравнений движения рассматриваемой механической системы в рамках линейной модели теории вязкоупругости.

В §7.2 методом разделения движений строится возмущенная система уравнений, описывающая поступательно-вращательное движение планеты и спутника с учетом возмущений, вызываемых упругостью и диссипацией.

В §7.3 проводится анализ квазистатических деформаций вязкоупругой планеты, моделируемой однородным изотропным вязкоупругим шаром. Получено уравнение поверхности вращающейся планеты, найдены главные центральные моменты инерции. Получены значения модуля вектора упругого смещения, позволяющие оценить величину приливных горбов, создаваемых притягивающим центром и спутником.

В §7.4 найдены стационарные движения и исследована их устойчивость на основе уравнений в вариациях. Показано, что в стационарном движении, когда диссипация энергии равна нулю, центр масс планеты и спутник движутся по круговым орбитам относительно притягивающего центра, располагаясь с ним на одной прямой. Вязкоупругая планета в стационарном движении неподвижна в орбитальной системе координат. Показано, что указанное стационарное движение является неустойчивым.

В §7.5 в качестве модели вязкоупругой планеты рассматривается система, состоящая из абсолютно твердой невесомой сферы, к которой с внешней стороны жестко прикреплена вязкоупругая сферическая оболочка, а внутри имеется подвижное внутреннее ядро. Получено квазистатическое решение задачи теории упругости, которое описывает деформации упругого слоя планеты под действием гравитационных сил и сил инерции. Показано, что действие внешних гравитационных полей в рассматриваемом приближении вызывает центрально симметричные деформации упругого сферического слоя планеты, а колебания внутреннего ядра нарушают эту симметрию.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [41,42,43,45,47,48,119,121,122,124,125,126,127].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе проведено исследование диссипативной эволюции поступательно-вращательного движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы в ряде задач небесной механики и механики космического полета.

Методами аналитической механики получена полная система интегро-дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных в форме уравнений Рауса, описывающая движение механической системы, моделируемой либо вязкоупругим телом, либо твердым телом с жестко прикрепленными к нему упругими элементами в рамках линейной модели теории вязкоупругости. При этом обобщенные канонические переменные Андуайе-Делоне составляют гамильтонову часть переменных и описывают поступательно-вращательное движение рассматриваемой механической системы, а функции, описывающие деформации, составляют лагранжеву часть переменных.

Наряду с известным методом разделения движений и усреднения для исследования полученной системы уравнений предложен асимптотический метод, сочетающий в себе метод разделения движений и метод Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными. Этот метод в предположении больших коэффициентов жесткости и демпфирования вязкоупругой среды, а также наличия малых внешних периодических возмущений, позволяет получить приближенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую медленную диссипативную эволюцию поступательно-вращательного движения изучаемой механической системы.

Получена эволюционная система уравнений и проведен ее анализ в задаче о поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил. Указанная система уравнений описывает взаимное изменение параметров орбиты и вращательного движения вязкоупругого шара и может быть использована при изучении приливной эволюции движения планет Солнечной системы.

Исследована эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел, являющейся модельной задачей небесной механики. Рассмотрен случай, когда массивные тела, моделируемые материальными точками с массами 1 и ц (//«1), и центр масс вязкоупругого шара движутся в одной плоскости, а вращение вязкоупругого шара относительно центра масс происходит вокруг нормали к этой плоскости. Показано, что эволюция движения вязкоупругого шара разбивается на три этапа, характеризующихся различными временами. Асимптотическим методом разделения движений и методом Крылова-Боголюбова для систем с быстрыми и медленными переменными получены уравнения, описывающие движение вязкоупругого шара на каждом из этих этапов в классе квазикруговых орбит.

Исследована эволюция движения двойной планеты, моделируемой материальной точкой массы и однородным деформируемым вязкоупругим шаром массы т , в гравитационном поле неподвижного центра -материальной точки единичной массы /л ( /л « т «1) в классе квазикруговых орбит. Рассмотрен случай, когда движение центра масс вязкоупругого шара и материальной точки массы /л происходит в одной плоскости, проходящей через притягивающий центр, а вращение шара относительно центра масс происходит вокруг нормали к этой плоскости. Построены фазовые портреты, позволяющие выявить взаимосвязь между изменением радиуса орбиты центра масс двойной планеты и расстоянием между составляющими ее элементами. В рамках данной постановки задачи построена фазовая траектория для двойной планеты Земля-Луна, движущейся в поле притяжения Солнца.

Получена эволюционная система уравнений, описывающая поступательно-вращательное движение сферически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил. Найдены многообразия стационарных решений и исследована их устойчивость на основе уравнений в вариациях.

Исследована эволюция вращательного движения динамически симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите. Получены приближенные уравнения, описывающие поведение рассматриваемой механической системы на этапах "быстрой" и "медленной" диссипативной эволюции. Для этапа "медленной" диссипативной эволюции построены фазовые портреты.

Рассмотрен пространственный вариант задачи о двойной планете. Методом разделения движения построена возмущенная система уравнений, описывающая поступательно-вращательное движение планеты и спутника с учетом возмущений, вызываемых упругостью и диссипацией. Проведен анализ квазистатических деформаций вязкоупругой планеты, моделируемой однородным изотропным вязкоупругим шаром. Получено квазистатическое решение задачи теории упругости в случае, когда планета моделируется механической системой, состоящей из абсолютно твердой невесомой сферы, к которой с внешней стороны жестко прикреплена вязкоупругая сферическая оболочка, а внутри имеется подвижное внутреннее ядро.

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989,302 с.

3. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ТЗ. М.: ВИНИТИ, 1985, 304 с.

4. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977,328 с.

5. Баркин Ю.В. Объяснение эндогенной активности планет и спутников и ее цикличности.// Известия РАЕН. Секция наук о Земле, декабрь 2002, вып. 9, с. 45-97.

6. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965, 416 с.1.) Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: МГУ, 1975, 38 с.

7. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М.: Наука, 1977, 430 с.

8. Белецкий В.В. Приливная эволюция наклонений и вращений небесных тел. Препринт/ Ин-т прикладной математики АН СССР, М.,1978. №43, 22 с.

9. Белецкий В.В., Левин Е.М., Погорелое Д.Ю. К теории вращения Венеры. Препринт/ Ин-т прикладной математики АН СССР, М.,1979. №75,32 с.

10. Белецкий В.В., Хентов А.А. Резонансные вращения небесных тел. Нижний Новгород. Нижегородский гуманитарный центр, 1995,430 с.

11. Белецкий В.В. К вопросу об эволюции вращательных движений небесных тел с приливной или аэродинамической диссипацией. В кн. Актуальные проблемы классической и небесной механики. ТОО "Эльф" Ltd, М, 1998, с. 23-32.

12. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965, 390 с.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 504 с.

14. Болотина Н.Е., Вшъке В.Г. Движение симметричного спутника вокруг центра масс на круговой орбите при наличии гибких вязкоупругих стержней.// Космические исследования, 1984, т.22, вып. 1, с.13-19.

15. Болотина Н.Е., Вильке В.Г., Марков Ю.Г. О вращательном движении твердого тела, несущего вязкоупругий диск, в центральном поле сил.// Прикладная математика и механика, 1986, т.50, вып. 2, с.187-193.

16. Бондаренко В.В., Марков Ю.Г., Скоробогатьгх И.В. О тенденции к соизмеримости вращений и средних движений небесных тел под действием гравитационных приливов.// Астрономический вестник, 1998, т.32, №4, с. 340-351.

17. Бутенин Н.В., Фуфаев Н.А. Введение в аналитическую механику. Физматлит. М.: Наука, 1991, 256 с.

18. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973,272 с.

19. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990, 208 с.

20. Веретенников В.Г., Марков Ю.Г., Ель-Хафез С.А. Динамический анализ эволюционных процессов в движении вязкоупругих небесных тел.// Космические исследования, 1997, т.35, №5, с.501-514.

21. Вильке В.Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил.// Прикладная математика и механика, 1980, т.44, вып. 3, с.З95-402.

22. Вильке В.Г. Разделение движений и метод усреднения в механике систем с бесконечным числом степеней свободы.// Вестник МГУ, сер.1, математика-механика, 1983, №5, с.54-59.

23. Вильке В.Г. Движение тяжелого симметричного тела с гибкими вязкоупругими стержнями вокруг неподвижной точки.// Прикладная математика и механика, 1984, т.48, вып. 2, с.233-237.

24. Вильке В.Г. Об инерциальных свойствах собственных формосесимметричного упругого тела.// Вестник МГУ, сер.1, математика-механика, 1986, №2, с.66-72.

25. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы в динамике систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: МГУ, 1986, 192 с.

26. Вильке В.Г. Об относительном движении осесимметричного упругого тела.// Вестник МГУ, сер.1, математика-механика, 1988, №3, с.25-30.

27. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч 1,2. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1997,41 216 е., 42 160 с.

28. Вильке В.Г. Теоретическая механика. М.: МГУ, 1998, 272 с.

29. Вильке В.Г. О движении планеты со сложной структурой.// Космические исследования, 2004, т.42, №4, с.З88-396.

30. Вильке В.Г., Копылов СЛ., Марков Ю.Г. Об эволюции вращений вязкоупругой планеты на круговой орбите в центральном поле сил.// Астрономический журнал, 1984, т.61, вып. 6, с. 1198-1204.

31. Вильке В.Г., Копылов СЛ., Марков Ю.Г. Эволюция вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил.// Прикладная математика и механика, 1985, т.49, вып. 1, с. 25-34.

32. Вильке В.Г., Лебедев К.М. Резонансные явления при эволюции поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты.// Космические исследования, 1987, т.25, вып. 1, с.148-153.

33. Вильке В.Г., Марков Ю.Г. Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты в центральном поле сил.// Астрономический журнал, 1988, т.65, вып. 4, с.861-867.

34. Вильке В.Г., Шатина А.В. Эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите.// Космические исследования, 1994, т.32, вып. 4-5, с.51-61.

35. Вильке В.Г., Шатина А.В. Эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями в центральном ньютоновском поле сил.// Космические исследования, 1999, т.37, №3, с.289-295.

36. Вильке В.Г., Шатина А.В. Эволюция движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел.// Прикладная математика и механика, 2000, т.64, вып. 5, с.772-782.

37. Вильке В.Г., Шатина А.В. Эволюция движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел // в кн. "Нелинейная механика", М.: Наука, Физматлит, 2001, с. 385-401.

38. Вильке В.Г., Шатина А.В. Эволюция движения двойной планеты.// Космические исследования, 2001, т.39, №3, с. 316-323.

39. Вильке В.Г., Шатина А.В. Эволюция движения двойной планеты.// Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001, с. 154.

40. Вильке В.Г., Шатина А.В. Медленная диссипативная эволюция движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел.// Прикладная математика и механика, 2002, т.66, вып. 5, с.782-792.

41. Вильке В.Г., Шатина А.В. О поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в гравитационном поле притягивающего центра и спутника.// Космические исследования, 2004, т.42, №1, с.95-106.

42. Волосов В.М., Моргунов Б.К. Метод осреднения в теории нелинейных колебаний систем. М.: Изд-во МГУ, 1971, 507 с.

43. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978, 336 с.

44. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966, 300 с.

45. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988, 548 с.

46. Голдрайх П., Пил С. Динамика вращения планет. Сб. статей "Приливы и резонансы в Солнечной системе" под редакцией Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975,288 с.

47. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М.: Изд-во МГУ, 1992, 525 с.

48. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесноймеханике. М.: Наука, 1971, 444 с.

49. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1986,256 с.

50. Дарвин Дж.Г. Приливы и родственные им явления в Солнечной системе. М.: Наука, 1965, 252 с.

51. Демин А.В., Марков Ю.Г. О поступательно-вращательном движении деформируемого осесимметричного тела в центральном поле сил.// Космические исследования, 1991, т.29, вып. 2, с. 178-182.

52. Демин А.В., Марков Ю.Г., Миняев И.С. О приливной эволюции наклонений и вращений небесных тел.// Космические исследования, 1992, т.ЗО, вып. 2, с. 157-164.

53. Демин А.В., Демин ВТ., Марков ЮТ., Миняев И.С. Некоторые закономерности приливной эволюции во вращательном движении планеты.//Космические исследования, 1995, т.ЗЗ, вып. 1, с.25-30.

54. Демин ВТ Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М.: Наука, 1968, 352 с.

55. Демин В.Г. Судьба Солнечной системы. Популярные очерки по небесной механике. М.: Наука, 1975, 263 с.

56. Демин ВТ, Марков Ю.Г., Миняев И. С. О движении спутника, несущего вязкоупругую штангу с грузом на конце, на круговой орбите.// Космические исследования, 1988, т.26, вып. 3, с.366-371.

57. Денисов Г.Г., Новиков В.В. О свободном движении вязкоупругого квазишара.// Известия АН. Механика твердого тела, 1999, №1, с.26-32.

58. Докучаев JI.B. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. М.: Машиностроение, 1987,232 с.

59. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968, 800 с.

60. Егармин Н.Е. Влияние упругих деформаций на тензор инерции твердого тела.// Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1980, №6, с. 43-48.

61. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планеты. М.:Наука, 1983, 416 с.

62. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988,328 с.

63. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970,280 с.

64. Ишлинский А.Ю. Механика: идеи, задачи, приложения. М.: Наука, 1985, 624 с.

65. Карпов И.И., Марков Ю.Г. О диссипативной эволюции поступательно-вращательного движения системы «деформируемая планета-спутник».// Космические исследования, 1999, т.37, с.306-311.

66. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989, 624 с.

67. Копылов С.А. Эволюционные процессы в системах со слабой диссипацией энергии./ Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1985.

68. Красильников П.С., Маркеев А.П. Об устойчивости цилиндрической прецессии вязкоупругого спутника при резонансе 1:3.// Космические исследования, 1997, т.35, №5, с.515-520.

69. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967,464 с.

70. Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.-Л.:Гостехиздат, 1942, 304 с.

71. Ли Цзюньфэн, Марков Ю.Г., Миняев КС. Об одном эффекте в резонансном движении деформируемых планет в ограниченной задаче трех тел.// Космические исследования, 1993, т.31, вып. 4, с. 3-11.

72. Ли Цзюньфэн, Марков Ю.Г., Миняев КС. Об эволюции эллиптической орбиты спутника в поле деформируемой планеты.// Астрономический журнал, 1994, т.71, №1, с.154-160.

73. ЛявА. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935, 674 с.

74. Макдональд Г. Приливное трение. Сборник статей "Приливы и резонансы в Солнечной системе" под редакцией Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975, 288 с.

75. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990, 416 с.

76. Маркеев А.П. К динамике упругого тела в гравитационном поле.// Космические исследования, 1989, т.27, вып. 2, с.163-169.

77. Маркеев А.П. Об одном частном случае движения динамически симметричного упруговязкого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле.// Космические исследования, 1990, т.28, вып. 5, с.643-650.

78. Маркеев А.П. Эволюция быстрых вращений вязкоупругой цилиндрической оболочки в гравитационном поле.// Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1990, №5, с. 139-146.

79. Маркеев А.И Влияние продольных упругих колебаний тела на его быстрые вращения в гравитационном поле // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1989, №6, с. 38-45.

80. Марков Ю.Г Пространственное движение деформируемого тела в центральном поле сил.// Космические исследования, 1988, т.26, вып. 2, с.236-245.

81. Марков Ю.Г О вращении вязкоупругого шара на условно-периодической орбите в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.// Известия АН. Механика твердого тела, 1989, №6, с.23-29.

82. Марков Ю.Г., Миняев КС. Эволюция вращения осесимметричного вязкоупругого тела на эллиптической орбите.// Космические исследования, 1990, т.28, вып. 4, с 483-495.

83. Марков Ю.Г., Миняев КС. Об эволюции движения системы "планета-спутник" в поле притягивающего центра.// Астрономический журнал, 1992, т.69, вып. 2, с.416-427.

84. Марков Ю.Г. Результаты исследования небесномеханических задач поступательно-вращательного движения деформируемых тел./ Дис. на соискание уч. степени доктора физ.-мат наук. М.: МГУ, 1995.

85. Мартыненко Ю.Г., Подалков В.В. О нутациях твердого тела в неконтактном подвесе.// Известия АН. Механика твердого тела, 1995, №2, с.26-31.

86. Мельхиор П. Физика и динамика планет. М.: Мир, т. 1,1975, 575 с.

87. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.:Наука, 1973, 512 с.

88. Митягин Б.С. Дифференциальные уравнения с малым параметром в банаховом пространстве.// Известия АН Азерб. ССР, серия физико-математических и технических наук, 1961, №1,с.23-38.

89. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969, 526 с.

90. НайфеА.К. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984, 535 с.

91. Понтрягин JJ.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965, 332 с.

92. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М.: Наука, 1965, 572 с.

93. Пуанкаре А. Избранные труды. Т1. Новые методы небесной механики. М.: Наука, 1971,772 с.

94. Приливы и резонансы в Солнечной системе. Сборник статей подредакцией Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975, 288 с.

95. Румянцев В.В. О некоторых вариационных принципах в механике сплошных сред.//Прикладная математика и механика, 1973, т.37, вып. 6, с. 963-973.

96. Сидоренко В.В. Об эволюции движения механической системы с линейным демпфером большой жесткости.// Прикладная математика и механика, 1995, т.59, вып.4, с.562-568.

97. Сидоренко В.В. О движении твердого тела с гибкими стержнями, допускающего группу симметрий.// Известия АН. Механика твердого тела, 1995, №1, с.3-11.

98. Сидоренков Н.С. Физика нестабильностей вращения Земли. М.:Наука. Физматлит, 2002, 384 с.

99. Синицын Е.В. Эволюция кеплеровского движения вязкоупругой планеты.//Астрономический журнал, 1990, т.67, №3, 630-635.

100. Синицын Е.В. Асимптотика сингулярных возмущений в исследовании поступательно-вращательного движения вязкоупругого тела.// Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1991, вып. 1, с. 104-110.

101. Стрыгин В.В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988,256 с.

102. Субботин М.Ф. Курс небесной механики. М.-Л., ОНТИ, т.2, 1937,404 с.

103. ХЩТатаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М.: Изд-во МГУ,1984, 295 с.

104. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998,232 с.

105. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1993, 496 с.

106. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-Л., ОНТИ,1937, 500 с.1 \А)Холостова О.В. О плоских квазистатических движениях вязкоупругого тела в гравитационном поле.// Космические исследования, 1991, т.29, вып. 2, с. 183-193.

107. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990, 176 с.

108. Черноусько ФЛ. О движении твердого тела с упругими и диссипативными элементами.// Прикладная математика и механика, 1978, т.42, вып. 1,с.34-42.

109. Черноусько ФЛ. О движении вязкоупругого твердого тела относительно центра масс.// Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1980, вып. 1, с.22-26.

110. Черноусъко ФЛ., Шамаев А. С. Асимптотика сингулярных возмущений в задаче динамики твердого тела с упругими и диссипативными элементами. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1983, вып. 3, с.33-42.

111. Шатина А.В. Об асимптотических свойствах решений одного класса механических систем с бесконечным числом степеней свободы У/ Вестник МГУ, сер.1, математика-механика, 1990, №4, с.85-89.

112. Шатина А.В. Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара.// Механика твердого тела ISSN 0321-1975, 2002, вып.32, c.l 94-202.

113. Шатина А.В. О деформациях планеты, содержащей подвижное внутреннее ядро, в гравитационном поле центрального тела и спутника.// Известия АН. Механика твердого тела, 2005, №1, с.3-12.

114. Andoyer H. Cours de mecanique celeste. Paris, Gauthier-Villars, v.l, 1923; v.2,1926.

115. Ashley M. Observation on the Dynamic Behavior of Large Flexible Bodies in Orbit. AIAA J., 1967, v.5, №3, p.460.

116. Chapront J., Chapront-Touze M., Francou G. A new determination of lunar orbital parameters, precession constant and tidal acceleration from LLR measurements // Astronomy &Astrophysics, 387, p. 700-709 (2002).

117. Darwin G.H. On the precession of a viscous spheroid and on the remote history of the earth // Phil. Trans. Roy. Soc. London, 170, 447-530 (1879).

118. Darwin G.H. On the secular change in the elements of the orbits of a satellite revolving about a tidally distorted planet // Phil. Trans. Roy. Soc. London, 171,713-891 (1880).

119. Goldreich P. An explanation of the frequent occurrence of near commensurate mean motions in the solar system // Rept. 128, Cornell Center for Radiophysics and Space Research, Ithaca, 1963.

120. Jeffreys H. Dissipative interaction between satellite // Mon. Not. Roy. Astron. Soc, 122, 345-347 (1961).

121. Jeffreys H. Effects of tidal friction on eccentricity and inclination // Mon. Not. Roy. Astron. Soc, 122, 339-343 (1961).

122. Kumar V.K., Bainum P.M. Dynamics of a Flexible Body in Orbit // J.Guidance and Control, 1980, v.3, №1, p.90.

123. Modi V.J. Attitude Dynamics of Sattelites with Flexible Appendages. Brief Review // J. Spasecraft arid Rockets, 1974, v.l 1, №11, p.743.

124. Poincare H. Lecons de mecanique celeste. Guathier-Villars, Paris, t.3, Theorie des marees. 1910, 472 p.

125. A\)Thomson W.T. Introduction to space dynamics. N.Y. London, Wiley, 1961, 330 c.