Функция Грина и теоремы разделимости для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На прапах рукописи

МАХМУДОВ НАЕИ МЕДЖИЛ огли

-У.1К 517.43

ФУНКЦИЯ ГРИНА И ТЕОРЕМЫ РАЗДЕЛИМОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

(01.01.01- математический анализ)

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Гаку-1991

Работа выполнена и Институте математики и механики

АН Азербайджана.

Паучник рукоиодители:

-доктор физико-математ^тских наук, профессор М.Байрамоглы -Кандидат физико-математических наук Б.И.Алиев.

-доктор физико-математических наук, профессор Г.Ш.Гусейнов

(Институт математики и механики АН Азербайджана) ; -кандидат физико-математических наук, доцент И.М.Гусейнов (БГУ им. М.Расу л-заде).

Ведупая организация-Институт математики и механики АН Казахской сср.

защита состоится " января 1992 года в 14— часов к

заседании Специализированного Совета к 004.01.01 по прису» денню ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики и механики АН Азербайджана по адресу : 370602, Баку, ул. Ф.Агаева, 9, квартал 553.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИММ АН Азербайджана.

Автореферат разослан декабря 1991 года.

Официальные оппоненты:

Учений секретарь . Специализированного Совета

по проблемам разделимости уравнений произвольного четного и нечетного порядком, дли нелинейных дифференциальных уравнений и многомерных дифференциальных уравнений. Важным этапом и их работах является применение проблемы разделимости к спектральным свойствам дифференциальных уравнений (оценки поперечников, полноты корневых векторов и др.). II ^тои направлении следует так же отметить работы К.X.Бойматова.

Проблема разделимости дли дифференциальных уравнений с неограниченными ■операторными коэффициентами действующими в сепарабельном гильбертовом пространстве изучена в работах А.А.Абудова, м.Байрам-оглы и К.И.Алиева,Б.И.Алиева и С.м.Исмаклова,е.И.Алиева и д.А.Зей-налова.

В настоящее время имеется большое количество работ по эюй ■ тематике.

Цель риботы. Исследование резольвенты нелинейных дифференциальных операторов второго порядка, исследование . резольвенты и доказательство теоремы разделимости для линейных дифференциальных операторов га+к порядков в неограниченных интервалах, исследование оценки резольвенты уравнений третьего порядка численными методами.

Научная новизна .

1. Установлены основные свойства функции Грина линеаризовагной задачи соответствующего нелинейного дифференциального уравнения второго порядка на всей оси.

2. Установлены свойств функции Грина линейного дифференциального уравнения третьего порядка на всей оси.

3. Получена оценка для резольвенты линейного дифференциально-

; з /

обцая характеристика рлпоти

Актуальность теми, Изучение свойств резольвенты и разделимос-I линейных и нелинейных дифференциальных операторов янляютеь ван-)ми задачами спектральной теории операторов и требуют тонких апатических исследований.

Изучению свойств резольвенты для двучленных обыкновенных ифференциальных уравнений второго порядка с коэффициентами, улоп-етворяющим условиям типа Э.Ч.Титчмаргаа посвящена известная раби-а Б.И.Левитана. Далее надобные результаты для дифференциальных равнений с операторными коэффициентами получены в работах Э.Аблу-адырова. Случай таких дифференциальных уравнений произвольного 1етного порядка рассмотрен М. Байрамш'ли и П.и.Алиевым. Они нодроб-ю изучали свойств функции Грина и получили асимптотику дли функ-щн распределения собственных значений.

Проблемой разделимости дифференциальных уравнений впервые занимались английские математики Ц.Н.Эиернтт, М.Гнртц. Они подробно изучали разделимость дифференциальных уравнений Штурма-Лнупмллн и их степеней. Ими и их учениками рассмотрены также полная разделимость дифференциальных уравнений с промежуточными членами и ;'раа-нений с частными производными .

Дальнейшие исследования в этом направлении принадлежат М.О.Отел-баеву. Именно и его работах разработана новая методика исследования разделимости обыкновенных дифференциальных уравнений,с по^глцью которого им и его учениками {М.Б.Муратбекоп, Э.З.Гриншпун, А.Пир-гебаев, Т.т.Аманова, А.Л.Измайлов, Р.оЯкаров, А.Тогочуев, М.Свпен-оо, Л.А.Шустер, А.тарифов и др.) получены ряд важных результатов

.' 5 .'

го уравнения третьего порядка на всей оси.

4. Получена численная оценка резольвенты для линейных дифференциальных уравнений третьего порядка.

5. Доказана теорема разделимости для линейних дифференциальных уравнений высокого порядка на всей осн.

6. Установлены свойств функции Грина линейных дифференциальных уравнений высокого порядка на всей оси.

Теоретическая у. практическая им'Ичю'.'П.. Диссертация носит еоретическиЯ характер. Полученные результаты имеют, и прикладам начение, так как многие задачи механики и физики приводят к ис-:ледуемым и диссертации задачам.

Апройпшгя pj-juru ■ Результату диссертации докладывались на об-1еинститутскои семинаре и ккм ли Азербайджанской Республики,на сс-гинарах отделов обыкновенных дифференциальных уравнений и енектра-]ыюй теории дифференциальных операторов и.чм ан Азербайджанской 'еспуб.'шки, на республиканской конференции молодух ученых по математике и механике 1Паку, 1987, 19S8, 1090), на сечинаре-совеиании ю функциональному анализу и его приложениям, посвященном памяти гкадемика З.И.Халнлопа (1911-1974). Баку, 27-30 мая 1991. '

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и ооъем работы. Диссертация' изложена на 121 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего 107.наименований и таблицы.

В настоящем автореферате сохранены номера теорем из диссертации.

; с !

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕГГАЦИИ

Но введении даются обзор литературы по затронутым в диссертации проблемам, постановки задач и основные полученные результаты.

В икр ной главе, состоящей из четырех параграфом, рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка и изучаются свойства функции Грина для такого уравнения.

Заметим, что изучению свойств функции Грина и доказательству теорем разделимости для операторов штурма-Дну вилл я посвящены работы К.М.Левитана, А.Г.Косиоченко, М.с.Отелбаеца, М.Байрамоглы, К,Х.Бойматона, М.Муратбекова, А.Пиргебаева, Б.И.Алиева, Т.Т.Амкн-овой, А.А.Абудова и др.

Получении!) нами результат обобщает на случай нелинейных дифф! решщальных уравнений известные результаты Е. М-. Левитана , в которы': установлены ряд свойств функции Грина для дифференциальных уравне ний Штурма-Лиувилля с потенциалами, удовлетьоряющими условиям гип: Э.Ч .Титчмарша.

В пространстве (И) , (К=(-ш,и)) рассматривается нелш.з(.ны дифференциальный оператор ¿, порожденный дифференциальным вирами

НИСМ

где у)-вещественная функция, непрерывная по обоим аргум!' ;ти X, У (-ю<х,у<га).

Кроме того, для ч(>г,у) , выполняется следующие условия гиг Э.Ч.Титчмарша:

1. д(х,у)г1.

Г 7 f

2. При каждом А>0

J [9if/t)-q(*,2)j(q{r,2)+A)"a[

Sup Sup ......... «D ,

]t-z\<c" [1*^1 + 11-г1га1

Доказана основная теорема

Теорема l.l.1. Вели выполнены условия 1.-2., то при достаточно больших Л>0' существует обратный оператор R^>»(z.+AI).

Доказательство теоремы ведется путем перехода от нелинейного дифференциального выражения J(у) к линейным локальным дифференциальным выражениям

для изучения свойств функции Грина рассматривается интегральное уравнение

to

G(x,n,v(.x) =г (х-т)) g (x, т), Jg (<;, i) ,r (£) ;a) x

-co

xg(X, v (*) ; Л) (X-O (Jr, 5, v (x); X) jd£

('.1.2)

Здесь g{x, £,v(x)-функция Грина дифференциального оператора Ly, который является замыканием оператора

iy. (У) =-у" (*) +q()f, v (*) )У(х) #

первоначально определенного на C™(R), где v(x-) такая функция, что «) Через С везде обозначена постоянная величина

при 1

'г(1)-бесконечно гладкая функция на оси -ю<с<ш такая, что

Интеграл, стоящие в праЬой части уравнения (1.1.2), становится сгнмаюшш оператором, что позволяет исследовать интегральное ура нение (1.1.2) методом последовательных приближений. Уравнени (1.1.2) фажтмчески не решается, а только используя' его, определя ются те нлы иные свойства функции С(х,т);А).

В конце первой главы применением принципа Шаудера доказыеа ется справедливость основной теоремы .

Глава 2 посвящена изучению свойств функции Грина и теорем

разделимости, а также' численным оценкам рез львенты для линейны

дифференциальнах уравнений третьего порядка.

Уравнения третьего порядка встречаются в физике при изучени

распространения импульсных лучевых волн,в теории пограничного сл

Кроме того уравнения третьего порядка интересны как регуляринато

уравнений переменного типа.

В пространстве (Б) рассматривается дифференциальный опер

тор X, порожденный дифференциальным выражением

где р(х), и -вещественные функции и удовлетворяют следующим у

г (£) -

1, прн

О, При |С|> 2 .

-1 (У) "-(РМ у" )' У (х) ,

(2.1.1

! 9 1

1. p(x)€c'(R), p (x) >0, p+(x) » sup |p'(n)|»0, q(*)al,

де с'(R)-пространство непрерывных функция на R, имеющих первуга епрерипиую производную.

2. При |x-£|s 1

С"' <р(х)р~' (>])<с , C~'<q(K)q~' (т>)<С ,

э{р(х) (q{*)+A) J} <С , р+(ДГ) (q(x)4-A) 3<С, А>0. 4. При 1 «

3. Sup}

хеРЛ

-а — -а I

"'(т,) (q(n)+A)-p~'(x)(q(*)+*)j |x-rj| (Р (*) (q(x)+A) <С,

где 0<а<| , ае (0, 1], Л>0.

С помощью интегрального уравнения

со

G(v,rj;A)-r(x--Tl)g(*,rj, ;А) - Jg (¡J, т,, ;А) | |р"' (?) (чШ+А)-р"1 (*) х

-OJ

x(q(x)+A.)]p<Or(*-$>g(x,e;A)-p<e) (X, £;А) (х--?)к

d? (2.1.4)

оказывается основная теорема § X второП глав«!

.' 10 I

Теореиа 2.1.1. Если выполнены условия 1.-4., то при достаточно больших \>о существует ограниченный обратный оператор Rii=(L+ *

+Л1)~{ который является интегральным оператором с ядром (функцией Грина) G(jr,n;A), удовлетворяющим следуюшы условиям;

а) G(x,T);A) непрерывна по переменным х, т);

C(x,n;?i)

б) Существует производная -, причем

an

___

ö3G(x. Ti,-A)

• В) -piX)-—-- +(q(x)+X)G(Jf,Tj})i)=0 h _

• 07) ' ' L

Используя уравнение (2.1.4) анологично первой главе изучается свойства функции Грина, кроме этого находится численное решеняе интегрального уравнения.

Обозначим через c"(R)-пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций на R. В с"{Е)-олределим оператор Lo:Lgy=l(y). Замыкание оператора обозначим через L.

Определение. Оператор L называется разделимым в пространстье если из того, что y(*)eD(l) (D(L)-область определения Оператора L) и

-(P(sc)y"(*))'+q(ir)y(Jr)ei.£(R) • вытекает, что ч(*)у(г)сГ.г(К) или (р(х)у" (х)) 'et (R>. >.

öiT

7)=Х-0

Р(х-)

/ 11 /

Теоремы разделимости впервые для скалярного уравнения штурма-[увилля появились в работах в.Н.Еверитта и м.Гиртца. эти авторы >учали поведение на бесконечности решений уравнения -y"+q(jr)y=0 с помощью полученных оценок исследовали функции Грина.

Доказана

Теорема 2.3.1. Пусть выполнены условия 1.- 4.. Тогда при

достаточно больших А>0:

1. оператор mi в пространстве L2(R) имеет ограниченный обратный.

2. оператор L р&злвяим в i5(R).

В этой же главе теорема 2.3.1 обобщается на более широкие ¡accu уравнений третьего порядка и в конце приводится пример.

В параграфе § 2.4 на конкретном примере численными методами использованием ЭВМ (IBM PC/AT 386) получены решение уравнения и :орость сходимости метода итераций при различных значениях пара-»тра Л. Для исследования скорости сходимости метод последователь-jx приближений при решений интегрального уравнения (2.1.4) рас-«отрен конкретный пример, когда р(х)з1, q(x)=i+e* и R=(0,1). >н этом интегральное уравнение (2.1.4) получается в виде!

t

G(Jf,T);A)=g{jr,rj, ;А)~ Jg(Ç, rj, ; Л) j jq (Ç) -q (x) J g (X, Ç ;X) -

о

~[39Ç<(Jf'Ç;X)+3gÇ(X'Çî?k)+g<Jf'e''4)])dÇ- (2.4.1)

Ниже приводится таблица значений iG^-Gj "для различных А:

! 12 I

Л.=0 Л=10 >1 = 1000 =10000 А=ЮОООО

ЛГ й -а а -а а -а в -В О -С

1*1 ( 1 * г 1 ) *3 1 1*1 1 1*1 I

1 . 0 1 .23Т22Е- 02 9 •98035Е- 03 2. 15247Е- 03 6. 65008Е- 04 1.61390Е-0.

2 . I 8 •8Э257Е- 03 4 80013Е-03 8. О3051Е- 04 8. 07746Е- 05 1.63905Е-0!

.2 8 .73971Е- 03 4 .44951Е- 03 3. 31726Е- 04 1. 04007Е- 05 1.75053Е-0!

4 .3 8 .42381Е- 03 4 12460Е-03 1. 36176Е- 04 1. 33921Е- Об 1.86960Е-1'

5 . 4 7 .93204Е- 03 3 .82424Е-03 5. 58993Е-05 1. 72437Е- 07 1.99676Е-1

б . 5 7 .25615Е- 03 3 •54632Е- 03 2. 29451Е- 05 2. 22028Е- 08 2.13257Е-1

7 .6 6 •39313Е- 03 3 .28В86Е-03 9 417В5Е-06 2. 8587 6Е-09 2.27760Е-1

8 .7 5 •34582Е- 03 3 .05013Е-03 3. 86535Е- 06 3. 68082Е- 10 2.43250Е-1

9 . 8 4 12366Е- 03 2 .82844Е- 03 1. 58634Е- Об 4 . 73919Е- 11 2.59792Е-2

Как видно, из таблицы при достаточных больших- А>0 итерации сходятся. Исходя из чего можно сделать вывод, что в(х,V!А)-являет ся функцией Грина дифференциального оператора X,.

В таблице, где номер столбца соответствует шагу итераций указаны скорости сходимости итераций. Например, при А=10 разность между шестым и пятым приближениями составляет 3.82424-Ю-3, при Л=1000 составляет 5.58993• Ю-5, при а=10000 составляет 1.72437х о-7 и при я-юоооо составляет 1.99676 • 10~'г. Отсюда следует вы вод о том, что при достаточно больших > функция в(х,тцХ) являетсг функцией Грина дифференциального оператора При \=юоооо после девятой итерации погрешность замена этих функций имеет порядок ю-20.

Третья глава посвящена изучению оператора Ь, порожденного дифференциальным выражением (га+к)-го порядка

(3.1.

в пространстве 1<г(К), где ст, кга-любое целое число.

.' 13

Доказана

теорема 3.1.1. Пусть выполнены условий

р(х)ес(к) (В) , p(sc)>0, р+(х) = sup |р<4) |>0, q(X¡21, (3.1.2)

|х-Т]|<»

"üe {Ъ)-прост ранет во непрерывных фуншяй на R, имеющих непре-

оывную производную h-ro порядка.

При |x-e|si

C"'<p(v)p"'(Т))<с , C"'<q(x)q"1 (n)<C , (3.1 3)

. i __i_

Supíp(*) (Ч(*)+Л) } <С, р+(к)(q(*)+A> ю+* <С, Л>0, (3.1.4), хек1- '

|[р~,(1>МЧ<Ч)+А)-р",(*)(Ч<*>+Я)]|*-ч| а|р ' (X)(q(*)+X)j а|<С, (3.1.5) -де 0<а<~ц, ае(0,1], \>0.

тогда при достаточно больших Л>0:

1. Оператор L+м в пространстве L¿(R) имеет ограниченный обратный ;

2. Оператор L разделим в L (R).

Георема ^оказывается путем представления резольвенты. Далее в ..той •лаве (§§3.2-3.3) изучена тахжа свойства функции Грина оператора L. \ конце глава отмечено, что полученные результаты с помощью »етодов теории возмущения можкч -"«посгранить на оператора Cíojíñe

/ 14 í

общего вида

m+k-l

Xy=-(p<x-)y(n) {x))'*'+ ^Г г;(х)у0)(х)+д(х)у(х)

в случае, когда р(х) и q(x) удовлетворяет условиям (3.1.2)-(3.1 а коэффициенты г(х) непрерывные в R и удовлетворяют услови обеспечивающим "подчиненность" в определенном смысле промежуток членов сумме

-(P(JC)y<M)<J¡r))(lt)4q(x)y(x).

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благо; ность своим научным руководительям■ профессору, д. ф. - м. н. Байрамоглы М. и к.ф.-м.н. Алиеву Б.и. за постановку задач и р; водство работой.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Алиев Б.И., Махмудов Н.М., Свойства разделимости одного д ференциальиого оператора третьего порядка на всей оси. ма VIII Респ. конф. мол. ученых по мат. и мех. Еаку, 26-29 о 1987. Баку, 1988, С. 19-20.

Z. Алиев В.И., Махмудов Н.и., Разделенность обыкновенных диф ренциальных уравнений третьего порядка на всей оси. Деп. ВИНИТИ, № 315-88. 19 С.

з. Алиев Б.И., Махмудов U.M., о функции Грина нелинейных ди$ ренцкальных уравнений второго порядка. Деп. в ВИНИТИ, » 1

i. 15 /

-89. 15 с.

4. Алиев Б.И., Махмудов Н.М., Функции Грина для дифференциальных уравнений третьего порядка. Дел. а ВИНИТИ, № 7348-89. 13с.

5. Махмудов н.м., Некоторые вопросы связанные с уравнениями третьего порядка. Некоторые иопр. ?латем. моделир. Баку, 1989, с.245-252.

6. Махмудов Н.М., свойства резольвенты нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, матер. IX Респ. конф.мол.учен. по мат. и мех.. Баку, 1990, с. 223-224.

7. Махмудов н.м., Гладкость решений одного дифференциального уравнения высокого порядка, матер. X Респ. конф. мол.учен.по мат. и ыех.. Баку, 1991, с. 162-163.

8. Махмудов U.M., Свойства резольвенты для линейных дифференциальных уравнений третьего порядка. Матер. X Респ. конф. мол. учен, по мат. и мех.. Баку, 1991, с. 164-165.

9. Махмудов U.M., свойства резольвенты для линейных дифференциальных уравнений высших порядков.Семинар-совещ.но функц.анал. и его прнлож., посвящ. памяти ак. 3.И.халилова. Баку, 27-30 мая 1991. Баку, "Элм", 1991, с.43.