Построение уравнений устойчивого программного движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЗБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Еагшев Аннамухаммет Акмухаммедович

ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИИ УСТОЙЧИВОГО ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

(01.02.01 - теоретическая механика;

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре теоретической механики ордена Дружбы народов Российского Университета дружбы народов.

Научный руководитель -

Доктор Физико-матрматаческих наук, профессор Р.Г.Мухарлямов.

Официальные оппоненты :

Доктор физико-математических наук, профессор Шестаков A.A. Кандидат физико-математических наук, доцент Мухин В.В.

Ведущая организация -

Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова

Защита диссертации состоится 3 февраля 1994 г. в 17 час. оо минут на заседании специализированного совета К 053.22.03 но присувдению ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском Университете дружбы народов по адресу: 117302, Москва,ул.Орджоникидзе 3.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, М- 'Скяа, у.п. М^лухо-Мя^тяя £.

Ан'рпрфг'гч'!* разпслям декабря 1993 г.

-/ Ч'-'Н-Л/А -J-JIXJJIJ х

специализированного совета O/CuAJA") доктор физико-математических наук VS В.М.Савчин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Системами с бесконечным числом степеней свобода моделируются физические объекты, обладающие свойством непрерывности. Такие объекты в механике носят название сплошных сред. Теория управления движением механических систем с бесконечным числом степеней свобода получила большое развитие за последние два-три десятилетие. Однако, к исследованию программного движения систем с бесконечным числом степеней свободы только начинают приступать в последние годы. Вопросы построения дифференциальных уравнений и исследование устойчивости интегральных многообразий механических систем с бесконечным числом степеней свободы до сих пор вообще не исследованы.

Целью настоящей работы является исследование устойчивости движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы и построение уравнений устойчивого программного движения.

Методы исследования. При решении поставленных в работе задач были использованы современные методы построения уравнений программного движения механических систем с конечным числом степеней свободы и обобщенный метод функций Ляпунова.

Научная новизна. В работе впервые решена задача построения уравнений программного движения систем с бесконечным числом степеней свободы, а также доказаны теоремы об устойчивости движения механических систем . с бесконечным числом степеней свободы.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы при решении задач управления движением механических систем с распределенными параметрами, таких как жидкости , газы, плазмы и др.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладовались и обсуждались на XXVI-XXIX научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН , на научных семинарах кафедры теоретической механики РУДН под руководством профессора А.С.Галиуллина.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы

б работах EI—10] , список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего III наименований. Объем работы /{¡-j страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по исследуемой теме и язлогэется основные результаты каждой главы диссертации.

В первой главе рассматривается задача построения уравнений устойчивого программного движения систем с конечным числом степеней свободы. Б первых трех параграфах изложены известные результаты.

В §1.1 приводится постановка и решение общей задачи построения уравнений программою движения систем с конечным числом степеней свободы.

В §1.2 даются некоторые определения и теоремы теории устойчивости по части переменных.

В §1.3 введены понятия устойчивости программы и программного многообразия. Приводятся условие эквивалентности этих понятий и теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости программы.

В §1.4 рассматриваются два компактных многообразия, «дно из которых является подмножеством другого большей размерности. Построены дифференциальные уравнения , для. которых эти многообразия являются программными и дге функции Ляпунова , обеспечивающие устойчивость программных многообразий.

1лава 2 посвящена построению уравнения устойчивого программного движения систем со счетным числом степеней свободы.

В §2.1 приводится постановка задачи и осуществляется построение уравнений программного движения систем со счетным числом степеней свободы. Для определенности , задача

£

рассматривается в банаховом пространстве последователь-

оо

ностей (х , ,... ) со свойствомг 21х. 1<с0" Программа 1 ^ к=1 л

задается в виде конечного числа уравнений относительно t, х,, х2 , ... . Конечность числа уравнений, задающих программу , позволяет гфименять теорию устойчивости по части переменных, о некоторой модификацией , к исследованию устойчивости программного множества , которая рассматривается в 52.4.

В §2.2 получены новые теоремы, являющиеся аналогом теорем Л.Хатвани о частичной и полной устойчивости в направлении ослабления требований как на правые части неавтономной системы x=X(t,x), так и на производную обобщенной функции Ляпунова.

В §2.3 получены аналоги теорем Б.Б.Румянцева , А.С.Озира-нера, Л.Сальвадора и С.Ризито об асимптотической частичной и полной устойчивости состояния равновесия диссипативной механической системы.

В §2.4 введены' основные определения по устойчивости программного мнокества. Доказываются некоторые леммы о свойствах программного множества, при этом предполагается ,что программное множество принадлежит -

компактному множеству из пространства 11. Теоремы об устойчивости программного множества доказываются при предположении, что линейное многообразие Н является устойчивым инвариантным множеством некоторой системы дифференциальных уравнений.

В третьей главе рассмотрено влияние струтуры сил на устойчивость движения системы с бесконечным числом степеней свободы, описываемой бесконечномерным дифференциальным уравнением второго порядка

Ах+Вх+сх=о , (1)

где ktо и вгю - неотрицательные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением ( , ). Оператор в-диссипатиБный оператор , а оператор с-консерватив-ный оператор.

В случае отсутсвия диссипативных сил ( в=0 ) уравнение (I I принимает вид

аЗс+Сх=0 , t€R* . (2 )

Томсон и Тет предложили критерий; (необходимое и достаточное

условие) экспоненциальной устойчивости состояния равновесия х-0 уравнения (I) з случае вещественных операторов а.^0, Вис для конечномерного пространства Н.

В §3.1 решения уравнения (I) рассматриваются в некотором классе Ф(0) , а производные определяются в гильбертовом пространстве Н. Доказаны основные леммы об оценке нормы решений уравнения (I).

В §3.2 установлены основные оценки нормы решений, из которых вытекают теоремы об устойчивости и неустойчивости состояния равновесия механической системы , уравнение движения которой описывается дифференциальным уравнением (I).

В §3.4 доказана теорема о достижимости максимального показателя Ляпунова.

В главе 4 ставится и решается задача построения уравнений программного движения систем с бесконечным числом степеней свободы. Рассматриваются задачи управления движением жидкости. Доказываются теоремы об устойчивости программы.

В §4.1 ставится задача об определении правой части дифференциального уравнения в банаховом пространстве X

x=f(t)x , f(t): X—X, t«R+ (3)

с заданным частным интегралом

(j(t)x-O, (4)

где u>(t.): X—► Y, UP/, семейство операторов из пространства X в банахово пространство У, обладающее свойствами

1) функции t —>■ и){ t )х при фиксированных хеХ обладают производными u\.(t)x,

2) операторы u(t) при каждом teR дифференцируемы го Фреше, производные которых обозначаются через w it). Предложение "уравнение (4) является частным интегралом для дифференциального уравнения (3)" означает, что из условия

Ч

w(t0)x0=o следует w(t)x(t)=o vm0 , где xit) решение уравнения (3) с начальным условием x(t0)=xQ.

Для, определения семейства операторов f(t): X-► X

составляется следующее уравнение

iu>x(t )x]f (t )x-t-u>t (t }x=P(t) t)x), (5)

где операторы Pit): X * Y -► Y обладают свойствами:

1) F (t)(x,0)=o,

2) задача Коши

•w=P(t)(x(t)",u), ,to(t0)=o

имеет единственное нулевое решение o(t)HO, tfRf, x(t)cc1(R+,X).

Для гильбертовых пространств X и Y в предположении, что линейные операторы w^t) являются отображениями X на Y доказано, что общее решение уравнения (5) представимо в виде:

t=tx+iv, где £% произвольное решение однородного уравнения AiT=0 , a ia'=A+b, где .4+=А* (АА*)"1 , а*- сопряженный оператор к А, А+.- псевдообратный оператор к а , A--ai2(t)x , ь= =P(tHx,w(t)x)-a>t<t)x при фиксированных t€R*, х<;Х .

В §4.2 ставится задача об управлении программным движением систем с бесконечным числом степеней свободы. Рассмотрены две задачи об управлении движением жидкости. В первой задаче определяется интенсивность управляющих сил движением несжимаемой вязкой жидкости , обеспечивающих безвихревое течение жидкости. Во второй задаче рассматривается баротропнзя вязкая жидкость. Оперделяется потенциал управля-щих сил , обеспечивающих несжимаемость жидкости.

В §4.3 ставится задача управления замыканием системы. При этом предполагается , что структура движения управляемой части системы известна. Определяется уравнение движения управляющей части системы так, чтобы движение системы происходило по заданной программе.

В §4.4 определяется понятие устойчивости программы и доказывается теорема об ее устойчивости.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы:

1. Доказаны аналоги теорем Л.Хатвани и Шестакова-Мерен-кова о частичной и полной устойчивости в направлении изменения требований как на правые части неавтономного дифференциального уравнения, так и на производную обобщенной функции Ляпунова.

2. Получены аналоги теорем В.В.Румянцева, А.С.Озиранера, Л.Сальвадории и С.Ризито об асимптотической устойчивости состояния равновесия диссипативной механической системы.

3. Построены уравнения программного движения систем со счетным числом степеней свободы с программой, содержащей конечное число уравнений.

4. Доказаны теоремы об устойчивости программного множества системы программного движения со счетным числом степеней свободы.

5. Доказаны теоремы Томсона-Тета об устойчивости невозмущенного движения применительно к механическим системам с бесконечним числом стоципсй сь^о^ди.

6. Построены уравнении программного дшжсшя систем с бесконечным числом степеней свободы. Определен общий вид решения линейного операторного уравнения в гильбертовом пространстве.

7. Доказаны теоремы об устойчивости программы системы ¿'грограммного движения с бесконечным числом степеней сЕободы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Багшыев A.A. Об устойчивости интегрального многообразия. // Тезисы докл. XXVI научн. конф. факультета физ.-мат. и ест. наук. М., 1990, с.86.

2. Багшыев A.A. Построение дифференциальных уравнений программного движения в бесконечномерном пространстве. // Тезисы докл. xxvii научн. конференции факультета физ.-мат. и ест. наук. М., 1991, с.127.

в

3. Багшыев A.A. Об устойчивости интегрального многообразия // Изв. AJI TCGP, Ашхабад, 1991, вып.5. с.96-98.

4. Багшыев A.A. Построение дифференциальных уравнений в бесконечномерном пространстве. // Деп. в ВИНИТИ РАН 29.12.91, N4903-B9I, 17с.

Ь. Яягшыев A.A. О построении дифференциальных уравнений программного движения в банаховом пространстве // Тезисы докл. XXVIII научн. конф. фак-та физ.-мат. и ест. наук. Часть 2. U., 1992, с.58.

6. Багшыев A.A. Программное движение в банаховом пространстве. /У Труды научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" , Ашгабат,1993.

V Р.чгшыев A.A. стабилизация дополнительными силами систем с бесконечным числом степеней свободы. // Депон. в ВИНИТИ РАН 31.03.93, N793-B93, 16с.

8. Багшыев A.A. Влияние структуры сил на устойчивость состояния равновесия систем с конечным числом степеней свобода. // Депон. в ВИНИТИ РАН 06.05.93, NI209-B93, 12с.

9. Багшыев A.A. О влиянии диссипативных сил на устойчивость состояния равновесия в системе с бесконечным числом степеней свободы. // Тезисы докл. XXIX научн. конф. фак-та физ.-мат. и ест. наук . Часть 2 М., 1993. с.77.

10. Багшыев A.A. Влияние гироскопических и диссипативных сил на движение механических систем с конечным числом степеней свободы // Tes.icu дикл. XXIX научн. конф. фак-та физ.-мат. и ест. наук . Часть 2. М., 1993. с.78.