Оценки и погрешности некоторых разностных методов решения параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И

ОБОЗНАЧЕНИЯ.■.

§ I. Пространства суммируемых и дифференцируемых функций.

§ 2. Некоторые сведения из теории интерполяции пространств. Г

§ 3. Пространства кусочно-полиномиальных функций

Глава 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ

§ I. Дифференциальные свойства решений параболических уравнений.

§ 2. Неявные схемы Кранка-Никольсон

§ 3. Экономичные схемы второго порядка аппроксимации

§ 4. Неявная проекционно-разностная схема повышенного порядка точности

§ 5. Экономичные проекционно-разностные схемы повышенного порядка точности

§ 6. Оценка градиента погрешности экономичной проекционно-разностной схемы

Глава 3. ЭКОНОМИЧНАЯ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ

§ I. Коэрцитивная разрешимость экономичной схемы

§ 2. Оценка скорости сходимости

Важную роль при численном решении многомерных параболических задач играют экономичные разностные ( проекционно- и конечно-разностные) схемы (р.е.). Изучение для таких схем вопросов оптимальности и погрешности в случае негладких данных является одной из задач вычислительной математики.

Настоящая диссертация посвящена оценкам погрешности некоторых разностных методов решения линейных параболических уравнений второго порядка. На классах правых частей и начальных функций получены оценки скорости сходимости следующих двухслойных схем: а) экономичной конечно-разностной схемы (к.р.с.) второго порядка аппроксимации для первой начальной-краевой задачи для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами ' б) неявной и экономичных проекционно-разностных схем (п.р.с.) повышенного порядка аппроксимации решения периодической задачи Коши (с постоянными коэффициентами) .

Опишем подробнее содержание диссертации и дадим краткий обзор литературы.

I. Глава I является вспомогательной. В § I введен ряд пространств суммируемых и дифференцируемых функций, а также некоторые обозначенияj в § 2 указаны необходимые сведения из теории интерполяции пространств и введены пространства с промежуточными индексами относительно пространств из § Г^ в § 3 приведены пространства сплайнов степени Z*t~l (tдефекта 1 и отмечены их аппроксимационные свойства. Приведенные в главе I сведения и обозначения используются в следующих главах при оценке скорости сходимости р.с.

Основные результаты диссертации содержатся в главах 2, 3.

2. Глава 2 посвящена р.с. для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами.

В § I даны оценки решения почти всюду (п.в.) первой начально-краевой задачи п.

Lli= ^II-^MKlMM)^ в С1=ЛФ,Т), (!) llU=o = U0(x),lllUx(0}T)=0 (2) рассмотрены неявная к.р.с. Кранка-Никольсон и ее проекционный аналог. Оценки скорости сходимости проекционно- и конечно- разностной схемы Кранка-Никольсон при условии существования достаточно гладкого решения задачи (3)-(4) получены в [11- ?2.2Р 29;55Р36]. В £33] доказана оптимальная оценка в норме порядка /fi/^ р J Св терминах решения) для п.р.с.

Кранка- Никольсон, причем для случая Т^/А/^ ( /'/ - евклидова норма в Ц Отметим, что в £ <?7 установлена оптимальность неявной п.р.с. порядка аппроксимации при

Q) для параболического уравнения.

В настоящей диссертации доказаны оценки max(nu.-irl, МИ) < К +lklzlldll0,0), с 5) где SI - И -мерный параллелепипед ) , а также оценки решения п.в. периодической задачи Коши при fc^Cx) — 1. В § 2 для задачи где /Г и ffg — решения п.р.с. и к.р.с. Кранка-Никольсон соответственно. Кроме того, O^ot ^ р //•// и //'//^оо "" нормы соответственно в Z5 (Q) и L^ooflZ), ЦсЩо,* u-h\\(D>^Loпри * при Здесь обладает гладкостью порядка od по в норме h^fQ)р а ^ и И0 - порядка HcL-i. и zd+d соответственно по x в норме Zjg^-Q), Например,//^ ^ =

4Ij>JIMIIHIII0+I!IMU0II0(IHId- * 4C-J2)).

Е оценках (5) , (6) никакая связь между Т и /А/ не предполагается.

Ряд экономичных к.р.с. для многомерных параболических уравнении изучен в 2? J. Экономичные п.р.с. рассмотрены в [ 30j а также в j, Оценки скорости сходимости экономичных к.р.с. и п.р.с. установлены (см. перечисленные выше работы) в случае, когда решение уравнения обладает высокой гладкостью.

В [1] оценена погрешность одного экономичного метода для задачи (3) - (4) при / из С\ 0<A<i)Q= (09 i)***#

При кусочно-гладких данных и решении в [2б] изучена экономичная аддитивная схема. В [PJ доказана оптимальность нескольких экономичных проекционно- и конечно-разностных схем порядка аппроксимации О(Т +lkl5 ) ПРИ :/" из L%(Qi\ В § 3 данной диссертации рассмотрены для задачи (3) -(4) следующие экономичные разностные схемы: при /2=j2 к.р.с. Писмена-Речфорда-Дугласа и ее проекционный аналог, при /2 — 3 семейство п.р.с. и к.р.с. второго порядка аппроксимации с параметром & & £0, 4 ], Для этих схем получены: i) при /2 ~ z - оценка

ЛОХЦйг/ЩЛ-увП^КСт+^Шъл+ЬРЫио) i W

2) при O^&^d. - оценка шхОш-уИ, II) ^Kir^iMo^ + llfll<aj>0>)+lhl*Ulo,e J, (8) где и ^E - решения п.p.с. и к.p.с. соответственно, о^ оL^l. В оценке (8) /////^означает, что f должна иметь производную порядка хотя бы по одному (любому) из пространственных переменных Xj ^^а^з- Оценки (5)-(7) являются точными и неулучшаемыми по порядку. Оценка (8) из-за наличия в правой части слагаемого Ц J неулучшаемой уже не является. Тогда возникает вопрос: является ли вообще оценка (8) точной? Доказана теорема (см. [13j)^ дающая утвердительный ответ на этот вопрос при Ы ^d. ^ O^d. и при & — 1, O^oi^ 4/2. удается дополнительно доказать оценку вида (7)).

В конце § 3 приведены результаты численного расчета при 2. Сравнивались (численно) экономичные к.р.с. порядка аппроксимации О (Тг + Ы2) и 0(T + lklZ) для задачи (1)-(2 ) с *L(z)= tf2 при = конкретный вид функции ^ опускаем). Результаты расчетов подтверждают оценку (7) и показывают эффективность схемы второго порядка аппроксимации.

Параграфы 4 и 5 посвящены периодической задаче Коши при -tefar), kk^bote) Р (9)

Функции Ц0 являются j - периодическими.

Решение Ц ищется Л - периодическим вместе с

Неявные п.р.с. повышенного порядка точности для уравнения теплопроводности рассмотрены в [29,32,35)36 ]* а экономичные п.р.с. повышенного порядка точности - в [28)20]. В этих работах получены оценки скорости сходимости, но при завышенных требованиях на гладкость И>

В § 4 для задачи (9) построена и изучена неявная п.р. с. повышенного порядка точности. Для ее погрешности IX установлена оценка

Ы-П ), (10) где O^.dLi-1 у } £ - любое натуральное число,

Ulho =U\\ch^Uo\\1+J, i 11-11 - в 1>г«Х), прием Q'=S2'x(o, Т) , = Укажем,

410 ИЯ1(«е-й,о)

11МРи.И0,Н1в- норма Ь2(Л').

В параграфе 5 проанализированы экономичные п.р.с. повышенного порядка точности. Здесь доказан а,при /2-2 оценка

Цн-Jti ^ К(т^Ш0>л \\h о), <п> а при /2 =3• и O^&sxd оценка н*$и* к +mi<2u>0>)+iu у J, (is, где О Е О) ± J - параметр семейства схем.

Оценки (10), (II) точны и неулучшаемы по порядку. Оценка (12) является таковой при jb ^ ZoL. Если < 2Ыу то оценка (12) является точной для и (при & = i О < оС 5 как и в случае краевой задачи, выполнена оценка вида (II)) .

Сравнивая неравенства (7) , (8) с (5) и неравенства (il) , (12) с (ю) , приходим к важному выводу: оценки погрешности экономичных и "неявных" схем совпадают при Ц = £ , но существенно различны при /£=3 .

Приведенные в параграфах 4 и 5 п.р.с. повышенного порядка точности позволяют вычислять не только решение задачи (9) , но и градиент решения с высокой точностью. Для градиента погрешности экономичной п.р.с. из § 5 (с Q=i при /£=3) в § 6 получены:

1) при /1 = 2 - оценка

2) при /1 = 3 - оценка где Dot — СД/? о) ? параметры о^уб определены выше ^см.Ю)

3. В главе 3 рассмотрена экономичная двухслойная конечно-разностная схема второго порядка аппроксимации для задачи (I) -(2) , которая в случае постоянных коэффициентов переходит в схемы с хорошо известными операторами: Писмена-Речфорда-Дугласа при Ц-Q. и одним из его аналогов при fl — Ъ . Заметим, что в рамках метода конечных элементов неизвестно экономичной двухслойной схемы второго порядка аппроксимации для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.

Укажем, что в £ Si J получены оптимальные оценки скорости сходимости для экономичных п.р.с. порядка аппроксимации ) Для параболических уравнений при причем в [31] -12 ~ произвольная область, ъ. ъ [ $ ] SI- tl-мерный параллелепипед.

В § I настоящей диссертации доказана коэрцитивная разрешимость экономичной к.р.е., а в § 2 установлены оценки ii il- и п* к (г1* *Ы L + М2 Ы Но), аз) и-uri т^ами^т*4»)+м*ш0 ] см) при /2=^3 соответственно. Здесь № - решение экономичной к.р.с., 04Ы&1, U\U =///-/о + ср.с lidIIсНапример, нора 11и.011ам L при определяется следующим образом: = HlDLUo I IIо> Отн°сительно коэффициентов ^ предполагаем, что tf. fx) esr WJtW и, кроме того, />/D* fei} fy D^ D*^ЦП) при /2=3.

Оценка (13) точна и неулучшаема по порядку, а оценка (14) при постоянных коэффициентах для J/% < U ^ d является точной.

Отметим, что при U ^ i/'а ? ft ^ УН в оценках (5), (7),(Ю), (II), (13) функция £ может иметь разрывы на fl+4 - мерных поверхностях весьма произвольного вида, а в оценках (8), (12), (14) - при ot 4 4/4, /Ь 4 Ife. Например, при U^^/n в неравенствах (5), (7), (13) допускаются функции / из пространства ft (Q) f)Loo > а в неравенствах (8), (14) при oL = — функции £ из

Н?ШLoo(Q) С Н% «*), Н пространства

С.М.Никольского ? см. S7) •

4. В кадцом параграфе диссертации принята независимая одинарная нумерация утверждений (теорем, лемм, замечаний) и формул. Двойная нумерация ссылок означает параграф, номер формулы или утверждения в данной главе, тройная - главу, параграф и номер.

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах в МГУ им.М.В. Ломоносова, отделе вычислительной математики АН СССР и опубликованы в работах

L12JZ J > [25].

Автор благодарен А.Н. Тихонову и Н.С.Бахвалову за научное руководство, а также А.А.Злотнику за поддержку.

1. Бахвалов Н.С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1970, 10, № 3, 555-568.

2. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М., "Мир", 1980.

3. Бурдун Г.Д. Справочник по Международной системе единиц. М., изд-во Стандартов, 1977.

4. Дрыя М. Метод Галеркина переменных направлений для квазилинейной параболической задачи. В кн. "Вариационно-разностные методы в матем. физ.". Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1978, 23-34.

5. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. Вып. 2. М., изд-во МГУ, 1972.

6. Дьяконов Е.Г. О применении разностных схем с расщепляющимся оператором для некоторых систем уравнений параболического и гиперболического типа. Сиб. матем. журн., 1965, 6,3, 509-515.

7. Злотник А.А. Оценка погрешности метода переменных направлений для уравнения теплопроводности с негладкими данными. Препринт № 54 семинара "Методы вычисл. и прикл. матем.". Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1978.

8. Злотник А.А. Проекционно- разностные схемы для нестационарных задач с негладкими данными. Канд. дисс. М., МГУ, 1979.

9. Злотник А. А. О скорости сходимости проекционно-разностной схемы с расщепляющимся оператором для параболических уравнений. S. вычисл. матем. и матем. физ., 1980, 20, № 2, 422-432.

10. Злотник А.А. Оценка скорости сходимости в проек-ционно-разностных схем для параболических уравнений. Вестн. Моск.ун-та, сер. вычисл. матем. и киберн., 1980, № I, 27-35.

11. Злотник А. А. О скорости сходимости в ^ вариационно-разностного метода для эллиптических уравнений. Докл. АН СССР, 1983, 271, № 4, 784-788.

12. Злотник А.А., Туретаев И.Д. Точные оценки погрешности методов переменных направлений для уравнения теплопроводности. Вестн. Моск.ун-та, сер. вычисл. матем. и киберн., 1983,2, 8-13.

13. Злотник А.А., Туретаев И.Д. О точных оценках погрешности и оптимальности двухслойных экономичных методов решения уравнения теплопроводности. Докл. АН СССР, 1983, 272, № 6, I306-I3II.

14. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 2. М., "Наука", 1980.

15. Кухлинг X. Справочник по физике. М., "Мир", 1980.

16. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., "Наука", 1967.

17. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., "Наука", 1977.

18. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., "Наука", 1977.

19. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М., "Мир", 1977.

20. Оганесян Л.А., Руховец JT.A. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван, изд-во АН Арм. ССР, 1979.

21. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М., "Наука", 1971.

22. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., "Мир", 1977.

23. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., "Наука", 1972.

24. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М., "Мир", 1980.

25. Туретаев И.Д. Об оценке погрешности экономичной разностной схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1984, 216 -80Ч.

26. Фрязинов И.В. Об одном классе схем для уравнения параболического типа. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975,15, № I, II3-I25.

27. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, "Наука", Сиб.отд., 1967.

28. De/idg. X, AbUutFetL-bkest. M±tbfL&-Un.§.-dtstMLlLofimcikodi рот. pa>uUcr&.c cuid ktpp&Ut&d рЪо4€е.Ш on tecian.pM&ctfL ргСу^опб, SI Л// tf. Afctrn&i.29. 7J)u,po/ii T. CroAzJu'/i m&Hiod* fob р<ушЛо&с SI AM 7. Л/имел. iQ+O;

29. Don^cu J-у (ft. y J) upo n*t 7. M-U4.tta.iiag.- dteeciioft d-aJj^Ltift me-tkod* oft *teci&tLcpU4. I ft.SoltL-hioii erf patL-biai difPe^. е^шиЫом -JL.Pzoceedinp trf S/А/ SPADE 19W * А/гЫ Уо>гЖ - Lotidofi, Academic Ргмб , 19*i, 1S3-&14.

30. Dupofti F<titt<recLl(brt, Q., Уокмоп. ЯР. P/iAee-*£e>tre£ G-a&k&tL fnztkodj fob. pafuUo&c e-pua-Hottt. §21W 7. Artimfi. 19Ж, H} A/2 9392-4W.