Планирование траекторий и управление динамикой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

численном решении уравнений динамики манипу-ляционных роботов (МР)

§3.1. Условия асимптотической устойчивости

3.1.1. Определения

§3.2. Устойчивость дискретной модели

В настоящее время робототехника представляет собой обширную область науки. Она включает вопросы кинематики, динамики, планирования стратегий, языков программирования, искусственного интеллекта и численного моделирования. Традиционные вопросы механики роботов: кинематика и динамика многозвенных систем абсолютно твердых тел, были подробно изложены в ряде книг. Уравнение динамики манипуляционных систем могут быть составлены в различных формах. В [5, 55] было получено полное описание динамики движения манипулятора, применяя методы Лагранжа-Эйлера или Ньютона-Кеплера.

В современном обществе внимание исследователей привлекают задачи динамики манипуляторных роботов. Это связано с внедрением роботов, различных манипуляторов, подъемно-транспортных механизмов в промышленности и технике.

Как отмечено в [29], системы твердых тел (манипуляционных роботов) все больше приобретают прикладное значение, как модели управляемых роботов [28], космические объекты [13], различные многозвенные механизмы и тому подобное.

Под системой манипуляционных роботов можно понимать, как систему твердых тел, обычно связанных между собой посредством соединений с идеальными голономными, стационарными, неголономными и нестационарными связями. Примерами таких систем являются различные механизмы в машинах и живые организмы, например, человеческое тело, при условии, что отдельные его части рассматриваются как твердые. Исследование динамики такой системы требует определения кинематических соотношений и динамических показателей, а также, построение уравнений движения. Обычно это делается для каждой системы и труд, необходимый для вывода, например, уравнений движения из уравнений Лагранжа, рассматривается как неизбежный [60]. 5

Появившееся в последнее время широкое разнообразие схем конструкций механических систем разработки достаточно общего подхода к математическому моделированию, а также создания универсальных комплексов программ, которые могли бы быть применимы для исследования как существующих, так и проектируемых динамических систем. Такие комплексы программ должны позволять создавать математические модели систем, требуемые для различных задач проектирования, адекватно описывать движения узлов конструкций в широком диапазоне изменения конструктивных параметров [53].

В настоящее время наблюдается интенсивное развитие методов составления и решения уравнений движения систем связанных манипуляционных роботов. Использование ЭВМ в решении данного вопроса сыграло важную роль и привело к появлению большого числа различных способов составления уравнений движения на основе векторных, матричных, тензорных методов записи, допускающих проведение аналитических выкладов на ЭВМ, обеспечивающих процесс алгоритмизации составления их и исследования конкретных систем манипуляционных роботов как твердых тел [19].

Имеется большое число публикаций обзорного характера, в которых рассматриваются различные подходы к построению дифференциальных уравнений движения, проводится анализ полученных различными способами уравнений [10, 30, 79], даются сведения об алгоритмах и программах составления уравнений и моделирования динамики с помощью ЭВМ [19, 31, 67].

Опираясь на законы кинематики и динамики манипулятора можно так управлять силовыми приводами сочленений, чтобы манипулятор двигался вдоль некоторой заданной траектории, обеспечивающей выполнение поставленной задачи. Перед началом движения манипулятора важно знать, во-первых, существуют ли на его пути какие-либо ограничения на характер его траектории. Задачу управления манипулятором удобно разбить на две последовательные подзадачи: задачу выбора (планирования) траектории и задачу управления движением вдоль выбранной траектории [66].

Пространственную кривую, вдоль которой двигается схват манипулятора из начального положения в конечное, обычно называют траекторией схвата. Планирование траектории состоит в интерполяции и/или аппроксимации выбранной траектории полиномами некоторого класса и построение последовательности опорных точек для управления манипулятором при его движении из начального положения в конечное. В задачу регулирования движения манипулятора вдоль выбранной траектории входят построение динамической модели манипулятора и выбор на основании этой модели законов управления, обеспечивающих заданное поведение системы. Обычно движение манипулятора осуществляется в два этапа, отличающихся с точки зрения реализуемого управления. Первый этап - этап грубого управления -обеспечивает перемещение манипулятора из начальной точки вдоль заданной траектории в окрестность точки, соответствующей конечным заданным положением и ориентации схвата. В течение второго этапа - этапа точного управления - осуществляется динамическое взаимодействие рабочего узла манипулятора с объектом манипулирования, обеспечивающее выполнение поставленной задачи. На втором этапе используется информация, поступающая от датчиков обратной связи.

При синтезе систем управления современных промышленных роботов принято рассматривать приводы сочленений манипулятора как простые сервомеханизмы. Такой подход неадекватно отражает переменные динамические характеристики манипулятора, поскольку не учитывает движения и конфигурации манипулятора в целом. В ряде случаев нестабильность параметров управляемой системы делает традиционные методы управления с обратной связью практически неэффективными. При этом возрастает инерционность и колебательность процессов отработки заданных команд, что приводит к снижению точности и скорости движения рабочего органа и ограничивает область применения манипулятора работами, не требующими высокой точности. Движение манипуляторов, управляемых указанным образом, характеризуется низкой скоростью и вредными вибрациями. Сколько-нибудь значительное улучшение качества функционирования манипулятора может быть достигнуто лишь на основе использования более точных динамических моделей, синтеза достаточно сложных законов управления и применения специализированных компьютеров и параллельной обработкой данных.

Наиболее интересные результаты, а также общие сведения с точки зрения возможности применения тех или иных принципов механики при создании методов автоматизированного моделирования содержатся в работах А.В. Лурье [31], Н.Н. Поляхова, С.А. Зегжды, М.П. Юшкова [56], Е.П. Попова, А.Ф. Верещагина [57], Э.Дж. Раусса [58], Г.К. Суслова [63].

В настоящее время для получения удобных для автоматизации форм записи уравнений движения используется весь спектр методов и принципов теоретической механики. В работах [17, 26, 28] рассматриваются алгоритмы формирования математических моделей систем твердых тел в форме уравнений Лагранжа второго рода. Методы составления точных уравнений движения с помощью общих уравнений динамики изложены в работах[7, 38, 79].

Близкие методы, основанные на принципе Даламбера в форме уравнений Ньютона-Эйлера и кинетостатического метода, рассмотрены в работах [10, 77, 81, 86]. Наиболее общие подходы к формированию вычислительных уравнений механических систем с помощью общих теорем динамики с использованием геометрических, проективных методов в касательном локальном базисе конфигурационного многообразия систем рассмотрены в работах [54, 56]. Эффективные вычислительные алгоритмы моделирования динамики систем связанных твердых тел созданы на основе уравнений в форме Эйлера-Лагранжа [85, 87], Аппеля [10, 54] с использованием принципа наименьшего принуждения Гаусса [57], канонической формы записи уравнений движения [55], принципа Суслова-Журдена и уравнений Нильсена [54, 86].

Наиболее интересной с точки зрения применения методов аналитической механики, теории матриц, тензорного исчисления к решению практических инженерных задач является монография А.И. Лурье [31]. В ней рассмотрены способы введения обобщенных координат, методы вычисления 8 кинетической энергии, энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы. Рассмотрены методы составления уравнений движения го-лономных и неголономных механических систем в явной форме на основе общих уравнений динамики, уравнений Лагранжа, Эйлера-Лагранжа, Аппе-ля, канонических уравнений. Подробно излагается методика построения точных уравнений движения систем связанных твердых и упругих тел типа "носитель - носимое тело" на основе общих уравнений динамики.

Наличие в данном подходе у каждого из абсолютно твердых тел системы шести степеней свободы ограничивает возможность применения их для систем, имеющих шарнирное соединение.

В работе [49] уравнения голономных и неголономных связей и дифференциальные уравнения записаны в максимальной системе декартовых обобщенных координат (три поступательные и три вращательные для каждого тела), причем вращательными координатами служат параметры Эйлера. Производится выделение независимых координат и скоростей.

Заслуживают внимания работы, Р.Л. Хьюстона [81], в которых предложен метод получения уравнений движения голономных систем связанных твердых тел со структурой дерева на основе прямого применения принципа Даламбера в форме Лагранжа. Данный метод позволяет строить уравнения движения как в квазикоординатах (декартовых абсолютных координатах), так и в обобщенных координатах - относительных угловых и линейных координатах тел системы. Векторно-матричный аппарат облегчает процесс вывода уравнений. В работах [81, 82] вводятся определенный порядок нумерации тел системы и специальная матрица структуры, определяющая отображение номера каждого тела на 0 или натуральное число, равное номеру тела, соединенного с данным при помощи связей и меньше данного номера. Это отображение применяется для записи известных геометрических и кинематических соотношений, описывающих относительное положение и движение тел в векторно-матричном виде, и для выработки алгоритмов автоматического вывода и численного решения уравнений движения.

Необходимо заметить, что существуют различные общие подходы к моделированию на ЭВМ цепей и систем со структурой графа. Которые при соответствующей доработке могут быть приспособлены к решению задач механики [5].

В работах А.Ф. Верещагина, Е.П. Попова [57], М.К. Вукобратовича [10] предложены алгоритмы формирования уравнений движения сложных разомкнутых кинематических цепей и манипуляторов, основанные на принципе наименьшего принуждения Гаусса и уравнениях Аппеля. Первый метод состоит в получении уравнений движения механической системы путем прямой минимизации функционала в принципе наименьшего принуждения Гаусса на каждом шаге вычислительного процесса. Для простых типов шарниров выписаны рекуррентные формулы определения энергии ускорения системы в ускорениях обобщенных координат системы. Для систем со сложными типами соединений предлагается рассматривать уравнения связей в ускорениях, как линейную систему ограничений на ускорения и учитывать их при минимализации функционала в принципе Гаусса с помощью методов штрафных функций. Другой подход состоит в построении уравнений Аппеля с помощью применения рекуррентных кинематических соотношений. Отмечается, что хотя уравнения Аппеля записываются проще, чем уравнения Лагран-жа второго рода, но их аналитический вывод для систем связанных твердых тел столь же сложен. Алгоритмы доведены до уровня программ на ЭВМ.

Другое направление в автоматизации процесса моделирования с помощью уравнений Лагранжа второго рода связано с использованием систем аналитических вычислений (CAB) [19, 64].

Большая работа по решению задач математического моделирования механических систем, а также их приложениям проделана в Пермском государственном университете под руководством В.В. Маланина. На основе CAB REDUCE создан комплекс программ для вывода дифференциальных уравнений движения систем твердых и деформируемых тел, соединенных упруго-демпфирующими связями [19].

Системы аналитических вычислений используются для автоматизации моделирования механических систем также в работах [76, 80, 97]. В работах [76, 80] уравнения строятся для систем с упругодемпфирующими связями. Системы общего вида с голономными стационарными связями рассматриваются в [97]. Комплексы программ включают в себя блоки формирования уравнений Лагранжа 1-рода в символьном виде с последующим численным решением. В работе [97] уравнения движения строятся в форме общих уравнений динамики (уравнений Ньютона-Эйлера). Замыкающие уравнения формируются приравниванием реакций разрезанных шарнирных соединениях тел механической системы.

В связи с развитием прикладных исследований особое значение приобретают обратные задачи динамики систем связанных твердых тел, содержащих замкнутые кинематические цепи. Изучение обратных задач в механике восходит к Ньютону [51], определившему силу, вызывающую движение планет с наблюдаемыми свойствами - законами Кеплера. В прошлом, решением различных обратных задач динамики занимались такие выдающиеся ученые как Ж. Бертран, Г. Дарбу, М. Кенинг, Г.К. Суслов, Н.Е. Жуковский и другие.

Современный этап в развитии обратных задач динамики отличается широким использованием предложенного Н.П. Еругиным [20, 45] метода построения систем дифференциальных уравнений по заданному интегральному многообразию. Возможные постановки обратных задач динамики и задач построения уравнений программных движений, соответствующие методы решения этих задач и различные приложения получили существенное развитие в трудах A.C. Галиулина и его последователей [11-14, 37-41].

Основная задача теории управления движения механической системы состоит в определении управляющих воздействий в соответствии с выбранным законом движения. Такой подход, основанный на задании конкретного движения и управления системой с целью максимального приближения ее действительного движения к заданному, приводит к довольно строгим и, вообще говоря, не всегда обязательным условиям, накладываемым на систему.

11

Реальные задачи содержат лишь некоторую информацию о выбранных динамических свойствах системы, которые могут быть представлены в виде связей, накладывающих ограничения на координаты и скорости системы.

Методам построения уравнений движения управляемых механических систем посвящены работы [5, 66] и другие, составляющие основу современной теории таких систем. Исследованию динамики управляемых систем, программа движения которых задается неголономными связями, посвящены работы [18, 32, 68]. Работы [52, 53] посвящены построению алгоритмов управления движением механических систем.

Особый интерес представляют исследования динамики механических систем и построения теории управления на основе принципов и методов классической механики, так как они являются доступными и понятными широкому кругу специалистов. Исходным при этом есть предположение о том, что управляемое движения механической системы может быть запрограммировано путем наложения удерживающих связей. Однако, как известно, такая программа точно не выполняется. В связи с этим в настоящей работе поставлена задача более глубокого изучения механики систем с удерживающими связями с целью модификации решения задач управления движением. Предполагаемая работа основана на методах исследования динамики управляемых систем, изложенных в работах Р.Г. Мухарлямова [45, 46, 40] - определение реакций программных связей (управляющих сил), исходя из требований устойчивости, асимптотической устойчивости программного движения.

В настоящей работе для построения уравнения программного движения систем манипуляторов предварительно излагается метод исследования таких систем, который позволяет с единых позиций рассмотреть вопросы, связанные с их структурой, кинематикой и динамикой [28].

Состояние системы твердых тел описывается большим числом параметров, определяющих геометрию системы, распределение масс в системе, природу внешних сил и сил, действующих в местах соединения смежных тел.

Взаимодействие между смежными телами системы осуществляется через шарниры, которые являются различными по своей конструкции и физической природе. Поэтому очень удобным представляется введение условного шарнира для обозначения того или иного взаимодействия между смежными телами [7] и такое понятие будет объединять в себе имеющиеся между смежными телами виды взаимодействий. Наличие шарниров ограничивает перемещение составляющих систем манипуляторов относительно друг друга, а при составлении уравнений движения действие этих шарниров можно заменить связями. Такие связи можно рассматривать, как внутренние и кроме них движение системы может быть ограничено внешними связями, представляющими модель взаимодействия системы твердых тел в целом со средой, другими телами или системами, не входящими в рассматриваемую и тому подобное.

Совокупность выделенных шарниров при переходе от одного произвольного тела к другому в системе многих тел вдоль последовательности тел и шарниров так, что ни один шарнир не проходит дважды, называется путем между этими телами.

Если для всех пар тел пути между ними определяются единственным образом, то говорят, что система имеет структуру дерева. С другой стороны, если существует хотя бы два различных пути между двумя телами, то эти пути образуют замкнутую цепь. Если, в частности, каждый шарнир в замкнутой цепи содержит, по крайней мере, одну кинематическую связь, то замкнутая цепь называется замкнутой кинематической цепью.

На практике системы многих тел функционируют в двух существенно различных ситуациях. В большинстве систем одно или несколько тел связаны шарнирами с внешним миром, положение которого в инерциальном пространстве является заданной функцией от времени. Сравнительно редким является способ функционирования системы, при котором ни одно ее тело не связано с внешним телом, совершающим заданное движение. Положение системы многих тел в инерциальном пространстве определено однозначно,

13 если положение смежных тел относительно друг друга известны для всех шарниров и если, кроме того, известно положение относительно подвижного базиса, неизменно связанного с внешним телом.

Задачи посвящены развитию моделирования динамики управляемых механических систем.

Первая глава является вводной. В ней рассмотрены вопросы описания планирования траектории движения схвата манипулятора. Рассматриваются задачи составления уравнений программных связей, соответствующих движению схвата или некоторых звеньев манипулятора. Решаются задачи аппроксимации траектории схвата с помощью сплайнов, построения систем дифференциальных уравнений с заданными свойствами решений: обход препятствий, устойчивость траектории и др. Введены необходимые условия, обеспечивающие точность при численном решении динамической системы (манипуляционной системы).

Первый раздел этой главы посвящен описанию планирования траектории движения схвата манипулятора с помощью кубических сплайнов. Во втором разделе была доказана теорема, описывающая условия перехода от декартовых к обобщенным координатам, обеспечивающие точность движения вдоль данной траектории схвата манипулятора.

Путь движения центра схвата в прямоугольных координатах будем считать известным: х = *(/), у = у(О, 2 = 2(0, х = х(д\

У = У(яХ (1) = тогда

14 х(д) - ■*(/) = О,

У(Я)-У«) = 0, (2) где 4 =

Найти q - так, чтобы можно было планировать траекторию схвата в обобщенных координатах с обеспечением точности.

Закон движения схвата манипулятора можно записать при г = г - г (Г) как уравнение связей ш)=т-т=о (3)

Таким образом, продифференцировав (3), из которого получаем систему, чье решение даст искомое множество систем дифференциальных уравнений. яТк~\ к = /я/ят, (4) для которых равенство (3) представляет совокупность частных интегралов.

Вторая глава посвящена дальнейшему развитию метода программных связей в применение к манипуляционным системам.

В большинстве случаев исследуются механические системы, состоящие либо из одного твердого тела, либо из нескольких твердых тел в некоторой особенно простой геометрической конфигурации. Важная роль, которую играют такие системы в классической механике, обусловлена тем, что их уравнения движения могут быть проинтегрированы в замкнутой форме. Это невозможно в общем случае, если система состоит из многих твердых тел в какой-нибудь произвольной конфигурации. Предположение, что отдельные тела таких систем тверды, является идеализацией, приемлемость которой в значительной мере зависит от характера исследуемой задачи.

В настоящей работе предлагается метод построения уравнений динамики манипуляционных систем с программными связями в форме уравнений Лагранжа и в форме уравнений Гамильтона. Для этого излагается метод ис

15 следования, который позволяет с единых позиций рассмотреть вопросы, связанные со структурой манипулятора, кинематикой и динамикой.

Состояние таких систем описывается большим числом параметров, определяющих геометрию системы, распределение масс в системе, привода внешних сил и сил, действующих в местах соединения смежных тел (звенья манипулятора).

В третьей главе приведены условия асимптотической устойчивости программного многообразия при численном решении динамики манипуляци-онных роботов и условия устойчивости дискретных моделей.

Исследование динамики манипуляционных роботов и решение проблемы синтеза управления ими, как известно, связано непосредственно с анализом и численным решением систем дифференциальных уравнений их движений, оставленных с учетом наложенных на них связей и приложенных к ним сил. При этом поведение решений ДУ существенно зависит от начальных значений обобщенных координат и скоростей или от импульсов, определяющих состояние манипуляционных роботов. Принято считать, что удерживающие связи, накладываемые на манипулятор, описываются аналитическими выражениями Л(<7,ЛГ'/?,/) = и = 3 = т+ \,.,г (4) связывающих векторов и обобщенных координат д и импульсов р и эти равенства выполняются абсолютно точно при всех

В (4) возмущения связей ссц,а§ рассматриваются как переменные, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям аг=<рг{а^М-хрЛ <Р„=ат+м, <Р» (0,яМ'1р,0 = 0 (5) а = (а1,.,ап+т), /л = \,.,т, у = 1,.,т + г.

Правые части уравнений (5) можно выбрать так, чтобы их тривиальное решение а1 = аг+т - 0 было асимптотически устойчиво.

В четвертой главе приведены результаты исследования конкретной механической системы с помощью созданного объекта исследования рассмот

16 рена задача программирования движения схвата манипулятора, состоящего из трех звеньев.

В этой главе предлагается метод построения уравнений Лагранжа второго рода и уравнений Гамильтона, описывающих динамику манипуляцион-ных систем с программными связями.

Уравнения программных связей и соответствующие обобщенные управляющие силы определяются по необходимым направлениям движения звеньев манипулятора и свойствам рабочей среды. Движение схвата или отдельных звеньев манипулятора в ограниченной области пространства может быть описано системой дифференциальных уравнений с заданными свойствами решений, которая может быть рассмотрена как поверхность неголоном-ных связей линейных относительно скоростей. Такой подход упрощает решение задачи синтеза управления манипулятора.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем: дано систематическое изложение метода составления уравнений движения схвата манипулятора, осуществляющего планирование траекторий.

- Основываясь на принципе кубических сплайнов, были исследованы подходы, описывающие переход от декартовых к обобщенным координатам и условия, обеспечивающие точность движения вдоль данной траектории схвата манипулятора.

- На основе методов современной аналитической механики разработана методика построения уравнений программного движения схвата манипулятора, в форме уравнений Лагранжа и Гамильтона.

- Установлены условия устойчивости, асимптотической устойчивости, программного многообразия при численном решении уравнений динамики.

- Проведены условия устойчивости дискретной модели.

- Проведена алгоритмизация всех этапов моделирования управления программным движением схвата манипулятора, а именно:

17

1. Составлены уравнения программных голономных и неголономных связей.

2. Составлены уравнения возмущенных связей, гарантирующие устойчивость выполнения этих уравнений в процессе движения.

3. Предложены алгоритмы определения положения многозвенного манипулятора, состоящего из п звеньев, и формирование законов движения отдельных звеньев.

4. Построены уравнения движения управляемого манипулятора.

5. Составлены уравнения описывающих динамику манипуляционных систем с программными связями.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XXXIV-XXXV Всероссийской научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (г. Москва, 1998-1999 гг.).

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук профессору Му-харлямову Р.Г. за постоянное внимание и помощь в работе, а также профессору Галиуллину A.C., профессору Мухаметзянову И.А. и всем преподавателям кафедры теоретической механики и кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа, за многочисленные советы, замечания, высказанные ими при обсуждении диссертации, за ту творческую атмосферу, в которой происходило обсуждение содержания и результатов работы.

18

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем: дано систематическое изложение метода составления уравнений движения схвата манипулятора, осуществляющего планирования траекторий.

- Основываясь на принципе кубических сплайнов, были исследованы подходы, описывающие переход от декартовых к обобщенным координатам и условия, обеспечивающие точность движения вдоль данной траектории движения схвата манипулятора.

- На основе методов современной аналитической механики разработана методика построения уравнений программного движения схвата манипулятора, в форме уравнения Лагранжа второго рода и уравнений Гамильтона в обобщенных координатах системы.

- Установлены условия устойчивости, асимптотической устойчивости, программного многообразия при численном решении уравнений динамики.

- Проведены условия устойчивости дискретной модели.

- Проведена алгоритмизация всех этапов моделирования управления программным движением схвата манипулятора, а именно:

1. Составлены уравнения программных голономных и неголономных связей.

2. Составлены уравнения возмущенных связей, гарантирующие устойчивость выполнения этих уравнений в процессе движения.

3. Предложены алгоритмы определения положения многозвенного манипулятора, состоящего из п звеньев, и формирование законов движения отдельных звеньев.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Акуленко Л.Д., Гукасян A.A. Управление плоскими движениями манипулятора// Изв. АН СССР. Сер. МТТ. М., 1983. №5. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2. М., 1960 488 с. Артболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1975. -640 с.

2. Болотник H.H., Черноусько Ф.Л. Оптимизация параметров шагающего робота для движения в трубах// Изв. А.Н. Механика твердого тела. 1995. №6. С. 27-41.

3. Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971, 264 с.

4. Виттенбург И. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980 292 с. Воробьев Е.И. Построение уравнений программного движения пространственных механизмов с несколькими степенями свободы// Машиноведение. Л., 1981 г., №5. С. 42-46.

5. Воробьев Е.И., Егоров О.Д., Попов С.А. Механика промышленных роботов: Учебное пособие для вузов. В трех книгах (под ред. Воробьева Е.И., Фролова К.В.). Книга 2. Расчет и проектирование механизмов. М.: Высшая школа, 1988 367 с.

6. Вукобратич М.К., Стокич Д.М. управление манипуляционными роботами. М.: Наука, 1985. -384с.

7. Галиуллин A.C. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986. -224 с.

8. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. М.: Наука, 1986. -224 с.

9. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматгиз, 1960.-296 с.

10. Грдина Я.И. Динамика живых организмов. Екатиринославль, 1911. -107с.

11. Гуляев В.И., Завражина В.М. Математическое моделирование пространственных управляемых движений упругих многозвенных систем. Киев, 1995. -19 с. -Деп. в ГНТБ Украины 25.11.95, № 2456-Ук 95.

12. Добронравов В.В. Основы аналитической механики. М.: Высшая школа, 1976. -263 с.

13. Дроздов М.Ю., Маланин В.В. О создании ФОРТРАН-программ средствами CAB REDUCE// Труды Международного совещания по аналитическим вычислениям на ЭВМ и их приложению в теоретической физике. Дубна, 1985. С. 114-119.

14. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую// ПММ, 1952. Т. 16. Вып. 6. С. 659-670.

15. Йоро Гозо. Управление программным движением манипуляционных роботов// Тезисы докл. XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского университета Дружбы Народов. М., 1998. С. 16.

16. Йоро Гозо. Обеспечение устойчивости численного решения динамической системы// Тезисы докл. XXXV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского университета Дружбы Народов. М., 1999. С. 20.

17. Козлов В.В., Макарычев В.П., Тимофеев A.B., Юричев Е.И. Динамика управления роботами. М.: Наука, 1984. 336 с.

18. Лилов Л.К. О динамике одноконтурной манипуляционной системы// Теор. и прикл. мех. 1981. Вып. 12. №3. С. 26-33.

19. Лилов Л.К. Структура, кинематика и динамика систем твердых тел// Успехи механики, 1983. Т. 6. №№ 1-2. С. 53-90.

20. Лилов Л.К., Чириков В.А. Об уравнениях динамики систем взаимосвязанных тел// ПММ, 1981. Т. 45, № 3. С. 525-534.

21. Литвин-Седой М.З. Механика систем связанных тел// В кн.: Итоги науки и техники. Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1982. С. 3-61.

22. Лоенко Ю.М. Некоторые вопросы управления движением механических систем. Автореф. диссерт. канд. физ.-мат. наук. М., 1976. -11 с.

23. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. -824 с.

24. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. -320 с.

25. Миронцов С.Г., Чеботарев В.Г. Динамические уравнения движения манипулятора промышленного робота// Машины и комплексы для нов. экол. чист, пр-ва строит, мат./Белгород, 1994. С. 146-149.

26. Морошкин Г.Ф. Уравнения динамики простых систем с интегрируемыми связями. М.: Наука, 1981. -116 с.106

27. Мухарлямов Р.Г., Абрамов H.B. Непрерывные аналоги численного решения систем нелинейных уравнений// Математические методы и задачи функционирования систем железнодорожного транспорта. Межвузовский сборник научных трудов. М.:РГОТУПС, 1995, С.75-79.

28. Мухарлямов Р.Г., Йоро Гозо. Устойчивость численного решения динамической системы// Вестник РУДН, сер. Прикладная математика и информатика, 1999, № 1, с. 25-30.

29. Мухаметзянов И.А. Об устойчивости программного многообразия// Дифференциальные уравнения, 1973. Т. 9. №5. С.846-856.

30. Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г. Уравнения программных движений. Оптимизация и оценки. М.: изд-во РУДН, 1987. -80 с.

31. Мухарлямов Р.Г. Мухаметзянов И.А. Уравнения программных движений. М.: изд-во РУДН, 1986. -87 с.

32. Мухарлямов Р.Г. О решении систем нелинейных уравнений// Журнал выч. мат. и матем. физики, 1971. Т. 11. №4. С. 819-936.

33. Мухарлямов Р.Г. Обратные задачи динамики// В кн. Устойчивость движения. Аналитическая механика. Управление движением. М.: Наука, 1981. С. 217-233.

34. Мухарлямов Р.Г. Численное моделирование в задачах механики// Вестник РУДН, сер. Прикладной математики и информатики, 1995, №1, с. 13-28.

35. Мухарлямов Р.Г. К обратным задачам качественной теории дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения 1967, т. 3. №10, с. 1673-1681.

36. Мухарлямов Р.Г. О приближенном решении систем нелинейных уравнений// Дифференциальные уравнения. 1975, т.11, №5, с. 900-908.

37. Мухарлямов Р.Г. О построении дифференциальных уравнений оптимального движения по заданному многообразию// Дифференциальные уравнения 1971 год, т.7, №10, с.1825-1834.107

38. Мухарлямов Р.Г. Об уравнениях движения механических систем// Дифференциальные уравнения, 1983, т. 19, № 12, с. 2048-2056.

39. Мухарлямов Р.Г. Математическое моделирование динамики несвободных механических систем// Вестник РУДН сер. Прикладная математика и информатика. 1996 г. №1, с. 31-37.

40. Мухарлямов Р.Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию// Дифференциальные уравнения, 1969 г., т.5, №4, с.688-699.

41. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967.

42. Никравеш П., Хауг Э.Дж. Разбиение обобщенных координат для анализа механических систем с неголономными связями. М,: Мир, 1983. Т. 105 №3. С. 196-202.

43. Нугманова Ш.С. Об уравнениях движения регулируемых систем// Тр.КАИ, 1953. Т. 28, С. 23-40.

44. Ньютон И. Математические начала натуральной философии// Крылов А.И. Собрание тр. М.-Л., 1936. -696 с.

45. Петров Б.Н., Крутько П.Д., Попов Е.П. Построение алгоритмов управления как обратная задача динамики// Докл. АН СССР, 1979. Т. 247. №5. С. 1078-1081.

46. Петров Б.Н., Крутько П.Д., Попов Е.П. К теории построения алгоритмов управления движением// Докл. АН СССР, 1979. Т. 247. №3.

47. Пол. Р. Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота-манипулятора//«Наука», М., 1976 г., 104 с.

48. Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М. Принцип Суслова-Журдена как следствие уравнений динамики// Сб. научно-методических статей по теоретической механике. М., 1982. -536 с.

49. Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М. Теоретическая механика, Л.: изд-воЛГУ, 1985.-536 с.

50. Румянцев В.В. О движении управляемых механических систем// ПММ. 1976.е.40.Вып.5.С.771-781.

51. Суслов Г.К. Теоретическая механика, М.: Гостехиздат, 1946. 655 с. Суслов В.М., Иванов В.Н. Об одной форме записи уравнений движения механических систем. Пермь. ПТУ, 1983. - 13 с. Деп в ВИНИТИ 17.10.83, №5672-83

52. Фу. К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника: Пер. С английского М.: Мир, 1989 - 624 е., ил. ISBN 5-03-000805-5.

53. Ханукаев Ю.И. Алгоритмы моделирования механических систем. М.: МФТИ, 1983.-35 с.

54. Цыбулькин Г.А. Двухуровненное координирующее управление манипуляционным роботом с кинематической избыточностью// Пробл. упр. и информат., 1995.№3. С. 143-150.

55. Черноусько Ф.Л., Болотник H.H., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы. М.: Наука, 1989. -363 с.

56. Черный В.Г. Принципы составления математической модели многозвенного механизма с помощью ЭВМ// Изв. Вузов. Машиностроение, 1983. №10. С. 49-53.109

57. Четаев Н.Г. О принципе Гаусса// Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: АН СССР, 1962. С. 329-334.

58. Четаев Н.Г. Овынужденных движениях// Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: АН СССР, 1962. С. 329-338.

59. Четаев Н.Г. Теоретическая механика (под ред. В.В. Румянцева, К.Е. Якимовой). М.: «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1987. -368 с.

60. Baumgarte J.V. Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical system// Computer methods in applied mechanics and engineering, 1972. №1. P. 1-16.

61. Baumgarte J.V. Eine rein Hamiltonische Formuliening der mechanic von Systemen mit holonomen Bindugen// Acta Mechanica, 1980. -36. P. 135142.

62. Baumgarte J.V. Stabilizierung von Bindugen über Zwangsimpulse// ZAMM, 1982. -62. P. 447-454.

63. Brat V., Bila J., Valasek M. The Automatic Derivation of Motion of a Mechanical System// Acta Techn. CSAV, 1994. №6. P. 643-655.

64. Chace M.A. Methods and Experience in Computer Aided Design of Large-Displacement Mechanical Systems// Comput. Aided Anal. And Optimiz. Mech. Syst. Din. Proc. NATO Adv. Study Inst. Berlin, 1984. P. 233-259.

65. Chang C.O., Nikravesh P.E. AN Adaptive Constraint Violation Stabilization Method for Dynamic Analysis of Mechanical Systems // Trans. ASME. J. Mch. Transmiss, and Autom. Des., 1985. -107. №4. P. 488-492.

66. Haug E.J. Elements and Methods of Commutational Dynamics// Comput. Aided Anal, and Otimiz. Mech. Syst., Dyn. Proc. NATO Adv. Study Inst. Berlin, 1993. P. 3-38.

67. Hussian M.A., Noble B. Application of Symbolic Computation to the Analysis of Mech. Syst// Comput. Aided Anal. NATO Adv. Study Inst. Berlin, 1984. P. 283-256.

68. Huston R.L., Kamman J.V. A Discussion on constraint Equation in MultiBody Dynamics//Mech. Res. Commun., 1982. -№4. P. 252-256. Huston R.L., Passerello C.E. Dynamics Multi-Rigit-Body System // Trans. ASME J. Appl. Mech., 1978. -45. №4. P. 889-894.

69. Heegard V., Leyvraz P.F. The biomechanics of human patella during passiveknee flexion//J. Biomech., 1995. -25. №11. C. 1265-1279.

70. Kamman J.W., Huston R.L. Dynamics Constrained Multibody Systems//

71. Trans. ASME. J.Appl. Mech., 1984. 51. № 4. P. 899-903.

72. Kane T.R., Levinson D.A. MultiBody Dynamics// Trans. ASME. J.Appl.

73. Automatic Control, AC-28. №12, PP. 1066-1073, 1983.1.h T.Y.S., Lin C.S. Optimum Path Planning for Mechanical Manipulators.

74. Trans ASME, T. Dynamic Systems, Measurement and Control. 102, PP.142.151.

75. Mouharliamov R.G., Abramov N.V. The modeling of mechanical systems// Вестник Российского унив. дружбы народов. Серия прикл. матем. и информ. М., 1995. С. 31-33.

76. Paul R.P. Robot Manipulator Cartesian Path Control. IEEE Trans Systems, Man. Cuberr, SMC-9, № 11, PP. 702-711; 1979.

77. Paul R.P. Modeling, Trajectory Calculation, and Servoing of a Computer Controlled. Arm. Memo AIM-177; Stanford Artificial Intelligence Laboratory, PaCo Alto, Calif. ,1972.1.l

78. Schiehlen W. Nichtlineare Bewegungssgleichungen glober Mthukorpersysteme// Z. Angew. Math. undMeth., 1981. 61. № 9. P. 413419.

79. Simionescu I. Rotational modules for industrial robots// "Politehn" Univ. Buchorest, 1993. 55. № 3-4. P. 140-144.

80. Taylor R.H. Planing and Execution of straight Line manipulator Trajectories, IBM T. Res Devel, 23, №4, PP. 424-436, 1979.

81. Wittenburg J. Analytical Methods in Mechanical System Dymamics// Comput. Aided Anal, and Optimiz. Mech. Syst. Dyn. Proc. NATO Adv. Study Inst. Berlin, 1984. P. 89-127.

82. Yus., Elbestawi M.A. Modeling and dynamic analysis of a two link manipulator with both joint and link flexibitles// J Sound and Vibr., 1995. -179. № 5. P. 839-854.