Метод опорных задач для оптимизации линейных динамических систем управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЩЕНИЕ.

ГЛАВА I . АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНОМ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПО ТЕРМИНАЛЬНОМУ КРИТЕРИЮ

КАЧЕСТВА.

§ I. Постановка задачи. Основные определения.

§ 2. Принцип £. -максимума.

§ 3. Итерация алгоритма.

§ 4. Численный эксперимент.

ГЛАВА II. ОПТИМИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПО НЕТЕРМИНАЛЬНОМУ КРИТЕРИЮ КАЧЕСТВА.

§ 5. Алгоритм оптимизации линейной нестационарной системы управления по нетерминальному критерию качества

§ 6. Алгоритм оптимизации нестационарной динамической системы управления с подвижными краевыми условиями

§ 7. Алгоритм построения допустимого управления в задаче оптимизации линейной нестационарной динамической системы.

ГЛАВА Ш . ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

§ 8. Алгоритм оптимизации линейной нестационарной системы с многомерным управлением.

§ 9. Численный эксперимент.

Диссертационная работа посвящена разработке конструктивных методов исследования линейных задач оптимального управления нестационарными динамическими системами. Как известно [24] , под конструктивной теорией оптимального управления понимается та часть общей теории оптимальных процессов, в которой исследуются принципы построения алгоритмов решения задач оптимального управления. Надо отметить, что разработка.численных методов решения задач оптимального управления началась одновременно с теоретическими исследованиями в этой области прикладной математики £33, 38-41, 44-46, 61, 62, 67, 70, 83, 84] .

Краеугольный результат в математической теории оптимальных процессов - принцип максимума, открытый коллективом советских математиков во главе с академиком Л.С.Понтрягиным [57] , представляет собой одно из крупных достижений современной математики. Он существенно обобщает и развивает основные результаты классического вариационного исчисления, созданного Эйлером, Лагранжем и другими выдающимися математиками прошлого. Появление принципа максимума послужило толчком для последующего бурного развития теории экстремальных задач и методов их решения. Усилиями многих советских и зарубежных ученых математическая теория оптимальных процессов достигла высокого уровня развития в области качественного анализа оптимальных решений [2, 7-9, 16-19, 50, 57, 66 ] .

Первые попытки построения алгоритмов решения линейных непрерывных задач оптимального управления относятся к концу 50-х - началу 60-х годов. В 1957 году для решения задачи линейного оптимального быстродействия академиком Н.Н.Красовским [44-46] был предложен метод, основанный на L - проблеме моментов в линейных нормированных пространствах [3] . Использование L - проблемы моментов позволило свести ряд задач оптимального быстродействия к двойственным задачам, которые представляют собой конечномерные задачи выпуклого программирования [38-39] .

Практический расчет оптимальных управлений сложными реальными объектами требует выполнения большого объема вычислений, который стал возможным благодаря созданию мощных современных ЭВМ и интенсивному развитию численных методов. В потоке работ, связанных с построением численных методов решения задач оптимального управления в настоящее время выделяют [35, 64, 69] три главных направления.

К первой группе относятся так называемые непрямые методы, которые направлены на отыскание управления, удовлетворяющего необходимым или достаточным условиям оптимальности. Исходная задача в таких методах сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (см. [9, 50, 53-55, 69] ).

Второе направление связано с построением минимизирующей последовательности траекторий. Эти методы основаны на методе динамического программирования [4, 5, 20] , варьировании и переборе в пространстве фазовых координат [54, 63, 64] . Численные методы этого направления отражены в работах [6 , 49 , 53 , 67-69 , 73 , 831 .

К третьей группе относятся методы построения минимизирующих последовательностей в пространстве управлений. Из большого числа методов этой группы отметим методы наискорейшего спуска (градиентные методы) и их различные модификации [9, 10, 34, 53, 70, 85] , методы штрафных функций [53, 71, 72] , методы последовательных приближений [48, 51, 52] , методы линеаризации [6, 64] . Обзор различных численных методов решения задач оптимального управления содержится в [9, II, 24, 34, 53, 58, 64, 68, 69, 8486, 88] .

В последние годы при разработке алгоритмов оптимального управления часто используются методы математического программирования. Суть подхода состоит в том, что непрерывные процессы заменяются на дискретные (чаще всего с помощью разностных аппроксимаций и конечных элементов), а затем для полученной дискретной задачи оптимального управления используются методы математического программирования. Методы решения задач оптимального управления, базирующиеся на идеях нелинейного программирования, описаны в [35, 56, 58, 59, 881 .

Общий подход к решению нелинейных задач оптимального управления предложен Р.П.Федоренко [64] . Этот подход основан на использовании последовательных линеаризаций: исходная нелинейная задача оптимального управления линеаризуется вдоль допустимого управления, полученная линейная задача оптимального управления решается с помощью методов линейного программирования. На этом пути автором создан целый ряд эффективных алгоритмов для решения нелинейных задач оптимального управления [64] .

Линейные задачи оптимального управления занимают особое положение в теории оптимальных процессов. С одной стороны, ими моделируются различные реальные процессы. С другой стороны, линейные модели используются при создании алгоритмов решения нелинейных задач оптимального управления.

Рассмотрим общую нелинейную задачу оптимального управления max, x = f(x9u,{), X(io)=X0, £(U) = 0, L = исЪ £ U, -Ь еТ= Но, 1Л .

С точки зрения численных методов оптимального управления трудность в этой задаче составляют два элемента: нелинейность и наличие терминальных ограничений. Одним из подходов к решению задачи (I) является подход, при котором вспомогательные задачи линейны, но терминальные ограничения в них учитываются непосредственно.

Вопросы качественной теории для линейных задач оптимального управления разработаны весьма тщательно [18, 36, 47, 60] . В настоящее время для решения линейных задач оптимального управления создан ряд алгоритмов [18, 32, 33, 40-46, 75, 76, 87] . Среди методов решения линейных задач следует выделить симплекс-метод. Он широко используется при решении разнообразных прикладных задач. Однако до сих пор в теории оптимального управления не создано аналога, по эффективности приближающегося к симплекс-методу. Поэтому актуальность создания новых эффективных алгоритмов, учитывающих специфику задачи не уменьшается.

С начала 70-х годов в Минске (БГУ им. В.И.Ленина, Институт математики АН БССР) проводится работа по конструктивной теории оптимального управления [24] . Результаты участников Минского семинара по конструктивной теории оптимального управления отражены в [12-15, 21, 23-31] . Данная работа выполнена также на этом семинаре. В основу подхода к решению нелинейных задач оптимального управления (I), разрабатываемого на Минском семинаре по конструктивной теории, положены следующие соображения.

1. Эффективный алгоритм решения нелинейной задачи (I) должен быть эффективным для линейных задач оптимального управления. Заметим, что среди прикладных нелинейных задач очень много слаболинейных, для которых эффект линейности еще очень заметен. Важность исследования линейных задач обуславливается и тем, что большинство известных методов решения нелинейных задач оптимизации основано на явных или неявных линеаризациях [64] .

2. Линейные непрерывные задачи оптимального управления при использовании ЭВМ достаточно хорошо аппроксимируются линейными дискретными задачами оптимального управления. Поэтому принципы построения эффективных алгоритмов решения непрерывных линейных задач оптимального управления должны эффективно работать и для дискретных задач оптимального управления.

3. Эффективный алгоритм решения задач оптимизации дискретных систем управления, поведение которых описывается многошаговыми процессами, должен быть эффективным и для процессов с малым количеством шагов, в частности для процессов с одним шагом, т.е. для задач линейного программирования.

Следовательно, работа по эффективным методам решения задачи (I) должна начинаться в первую очередь с анализа и создания методов решения задач линейного программирования. Далее эти методы должны модифицироваться для решения дискретных (многошаговых) и непрерывных задач, и наконец составить арсенал для решения основной задачи (I).

В работах Р.Габасова, Ф.М.Кирилловой, О.И.Костюковой [21, 26-28] описан ряд новых методов решения задач линейного программирования. Среди них наибольшее развитие получил адаптивный метод, основанный на принципе уменьшения оценки субоптимальности. Этот подход был развит сначала на специальные задачи линейного программирования, а затем и на дискретные задачи оптимального управления. Подробно с этими методами можно познакомиться по монографиям [21, 23, 31] . Обзор их приведен в [24] .

Результаты, полученные участниками Минского семинара по конструктивной теории в области линейного программирования и дискретного оптимального управления, были развиты на непрерывные линейные задачи оптимального управления. Это привело к созданию прямого и двойственного опорных методов в оптимизации линейных стационарных систем управления [14, 15] .

В результате анализа прямого и двойственного опорных методов для решения линейной задачи оптимального управления был создан метод опорных задач Г 29] . Идея этого метода заключается в специальном сужении класса вариаций управляющих функций. В некоторой окрестности опорных моментов вариация управления ищется в классе импульсных функций. На оставшихся отрезках направление изменения управления строится непрерывным способом. В результате получается специальная (опорная) задача линейного программирования, для решения которой применяются конечные методы линейного программирования [ 26-27 J .

Основные методы, разработанные на Минском семинаре по конструктивной теории оптимального управления оперируют с одним из основных элементов - опорой задачи. Наряду с обычной опорой в прямом опорном методе [15] используется так называемая обобщенная опора. Каждый опорный отрезок обобщенной опоры соответствует одному столбцу опорной задачи. Число опорных отрезков в обобщенной опоре равно числу опорных моментов в задаче, в то время как число столбцов опорной задачи будет гораздо больше за счет разбиения окрестностей опорных моментов на интервалы. Такой подход позволяет практически за одно решение опорной задачи (при подходящем выборе параметров метода) построить уцравление, близкое к оптимальному. Процесс решения задачи заканчивается процедурой доводки, которая является двойственной по отношению к доводке, применяемой в прямом опорном методе.

В диссертации рассматриваются принципы построения оптимального и субоптимального управлений для ряда задач оптимизации линейных нестационарных динамических систем управления. Предлагаемые здесь алгоритмы являются обобщением и развитием метода опорных задач.

В работе используется класс кусочно-постоянных управлений. Для целей оптимизации линейных систем по линейным критериям качества при линейных ограничениях класс кусочно-постоянных функций является самым общим классом допустимых управлений, поскольку его расширение на классы кусочно-непрерывных и измеримых функций, не улучшает оптимального значения критерия качества.

В диссертационной работе при решении линейных задач оптимального управления нестационарными динамическими системами в классе кусочно-постоянных функций методы строятся непосредственно для непрерывной модели без ее предварительной дискретизации.

Построенные в работе алгоритмы относятся к точным методам, т.е. на каждой итерации ограничения задачи выполняются точно.

Из ранее предложенных методов к точным методам можно отнести метод Дж.Данцига [75] для решения линейной задачи быстродействия, основанный на идеях обобщенного линейного программирования .

В работе рассматривается специальный класс так называемых простых задач. Простые задачи в пространстве линейных задач оптимального управления имеют полную меру [30] .В этих задачах в общем случае принцип £ -максимума выполняется только при £ > 0 . Для простых задач он справедлив при любых £ ъ 0 . Предположение невырожденности задачи исключает из рассмотрения класс задач, в которых допустимое управление единственно.

Алгоритмы, приведенные в диссертации, позволяют остановить процесс решения задачи при достижении заданной точности приближения по целевой функции. В случае останова строится субоптимальное управление. Конечность алгоритма обеспечивает процедура доводки.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Адаптивная оптимизация: Программное обеспечение ЭВМ / йн-т математики АН БССР; под ред. Р.Габасова, §.М. Кирилловой, А.А. Сенько. - Мн., 1983, вып.43. - 239 с,

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. M.s Наука, 1979, - 432 с.

3. Ахиезер Н.Н., Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов. Статья 1У, Харьков, ГОНТИ, УССР, 1938.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, I960. -400 с.

5. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.-458 с.

6. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевыезадачи. М.: Мир, 1968. - 118 с.

7. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления.- M.s Наука, 1969. 408 с.

8. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами.- М.: Наука, 1973. 446 с.

9. Брайсон Д., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. - 544 с.

10. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: йзд-во МГУ, 1975. 172с.

11. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.; Наука, 1981. - 400 с.

12. Габасов Р. Вопросы конструктивной теории оптимального управления. Вестник БГУ, серия I, физ., мат., мех., 1981, № 3,с.56-61.

13. Габасов Р., Глушенков B.C. ju -адаптивный точный метод решения общей задачи линейного программирования. Доклады АН БССР, 1982, т.26, $7, 0.589-592.

14. Габасов Р., Гневко С.В., Даукшас В.З. Алгоритмы решения задач оптимального управления динамическими системами. Доклады АН БССР, 1983, т.27, 12, с.1065-1068.

15. Габасов Р., Гневко С.В., Кириллова Ф.М. Прямой точный алгоритм построения оптимального управления в линейной задаче. Автоматика и телемеханика, 1983, Jfc 8, с.30-38.

16. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. - 508 с.

17. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. -М.: Наука, 1973. 256 с.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. -Минск: Изд-во БГУ, 1973. 248 с.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974. - 272 с.

20. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск: Изд-во БГУ, 1975. - 262 с.

21. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования, ч. I-III. Минск: Изд-во БГУ, 1977, 1978, 1980.

22. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: Изд-во БГУ, 1981. - 350 с.

23. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы оптимизации. 4.II. Задачи управления. Минск: Изд-во Университетское, 1984. - 207 с.

24. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы оптимального управления. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1983, Л 2, с.169-185.

25. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы теории оптимальных процессов. Тезисы докладов Международной конференции по Математическим методам в исследовании операций, София, Болгария, 1983, с. I-3I.

26. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Конечный прямой точный алгоритм линейного программирования. Доклады АНБССР, 1981, т.25, J5> 4, с.301-304.

27. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Конечный двойственный точный алгоритм линейного программирования. Доклады АН БССР, 1981, т.25, В 7, с.586-589.

28. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Прямой точный алгоритм решения линейной задачи оптимального управления. -Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1982, № X, с.68-75.

29. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Алгоритмы решения линейной задачи оптимального управления. Докл. АН СССР, 1984, т.274, й 5, с.1048-1052.

30. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Оптимизация систем управления с помощью кратных опор. В сб.: Конструктивная теория экстремальных задач. Мн.: Изд-во "Университетское", 1984, с. 62-67.

31. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. ч.1. Линейные задачи. Минск: Изд-во "Университетское", 1984. - 214 с.

32. Гиндес В.Б. Один метод последовательных приближений для решения линейных задач оптимального управления. SBM и МФ, 1970, т.10, В I, с.216-233.

33. Демьянов В.Ф. К построению оптимальной программы в линейной системе. Автоматика и телемеханика, 1964, т.25, № I, с.З-II.

34. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968. - 180 с.

35. Евтушенко Е.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. - 432 с.

36. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. -496 с.

37. Ильин В.А., Садовский В.А., Сендов Бл. X. Математический анализ. М.: Наука, 1979. - 720 с.

38. Кириллова Ф.М. 0 корректности постановки одной задачи оптимального регулирования. Изв. Высш. учебн. заведений. Математика, 1958, В 4(5).

39. Кириллова Ф.М. 0 предельном переходе в решении одной задачи оптимального регулирования. Прикладная математика и механика, I960, т.24, вып. 2, с.277-282.

40. Кирин Н.Е. Об одном численном методе в задаче о линейных быстродействиях. В сб.: Методы вычислений, вып. 2, Л.: Изд-во ЛГУ, 1963, с.67-74.

41. Кирин Н.Е. К решению общей задачи линейного быстродействия. -Автоматика и телемеханика, 1964, 25, I, с.16-22.

42. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975. - 160 с.

43. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968. - 143 с.

44. Красовский Н.Н. Об одной задаче оптимального регулирования. -Прикладная математика и механика, 1957, т.21, вып. 5, с.670-677.

45. Красовский Н.Н. К теории оптимального регулирования. Автоматика и телемеханика, 1957, т.18, № II, с.960-970.

46. Красовский Н.Н. О приближенном вычислении оптимального управления прямым методом. Прикладная математика и механика,1.60, т.24, вып. 2, с.271-276.

47. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968. - 475 с.

48. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления. ЖВМ и МФ, 1972, т.12, № I, с.14-34.

49. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций. ЖВМ и МФ, 1966, т.6, В 2, с.203-217.

50. Леондес С.Т. (ред.). Современная теория управления. М.: Наука, 1970. - 512 с.

51. Любушин А.А. 0 применении модификаций метода последовательных приближений для расчета оптимального управления. ЖВМ и МФ, 1982, т.22, В I, с.30-39.

52. Любушин А.А., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1983, Л 2, с.147-159.

53. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем.-М.: Наука, 1971. 424 с.

54. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных управлений, использующие вариации в пространстве состояний. Кибернетика, 1966, №3, с. 1-29.

55. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. - 528 с.

56. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. - 376 с.

57. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. - 392 с.

58. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дисметных процес- 146 сов. М.: Наука, 1973. - 256 с.

59. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975. - 280 с.

60. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. Наука, 1977. - 216 с.

61. Федоренко Р.П. Приближенное решение некоторых задач оптимального управления. ЖВМ и МФ, 1964, т.4, Л 6, с.1045-1064.

62. Федоренко Р.П. Об одной специальной задаче оптимального управления. ЖВМ и МФ, 1966, т.6, В 3, с.578-581.

63. Федоренко Р.П. К обоснованию метода вариаций в фазовом пространстве для численного решения задач оптимального управления. IBM и МФ, 1969, т.9, № 6, с.1396-1402.

64. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 488 с.

65. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. -М.: Мир, 1980. 280 с.

66. Харатишвили Г.Л., Мачаидзе З.А., Маркозашвили Н.И., Таду-мадзе Т.А. Абстрактная вариационная теория и ее примененияк оптимальным задачам с запаздываниями. Тбилиси: Мецниере-ба, 1973.

67. Черноусько Ф.Л. Метод локальных вариаций для численного решения вариационных задач. ЖВМ и МФ, 1965, т.5, № 4, с.749-754.

68. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 238 с.

69. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. В сб.: Мат. анализ. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) - М., 1977, т.14, с.101-166.

70. Энеев Т.М. 0 применении градиентного метода в задачах оптимального управления. Космические исследования, 1966, т.4, № 5, с.651-669.

71. Balakrishnan A.V. On a new computing technique in optimal control and its application to minimal-time flight profil optimization. J. Optimiz. Theory and Applicat., 1969, v.4, Ho I, p.I-21.

72. Balakrishnan A.V. On a new computing technique in optimal control.- Sim. J. Control, 1968, v. 6, No 2, p. 149-173.

73. Bellman R. Introduction to the mathematical theory of control processes,I, Linear equations and quadratic criteria. New York, Acad. Press., I967, XVI, 245 pp.

74. Bellman R., Bucy R. Asymptotic control theory.- J. Soc. Industr. and Appl. Math., 1964, A2, Ho I, p. 11-18.

75. Dantzig G.B. Linear Control Processes and Mathematical Programming.- J. SIAM Control, I966, v. 4, No I,p.56-60.

76. Eaton J.H. An iterative solution to time-optimal control.-J. Math. Anal, and Appl., 1962, v. 5, No 2, p.329-344.

77. Gabasov R., Kirillova F.M. Methods of Parametric and Functional Optimization. Preprints of IFAC 8th Triennial World Congress, Kyoto, Japan, 1981, v.IV, p. III-II6.

78. Gabasov R.,Kirillova F.M., LutovA.I., Sehko A.A. New Algorithms of Solution of Optimal Control Problems.1.: Functional-Differential Systems and Related Topics.II ( Proceedings of the Second International Conference ), Poland, 1981, p. III-II8.

79. Gabasov R., Kirillova F.M. New methods of Linear Programming and their Application to Optimal Control. IFAC Workshop and Appl. Nonlinear Program., Denver, Pergamon Press., 1980, p. 241- 267.

80. Gabasov R., Kirillova P.M., Kostynkova 0.1. Adaptive Method for Solying Large Problems of Linear Programming. (Symposium Optimization Methods (applied aspects)). Preprints of IFAC-IFOPS, Bulgaria, 1979, p. 163-170.

81. Gabasov R., Kirillova P.M.Consideration of optimal control problems specificity on generalizing mathematical programming algorithms. Preprints of the 9th Congress IPAC, Budapest, Hungary, 1984, v. 9, p. 264-269.

82. Dreyfus S. The numerical solution of variational problems. J. Math. Analys. and Applic., 1962, v. 5, Ho I, p.30-45.

83. Kelley H.J. Method of gradients. Optimiz. techn. applic. aerospace syst., New York - London, Acad. Press., 1962,p. 205-254.

84. Miele A. Recent Advances in Gradient Algorithms and Optimal Control Problems. J. Optimiz. Theory and Appl., 1975, v. 17, No 5-6, p. 361-436.

85. Miele A. Pirst-order and second-order numerical methods for optimal control problems. "Curr. Adv. Mech. Des. and Prod. Proc. 1st Int. Conf., Cairo, 27-29 Dec.,1979", Oxford, e.a., 1981, p. 83-87.

86. Neustadt L.W. Synthesizing time-optimal control systems.-J. Math. Anal, and Appl., i960, v. I, No 3-4, p.484-493.

87. Polak E, A historical survey of computational methods in optimal control.- SIAM Rev., 1973, v. 15, No 2, part 2, p. 553-584.

88. Еровенко JI.Д. Алгоритм оптимизации линейных нестационарных систем с терминальными ограничениями-неравенствами. -Доклады АН БССР, т.28, № II, 1984, с.968-971.

89. Еровенко Л.Д. Алгоритм оптимизации нестационарной системы со многими входами. Ред. ж. "Изв. АН БССР", Деп. в ВИНИТИ 14 июня 1984 г., № 3958-84 Деп, 23 с.

90. Еровенко Л. Д. Алгоритм оптимизации нестационарной динамической системы. В сб.: Конструктивная теория экстремальных задач. Мн.: Изд-во "Университетское", 1984, с.76-89.

91. Еровенко Л.Д. Алгоритм оптимизации систем управления, основанный на принципах адаптации. В кн.: XII Всесоюзная школа-семинар по адаптивным системам : Тез. докл., Шнек, 1984, с.39.

92. Еровенко Л.Д. Об одном численном методе оптимизации многомерной линейной системы. В кн.: Вычислительные методы и математическое моделирование. Тез. лекций и докл., Москва, 1984, с.243-244.