Исследование дифференциальных уравнений с подчиненными операторами и приближенные методы их решения

Виноградова, Полина Витальевна

Исследование дифференциальных уравнений с подчиненными операторами и приближенные методы их решения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Виноградова, Полина Витальевна АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Хабаровск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Исследование дифференциальных уравнений с подчиненными операторами и приближенные методы их решения»

Автореферат диссертации на тему "Исследование дифференциальных уравнений с подчиненными операторами и приближенные методы их решения"

На правах рукописи

Виноградова Полина Витальевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОДЧИНЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Хабаровск — 2011

1 2 ЯНВ 2012

005007158

Работа выполнена на кафедре высшей математики Дальневосточного государственного университета путей сообщения

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Алексеев Геннадий Валентинович,

доктор физико-математических наук, профессор

Карчевский Михаил Миронович,

доктор физико-математических наук, профессор

Красносельский Александр Маркович,

Ведущая организация: Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова.

Защита диссертации состоится 16 января 2012 г. в 11.00 час. на заседании диссертационного совета ДМ 212.056.11 при Дальневосточном федеральном университете по адресу: 690950, г. Владивосток, Октябрьская, 27, к. 343.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного федерального университета.

Автореферат разослан " 3 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Чеботарев А.Ю.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию разрешимости задачи Коши для нестационарных операторных уравнений первого порядка с подчиненными операторами в сепарабельном гильбертовом пространстве, а также разработке и обоснованию приближенных методов решения указанных уравнений на основе проекционных и сеточных методов. При специальном выборе проекционных подпространств доказаны теоремы о разрешимости аппроксимаци-онных уравнений, исследована зависимость асимптотических оценок скорости сходимости рассматриваемых приближенных методов от порядка подчинения дополнительных членов главному оператору уравнения. Предлагаемые приближенные методы позволяют провести качественный анализ решений исследуемых уравнений. Из полученных оценок погрешности следует, что построенные приближенные решения дают достаточно полное представление о поведении точного решения. Развитая в диссертации теория для абстрактных дифференциально-операторных уравнений дала возможность установить теоремы существования и получить новые оценки скорости сходимости проекционных и проекционно-разностных методов решения начально-краевых задач для линейных и квазилинейных нестационарных уравнений в цилиндре и в областях с подвижной границей. В частности, разработанная методика использована при исследовании начально-краевых задач для интегро-диф-ференциальных уравнений, описывающих движение бароклинной жидкости, уравнений тепловой конвекции, двумерной системы уравнений Бюргерса.

Актуальность темы. Одним из важных направлений современной математики является исследование операторных уравнений. Здесь мы имеем ряд обстоятельных монографий и обзоров, среди которых отметим книги Ф.Е. Браудера (1966), Ж.-Л. Лионса (1972), X. Гаевского, К. Грёгера и К. Захариа-са (1978), М.М. Вайнберга (1972), С.Г. Крейна (1967), И.О. РаИопш (1983), Е. ге1с11ег (1990), а также обзоры Ю.А. Дубинского (1990), И.В. Скрыпника (1976), Р.И. Качуровского (1968). Операторный подход позволяет исследовать довольно широкий класс уравнений. Различные виды уравнений, такие как линейные и нелинейные дифференциальные уравнения, интегральные, интег-ро-дифференциальные и функциональные уравнения можно трактовать как абстрактные операторные уравнения и применять к ним методы функционального анализа и теории операторов, которые позволяют эффективно исследовать не только вопросы существования и единственности, но и алгоритмы нахождения приближенных решений.

Начало теории дифференциально-операторных уравнений в банаховом пространстве положено в работах Э. Хилле и К. Иосида, в которых получены первые теоремы существования решения задачи Коши с автономным линейным неограниченным оператором в терминах теории полугрупп операторов. В дальнейшем Т. Като развил теорию полугрупп для установления существования решения задачи Коши с переменным линейным неограниченным оператором. Интенсивные исследования по изучению задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений проводятся Воронежской математической школой. Основные результаты этих исследований представлены в монографии С.Г. Крейна1. Слабые решения дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах изучались в работах O.A. Ладыженской, М.И. Вишика, Ж.-Л. Лионса и других авторов. Однако вопрос о разрешимости задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений в функциональных пространствах, являющихся аналогом пространств Соболева W^bm'm(Q), остается открытым.

Важными методами исследования и приближенного решения краевых задач для линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, различных задач механики и т.д. являются методы, которые принято называть проекционными и проекционно-сеточными. Эти методы восходят к известным исследованиям И.Г. Бубнова, Б.Г. Галёркина, В. Ритца, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, М.Б. Келдыша, Г.И. Петрова, Л.В. Канторовича и других авторов.

Общие положения теории проекционных методов изложены, в частности, в книгах С.Г. Михлина (1970, 1983), М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко| П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкого, В.Я. Стеценко (1969), М.А. Красносельского,' П.П. Забрейко (1975), Г.И. Марчука, В.И. Агошкова (1981), Г.М. Вайникко (1976), X. Гаевского, К. Грёгера, К. Захариуса (1978), Ж-П. Обэна (1977), Р. Варги (1974), R. Glowinski (1984), V. Thomee (2006), К. Флетчера (1988), В.В. Шайдурова (1989), М. Chen, Z. Chen, G. Chen (1997).

Для нестационарных уравнений метод Галёркина был обобщен С. Фаэдо, и в дальнейшем этот метод стал называться методом Фаэдо-Галёркина.

Как процесс доказательства существования решения, метод Фаэдо-Галёр-кина использовался в работах М.И. Вишика, O.A. Ладыженской, Ю.А. Дубин-ского и многих других авторов.

Метод Фаэдо-Галёркина как численный метод для нестационарных урав-

'Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах // М.: Наука, 1967.

нений изучался в работах Г.М. Вайникко, П.Э. Оя, П.Е. Соболевского М.А. Велиева, А.Г. Зарубина, В.Р. Кардашова, С.В. Поборчего, В.В. Смагина, и других авторов.

Для нестационарных уравнений построение дискретизации по временной переменной было начато Е. Ротэ в работе2, в которой исследования дискретизации по времени для абстрактной задачи Коши применялись к параболическим уравнениям в частных производных. Первой теоремой о сходимости конечно-разностного метода для решения линейного эволюционного уравнения в банаховом пространстве была теорема П.Д. Лакса3. Значительные результаты в этой области получены Г.И. Марчуком, В.В. Шайдуровым, A.A. Самарским, A.B. Гулиным, Р.Д, Лазаровым, В.Л. Макаровым, P.C. Варгой. Определенный вклад в развитие разностных методов решения абстрактных параболических уравнений внесли П.Е. Соболевский, Л.И. Якут, H.H. Ионкин, Ю.И. Мокин, Д.А. Исмайлов, А.Д. Ляшко, П.П. Матус, П.Н. Вабищевич и многие другие ученые.

При решении нестационарных операторных уравнений разностный метод применяется для аппроксимации решения лишь по временной переменной, а приближение по пространственным переменным часто осуществляется проекционным методом. Такую аппроксимацию называют проекционно-разност-ным методом.

Л.В. Канторович в своей широко известной работе4 указал на ряд проблем, возникающих в теории приближенных методов, а именно: установление сходимости алгоритма, исследование скорости сходимости, получение эффективных оценок погрешности. Решению этих проблем посвящено достаточно большое количество работ. Однако, несмотря на полученные многочисленные результаты, эта область исследований все еще далека от своего завершения.

2Rothe Е. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als eindimensionaler Randwertaufgaben // Math. Ann., 1930, V. 102, P. 652-670.

3Lax P.D., Richtmyer R.D. Survey of the stability of linear finite difference equations // Comm. Pure Appl. Math. 1956. V. 9, №2. C. 267-293.

4Канторович JI.В. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. 1948. Т. 3, №6. С 89-185.

5Соболевский П.Е. Об уравнениях с операторами, образующими острый угол // ДАН СССР. 1957. Т 116, №5. С. 754-757

ций выбирать собственные функции сходного оператора, независящего от времени и образующего с оператором исследуемого уравнения острый угол. Идея этой работы была использована А.Г. Зарубиным6 для исследования нестационарного операторного уравнения с подчиненными операторами, который установил оценки погрешности для разности приближенных решений и проекции точного решения на подпространства базисных функций.

Большой цикл работ посвящен различным проекционным и проекционно-разностным методам решения дифференциально-операторных уравнений первого порядка в случае произвольного базиса, например, работы Г.М. Вайник-ко, П.Э. Оя, А.Д. Ляшко, Е.М. Федотова, В.В. Смагина. В работах указанных авторов вводится понятие слабого решения, причем главный оператор A(t) уравнения порождается симметричной дифференцируемой билинейной формой, определенной в некотором банаховом пространстве V. При определенных условиях гладкости входных данных и оператора A(i), действующего из V в сопряженное пространство, получены оценки скорости сходимости приближенных решений к слабому решению.

Исследование зависимости асимптотических оценок скорости сходимости приближенных решений к точному от выбора системы базисных элементов, свойств параметров уравнения и его решения является довольно трудной задачей, которая в общем случае не решена до сих пор. Некоторые частные результаты для обыкновенных дифференциальных уравнений получены Н.М. Крыловым, А.Ю. Лучка, для стационарных операторных уравнений - Г.М. Вайникко, М.Л. Горбачуком, A.B. Джишкариани, для эволюционного уравнения второго порядка - С.Е. Железовским. В диссертации указанная задача решается в том случае, когда в качестве базиса выбираются собственные элементы самосопряженного, положительно определенного оператора, сходного с главным оператором уравнения и образующего с ним острый угол. В отличие от работ, в которых рассматривается обобщенное решение задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений, здесь возмущающий оператор может быть подчинен главному оператору уравнения с порядком, большим

63арубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ-Галёркина для операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, №11. С. 2135-2144.

уравнения в гильбертовых пространствах. Если разработаны методы решения операторных уравнений, то их можно перенести на решение указанных задач.

Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа в областях с границей, меняющейся со временем, возникают во многих задачах естествознания, например, в проблемах атомной энергетики и безопасности атомных реакторов; при изучении процесса горения в ракетных двигателях; при использовании электрических разрядов, явления электрического взрыва проводников и т.д.

Обзор аналитических методов решения начально-краевых задач для линейного уравнения нестационарной теплопроводности в некоторых областях, меняющихся во времени, приведен в работе Э.М. Карташова7. Однако, как известно, уравнения в нецилиндрических областях точно решаются лишь в редких частных случаях. Поэтому актуальной задачей является разработка и теоретическое обоснование приближенных методов решения таких задач.

Для решения указанных задач часто используют наиболее распространенный вариант метода Галёркина - метод конечных элементов. Для задач в нецилиндрических областях одним из основоположников этого метода был Ж.Т. Оден8. В большинстве работ для проекционных методов устанавливаются оценки скорости сходимости приближенных решений к слабому решению. С точки зрения обоснования метода Галёркина интерес представляет установление сходимости и получение оценок скорости сходимости в сильных нормах, на которых определен главный (эллиптический) оператор уравнения.

В связи с вышеизложенным представляются актуальными установление теорем существования и единственности сильных решений нестационарных задач первого порядка, разработка проекционных и проекционно-разностных методов, которая позволила бы конструировать и обосновывать вычислительные алгоритмы для широких классов задач с удобными главными членами и подчиненными им дополнительными членами уравнений.

В диссертации развивается единый подход к решению указанных проблем, основанный на взаимосвязи подчиненного и главного операторов уравнения, а также на дифференциальных свойствах операторов и входных данных.

Цель работы. Комплексно исследовать задачу Коши для линейных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений первого порядка с

7Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами. Изв. АН. Энергетика, 1999. №5. С. 3-34.

8Oden J.T. A general theory of finite elements II. Applications // Internat. J. Methods Engrg. V. 1. 1969. 247-259.

главным самосопряженным оператором и подчиненным ему несамосопряженным оператором в сепарабельном гильбертовом пространстве. А именно:

- доказать теоремы существования и единственности решения задачи Коши в функциональных пространствах, являющихся аналогами пространства Соболева Иг1ы'т{Я)-,

- на основе проекционных и проекционно-разностных методов построить аппроксимационные уравнения и исследовать их разрешимость;

- установить сходимость приближенных решений к точному решению в сильных нормах;

- исследовать скорость сходимости приближенных решений и их производных;

- установить зависимость асимптотических оценок погрешности от порядка подчинённости дополнительных членов главному оператору уравнения в равномерной по временной переменной топологии;

- полученные абстрактные теоремы применить к различным математическим моделям, возникающим в задачах естествознания.

Методы исследования. В диссертации используются методы линейного и нелинейного функционального анализа, теория операторов в гильбертовом пространстве, теория пространств С.Л. Соболева, проекционные и разностные методы построения приближенных решений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказаны теоремы существования и единственности сильных решений задачи Коши для абстрактных нестационарных уравнений первого порядка и для соответствующих аппроксимационных задач.

2. Для линейных и квазилинейных дифференциально-операторных уравнений первого порядка получены теоремы о сходимости приближенных решений, построенных по методу Фаэдо-Галёркина, в сильных нормах.

3. В зависимости от порядка подчинённости получены оценки скорости сходимости приближенных решений, построенных по методу Фаэдо-Галёркина, к точному решению в равномерной по времени топологии. Разработана общая методика получения оценок скорости сходимости для производных по времени и дробных степеней главного оператора.

4. Исследованы проекционно-разностные методы для линейных и квазилинейных дифференциально-операторных уравнений на основе трехслойных и двухслойных схем. Установлены оценки погрешности рассматриваемых апп-

роксимационных схем в зависимости от порядка подчинения дополнительных членов главному оператору уравнения, шага временной сетки и размерности аппроксимационных подпространств.

5. Применение установленных абстрактных теорем позволило получить новые теоремы о разрешимости начально-краевых задач для линейных и нелинейных параболических уравнений, интегро-дифференциальных уравнений в цилиндрических и нецилиндрических областях, а также новые оценки скорости сходимости соответствующих проекционных и проекционно-разностных методов.

6. Исследованы проекционный и проекционно-разностный методы для уравнений нестационарной тепловой конвекции. Получены оценки скорости сходимости приближенных решений и их производных по времени и пространственным переменным.

7. Исследована начально-краевая задача для двумерных уравнений Бюргер-са в нецилиндрической области. Доказана теорема об однозначной разрешимости в пространстве Гёльдера. Для метода Ротэ установлены оценки скорости сходимости приближенных решений и их градиентов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии теории дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Кроме того, результаты работы могут иметь применения при исследовании широкого класса линейных и квазилинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных.

Всероссийской Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы "(Воронеж, 2007). на четвертой Всероссийской научной конференции с международным участие "Математическое моделирование и краевые задачи "(Самара, 2007), на Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 2007), на международной конференции "Fifth International Conference of Applied Mathematics and Computing"(Plovdiv, Bulgaria, 2008), на 3-й Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования "(Воронеж, 2009), на всероссийской конференции, приуроченной к 80-летию академика С.К. Годунова "Математика в приложениях"(Новосибирск, 2009), на международной конференции "International Conference of Mathematical Sciences"(Istanbul, Turkey, 2009), на 17 международной конференции "Математика. Компьютер. Образование"(Дубна, 2010), на семинаре ВЦ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН Смаги-на С.И., на семинаре под руководством чл.-корр. РАН Дубинина В.Н. в ИПМ ДВО РАН, на семинаре под руководством профессора Демиденко Г.В. в ИМ СО РАН, на семинаре по дифференциальным уравнениям в ТОГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 44 работы, из них 10 - в российских журналах, рекомендованных ВАК, 4 - в зарубежных журналах, рекомендованных ВАК. Список основных публикаций приведен в конце автореферата. Часть работ выполнена в соавторстве. В работе [2] автору принадлежат лемма 1.2, теорема 2.2, в работе [6] - теорема 1 и результаты третьего параграфа, в работе [12] - лемма 2, теорема 1 и результаты четвертого параграфа, в работе [13] - результаты первого параграфа, в работе [14] -теоремы 3.1, 3.2, в работе [27] - теоремы 2.1, 2.2, 2.3, вклад автора в работах [5], [15], [22], [35], [38] одинаков с вкладом соавтора.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 268 страницах, состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы из 228 наименований.

Содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, дана общая характеристика работы, обоснована актуальность темы исследований, указаны цель работы и новизна полученных результатов, представлено краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава диссертации посвящена установлению теорем существования и единственности решения задачи Коши для дифференциально-оператор-

ного уравнения в сепарабельном гильбертовом пространстве, а также исследованию проекционных методов решения указанной задачи. Данная глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе содержатся вспомогательные утверждения, доказывается теорема об обратимости несамосопряженного дифференциального оператора, на основании которой устанавливаются существование и единственность сильного решения задачи Коши для линейных дифференциально-операторных уравнений, исследуется метод Фаэ-до-Галёркина для указанной задачи.

Пусть Н\ - сепарабельное гильбертово пространство, плотно и компактно вложенное в сепарабельное гильбертово пространство Н с нормой || • || и скалярным произведением (•,•). В Н рассматривается следующая задача Коши

«'(*) + Л(*)и(*) + #(<)«(*) = А(*), и(0) = 0. (1)

Операторы Л(<), К{€) и функции и(€), А(4) определены на [0, Т]. Предполагается, что операторы и К{£) удовлетворяют следующим условиям:

1) А{£) - самосопряженный оператор в Я с областью определения £>(А(г)) = Н\\ оператор А(Ь) является положительно определенным;

2) оператор А(<) сильно непрерывно дифференцируем на [0, Т] и существует число /3 >0 такое, что для любого у Е #1 выполняется неравенство

3) оператор К(£) подчинен оператору А( 0) с порядком а, т.е. В [К (г)) э £>(А(0)) и для любого элемента V из Н\ существует положительная постоянная с, не зависящая от t и V, такая, что

||адг/|| < сЦЛ^Щг;!!1-, 0 < а < 1; (2)

оператор К(€) сильно непрерывно дифференцируем на [0,Т];

4) В - произвольный оператор, сходный с оператором А(0);

5) Для любого элемента V из Н\ существует положительная постоянная тп, не зависящая от Ь и V, такая, что

(А(г)у,Вь) > т||Л(0)«||||Вг>||.

Норму в пространстве 1г(0,Т; Н) обозначим через || • ||0,2. Норма в пространстве И^Я, #1) определяется равенством

т х

1М1у = (/(И*)||ЧИо)и(0||а)л)1.

Обозначим через (H,Hi) подпространство функций u(t) е W£(H,Hi), удовлетворяющих условию ы(0) = 0.

Решением задачи (1) назовем функцию u(t) из W\ (Н, Hi), которая удовлетворяет почти при всех t уравнению из (1).

Пусть {ei| ег- G Щ}^ - полная ортонормированная в Я система собственных элементов оператора В, Ai, Аг, ..., Ап,... - соответствующие собственные числа, такие, что 0 < Ai < Аг < ... < А„ < ..., и Хп +оо при п —» оо.

Как известно, оператор Л(0) также имеет полную ортогональную систему собственных элементов. Однако исследуемые в диссертации проекционные и проекционно-разностные методы строятся по собственным элементам сходного оператора В. Это обусловлено тем, что во многих случаях оператор В имеет более простую структуру, которая позволяет выписать собственные элементы в явном виде.

Пусть Рп - ортопроектор в Я на линейную оболочку Я" элементов ei, е2, ..., еп.

Приближенное решение по методу Фаэдо-Галёркина для задачи (1) ищем в виде суммы

un(t) =

»=1

где неизвестные функции а<(*) (г = 1,2, ...,п) являются решением задачи Коши

u'n(t) + PnA(t)un(t) + PnK(t)un(t) = Pnh(t), u„(0) = 0. (3)

Через С будем обозначать различные положительные постоянные, независящие от п at.

Основными результатами первого параграфа являются следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть h(t) £ L2(0,T; Я) и операторы A(t), K(t) удовлет-

воряютп условиям 1)-3). Тогда задача (1) имеет решение u(t) из W\ (Я, Нх) и оно единственно.

Теорема 2. Пусть h(t) е L2(Q,T; Я), операторы A(t), K(t) удовлетворяют условиям 1)-5). Тогда существует такое число щ > 0, что для всехп >

щ задача (3) имеет решение un(t) и оно единственно. Верны соотношения: snpT IMi) - «(¿)|| < CA* |H*(i)K(f) - «(t))||w < CA* lim ||u„(i) - u(i)||i 2 = 0.

»lUiVi " 4 ' 4 ' " '

Теорема 3. Пусть h(t) G Сг([0, T]; if), h(0) = 0, оператор А не зависит от t, операторы А и K(t) удовлетворяют условиям 1), 3)-5), оператор K'(t) подчинен оператору А с порядком 7, 0 < а < у < 1. Тогда справедливы оценки

sup ik(í)-u'(í)||<ca£^,

0 <t<T

/2=1 J

Л+1'.. 0 < I* ^ V

................ , (l-yKa-l)

0 <t<T l\ 2 1 ^ ^ 1

лп+1 I 2 ß < i.

Bo втором параграфе исследуется задача Коши (1) при дополнительном условии положительности оператора K(t). Это условие позволяет получить оценки скорости сходимости приближенных решений к точному решению без учета порядка подчинения оператора K(t) главному оператору уравнения.

Теорема 4. Пусть h(t) <£ Ь2(0,Т;Н), выполнены условия 1), 2), 4), 5), неравенства (2) и (K(t)z,z) > 0, Vz € Яь Тогда при всех п задача (3)

имеет решение un(t) из (Я, Hi) и оно единственно.

Приближённые решения u„(t) равномерно ограничены по норме пространства W\(Н, Hi) и верны оценки

вир IM*) - U(t)|| < CX~lv ||Ai(i)(«n(i) - u(t))||0i2 < CX'X

Теорема 3 доказана при предположении, что оператор A(t) не зависит от t. Положительность подчиненного оператора дает возможность снять указанное ограничение.

Теорема 5. Пусть h(t) € Crl([0, Т]; if), h{0) = 0, выполнены условия 1)-5) и неравенство (K(t)z,z) > 0; оператор K'(t) подчинен оператору А(0) с порядком 0 < /? < 1; существует положительная постоянная mh

независящая отЪ и х, такая, что для любого г £ Н\ имеет место неравенство:

<77^1^. (4)

Тогда для решений задач (1) и (3) верны соотношения:

2=1 2

'П+11

sup ||<(i) - «'(t)|| < sup - u{t))\\ < cx~

0<t<T 0<t<T

где 0 < j < 1, a\ = min ||.

В третьем параграфе исследуется задача Коши для нестационарного уравнения с нелинейным монотонным оператором F(-) :

u'{t)+A{t)u{t)+F{u{t)) = h{t), u(0) = 0. (5)

В данном параграфе предполагается, что оператор F(-) удовлетворяет условиям:

6а) F(-) - нелинейный оператор, подчиненный оператору А(0) с порядком ао, т.е. для любого элемента v из Hi выполнено неравенство

№)|| < ||л(0М|Х|М|),

где постоянная 0 < «о < 1 не зависит от v, ip(£) - непрерывная положительная функция на [0, оо);

7а) оператор F(-) является монотонным, т.е. для любых и, v из Н\ выполнено неравенство

(F(u) -F(v),u-v) > 0;

оператор F(-), действующий из Hi) в L2(0, Т; #), вполне непрерывен.

Проекционная задача для (5) имеет вид:

<(«) + P„A{t)un{t) + PnF(un{t)) = Pnh(t), ип{0) = 0. (6)

Для задач (5) и (6) установлены следующие теоремы об однозначной разрешимости.

Теорема 6. Пусть h(t) € ¿г(0,Т;Я) и операторы A{t), F{:) удовлетворяют условиям 1), 2), 6а), 7а). Тогда задача (5) имеет решение u(t) из

W\ (Н, Hi) и оно единственно.

Теорема 7. Пусть h(t) € L2(0,T;H) и операторы A(t), F(-) удовлетворяют условиям 1), 2), 4), 5), 6а), 7а). Тогда при любом п задача (6)

имеет решение un(t) из W2 (Н,Н{) и оно единственно, причем решения un(t) равномерно ограничены по норме пространства Н\).

Для решений, построенных по методу Фаэдо-Галёркина, в случае монотонного оператора, установлены следующие результаты о сходимости.

Теорема 8. Пусть функция h(t) б L2(0,T; H), операторы A(t), F(-) удовлетворяют условиям 1), 2), 4), 5), 6а), 7а). Тогда верны оценки

sup ||ti„(i) - «(t)[| < C7A^lf

0 <t<T

IIAHt)(un(t) - u(i))||o,a < C\~lv

Если для любых zij Z2 GW2 (H, H\) имеет место неравенство

|№) - F(z2)Ho,2 < Ы1ЫЬ,2, ||22||l,2)||A(0)(z1 - Z2)||o;2|kl - z2\\lf, где 0 < < 1, () - непрерывная положительная функция на И2+, то

lim ||un(i) — u(i)||i 2 = 0.

n-+oo

При предположении, что оператор F(-) дифференцируем по Фреше, получены оценки скорости сходимости для производных решений, а также для дробных степеней оператора A(t), представленные в теореме.

Теорема 9. Пусть функция h{t) 6 С1([0,Г]; ft(0) = 0, выполнены условия 1), 2), 4), 5), 6а), 7а) и неравенство (4), а также для любых v € Яь wi, z, zi, z2 G W\(H, Hi), имеют место неравенства

lin^^Hvidklli^PioxniHI1-9,

\\F'(z1)w1-f'(z2)w1\\o,2<

< ^(|Hll,2, IHIl.2)

jt + A(t))(Zl-Z2)

a 0,2

где 0 < в < 1, О < а < 1, v?i(C) ~ непрерывная положительная функция на [О, оо), (/'г(Ci *?) ~ непрерывная положительная функция на R\. Тогда для решений задач (5) и (6) справедливы оценки

sup IK(i) - u'(i)|| < сад, sup IIA"(t)(un(t) - u(t))|| < 0 f^t^T 0 ^t^-T

где 0 < v < 1, ax = min i} .

Четвертый параграф посвящен исследованию задачи Коши с нелинейным немонотонным оператором F(-):

u'{t) + A(t)u(t) + F(u(t)) = h(t), u(0) = 0. (7)

Предполагается, что оператор F(-) удовлетворяет условию:

6b) F(-) - нелинейный оператор, подчиненный оператору Л(0) с порядком 0 < о0 < 1, т.е. для любого элемента v из Н\ и любого t из [0, Т] выполнено неравенство

иади < p(0)vrv(lbll2),

гДе <рЮ ~ непрерывная положительная функция на [0, оо); оператор F(-), действующий из W%(H,Hi) в Ь2{0,Т;Н), вполне непрерывен.

Рассмотрим соответствующую проекционную задачу, построенную по методу Фаэдо-Галеркина:

u'n(t) + PnA(t)un(t) + PnF{un(t)) = Pnh(t), un(0) = 0. (8)

Множество решений задачи (7) обозначим через M, а множество решений задачи (8) при каждом п - через Мп.

При h(t) £ L2{Q,T] H) и выполнии условий 1), 2) и 6Ь) показано, что множество M не пусто и ограничено по норме пространства Н{).

Аналогичное утверждение доказано для множества Мп, а именно, если h(t) е ¿2(0, Г; Н) и выполнены условия 1), 2), 4), 5), 6Ь), то множество Мп не пусто при каждом п и равномерно ограничено по норме пространства И^Я.Яа).

Для множеств M и Мп установлено следующее утверждение.

Теорема 10. Пусть h(t) € L2(0,T;H) и выполнены условия 1), 2), 4), 5), 6Ь). Тогда из любой последовательности tt„(i) £ Л4п можно выделить сходящуюся в Wj(H,Hi) подпоследовательность, предельный элемент которой принадлежит множеству М..

При условии, что оператор F(-) имеет производную Фреше, которая подчинена основному оператору, устанавливаются оценки скорости сходимости приближенных решений, представленные в следующей теореме.

Теорема 11. Пусть h(t) € L2(Q,T-,H), выполнены условия 1), 2), 4), 5), 6Ь) и для любых z е W2(H, Hi), v е Нг справедливо неравенство

|Щ*Н| < тОИЫИОИПМГЛ 0 < а < 1,

где у(£) - положительная непрерывная функция при £ € [0;оо). Пусть существует число 0 < ß < 1, такое, что для любой последовательности un(t) € Мп, сходящейся к u(t) в пространстве W2(H, Hi), имеет место равенство

lim 1Нц(*)>цп(*)-ц(*))Цо,2 = 0 Тогда существует число щ > 0 такое, что для всех п > щ верны оценки

QfPT IM*) - «(i)|| < CXZi, | \As(t)(un(t) - U(i))||0>2 < CX^1,

где w(u, h) - остаток дифференциала Фреше оператора F(-), 0 < s < 1.

Если оператор оператор A(t) не зависит от t, то удается получить оценки для дробных степеней оператора А в равномерной по t метрике, а также оценки для производных решения.

Теорема 12. Пусть h(t) € Сх([0, Г]; Я), Л(0) = 0, выполнены условия теоремы 11 и для любых zb z2, iuj 6 W%{H,H{) имеет место неравенство

- •Р'ЫилЦо.г <

Ti(lkil|i;2, IHM

d_ dt

+ a\z1-z2) 9 \\zi-z2\\$\\wi\\h2, / 0,2

где 7i(£, rj) - положительная непрерывная функция на R\, 0 < в < 1. Тогда справедливы оценки

(g-lHI-fl] (а—1)(1—1Л

sup ||<(i) - u'(i)H < CAn+1* , sup IIA'(un(t) - u(i))|| < CA^T-1, 0 <KT о <t<T

где 0 < v < 1.

Вторая глава диссертационной работы посвящена построению и исследованию различных проекционнсьразностных схем для линейных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений.

В первом параграфе изучаются проекционно-разностные методы для линейных уравнений на основе трехслойных разностных схем по временной переменной. На отрезке [О, Т] введем равномерную сетку

ш = = вт, в = 0,1,... ЛГ, тЫ = Т}.

Г П 1к

Вектор штп = 1 ^п : = !■ , являющийся решением системы

I ^ «=о алгебраических уравнений:

и>®+1 — о;8-1

2r — + PnA(ts)i^ n 2 n J + PnK(tsH = Pnh(ts), = и1п = т2еи s = 1,2,..., JV — 1,

будем

называть приближенным решением линейной задачи (1), построенным по проекционно-разностному методу.

Будем предполагать, что операторы A(t) и K(t) удовлетворяют условиям 1)-5) первой главы и условию:

6с) операторы A(t) и K(t) трижды сильно непрерывно дифференцируемы на [О, Т]; производные A®(t), K®(t) определены на Hi со значениями в Н (г = 1,2,3), причем для любого z £ Hi существует число 7 > 0 такое, что

sup |И«(*)г||<7||2||Я1, sup 11^0(^1 <7||г|| о <t<T 0 <t<T

Вначале устанавливается ряд оценок для решений задачи (3).

Лемма 1. Пусть функция h(t) е С3([0,Т];Я), h(0) = 0, ft'(0) € операторы A(t), K(t), В удовлетворяют условиям 1)-5), 6с). Пусть операторы К(0) и В~ъ перестановочны или К{0) = 0 или h'{0) = 0. Тогда при каждом п задача (3) имеет решение un(t) из пространства С4([0, Т); Н) и оно единственно. Причем справедливы оценки

|K(t)|| + sup p(<K(f)|| < С,

0<t<T 0 <t<T

sup ||<(i)|| + sup ||Л(*К(*)|| < С,

0 <t<T 0<t<T

sup |K'(<)|| + sup ||A(i)<(i)|| < С. 0<t<T 0 <t<T

Далее, используя лемму 1 и результаты первой главы, устанавливаются асимптотические оценки скорости сходимости проекционно-разностных приближений к точному решению в узлах сетки.

Теорема 13. Пусть выполнены условия леммы 1 при условии подчинения оператора K(t) оператору Л(0) с порядком 0 < а < \. Тогда

sup К-^ВсГтЧА^), 0<s<N V /

sup - u(f,)|| < с (rl + r-iA^i) ,

где u(ts) - решение задачи (1) в узле ts.

При предположении, что оператор A(t) не зависит от t, получены оценки для всех дробных степеней А11 (0 < ¡х < 1), а также оценки для производной по времени.

Теорема 14. Пусть оператор A{t) не зависит от i, выполнены условия леммы 1, оператор K'(t) подчинен оператору А с порядком 0 < -у < 1, оператор K(t) подчинен оператору А с порядком 0 < а < Тогда верны оценки

sup \\А^п-и%т<с(тЧ\Х), 0<M<i

0<л<ЛГ \ / Z

sup + ^Г1 - (tl(i,+l) + «(i,-l)))|| <

l<s<iV-l

( Ч (в-1)(1-д)\ 1

sup

Ks<N-1

-£--«(*.)

(а-1)(Х-7)

<C(r + AnV

Ниже приведем результаты, касающиеся случая положительности оператора К(£).

Теорема 15. Пусть функция h(t) G С3([0,Т]; Я), h{0) = 0, Л'(0) е D(B), операторы A(t), K(t), В удовлетворяют условиям 1)~5), 6с) и выполняется неравенство (K(t)z,z) >0, Vz 6 Нь Тогда при 0 < а < \ имеют место оценки

sup К-^он^с^ + Ш,

О <s<N У /

sup - «(f.))H < с (ri + г-Цп-|Л .

0 <s<N \ /

Теорема 16. Пусть выполнены условия теоремы 15. Оператор K'(t) подчинен оператору Л(0) с порядком ß, 0 < ß < 1. Тогда при 0 < а < \ верны оценки

O^V " + Xnl) , 0 < Ц <

sup llA^i.JiwT1 + «Г1 - («(*.+1) + «(*.-i)))|| <

l<e<N-l

il _ыз-1

| 2 г 4 n+i/'

где 7x = min

Очевидно, что при а = 0 оценки теорем 13 и 14 практически совпадают с соответствующими оценками теорем 15 и 16. Однако при а ф 0 оценки теорем 15 и 16 болеее сильные в смысле скорости сходимости к нулю.

Для линейной задачи Коши (1) в случае неотрицательности оператора K(t) исследованы и другие трехслойные проекционно-разностные схемы, для которых доказаны теоремы, подобные теоремам 15 и 16 при условии подчинения оператора K(t) оператору Л(0) порядка 0 < а < 1.

Во втором параграфе рассматривается проекционно-разностный метод для линейной задачи Коши (1) на основе двухслойной схемы типа Кранка-Никол-сон:

ш° = 0, з = 0,1,...,Ы-1, (Ю)

где = + 0.5г.

Г п 1 ^

Вектор = < и>* : = ]Г?=1 а-е^ [ назовем приближенным решением

задачи (1), построенным по проекционно-разностному методу (9)-(10). В следующих двух теоремах приведены оценки для решений задач (1) и (9)—(10).

Теорема 17. Пусть 0 < а < 1 и выполнены условия леммы 1. Тогда существует такое То > 0, что для всех т < то верны оценки

sup IK - «(Oil < с (т3 + A^i) ,

<s<N \ /

sup ||A§(is)K - «&))|| < С (ri + т-h^) . 0 <s<N V J

Теорема 18. Пусть оператор A(t) не зависит от t, 0 < а < 1, выполнены условия леммы 1 и неравенство

||*Г'(Ф|| < C\\A{Q)zf\\z\\^, 0 <«</?< l,Vz € Их- (И) Тогда существует такое т0 > 0, что для всех т < т0 верны оценки

sup Ц^К-^НС^ + ЛЙ), 0 < /i < i

0<3<N V / 2

sup + + 1<м<1,

Ks<JV У у 2

0<s<JV

(a-D(i-g)

sup

0<i</V

n «'n „.IU \ ----U (ia)

<c-(r + An+1>

Оценки теорем 17 и 18 установлены при шаге т меньшем некоторого г0 > 0. При положительности оператора К(¿) подобные оценки имеют место при любом г.

Теорема 19. Пусть функция h(t) 6 С3([0,Г];Я), А(0) = О, Л'(0) G D(B), операторы A(t), K(t), В удовлетворяют условиям 1)-5), 6с) и выполняется неравенство (K(t)z, z) >0, Vz € Н\. Тогда при 0 < а < 1 верны оценки

sup |K-«(î.)||<C7(t2 + A^1),

<s<N v TV

sup - «(f.))|l <с(т1 + г.

<s<N V /

0<3<N

Если выполнено неравенство (11), то

sup ||Л"(<.Ж - «(i,))|| <с(т2 + ф , 0 < „ < I,

О <s<N V / 1

sup |И"(дК+1 +<- (u(wi) + ti(t.)))|| < С (r2-t + АЙ) , I < /X < 1,

0<s<N \ ) 2

11 U_л>*

где 72 = min ||.

В третьем и четвертом параграфах исследуются проекционно-разностные методы для квазилинейных уравнений с монотонным оператором.

Предполагается, что операторы А(£) и F(-) уравнения (5) удовлетворяют условиям 1), 2), 4), 5), 6а), 7а) и условию:

6d) оператор A(t) дважды сильно непрерывно дифференцируем на [0, Т]; производные .¿W(t) определены на Н\ со значениями в Н (i = 1,2), причем для любого z € #i существует число 7 > 0 такое, что

sup ||A«(i)z||<7||z||Hl;

0<f<T

нелинейный оператор .Р(-) дважды дифференцируем.

В третьем параграфе для задачи (5) рассматривается проекционно-раз-ностный метод:

ut+1 - wf

" г " + РпАЫы?1 + PnF«+1) = Pnh(ts), (12)

= s = 0,1,... — 1. (13)

Для решений задач (5) и (12)-(13) установлены оценки, представленные в

следующей теореме.

Теорема 20. Пусть Л(4) е С2([0,Т];Н), Л(0) = 0, выполнены условия 1), 2), 4), 5), 6а), 6<1), 7а) и для любых г, г\, гч из П Нп верны неравенства

\\П*Ы < И^хГ'рхН^^СН^^гН), (14)

\\Р"{г\г1)г2\\ < ¡{АЩ^ЫРЫ; ИМ), (15)

где (р:(() — положительная непрерывная неубывающая функция, <Р2(£,т{) — положительная непрерывная функция, переводящая ограниченное множество из Л2 в ограниченное множество, 0 < ах < 1, 0 < 7 < 1. Тогда верны оценки

™р, К-(*.)11 < с (т+Л^х) , < С (г2 + \-1+1).

----3=1

В четвертом параграфе рассматривается случай, когда оператор допускает линеаризацию. При дополнительных условиях на оператор линеаризации Ф(г, •) исследуется сходимость линеаризованной проекционно-разностной схемы. Предполагается, что оператор Ф(г, •) : Ях хЯх Я, обладает следующими свойствами:

a) (Ф(г, и), и) > 0 при любых г, V 6 Ях;

b) оператор Ф(г, •) является линейным по второму аргументу;

c) Ф(и, и) = Р(и) при любом и 6 Ях;

а) цф(*,«)|| < ЫР^ПИоИПМ!1-", где - непрерывная положительная функция на [0; оо), г,и£ Н\, 0 < а < 1.

Приближенные решения задачи (5) определяются уравнениями:

3+1 5

+ РпА^Уп+1 + Р„Ф«, V?1) = РМи), «° = 0,

»¡ей", а = о,1,...,лг-1.

Вначале устанавливается однозначная разрешимость задачи (5) в Щ1 (Я, Ях) при условии подчинения:

№)|| < ^(ИМ^ИОМНИ!1-0 V* € Яь (16)

где у>з(£) ~ непрерывная положительная функция на [0, оо), 0 < а < 1.

Пусть оператор •) представим в виде Ф(-г, •) = Ф^г, •) + где

К\(Ь) - линейный оператор, для которого выполнены условия:

(щф, v) > 0, < <7||Л(0)«Г И«!!1"0,

оператор Ф^я, •) на элементах г &Нъь € Яг удовлетворяет неравенству:

ИФгМН < ЫН^Ж^ИЖОИНМ!1-«,

где <Р4(0 - непрерывная положительная функция на [0; оо) и оператор Ф\(г, г) является монотонным.

При указанных предположениях относительно оператора Ф(г, •) доказана следующая теорема.

Теорема 21. Пусть £ С2([0,Т];Я), А(0) = 0, выполнены неравенства (14), (15), (16) и неравенство

ИФ^ъ v) - ф1(г2, и)|| < ^5(11^(0)^11, ||^(0)г2||, МяЛ^ -

где фь^^^щ) ~ непрерывная положительная функция. Тогда верны оценки

К-«(«.)Н < С (т + , г Е11^ («.)(<-»(«.))II2 < С (г2 + Ап-|0 .

----з=1

В третьей главе абстрактные теоремы, полученные для операторных уравнений, применяются к исследованию начально-краевых задач для нестационарных уравнений в частных производных в цилиндрических областях.

В первом параграфе приведены основные функциональные пространства, в которых начально-краевые задачи трактуются как задачи Коши для абстрактных нестационарных уравнений, исследованных в первой и второй главах.

Во втором параграфе рассмотрены примеры начально-краевых задач для линейных параболических уравнений второго порядка, а также для уравнений высших порядков и интегро-дифференциальных уравнений в цилиндре £?. Установлены теоремы о разрешимости в пространстве УУ1т'1(0), найдены оценки погрешности проекционных и проекционно-разностных методов для решений, их производных по времени и по пространственным переменным.

В третьем параграфе представлены примеры начально-краевых задач для нелинейных параболических уравнений с монотонными и немонотонными операторами, которые подчинены основному оператору уравнения с определенным порядком роста.

В четвертом параграфе исследована задача тепловой конвекции в цилиндре. Пусть О, - ограниченная область в R2 с достаточно гладкой границей д£1; Q = Q х (О, Т), где Т < оо. Боковую поверхность Q обозначим через S. Начально-краевая задача для уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска имеет вид:

ди

+ р^Чр + (и • V)u - д)Зк3в = /, (х, t) 6 Q, (17) , дв

— - кАв + и ■ V0 = <р, (x,t) е Q, (18)

divu = 0, (x,t) G Q, (19)

и(х, t) = 0, в{х, t) = 0, (х, t) б S, (20)

и{х, 0) = 0, в(х, 0) = 0, хеП. (21)

Здесь и - вектор скорости, в - температура, р - давление, к - коэффициент температуропроводности, р0 - постоянная плотность, отвечающая температуре в^, /3 > 0 - коэффициент теплового расширения, g - ускорение свободного падения, / - объемная плотность внешних сил, у - объемная плотность источников тепла, и - коэффициент кинематической вязкости, кз - единичный вектор, направленный вертикально вверх.

Существование и единственность решений {tt(a:, t), в(х, t)} задачи (17)-(21) из пространства ?д(<3)]2 х W^iQ) установлены в работе Зарубина А.Г.9

Пусть J (SI) - замыкание множества бесконечно дифференцируемых, финитных в Q соленоидальных векторов v(x) = (vi(x),v2(x)), по норме пространства [L2{Sl)f. Пусть Pj - ортопроектор в [Ь2(Щ2 на } (ft).

Обозначим через Рп1 ортопроектор в [L2(^)]2 на линейную оболочку первых п собственных элементов ei(x),e2(x),..., еп(х) задачи Стокса, которым соответствуют собственные числа Аь Х2,..., А„, а через Рп2 - ортопроектор в L2(Q) на линейную оболочку первых п собственных функций mi(х),..., тп(х) задачи Дирихле для оператора Лапласа, которым соответствуют собственные ЧИСЛа

sZarubin A.G. On an iterative method for approximate solution of an initial boundary value problem for the heat convection equation // Comput. Fluid Dynamics J. 1995. V. 4, №3. P. 323-332.

Аппроксимационная задача, построенная по методу Фаэдо-Галёркина имеет вид:

ди„

■-vPj&un+PnlPj((un-V)un)-gpPnlPj{k3en) = PnlPjf, (x,t)eQ, (22)

двп dt

- кАвп + Рп2(ип ■ V0n) = Pn2ip, (x,t) € Q,

(23)

un(x, 0) = 0, 9n(x, 0) = 0, xeU. (24)

При предположении, что вектор-функция f(x,t) принадлежит пространству [Z>2(Q)]2, а функция <p{x,t) - пространству L2(Q), доказана однозначная разрешимость задачи (22)-(24). Для решений задач (17)-(21) и (22)-(24) установлена сходимость в [И^22Д(<5)]2 х W22,1(Q) и получена оценка

sup lK(®)i)-«(®,t)||[£l(n)].+ sup \\en(x,t)-e{x,t)\\ыи) < с н-д^Л .

USIS* lisixJ * '

Если f(x,t) е [^([О.ПЗД)]2, f(x, 0) = 0, V{x,t) е С^Т};^)), ip(x, 0) = 0, то имеют место оценки

sup o<t<r

д(ип - и) dt

+ sup [£j( Г!)]2 0<t<T

д(вп - g) dt

L№

sup ||V(u„ - u)||[£a(n)]i + sup ||V(0„ - $)||x,2(n) < С + ¿¿Л .

Введем равномерную сетку ы = = st, s = 0,1,... N, tN = T} и для задачи (17)—(21) рассмотрим проекционно-разностную схему:

ut+l - ui

-vPjb

<+1 + <

+ PnlPj

<+1 + < <+1+<

1,«+! -L- 1,8

/ + 0s \ gPPmPj(k, " 2 nj

= eg(ar) = 0, s = 0,1,..., iV — 1, где t,+1/2 = ts + 0.5r, <(*) = а$е,(®), flj(ar) = £"=i 7>; (а;).

Теорема 22. Пусть f(x,t) е [С3([0, Г]; L2(fi))]2, f(x, 0) = = 0,

¥>(*,*) е C3([0,T];L2(fi)), = ^ = 0. Тогда существует т0 > 0

такое, что для всех г < то верны оценки

sup - 0(®, i.) 11^(0, < С (г2 + + , sup ||<(х) - u(x,fs)||[L2<n)P <с(т2 + А^ + /х^) ,

^(t + A^+M^i),

sup

<+1(дг) - и'п(х) du(x,ts) г

t ЫЩ2

sup

r at

£з(П)

— ^ (Т + + /V+l) > sup ||V«(x) - u(M,))||[Xi(n)P + sup ||V(^(®) - 0(x, f.))k(n) <

я a

Для задачи (17)—(21) также исследован линеаризованный проекционно-раз-ностный метод, для которого получены оценки, подобные оценкам теоремы 22 при любом г.

В четвертой главе исследуются начально-краевые задачи для параболических уравнений в областях с подвижной границей.

Первый параграф посвящен изучению начально-краевых задач для линейных параболических уравнений высших порядков от одной пространственной переменной в нецилиндрических областях с двумя криволинейными границами. Установлены теоремы существования и единственности сильных решений, на основании абстрактных теорем первых двух глав получены новые оценки скорости сходимости проекционно-разностных методов.

Во втором параграфе показана возможность применения абстрактных теорем к параболическим уравнениям второго порядка от двух пространственных переменных в нецилиндрических областях.

В третьем параграфе для параболического уравнения высшего порядка с монотонной нелинейностью доказана разрешимость и установлены оценки для метода Фаэдо-Галёркина в расширяющихся со временем областях. Для модельной задачи показана справедливость теорем 20 и 21.

Четвертый параграф посвящен исследованию системы уравнений Вюргер-са в области с заданным законом движения границы, а именно в области, ограниченной поверхностью х2 + у2 = Ф2(Ь) и плоскостями г = 0, £ = Т, исследуется начально-краевая задача:

и(х, у, ¿) = 0, у{х, у, <) = 0, х2 + у2 = Ф2(г), 0 < г < Т, (27)

здесь Ф(£) — дважды непрерывно дифференцируемая функция такая, что Ф(£) > г > 0 для всех I из [О,Г], Я - положительная постоянная.

Доказана теорема об однозначной разрешимости задачи (25)-(28) в пространстве Гёльдера.

Теорема 23'^Пусть функции /1(2:, у, г), /2(а:,у,1) принадлежат, пространству Яа-?(£>); Ь(х,у,0) = 0, Мх,у,0) = 0 при х2 + у2 = Ф2(0). Тогда решение задачи (25)-(28) из пространства [Я2+а,1+? (£>)]2 существует и единственно.

Для задачи (25)-(28) рассмотрен линеаризованный метод Ротэ, для которого устанавлены оценки скорости сходимости решений и их градиентов с первым порядком шага по временной переменной.

Разработанная в данном параграфе методика применима и для исследования системы уравнений Бюргерса в областях с другими законами изменения границы.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи автора в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК

1. Виноградова П.В. Об одной трехслойной схеме для параболического уравнения в области с подвижной границей // Сиб. журн. индустриальной математики. 2006. Т. 9, №2 (26). С. 12-19.

2. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Проекционно-разностный метод решения линейного дифференциально-операторного уравнения // Дифферент уравнения. 2007. Т. 43, №9. С. 1230-1237.

(25)

(26)

и(®,р,0) = 0, и(х,у,0) = 0, х2 + у2 < Ф2(0), (28)

3. Виноградова П.В. Оценки погрешности проекционно-разностного метода для линейного дифференциально-операторного уравнения // Дифферент уравнения. 2008. Т. 44, №7. С. 942-951.

4. Vinogradova P. Convergence estimates of a projection-difference method for an operator-differential equation // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. V. 231. P. 1-10.

5. Vinogradova P., Zarubin A. Projection method for Cauchy problem for an operator-differential equation // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2009. V. 30 (1-2). P. 148-167.

6. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Оценки погрешности метода Галёркина для нестационарных уравнений // Журнал выч. мат. и мат. физики. 2009. Т. 49, №9. С. 1643-1651.

7. Виноградова П.В. Оценки погрешности проекционно-разностных методов для дифференциального уравнения с дифференцируемыми операторами // Известия вузов. Математика. 2010. №7. С. 3-15.

8. Виноградова П.В. Метод Галёркина для нестационарного уравнения с монотонным оператором // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, №7. С. 955-965.

9. Vinogradova P. Convergence rate of Galerkin method for a certain class of nonlinear operator-differential equations // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2010. V. 31 (3). P. 339-365.

10. Виноградова П.В. Об одном численном методе решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения // Сиб. журн. индустриальной математики. 2010. Т. 13, №1 (41). С. 34-45.

И. Виноградова П.В. Об одном проекционно-разностном методе для параболических уравнений в области с меняющейся границей // Математические заметки ЯГУ. 2010. Т. 17. В. 2. С. 10-20.

12. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Асимптотические оценки погрешности линеаризованного проекционно-разностного метода для дифференциального уравнения с монотонным оператором // Сиб. журн. выч. математики. 2010. Т. 13, №4. С. 387-401.

13. Виноградова П.В., Зарубин А.Г., Суэтина Ю.О. Проекционный и проек-ционно-разностный методы решения уравнений Навье-Стокса // Журнал выч. мат. и мат. физики. 2011. Т. 51, №5. С. 898-912.

14. Vinogradova P., Zarubin A. A study of Galerkin method for the heat convection equations // Applied Mathematics and Computation. 2011. V 218 (2). P. 520-531.

Прочие публикации

15. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О методе Галёркина для квазилинейных параболических уравнений в нецилиндрической области // Дальневост. мат. журнал. 2002. Т. 3, №1. С. 3-17.

16. Виноградова П.В. О разрешимости двухмерных уравнений Бюргерса в пространстве Гёльдера в нецилиндрической области // Матем. заметки ЯГУ. 2002. №2. С. 20-31.

17. Виноградова П.В. Начально-краевая задача для системы уравнений Бюргерса в области с границей, зависящей от времени // Дальневосточная математическая школа-семинар им. Академика Е.В. Золотова: Тез. докл. (Владивосток, 25-31 авг. 2002г.) - Владивосток: Изд. Дальнаука, 2002 С 17-18.

18. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. К методу Галёркина для параболических уравнений в областях с меняющейся границей // Тр. междунар. конф. "Байкальские чтения II по моделированию процессов в синергети-ческих системах" (Улан-Удэ - Томск, 18-23 июля 2002г.) - Томск- Изд ТГУ, 2002. С. 38-39.

19. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О разрешимости уравнений Бюргерса в нецилиндрической области // Тр. Междунар. конф. "Современные проблемы функ. анализа и диф. уравнений "(Воронеж, 30 июня-4 июля 2003г.) - Воронеж: Изд. ВГУ, 2003. С. 25-26.

20. Виноградова П.В. О положительности решения начально-краевой задачи для уравнений Бюргерса в нецилиндрической области // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тез. докл. (Владивосток, 31 авг. - 6 сент. 2003 г.) - Владивосток: Изд. Даль-наука, 2003. С. 24-25.

21. Виноградова П.В. Численная реализация метода Галёркина для параболических уравнений в областях, зависящих от времени // Межвуз. сборник науч. трудов: "Матем. моделирование и смежные вопросы математики". Хабаровск: Изд. ХГПУ, 2003. С. 4-9.

22. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ для параболического уравнения в нецилиндрической области // Дальневост. матем. журнал. 2004. Т. 5, №1. С. 5-11.

23. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О методе Ротэ для линейных параболических уравнений в нецилиндрической области // Тезисы докладов 4-й международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 27-31 июля 2004г.) - Якутск: НИИ математики при ЯГУ, 2004. С.18-19.

24. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Метод Ротэ для квазилинейной системы Бюргерса в области с подвижной границей // "Современные методы теории функций и смежные проблемы": Материалы Всероссийской Воронежской зимней математической школы (27 янв.-2 февр. 2005 г.) -Воронеж: Изд. ВГУ, 2005. С. 57-58.

25. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Метод Ротэ для параболических уравнений высших порядков в области с подвижной границей //30 Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тез. докл. (21-27 авг. 2005 г.) Хабаровск: Изд. ДВГУПС, 2005. С. 6465.

26. Виноградова П.В. Численное решение начально-краевых задач для параболических уравнений в области с подвижной границей // Материалы 6-й Всероссийской научно-технической конференции "Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий" (Улан-Удэ 21-31 июля 2005 г.) - Улан-Удэ: Изд. ВСГТУ, 2005. С. 31-35.

27. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ для системы уравнений Бюргерса в нецилиндрической области // Известия вузов. Математика. 2006. №4 (527). С. 12-19.

28. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Численное моделирование процессов, описываемых параболическими уравнениями в областях с меняющейся

границей // Материалы 7-й Всероссийской научно-технической конференции "Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий" (Улан-Удэ 24-30 июля 2006 г.) - Улан-Удэ: Изд. ВСГТУ, 2006. С. 43-45.

29. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Приближенный метод решения задачи о ветровых циркуляциях в баротропном океане // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тез. докл. (Владивосток, 3 - 9 сент. 2006 г.) - Владивосток: Изд. Дальнаука, 2006. С. 40 -41.

30. Виноградова П.В. Проекционно-разностный метод для параболических уравнений в нецилиндрической области // "Современные методы теории функций и смежные проблемы": Материалы Всероссийской Воронежской зимней математической школы Воронеж: Изд. ВГУ, 2007. С. 48-49.

31. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Оценка погрешности проекционно-раз-ностного метода для линейного дифференциально-операторного уравнения // "Математическое моделирование и краевые задачи": Труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием, (Самара, 29 - 31 мая 2007 г.) - Самара: Изд. СГТУ, 2007. Ч. 3. С 53-55.

32. Виноградова П.В. Об одном приближенном методе решения начально-краевой задачи для параболических уравнений в нецилиндрической области // Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск 18-20 июня 2007 г.). С. 17.

33. Виноградова П.В. О сходимости разностной схемы для модельной задачи течения жидкости с учетом придонного трения // "Инновационные технологии транспорту и промышленности": Труды 45-ой Международной научно-практической конференции ученых транспортных вузов, инженерных работников и представителей академической науки (Хабаровск 7-9 ноября 2007 г.) - Хабаровск: Изд. ДВГУПС, 2007. С. 49-52.

34. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Проекционно-разностный метод для дифференциального уравнения с дифференцируемыми операторами // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тез. докл. (Владивосток, 29 авг. - 4 сент. 2007 г.) - Владивосток: Изд. Дальнаука, 2007. С. 10-11.

35. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Об одном комбинированном методе приближенного решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения // Вестник ТОГУ. 2007. №4 (7). С. 49-60.

36. Vinogradova P., Zarubin A. On the projection-difference method for a operator-differential equation // Fifth International Conference of Applied Mathematics and Computing (Plovdiv, Bulgaria, August 12-18, 2008). P. 480-481.

37. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О методе Галёкина для дифференциально-операторного уравнения // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тез. докл. (Владивосток, 29 авг. - 4 сент. 2008 г.) - Владивосток: Изд. Дальнаука, 2008. С. 117-118.

38. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Метод Фаэдо-Галёркина для параболического уравнения с монотонным оператором // Вестник ТОГУ. 2008. № (И). С. 37-47.

39. Виноградова П.В. О сходимости проекционно-разностного метода на основе схемы Кранка-Николсон для нестационарного уравнения // "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования": Материалы 3 Международной научной конференции (Воронеж, 2-7 февраля 2009 г.) - Воронеж: Изд.: Научная книга, 2009. Ч. 1. С. 5-6.

40. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Комбинированный метод решения операторного уравнения на основе двухслойной схемы // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Тез. докл. (Хабаровск, 25-30 июня 2009 г.) - Хабаровск: Изд. ТОГУ, 2009. С. 72.

41. Виноградова П.В. Оценки скорости сходимости метода Галёркина для квазилинейного дифференциально-операторного уравнения // Всероссийская конференция, приуроченная к 80-летию ак. С.К. Годунова Тез. докл. (Новосибирск, 20 - 24 июля 2009 г.) -Новосибирск: Изд. Инст. Мат. СО РАН, 2009. С. 60-61.

42. Vinogradova P. On the Galerkin method for non-linear evolution equation // International Conference of Mathematical Sciences (Istanbul, Turkey, August 04-10, 2009). P. 329.

43. Виноградова П.В., Зарубин А.Г., Суэтина Ю.О. Об одном численном методе решения уравнений Навье-Стокса // 17 Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование", Тез. докл. (Дубна 2530 января 2010 г.) - Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2010. С. 96.

44. Виноградова П.В. О дискретизации нелинейного дифференциально-операторного уравнения с монотонным оператором //35 Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова: Сб. докл. (Электронный ресурс) (Владивосток, 31 авг. - 5 сент. 2010 г.) - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2010. С. 198-202.

ВИНОГРАДОВА Полина Витальевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОДЧИНЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 31.10.2011. Формат 60х84'/16. Гарнитура «Times New Roman». Уч.-изд. л. 2,1. Усл. печ. л. 2,0. Зак. 324. Тираж 120 экз.

Издательство ДВГУПС 680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Виноградова, Полина Витальевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Проекционные методы решения задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений

§1. Метод Фаэдо-Галёркина для линейных нестационарных уравнений.

§2. Метод Фаэдо-Галёркина для линейных уравнений в случае положительности подчиненного оператора.

§3. Метод Фаэдо-Галёркина для квазилинейных уравнений с монотонным оператором.

§4. Метод Фаэдо-Галёркина для квазилинейных уравнений с немонотонным оператором.

ГЛАВА 2. Проекционно-разностные методы для дифференциальноно-операторных уравнений.

§1. Проекционно-разностный метод для линейных уравнений на основе трехслойных разностных схем.

§2. Проекционно-разностный метод для линейных уравнений на основе схемы Кранка-Николсон.

§3. Проекционно-разностный метод для уравнений с монотонным оператором на основе двухслойной разностной схемы.

§4. Линеаризованный проекционно-разностный метод для уравнений с монотонным оператором.

Введение диссертация по математике, на тему "Исследование дифференциальных уравнений с подчиненными операторами и приближенные методы их решения"

Диссертация посвящена исследованию разрешимости задачи Коши для нестационарных операторных уравнений первого порядка с подчиненными операторами в сепарабельном гильбертовом пространстве, а также разработке и обоснованию приближенных методов решения указанных уравнений на основе проекционных и сеточных методов. При специальном выборе проекционных подпространств доказаны теоремы о разрешимости аппроксимаци-онных уравнений, исследована зависимость асимптотических оценок скорости сходимости рассматриваемых приближенных методов от порядка подчинения дополнительных членов главному оператору уравнения в равномерной по временной переменной топологии. Предлагаемые приближенные методы позволяют провести качественный анализ решений исследуемых уравнений. Из полученных оценок погрешности следует, что построенные приближенные решения дают достаточно полное представление о поведении точного решения. Развитая в диссертации теория для абстрактных дифференциально-операторных уравнений дала возможность установить теоремы существования и получить новые оценки скорости сходимости проекционных и проекционно-раз-ностных методов решения начально-краевых задач для линейных и квазилинейных нестационарных уравнений в цилиндре и в областях с подвижной границей. В частности, разработанная методика использована при исследовании начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений, описывающих движение бароклинной жидкости, уравнений тепловой конвекции, двумерной системы уравнений Бюргерса.

Актуальность темы. Одним из важных направлений современной математики является исследование операторных уравнений. Здесь мы имеем ряд обстоятельных монографий и обзоров, среди которых отметим книги Ф.Е. Браудера [146], Ж.-Л. Лионса [77], X. Гаевского, К. Грёгера и К. Захариаса [25], М.М. Вайнберга [13], С.Г. Крейна [68], Н.О. Районы [156], Е. ге1(11ег [184], а также обзоры Ю.А. Дубинского [38], [39], И.В. Скрыпника [112], Р.И. Качуровского [58]. Операторный подход позволяет исследовать довольно широкий класс уравнений. Различные виды уравнений, такие как линейные и нелинейные дифференциальные уравнения, интегральные, интегро-диффе-ренциальные и функциональные уравнения можно трактовать как абстрактные операторные уравнения и применять к ним методы функционального анализа и теории операторов, которые позволяют эффективно исследовать не только вопросы существования и единственности, но и алгоритмы нахождения приближенных решений.

Начало теории дифференциально-операторных уравнений в банаховом пространстве положено в работах Э. Хилле и К. Иосида, в которых получены первые теоремы существования решения задачи Коши с автономным линейным неограниченным оператором в терминах теории полугрупп операторов. В дальнейшем Т. Като развил теорию полугрупп для установления существования решения задачи Коши с переменным линейным неограниченным оператором. Интенсивные исследования по изучению задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений проводятся Воронежской математической школой. Основные результаты этих исследований представлены в монографии С.Г. Крейна [68]. Слабые решения дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах изучались в работах O.A. Ладыженской [73], [74], М.И. Вишика [23], Ж.-Л. Лионса [77] и других авторов. Однако вопрос о разрешимости задачи Коши для линейных и квазилинейных дифференциально-операторных уравнений в функциональных пространствах, являющихся аналогом пространств Соболева остается открытым.

Важными методами исследования и приближенного решения краевых задач для линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, различных задач механики и т.д. являются методы, которые принято называть проекционными и проекционно-сеточными. Эти методы восходят к известным исследованиям И.Г. Бубнова [10], Б.Г. Галёркина [26], В. Ритца [175], H.H. Боголюбова [8], Н.М. Крылова [71], М.Б. Келдыша [59], Г.И. Петрова [98], [99], Л.В. Канторовича [53] и других авторов.

Общие положения теории проекционных методов изложены, в частности, в книгах С.Г. Михлина [91]—[93], М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкого, В.Я. Стеценко [66], М.А. Красносельского, П.П. Забрейко [67], Г.И. Марчука, В.И. Агошкова [85], Г.М. Вайникко [16], [17], X. Гаевского, К. Грёгера, К. Захариуса [25], Ж-П. Обэна [94], Р. Варги [19], R. Glowinski [161], V. Thomée [180], К. Флетчера [128], В.В. Шайдурова [131], М. Chen, Z. Chen, G. Chen [148].

Для нестационарных уравнений метод Галёркина был обобщен С. Фаэдо [155], и в дальнейшем этот метод стал называться методом Фаэдо-Галёркина.

Как процесс доказательства существования решения, метод Фаэдо-Галёр-кина использовался в работах М.И. Вишика [22], [23], М.И. Вишика и O.A. Ладыженской [21], Ю.А. Дубинского [37], [38] и многих других авторов.

Метод Фаэдо-Галёркина как численный метод для нестационарных уравнений изучался в работах Г.М. Вайникко, П.Э. Оя [18], М.А. Велиева [20], А.Г. Зарубина [43]—[44], В.Р. Кардашова [55], П.Э. Оя [95]-[97], C.B. Поборчего

102], B.B. Смагина [113]—[118], П.Е. Соболевского [120]—[122] и других работах, например, в [11], [27], [42], [163], [176].

Другим широко распространенным методом решения нестационарных уравнений является метод сеток, который интенсивно развивается в течение последних 70 лет. Это обусловлено большим числом приложений, связанных с моделированием различных физических процессов, например, в гидро- и газовой динамике, в механике деформированного твердого тела и других областях.

Построение дискретизации по временной переменной для параболических уравнений было начато Е. Ротэ в работе [177], в которой исследования дискретизации по времени для абстрактной задачи Коши применялись к параболическим уравнениям в частных производных. Первой теоремой о сходимости конечно-разностного метода для решения линейного эволюционного уравнения в банаховом пространстве была теорема П.Д. Лакса [168]. Значительные результаты в этой области получены Г.И. Марчуком [84], В.В. Шайдуровым [87], A.A. Самарским, A.B. Гулиным [107], Р.Д. Лазаревым, В.Л. Макаровым [109], P.C. Варгой [181]. В указанных работах разностные схемы трактуются как операторные уравнения в гильбертовом пространстве, при этом исследования базируются на симметрических свойствах операторов. Определенный вклад в развитие разностных методов решения абстрактных параболических уравнений внесли П.Е. Соболевский [121], Л.И. Якут [133]—[135], H.H. Ионкин, Ю.И. Мокин [47], Д.А. Исмайлов [48], А.Д. Ляшко [80] и многие другие ученые.

В настоящее время существует обширная библиография (см., например, [12], [51], [89], [106], [141], [154], [166], [167]), посвященная исследованию разностных схем по временной переменной для нестационарных операторных уравнений первого порядка.

При решении нестационарных операторных уравнений разностный метод применяется для аппроксимации решения лишь по временной переменной, а приближение по пространственным переменным часто осуществляется проекционным методом. Такую аппроксимацию мы будем называть проекционно-разностным методом.

Л.В. Канторович в своей широко известной работе [53] указал на ряд проблем, возникающих в теории приближенных методов, а именно: установление сходимости алгоритма, исследование скорости сходимости, получение эффективных оценок погрешности. Решению этих проблем посвящено большое количество работ. Однако, несмотря на полученные многочисленные результаты, эта область исследований все еще далека от своего завершения.

При нахождении асимптотических оценок погрешности для проекционных методов особое внимание уделяется выбору базисных функций, от свойств которых зависит скорость сходимости приближенных решений к точному решению (см., напр., [14], [32]). В работе [119] предложено в качестве базисных функций выбирать собственные функции сходного оператора, независящего от времени и образующего с оператором исследуемого уравнения острый угол. Идея работы [119] была использована в [44] для исследования нестационарного операторного уравнения с подчиненными операторами, в которой установлены оценки погрешности для разности приближенных решений и проекции точного решения на подпространства базисных функций. В [31] собственные функции сходного оператора использовались для приближенного решения стационарного линейного операторного уравнения.

Большой цикл работ посвящен различным проекционным и проекционно-разностным методам решения дифференциально-операторных уравнений первого порядка в случае произвольного базиса, например, [18], [82], [96], [116], [117]. В указанных работах вводится понятие слабого решения, причем главный оператор А{{) уравнения порождается симметричной дифференцируемой билинейной формой, определенной в некотором банаховом пространстве V. При определенных условиях гладкости входных данных и оператора действующего из V в сопряженное пространство, получены оценки скорости сходимости приближенных решений к слабому решению. Так, в работе [117] исследовался проекционно-разностный метод решения задачи Коши для абстрактного параболического уравнения с использованием схемы Кранка-Николсон по временной переменной при условии подчиненности порядка 0 < а < 1/2.

Исследование зависимости асимптотических оценок скорости сходимости приближенных решений к точному от выбора системы базисных элементов, свойств параметров уравнения и его решения является довольно трудной задачей, которая в общем случае не решена до сих пор. Некоторые частные результаты для обыкновенных дифференциальных уравнений содержатся в [71], [79], для стационарных операторных уравнений - в [15], [31], [34], [35], [36], для эволюционного уравнения второго порядка - в [41]. В диссертации указанная задача решается в случае, когда в качестве базиса выбираются собственные элементы самосопряженного, положительно определенного оператора, сходного с главным оператором уравнения и образующего с ним острый угол. В отличие от работ, в которых рассматривается обобщенное решение задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений (см., например, [18], [117]), здесь возмущающий оператор может быть подчинен главному оператору уравнения с порядком, большим

Известно, что многие классы краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений (в частности начально-краевые задачи в нецилиндрических областях) можно трактовать как абстрактные операторные уравнения в гильбертовых пространствах. Если разработаны методы решения операторных уравнений, то их легко перенести на решение указанных задач.

Начально-краевые задачи для уравнений параболического типа в областях с границей, меняющейся со временем, возникают во многих задачах естествознания, например, в проблемах атомной энергетики и безопасности атомных реакторов [100], [174]; при изучении процесса горения в ракетных двигателях [40]; при использовании электрических разрядов, явления электрического взрыва проводников [105] и т.д.

Начально-краевые задачи для различных классов нестационарных уравнений в нецилиндрических областях изучались с точки зрения доказательств теорем существования и единственности, например, в работах [2], [5], [29], [46]—[50], [52], [62]—[64], [69], [70], [90], [111], [130], [142], [144], [147], [150], [157], [158], [160], [179].

Обзор аналитических методов решения начально-краевых задач для уравнения нестационарной теплопроводности в областях, меняющихся во времени, приведен в [56]. Построению функций Грина для уравнений параболического типа в областях с движущимися границами посвящена работа [57]. Однако, как известно, уравнения в нецилиндрических областях точно решаются лишь в редких частных случаях. Поэтому актуальной задачей является разработка и теоретическое обоснование приближенных методов решения таких задач.

Многие численные методы для параболических уравнений в частных производных основаны на пространственной дискретизации, которая не зависит от времени, в том числе метод конечных элементов. Эти методы не распространяется на начально-краевые задачи для параболических уравнений в областях с подвижной границей. В [145] для таких задач исследовался метод, основанный на пространственно-временных конечных элементах. Отметим, что одним из первых пространственно-временные конечные элементы рассмотрел Ж.Т. Оден [172]. Проекционный метод решения линейного параболического уравнения в области с заданным законом изменения границы исследовался в [165]. В указанной работе описан класс галеркинских аппроксимаций, которые являются непрерывными по пространственным переменным, но которые допускают разрыв по времени на каждом шаге (discontinuous Galerkin method), доказана устойчивость и приведена оценка скорости сходимости. Идеи работы [165] были использованы в [138] при исследовании сходимости проекционного метода решения начально-краевой задачи для линейного уравнения Шредингера в нецилиндрической области. В перечисленных выше работах устойчивость и сходимость установлены для обобщенных решений.

Численное решение некоторых задач газовой динамики и гидродинамики с заданным законом движения границы области приведены в [152], [162]. Во многих работах, исследующих численное решение задач в областях с подвижными границами, упор делается на экспериментальное тестирование вычислительных алгоритмов и математические результаты зачастую бывают не доказаны.

В связи с вышеизложенным представляются актуальными установление теорем существования и единственности сильных решений нестационарных уравнений первого порядка, разработка проекционных и проекционно-раз-ностных методов, которая позволила бы конструировать и обосновывать вычислительные алгоритмы для широких классов задач с удобными главными членами и подчиненными им дополнительными членами уравнений.

Цель работы. Комплексно исследовать задачу Коши для линейных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений первого порядка с главным самосопряженным оператором и подчиненным ему несамосопряженным оператором в сепарабельном гильбертовом пространстве. А именно: доказать теоремы существования и единственности решения задачи Коши в функциональных пространствах, являющихся аналогами пространства Соболева И^2Ьт'т(д); на основе проекционных и проекционно-разностных методов построить аппроксимационные уравнения и исследовать их разрешимость; установить сходимость приближенных решений к точному решению в сильных нормах; исследовать скорость сходимости приближенных решений и их производных; установить зависимость асимптотических оценок погрешности от порядка подчинённости дополнительных членов главному оператору уравнения в равномерной по временной переменной топологии; полученные абстрактные теоремы применить к различным математическим моделям, возникающим в задачах естествознания.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

- Доказаны теоремы существования и единственности сильных решений задачи Коши для абстрактных нестационарных уравнений первого порядка и для соответствующих аппроксимационных задач.

- Для линейных и квазилинейных дифференциально-операторных уравнений первого порядка получены теоремы о сходимости приближенных решений, построенных по методу Фаэдо-Галёркина, в сильных нормах.

- В зависимости от порядка подчиненности получены оценки скорости сходимости приближенных решений, построенных по методу Фаэдо-Галёркина, к точному решению в равномерной по времени топологии. Разработана общая методика получения оценок скорости сходимости для производных по времени и дробных степеней главного оператора, основанная на исследовании вспомогательной задачи и установлении связи между решением вспомогательной задачи и приближенным решением исходной задачи.

- Исследованы проекционно-разностные методы для линейных и квазилинейных дифференциально-операторных уравнений на основе трехслойных и двухслойных схем. Установлены оценки погрешности рассматриваемых аппроксимационных схем в зависимости от порядка подчинения дополнительных членов главному оператору уравнения, шага временной сетки и размерности аппроксимационных подпространств.

- Применение установленных абстрактных теорем позволило получить новые теоремы о разрешимости начально-краевых задач для линейных и нелинейных параболических уравнений, интегро-дифференциальных уравнений в цилиндрических и нецилиндрических областях, а также новые оценки скорости сходимости соответствующих проекционных и проекционно-разностных методов.

- Исследованы проекционный и проекционно-разностный методы для уравнений нестационарной тепловой конвекции. Получены оценки скорости сходимости приближенных решений и их производных по времени и пространственным переменным.

- Исследована начально-краевая задача для двумерных уравнений Бюр-герса в нецилиндрической области. Доказана теорема об однозначной разрешимости в пространстве Гёльдера. Для метода Ротэ установлены оценки скорости сходимости приближенных решений и их градиентов.

Апробация работы. Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2002, 2003, 2006, 2007, 2008, 2010, Хабаровск 2005, 2009), на международной конференции "Байкальские чтения II по моделированию процессов в синергетических системах"(Улан-Удэ - Томск, 2002), на международной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений"(Воронеж, 2003), на 4-й международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2004), на Всероссийской Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2005), на 6,7-й Всероссийской научно-технической конференции "Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий"(Улан-Удэ, 2005, 2006), Всероссийской Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2007). на четвертой Всероссийской научной конференции с международным участие "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2007), на Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 2007), на международной конференции "Fifth International Conference of Applied Mathematics and Computing" (Plovdiv, Bulgaria, 2008), на 3-й Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования"(Воронеж, 2009), на всероссийской конференции, приуроченной к 80-летию академика С.К. Годунова "Математика в приложениях"(Новосибирск, 2009), на международной конференции "International Conference of Mathematical Sciences"(Istanbul, Turkey, 2009), на 17 международной конференции "Математика. Компьютер. Образование"(Дубна, 2010), на семинаре ВЦ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН Смаги-на С.И., на семинаре под руководством чл.-корр. РАН Дубинина В.Н. в ИПМ ДВО РАН, на семинаре под руководством профессора Демиденко Г.В. в ИМ СО РАН, на семинаре по дифференциальным уравнениям в ТОГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 44 работах, из них 10 - в российских журналах, рекомендованных ВАК, 4 - в зарубежных журналах, рекомендованных ВАК. Часть работ выполнена в соавторстве. В работе [186] автору принадлежат лемма 1.2, теорема 2.2, в работе [190] -теорема 1 и результаты третьего параграфа, в работе [196] - лемма 2, теорема 1 и результаты четвертого параграфа, в работе [197] - результаты первого параграфа, в работе [198] - теоремы 3.1, 3.2, в работе [211] - теоремы 2.1, 2.2, 2.3, вклад автора в работах [189], [199], [206], [219], [222] одинаков с вкладом соавтора.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Виноградова, Полина Витальевна, Хабаровск

1. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008, 365 с.

2. Алхутов Ю.А. Поведение решений параболических уравнений второго порядка в нецилиндрических областях // ДАН. Математика, 1995. Т. 345, №5. С. 583-585.

3. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. М: Мир, т. 1-2. 1990, 728 с.

4. Бабский В.Г., Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д., Слобожанин JI.A., Тюпцов А.Д. Гидромеханика невесомости. М.: Наука, 1976, 504 с.

5. Бадерко Е.А. Краевые задачи для параболического уравнения и граничные интегральные уравнения // Дифференц. уравнения, 1992, т. 28, т. С. 17-23.

6. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965, 276 с.

7. Бирман М.Ш., Виленкин Н.Я., Горин Е.Ф. и др. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972, 544 с.

8. Боголюбов H.H. Избранные труды. Киев: Наукова Думка, 1969. Т. 1. 648 с.

9. Бруяцкий Е.В., Костин А.Г., Никифорович Е.И., Розумнюк Н.В. Метод численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление // Прикл. гидромеханика. 2008. Т. 10, №2. С. 13-23.

10. Бубнов И.Г. Избранные труды. JL: Судпромгиз., 1956, 493 с.

11. Букесова H.H., Железовский С.Е. О скорости сходимости метода Галеркина для одного класса квазилинейных операторных дифференциальных уравнения // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1999. Т.39, т. С. 1519-1532.

12. Вабищевич П.Н. Векторные аддитивные разностные схемы для эволюционных уравнений первого порядка // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1996. Т. 36. т. С. 44-51.

13. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972, 416 с.

14. Вайникко Г.М. О быстроте сходимости метода моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9, С. 21-28.

15. Вайникко Г.М. О сходных операторах // Докл. АН ССР. 1968. Т. 179, т. С. 1029-1031.

16. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений // Тарту: изд-во Тартуск. Ун-та, 1970, 192 с.

17. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов // Тарту: изд-во Тартуск. Ун-та, 1976, 162 с.

18. Вайникко Г.М., Оя П.Э. О сходимости и быстроте сходимости метода Галёркина для абстрактных эволюционных уравнений // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, №7. С. 1269-1277.

19. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974, 126 с.

20. Велиев М.А. К устойчивости метода Бубнова Галёркина для линейных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве // ДАН Аз.ССР, 1981. Т. 37, N 5. С. 3-7.

21. Вишик М.И., Ладыженская O.A. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений // УМН. 1956. В. 6. №11. С. 41-97.

22. Вишик М.И. Первая краевая задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Матем. сб. 1957. Т. 41 (83). С. 105-128.

23. Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Матем. сб. 1956. Т. 39, Ш, С. 51-148.

24. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расщепления по физическим процессам для расчета задач конвекции // Матем. моделирование. 2001. Т. 13, №5. С. 90-96.

25. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. В кн. "Современные проблемы математики", М.: ВИНИТИ, 1976. Т. 9. С. 5-130.

26. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. В кн. "Современные проблемы математики", М.: ВИНИТИ, 1990. Т. 37. С. 89-166.

27. Ерохин Б.Т. Теоретические основы проектирования РДТТ. М.: Машиностроение, 1982, 203 с.

28. Железовский С.Е. О существовании и единственности решения и о скорости сходимости метода Бубнова-Галёркина для одной квазилинейной эволюционной задачи // Известия вузов. Математика. 1998. Т. 437, №10. С. 37-45.

29. Железовский С.Е. Оценки скорости сходимости метода Галеркина для абстрактного гиперболического уравнения // Мат. заметки. 2001. Т. 69, т. С. 223-234.

30. Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. О методе Ротэ-Галёркина для одного класса линейных нестационарных уравнений // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №12. С. 2141-2148.

31. Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ-Галёркина для операторных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, №11. С. 2135-2144.

32. Злотник A.A., Туретаев И.Д. О точных оценках погрешности и оптимальности двухслойных экономичных методов решения уравнения теплопроводности // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272, №6. С. 1306-1311.

33. Иванова М.В., Ушаков В.И. Вторая краевая задача для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области // Мат. заметки, 2002. Т. 72, №1. С. 48-53.

34. Ионкин Н.И., Мокин Ю.И. О параболичности разностных схем // Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1974. Т. 14, №2. С. 402-417.

35. Исмайлов Д.А. Разрешимость нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве методом прямых. Исследования по некоторым вопросам конструктивной теории функций и дифференциальных уравнений. Баку, 1973. С. 86-89.

36. Истомина Н.Е. Развитие метода монотонности на случай параболического уравнения в недилиндрической области. Владивосток: Дальнаука, 2001, препринт /ДВО РАН ХО ИПМ. №6, 40 с.

37. Истомина Н.Е., Подгаев А.Г. О разрешимости задачи для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения в области с недилиндрической границей // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: Дальнаука, 2000. Т. 1, №1. С. 63-73.

38. Йованович Б.С., Матус П.П. Сильная устойчивость дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем в интегральных по времени нормах // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, №7. С. 950— 958.

39. Калиев И.А., Подкуйко М.С. Об одной граничной задаче для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, №10. С. 1356— 1374.

40. Канторович JI.B. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. 1948. Т. 3, т. С. 89-185.

41. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

42. Карташов В.Р. Об одной модификации метода Галеркина решения операторных уравнений. // Вестник МГУ, сер. выч. матем. и кибер., 1984.С. 20-26.

43. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами. Изв. АН. Энергетика, 1999. №5. С. 3-34.

44. Карташов Э.М. Метод функций Грина при решении краевых задач для уравнений параболического типа в нецилиндрических областях // ДАН. Мат. физика. 1996. Т. 351, №1. С. 32-36.

45. Качуровский Р.И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // УМН. 1968. Т. 23. В. 2(140). С. 121-168.

46. Келдыш М.В. О методе Б.Г. Галеркина для решения краевых задач // Изв. АН СССР, сер. Матем. 1942. Т. 6. С. 309-330.

47. Кобельков Г.M. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость давление // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991. В. 8. С. 204-236.

48. Кобельков Г.М. Симметричные аппроксимации уравнений Навье-Стокса // Мат. сборник. 2002. Т. 193, №7. С. 87-108.

49. Кожанов А.И. Замечание об одной задаче вязкоупругости и связанном с ней возмущенном волновом уравнении в нецилиндрических областях // Неклассич. уравнения матем. физики, Новосибирск: НГУ, 1993. С. 99103.

50. Кожанов А.И., Ларькин H.A. О разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в нецилиндрических областях // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, №6. С. 1278-1299, 1445-1446.

51. Кожанов А.И., Ларькин H.A. О разрешимости краевых задач для сильно нелинейных уравнений вязкоупругости в нецилиндрических областях // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т. 6. В. 1. С.36-45.

52. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, 544 с.

53. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969, 455 с.

54. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975, 512 с.

55. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967, 464 с.

56. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Абстрактная схема рассмотрения параболических задач в нецилиндрических областях // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №8. С.1458-1469.

57. Крейн С.Г. Поведение решений эллиптических задач при вариации области // Studia mathematica. 1968, T. 31. С. 411-424.

58. Крылов H.M. Избранные труды. Киев: изд. АН УССР, 1961. Т. 3, 397 с.

59. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970, 288 с.

60. Ладыженская O.A. О решении нестационарных операторных уравнений // Матем. сб., 1956, Т. 39, №4. С. 491-524.

61. Ладыженская O.A. О нестационарных операторных уравнений и их приложениях к линейным задачам математической физики // Матем. сб., 1958, Т. 45, №2. С. 123-158.

62. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, 736 с.

63. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964, 540 с.

64. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Едиториал УРСС, 2002, 588 с.

65. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971, 371 с.

66. Лучка А.Ю., Лучка Т.Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. Киев: Наукова Думка, 1985, 240 с.

67. Ляшко А.Д. О корректности нелинейных двухслойных операторно-разностных схем // ДАН СССР. 1974. Т. 215, №2. С. 263-265.

68. Ляшко А.Д. Проекционно-разностные схемы для гиперболических уравнений с вырождающимся эллиптическим оператором высокого порядка // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, №7. С. 972-977.

69. Ляшко А.Д., Федотов Е.М. Оценка погрешности проекционно-разностных схем для вырождающихся нестационарных уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, №7. С. 951-955.

70. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982, 319 с.

71. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980, 536 с.

72. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981, 416 с.

73. Марчук Г.И., Кочергин В.П. и др. Математические модели циркуляции в океане. Новосибирск: Наука, 1980, 288 с.

74. Марчук Г.И., Шайдуров B.B. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979, 320 с.

75. Матус П.П., Марцинкевич Г.Л. Об устойчивости монотонной разностной схемы для уравнения Бюргерса // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, №7. С. 955-960.

76. Матус П.П., Панайотова Й.Н. Сильная устойчивость дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №2. С. 256-265.

77. Михайлов В.П. О задаче Дирихле для параболического уравнения I // Мат. сборник. 1963. Т. 61 (103), №1. С. 40-64.

78. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970, 512 с.

79. Михлин С.Г. Погрешности вычислительных процессов. Тбилисси.: изд-во ин-т прикл. матем. им. И.Н. Векуа, 1983, 261 с.

80. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966, 432 с.

81. Обэн Ж-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977, 383 с.

82. Оя П.Э. О решении эволюционных уравнений методом Галеркина //В кн. "Уч. зап. Тартуск. ун-та". Тарту: ТГУ, 1974, №342. С. 237-248.

83. Оя П.Э. О сходимости и устойчивости метода Галёркина для параболических уравнений с дифференцируемыми операторами // Уч. зап. Тартуск. ун-та, Тарту: ТГУ, 1975. В. 374. С. 194-210.

84. Оя П.Э. О методе Галёркина для параболических уравнений с операторами локального типа // Zeitschrift für Analysis und Anwendungen, Bd.1(5), 1982. C. 29-51.

85. Петров Г.И. Оценка погрешности приближенно вычисленных собственных значений методом Галеркина // ПММ. 1957. Т. 21. С. 184-189.

86. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ, 1940, Т. 4. С. 1-13.

87. Петухов Б.С., Генин Л.Г. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Атомиздат, 1974, 404 с.

88. Пинчуков В.И. О неявных схемах типа Рунге-Кутта третьего порядка аппроксимации // Вычисл. технол. 1999. Т. 4. №2. С. 59-73.

89. Поборчий C.B. О скорости сходимости проекционного метода решения абстрактного параболического уравнения в случае нестационарного оператора // Вестник ЛГУ, 1973, №13. С. 69-76.

90. Полежаев В.И., Бунэ A.B., Верезуб H.A. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987, 272 с.

91. Поличка А.Е., Соболевский П.Е. Некоторые свойства схемы Кранка-Николсона // Вычисления с разряж. матрицами. Матер. Всесоюз. конф., Новосибирск, ВЦ СО АН СССР. 1981. С. 115-122.

92. Пухначев В.В. О задаче Стефана, возникающей в одной модели электрического взрыва проводников // Тр. семин. С.Л. Соболева. Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1976, №2. С. 69-82.

93. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Коэффициентная устойчивость дифференциально-операторных уравнений и операторно-разностных схем // Математическое моделирование. 1998. Т. 10, №8. С. 103-113.

94. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973, 416 с.

95. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989, 432 с.

96. Самарский A.A., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987, 296 с.

97. Саульев И.К. Применение явных асимметричных разностных аппроксимаций для решения уравнения Бюргерса // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, №12. С. 2190-2195.

98. Сильченко Ю.Т. Одна краевая задача для области с подвижной границей // Изв. вузов. Мат. 1998. №3. С. 44-46.

99. Скрыпник И.В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнений. В кн. "Современные проблемы математики", М.: ВИНИТИ, 1976. Т. 9. С. 131-254.

100. Смагин В.В. Проекционно-разностные методы приближенного решения параболических уравнений с несимметричными операторами / / Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, №1. С. 115-123.

101. Смагин В.В. Метод Галеркина приближенного решения эволюционного уравнения в банаховом пространстве //В кн. "Тр. мат.фак. Воронеж, ун-т", Воронеж.: изд-во ВГУ, в. 5. С. 34-42.

102. Смагин В.В. О методе Галеркина решения абстрактного квазилинейного параболического уравнения //В кн. "Прикладной анализ"., Воронеж.: изд-во ВГУ, 1979. С. 95-98.

103. Смагин В.В. Оценки скорости сходимости проекционного и проекционно-разностного методов для слабо разрешимых параболических уравнениий // Мат. сборник. 1997. Т. 188, №3. С. 143-160.

104. Смагин В.В. Энергетические оценки погрешности проекционно-разностного метода со схемой Кранка-Николсон для параболического уравнения // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, №3. С. 670-682.

105. Смагин В.В. Среднеквадратичные оценки погрешности проекционно-разностного метода для параболических уравнений // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 2000. Т. 40, №6. С.908-919.

106. Соболевский П.Е. Об уравнениях с операторами, образующими острый угол // ДАН СССР. 1957. Т. 116, №5. С. 754-757.

107. Соболевский П.Е. О методе Бубнова-Галеркина для параболических уравнений // ДАН СССР, 1968. Т. 178, №3. С. 548-551.

108. Соболевский П.Е. О коэрцитивной разрешимости разностных уравнений // ДАН СССР, 1971. Т. 205, №5. С. 1063-1066.

109. Соболевский П.Е. О методе Бубнова-Галеркина для параболических уравнений //В кн. "Вариационно разностные методы решения задач матем. физики", Новосибирск, 1976. С. 79-85.

110. Солонников В.А. Об оценках в Lq решений эллиптических и параболических систем // Труды МИАН СССР, 1967. Т. СИ, №5. С. 137160.

111. Тарунин E.JI. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Изд-во Иркутского университета, 1990, 228 с.

112. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981, 408 с.

113. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972, 736 с.

114. Туретаев И.Д. Точные оценки градиента погрешности проекционно-разностных схем для параболических уравнений в произвольной области // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1986. Т. 26, №11. С. 1748-1751.

115. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М: Мир,1988, 352 с.

116. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М: Мир, 1968, 427 с.

117. Черепова М.Ф. О разрешимости краевых задач для параболического уравнения с растущими вблизи границы коэффициентами / / Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, №1. С. 110-121.

118. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М: Наука,1989, 288 с.

119. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Изд-во РГУ, 1984, 192 с.

120. Якут Л.И. О сходимости конечно-разностных методов решения эволюционных уравнений. Труды сем. по функц. анализу. Воронеж, ун-т. 1963. В. 7. С. 76-79.

121. Якут Л.И. К вопросу обоснования сходимости разностных схем // ДАН СССР. 1963. Т. 151, т. С. 160-177.

122. Якут Л.И. Конечно-разностные методы для нелинейных эволюционных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №8. С. 1415-1425.

123. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1962. V. 15. P. 119-147.

124. Ambethkar V. Numerical solutions of heat and mass transfer effects of an unsteady MHD free convective flow past an infinite vertical plate with constant suction // J. of Naval Architecture and Marine Engineering. 2008. V. 5. P. 28-36.

125. Antonopoulou D.C., Plexousakis M. Discontinuous Galerkin method for the linear Schrodinger equation in non-cylindrical domains // Num. Mathematik. 2010. V. 115. P. 585-608.

126. Ashyralyev A., Sobolevskii P.E. Well-posed solvability of the Cauchy problem for difference equation of parabolic type // Nonlinear Analysis. Theory, Methods k Applications. 1995. V. 24. №. P. 257-264.

127. Ashyralyev A., Piskarev S., Weis L. On well-posedness of difference schemes for abstract parabolic equations // Numerical Functional Analysis and Optimization. V. 23. №7 & 8. Oct. 2002. P. 669-693.

128. Bakaev N.Y. Linear discrete parabolic problems. Amsterdam, Elsevier B.V. 2006, 286 p.

129. Benabidallah R., Ferreira J. On hyperbolic-parabolic equations with non-linearity of Kirchhoff-Carrier type in domain with moving boundary // Nonlinear Analysis, 37, 1999. P. 269-287.

130. Blum M., Rannacher R. On the boundary value problem of the biharmonic operator on domain with angular corners // Math. Meth. in Appl. Sci. 1980. V. 2. Ш. P. 556-581.

131. Bokalo M.M., Dmytriv V.M. A Fourier problem for quasilinear parabolic equations of arbitrary order in noncylindric domains // Mam. Студіі. 2000, 14, №2. P. 175-188.

132. Bonnerot R., Jamet P. Numerical computation of the free boundary for the two-dimensional Stefan problem by space-time finite elements //J. Computational Phys. 1977. V.25. P. 163-181.

133. Browder F.E. Problemes non lineaires. Montreal, Presses de Univers. 1966. 153 p.

134. Cannarsa P., Da Prato G., Zolezio S.-P. The damped wave equations in a moving domain // Differential Equations. 1990. V.85, №1. P. 1-16.

135. Chen M., Chen Z., Chen G. Approximate Solutions of Operator Equations. Wold Scientific Pub. Co., Singapore, 1997. 340 p.

136. Curry J.H., Herring J.R., Loncatic J., Orszag S.A. Order and disorder in two- and three-dimensional Benard convection //J. Fluid Mech. 1984. V. 147. P. 1-38.

137. Da Prato G., Grisvard P. The damped wave equation in noncylindrical domain // Diff. Int. Eqs., 1994. №7. P. 735-746.

138. Daly B.J. A numerical study of turbulent transitions in convective flow // J. Fluid Mech. 1974. V. 64. P.129-165.

139. Demirdzic I., Peric M. Finite volume method for prediction of fluid flow in arbitrarily shaped domains with moving boundaries // Int. J. Numerical Methods in Fluids. 1990. V.10. P. 771-790.

140. Elton Bracy H. Comparisons of lattice Boltzmann and finite difference methods for a two-dimensional viscous Burgers equation / / SI AM J. Sci. Comput. 1996. V. 17. №4. C. 783-813.

141. Emmrich E. Two-step BDF time discretisation of nonlinear evolution problems coverned by monotone operators with strongly continuous perturbations // Computational Methods in Applied Mathematics. 2009. V. 9. №1. C. 37— 62.

142. Faedo S. Un nuovo metodo per lanalisi esistenziale e quantitative dei prob-lemi di propogazione // Ann. Scuola Norm, sur. Pisa, 1949. P. 1-40.

143. Fattorini H.O. The Cauchy problem. Addison Veslly Publishing Company, Massachusets, 1983, 638 p.

144. Ferreira J. Nonlinear hyperbolic-parabolic partial differential equations in noncylindrical domain // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, №44, 1995. P. 135 146.

145. Ferreira J. Lar'kin N.A. Global solvability of mixed problem for a nonlinear hyperbolic-parabolic equations in noncylindrical domains // Portugaliae Mathematica. V.53, Fasc. 4, 1996. P. 381-395.

146. Gagliardo E. Ulterori propertiata di alcune classi di funzione in pin variabely. Recerche di Math. 1959. V. 8. P. 24-51.

147. Gevrey M. Les equations parabolques // J. de Math., 6 ser., IX, 1913. P. 187-235.

148. Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems. New York.: Springer-Verlag, 1984, 493 p.

149. Gosman A.D., Johns R.J.R. Development of a predictive tool for in-cylinder gas motion in engines. SAE Paper 780315, 1978.

150. Guo Ben Yu, Shen Jie. Laguerre-Galerkin method for nonlinear partial differential equations on a semi-infinite interval // Numer. Math., 2000, V. 86, №4, p. 635 - 654.

151. Hausenblas E. Numerical analysis of semilinear stochastic evolution equations in Banach spaces // Journal of Computational and Applied Mathematics. V. 147. I. 2. Oct. 2002. P. 485-516.

152. Jamet P. Galerkin-type approximations which are discontinuous in time for parabolic equations in a variable domain // SIAM J Numer. Anal. V. 15, №5. October, 1978. P. 912-928.

153. Jovanovic B.S. Global and asymptotic stability of operator-difference schemes // Computational Methods in Applied Mathematics. 2004. V. 4, №-2. C. 192-205.

154. Lax P.D., Richtmyer R.D. Survey of the stability of linear finite difference equations // Comm. Pure Appl. Math. 1956. V. 9, №2. C. 267-293.

155. Li H., Liu R. The space-time finite element method for parabolic problems // Applied Mathematics and Mechanics. V. 22. №6, June 2001. P. 687-700.

156. Mohan. K. Kadalbajoo, A. Awasthi. A numerical method based on Crank-Nicolson scheme for Burgers equation // Applied Mathematics and Computation. V. 182, №. November 2006. P. 1430-1442.

157. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations. Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa. V. 3, i. 13. 1959. P.115-162.

158. Oden J.T. A general theory of finite elements II. Applications // Internat. J. Methods Engrg. V. 1. 1969. 247-259.

159. Ohwada T. Cole-Hopf transformation as numerical tool for the Burgers equation // Appl. Comput. Math. V. 8, i.l, 2009. 107-113.

160. Peckover R.S. The modeling of some melting problems // Res. Notes Math., 1983. V. 87. P. 248-262.

161. Ritz W. Uner eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik // J.f.d. reine und angenwandtle Math., 1909. I. 135. P. 1-61.

162. Roos H.-G., Skalicky T. A comparison of the finite element method on Sciskin and Gatland-type meshes for convection-diffusion problems // CWI Quart., 1997, V. 10, №3-4. P. 277-300.

163. Rothe E. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben als eindimensionaler Randwertaufgaben // Math. Ann., 1930, V. 102, P. 652-670.

164. Shihbot M., Kotorynski W.P. The initial value problem for a viscous heat-conducting equations //J. Math. Anal, and Appl. 1974. V.45, i. 1. P. 1-22.

165. Sidelnik Y.I. Existence and uniqueness of a generalized solution of the mixed problem for an equation of plate oscillation type in a noncylindrical domains // J. of Soviet. Math. 1993. V. 63. P. 98-101.

166. Thomee V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. Springer-Verlag, Berlin, 2006. 382 p.

167. Varga R.S. On higher order stable implicit difference methods for solving parabolic partial differential equations // J.Math, and Phys. 1961. V. 40. P. 220-231.

168. Werne J., DeLuca E.E., Rosner R., Cattaneo F. Numerical simulation of soft and hard turbulence: preliminary results for two-dimensional convection // Physical Review Letters. 1990. V. 64, i. 20. P. 2370-2373.

169. Zarubin A.G. On an iterative method for approximate solution of an initial boundary value problem for the heat convection equation // Comput. Fluid Dynamics J. 1995. V. 4, №3. P. 323-332.

170. Виноградова П.В. Об одной трехслойной схеме для параболического уравнения в области с подвижной границей / / Сиб. журн. индустриальной математики. 2006. Т. 9, №2 (26). С. 12-19.

171. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Проекционно-разностный метод решения линейного дифференциально-операторного уравнения / / Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, №9. С. 1230-1237.

172. Виноградова П.В. Оценки погрешности проекционно-разностного метода для линейного дифференциально-операторного уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, №7. С. 942-951.

173. Vinogradova P. Convergence estimates of a projection-difference method for an operator-differential equation // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. V. 231. P. 1-10.

174. Vinogradova P., Zarubin A. Projection method for Cauchy problem for an operator-differential equation // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2009. V. 30 (1-2). P. 148-167.

175. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Оценки погрешности метода Галёркина для нестационарных уравнений // Журнал выч. мат. и мат. физики. 2009. Т. 49, т. С. 1643-1651.

176. Виноградова П.В. Оценки погрешности проекционно-разностных методов для дифференциального уравнения с дифференцируемыми операторами // Известия вузов. Математика. 2010. №7. С. 3-15.

177. Виноградова П.В. Метод Галёркина для нестационарного уравнения с монотонным оператором // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, №7. С. 955-965.

178. Vinogradova P. Convergence rate of Galerkin method for a certain class of nonlinear operator-differential equations // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2010. V. 31 (3). P. 339-365.

179. Виноградова П.В. Об одном численном методе решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения // Сиб. журн. индустриальной математики. 2010. Т. 13, №1 (41). С. 34-45.

180. Виноградова П.В. Об одном проекционно-разностном методе для параболических уравнений в области с меняющейся границей // Математические заметки ЯГУ. 2010. Т. 17. В. 2. С. 10-20.

181. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Асимптотические оценки погрешности линеаризованного проекционно-разностного метода для дифференциального уравнения с монотонным оператором // Сиб. журн. вычисл. математики. 2010. Т. 13, №4. С. 387-401.

182. Виноградова П.В., Зарубин А.Г., Суэтина Ю.О. Проекционный и проекционно-разностный методы решения уравнений Навье-Стокса // Журнал выч. мат. и мат. физики. 2011. Т. 51, №5. С. 898-912.

183. Vinogradova P., Zarubin A. A study of Galerkin method for the heat convection equations // Applied Mathematics and Computation. 2011. V. 218 (2). P. 520-531, doi: 10.1016/j.amc.2011.05.095.Прочие публикации

184. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О методе Галёркина для квазилинейных параболических уравнений в нецилиндрической области // Дальневост. мат. журнал. 2002. Т. 3, №1. С. 3-17.

185. Виноградова П.В. О разрешимости двухмерных уравнений Бюргерса в пространстве Гёльдера в нецилиндрической области // Матем. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9. В. 2. С. 20-31.

186. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О разрешимости уравнений Бюргерса в нецилиндрической области // Тр. Междунар. конф. "Современные проблемы функ. анализа и диф. уравнений"(Воронеж, 30 июня-4 июля 2003 г.) Воронеж: Изд. ВГУ, 2003. С. 25-26.

187. Виноградова П.В. Численная реализация метода Галёркина для параболических уравнений в областях, зависящих от времени // Межвуз. сборник науч. трудов: "Матем. моделирование и смежные вопросы математики". Хабаровск: Изд. ХГПУ, 2003. С. 4-9.

188. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ для параболического уравнения в нецилиндрической области // Дальневост. матем. журнал. 2004. Т. 5, №1. С. 5-11.

189. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Ротэ для системы уравнений Бюргерса в нецилиндрической области // Известия вузов. Математика. 2006. №4 (527). С. 12-19.

190. Виноградова П.В. Об одном приближенном методе решения начально-краевой задачи для параболических уравнений в нецилиндрической области // Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск 18-20 июня 2007 г.). С. 17.

191. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Об одном комбинированном методе приближенного решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения // Вестник ТОГУ. 2007. Ш (7). С. 49-60.

192. Vinogradova P., Zarubin A. On the projection-difference method for a operator-differential equation // Fifth International Conference of Applied Mathematics and Computing (Plovdiv, Bulgaria, August 12-18, 2008). P. 480-481.

193. Виноградова П.В., Зарубин А.Г. Метод Фаэдо-Галёркина для параболического уравнения с монотонным оператором // Вестник ТОГУ. 2008. № (11). С. 37-47.

194. Vinogradova P. On the Galerkin method for non-linear evolution equation // International Conference of Mathematical Sciences (Istanbul, Turkey, August 04-10, 2009). P. 329.