Выражение дифференциальных уравнений через итерации дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Оценки скорости приближения полиномами некоторых функций на полупрямой с весом cJ)(R"V/C)

§ 1. Постановка задачи. Полиномы Т^СЛ).

§ 2. Приближение функции (Я + Р2)"

§ 3. О порядке погрешности наилучшего приближения функции (Л+р2У свесом oh (ilijl )/(A+fZ)

§ 4. Приближение функций типа экспонент

§ 5. Оценки снизу модуля полинома Тп(2) на прямых, параллельных вещественной оси

§ 6. Оценки скорости приближения полиномами функций вида е

§ 7. Оценки скорости приближения полиномами функций вида СОА(ОЛ)

Глава 2. Полиномиальные представления решений дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами

§ 1. Полиномиальные представления функций самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве

§ 2. Функции дифференциальных операторов и обобщенные решения дифференциальных уравнений

§ 3. Примеры дифференциальных операторов, для которых Ь0 содержит множество аналитических функций.

§ 4. Оценки снизу величины R0(&J) для дифференциальных операторов.

§ 5. Оценки параметров р и R, для модельного оператора

§ 6. Теорема о гладкости решений вырождающихся эллиптических систем с полиномиальными коэффициентами и правыми частями.

§ 7. Пример уравнения, гладкость решений которого в точности такая, какая гарантируется теоремой е.

§ 8. Оценки гладкости решений уравнения Bu-f в случае, когда k - не полином.

§ 9. Гладкость решений задачи Коши для нестрого параболических систем.

§10. Аналитичность решений задачи Коши для нестрого гиперболических систем

§11. О применении полиномиальных представлений для численного решения дифференциальных уравнений

Глава 3. Полиномиальная разрешимость самосопряженных дифференциальных уравнений с бесконечно гладкими коэффициентами.

J6 1. Классы С(М(К)) бесконечно дифференцируемых функций и класс уравнений Е(М(Ю)

§ 2. Доказательство необходимости квазианалитичности С(М(К)) для полиномиальной разрешимости уравнений из Е(М(К)).

§ 3. Полиномиальная разрешимость уравнения В Ы = ^ в гильбертовом пространстве

§ 4. Доказательство достаточности квазианалитичности С(М(К)) для полиномиальной разрешимости

• уравнений из Е(М(К))

§ 5. Построение полиномов Рп в явном виде.

Глава 4. Полиномиальная разрешимость дифференциальных уравнений с несамосопряженным оператором.

§ 1. Симметричные системы первого порядка

§ 2. Полиномиальная разрешимость уравнений в банаховом пространстве

§ 3. Построение полиномов Рп (Л).

§ 4. Построение функций iLlil).

§ 5. Доказательство теорем о полиномиальной разрешимости

§ 6. Полиномиальная разрешимость уравнений второго порядка.

Глава 5. Выражение решений нелинейных уравнений через итерации операторов.

§ 1. Вводные замечания

§ 2. Основные определения

§ 3. Локальная линеаризация

§ 4. Локальная линеаризация нелинейных дифференциальных операторов на торе.

§ 5. Аналитическое продолжение.

§ 6. Глобальная линеаризация нелинейных дифференциальных операторов на торе. $ 7. Собственные функционалы оператора р * сопряженного к нелинейному оператору К . . . 225 5 8. Вещественные нецелые и комплексные степени нелинейных операторов

§ 9. Экстраполяционная задача

В диссертации изучаются представления решений дифференциальных уравнений с частными производными в виде формул, выражающих решения через итерации дифференциальных операторов, входящих в эти уравнения. Рассмотрены, в частности, стационарное уравнение

Аи0+?ги0 = 1 , (1) задача Коши для (нестрого) параболического уравнения

Э(1>0), (2) и задача Коши для (нестрого) гиперболического уравнения

Ъ1ига)--Аиг(±), д1и2(0)^О. (3)

Рассмотрены и несколько более общие задачи, чем (2) и (3), подробности см. § 2 главы 2). Наиболее подробно в диссертации рассмотрен случай, когда А - дифференциальный самосопряженный оператор с областью определения <2)(А) в функциональном гильбертовом пространстве Н » предполагается, что оператор А неотрицателен

А V, М^СЪ(А) ■ (4)

Решения уравнений (1), (2), (3) в этом случае можно выразить через функции оператора А , примененные к / :

Эффективное вычисление Ы0>и^ и ы2 непосредственно по формулам (5) возможно в тех случаях, когда известен в явном виде полный набор спектральных проекторов Ел оператора А , а такие случаи редки. В диссертации изучается представление решений 1/0,11, и Ыгзадач (1), (2) и (3) в полиномиальной форме:

Ui^&rn Pnl(A)/ (i= 0,i,2) , (6) где Pn (А) полином от оператора А степени n . Очевидно,что для вычисления достаточно уметь вычислять лишь А^ £ , то есть для решения задач (1), (2), (3) по формулам вида (6) требуется знать лишь те данные, которые явно приведены в постановке задачи, а именно, оператор А и функцию ^ . В случае, когда А - ограниченный оператор, представления вида (6) общеизвестны и широко применяются в математическом анализе. Чаще всего для получения представлений вида (6) используется разложение функций (А+рг1)~\ё~М и С0&(к№)в ряды по степеням А » в этом случае роль полинома PnL(A) играет частичная сумма соответствующего ряда. Выражение решений конечномерных систем уравнений вида 6через итерации оператора В (и тем самым, через итерации А-Ь-f I ) широко применяется в вычислительной математике, при этом часто используются полиномы Рп , не связанные с разложением в ряды. Например, в чебышев-ском итерационном методе используются полиномы Рп , простым образом связанные с полиномами Чебышева, и минимизирующие на отрезке [f * М] » содержащем спектр В .

Возможность получения представления функций Cf>L от ограниченного неотрицательного самосопряженного оператора А в полиномиальной форме вида (6) основана на возможности равномерного приближения непрерывной функции С} (Л) полиномами Рп(Я) на отрезке Г О, juj .содержащем спектр оператора А , в силу оценки

MA)f-Pn(A)fU мф 1?са)-р„сл)1 Ц/11, (?)

L v, J J

В диссертации рассматривается случай, когда А - дифференциальный оператор и, следовательно, А неограничен. Простейшим примером оператора А является оператор на торе Тт гг\

Ам= -2 д1(ацд1^)+а00и , э^э/э^ , (8) где ац (Х)£ (УС (Т™) , множество аналитиче7 ских на ¡Я , периодических по каждой переменной с периодом 25Т функций , . На главную часть оператора А накладывается условие неотрицательности

• (9) ь/-1

Если, например, Оо0 ^ О , ,то оператор, определяемый (8), удовлетворяет (4) (мы везде отождествляем дифференциальный оператор с его расширением Фридрихса). Во второй главе изучаются уравнения (1), (2), (3), где А определяется (8), а

Т™) . Отметим, что из (9) не следует эллиптичность А , и рассматриваемые уравнения, вообще говоря^ вырождающиеся. Если Яц(х) - не числа, а матрицы размера, то (8) определяет оператор, действующий на вектор-функции со значениями в С ^ , и (1), (2), (3) будут системами на Тт (вообще говоря, вырождающимися). Помимо уравнений второго по

-т-т рядка на I рассмотрены и другие задачи с аналитическими коэффициентами: уравнения в ограниченных и неограниченных областях в , вырождающиеся на границе области; задача Дирихле для эллиптического уравнения; уравнения во всем Ш™ ;

Тт см. § 3 главы 2).

В теории дифференциальных уравнений с частными производными известны представления в виде (6) решений задач Коши для систем типа Коши - Ковалевской, в частности уравнения (3),где А определяется (8), ^С 01 (Тт), при малых £ . В этом случае решение и^(^) допускает разложение в ряд по ^ , которое одновременно является разложением по степеням А выражения СМ . Получающийся ряд сходится на Т при малых -Ь в силу теоремы Коши - Ковалевской. Для задач (1) и (2) подобные представления не применялись, так как соответствую

2 -ЬА щие ряды для (Р +-А) ив расходятся. В диссертации, вместо использования разложений в ряды, для построения^ использованы методы теории весовых приближений функций многочленами на полупрямой. (См. Г1-3] .) Представления вида (6) решений задачи (1) были получены автором в работах [4-8] , а задач (2) и (3) в работах [9] , [10] (в [4-7] вместо методов теории приближений использовались методы теории функций комплексной переменной).

Покажем теперь, каким образом задачи получения формул вида (6) связаны с задачей весового приближения функций на полупрямой. Отметим, что поскольку дифференциальный оператор А неограйичен, то его спектр является неограниченным подмножеством полуоси I. Для приближения операторад(А) требуется приблизить функцию ^ (Л) полиномами на)&+.

Очевидно, что это невозможно сделать в равномерной метрике хотя бы потому, что при Л-^оо , а функции в (5) ограничены. Поэтому вместо оценок вида (7) мы будем применять оценку

11у(А)*-Рп(А)Ы£у> ^щНАей'ЦИ. сю)

Возможность применять оценку (10) для доказательства (б) основана на том, что если А определяется (8) и , то при некотором Я>0

IIА ей I? {А ¿11 ^ М^оо (11)

Этот факт можно легко вывести из теоремы Коши - Ковалевской для задачи

9*utt) = Autt), U(о) = , и '(о) - О , (12) решение которой дается формулой Ы = с/йЛГ)/ . Исследование (12) позволяет получить оценку снизу для числа R в формуле (11), так как если решение (12) аналитично not и X на Т при Щ t0 , то можно в (11) взять R~-t0 •

Таким образом, доказательство (6) сведется в силу (10) к построению таких полиномов Рп(А) , что

PЬц1(л\лсЬШ)=му аз) при п-*оо, то есть к приближению fiCä) полиномами (Л) на полупрямой 1(4+ с весом Существование таких полиномов доказано С.Н.Бернштейном (см. Г1] ). В первой главе диссертации произведено явное построение полиномов Pn¿ (.Я) , и получены оценки скорости стремления к нулю в (13). Основную роль в построении (Л) играет полином Тп+(ъяЛ), I-Wfcr, который мы, следуя методам, изложенным в Г1],определяем формулой

T„VA)=ßen (1-^f (i = fT) . да)

Этот полином является, с точностью до постоянного множителя, четным полиномом степени Z п , наименее уклоняющимся от нуля на полупрямой IR+ с весом

Полином О.(А) - это произведение первых д сомножителей разложения в бесконечное произведение функции . Полином Т^С^Л) имеет п различных положительных корнейЛ^,. , Лп . Возьмем в качестве полиномов Рп1 (Л) интерполяционные полиномы !агранжа с узлами интерполяции функций 6^1 , определяемых (5). Таким образом, полиномы Р^ построены в явном виде. Главную роль играет оценка сверху величины (Р^ , (Ц, 1 , Л Р VТ) из формулы (13). Такие оценки проведены в первой главе диссертации. Из полученных там оценок и из (10) следует следущая теорема:

Теорема 1. Пусть выполнено условие (1 1), Ыо,^, ^-решения задач (1), (2), (3) соответственно, Рп1(Л) интерполяционные полиномы, соответствующие функциям ^¿(Я) из ( 5). Тогда

15)

1е)

11М2-Рм2(Л)/1кС2

17) где , С^С^Сг,^ и не зависят от п , в (16) и (17) и^Ы^а), ± - фиксировано.

Таким образом построены представления решений задач (1), (2), (3) в полиномиальной форме (6) и дана оценка скорости сходимости в (6).

Отметим, что в случае, когда коэффициенты оператора А и/ элементарные функции, вычисление ^(А)^ сведется к дифференцированию, умножению и сложению элементарных функций. Особенно простым является вычисление Р^ (А) % тогда, когда коэффициенты оператора Л , определяемого (8), и функция / -тригонометрические многочлены. Пусть максимальная степень этих многочленов равна су Тогда, очевидно, является многочленом степени не внше, чем (П + ^С^ , и формулы (15), (16) и (17) дают оценку скорости приближения функций Ь/о, и многочленами в (Тт) .

К С.Н.Бернштейну восходят обратные теоремы приближения функций, позволяющие по скорости приближения полиномами судить о гладкости функций. В рассматриваемом нами случае естественно применить оценки (15), (16) и (17) для оценки гладкости реI шений рассматриваемых задач. Используя известные результаты теории приближений функций многих переменных (см.ГШ ), получаем в качестве следствия из оценок (15), (16) и (17) следующую теорему:

Теорема 2. Если оператор А определяется (8), где все коэффициенты - тригонометрические многочлены, как и функция £ , и выполнено (И), то

1) Ыо - решение (1)-принадлежит пространству Соболева

V Л » гДе - максимум тех £ , при которых справедливо (11);

2) Ы-1 а) - решение (2) - принадлежит при любом ±>0

3решение (3) - аналитично на Т при всех Утверждения теоремы 2 были получены автором в работах

Г9),[10],[73].

В теореме 2 оператор А - не обязательно скалярный, то еотъ Оц в (8) - матрицы, как всегда предполагается выполненным условие (4). Теорема 2 допускает различные обобщения (см.главу 2).

Важно отметить, что оценки гладкости, данные в теореме 2, - точные. А именно, имеется пример уравнения (1) из рассматриваемого в теореме 2 класса, решение которого Шо не принадлежит Х\ЛЛ(Тп°)при Л-^р?^ (см. § 7 гл. 2). Имеется также

-Г- ж пример задачи (2), решение которой, бесконечно гладкое на / при , не аналитично на Тт по х ни при каком ±>0 .

Более того, оценка роста производных по ос этого решения, данная в пункте 2 теоремы 2, не может быть существенно улучшена (см. § 9 гл. 2 и приложение).

Вопросу о гладкости решений дифференциальных уравнений посвящено огромное количество работ. Здесь будут упомянуты лишь наиболее близкие к полученным в теореме 2 результатам.

Неэллиптические стационарные уравнения вида (1), где оператор А имеет вид (8) или более общий вид, изучались во многих работах (см.Г12] ,[13] ,[42] и приведенную там литературу)* Большое количество работ посвящено изучению условий на структуру оператора А , гарантирующих бесконечную гладкость решения. В ряде работ (см.[12] ,Г14] ,Г15] ) на структуру оператора А накладывалось, как и в теореме 2, лишь условие (9).

В Г14] ,[12] в скалярном случае указаны условия на оператор А , 2 гарантирующие принадлежность Ы0 к С если р в (1) достаточно велико, и позволяющие оценить I в зависимости от Р . Эти условия сформулированы в совершенно других терминах, чем условия теоремы 2. Есть примеры, когда пункт 1 теоремы 2 дает более точные оценки гладкости. Случай систем вида (1) рассмотрен в [15] , где доказано, что Ы0е\А4Л при^-»оо, но нет оценок А в зависимости от р

Принадлежность решения задачи Коши (2) в скалярном случае к С°° доказана в [14] , где, в отличие от п. 2 теоремы 2, не оценена скорость роста производных.

Аналитичность решения (3) следует в скалярном случае из результатов Г16] , [17] (не охватывающих случай систем).

Условие (И) теоремы 2 означает, грубо говоря, что

АкЛиСЙ'2К(2К)! (18)

В значительном числе работ (см. [18 - 211 ) при различных условиях на структуру оператора А доказаны теоремы о том, что наличие оценки вида (18) эквивалентно аналитичности % (а следовательно и А V , так как АКА ¿ = Эти теоремы применялись и для изучения свойств решений задач вида (2) и (3) (см. Г20] ). Теорема 2 показывает, что использование полиномиальных представлений (6) позволяет выводить из (18) нетривиальные оценки гладкости решений и в случае, когда оператор А вырождается произвольным образом, подчиненным лишь условию (4).

В отличие от методов работ [12 - 21, 42] в теореме 2 утверждения о гладкости выведены путем исследования формулы (6), дающей представление решений. (1), (2), (3) в явном виде. Факт различной гладкости Ыо, и допускает при помощи теорем 1 и 2 простое объяснение. А именно, функции (Р*+Я)" '[в IX имеют различную регулярность в € . Большей регулярности соответствует большая скорость приближения полиномами и, как следствие, более высокая гладкость решения.

Когда коэффициенты оператора А и функция / - полиномы, вычисление Рп (А)£ особенно просто и сводится к чисто алгебраическим операциям и легко реализуется на ЭВМ. Это позволяет использовать формулы (6) для численного решения задач (1), (2) или (3). При решении стационарных уравнений вида (1) скорость сходимости приближений к точному решению, как видно из (15), степенная с показателем степени , сильно зависящим от числа . Число £ в свою очередь сильно зависит от аналитических свойств коэффициентов оператора А . Сравнение числа арифметических действий, нужных для вычисления и0 с заданной точностью с применением разностных методов и с применением (6) показывает, что при малых разностные методы эффективнее (в тех случаях, когда они могут быть применены, то есть в случае гладких решений; подчеркнем, что мы не требуем аналитичности решений, а требуем лишь аналитичность правых частей уравнения; поэтому в неэллиптическом случае решения могут быть негладкими). При больших применение формул типа (6) для решения указанных уравнений оказывается эффективнее. Подробности см. § 11 главы 2, а также Г46] , где указаны также примеры уравнений с большим значением ).

При решении нестационарных уравнений по формуле (6) скорость сходимости приближений к решению, в силу формул (16) и (17) выше, чем степенная. Показатели^ и в (16) и (17) зависят от 1 Й , Если к не слишком велико по сравнению с Я. , то и не малы и скорость сходимости высокая. Поэтому применение формулы (6) может оказаться полезным для численного решения нестационарных уравнений (см. § И гл. 2).

Изучению полиномиальных представлений вида (6) решений линейных самосопряженных уравнений с аналитическими коэффициентами посвящены первые две главы диссертации. В последующих главах исследуется вопрос о том, насколько существенны условия аналитичности, самосопряженности и линейности.

В третьей главе изучается вопрос о том, насколько можно ослабить условие аналитичности. Рассматривается скалярное уравнение вида (1), где А - оператор вида (8) с коэффициентами из класса бесконечно дифференцируемых функций С (И(К)) . Напомним, что если М(к), к-0,1,. - заданная положительная последовательность, то С(М(К)) - это множество таких

-г т бесконечно гладких функций на I , что для каждой из них найдутся такие константы С и X , что лир лсор ¡^¿(х)1$сг'ШМ(к) УК€1+.(18) кик хет^

На последовательность М(к) наложено условие регулярности роста:

М(К) М(Л) < г М(КЧ-Л) К! Л! (к+А)! гарантирующее замкнутость С (ММ) относительно умножения функций. Через Е(М(Ю) обозначен класс эллиптических уравнений вида (1): Аи0 , где Р>0 , оператор А определяется формулой (8), где ац С С (М(к))} ^сС(ММ).

Изучается следующий вопрос: для каких классов С(М(К)) решение любого уравнения из Е(М(к)) представимо формулой вида (6). Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, являющаяся основным результатом главы 3:

Теорема 3. Решение любого уравнения из Е (МШ представимо в виде (6) в том и только том случае, когдаС(М(Ю)~ квазианалитический класс функций.

Теорема S доказана в работе автора Г 22] . Необходимость условия квазианалитичности легко увидеть из следующих соображений. Выражение решения 1Л№)по формуле (6) локально, то есть правая часть (6) при х лежащих в некоторой окрестности Ш точки х0 , в силу локальности дифференциального оператора А , не зависит от значений f(oc) для xicü . Не-квазианалитический класс ССНСк)) содержит финитные функции. Поэтому в неквазианалитическом случае удается изменить функцию fe) вне ÜO , не изменяя ее в СЮ . Вместе с тем значения U (ос) t ре шения уравнения A в а)У зависят от поведения i (ос) не

-r-m только в сю , но и в I а это противоречит локальности формулы (6).

Доказательство достаточности более сложно и основано на глубоких результатах теории весовых приближений полинонами на прямой (cm.ÍI-8] , [23] ) и теории квазианаяитических функций (см. [23]).

В четвертой главе рассмотрены несамосопряженные системы первого порядка на торе I вида по Т'ajdju + a0u = ¿ , (го) где C/j , j - кг? - эрмитовы матрицы размера эехэе с элементами из Ot(T^) , вектор / принадлежит (Ot (Т""))^, эе . Предполагается, что оператор A i обратим и обратный оператор ограничен: ilAjVll^ClluH , С>0 . (21)

Изучается вопрос о возможности представления решения этого уравнения в виде (6). Обратимости Ai для этого недостаточ

I ^ но, например, в случае уравнения е и = 1 , являющегося простейшим примером уравнения (20), где rn=i , ае-1 , ctj=0 C¡*o)t i-* x

00 = e . Справедливость формулы (6) означает в этом случае возможность приблизить u(x.)~e~LX i ОС. я полиномами от е = /и » а это невозможно, так как гг . f. .

J eLXPn(eLX)cfx=o) JeLXe'LXcfx=2^

О С

Этот пример показывает, что на оператор А^ требуется наложить дополнительные условия. Как известно, спектр оператора Ал , определяемого формулой (20) на гладких функциях в пространстве Соболева, лежит в полосе и согласно предположению спектр не содержит нуль.

Теорема 4. Если спектр А\ не окружает нуль, то решение уравнения (20) представимо в виде (6).

Приведенный выше пример показывает, что условие на спектр нельзя отбросить). Отметим, что доказательство теоремы 4 проводится в два этапа. Сначала задача выражения И=А1 ^ по формуле (6) сводится к задаче приближения функции Л в

А ~кШЯ\ окрестности спектра оператора н многочленами с весом е Затем эта задача в неограниченной области сводится к задаче равномерного приближения функций полиномами на компакте, после чего используется теорема Мергеляна.

Результаты четвертой главы опубликованы в работах [6,7] . В пятой главе рассмотрены нелинейные эллиптические дифференциальные уравнения на торе вида

F (и) = *

Мы будем понимать формулу (6) в ослабленной форме. А именно, если полиномы Pn (F) в формуле (6) записываются в виде (22) И * > a (j - функционал (нелинейный) на банаховом пространстве Е в котором действует оператор Р , то положим и будем называть уравнение (21) полиномиально разрешимым на множестве Ус Е , если V найдется такая последовательность полиномов ^(Р) , что для полной системы функционалов

24)

Множество {$¡-1 функционалов называется полным на V , если для любых уг £ V , Щ 4- 1Гг , найдется такой функционал из этого множества, что Ф (^¿(Т/^) ). Очевидно, что в случае, когда оператор р-А - линейный и формула (24) является непосредственным следствием формулы (6). Заметим, что формула (24) позволяет выразить значение функционала на неизвестной функции через известные, легко вычисляемые величины

М), - , . (25)

Заметим, что переход от вычисления решения к вычислению некоторых функционалов на решении широко применяется в нелинейном анализе. Обычно отыскиваются такие функционалы, значение которых на неизвестном решении просто определить по известным данным. Примером являются интегралы (Ц>(и) нелинейных нестационарных уравнений, которые постоянны на зависящем от{ решении этого уравнения и тем самым позволяют по известной величине (£(и(о)) на начальном значении Ы(О) найти значение С^Ш Ш) этого интеграла - функционала С^ - на неизвестном решении и(1) при любом £ .

Мы рассматриваем стационарный случай, и вначале также рассмотрим случай такого выбора (fy , когда по (25) наиболее легко найти . В линейном случае это легче всего сделать когда линейный функционал Cf< - собственный функционал линейного оператора F* , сопряженного к F , то есть F у -ЯCj> или, что эквивалентно у (Ff) VtcSHF). (26)

В этом случае последовательность (25) примет вид: y(f), if ({),. , . ; (zv) очевидно, что • (28)

Г *

- линейный дифференциальный оператор на торе, то F -также линейный дифференциальный оператор и задача о существовании полной системы собственных векторов оператора F*- это классическая задача спектральной теории линейных дифференциальных уравнений.

В главе 5 доказана теорема существования полной системы функционалов оператора F * , сопряженного к нелинейному дифференциальному оператору вида

FW = dj(aj(djU))+Clo(U)] , (29) где ty>0 - число, 61 j f ГШ - вещественные аналитические функции,

Cl)'(v)bC>0 üj(0)^0 .

Теорема 5. Пусть p>m , оператор F определен на вещественном пространстве Соболева RzWfi (Тт) формулой (29), где - достаточно велико. Тогда на U/p (Tm) определен полный набор нелинейных аналитических на

Rg Wp (Т фу нк ци она л ов, собственных для оператора F* (т.е. удовлетворяющих (26).

Для построения [<ji] в главе 5 осуществлена аналитическая линеаризация на U/p*(Tm) оператора F ,

30) где L - дифференциал оператора F в нуле (нуль - неподвижная точка F ), т.е. проведена замена переменных в банаховом пространстве, после которой нелинейный оператор F превратился в линейный оператор L . Задача линеаризации в конечномерном случае глубоко исследована (см. С24] , [25] ). В бесконечномерном случае ранее рассматривались лишь ограниченные аналитические операторы F (см. Г26] , [27] ). Линеаризация операторов сдвига (ограниченных), порожденных нестационарными уравнениями, осуществлялась в работах Г28 - 30]. При решении задачи линеаризации, особенно когда отображение А порождено динамической системой, часто возникают трудности, связанные с "малыми знаменателями" (см. [25], [37]). При линеаризации оператора (29) малых знаменателей удается избежать за счет выбора достаточно большого ty . Основные трудности при линеаризации дифференциальных операторов и, в частности, оператора (29), связаны с тем, что дифференциальные операторы не переводят пространства Соболева в себя и их нельзя рассматриI вать как ограниченные аналитические операторы, действующие внутри пространств Соболева. Линеаризация оператора F , определяемого (29), а также некоторых других дифференциальных операторов, проведена в работах автора Г31 ] , [32].

Заметим теперь, что нахождение собственных функционалов г*

Ь в явном виде представляет из себя весьма сложную задачу как в линейном, так и в нелинейном случае. Поэтому естественно пытаться получить выражение ^ ГР V) через (25) для классов функционалов ^ более широких, чем класс собственных функционалов оператора Р . В линейном случае это удалось сделать при помощи формулы (6) для.любого, без ограниI ч©ния, линейного непрерывного функционала . При этом дополнительные ограничения на / свелись к сравнительно малоограничительному требованию аналитичности 4

В нелинейном случае уравнений типа (29), где все функции оу - целые, также удалось ослабить условия на ^ и получить формулы вида (24) для более широкого, чем собственные, класса функционалов. Условия на / и ^ имеют вид

Щ> 1а (Рк+^))и ск2К(2К)! , к* , (31)

III 6 комплексные степени нелинейного оператора Р , коэффициенты которого - целые функции построены в главе 5 при помощи формулы (30) ). Условие (31) в линейном самосопряженном случае аналогично условию / £ (к'^Т)) при некотором ' . Однако в линейном случае условие (31) легко проверяется, а в нелинейном случае явно указать / и , для которых справедлива оценка (31), не намного легче, чем найти собственный для Р* функционал ^ . Некоторые примеры, а также результаты, позволяющие ослабить требование (31), приведены в заключительных параграфах главы 5. Отметим, что выражение ^(Р'1^) через (25) при условии (31) получено как решение задачи экстраполяции целой функции ^(Р2^) с целых неотрицательных чисел 2 = К= О, и - • • на число - 1. Решение этой экстрапо-ляционной задачи основано на результатах первой главы. Результаты главы 5 получены автором в работе Г31] .

Нумерация формул и утверждений в каждой главе независима. При ссылке на формулу или утверждение из другой главы указывается эта глава. Обозначения в каждой главе в основном независимые, но одинаковые объекты по возможности обозначаются одинаково.

1. Бернштейн С-.Н. Экстремальные свойства полиномов. - М.-Л.: ОНТИ, 1937.

2. Ахиезер Н.И. О взвешенном приближении непрерывных функций на всей числовой оси. Успехи матем. наук, 1956, т. 11, В 4, с. 3-43.

3. Мергелян С;Н. Весовые приближения многочленами. Успехи матем. наук, 1956, т.И, 5, с.107-152.

4. Бабин A.B. Формула, выражающая решение дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами на многообразии без края через данные задачи. Матем.сб., 1976, т.101(143), № 4, с.610-638.л -1

5. Бабин A.B. Выражение А^ через итерации оператора А , действующего в банаховом пространстве. Функц. анализ, 1978, т.12, вып.4, с. 77-78.

6. Бабин A.B. О выражении решения уравнения Аы = Ь через итерации неограниченного оператора А и весовом приближении функций. Успехи матем. наук, 1979, т.34, вып.З, с.189.

7. Бабин A.B. Решение задачи Коши при помощи весовых приближений экспонент многочленами. Функц. анализ, 1983, т.17, вып.4, с. 75-76.

8. Бабин А.В. Представление решений дифференциальных уравнений в полиномиальной форме. Успехи мат ем. наук, 19 83, т.38, гё 2, с. 228-229.

9. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

10. Олейник О .А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки, Математический анализ, 1969, М.; 1971.

11. Егоров Ю.В. Субэллиптические операторы. Успехи матем. наук, 1975, т. 30, Л? 3, с. 57-104.

12. Олейник О.А. О гладкости решений вырождающихся эллиптических и параболических уравнений. ДАН СССР, 1965, т. 163, № 3, с. 577-580.

13. Кон Дж. Дж., Ниренберг Л, Некоэрцитивные краевые задачи. -В сб. "Псевдодифференциальные операторы".- М.: Мир, 1967, с. 88-165.

14. Хюпб, J.X. ei ТПсиршС. ЁъМтл awx, ümlteA поп ксгпгсп^гш, t. 3. Валил:68.21. enzotcmck Ж 1, Шшж fy, dnalytu:ytciaiÄ oj bjf^reMLpiüc üpjmittyiA of pxincipa/ CLmm. J TYlcM ■, 4982,V. 104, Л£ 2, р. Ш-319

15. Бабин A.B. 0 полиномиальной разрешимости дифференциальных уравнений с коэффициентами из классов бесконечно дифференцируемых функций. Матем. заметки, 1983, т. 34, $ 2,с. 249-260.

16. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применение. М.: И I , 1955.

17. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. >

18. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

19. ЮЬм ß-, SUipAwte склъш^оПа1 гге/глшьА crf- Ьию ikwurriA ojj- Сол! Ztiyd. ß^M. Отш. Пай. #76, ¿/3-6/5.27. 5majjc&i VJ. , (Injcdc^ic So&LticmA of ^^скплЛлwaJlcrn, QuM. ШМ. Зг&гсел, v. гб, 3-V, р. M9-153.

20. Николенко H.B. Полная интегрируемость нелинейного уравнения Шредингера. ДАН СССР, 1976, т. 227, $ 4, с.235-238.

21. Седенко В.И. 0 нормальной форме нелинейных уравнений в частных производных на вещественной оси. Матем. сб., 1978, т.105(147), с. 121-127.

22. Николенко H.B. О приводимости нелинейных эволюционных уравнений к линейной нормальной форме. ДАН СССР, 1982, т. 268, 13, с. 545-547.

23. Бабин A.B. Дробные степени нелинейного аналитического дифференциального оператора. Матем. сб., 1979, т.109(151), Л 1, с. 12-45.

24. Бабин A.B. Аналитическая линеаризация и комплексные степени нелинейного дифференциального оператора. Функц. анализ, 1980, т. 14, вып. 3, с. 61-62.

25. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации.- М.: Наука, 1965.

26. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций, т.1. М.: Наука, 1967.

27. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей.- М.: Наука, 1967.

28. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. М.: Наука, 1S69.

29. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения. Успехи матем. наук, 1968, т. 23, J§4, с. 179-238.

30. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.-Л.: Гостехиздат, 1956.

31. Данфорд Н. и Шварц Дж. Т. Линейные операторы, т. 2, Спектральная теория. М.: Мир, 1966.40. йосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

32. Ерейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

33. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965.

34. Вишик М.й. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Матем. сб., 1954, т. 35(77), с. 513-568.

35. Адамар Я. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978.

36. Бони Н.М., Шапира П. Существование и продолжение решений уравнений с частными производными.- Сб. переводов Математика, 1973, т. 17:1, с. 162-171.

37. Бабин A.B. Итерационный метод, применяемый непосредственно к дифференциальным уравнениям. I. Выч. матем. и мат. физики, 1983, т. 23, Л 4, с. 771-784.

38. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

39. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

40. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

41. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

42. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.51Берс I., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

43. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: И1, 1957.

44. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

45. Данфорд Н. и Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. -М.: ИЛ, 1962.

46. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций, т. 2. -М.: Наука, 1968.

47. Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. М.: Мир, 1970.

48. Сили Р.Т. Степени эллиптического оператора. Сб. перев. Математика, 1968, т. 12, & 1, с. 96-112.

49. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.

50. Псевдодифференциальные операторы. (Сб.статей). М.: Мир, 1967.

51. ШО1ЬоуШ Р., cfxal^m ^JKULA З'еяЖъа-¡хоШш. Oda, mcdbi95fp у, дз, ЫвЗ-Ч?р. W-ZS5.

52. Хрыптун В.Г. Классы функций, квазианалитические относительно линейного гиперболического оператора второго порядка. Изв. АН СССР, сер. матем., 1970, т. 34, Ж 5, с.1127-1141.

53. Чернявский А.Г. Об операторной квазианалитичности для функций нескольких переменных. ДАН СССР, 1979, т. 244, Ш 2, с. 296-299.

54. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.

55. Солонников В.А. Об оценках в Lp решений эллиптических и параболических систем. Труды Матем. ин-та им. В.А.Стекло-ва АН СССР, 1966, т. 102, с.137-159.

56. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

57. Вишик М.Й., Фурсиков A.B. Некоторые вопросы теории нелинейных эллиптических и параболических уравнений. Матем. сб., 1974, т. 94(136), с. 300-334.

58. Скрыпник И.В. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравнений. Итоги науки и техники, серия "Современные проблемы математики", т. 9, М.: ВИНИТИ, 1976.

59. Бабин A.B. Построение и исследование решений дифференциальных уравнений методами теории приближения функций. -Матем. сб., 1984, т. 123, .« 2, с. 147-173.*