Краевые задачи для параболических уравнений с нелокальным источником и их приложения к прогнозированию состояния водных ресурсов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Сайег Таимур Хайтам

Р Г Б ОД 7 ОКТ 1998

Краевые задачи для параболических уравнений с нелокальным источником и их приложения к прогнозированию состояния водных ресурсов

Специальность 01.01.03 - "Математическая физика"

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой стелеии кандидата физико-математических наук

Нальчик 1998 г.

Работа выполнена в Кабардино - Балкарском .государственнс университете (г.Нальчик).

Научные руководители:

-доктор физико-математических наук,профессор Шхануков М.Х. -доктор технических наук.профессор Ошхунов М.М.

Официальные оппоненты:

-доктор физико-математических наук,профессор Березовский A.A. -доктор физико-математических наук,профессор Ашабоков Б.А.

Защита состоится " 16 " 10 1998 года в >5 час.На заседании специализированного совета К 063.88.06 при Кабардино - Балкарском государственном университете по адресу : 360004, Нальчик , ул.Чернышевского 173.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КВГУ.

Автореферат разослан "16 " О Я 1998г.

Ведущая организация: Институт математики им. Соболева С.Л. СО РАН

Ученый секретарь специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Многие прикладные задачи механики сплошных сред фильтрации жидкости в пористых средах (Кочина H.H., 1972-73, Абуталиев г.Б., Ваклушин М.Б., Ербеков Я.С., 1Э75 ) приводят к дифференциальным сравнениям с нелокальным нелинейным источником . Уравнения такого типа встречаются также при описании физических процессов , учитывающих эффекты памяти(Кожанов А.И.,1994,Гатайа Y., 1982, 1984), а также в математической биологии, где подобными уравнениями описываются некоторые зроцессы динамики популяции (Вольтерра В., 1976, Нахушев A.M., 1983.)

При математическом моделировании распределения примеси вдоль эусла реки, при рассмотрении популяционной модели с пространственной диффузией приходим также к краевым задачам для дифференциальных уравнений с нелокальным источником,т.е.к так называемым нагруженным дифференциальным уравнениям ( Нахушев A.M., 1983 ).

Впервые прикладной характер нелокальных краевых задач установили в своих работах Камынин Л.И. (1963), Чудновский А.Ф.(1969), Вицадзе A.B., Самарский A.A.(1969).

Так как задачи с нелокальным условием (или нелокальным источником порождают несамосопряженную задачу, а соответствующе операторы не являются знакоопределеннымк , то общая теория устойчивости ( Самарский A.A., 1967) к указанным задачам не применимо.

Как отмечается в одной из работ Самарского A.A. и Гулина A.B.(1983 пока не удалось сформулировать общие теоремы об устойчивости несамо-еопряжекных разностных схем с нелокальными условиями, хотя достаточные условия устойчивости для отдельных классов схем уже получены ( Ильин З.А., Моисеев E.H., 1986,Гулин A.B., 1979, Ионкин Н.И., 1977, Шхануков М.Х., 1977, 1994).

Ö

Диссертационная работа посвящена разработке численно -аналити ческих методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений нелокальным линейным и нелинейным источником.

Цель работы. Целью работы является разработка численно-аналити ческих методов решения краевых задач для некоторых классов эволю ционнкзс уравнений,возникающих при математическом моделировании физнч еских процессов, в которых учитываются эффекты памяти, а также пр математическом моделировании распределения примеси в руслах рек.

Общие метода исследования. В работе применяется метод априорны: оценок, теорема вложения Соболева С.Л..При исследовании устойчивост) и сходимости разностных схем-разностные аналоги теорем вложения, пр] получении оценок в равномерной метрике-принцип максимума для общи; параболических уравнений.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной рабо1; предложены и исследованы широкий класс краевых задач для параболичега их уравнений с нелокальным источником. Построены схемы Ротэ, конечно разностные схемы для первой начально-краевой задачи, схемы повышенно1 порядка точности третьей краевой задачи для параболических уразнеш с нелокальным источником и доказаны теоремы устойчивости и сходимоет разностных схем. В заключении в диссертации изложены локально- однс мерные схемы для решения многомерных задач в равномерном параллел епипеде. Полученные результаты являются новыми и имеют непостредствен ное приложение к физическим процессам, учитывающим эффекты памяти, задачам прогноза распределения примеси в руслах рек и водоемов.

Апробация работы. По материалам диссертации сделаны доклады н XI Международной конференции " Уравнения состояния вещества " Призльбрусье,1996, на Международной конференции " Нелокальные ' краевы задачи и родственные проблемы математической биологии (Нальчик, 1996), на региональной научной конференции молодых ученых и студентов

"Математика и ее прикладные аспекты",(Нальчик,1996).Результаты работы доложены на научно - исследовательском семинаре математических кафедр Кабардино-Балкарского Госуниверситета.

Публикации. Основные результаты выполненных исследовании опубликованы в.десяти работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения , трех глав , библиографического списка, содержащего 64 наименовании, и приложение.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность и практическое значение теш, сформулирована цель работы, дан краткий обзор существующей по теме литературы , изложена структура и содержание диссертации.

Глава I

1.1. Априорные оценки,метод Ротэ.

В данной главе изучаются ктзаевые задачи для уравнения Р t Зи О и (•

дХ дхг 0

о

где Л(2,г)-известные достаточно гладкие в замыкании рассмат-

риваемой области =С(2,1;):0<х<1,0 < г г£ Т } функции.При условии су-

"о

шествования регулярного в области 0 решения , для решения первой

"о

начально краевой задачи получена априорная оценка

Мо^Иг.сц^ «<*>( «^.о^о^Но ) , (2)

ГДЭ 1 г

\\Щг0 = | иг(хД)йх , | 1!и(х,т)ц2 йТ ,

о о

М(т)>0- некоторое число,зависящее от г.

Мз оценки (2 )слэдует непрерывная зависимость решения от правой

части и начальных данных.

На отрезке СО, 1;Л]введём сетку по времени первой начально- краевой задаче для уравнения (1) поставим в соот-вествие схему Ротз:

Эх2 з^о

= — + ^ >У(х,^' К (3)

у(0Д)=у(1 , у(х,0)=ио(х) , (4)

где

''3—1 л

Ух =(У~У>/ т , у =у , у=у\ шаг сетки ,т=х0/з0 . Для решения задачи (3)-(4) получен дискретный аналог априорной оценки (2)

¡¡У«о¡Мо ( ][ ^ ^

3'=1 3'=1

где М>0 - постоянная, не зависящая от %

Откуда следует сходимость метода Ротэ в норме ¡| . || . со скорости

ОСг).

1.2. Построение разностных схем, устойчивость и сходимость.

В замкнутой области = £0,13« введем сетку б, т = ш, ■

^ 0 £3.1» Л о

Дифференциальной задаче

ц(0Д)=и(1 ,г)=о , и(х,0)=и (х) , для уравнения(1)ставим в соответствие разностную схему

3+1

У,= Луссп+ а ^Г )т +

Г =о

3

+ )у(х,г;}', (6)

з'=о

б

:/о+1= 0 ' и0и) , (Т)

Лу= у5х ' У'СТ}= аУ+(1~а)У • У=Уг+1 , У=У5 , У+ = £'У-Уо-произвольшй параметрД в первой сумме разностного уравнения (6)определяется по формуле

Г т/2,з' =о;з+1,

т,3 =1 ,'2, . . . , л,

а во второй суше:

При а=1/2 для решения разностной задачи (б)-(?)получ9ка при малом г апсиошая оценка

1!У3+1^ + X Иу5 3 !о м [ Г «о ^ +Иио(х)!(о ) , (8)

где У=у+у,М>0-гостоянная , не зависящая от т и й.йз оценки (8)следует сходимость схемы со скоростью 0(Ьг+т2) в норме

Я о т/_ J 1о

+7 ¡(у^ ]12

Отдельно рассмотрен случай нелинейного источника:

ди (ЗП1 дt <3хг

| к(х,г,т)а[и(х,т)]ат;+Г(хД) ,

ц(0Д) = и(1 = 0 , и{х,0) = и0(х) , а(и)удовлвтворяет условию

В этом случае построена сходящаяся разностная схема со скоростью

з

0(1г+т;) в равномерной метрике . 1.3. Третья краевая задача.

В области =(0,1)« (0,то) рассмотрим третью краевую задачу

О

ей 0-и

дХ ду.л

а г

<3и дх ди ах

^ (Гдкодь^ т,х=о ,

и(Х,0)=ио(£),

(10) (11)

Для решения задачи (9)-(11) получена априорная оценка

|| Г || | ^ 1| и0 (к) ф | (г)(■г) ] йг .

откуда следует единственность решения задачи. Для схемы Ротэ получен даскдатный аналог оценки (12):

/• 1

т

2 =1

г. (13)

Из оценки (13)следует сходимость метода Ротэ со скоростью 0(т).

Для задачи(9)-(11построена разностная схема повышенного порядка точности 0 (Згг+г2).

Глава II

2.1. Многомерный случай.

В главе II исследуется многомерный случай для параболических уравнений с нелокальным источником .В области С^ = 0 « (0,то), где

О

3 з { х =(х1.....х ) : 0<ха<1,ч , сс=1,2,___,р> прямоугольный р-мернай

параллелепипед с границей Г,рассматривается задача

си г

— = Ъи+ к(х,т;,т;)ии,г)й'1;+1(х,г),х<ЕС,+;<:(0,гп], (14)

«

и|г=0, (15)

и(х,0)=ип(х), „ (16)

5е"!!

где Ьи= V Ъыи , ,ос=1,2,... ,р.

06=1 дха

Для решения задачи (14)-(1б) получена априорная оценка

-ь

Мо+И^.о ^О'^г.а Ч!и0(2)||д,||и|!5=1иг(х,г)йх,||и||;1(2= /ци(х,т){!§<1т.

' 11 о о

где М>0 -некоторая постоянная.

Обозначим через

1 5и 1 г

раи=р р ¡киД^х.чПйг-Г^хД},

о

где ^(х,г),сс =1,2,...,р -функции,обладающие той же гладкостью ,что и

Г(х,г) и удовлетворяющие условию нормировки

р

06=1

г— ои

) Рл=Ри=---Ьи -Г к(х,г,г)и(х,т)<1т;-Г (х,г)=0.

На отрезке СО,1;03 введём сетку = =(3+о£/р)тг,5=0,1, .....Зп-1;а=1,2.....р),содержащую не только узлы ъ = Зт ,но и фиктив-

«7

ше узлы ^^ур»0^! >2,...,р-1 ;ш'х,множество узлов сетки ш,х,для которых г>о.

о.

•аменим многомерное уравнение <14-) цепочкой одномерных уравнений теплопроводности:

о>т(Х,0)=и0сх) , (18)

Каждое из уравнений (17) заменим разностной схемой

„3+с(/р З+Сй-П/р

* ■> ^л/ъ ' V- . .....- -?+а:/р

<v3+c£/p+ ~ Y- k(z'v v v

Р r=o

=Q t y(Xto)=u (х) , ct=l ,2.....р . (19)

1 'h,ci u

Так как система (19) аппроксимирует уравнение ï^^^q в обычном смысле,то система (19) является аддитивной схемой. 2.2. Погрешность аппроксимации.

Пусть u(ï,t)-peiaeffiie дифференцальной задачи(14)-(16)

,ы=1,2,... ,р -решение задачи (19).Тогда обозначим через =

j+ci/p „З+ci/p < 0

X —U ' » t- , • • • , frJ -

Подставляя у=а+и в уравнение (19),находим

„i+ict-i )/р 1 ^ --—- = A .zЗ«"** - У к( х, t,, t / )z (х, t. ■' ) Тт<Й+С*/р

rj- a Tj ¿_ J .3 J <л >

* j"=0

» =0 , 3(X,0)=0 ,a=1,2.....D,3=0,1 ,2,...,1.-1, (20)

'h ' u

еде

A - У m.t„,t,' )u(x,tK+<p?,+ct/p -

•J. 01 „ £__О J 3 U,

^ j' =0

j+o£/p_ „5+<о(-1 l/p

Зводя обозначение

О ,1 <3U 1 г 1/2

Ф =---X и--3c(Z,t,T)U(Z,T)(lT-I^

Lp <3t р J а J

о

представим в виде

v. *

где 0d=O(l^+x).

о£=1

2.3. Устойчивость ЛОС в равномерной метрике.

Для схемы(19) получена априорная оценка

5 р

Ну^^Ц^йГНи (х)Ц0, ш l!M-(x,t' )i|G + V т У ^/р||с} (21)

3'=0 оС=1

де Мл= max -множество всех гэаничных узлов.

Откуда следует сходимость схемы со скоростью 0(|1i|2+t;) , ¡li|2=h?+.. .+ir .

Глава III

3.1. Первая начально-краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа.

Третья глава посвящена краевым задачи для нагруженных(с нелокальным по пространственным координатам)дифференциальных уравнений параболического типа.

¡Эи д г ди г—

к(х,ю— + ) о<х<1,о<^, (22)

01 дх

бХ J ^ ;

где К(х,1;)^с,;>0, с^-постоянные числа,!,,-фиксированные числа интервала (0.1)такие,что 0<£ <...<£ <1.

Для уравнения (22 рассмотрена первая начально-краевая задачз

ц(0,т)=и(1Д)=0,и(х,0)=ио(х). (23)

при решения задачи(22)-(23)получена априорная оценка

t

Получен также дискретный аналог оценки(24)для схемы Ротэ

т

(24)

д

' * ~ дх

ду

} к=1

у(0,1)=у (1 ,Ю=0,у(х,0)=ио(х). (25)

у—У '

у 7=— , у=у:? , у=у;3"1 , т = Т/Зп -шаг сетки по времени. * % о

Для решения задачи(25 Справедлива оценка 3 3

||У£|!З т « М [ £ \\1 т+||и0(Х)||2 ]> (26)

¿' =1 3'=1

1£>0 -постоянная,не зависящая от 1.

Из опенки(2б)следует сходимость метода Ротэ в норме 3

вУВ?=ЙУ«о+^ЦУ^ «о * • 3.2.Разностная схема.

В замкнутой области В={х,т;):0<х<1,0<т^Т}введём сетку ат,

, ^=^=131:1=0,1 (^=£-^=31:: 3=0,1

Дифференциальной задаче (25) ставим в соответствие разностную -

схему

Л(оу+(1-о)у)+о^Г к=1

х -г - _^ ~ _

~ 11 +Ч+1 П

к=1

^ и-

У, -

+У

I -У

V ь

+ ф

к ь

у0=у =0 . У(х,0)=и (х) , I < С « х ,

3.3.Априорные оценки.сходимость схемы.

Для решения разностной задачи (27) при а=| получена априорная оценка л з

¡И+1 !1о+]Г Р; Во * * м [ Г "о т+)'ио(х)«о ) ,У=У+У- (28)

з'=о ¿'=1

М>0 -некоторая постоянная,не зависящая от Ь и т.

Применяя оценку(28)к задаче для погрешности^?),находим

=(У-У)/т.

\\1 НФ3' т , 2=2+2 ,

3" =0 3'=о

Откуда следует сходимость схемы со скоростью 0(112+т2)в норме

3' =0

Так как т столбцов матрицы системы сеточных уравнений сплошь заполнены,то следует применять один из итерационных методов.

3.4. Случай нелинейного нелокального источника.

В области '£>={ (хД) :0<х<1,0<1;<Т} рассмотрим задачу

т

Зи

к(х,г)

<Эи в дг дх

к=1

и(0Д)=и(1 ,Т)=0 , и(х,0)=ио(х),

к(х, 1)^0^0, ц(и)теет ограниченную производную по переменной и. Задаче (29)гоставим в соотвествие разностную схему

т

к=1

у.

1г

+ У

V1 Ь

+Ф,

Уо=Уи=0 , у(х,0)=^(1) . (30)

При условии (и)|<М , получена оценка для погрешности 2=у-и.

¡¡а'+1||с « М^ ||Фк||^ т ,

к=0

откуда следует сходимость схемы со скороью 0(3а2+т) в равномерной метрике.

3.5.Третья краевая задача.

Для уравнения (22) рассмотрим третью краевую задачу <3и

зг 1 1

<3и

I - 1с(1,х)— =е„(г)и(1 д)-^(г) , х=1, дх а

(31)

и(х,0)=и_(X)

Для решения задачи (22),(31)-(32) получена априорная оценка

•ь

Мо +«иИ2.а. * мсг)

3.б.Многомерная задача в р-мерном параллелепипеде.

В цилиндре =Я > (0,т„3,основанием которого служит р-мерный пр "о

ямоугольный параллелешшед С={х=(х.,,... ,... ,р> с гра-

ницей Г рассмотрим задачу ¡Эи

-= ьи (х.гко, '

дt Ъ

и I = 0,и(х,СЗ)=1Ц(х), (34)

г 0

р

Г- 5

VI -

с6=1 дТс1

би

^(З^)1^., ' • ■ ■ - • • ь ) .

Точки х^-фиксированные точки промежутка (0,2^)

^(х,г)>0.^0 , о^ ^ 0 , <*=1,2,...,р. В предположении,что задача (33)-(34) имеет регулярное решение, получена априорная оценка

Из оценки (35) следует устойчивость решения задачи (33)-(34) по правой части,начальным условиям, а такке единственность решения. 3.7.Локально-одномерная схема.

Как и выше,на [0,го] введём сетку и обозначим через .

т ди

Р ,и=---ь л -I (х,г),

С., п дх а а

а г ей 1

д =- +|1их,т)- я ,и(х1 ...х .т)

34 ахл Т* а ......*.....

р

У" £_,(х,-о=т,т),

01=1

•тогда

ои

У" ? д = ?и=--Ьи - Г(х,1)=0 .

I— а дХ

оС= 1

Многомерное уравнение (33) заменим цепочкой одномерных уравнений

, , , ос=1,2, — ,р,

'о;

(36)

11 (х,0)=ио(х),

(й-1)/р г

Каждое из уравнений (36) заменяется разностной схемой Ы €¿-1

- у3+~

= л^ у^/р + ф^+0</р , 0С=1,2.....р (37)

уЛ-о£/р| =0 ( у(х,0)=Д (I) ,

1 'п.с* и

Л,

+ У

и

V1

п

и

Нетрудно показать,что схема(37)являэ?ся аддитивной схемой. Для решения разностной задачи (37) получена оценка в равномерной метрике

3 V

НУ

«с

« м

38)

У=о <*=1

р

В случае ,когда граничные условия неоднородны,т.е.

у3+с</р| = цЗ+ос/р оценка ^зз) принимает вид

1 'Ь.с*

i р

||у3+1||0«м[||ио(х)||0 + шах ||и(х,Г )||с ]Г Цф£ +ы/р«с], (39)

где ||у!|с= шах |у| , ¡|у||с = тазе |у| .

3.8. Погрешность аппроксимации.

Обозначим через г-!+а/р=и;1+с1/р1с1=1,2,... ,р,тогда для погрешности 23+с£/ришем задачу

с(

Г.З+—

и р

Ао1 + Фй+С</Р » =1'2.....Р (40)

=0 > 2(х,0)=0 ,

' -Ъ.сС

„¿+с(/р _ „¿+(с(-1 )/р

фЛ+о«/р=Л иЗ+<*/р_ ____

ос Ы гг

Можно показать,что

*оГ Ч* + '

где р

X % =0 , Ф* =0(1г^х) , 5^=0(1), (41)

ОС=1

Используя (41),из оценки (39) можно получить оценку для решения задачи (40)

То есть локально-одномерная схема сходится в равномерной метрике со скоростью 0({1г|г+т;).

3 приложении даются результаты численных экспериментов ш решению нелокальных задач методом прогонки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ МОГУТ БЫТЬ СФОРМУЛИРОВАНЫ СЛЕДУИЩМ ОБРАЗОМ :

1. Для решения первой начально-краевой задачи уравнения параболического типа с линейным нелокальным источником получена априорная опенка , откуда следует единственность решения задачи и сходимость метода Ротэ.

2. Построены разностные схемы для уравнения с нелокальным источником , получен дискретный аналог априорной оценки,откуда следует устойчивость и сходимость разностной схемы в норме близкой к сеточной норме й'2 . На основе принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике.

3. Результаты, полученные в пунктах 1, 2 перенесены и на краевые условия третьего рода, здесь же построена схема повышенного порядка точности. Отдельно изучен случай нелинейного нелокального источника.

4. Исследование краевые задачи для нагруженных (с нелокальным по пространственным координатам ) дифференциальных уравнений параболического типа. Для решения таких уравнений также получены априорные оценки, исследованы разностные схемы и схемы Ротэ.

5. Результаты,полученные в пунктах 1-4 перенесены на многомерный случай,построены; локалъно-одаомерные схемы для эволюционных уравнений с нелокальным источником б р-мерном параллелепипеде.Даны алгоритмы решения задач.

6.Проведены численные эксперименты по решению параболических уравнений с нелокальным источником, показавшие высокую вычислительную эффективность предложенных алгоритмов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Об одной модельной задаче для уравнения теплоправодяости с нелокальным источником. Нальчик. 1996 , серия физико-математические науки ,КБГУ,Выпуск 1, 275с. (в соавторстве)

2. Разностные методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности с нелокальным нелинейным источником . Нальчик ,1996 ,твзиск докладов на XI международной конференции. Уравнения состояния вещества, с.51-52. (в соавторстве)

3. О сходимости разностных схем для нагруженных уравнений параболического типа. XXXVII(I). Региональная научная конференция молодых ученых и студентов . Математика и ее прикладные аспекты.Нальчик, 1996. с.73-74.

4. О сходимости разностных схем для нагруженных уравнений параболического типа с нелинейным источником. Сборник научных трудов. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения . Киев , 1996,с.228-230.

5. Сходимости разностных схем для популяционной модели с пространственной диффузей.Сборник научных трудов.Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.Киев,1996,с.129-130.(в соавторстве

6. Стационарные состояния нелимитированной популяции.Нальчик, 1996. Доклада международной конференции.Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, тезисы докладов ,секция 4, подсекция 4.2.Теоретическая физика и биология,с.76-77.(в соавторстве)

7. 0 сходимости метода Роте третьей краевой задачи для нагруженных уравнений параболического типа. Нальчик ,1997, серия физико-математические науки,КБГУ,выпуск 2. с.156-159. (в соавторстве)

8. Об одной математической модели с возрастной структурой , сборник научных трудов . Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и

математической физики . Киев,1997.с.130-131.(в соавторстве)

9.Биологический потенциал и выживаемость популяции. 37-я региональная научная конференция молодых ученых и студентов. Математика и ее прикладные аспекты. Нальчик.КБГУ,1996.с.39-40. (в соавторстве)

10. Локально-одномерные схемы для параболических уравнений с нелокальным источником в многомерной области,сборник научных трудов. Нелинейные проблею дифференциальных уравнений и математической физики . Киев,1997. с.173-174.(в соавторстве)