Разработка и исследование алгоритмов расчета на ЭВМ математической модели региональной макроэкономики; решение задачи оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Стригунов Валерий Витальевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА НА ЭВМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕГИОНАЛЬНОЙ МАКРОЭКОНОМИКИ, РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

01 01 07 - Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск - 2007

003174180

Работа выполнена в ГОУВПО "Тихоокеанский государственный университет"

Научный руководитель-

доктор физико-математических наук, профессор Булгаков Виктор Кирсанович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Ащепков Леонид Тимофеевич

кандидат физико-математических наук, доцент Ершов Николай Егорович

Ведущая организация:

Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук

Защита состоится " 31 " октября 2007 г. в 14м часов на заседании диссертационного совета К 212.294.02 в ГОУВПО "Тихоокеанский государственный университет" по адресу 680035, г. Хабаровск, ул Тихоокеанская, 136, ауд 315л

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУВПО "Тихоокеанский государственный университет".

Автореферат разослан " 27 " сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Вихтенко Э М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы обусловлена необходимостью выявления количественных закономерностей, складывающихся в макроэкономике регионов РФ в современных условиях переходного периода, необходимостью разработки новых математических моделей региональной макроэкономики, исследования условий корректности этих моделей, разработки алгоритмов оптимального управления экономической системой на региональном уровне, численных расчетах оптимальных траекторий развития

Классическими среди макромоделей стали модель Рамсея (1928 г) и Солоу (1956 г) Развитие этих моделей представлено работами М Интрилигатора, В Л Макарова, А М Рубинова, В 3 Беленького, В А Колемаева Региональная макроэкономика, как наука, появилась на Западе в 50-х годах XX века, лидером ее стал У Айзард В России вопросами региональной макроэкономики занимается акад А Г Гранберг и другие

Одной из основных зависимостей математической модели макроэкономики региона является производственная функция (ПФ), определяющая объем выпускаемой продукции в единицу времени (год) в зависимости от объема используемых в производстве ресурсов В данной работе для моделирования производственного процесса использовалась В-функция, предложенная в работах Булгакова В К, Булгакова О В

Ряд важных вопросов экономической теории связан с необходимостью определять наилучший, оптимальный вариант решения Математический аппарат современной теории оптимального управления включает методы вариационного исчисления, принцип максимума и метод динамического программирования

Принцип максимума, предложенный акад Л С Понтрягиным, позволяет решать ряд задач математического и прикладного характера, которые являются вариационными задачами, но не укладываются в классическую схему вариационного исчисления Необходимые условия принципа максимума позволяют сформулировать краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Следует отметить, что в работах по математической экономике, где для решения задачи оптимального экономического роста использован принцип максимума Л С Понтрягина, подынтегральная функция максимизируемого функционала принималась равной функции управления В этом случае оптимальное управление представляет собой систему релейных переключений граничных значений функции управления В настоящей диссертации рассмотрена нелинейная подынтегральная функция - функция полезности в виде степенной зависимости от управления, где показатель степени 0 < а < 1

Задача расчета ^чимального управления с помощью необходимых условий принципа максимума сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Единственным классом дифференциальных уравнений, для которых разработаны регулярные методы решения краевых задач, являются линейные дифференциальные уравнения Эти методы и основанные на них схемы решения краевых задач заключаются в переносе граничных условий (метод прогонки) Метод прогонки используется и для построения итерационных способов решения нелинейных краевых задач Однако не все задачи оптимального управления могут быть сведены к краевым задачам для линейных дифференциальных уравнений

В настоящей работе предлагается оригинальный алгоритм решения краевой задачи оптимального управления региональной макроэкономикой при конечном гори-

зонте планирования (Г <со), исследованы задачи с фиксированным и не фиксированным временем Цель работы.

1 Разработка и исследование математической модели региональной макроэкономики РФ в переходный период, учитывающей особенности межбюджетных отношений

2 Разработка алгоритмов решении краевой задачи оптимального управления динамикой региональной макроэкономики, исследование условий существования и единственности рассмотренных задач Численные исследования алгоритмов расчета оптимального управления региональной экономикой

3 Проведение численных исследований на ЭВМ динамики макроэкономических параметров региональной экономической системы на основе решения задачи оптимального управления (на примере Хабаровского края)

Научная новизна работы:

1 Разработана и исследована новая математическая модель региональной макроэкономики РФ на основе производственной В-функции Модель учитывает особенности существующих в РФ межбюджетных отношений

2 Доказана теорема о существовании и единственности стационарного решения предложенной математической модели

3 Доказана теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой, описываемой предложенной математической моделью

4 Разработаны и исследованы алгоритмы решения краевой задачи оптимального управления для конечного горизонта планирования Т заранее не заданного, а также для горизонта планирования Тр заранее заданного

5 На основе разработанных алгоритмов проведены численные исследования на ЭВМ динамики макроэкономических параметров, соответствующей оптимальным управлениям

6 Теоретически обнаружен инвариант исследуемой макроэкономической модели

Практическая ценность.

1 Разработанные алгоритмы расчета краевых задач оптимального управления реализованы в виде комплекса программ на языке С++ Программный комплекс может быть использован при разработке стратегий социально-экономического развития регионов РФ

2 Предложенные и исследованные алгоритмы решения краевых задач оптимального управления могут быть использованы для решения задач оптимального управления в конкретных отраслях народного хозяйства

На защиту выносятся.

1 Алгоритмы решения краевых задач оптимального управления для предложенной математической модели региональной макроэкономики

2 Теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой, основанной на производственной В-функции

3 Численные исследования на ЭВМ оптимальных управлений и соответствующих траекторий макроэкономических параметров региональной макроэкономики Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях

- XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е В Зо-лотова (Хабаровск, ДВГУПС, 2005 г ),

- VIII открытый конкурс-конференция молодых ученых и аспирантов Хабаровского края (экономическая секция) (Хабаровск, ИЭИ ДВО РАН, 2006 г ),

- XXXI, XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е В Золотова (Владивосток, ИПМ ДВО РАН, 2006 - 2007 гг ),

- IX краевой конкурс-конференция молодых ученых (физико-математическая секция) (Хабаровск, ДВГУПС, 2007 г ),

- семинар "Дифференциальные уравнения" (рук д ф -м н, проф А Г Зарубин) (Хабаровск, ТОГУ, 2007 г ),

- Пятая международная научная конференция творческой молодежи (Хабаровск, ДВГУПС, 2007),

- Российская конференция "Дискретная оптимизация и исследование операций" (Владивосток, ИАПУ ДВО РАН, 2007 г )

Основные положения диссертации опубликованы в 9 работах Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения Общий объем диссертации составляет 139 страниц машинописного текста, содержит 56 рисунков, 8 таблиц и список литературы из 108 наименований Нумерация формул в диссертационной работе состоит из двух чисел первое число соответствует номеру главы, второе - порядковому номеру формулы в этой главе

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Вьи.1.-';ие содержит обоснование актуальности темы, цель исследования, научную новизну и практическую ценность полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту

Первая глава содержит математическую модель макроэкономики региона на основе производственной В-функции, исследование математической модели

В первом параграфе рассмотрены свойства производственной В-функции, проведен ее сравнительный анализ с производственной функцией Кобба-Дугласа и CES В переменных хх= /лК, x2 = gN, где ц - доля выбывших за год основных

производственных фондов К, g - средний годовой доход одного работника, N -численность работников, участвующих в производственном процессе региона, производственную В-функцию можно записать в частной форме

Y ,

-= ох,

-ЯЛ.

1-е *

К

+ В(1-Ь)х1

1-е

(1)

где В, Ь, См - параметры В-функции, Г - валовой региональный продукт При разработке и исследовании математической модели макроэкономики региона используется производственная В-функция в виде однопараметрической зависимости

В(х) = Ь(1-е-*) + (1-Ь)х^1-е~^ (2)

Описан алгоритм расчета параметров В-функции В результате вычислений по статистическим данным за 1991 - 2002 гг получены значения параметров производственной В-функции для Хабаровского края 5 = 0857, ¿ = 0814, С„=10947

Во втором параграфе этой главы выведены математические соотношения, связывающие экономические показатели для существующей бюджетной системы РФ Получены зависимости для нормы накопления с,, нормы потребления ск, суммарных инвестиций 1, фонда непроизводственного потребления 1¥

В третьем параграфе дана новая математическая модель макроэкономики региона в следующих относительных безразмерных показателях (переменных)

х = В*-—, i =-, w =-, у =-, (3)

gN gN gN gN

где x - фазовая (основная) переменная (при g = const х пропорциональна фондовооруженности), экономический смысл переменных I, w, у следует из (3) Математическая модель макроэкономики региона включает в себя

- основное уравнение модели

^ = аВ(х)-Лх , (4)

at

где а = {iBctCm, Л = fx+v + t, JceC(<o)[0, оо) - в силу свойств функции В(х), teRl={t 0£*<oo},

- начальное условие уравнения (4)

х(0) = х=В , х,е(0,оо), (5)

- зависимости для макроэкономических переменных /, w, у

i = c,C„B(x), w = cwCKB(x), У = С<0 В(х), (6)

- производственную В-функцию (2)

Переменная x(t) (фазовая, основная) с областью значений R(x) = (0, со) как решение задачи Коши (4), (5) изменяется во времени, описывая динамику развития региональной экономической системы Очевидно, что остальные макроэкономические переменные модели также являются функциями времени

Вопрос о существовании и единственности стационарной траектории модели решает лемма 1 1

Лемма 1.1. Пусть параметры правой части уравнения (4) а, Л > 0 и имеет место неравенство

Л<а, (7)

тогда уравнение (4) имеет единственную стационарную точку хг > О

Следующая лемма определяет начальное приближение при решении уравнения у/{х) = ух-В(х) = 0 (8)

итерационным методом Ньютона для расчета стационарного значения хг

Лемма 1.2. Если для решения уравнения (8), определяющего стационарную траекторию модели, использовать метод Ньютона и взять начальное приближение

*о=Г~\ (9)

то итерационный процесс Ньютона дает монотонно убывающую последовательность {х„}->хг

В четвертом параграфе на основе численного решения задачи Коши математической модели исследован выход основной фазовой переменной на стационарный режим

В пятом параграфе доказывается теорема, устанавливающая неравенства для норм накопления "золотого правила накопления" при использовании производственной В-функции и функции Кобба-Дугласа

Теорема 1.1. Пусть cl0pl - оптимальная норма накопления, соответствующая

максимальному среднедушевому потреблению на стационарном режиме функционирования экономической системы, в случае, когда производственный процесс описывается В-функцией. а с, ор^ - оптимальная норм накопления, когда производственный процесс описывается функцией Кобба-Дугласа Пусть 0 1 car, <0 9, 0<у <\ Тогда

1) существует у.(а1)>0, являющееся корнем уравнения

Г(г,«1) = 1, (10)

такое, что при у = у. с, ор1 = с, oph ,

2) для у е(0,п) ^I Opt ^ ^I Optx '

3)для уе(у,,1) clopt>cloph

Вторая глава посвящена оптимальному управлению динамикой региональной экономической системы Глава состоит из двух параграфов В первом параграфе для предложенной модели макроэкономики региона (4), (5), (6), (2) с переменным во времени потреблением w(t) рассмотрена задача об отыскании оптимального управления

В качестве функции управления (управляющего "параметра") в задаче оптимального управления региональной макроэкономикой примем функцию w(t) Область допустимых значений функции управления можно представить как замкнутое множество

W~{w(t)eC[0,T] we[wx,w2]},

где

= ^ B{x{t)), K\ ~ Cw\ = Cw2 Cm , cw

T - горизонт планирования динамики экономической системы, Т < со

В качестве функции полезности возьмем степенную зависимость u(w) = wa, где а е (0,1) - эмпирическая постоянная

Математическая постановка задачи имеет вид

w2(t)=x2B(x(t)l

(И) (12)

= Г + Y 'w у>

max\wa(t) dt

чл^И/

dx .

— = аВ(х)- ах—pw at

x(Q) = х, х(Т) = х2

B{x) = b[l-e") + (l-b)x\ 1-е

(13)

В задаче (13) момент времени Т заранее не задан Введем функцию Гамильтона исследуемой задачи

Н(х, ц/, м>) = м?" + 1//[аВ(х)~ Лх - рм>\, гамильтонову систему уравнений

dx

= аВ(х)-Лх-pw

dt dt

где i//(t) - сопряженная к x(t) переменная, t//{t)e.C\0,T]

Обозначим через R(x), R(i//) области возможных значений переменных x(t), y/(t) системы(15) Пусть R{x), R(y/) = R* = (0,оо)

Решение задачи (13) получим на основе принципа максимума Понтрягина Вве-

1

дем постоянные с, =

а

р(я Г 0 = = функции

(16)

Теорема 2 1 определяет конкретную функциональную зависимость между оптимальным управлением м>' (?) и соответствующими ему оптимальными траекториями фазовой и сопряженной переменных х*{г), (//(О

Теорема 2.1. Пусть - оптимальное управление задачи (13), х*((),

у/(1) - соответствующие ему решения гамильтоновой системы (15) Тогда между оптимальным управлением и'*(/), соответствующими ему оптимальными траекториями фазовой и сопряженной переменных х*(/), ц/{{) имеет место зависимость

жгв{хЦ)) при (//(?) ^</л(**(0)

__1_

= (О при ^ИоЬ^Ю^Ио) (17)

Ч*'«) при (НО^ИО) Во втором параграфе главы 2 дается решение краевой задачи оптимального управления

Пусть и>(г) - оптимальное управление динамикой региональной макроэкономики, определяемое зависимостями (17) теоремы 2 1, а х{{), у/(/) - соответствующие ему траектории фазовой и сопряженной переменных (звездочки у м> и х для простоты опустим)

Введем следующие параметры модели а = д/иВС^, а1=(д — с„2)цВС<с,

<>2={<1-сы)мВСт, rj = -,

Л = /j + V + Т , p-juB, а =

а\ а

1

1 -а

Л

r = -,

а

У\''

Л

Гг=-

а

iVi

а

Тогда уравнения, определяющие оптимальные траектории х{{), у/(/) задачи (13) можно записать в следующей форме О

Здесь

Л с1у/ ~~сй

а1{В{х)-ухх) В(х)-ух-сгц/

= Пх, у)

1 Л

1 -а

при ^(0-^(0

при у/,(0<(К0<С2(0

при

а2 (В(х)-у2х) СКх,у/) = а(г-В'{х))у,

Нам также понадобится следующая эквивалентная системе (18) система уравнений, в которой в качестве независимой переменной взята сопряженная переменная у/, а в качестве функций фазовая переменная х и время I

ау/

ау/

(19)

Здесь

<р{х,у/) =

Д(*)-Г,х 1

у-В'(х) у/

__1_

В(х) — ух — сгц/ 1 у - В'(х) у/

В(х)-у2х 1 У-В'(х) у П 1

72

при I// < !//, (х) при I//, (х)<у/< ц/г (х) при ц/ > у/г (х)

У-В\о V/

Рассмотрим на положительном ортанте }1+(у/, х) сопряженной и фазовой переменной замкнутую область П (у/, х) = { у/, х \//ша < у/ < , *т1П < х < хтах }, где отрезок [хтш , хтах ] содержит в себе все возможные реальные состояния д:,, х2 региональных экономических систем, а у/шп = у/(хтех), ^тах = у(хтт) - соответствующие значения сопряженной переменной

Кривые у/х(х), у/2(х) (16) делят область О на три подобласти, рассмотренные в теореме 2 1 Эти подобласти будем обозначать символами Ч^, ^Р, В подобласти *Р есть особая точка 0//,, ), координаты которой определяются алгебраическими уравнениями

у-В\ус,) = 0, у,,- С'

Для рассматриваемого примера экономической системы [¡/1 = 7.0876, = 1.5853.

сЬс

Введем в подобласти Т кривую на которой производная -= 0. Кри-

ац/

вая ЦУ0(х) определяется уравнением

V о 00 = 1

(20)

[В(х)-Гху-а'

На рис. 1 нанесена линия 1//0(х) для рассматриваемой в качестве примера экономической системы Хабаровского края.

В'

0.3

1 \ \ \ /¿'о -1 —/— " у /

Ы*) / / /

/ V 1

1 V \

\ \

г-'--

Л' 10

15

Рис. 1

20

2.5 А

Леммы 2.1, 2.2, теорема 2.2 устанавливают свойства интегральных кривых (оптимальных траекторий х(у/)) системы (19). На их основе доказывается основная теорема 2.3, дающая алгоритм расчета оптимального управления и соответствующих ему оптимальных траекторий (КО = интеграла благосостояния J, времени достижения конечного состояния Т.

Лемма 2.1. Интегральные кривые системы (19), исхо/^щие из промежутков А'А, ВВ', образуют два семейства {а}, {Ь^ }; {а} расположенных в П,, {Ь^ }

- в П2. Ни одна кривая семейств {а, }, {Ь: } не пересекает полосу П. Здесь

¿1 = 1, И], ¿2 = 1, п2 , П\, п2 ~ любые целые числа.

Лемма 2.2. Интегральные кривые {а* } с: £2не пересекаются между собой, интегральные кривые } с ^ 2 также не пересекаются между собой. Каждой точке ^ промежутка А'А кривые {а- } ставят в соответствие только одну точку кривой ц/д(х). Каждой точке ¿¡¿2 промежутка ВВ' кривые } ставят в соответствие только одну точку кривой (г/ц (;с).

Пусть J[, , ./'„^ - значения интеграла благосостояния на экстремалях <7,, , аИ], a Т[, , Т'п - времена перехода из состояния в состояние х2 по экстремалям ai> ' ап, Обозначим через J, J"„2 и 'Г", , - интегралы благосостояния, времена перехода на экстремалях j, , Ь„г

Теорема 2.2. Рассмотрим экономический процесс, описываемый системой уравнений (19)

Рассмотрим х,, х2 е - начальное и конечное состояния экономической системы, хтп < х, < х2 < xs (случай А)

Рассмотрим также х,, х2 efl2 ~ начальное и конечное состояние системы, xs <х2 < х, <хтах (случай В) Тогда 1) Время перехода из состояния хх в состояние х2, хх, х2 е £1|, по экстремалям ау, , аП] и соответствующие значения интеграла благосостояния удовлетворяют неравенствам

Т[<Т'2< <Т'„, (21)

J[<J'2< <J'n (21')

2) Время перехода из состояния х, в состояние х2, хх, х2 еП2, по экстремалям Ъх, з b и соответствующие значения интеграла благосостояния удовлетворяют неравенствам

т;<т"2< <Т'„, (22)

J\<J"2< <Г„ (22')

Теорема 2.3. Рассмотрим экономический процесс, описываемый системой уравнений (19) Пусть хх, х2 - точки начального и конечного состояния системы,

хх, jc2 efi Тогда решение задачи оптимального управления определяется задачей Коши

А) ПРИ *m,n < X, < Х2 < Х^

' В(х')-у2х' 1 у-В\х) у

dV \В(х')-ух'-aVT

dQ

у-В\х) 1 1

V

при

при

у/г(х')<ч/

dy/ у-В'(х") у с начальными условиями

V2 =Vo(x2) = \

(23)

{В(х2)-ух2\-° В) при xs < х2 < х, < хтах - задачей Коши

х(у/2) = х2, 0(у/2) = О

(24)

х'(у/)>х2, в(у) < О В{х)-у,х 1

Ос'

у-В'(х') у/ В(х') — ух' —ац/

V

В'(х') 1

при

при

¿70 = г, й?^ у-В'(х') ц/

с начальными условиями (24).

Третья глава посвящена численным исследованиям динамики макроэкономических параметров на основе решения задачи оптимального управления для предложенной математической модели региональной макроэкономики. В первом вводном параграфе дается постановка задачи численных расчетов.

Второй параграф содержит результаты расчетов оптимального управления и<*(/), соответствующих ему оптимальных траекторий х'(1), 1//(?), интеграла благосостояния на этих траекториях, значений времени перехода из начального состояния Хх в конечные состояния х2.

Исходные данные вариантов х1, х2, рассчитанные значения сопряженной переменной ц/х, 1//2, интеграла благосостояния О, времени перехода Т для случая А приведены в таблице 1.

Таблица 1

Вариант *2 V1 ц/2 J т

1 0.33 1.585304 25.810150 7.087574 111.48 39.17

2 0.33 1.4 25.576685 7.103178 19.24 9.92

3 0.33 12 24.728196 7.161670 12.84 7.44

4 0.33 1.0 23.136148 7.279479 9.05 5.74

5 0.33 0.8 20.656091 7.487083 6.19 4.25

На рис. 2 показаны оптимальные траектории как функции времени х*(/) между начальным и конечным состояниями системы, а на рис. 3 - оптимальные управления м>* (/) для вариантов 1 - 5 табл. 1.

Рис. 2

Рис. 3

На части каждой оптимальной траектории а.сЧ', Ь^ а Ч7 (¡1 = 1,п1,

/2 = 1, п2 ) для функции Гамильтона (14) имеет место следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть - оптимальное управление динамикой

макроэкономики, определяемое зависимостями (17), а х'(1), Ц/(1) - соответствующие ему решения гамильтоновой системы (15) с граничными условиями -*(0) = х,, х(Т) = х2. Тогда функция Гамильтона (14) вдоль части оптимальной траектории а. с 'Р (случай А) или вдоль Ь1 с Т (случай В) постоянна:

= сот /.

(26)

'<•<.(»/, К»

Из равенства (26) получен инвариант исследуемой макроэкономической модели

1-а + а<?1 У--К <7

_1_ ¥

= СГ)ПХ1 .

(27)

В третьем параграфе исследована динамика размерных макроэкономических показателей на оптимальных траекториях при варьировании параметров экономической модели. Значения параметров и, т, ¡и, а, для которых проводились расчеты, приведены в таблице 2.

Таблица 2

Параметр Вариант 1 (базовый) Вариант 2 Вариант 3

V - 0.0045 0.0045 -0.015

г 0.06 0.11 0.01

И 0.07 0.05 0.09

а 0.7 0.9 0.3

На рис. 4-7 показаны зависимости макроэкономических показателей У(/), К(!), 1(1), IV (!) при темпах роста среднегодового дохода одного работника г: г, = 0.06, г2 = 0.11, г3 =0.01 дня = 0.5 .

/ /

/ / (...........

/ /

> У........

1 . 3

1"™

/ / ....../.....

7 /

/

V

------ I 1 . 3__

Ю) - «МП #>»«10«

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Четвертая глава посвящена решению задачи оптимального управления динамикой региональной экономической системы при наперед заданном горизонте планирования. В качестве основы используются результаты главы 2.

Рассмотрим задачу оптимального управления динамикой региональной экономической системы (3) для случая, когда горизонт планирования Тр <<х> задан заранее. Предположим также, что хх <х2 <х5. В силу неравенств (20) теоремы 2.2 минимальное время перехода по экстремалям { я (}, ;=1 ,т, из состояния х] в состояние х7 равно 7\ - времени перехода по экстремали а,, а максимальное время перехода из состояния х, в состояние х2 равно Тт - соответствующее экстремали ат.

Введем обозначения: 7' .

-.Т Т =7 11) А™-

Теорема 4.4. Если в задаче оптимального управления (3) для времени перехода Тр из состояния х, в состояние х2 имеет место включение

Тр^[ТаЬ,Ттах 3, (28)

то решение задачи оптимального управления (3) существует и единственно.

Решение задачи оптимального управления для заранее заданного горизонта планирования Тр состоит в определении корня ^ операторного уравнения

где зависимость Т(ц/2) определяется решением задачи Коши В(х')-у2х' 1

у-Д'ОО у/ В(х')-ух' -сгц/ 1

сЬс' с1ц/

с!в

«У у-В'(х') ц/

у~В\х) V 1

при

при

а<ц/ <уг (х")

ц/ = ц/г, х' = х2, 0 = 0 Функциональная зависимость Т([//2), следовательно и г(|//2), непрерывная, строго монотонно убывающая на [а,Ь], где а = ц/1т, Ь = , На концах отрезка

г(а) > 0, т(Ь) < О. Для нахождения корня г(^) = 0 использовался метод половинного деления и метод хорд.

На рис. 8 представлены для рассматриваемой экономической системы результаты расчетов оптимальных траекторий х'(1) и оптимальных управлений для двух значений наперед заданного горизонта планирования Тр1 = 6 лет, Тр2 = 7.44 лет. В первом варианте интеграл благосостояния достигает значения ,/, = 8.22, во втором =12.84.

Рис. 8

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Основными результатами проведенных исследований являются следующие.

1. Разработан алгоритм расчета параметров В-функции по статистическим данным рассматриваемой экономической системы. Для Хабаровского края по статистическим данным (временным рядам) за 1991-2002 гт. посчитаны на ЭВМ значения параметров В-функции: В = 0.857, 6 = 0.814, С„ =10.947.

2. Предложена новая математическая модель макроэкономики региона на основе производственной В-функции, с учетом существующих межбюджетных отношений в РФ. Найдено условие (7), при котором математическая модель имеет единственное стационарное решение. Численными расчетами на ЭВМ исследован выход модели на стационарный режим.

3. Доказана теорема об оптимальном управлении региональной макроэкономикой для предложенной математической модели макроэкономики (теорема 2.1).

4. Предложен алгоритм решения краевой задачи оптимального управления (теорема 2.3). Алгоритм реализован в форме программы расчета на ЭВМ оптимального управления и соответствующих ему оптимальных траекторий.

5. Работоспособность предложенного алгоритма подтверждена численными исследованиями на ЭВМ динамики макроэкономических параметров экономики Хабаровского края серией расчетов краевых задач оптимального управления.

6. Показано, что в h-окрестности особой точки (tf/!, xs~) размерные макроэкономические переменные K(t), fV(í), Y(l), I(í) переходят на стационарные "траектории сбалансированного роста" (экспоненциальные кривые). В отличие от ранее существовавших математических моделей, в нашей модели указанные выше макроэкономические переменные растут с темпом v + г, что показывает ведущую роль темпа роста заработной платы г в развитии экономической системы (в ранее существующих моделях темп роста макроэкономических переменных определялся только темпом роста населения v ).

7. Проведены численные расчеты на ЭВМ и анализ динамики размерных макроэкономических показателей на оптимальных траекториях. Показано, что не только в окрестности особой точки, но и в любой момент времени t е[0, Т] основным параметром, определяющим развитие экономической системы является темп роста заработной платы г.

8. Разработан алгоритм решения краевой задачи оптимального управления и проведены численные исследования на ЭВМ для случая, когда горизонт планирова-

ния Тр< оо заранее задан Определены условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи оптимального управления (теорема 4 4)

Разработанный комплекс программ расчета на ЭВМ задач оптимального управления может быть использован органами управления РФ, институтами и организациями при создании и анализе программ социально-экономического развития регионов РФ

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ 1. Стригунов В. В. Решение задачи оптимального управления динамикой экономической системы региона РФ для конечного горизонта планирования / В. К. Булгаков, В. В. Стригунов // Вестник ИжГТУ. - 2007. - № 2. - С. 53 - 58.

2 Стригунов В В Исследование математической модели макроэкономики региона / В В Стригунов // Власть и управление на Востоке России - 2007 - № 2 -С 30-35

3 Булгаков В К, Стригунов В В Математическая модель и исследование региональной экономики // Управление общественными и экономическими системами [Элекхронный ресурс] многопредмет науч журн / Орловский государственный технический университет - Электрон журн - Орел ОрелГТУ, 2007, № 1 - Режим доступа http //www bah ostu ru/umc/arhiv/2007/1/

4 Булгаков В К, Стригунов В В Оптимальное управление экономической системой региона РФ при конечном горизонте планирования // Российский экономический интернет-журнал [Электронный ресурс] Интернет-журнал АТиСО / Акад труда и социал отношений - Электрон журн - М АТиСО, 2007 - Режим доступа http //www e-rej ru/Arücles/2007/Bulgakov_Strigunov pdf

5 Стригунов В В Модель и исследование макроэкономики региона на основе производственной B-функции / В К Булгаков, В В Стригунов // Вестник ТОГУ -2005 — № 1 - С 173-196

6 Стригунов В В Решение задачи оптимального управления динамикой региональной экономической системы для конечного горизонта планирования / В К Булгаков, В В Стригунов //Вестник ТОГУ -2006 -№1 -С 15-30

7 Стригунов В В Оптимальное управление динамикой региональной экономической системы при заданном горизонте планирования / В К Булгаков, В В Стригунов//Вестник ТОГУ -2006 -№2 - С 139-150

8 Стригунов В В Математическая модель макроэкономики региона на основе производственной B-функции / Стригунов В В // Материалы восьмой открытой конференции-конкурса научных работ молодых ученых Хабаровского края (экономическая секция) Сборник статей - Хабаровск, 2006 - С 183-187

9 Стригунов В В О "золотом правиле накопления" в региональной макроэкономике / В К Булгаков, В В Стригунов // Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке труды Пятой международной научной конференции творческой молодежи В 6 т - Хабаровск Изд-во ДВГУПС, 2007, -Т 4 -С 123-127

Стригунов Валерий Витальевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА НА ЭВМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕГИОНАЛЬНОЙ МАКРОЭКОНОМИКИ, РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 26 09 2007 г Формат 60x84/16 Бумага писчая Гарнитура "Тайме" Печать цифровая Уел печ л 1 Тираж 100 экз Заказ 2Ю

Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета 680035, Хабаровск, ул Тихоокеанская, 136