Неявные функции для недоопределенных систем в негладком анализе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

СЛНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ч .

^ На правах рукописи

Л1УРЗАБЕКОВА Гульден Еслямбековна

НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ В НЕГЛАДКОМ АНАЛИЗЕ

01.01.09 — математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Санкт - Петербург - 1997

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете, на факультете прикладной математики - процессов управления.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Демьянов В.Ф. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ногин В.Д., доктор физико-математических наук, профессор Чистяков C.B.

Ведущая организация: Вычислительный центр Российской академии наук

Защита состоится п ^¿Xû^fUt 1997 года в К часов на заседании диссертационного совета К - 063.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, В.О., 10-я линия, д.33, ауд.66.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета но адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан " Л " ¡lûtâSjbZ/ 1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических

наук, профессор

Горьковой В.Ф.

Общая характеристика работы

Одним из основных понятий в математическом анализе является поиятие производной. Возникавшие в процессе развития математики и ее приложений новые задачи содержали негладкие (не-дифференцируемые) функции и тем самым вызвали потребность в расширении понятия производной (градиента в многомерном случае). Такой подход к изучению негладких задач получил большое признание.

В настоящее время негладкий анализ представляет собой вполне сложившийся и бурно развивающийся раздел современной математики. Методы и результаты негладкого анализа широко применяются во многих разделах математики, механики, экономики.

Несмотря на то, что на сегодняшний день получены значительные результаты в области негладкого анализа, остается еще много интересных и актуальных нерешенных задач.

Актуальность темы. Предлагаемая работа посвящена исследованию неявных функций для недоопределенных систем уравнений, заданных негладкими функциями (липшицевыми и квазидиффе-ренцируемыми)*.

Известна роль теорем о неявной функции в математическом анализе. С их помощью можно делать заключение о существовании, единственности и дифференцируемости решения уравнения, не находя самого решения, что подчас не менее важно фактического знания решения. Неявные функции для непрерывных недифферен-цируемых функций были изучены Дж. Варгой, для липышцевых функций - Ф. Кларком, В. Ф. Демьяновым, А. Д. Иоффе, для ква-зидифференцируемых - В. Ф. Демьяновым.

Проведенные исследования способствовали как бы очерчиванию контуров применения аппарата негладкого анализа для нахождения неявной функции и предполагали возможность новых подходов к проблеме и новых путей ее решения. В результате различные аспекты рассматриваемой проблемы устойчиво сохраняются как признанный предмет дискуссий. Поэтому актуальным остается рассмотрение в негладком анализе обобщений теорем о неявной функции.

"Работа осуществлялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований грант № 97-01-00499.

Предметом анализа настоящей диссертационной работы являются неявные функции для недоопределенных негладких систем уравнений.

Цель диссертационной работы состоит в попытке объединить и поместить указанное многообразие в ракурсе единого объекта рассмотрения, а также изучить неявные функции в случае недоопределенных систем в негладком анализе, то есть негладких систем, в которых число уравнений меньше числа неизвестных.

Комплекс актуальных проблем, возникших в ходе исследования задачи о неявной функции в негладком анализе, обусловил необходимость решения следующих основных задач:

1) изучить свойства субдифференциала Кларка и Мишеля -Пено, квазидифференциалов, конвексификаторов и необходимость применения их для нахождения неявной функции;

2) найти достаточные условия существования и единственности неявной функции для недоопределенных систем уравнений, заданных негладкими функциями;

3) разработать метод для решения задачи о неявной функции для недоопределенных систем в негладком случае;

4) на основе полученного метода указать возможность его применения к субдифференциалышму отображению Кларка, квазидифференциальному отображению, СР- о то бр ажени га (конвексифи-каторному);

5) описать результаты проведенного анализа.

Научная новизна вытекает из сформулированных выше цели и задач исследования. Принципиальной новизной отмечен сам комплексный подход к неявным функциям для недоопределенных систем, при котором они рассматриваются в терминах субдифференциала Кларка, квазидифференциалов, конвексификаторов. Кратко опишем основные полученные результаты:

1. Для полностью определенных систем лишиицевых функций сформулирована и доказана теорема о неявной функции в терминах конвексификаторов.

2. Доказаны достаточные условия существования неявной функции для недоопределенных систем негладких функций (липши-цевых, квазидифференцируемых, неявной функции по направлениям) .

3. Для липшицевых, квазидифференцируемых функций в случае недоопределенных систем доказана единственность неявной функ-

ции, ее липшидевость, непрерывность, дифференцируемость по направлениям.

4. Предложен метод для нахождения неявпой функции для недо-определенных негладких систем.

Теоретическая значимость результатов исследования определяется вносимым им вкладом в использование теоремы о неявной функции в негладком анализе.

Значение результатов работы состоит не только в том, что они являются обобщением гладких теорем о неявной функции, но и в том, что в нодоопрсделснном негладком случае с их помощью можно получить результаты, не имеющие аналогов в гладком случае.

Практическое применение. Полученные теоремы о неявных функциях могут быть полезными для исследования условий регулярности в задачах математического программирования при негладких ограничениях - равенствах, а также для построения метода Ньютона для решения негладких систем уравнений.

Методы исследования. Используются методы и результаты классического математического анализа, линейной алгебры, негладкого анализа.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математической теории моделирования систем управления СПбГУ (1994-1997) , университетских научных конференциях "Управление динамическими системами" (СПбГУ, 1994-1997), X Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, февраль 1997), Международной конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, июль 1997).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 научных работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. В композиционном отношении работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, списка литературы из 107 наименований и имеет общий объем 120 страниц. Во введении обосновываются выбор и актуальность темы. Первая глава содержит предварительные сведения, необходимые для решения задач. В последующих трех главах непосредственно помещены основные результаты. Заключение подводит итог, намечая перспективы для дальнейших изысканий по выявленной проблематике.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранного исследования, раскрыта новизна и практическая значимость полученных результатов и приведено краткое содержание диссертации.

Глава 1 содержит предварительные сведения, необходимые для дальнейшего рассмотрения. В на! приведены теорема о неявной функции в гладком случае, приемы решения систем линейных уравнений с прямоугольной матрицей в гладком случае, сведения из выпуклого анализа, различные обобщения понятия градиента и обобщенная теорема Какутани о неподвижной точке для матричных невыпуклых отображений.

Вторая глава посвящена системам липшицевых функций. В первом параграфе рассматриваются определения и свойства субдифференциала Кларка.

Пусть 5 С К™ — открытое выпуклое множество, на котором задана функция / : М" —> К, х е 5.

Определение. Множество

0сч/(г) = со {и е Е" | Зхк : хк х, хк £ Г(/), /'{хк) и},

где Т(/) - множество точек, в которых функция дифференцируема, называется субдиффереыциалом Кларка функции / (ж) в точке х. Любой элемент V € дс11{х) называется субградиентом (или обобщенным градиентом) функции /(х) в точке х.

Субдифференциал Кларка является непустым, выпук-

лым, замкнутым и ограниченным множеством.

В §2 рассмотрен новый объект негладкого анализа - конвекси-фикаторы.

Пусть /г : Ж" —» М - положительно однородная функция.

Определение. Будем говорить, что выпуклый компакт II С К" является конвексификатором функции /г, если

тт(го,0) < к(д) < тах{у,д) \/д <5 К".

■шеи

Если функция / : 5" —> К локально литшщева на открытом множестве 5 С Мга, то в качестве конвексификатора можно взять субдифференциал Кларка или су б дифференциал Мишеля - Пено. В некоторых случаях можно найти конвексификатор (конвексифика-торы), который (которые) меньше, чем субдифференциалы Кларка

и Мишеля - Пено. Это дает возможность вычислять производную по направлениям, а также находить направления наискорейшего спуска.

В §3 рассматривается задача нахождения неявной функции для липшицевых систем.

Пусть функции /((х, у) (г £ 1 : га) липшицевы по совокупности переменных на множестве 5 = ^ х С Кт х Ж", где 5х, ¿г -открытые множества в соответствующих пространствах. Положим / = (/1,... ,/„), 0„ = (0,... ,0) 6 Ж". Будем предполагать, что х0 £ 5:, уо 6 ¿2 и

Нас интересует вопрос о существовании в окрестности точки хо функции у(х) такой, что

задает неявную функцию, а функцию у(х), удовлетворяющую (1), называют неявной функцией. Введем обозначение

/(^о,Уо) = 0п-

У[х) -> Уо, /(х,у{х)) = 0„.

Говорят, что система

/(ж, у) = 0„.

(1)

да^у{х,у) = {^«'2 е Мт|3г?н : [^1,^2] 6 дС1&(х, у)}.

Положим

В этом же параграфе приводятся теоремы о неявной функции для полностью определенных систем негладких функций с использованием субдифференциала Кларка и конвексификаторов.

Теорема 1. (Кларка) Если

|с!е^| > а0 > О УС е У${х0,уо), (2)

то для любого £ > 0 найдутся 5 > 0 и у(х) е К" такие, что \\у{х) - г/о|| < е, /(х,у(ж)) = 0„ Ух е ^¿Ы С К™.

Доказана следующая теорема.

Теорема 2. Если

| (М В\ > а0 > О УВ е С(х0, Уо), то для любого £ > 0 найдутся 5 > 0 и у(х) £ К71 такие, что \\у{х)-у0\\ < е, Г{х,у{х)) = 0П Ух е 51й(х0) С Г".

В §3 - §7 исследуются недоопределенные системы уравнений лип-шицевых функций:

/г {х, у) = 0 Уг 6 1 : р, р < п,

где функции fi (г 6 1 : р) лишшщевы на Б = х 62 С Ет х Ж™ , где 5*1, 5*2 - открытые множества в Жт и Ж" соответственно, жд 6

51, уо е 52,

Мхо,Уо) = ОУг £ 1 : р.

В случае систем с прямоугольной матрицей вводится квазиединичная матрица.

Определение. Пусть задана (пхр) - матрица А. Набор элементов а^!, Ог22, • • •) агрр матрицы А называется квазидиагональным, если ¿1 < ¿2 < ■ •. < гр. Матрица А называется квазиединичной, если все ее элементы равны нулю, кроме одного квазидиагонального набора, каждый из элементов которого равен единице.

Поставим вопрос о существовании неявной функции для недо-определенных систем. Теорема 1 справедлива в данном случае, если условие (2) заменить следующим:

Существует (п х р) - квазиединичная матрица (} такая, что

Это означает, что установить существование неявной функции можно, зафиксировав п — р координат точки г/о- Если существует несколько квазиединичных матриц, удовлетворяющих условию теоремы, то каждой из них соответствует своя (может быть неединственная) неявная функция.

Чтобы ослабить требование (3), при котором можно установить существование неявной функции, используем неособое преобразование Т.

Доказан следующий результат.

Теорема 3. Если существуют неособое преобразование Т и (п х р) - квазиединичная матрица <3 такие, что

то для любого е > 0 найдутся 6 > 0 и у{х) € М" такие, что

В §4 изучаются свойства неявной функции. Доказано, что при выполнении условий теоремы 3 для каждого преобразования Т при х, достаточно близких к жо, неявная функция у{х) единственна и лишшщева.

Неявная функция в случае липшицевости по одной переменной для недоопределенных систем рассматривается в пятом параграфе. Пусть функции /г (х, у) (г £ 1 : р) непрерывны по совокупности переменных на множестве 5 = йх х йг С Жт х М" , где ^х, 62 -открытые множества в соответствующих пространствах, Хо £ 5х, Уо £ 5'г. а функции 1г, (у) -= /¿(жо,у) липшицевы по у на Б 2■ Пусть / = (Д,... , fp), 0Р = (0,... , 0) £ р < п. Предположим, что

<1ЫС0| > «0 > о УС в Щх0,у0).

¿еЬСТ<Э\ > а0 > 0 УС £ ®(х0,2/о),

||у(я) - Уо|| < е, 1{х,у{х)) =0р,р<п Ухе ЭиЫ С Г71.

/(ж<ьУо) = 0

Положим

Ъ(х0,у0)

щ € дыЫ(у) Уг е 1 : р, р < п >,

где dcihi{y) - субдифференциал Кларка функции Ьг(у) — /,(itq,у) в точке у о-

Теорема 4. Если существуют неособое преобразование Т и квазиединичная матрица Q С RnXp такая, что

\det ATQ\ > с > 0 УАеЩх0,у0), то для любого е > 0 найдутся 6 > 0 и у(х) G Rn такие, что Ых) - уо || < е, 1{х,у{х)) = 0Р) р < п Ухе Sis(x о) С Г".

Доказано, что если выполнены условия теоремы 4, а отображения dcihix(y) ограничены на S и полунепрерывны сверху (по совокупности переменных) в точке [жо,2/о] •> то для каждого неособого преобразования Т найдется ¿i такое, что в Sij1(xo) = {х Е Rm | ||ж — ¡coli < существует единственная неявная функция у(х) такая, что

у(х) у о, f(x,y{x)) = 0р.

X—t-Xo

Эта функция непрерывна.

В §6 приведен основной результат главы - новый подход к решению задач с недоопределенными системами, при этом используется метод условного градиента, процесс ортогонализации системы векторов.

Для выяснения вопроса о существовании неявной функции следует определить, существуют ли преобразование Т и матрица Q, удовлетворяющие условиям теоремы 3. Для этого рассматривается следующая задача:

maxmax min I det CTQ\.

Q т се®

Поскольку число квазиединичных матриц Q конечно, то придется решать конечное число следующих задач:

max min I det CTQI.

т Сб®

В §7 приводится пример, демонстрирующий выполнение условий теоремы 4.

В главе 3 основное внимание уделено квазидифференцируемым системам. Приводятся определение квазидифференциала, свойства квазидифференцируемых функций (§1).

Пусть S С К™ - открытое множество, функция / задана на S. Будем говорить, что функция / квазидифференцируема в точке х £ S, если она дифференцируема в этой точке по всем направлениям и если существуют выпуклые компакты OJ(x) С Ж" и df(x) С Ж" такие, что

f'(x,g) = max (v,g) + min (w,g).

vedf(x) medf(x)

Здесь f'(x,g) обозначает производную функции / в точке х по направлению д:

Пара множеств T>f(x) = [df(x),df(x)] называется квазидифференциалом функции / в точке х, при этом множество ílf(x) называется суб дифференциалом, а множество df(x) - супер дифференциалом.

Для этого класса негладких функций также доказывается теорема о существовании неявной функции в недоопределенном случае (§2).

Пусть функции fi(x,y) (i € 1 : п) непрерывны по совокупности переменных на множестве S = Si х 62 С Жт х R", где Si С Кт, S'2 С 1R" - открытые множества в соответствующих пространствах. Пусть х0 G Si, у0 G S2, fi{xо, г/о) = 0 г G 1 : р , р < п. Положим / = (/ь... ,/„), hi(y) = fi(x0,y ■)• Предположим, что для каждого i G 1 : п функция /), квазидифференцируема в точке уо-

Обозначим

Щуо) = \А =

( аТ \

\apJ

ai G dhi{y) -i- dhi(y) V¿ G 1 : p, p < n

Теорема 5. Если найдутся неособое преобразование Т и (п х р) - квазиединичная матрица С} такая, что

I det ATQ\ > с > 0 VA G ЯЗ(уо),

то для любого е > 0 найдутся 6 > 0 и у (ж) £ такие, что ||у(х) " 2/0II < е, /(®,у(х)) = 0Р, Р< п Ух £ БиЫ С Г".

В §3 исследуются условия, при которых неявная функция единственна и непрерывна.

Пусть функции f^ (г £ 1 : р, р < п) непрерывны по совокупности переменных и квазидифференцируемы по у на множестве 5 = 5х X 52 С М" х Ж"1, ^сГ^гСГ- открытые множества. Пусть хо £ £?1, уо £ $2, /%(хо,Уо) = 0 \/г £ 1 : р. Положим

Щх,у)= \ А =

1

а» е д/гу(ж,у) + д/гу(х,у) Уг Е 1 :р\.

т ар

Теорема 6. Если найдется неособое преобразование Т и (п хр) -квазиединичная матрица С} такие, что

\detATQl > /? > 0 У А £ ®(а:о,Уо), (4)

то для каждого неособого преобразования Т и для любого е > 0 найдутся 5 > 0 и у(х) £ М™ такие, что

Ы*)-г/о|| <е, Нх,у{х))=0р,р<п Ух € Бц Ы С Его. (5)

Замечание. Теоремы 5 и 6 говорят о том, что при выполнении условий одной из теорем существует неявная функция, в которой п—р координат совпадают с соответствующими координатами г/о-Если выполнены условия теоремы 6, то такая функция у(х) единственна. Если существует несколько матриц С}, удовлетворяющих (4), то каждой из них соответствует единственная непрерывная вектор - функция у(х), удовлетворяющая (5).

В §4 для этого класса негладких функций также решается задача нахождения общего вида преобразования пространства, которая сводится к задаче оптимизации.

В четвертой главе исследуются неявные функции по направлениям для недоопределенных систем. В §1 рассматривается пример, когда в одном направлении неявной функции нет, а в другом существует сразу несколько неявных функций, что говорит о целесообразности рассмотрения неявной функции по направлению.

Пусть функции /г(х,у) (г £ 1 : р) непрерывны по совокупности переменных на множестве Б = ¿»х х 62, где 5*1 С Мт, Б2 С Мп - открытые множества в соответствующих пространствах. Положим / = (/1,... , /р). Предположим, что х0 6 5'х, Уо € 3'2 и

1Ы,Уо) = 0Р. (4)

Пусть функции /г квазидифференцируемы по совокупности переменных в точке [.ту, т/ц]. т.е. существуют выпуклые компакты Ш*о,уо) С Кт+П И 9Л(®о,Уо) С М™+" такие, что

/г(аг0 + Аж,г/о + Ду) = /¿(х0,у0) + </?г(Дж, Ду) + оДД.т,Д?/),

где

<Рг{Ах,Ау)= шах [(их, Да;) + (и2, Ду)]+

v£дfi(xo,Уol

+ _тш [(и;ь Ах) + (го2, Ду)],

и,<Ед/{(сс0,Уо)

ог(аАх,аАу) ^ р уДа; е уд е ц»

а а-10

и — [«1,^2], и; = [ад1,г()2], , г«1 £ Кт, г>2,г«2 € К".

Зафиксируем д £ К'", 5 ф 0т ■

Определение. Будем говорить, что существует неявная функция по направлению д, если существуют ао > 0 и вектор - функция у(а), заданная на [0,ао], такие, что

у{<*) 2/о, 1(х о + ад, у (а)) = 0„ Уа £ [0, а0]-

а 4-0

Для этого случая также доказываются достаточные условия существования неявной функции по направлению (§2). Положим У = 2/0 + ОД и введем функцию

г. / ^ Г а/«' + Уо + ач), " > О,

I <Л(<?,<7), а = 0.

Из (4) -(7) следует, что

^ (а, д) = <р{ (д, д) + г{ (а, д),

где

r,(a,g) = °i(0!fl'Qg)-+ 0 4geRn,n(0,q)=0.

(X a-l-0

Пусть до € R" ~ решение системы

fi{9i ?о) = О Viel: п.

Функции Fi непрерывны по совокупности переменных при а >0, q € R".

Функции фг (3) — ipi [д, q) квазидифференцируемы, при этом ipi(q+ Aq) = ipi(q) + max (v2,Aq)+ min (w2, Aq) + Oi(Aq),

v26 dip,(q) w2£di>,(q)

где

dxPi{q) = {v2eRn\3vleMm : [v\,v2] G dfi{x0,yo), {vi,g) + {v2,q) = <pn{g,q)},

dipi{q) = [w2 G R"|3ii>i e : [wi,tu2] € dfi(x0,y0), {wi,g) + (w2,q) = <¿>»2(0,<?)}, ¥>ü(0>?) = . max [(üi.fl) = (U2,9)],

[ui,u2je0/i(a;o,!/o) <Pi2(ff,q)= min = {wz,q)),

{wi,W2\edj%{x0,ya)

oAaAq) кг-->■ 0 равномерно по Ag из любого ограниченного множе-

а qJ.0

ства. Введем множество матриц

®Ы = <А =

'«т\

т

/

Oi ед^Ы + д^Ы Viel:p>. (5)

Теорема 7. Если существуют неособое преобразование Т и квазиединичная матрица С?, £ К"Хр, такие, что

| с^ АТС}\ > с > 0 МАеЩдо),

то для любого £ > 0 найдутся ао > 0 и q(a) £ Ж71 такие, что

||д(а) - <7о|| < е, /(жо + ад,у0 + ад(а)) = 0Р, р < п Уа£ [0,а0].

Из определения Fi и соотношения для <Pi(g,q): ¥1(9,1) = /¡Ы,Уо\ [9,4]) = = т,ах Л^Ь.?) + (V2,q)} + _min \{wi,g) + [w2,q)}

veHfi(x 0,2/0) U>edft(x o,Vo)

следует квазидифференцируемость Ft(a,q) no q при a > 0, при этом квазидифференциал функции имеет вид:

VFxq(a,q) = [d_Fi(a, q),0Fi(a,q)\,

где

0Fi(a, q) = {v2 e Rn|3u! € Mm : [vuv2} G Qji(?Q + ag,y0 + aq)},

8Fi(a, q) = {w2 € Rn|3tui € Rm : £ Ofi(®0 + ag,y0 + aq)}.

Пусть <7o удовлетворяет условию

<Pi{9,4o)= 0 Vi£l:]).

Положим

Ща, q0) =

f fa1\

(6)

= {A =

WPJ

О» e 0Fiq(a, <70) + 3Fi(?(a, g0) Vi G 1 : p

Теорема 8. Пусть функции /¿(ж,у) липшицевы по у. Если существуют неособое преобразование Т и квазиединичная матрица С}, С} £ такие, что

АТ<2\ > с > 0 УЛ £»(«)),

то для неособого преобразования Т и для любого £ > 0 найдутся а0 > 0 и д(а) £ Ж" такие, что

|[?(а) - <?о|| < е, /(^о + ад,Уо + ад(а)) = 0Р, р < п Уа е [0, а0].

Такое д(а) единственно, а функция д(а) непрерывна на [0,ао].

Таким образом, для выяснения вопроса о существовании неявной функции по направлению д необходимо найти все решения системы (6) и для каждого из них построить множество Ш(до) по формуле

Для неявной функции по направлению также решается задача оптимизации, аналогичная задаче нахождения неявной функции главы 3.

В §2 приводится пример, демонстрирующий выполнение условий теоремы 7.

В Заключении формулируются основные результаты, рассматриваются возможные применения полученных результатов и намечены дальнейшие изыскания по данной тематике.

Приложении содержит текст программы, которая реализует метод нахождения неявной функции для недоопределенных систем негладких функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Мурзабекова Г.Е. Теорема о неявной функции для недоопределенных систем в негладком анализе. - Деп. в ВИНИТИ, 04.08.94, № 2052. - В94.

2. Мурзабекова Г.Е. Теорема о неявной функции для недоопределенных лнпшицевых систем // Вестник Акмолинского инженерно-строительного института. - 1995. - Вып. 16. - С.51 - 55.

3. Мурзабекова Г.Е. К вопросу о неявной функции для недоопределенных систем // Вестник Хакасского государственного университета им. Н.Катанова. Серия 1: Математика и информатика. -1996. - Вып.1. - с.29 - 32.

4. Мурзабекова Г.Е. Теорема о неявной функции для недоопределенных систем // Информ. Бюллетень Ассоциации Матем. Программирования. - № 7. - Научное издание. - Екатеринбург: УрО

(5).

РАН, 1997. - С.157 -- 158.