Построение уравнения устойчивого программного движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ГГП 0.1

государственный комитет российской федерации

по высшему образованию российский университет друхбы народов

На правах рукописи

Еагкыев Аннамухаммет Акмухакмедович

построение уравнении устойчивого программного движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы

(01.02.01 - теоретическая механика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре теоретической механики ордена Дружбы народов Российского Университета дружбы народов.

Научный руководитель -Доктор Физико-мятвмптичеоких наук, профессор Р.Г.Мухарлямов.

Официальные оппоненты :

Доктор физико-математических наук, профессор Шестаков A.A. Кандидат физико-математических наук, доцент Мухин В.В.

Ведущая организация -

Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова

Защита диссертации состоится 3 февраля 1994 г. в 17 час. оо минут на заседании специализированного совета К 053.22.03 но присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском Университете дружбы народов по адресу: II7302, МоскЕа,ул.Орджоникидзе 3.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: II7I98, М' 'Оквч jу.п. MTfK.nyyfi-Ww.nqp к.

Аь'горпфрн'.п' ра?ос,пяп "" декабря 1994 г.

->'ЮНЫЙ

специализированного совета доктор физико-математических наук

В.М.Савчин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Системами с бесконечным числом степеней свобода моделируются физические объекты, обладающие свойством непрерывности. Такие объекты б механике носят название сплошных сред. Теория управления движением механических систем с бесконечным числом степеней свободы получила большое развитие за последние два-три десятилетие. Однако, к исследованию программного движения систем с бесконечным числом степеней свободы только начинают приступать в последние годы. Вопросы построения дифференциальных уравнений и исследование устойчивости интегральных многообразий механических систем с бесконечным числом степеней свободы до сих пор вообще не исследованы.

Целью настоящей работы является исследование устойчивости движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы и построение уравнений устойчивого программного движения.

Методы исследования. При решении поставленных в работе задач были использованы современные метода построения уравнений программного движения механических систем с конечным числом степеней свободы и обобщенный метод функций Ляпунова.

Научная новизна. В работе впервые решена задача построения уравнений программного движения систем с бесконечным числом степеней свободы, а также доказаны теоремы об устойчивости движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы при решении задач управления движением механических систем с распределенными параметрами, таких как жидкости , газы, плазмы и др.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладовались и обсуждались на ХХУ1-ХХ1Х научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН , на научных, семинарах кафедры теоретической механики РУДЕ под руководством профессора А.С.Галиуллина.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы

в работах [1—10} , список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения к списка литературы, содержащего Iii наименований. Объем работы страниц.

СОДЕРЖАНИЕ PAKUTÜ

Во введении дается краткий обзор литературы по исследуемой теме и излогается основные результаты каждой главы диссертации.

В первой главе рассматривается задача построения уравнений устойчивого программного движения систем с конечным числом степеней свободы. В первых трех параграфах изложены известные результаты.

В §1.1 приводится постановка и решение общей задачи построения уравнений программою движения систем с конечным числом степеней свободы.

В §1.2 даются некоторые определения и теоремы теории устойчивости по части переменных.

В §1.3 введены понятия устойчивости программы и программного многообразия. Приводятся условие эквивалентности этих понятий и теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости программы.

3 57.4 рассматриваются два компактных многообразия, одно из которых является подмножеством другого большей размерности. Построены дифференциальные уравнения , для которых эти многообразия являются программными и две функции Ляпунова , обеспечивающие устойчивость программных многообразий.

¡лава ?, посвящена построению уравн^ни? устойчивого программного движения систем со счетным числом степеней свободы.

В §2.1 приводится постановка задачи и осуществляется построение уравнений программного движения систем со счетным числом степеней свободы. Для определенности , задача

рассматривается в банаховом пространстве 11 последователь-

со

ностей (х , х ,... ) со свойством: Е1хи<со- Программа

к=1

задается в виде конечного числа уравнений относительно 1;, х,, хг , ... . Конечность числа уравнений, задающих программу , позволяет применять теорию устойчивости по части переменных, о некоторой модификацией , к исследованию устойчивости программного множества , которая рассматривается в §2.4.

В §2.2 получены новые теоремы, являющиеся аналогом теорем Л.Хатвани о частичной и полной устойчивости з направлении ослабления требований как на правые части неавтономной системы х=хи,х), так и на производную обобщенной функции Ляпунова.

В §2.3 получены аналоги теорем В.В.Румянцева , А.С.Озира-нера, Л.Сальвадори и С.Ризито ос асимптотической частичной и полной устойчивости состояния равновесия диссипативной механической системы.

В §2.4 введены основные определения пс устойчивости программного множества. Доказываются некоторые леммы о свойствах программного множества, при этом предполагается .что программное множество принадлежит с некоторой окрестностью компактному множеству из пространства 11. Теоремы об устойчивости программного множества доказываются при предположении, что линейное многообразие М является устойчивым инвариантным множеством некоторой системы дифференциальных уравнений.

В третьей главе рассмотрено влияние струтуры сил на устойчивость движения системы с бесконечным числом степеней свободы, описываемой бесконечномерным дифференциальным уравнением второго порядка

ах+вх+сх=о , (1)

где куг, и вх> - неотрицательные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением с , ). Оператор в-диссипативный оператор , а оператор с-консерватив-ный оператор.

В случае отсутсвия диссипативных сил ( в=0 ) уравнение (I) принимает вид

ах+Сх=0 , t<£Rf. (2)

Томсон и Тет предложили критерий (необходимое и достаточное

условие) экспоненциальной устойчивости состояния равновесия х-0 уравнения (I) в случае вещественных операторов a.-Ю, вис для конечномерного пространства Н.

В §3.1 решения уравнения (I) рассматриваются в некотором классе Ф(0) , а производные определяются в гильбертовом пространстве Н. Доказаны основные леммы об оценке нормы решений уравнения (I).

В §3.2 установлены основные оценки нормы решений, из которых вытекают теоремы об устойчивости и неустойчивости состояния равновесия механической системы , уравнение движения которой описывается дифференциальным уравнением (I).

В §3.4 доказана теорема о достижимости максимального показателя Ляпунова.

В главе 4 ставится и решается задача построения уравнений программного движения систем с бесконечным числом степеней свободы. Рассматриваются задачи управления движением жидкости. Доказываются теоремы об устойчивости программы.

В §4.1 ставится задача об определении правой части дифференциального уравнения в банаховом пространстве X

x=f(t)x , f(t): X-► X, tiR+ (3)

с заданным частным интегралом

u>U)x=0, (4)

где u(t): X—> У, UP/, семейство операторов из пространства X в банахово пространство Y, обладающее свойствами

1) функции t—► unt)x при фиксированных хеХ обладают производными (t)х,

2) операторы u(t) при каждом teR+ дифференцируемы по Фреше, производные которых обозначаются через си it). Предложение "уравнение (4) является частным »ятегралом для дифференциального уравнения (3)" означает, что из условия

Ч

<j(t0)x0=o следует w(t)x(t)=o , где x(t) решение урав-

нения (3) с начальным условием x(t0)=zQ.

Для определения семейства операторов f(t): X-► X

составляется следующее уравнение

i'wx(t)x]f(t)x+wt(t)x=F(t) (x,u(t)x), (5)

где операторы Pit): X * Y -► Y обладают свойствами:

1) F(t)(x,0)550,

2) задача Коши

"u=F(t)(x(t),u),

.Mt0)-o

имеет единственное нулевое решение w(t)=0, tfRf, x(tKC1 (R+,X).

Для гильбертовых пространств X и Y в предположении, что линейные операторы ш (t) являются отображениями X на Y доказано, что общее решение уравнения (5) представимо в виде:

f=ft+fv1 где t% произвольное решение однородного уравнения AfT=C) , а гг'=а+ь, где а+=а*(аа*Г1 , к*- сопряженный оператор к А, а' псевдообратный оператор к а , а^ (t)x , ь= =F(t)u,'jj(t)x)-a>t(t)x при фиксированных t€R+, х»;Х .

В §4.2 ставится задача об управлении программным движением систем с бесконечным числом степеней свободы. Рассмотрены две задачи об управлении движением жидкости. В первой задаче определяется интенсивность управляющих сил движением несжимаемой вязкой жидкости , обеспечивающих безвихревое течение жидкости. Во второй задаче рассматривается баротропнзя вязкая жидкость. Оперделяется потенциал управляющих сил , обеспечивающих несжимаемость жидкости.

В §4.3 ставится задача управления замыканием системы. При этом предполагается , что структура движения управляемой части системы известна. Определяется уравнение движения управляющей части системы так, чтобы движение системы происходило по заданной программе.

В §4.4 определяется понятие устойчивости программы и доказывается теорема об ее устойчивости.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы:

1. Доказаны аналоги теорем Л.Хатваки и Шестакова-Мерен-кова о частичной и полной устойчивости в направлении изменения требований как на правые части неавтономного дифференциального уравнения, так и на производную обобщенной функции Ляпунова.

2. Получены аналоги теорем В.В.Румянцева, А.С.Озиранера, Л.Сальвадории и С.Ризито об асимптотической устойчивости состояния равновесия диссипативной механической системы.

3. Построены уравнения программного движения систем со счетным числом степеней свободы с программой, содержащей конечное число уравнений.

4. Доказаны теоремы оо устойчивости программного множества системы программного движения со счетным числом степеней свободы.

5. Доказаны теоремы Томсона-Тета об устойчивости невозмущенного движения применительно к механическим системам с Сосконечним числом стояний исиоодц.

6. Построены уравнении программного движения систем с бесконечным числом степеней свободы. Определен общий вид решения линейного операторного уравнения в гильбертовом пространстве.

7. Доказаны теоремы об устойчивости программы системы ггрограммного движения с бесконечным числом степеней свободы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Башыев A.A. Об устойчивости интегрального многообразия. // Тезисы докл. XXVI научн. конф. факультета физ.-мат. и ест. наук. М., 1990, с.86.

2. Багшыев A.A. Построение дифференциальных уравнений нрограммного движения в бесконечномерном пространстве. // Тезисы докл. xxvii научн. конференции факультета физ.-мат. и ест. наук. М., 1991, с.127.

в

3. Багшыев A.A. Об устойчивости интегрального многообразия // Изв. АН ТССР, Ашхабад, 1991, вып.5. с.96-98.

4. Багшыев A.A. Построение дифференциальных уравнений в бесконечномерном пространстве. // Деп. в ВИНИТИ РАН "29.12.91, N4903-B9I, 17с.

Ь. Вагшьгев A.A. о построении дифференциальных уравнений программного движения в банаховом пространстве // Тезисы докл. XXVIII научн. конф. фак-та физ.-мат. и ест. наук. Часть 2. М., 1992, с.58.

б. Багшыев A.A. Программное движение в банаховом пространстве. /У Труды научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" , Ашгабат,1993.

7 Рягшыев 4. А. «"'тябшотрятги'я дополнительными силами систем с бесконечным числом степеней свободы. // Депон. в ВИНИТИ РАН 31.03.93, N793-B93, IGc.

8. Багшыев A.A. Влияние структуры сил на устойчивость состояния равновесия систем с конечным числом степеней свободы. // Депон. в ВИНИТИ РАН 06.05.93, NI209-B93, 12с.

9- Багшыев A.A. О влиянии диссипативных сил на устойчивость состояния равновесия в системе с бесконечным числом степеней свободы. // Тезисы докл. xxix научн. конф. фак-та физ.-мат. и ест. наук . Часть 2 М., 1993. с.77.

ю. Багшыев A.A. Влияние гироскопических и диссипативных сил на движение механических систем с конечным числом степеней свободы /У Тезисы дикл. xxix научн. конф. фак-та физ.-мат. и ест. наук . Часть 2. М., 1993. с.78.