Методы решения негладких задач оптимального управления в условиях неопределенности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

"й'Л^Ч Я"9

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ШСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ДЕЕБРАН ДДЕБРЛН

жгсща РЕПЕШЯ НЕГЛАДКИХ ЗАДАЧ ОЕТИШЕШОГО УПРАВЛЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ШШИЗШЙШОСТИ ■

01.01.09 - математическая кнбернатшса

Автореферат

диссертации на соискание учёной стенонп кандидата физико-математических наук

Минск - 1992

Работа внголнеиа в Белорусском- государственном университете им.В.И.Лэнгна..

Научный руководитель : доктор физико-матештическис наук, . профессор ГАБАСОВ Ра£яил Федорович

Официальные оппоненты - доктор физкко-татеыатических наук

ЩЕККО Врий Петрович '

- дохстор физико-математических наук КОСТЮКОВА Ольга Ивановна

Ведущее учреждение - Санкт-Петербургский госуниверситет

..о О

Защита состоится "6 " марта 1992 г. в чйсов

на заседании специализированного совета К 006.19.01 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220С72, ¡Линек, ул.Сурганова, дом II. . '

С диссергадизй можно ознакомиться ь библиотеке Института математика АН Беларуси.

Автореферат разослан " г "

Учёный секретарь специализированного совета . 0

кандидат физико-математических наук ЛЯс-т,^ - А.И.Астровский

1392 г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

¿ктудлу гость тьмн. Одчим из 1фукнойдкх достижений оозрсмонной прикладной математики признано создание математулсокой тооркд оптимальных процессов. Она возникла га иппенертк исследований конца 40-х к начала 50-х годов XX века. Фундамент новой теории заложен в трудах Л.С.Понтрягина. Р.Белллана^, Н.К.Красовского3.

Результат!! качественного характера в теории оптимального управления били дополнены конструктивной теорией по созданию чис-лешшх истодов построения опткплышх управлений. Известные результаты в этой области изложеи- в работах

.Математикаекая теория оптимальных процессов псс^ояыго пополняется новыми моделями, в которкх отразится особенности прикладных задач.

Гак, в последние года в теории оптимального управления стали рассматриваться негладкие задачи и новые тглш неопределенности, информация о которой исчерпывается заданием областей возможных значении функций и ветггоров. При этом используется принцип получения гарантированного результата 5>7»8»9.

1. Понтрягин Л.С., Болтянский Б.Г., Гачкрелидзз ?.В., Мищенко Е.Ф., Математическая теор;1я оптикальнцх процессов. - М.: Наука, 1976. -- 392 с.

2. Беллмаи Р. Динамическое программирование. - М.: ИЛ, i960. -400 с.

3. КрасовскиЯ H.H. Теория управления движением. - М.: Наука, 1963. -473 о.

4. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем. - В кк.: Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. - Т. I. - С.179-244.

5. Габасов Р., Кириллова О.!.!., Костюкова О.М., ГакецкиЯ В.М., Тятшюш А.И., Покатаев A.B. Конструктивные методы оптимизации. -Минск: Университотскоо, IS84, IS86; 1987, 1991.

4.1-5.

Данная диссертационная работа посвящена развитию конструктивного подхода на задали оптимизации линейных систем по специальном негладким критерия» качества. Пр;х этой в ограничениях задач илч в их критериях качества имеются невероят-ностнке ке определённо от л, в силу чего оптимизация ведется по принципу получения гарантированного результата.

Работа выполнена на Минском городском сеглкаре по кон-структузкоЯ теорил оптимального управления.

Дельно работы является доказательство конструктивных ус-лоекй оптимальности для ряда негладких статических и динамических экстремальных задач, модели которых содержат неопределённости.

Каучнгщ новизна и практическая значимость, Е диссертации впервне доказаны но bug условия оптимальности для оптимизации негладка: статичосхсда слотом и систем управления, когда эти системы, ix ограничения и критерии качества содержат неопределённости. Получению условия сформулировакы в йот^мв, удобной для построения оптимальнее репений. Эта работа ткет бить проведена при ресешп практическое задач по ухо кзвест-ным схемам*'.

Публикации н апробация работн. По те:.:е диссертации ояуб-' ликованэ три научнж работы. Основкко результаты докладывались на 2-х научных чтениях "Дикаыичоскке системы: устойчивость, управление, оптимизация" (Минск, 1990), на Мехреспублккакской научно-практической конференции творчэсхсоЗ шлодекь. (î.'jihck, 1990), на 21-й научной .конференций "Улрашгелпз динамическими

6« Shv.eppe F.С. Recursive state estimation: unJcaotra but bounded errors and syaton input?//IEEE Trans. Autoiaat. Control.-1968 .-V.AC-13, И 1.

7. ï/itseahauoea H.S. A niBloax csiitrol'problem for sampled 11-, пьаг systewa// IEEE Crans,Automat. Control.- 1968,- V.AC -13, H 1.

8. Курганский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. Ы.: Наука, 1977. - 392 с.

9. Черноусы» Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. - М.: Наука, 1988. - 320 с.

системами" (Ленинград, ISSI), Сна обсуждались на Минском городском еемакаро по конструктивной теории оптимального управления (рук. проф. Р.Габасов, проф. <5.М. Кириллова).

Структура и объём работа. Диссертант состоит йз ВЕЗдения, трех глав, разбитых на девять параграфов я списка цитируемой ляторатурн ( 9? наименований). Объём работы 174 страницы машинописного текста.

СОДЕРНАКИЗ ДИССЕРТАЦИЙ

Во введении приводится обзор результатов, имеющих непосредственное отношение к теш диссертационной работн, указаны гласное целг работы, дана краткая аннотация всех разделов работы.

В парной глава рассматриваются статические ыип&макско-кодулыша задачи в условиях неопределённости.

Исслздуеглая в § I задача- кусочно-линейного программирования )i'.:Ger вид:

fisс) = < ^'«X^lEZ1 а< Х+С*1

(<еХ1 кёк2

Здесь К=К.^иКг~ конечное множество; ctK> kcK, &, sc, ci,, •d*€lt\ Ск% kcK, c0eK; jetf AeR™,

fc. t*6 ^ 1 " t .....

.....гг}, •

Пусть cL -заданное число; е- (-i, .... ¿) единичный m-вектор. оС-распирвние основных ограничений будем называть неравенства

^-¿e^Ax+Bf^eZcte. (2)

Определенно I. о^-планом задачи (I) назовём каздый п -вектор ее , удовлетворяющий лрямш с£л 4 сс£ с1* л ври. лэбом ^ бЕ сС -расширенным основккм ограничениям' (2).

Определение 2. план сх:° , на котором целевая функция достигает минимального значения, будем называть одшгалыоа: ос'-лланом задачи (I).

Определение 3. =£-план называется локалыю-одтималь-нкм, если существует такое число 5>0 , что для любого оС-плана се из (5-окрестном:: точт о)

выполняется неравенство уТсс)

Пусть ук(х) ~ а'к х+ск, к<= {о} ик.

Построил множества

К-<°{кеЪ :/КШ=0}, К?={кеКг. /к(х> > 0} Кг={к€К£:/к('ас;4 о},

Пусть ^с^с-^л КгК^иа^З^,

- Р - множество вссвозгаспк наборов р .

. Для фиксированного рсР составим задачу а.' х+с —- гпхп,

ксК", с^сс^оС,,, кеК: <3>

^К, а = а*-

кек!

- 6 -

Определенно 4. Совокупность 30 ={Jeyif Jon},

с и копск, j^CJ; i r0j=i zj,

назовём опорой, если не вырождена матрица С =С С loa, Jon),

С(1, =

at U)

k&K, ¿e Г_

'Опредедекяэ 5. Пару {а~, SaJ из «¿-плаза x и опоры S0 будем назьшать оиорнкм о^-няаком» Опорный р<Г-шхан считается невырояденнкм, если он не выроздек по прямая

d*(J'on)< X.(Jotl)< Ci*(Jon.) и по основным

keKy, а'кх<.оСк, k<=R-, 6f (lH)~oie(lH)< <1н,3(1">и * <

огреничекиям.

Опор нему маку {ОС, поставил в соответствие

вектор потенциалов

U -U(2Ön. /зс,р)~ О-'С^ол) Cöi,

п подсчитаем оценки:

д'=дй с (1оплУ-

Пустъ{х,М011(р)]- - невыроядешшй опорный об-план. Для оптимальности ¿-плана ОС в задаче (3) необходимо и достаточно выполнения соотношений:

иО при 2к".с*; Ц=О при 2* ^ксК+ , UK< 0 бги т keK^,

uL-?0 Zi~zLt't uLtO .три (4)

при с г,*,

Лу^О прп Xj'dJ; &J&0 ups 0Cj~djx]

üj - О при с^ асу < Joa.

где

2 rijXYJ, , - ^ у ,

Обозначив через р(Мсп) совокупность наборов р€ Р } для которые соотнощения (4) выполнится с опорой Мрп. Тогда для легальной оптимальности о^-плана X в задаче (3)s необхогд'-'ло к достаточно существование такого пакета опор МС/г,

s= vtr , что

« &p(MlJ-P, ¿Ф/

2) для сояровоьдашкх их векторов ЩИол^рК Р^ •

pGР(-Mo/z'i выполнялись соотношения (4).

Результаты § I проиллюстрированы на примере.

Бо Бгорог.: параграфе рассматривается специальная мини-макскз-.уодулы:ш1 задача математического программирования. Пусть1-{<2,..., лг}, ...j п),

loHolul, if, ui0-, K}M\ ¿*I0; Ti<e,

?£ LL, L £l0 - коночные множества. Вводе:,: векторы

Постросл функции

/¿к£(ос) =а!Ск1 oz+6Lkt *fa-t(X) (xy,

C-CL-t- ¿c LL где __~ _

j Stucw^EIL Uikuuoi, fckiwvEZijudtwu

teT&f

t>7lu > т/и nzU

Л .\ЙОЕСГ?ВО

э~а:.:снтц которого будем называть п-тжаа. Считая фушсшп fcK&f*)* ЭсеХ, К в Kf . С elf, ' когцюнентйми долевой функции экстремально?. задан:, гарантированна: значение:.: цсле-воЛ функции на плако д: назовем число.

fJx)=aox+S0+Z2 /¿fx) fit га).

В § 2.яолучозш пауояшо условия оптимальности для задач:!

-- rniri, XGX. (5)

Для локально?. о.тгимашюсти плана ос в задаче (5) необходимо а достаточно существования такого шиета опор И^, что

1) ^ p(Mtn)n?lHJon)=0, Ч,ГХ. СФ/.

2) Дяя векторов Ui'M2a//>),

Ç-- U ВЫПОЛНЯЮТСЯ соотношения

ие&0 При оС^О, ¿¿еш О при >0, âel„0n ,

U( >0 при и^О, Uf*0 лри <=4, <?б ,

Щ ±0 щж ¡f{_~o, U¿=0 щк yt->0, tcT^,

U¿ >0 4« ^ = 0 , ¿¿¿-о при ,

¿y ¿ <? irai Xy-c/^V > Aj*0 при Xf^dj,

лго ** d¿<*f<i$./€S„.

E § 3 исследуется второй rvm ьишшаксно-модульинх задач с неопределённостью в целевой функции.

Пусть

п}, K={d,z,...,k}K-{oJuK,Lx^.....ЬУмК,.

конечные множества. Сведем векторы

сСа^еК" Skel^C^R, кеХ0> tK x.v_ матрицы к&К0.

Построим м:о."оства

X ~ i ce e Rn': d^ozc cCr'} z фушшда

ксК

Число

f=/(Oc) max f(X,f)

назовём rapaктпрозекнш значением целевой функции на плане Х6Л . Миншлакско-шдульной задачей КШ не зовём задач/ jfxj—^mLri, эсеХ.

-ю -

Для пев в § 3 получены пакетика условия оптимальности.

Вторая глзез досвяцена исследования оптимальных продоссов в .дискретных системах управления с учётом неопределённости в ограничениях задачи л в крлтео:!» сзчестза.

В {> I рассматривается задача оптимального управления с неопределённостью в гермпнальшк ограничениях:

» +60 + / , ./а'кос(С) +6I -

кеЩ

I —*-пиа, (8)

ха+1)=Аа)2с(1)+ьа)Щ1'!,х(и = х„, о)

и>а)йиа) сю)

/г, Ш)

ае V« {сг*^: а £ О"*}. (12)

Здось: К- 1С^конечно« мнонестзо; Ос- вектор состояния системы (3) в дискретный тменг времени I ; Х0 -начальное состояние; - вектор управляющих воздействий;

О -I -вектор неконтролируемых возмущенна, Цер/"-*11

Пусть задана совокупность \, Ы.^, с/*^ , где X - число; сС-пг - векторч.

Определение Управление (АН), £ €Т, удовлэтворязицэе ьерзвонствам (10), назовём -управлением, ее,ш

оси*, и^) б X* еГ: £ С^

Определение 7. управление

п соответствующая ему ¿Х- -траектория Х01'£),(е7и{i }, называется оптимальными, если на них критерий качества ми<-)) дооти-

гаот «глагольного значения..

Пусть u(l) , teT, - допустимою угревлоние. Подсчитаем на цйы числа _

ter

И nocrpoïoj шюгюстаа

K*"{k£Ki:ïl<(u)>0}r К[={/ссКс: Yk(u)*0}.

гдо .

âi(t) = ak?(V,t)b(t), k€{0}.uK, hk«dH FÙ\ i.-i) keK.

Пусть ç- " {5i , S2} , £¿0 K-l . t - 1.2, P- совокупность в сох наборов y . , ^ Обозначим

К% s£. к: = к" и с к ■ ч ), L, 1,2. yC= к; и К*. К"=к^к;. uki.k.-k] ukZ.

Гладкуо задачу

"drt) uct)~ mi д.

(13)

?r

h^Xd, 4 -^-Wri )U(i) + Q ¿m

UJtX U(t)<-U*(i)y tsT, (J-eV-

назовём (ii.Ç-) - линеаризацией задачи (8) - (12). Здесь

Ki К кС 1С

нгъ-н та* o hai

Основккы инструнеhtûiî исследования задача (8) - (12), как и в предыдущей главе, является опора.

-t2-

Пусть I0nC TUK , гдо 2={l, 2.....m} - На отри зга

Т выбором множество моментов T0rx = {tjJ eZnj.l ^Ul LJ.

Кагдсму моменту t.- ( T0a поставим a соответствие та;:сд набор

индексов J^n(tj)~^incR={lZ,-----г}, кто/JJ'l2?nl, Я** "

{Кп??о шогесга Сп^{ТОГ1, составлю матрицу

Огрстоленгуз 8. Совокупность Моа={ Гс-.ч. ^ол.} - назоиЗм опорой задача (15), если но ькрогден? матрица - sh(« ~ ( 1-on.i Ccri Обозначь:

г* - -z*~h*¿+\ и*- V/- rç.

- С»Gwит,

i<kT

Си г ¿--яя строка матрицы £ .

Tpopova» Для оптимальности yu, - управления V.°(í), t gT, в задача (13) досгато'гно выполнения соотношений:

¡£>0 при П-4 при '<>-4, kçjcl;

■ 0 при К -О при Ç 4. fe

ЦрОщл /f¿0 (14)

lf-0 при T.¿<Z¡< Z¿, ¿ á ;

/S¡>U)Z0npn Up (i)rU*diA°/t)¿0 -при U-V с J =

= 0 при urp(tuup(txuu^. lÍ6T0tllt>6bH(i)U(UTH% peR).

Пусть M^}- незпродпзкное опорное управление.

Тогда условия (14) необходимо для оптимальности /U.- управления

im), ¿^Т.

Обозначим чераз р^^^совокупность наборов ^.«Р , для которых соотношения (14) выполнятся с опорой Mon.» Тогда для

локальной оптмлалыгостк jii - управления {.еТ ,необходимо

и достаточно существования такого пакета опор M^i , 3- i, Т , что

с,/-ix. ity.

2) для солрозодцавдис их вокторов

cj.ep СМ 0п), S = 1,7, выполняется соотношения (14).

Далее, ело дул трздидалм теории оптимального управления, соор-мулкрован пахотная критерий оптимальности в экстремальной форме. Б конце § I приведем пример.

в § 2 изучается задача гарантированной минимизации coboiyn-ности модульных йункции на терминальных состояниях лилейных нестационарных дискретных систем.

В аналитической форме рассматриваемая. задача имеет вид:

J(d <•))«/ ('ОС (i*)) —min (16)

и

oc(£+i)=A(t)x(t) +B(t)U(i), cc(t*) = sc0, Ujl)4U(t)£U*H), teT.

Здесь

Si*eK<*Ck£ ж-*&£U; а, akf t atke sRn;

ßik( e R, ce!H, ktlC* = A- UL^

L„ , L_ - заданные шодества индексов'

Относительно остальных элементов задачи (15) предположи.! то аз, что и в задаче (8), (12). После ( U. (♦). Р) - линеаризации получим:

c<t)~b'(t) F hU)a;

K(t)~A(Lj> FrtU)B(t),L6r+ur~; F(tU)b(t), Lcbul*

- 14 -

-/ikefrft'» Lehe* кеКг,

Введём понятия опоры, опорного управления. Обозначим,

t еТаа)' de)

A(i) -A(t, ш-) lP)

где 4-(t)t '¿si - решение (котраотория) соприконкой системи

Ч^П) (17)

с начальным условием

Î J i ) ~ Й°П V ïon.J) Von- à. (18)

Пусть (u"o), М.0„.}_ кевырокдёшюо оперное управление, р( Моп) - совокупность наборов рб Р , для которых выпелнязт-ся условия: ■

а) «aKCîfijwa

Ul^°(l)M°(b,l)~rn.a.x\-{l4°(t),LL,th teT. Us) и+си^а*

б) дополшздей нежёсткости

"ÏMT; PÊ4--0,' , (20)

с опорой МоЧ. Тогда для оптимальности допустимого управления U?(L) > t&l • в задаче (15) необходимо и достаточно существования гакогй пакета опор , S = i/t что

и5р(М1)~Р,р(Мсоп)Пр(М{п) « Ф; &J:

2) вдоль опорных /правлений {LÛ >, Mon } , 3, и сопро-

воздаицих их траекторий ^"(i, MDJ Р), t еТ, pçp i Mon ).

S="ïît, сопряжённой системы (17),» (IQ) и векторов •

V'(M\n/P), . pçp(Mlj, S- Г, выполняются условия (19) ,(20).

Параграф 3 посвящен гарантированной минимизации специального неполностью определённого критерия качества на траекториях линеЛ-

ной нестационарной системы управления

.....

Здесь

Содержание третьей главы состовляют доказательства условий оптимальности в нескольких задачах оптимизации непрерывных линейных систем по негладким критериям качества с учётом имеющейся в задачах неопраделённости.

Б § I исследуется задача оптимального управления:

(22)

К ¿Н х(?> К*, и; ¿.г £ ¡гГ

Здесь: К^ , К , К = К^ " конечнш тожества,

С помощью линеаризации задачи (22) получен пакетный едитерий оптимальности и он сформулирован в виде пакетного принципа максимума. Результаты § I проиллюстрированы на примере.

В § 2 рассматривается задача

x=A(í)x:'>Bct) - "

U^UftXCL* UT. C23)

гда jfto-rrigxf^ (X); f/tx) = rgifi/xf ,

U^a^^f-^Zifc^) IL¿(ос) l,

Sixem ^ ctirf x а.ыг,

веке,6*e. 6eR.

Задача исследуется в класса кусочно-кепвсрывных 2 -вектор-

функций = UT), ЩiZ.....*}.

Относите льни остаяьны:: э.те:,:а;;тоз задачи (23) предположим то же, что я в задаче (22).

Пусть '/''Сt),tcT, - ребенке соярякЗшюй системы

"h4J(t*} - №'1 V- a, (24)

где =C-CnSoa - вектор потенциалов; элементы J?¡¿ , ¿6I; c(it¿erU.Itt определяется с помозд июгостз К"/ яо схемо, изложенной в § 2 главы 2.

Введем функция

Ц(Ч^МЛ)^ V'BfUU.

Обозначи:.: через p(MC/L) совокупность всех наборов P<Sp, для которых с опорой Morí выполняются условия: 'а) максимума

L¿W)=iT>:ctxU{^tKU(t)yt), иг, <25)

б) дополняющей нзг.осткости

tf j$¿=:0, LeTZVlZZ. (26)

Тогда для локальной оптимальности в задаче (23) допустимого управления Uf(t), te7* неосЗходимо и достаточно существования такого пакета опор S = , что

2) вдоль опорных управлений -{Ц^О), Мс^ }* S-d,T,

- 17 -

и сояровоздавдих их траекторий ^"Ct.Moa. ^ Р )> ^

pep СМ ©л/, Se сопряженной систеш (24) к зекто-

fi s --

ров V<,(M^cJp)fp^piMcn ), выполняются

условия (25), (2S).

Б § 3 исследуется слодукадя задача оптимального управлении:

—mxn.,

±~A(i)oc+b(t) UU«СС«,; Ut^LKO^U* teT-Ct^t'j, (27

= % icgKo={0}UK;

4); /Мб Г**

Доказаны условия оптимальности опорного управления. Приведен пакетный критерий оптимальности для исходной 'задачи. Накатный кри-тори]! оптимальности сформулирован и в виде пакетного принципа максимума.

На защиту выносятся следующие результаты:

- формулировка и доказательство условий оптимальности для не вполне определённых линейшх статических систем по негладкой целевой функции, содержащей элементы неопределённости;

- пакетный принцип максимума в задаче оптимального управления дисгфетной системой в условиях неопределённости;

- критерий оптимальности в минимаксно-модульной задаче оптимального управления с не полностью определёнными терминальными ограничениями;

- пакетный принцип максимума в задаче оптимального управления непрерывной системой с неопределённостью в критерии качества;

- условия оптимальности для линейной системы управления с саларабелышм критерием качества.

Основный результаты диссертация опубликованы в работах:

1. Дяебран Дж. Минимаксно-модульные задачи кусочно-лияэйного программирования. // Бест. Белорус, ун-та, сер.1; физ.мат. мех. 1891. - й 2. * С.65-67.

2. Дяебран Дж. Условия оптимальности в минимаксно-модульной задаче кусочно-линейного программирования. // Материалы Межреспубликанской конференции тзорческой молодели "Актуальные проблемы информатики; математическое, программное и информационное обеспечение, Минск, апрель 1380. - С. 26-27.

3. Дкебран Дж. Статические мднилаксно-глодульные задачи в условиях неопределённости // Беснт. Белорус, ун-та, - Минск, 1992, 32 С. (в печати).

Подписано в печать 27,01.1992г. «ормат 60x84/16

Усл. печ. л. 1,16. Усл. кр..- отт. 1,28. Уч.-пзд.л. 0,83.

Тираа 100 экз. Заказ 9. . Бесплатно

Институт математики АН. Беларуси. 220072, Минск, ул.Сурганова, II.

Отпечатано на ротапринте Вычислительного центра АН Беларуси. 220072, Минск, ул.Сурганова, II.