К теории разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах Лебега тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

.г

л

^ «с*

ч*

' о

(\У

На правах рукописи УДК 517.91

Гуломнабпев Сардор Гулсмайдаровнч

К теории разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах Лебега

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе 2000

На правах рукописи УДК 517.91

Гуломнабнев Сардор Гуломандарович

К теории разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах Лебега

01.01.02 - дифференциальные уравнсшш

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата фнзико-математнческвх наук

Душанбе 2000

Работа выполнена в Худжандском филиале технологического университета Таджикистана

Научный руководитель: член-корреспондент Академии наук

Республики Таджикистан, доктор физико-математических наук, профессор Мухамадиев Э.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Курбанов И. К.,

кандидат физико-математических наук, доцент Раупов И. III.

Ведущая организация: Институт математики Академии наук

Республики Таджикистан

Зашита состоится й к дет^иу 2ооог.в

ч. на заседании

диссертационного совета Д 065.01.07 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Таджикском государственном национальном университете (734025, г. Душанбе, проспект Рудаки, 17).

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Таджикского государственного национального университета.

у

Автореферат разослан ¿1 С ¡И)с9>СуцУ)_ 2000г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук.

профессор Сафаров Д. X.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию проблемы разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка в пространствах функций, суммируемых по Лебегу на всей оси. Исследованию этой проблемы посвящены классические и фундаментальные работы Эсклангона, Ж.Л. Массера, Фавара, С.Г. Крейна, В.Б.Лидского, A.M. Молчанова, Э.М. Мухамадиева. В этих работах изучены условия обратимости и нормальной разрешимости линейных дифференциальных операторов в пространствах ограниченных и суммируемых в квадрате функций на оси и полуоси.

Исследование линейных обыкновенных дифференциальных уравнений на бесконечных интервалах актуально тем, что, как правило, результаты, относящиеся к исследованию линейных обыкновенных дифференцнальных уравнений с ограниченными коэффициентами на конечных интервалах, такие как условия разрешимости и нормальной разрешимости, непосредственно не переносятся на случаи, когда коэффициенты неограниченны или область изменения аргумента неограниченна.

Исследование линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами или с неограниченной областью изменения аргумента существенно зависит от поведения коэффициентов на бесконечности и вблизи точек неограниченности. Полное исследование этой зависимости применительно к конкретным задачам в конкретных функциональных пространствах еще далеко от своего завершения. В работах Г. Вейла, В.Б. Лидского, A.M. Молчанова, И.М.Рапопорта, И.М. Глазмана исследованы свойства спектра самосопряженных операторов, порожденных дифференциальными выражениями в зависимости от поведения коэффициентов.

Особый интерес представляет вопрос о разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных на всей оси функций и в пространстве суммируемых в некоторой степени на всей оси функций. В работах Ж.Л. Массера, Фавара, Э.М. Мухамадиева изучены условия разрешимости и нормальной разрешимости линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами в пространстве ограниченных на всей оси функций. В этом случае важную роль играют так называемые предельные уравнения, порождаемые самыми уравнениями.

В работах Лабиба исследованы условия существования ограниченных на всей оси решений для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, когда коэффициенты являются многочленами по независимой переменной. Представляет интерес исследовать условия разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами (более общими чем, многочлены) в пространствах ограниченных и суммируемых на всей оси функций.

Исследование разрешимости дифференциальных уравнений тесно связано со свойством разделимости дифференциальных операторов в функциональных пространствах. Систематическое изучение свойства разделимости дифференцнальных операторов в функциональных пространствах берет свое начало от работ В.Н. Эверитта и М. Гирна. 0 дальнейшем, теория разделимости развита в работах Ф.В. Аткинсона, М.О. Оюлбаева, К.Х. Бойматова и ряда других авторов. Имеющиеся исследования но icopmi ра<делимости дифференциальных

операторов в функциональных пространствах в основном опираются на современные методы функционального анализа. В связи с этим представляет научный интерес исследование поведения решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения в зависимости от поведения коэффициентов на бесконечности, особенно в случае неограниченных коэффициентов, и на основе этого изучать условия обратимости и разделимости соответствующего дифференциального оператора в функциональных пространствах.

Цель работы. Исследование проблемы разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в пространстве суммируемых на всей оси вектор-функций, а также проблемы разрешимости и нормальной разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с ограниченными и ■ неограниченными коэффициентами в пространствах ограниченных и суммируемых на всей оси функций.

Методы исследования. В работе применяются современные методы теории дифференциальных уравнений и функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

1. Найдены новые условия разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в пространствах Лебега.

2. В терминах предельных уравнений получены новые результаты о нормальной разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с ограниченными коэффициентами в пространстве ограниченных на всей оси функций.

3. На основе анализа свойств нормальной разрешимости дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами найдены новые условия разделимости линейных дифференциальных операторов второго порядка с неограниченными коэффициентами в пространстве ограниченных функций.

4. Найдено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимое!» линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в пространстве суммируемых на всей оси функций.

5. Доказано, что критерий компактности A.M. Молчанова в пространстве суммируемых в квадрате на всей оси функций для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка остается верным и в пространстве суммируемых на всей оси функций.

Теоретическая н практическая ценность работы. Работа теоретическая. В ней развиты идеи и методы исследования разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах Лебега. Результаты работы представляют научный интерес и могут быть использованы в теории разрешимости дифференциальных уравнений в функциональных пространствах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях, проходивших в городах Самарканде (ноябрь 1997г.), Душанбе (июнь 2000г.), на областных конференциях, проходивших в Худжанде • (1996, 1997 г.г.), в ряде выступлений на семинарах члена-корреспондента Академии наук Республики Таджикистан, профессора Э.М.Мухамадиева (1994-2000г.г.), на общем семинаре департамента компютерных наук Худжандского филиала технологического университета Таджикистана (руководитель - профессор П.А. Пулатов. сентябрь 2000г.), на

общеинститутском семинаре Института математики Академии наук Республики Таджикистан ( руководитель - академик Академии наук Республики Таджикистан J1. Г. Михайлов, ноябрь 2000г. ), на общем семинаре кафедр теории функций и математического анализа, .функционального анализа и дифференциальных уравнений, высшей математики Таджикского государственного национального университета (руководитель - член-корреспондент Академии наук Республики Таджикистан, профессор Н.Р. Раджабов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 научных работах. Из работ, написанных в соавторстве, в диссертацию включены только те результаты, которые получены автором лично.

Структура н объем работы. Диссертация изложена на 120 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 46 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор работ, близких к теме диссертации, и излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена исследованию вопроса о разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в пространствах Лебега. Полученные результаты обобщают н дополняют результаты работ Лабиба, где исследованы условия разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами в пространстве ограниченных на всей оси функций.

Во второй главе, рассматривая линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с ограниченными коэффициентами, с помощью предельных уравнений, порождаемых самым уравнением, исследованы условия нормальной и однозначной разрешимости уравнения в пространстве существенно ограниченных на всей оси функций. Полученные результаты применяются при исследовании свойства разделимости линейных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка с неограниченными коэффициентами в пространстве существенно ограниченных на всей оси функции.

В третьей главе рассматривается вопрос об однозначной разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с локально интегрируемыми коэффициентами в пространстве суммируемых на всей оси функций. Для соответствующего обратного оператора доказан критерий вполне непрерывности, являющийся аналогом критерии A.M. Молчанова в пространстве суммируемых в квадрате на всей оси функций. Полученные результаты об однозначной разрешимости переносятся на сопряженное пространство - пространства существенно ограниченных функций. Затем, с помощью интерполяционной теоремы Рксса, аналогичные результаты выводятся для произвольного пространства суммируемых в некоторой степени функций на всей оси.

Изложим отдельно по главам содержание основных результатов диссертационной работы.

Лервап глава состоит из трех параграфов и посвящена исследованию вопроса о разрешимости систем линейных дифференциальных уравнений

Vt-00»-*0)= /«: dïïfr6 V-^400)

(1) лг' = В(/)*+ /(/), лге/Л

в пространстве Lp(-со,+00). Предполагается, что матрица-функция S(f) имеет вид

(2) 0(O = a(Oflo + Bi(').

где В0 - постоянная матрица, спектр которой не пересекается с мнимой осью,

А = |о(/) : а(1) - непрерывна, Нш c(i) =+оо | , Н] (/) - матрица-функция, удовлетворяющая условию

О) нтМЦ,

и-»« «(О

а ДО - вектор-функция, определенная на всей оси и принадлежащая пространству

АО >( о| + 1"

Вопрос о разрешимости уравнения (1) в пространстве почти периодических функций был изучен в работе Ж.Л. Массера при предположении о почти периодичности функций a(t) и /(/), в пространстве ограниченных на всей оси функций в работах Э.М. Мухамадиева при предположении об ограниченности функций а(1) и /(/). В работах Лабиба была изучена разрешимость уравнения (1) в пространстве ограниченных на всей оси функций в случае, когда a(t) есть многочлен по t.

Наряду с уравнением (1) рассматривается его частный случай, а именно (4) x' = B0a(t)x + f(t), xeRn.

Вопрос о разрешимости уравнения (4) в пространстве Lp (-00,400) существенным образом связан с поведением скалярной функции a(t) на бесконечности. В первой главе найдено условие на a(t), при выполнении которого уравнение (4) имеет решение в пространстве¿р(-оо,+оо) для любой функции /(f) из /,;, (1(-со,+оэ). Оказывается, это условие при заданной матрицы В0 зависит также от расположения спектра матрицы BQ, точнее от меры близости спектра к мнимой

оси. Для удобства изложения вводятся следующие обозначения » <

j -aja(r)dr + <ю -/?Jo(r)i/r

у/'а (s) = o(j) Je ' dt, y/p(s) = a{s) \e • dt,

-00 s

Aâ = : aC) e/t> Ma = supj^(i)j < 00 J ,

a(t)eA, = sup|y^(s)|<oo |.

Оказывается, вопрос о разрешимости уравнения (1) в пространстве Lp(-<*>,-Ko) зависит от ограниченности функций \j/~a (s) и iffp (s), т.е. от

принадлежности функции a(t) множествам А~ и Ар. Поэтому возникает необходимость в выявлении характерных свойств множеств А~ и Ар как подмножества множества А. Первый параграф посвящен этому вопросу. В нем достаточно подробно изучается множество А~. Приводятся несколько критерий принадлежности функции a(t) множеству А~. В частности, в случае, когда функция a(t) является дифференцируемой функцией, получен следующий критерий принадлежности a(t) множеству А~.

Лемма 1.1.9. Пусть a(t) дифференцируемая на всей оси функция, удовлетворяющая условию

(5) Шп^Т7~<а-

|||->ооЯ (О

Тогда a(t)eA~.

Во втором параграфе рассматривается однородная система линейных дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующая уравненню (1). (8) x' = B(t)x, хе R",

Исследуется вопрос о наличии или отсутствии ненулевых решений системы (8), принадлежащих пространству Lp (-оо,+со).

Основным результатом второго параграфа является следующая Теорема 1.2.1. Пусть a(t)eA, Bt(t) удовлетворяет условию (3) и выполнено одно из следующих условий:

а) а{В0) с П_; б) ст(Я0)сП+.

Тогда система (8) не имеет ненулевых решений, принадлежащих пространству Lp(-<o,+<x>).

Здесь П_ - левая полуплоскость, а П+ - правая полуплоскость комплексной плоскости.

В третьем параграфе приведены основные результаты первой главы. Пусть m количество собственных значений матрицы В0, принадлежащих левой полуплоскости. Справедлива

Теорема 1.3.1. Пусть a(t)eA~ в случае m = 0, a(t) е Ар в случае т = п и

a(t) е /) ~ гл Ар в случае \< т<п - \ . Тогда система (4) для любой функции f(t)cLp:a (-оо.+оо) имеет единственное решение из Lp (-оо,-ко).

С помощью экспоненты-матрицы определяется квадратная матрица-функция GgQ(t,s) порядка пх п:

если m = О, то

Од, (/,') =

если I 2 т ^ п -1, то

<4 (/,*) =

О при 15 5

Д0|о(г)</г С ' при I >5,

Р1 а(г)(/г

-V diag(e ' ,0)1Г1 при /¿з

К1а(.т)11г

и сНсщ(0,е • )1/~1 при

если т = и, то

|«(г)Л

-е ' при

О /1/>М / >

где (/ - невырожденная матрица, такая, что

В0=и diag(P,N)U~x, ст(Р)сП+, #)сП. Далее, введено в рассмотрение интегральное уравнение

(9) х(0= |СДо (Г,

-00

где

и доказана следующая

Теорема 1.3.2. Пусть а(/) е А~ в случае т = 0, А*р в случае т = п и

а(1)еЛ~Г*Ар в случае ¿п Тогда разрешимость системы (!) в

пространстве ¿р(-со,+со) эквивалентна разрешимости интегрального уравнения (9) в пространстве Ьр(—оо,+оо). Вводя обозначения

+00 *я>

интегральное уравнение (9) записывается в операторном виде

ж = Тх +

Имеет место следующая

Теорема 1.3.3. Оператор Т: ¿^(-оо.+оо) —► ¿^(-оо.+со), (\< р< со) вполне непрерывен.

Вторая глава также состоит из трех параграфов. В параграфе 2.1 приведены основные определения и леммы. Введены в рассмотрения ¿л(-оо,+оо) -пространство измеримых и существенно ограниченных на (-<»,+<«) функций с нормой

и,.,-.», = ™ 1/о! =

$

а тахже пространство состоящее из ограниченных и абсолютно

непрерывных на каждом отрезке функций /(f), для которых производная /'(О принадлежит пространству (-оо,+оо) и пространство £^(-чх>,+оо), состоящее из функций /(f) е(-со,-но), для которых производная /'(/) абсолютно непрерывна на каждом отрезке, а вторая производная /"(О принадлежит ггространсту Лт(-со,+оо).

Пространства ZL^, (—со,-юо) и L1^ (-со,+00) гак же являются полными линейными нормированными пространствами с нормами

s»p I/WMI/!^,.

соогветственно.

Далее, no второй главе рассматривается линейное дифференциалмгое урпвнеште

(10) ¿xsx" + a(f)x' + ¿(0* =/(').

где функции о(1), 6(0 и fit) принадлежат пространству L^(-co,+oc). Функция д:(/) называется решением уравнения (10), если она имеет абсолютно непрерывную на каждом отрезке производную ж'(f) и удовлетворяет уравнению (10) , почти всюду.

Имеет место следующая

Лемма 2.1.1. (Эсклангои). Пусть х(1) - решение уравнения (10), ограниченное на всей оси. Тогда функции х'(f) ti x"(J) также ограниченны, т е. х(1) е Ll (--ayfco).

Наряду с уравнением (10) рассматриваются однородное уравнение

(11) Lxsx" + a(t)x' + b(l)x = 0 и предельные однородные уравнения

(12) Lx*x" + a(t)x' + b(t)x=:Q,

где коэффициенты a(f) и 6(f) определяются как слабые пределы последовательностей сдвигов {a(f + /»t)} и {b(t + hk)), ( при к—в

пространстве /^("''•П для любого Т.

Через Н(а,Ь) обозначено множестпо пар функций (<?('), f>(t)), определяемые равенствами

+л> 4 со

(13) \a(t)<p(t)dt = lim Jb(t + hk)<p(t)dt,

-да *-»«_«,

(H) Km \b(t + hk)<p(t)dt,

-CO *"♦«>-<о

для любой непрерывной функции p(f) с компактным носителем. Соответственно через Н(Ь) обозначено множество функций ft(/), определяемых равенством (14).

Имеют место следующие леммы

Лемма 2.1.2. Пусть ¿(/) е ¿„.(-оо.+оо). Тогда для принадлежности функции ¿>(f)6Le(-oo,+oo) множеству Н(Ь), необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность {h^ }, J/»A j —> ао при к —>со такая, что

I < ~

(15) lim /¿(г + hk )dz = Jb (j)dz V/ e (-co,+00).

k -»coo 0

Лемма 2.1.4. Пусть b(t) <. О и множество f 1(b) не содержит ноль. Тогда однородное уравнение (11) не имеет ненулевых ограниченных решений.

В параграфе 2.2 исследуется вопрос о нормальной разрешимости оператора Lx&x" + a(l)x' + b(t)x в пространстве /.„(-оо,+оо). Оператор L рассматривается как оператор, действующий из пространства /¿(—со,-ко) в /.„(-«>,-Н») с областью определения 00,+00). Изучается также вопрос об ограниченной обратимости оператора Z,: L^(-oo,+oo) —> ¿„(-оо,+оо). Оказывается, что при исследовании вышеизложенных вопросов важную роль играют предельные уравнения (12).

Имеет место следующая теорема, которая является основным результатом второй главы.

Теорема 2.2.1. Следующие утверждения эквивалентны:

а) Оператор L: L2m (-со,-не) -> ¿„(-со.+сс) нормально разрешим.

б) Существует М> 0 такое, что

и<1с~.~> ^+т+k'(O)i) V* е ы(-СО.+СО).

в) Существует С > 0 такое, что

VxelK-co.+oo)

для любого предельного оператора L, определяемого парой функций (а,Ь)еН(а,Ь).

г) Все однородные уравнения вида (12), где (а,Ь) б Н(а,Ь), не имеют ненулевых ограниченных на всей оси решений.

1 Далее, приведены признаки обратимости и нормальной разрешимости оператора L: со,+00) —> /-«,(-00,+°°). Доказаны следующие теоремы. Теорема 2.2.2. Пусть функция b(t) удовлетворяет условию

(16) lim mes{t: b(t)Z0, t0 ¿t£t0 +1 } = 1.

Тогда для нормальной разрешимости оператора L: о,+00) —» ¿ш(-оо,+оо)

необходимо и достаточно, чтобы существовали числа £>0, 1 >О такие, что (¡7) Urn mes{l: b(t)<.~e, l0 Zl<,t0 +1 } = a>0.

|'o|->®

Теорема 2.2.3. Пусть b(t) < 0 и множество H(b) не содержит ноль. Тогда неоднородное уравнение (10) для любого / е ¿^(-оо.+оо) гшеет единственное решение из о,+со).

В третьем параграфе рассматривается дифференциальное уравнение (18) z" - q(t)z — g(t),

где q(t), g(t) заданные, локально интегрируемые на всей оси функции.

Определение. Будем говорить, что уравнение (18) обладает свойством разделимости в пространстве Ью (-оо,+оо), если из того, что функция g(t) принадлежит пространству (-00,+00) следует, что для решения z(t) уравнения

(18), принадлежащее пространству ¿м(-ао,+со), функции q(t)z(t) и z'(t) также принадлежат пространству £„(-оэ,4-оо)

В силу леммы Эсклангона дифференциальное уравнение (18) с ограниченным на всей оси коэффициентом q(t) обладает свойством разделимости в пространстве ¿„(-оо.+оо). Оказывается, достаточно широкий класс дифференциальных уравнений вида (18) с неограниченными коэффициентами также обладают свойством разделимости в пространстве ао,+аэ) Если уравнение (18) обладает свойством разделимости, то вместе с решением z(t) пространству Lm (-00,-н») принадлежит и его производная z'{t).

Наряду с уравнением (18) рассматривается соответствующее однородное уравнение

(19) z" — q{t)z-Q.

Лемма 2.3.1. Пусть функция q(l) неотрицательна, лдкалыю интегрируема и тождественно не равна нулю на (-оо,+со). Тогда однородное уравнение (19) не имеет ненулевых ограниченных на всей оси решений.

Далее, предполагается, что функция q(t) имеет непрерывные производные q'(t), q"(t) и удовлетворяет условиям:

(20) lim q(s)>0,

и-»®

_ q'2(s)

(21) limVr<ao'

И-*» q (*)

n »

(22) ' -oo< [im i-j-l * <>• Имеет место

Теорема 2.3.1. Пусть функция q(l) удовлетворяет условиям (20)-(22), Тогда уравнение (¡8) обладает свойством разделимости в пространстве Lm (-«>,+<»).

Продолжая изучение свойства разделимости уравнения (18) для гладких функций <7(/) > удовлетворяющих условию

(23) lim <7(0 = +00 ,

и полагая

m -««У*'* \f F~q'(s)

т± ~ !1Ш ~ГГ1> M± - Inn-177:.

i->i» ^ (5) q )

доказана

It

Теорема 2.3.2. Пусть функция удовлетворяет условию

|и±| + -М±<1.

Тогда уравнение (18) обладает свойством разделилюсти в пространстве

¿оо (~с0>+<!0) •

Далее, изучается свойства разделимости уравнения (18) в общем случае, когда лишь непрерывная функция. В этом случае предполагается, что

существует дважды непрерывная дифференцируемая положительная функция <7о(0< удовлетворяющая условиям:

(25)

(26)

0< Нп, Ж* ^£1<оо,

>2

>«оМ

1ш зТТ

»-ИИ

/

(27) -оо< Иш

Ы-><»

1

* Нш

1

ЧоС*)

ЯоСО

<0.

Теорема 2.3.3. Пусть функция д(<) непрерывна и удовлетворяет условию (23). Пусть существует положительная функция д0('). удовлетворяющая условиям (25)-(27). Тогда уравнение (18) обладает свойством разделимости.

В третьей главе рассматривается линейное дифференциальное уравнение

(28) £ХВ-Х' + 9(Г)х = *(0.

где </(/) и g(t) локально интегрируемые на (-со,+оо) функции. Исследованию уравнения (28) посвящены многочисленные работы. В частности, получены различные критерии разрешимости уравнения (28) в пространстве суммируемых в квадрате на всей оси функций и в пространстве ограниченных на всей оси функций. В данной главе исследуется вопрос о разрешимости уравнения (28) в пространствах Лебега ¿р(-оо,+оо), р>\,

В параграфе 3.1 исследуется вопрос о разрешимости уравнения (28) в пространстве Ьу (-оо,+оо). Наряду с уравнением (28) рассматривается однородное уравнение

(29) ¿*г-х' + 9(<)* = 0. Имеют место следующие леммы.

Лемма 3.1.1.. Пусть > 0. Тогда однородное уравнение (29) не имеет ненулевых решений, принадлежащих пространству Ь1 (-оо,+оо).

Лемма 3.1.2. Пусть >0. Тогда для любого на отрезке [-ЛД] уравнение (28) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям

*(-*) = дг(*) = 0.

Причем, это решение неотрицательно, если функция g(l) неотрицательна.

Далее, • определяется м .¿линейный оператор А^ порожденный дифференциальным выражением - х" + <?(/)*, задавая его область определения О,

N

как множество функций x(t), для которых x(t), х'(/) абсолютно непрерывны па каждом конечном отрезке и функции x(t), - х" + q(t)x принадлежат пространству L] (-оо,+оо). Доказана

Теорема 3.2.1. Пусть q(t) ;> 0. Тогда для того, чтобы уравнение (28) для любой функции g(t) из Lx (-оо,+оо) имело решение из L\ (—со,+оо), необходимо и достаточно, чтобы q(t) удовлетворяла условию

1 Ь

(30) ¡7= lim -~—\q{t)dt>0.

ь-а-*<*> Ь — а а

Параграф 3.2 посвящен вопросу о свойстве разделимости уравнения (28) в пространстве оо,-нх>). Пользуясь теоремой 3.1.1, доказаны следующие теоремы.

Теорем» 3.2.1. Пусть функция q(t) ограничена снизу. Тогда уравнение (28) обладает свойством разделимости в пространстве Lt (-оо,+со).

Теорема 3.2.2. Пусть q(t) ä 0 и выполнено условие, (30). Тогда наряду с решением х(/) уравнения (28) функции q(t)x(t), x'(t), x'(t) также принадлежат пространству Lt(—оо,+<хз).

В параграфе 3.3 исследуются свойства обратного оператора <4f'. Пусть q(t) £ 0 и выполнено условие (30). Тогда согласно, теореме 3.1.1 существует обратный оператор А{1: ^(-оо.+ао) —► i,, (—оо,+оэ), сопоставляющий каждой функции g(t) е Lt (-оо,-ко) решение уравнения (28). Для получения представлекяя оператора Л,-1 строится функция Грина. С помощью функции Грина обратный оператор Л,-1 представляется в виде

—да

Из теоремы 3.2.1 следует непрерывность оператора А[1. Оказьгейетсг, прл более сильном условии на функцию q(t) оператор /ff1 будет кг50ял?' непрерывным. Это условие является аналогом критерий A.M. Молчанова, который имеет место в пространстве /^(-оо.+оо). А тленно, имеет место следующая

Теорема 3.3.1. Пусть q(t) Ü 0 и выполнено условие (30). Тогда для епачче непрерывности оператора /ff' : L\ (-w,+cb) —> ¿, (-<»,+<») необходимо и

достаточно, чтобы для любого а> 0 выполнялось условие

1+в

(31) Нш |</(1)Л = +оо.

В параграфе 3.4 результаты об однозначной разрешимости переносятся па сопряженное пространство - пространства существенно ограниченных на всей оси функций. Доказана следующая

Теорема 3.4.1. Пусть q(t) > 0 и выполнено условие (30). Тогда уравнение (28) имеет решение, принадлежащее L„ (-оо.-ко). Обратный оператор

Д^1 (-оо,+оо)—>Х„ (-<*>,+<») совпадает с сопряженным оператором

(л,"1)": Ь„ (-со,-ко) -> ¿ю (-со,+ао) оператора А,'1: I, (-оо.+оо) Ц (-со,-ко), определенного равенством

—СО

В параграфе 3.5, с помощью интерполяционной теоремы Рисса, результаты об однозначной разрешимости выводятся для произвольного пространства Ьр (—оо,+оо), р £ 1. Доказано, что существует ограниченный оператор

Вр : Ьр(-оо,+оо) -» (-со,+оо), имеющий вид

-00

и являющийся обратным к оператору

Арх^-х" + д(1)х, хеИр,

где Ор есть множество функций *(/), для которых х(е), х'(() абсолютно непрерывны на каждом конечном отрезке и принадлежат пространству Ьр (-00,-ко).

В заключении автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководитель«), члену-корреспонденту Академии наук Республики Таджикистан, профессору Э.М. Мухамадиеву за неоценимую помощь и поддержку, оказанную им на протяжении многих лет работы.

Основные результаты диссертации опубликоваиы в следующих работах:

1. Гуломнабиев С.Г. Об ограниченных решениях линейных дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов научно-теоретической конференции молодых ученых, аспирантов и специалистов Ленинабадской области, Худжанд, 1996. - С. 6.

2. Гуломнабиев С.Г. О разрешимости линейного дифференциального уравнения с неограниченными коэффициентами в пространстве суммируемых в квадрате на всей оси функций. // Сборник научных трудов. Материалы конференции профессорско-преподовательского состава, посвященной 5-летию филиала и первого выпуска специалистов, Худжанд, 1997. - С. 30.

3. Гуломнабиев С.Г. О разрешимости линейного дифференциального уравнения с неограниченными коэффициентами в пространстве суммируемых на

всей оси функций. // Сборник научных трудов. Материалы конференции молодых ученых Ленинабадской области, посвященной 65-летию ХГУ, Худжанд, 1997.-С.7.

4. Гуломнабиев С.Г., Мухамадиев Э.М. Свойства разделимости линейных дифференциальных уравнений второго порядка. // Современные проблемы прикладной математики и :хономики. Материалы международной конференции, Самарканд, 1997.-С. 182.-187.

5. Гуломнабиев С. Г. О разрешимости линейного диффенциального уравнения в пространстве суммируемых на всей оси функций. //Дифференциальные уравнения и их приложения. Материалы международной конференции, посвященной 60-летию Т. Собирова, Душанбе, 2000,- С. 21.

6. Гуломнабиев С.Г. О разрешимости дифференциальных уравнений второго порядка в пространствах Лебега. И ДАН РТ, № 4,2000 г. - С. 18-24.

и

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Разрешимость линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в пространствах Лебега

§1.1 Постановка задачи, основные определения и вспомогательные утверждения.

§1.2 О решениях однородной системы.

§1.3 Разрешимость неоднородной системы.

ГЛАВА II. Ограниченные решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

§2.1 Основные определения и леммы

§2.2 Линейные дифференциальные уравнения с ограниченными коэффициентами

4« «Зйу?,»^

§2.3 Линейные дифференциальные ур.%неадия:огне0ц>аниченными коэффициентами

ГЛАВА III. Разрешимость линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в пространствах Лебега

§3.1 О разрешимости дифференциальных уравнений в пространстве

Lx (-оо,+оо)

§3.2 О разделимости дифференциальных уравнений в пространстве

L{(-ao,+оо)

§3.3 Об обратном операторе

§3.4 О разрешимости дифференциальных уравнений в пространстве

-оо,+оо)

§3.5 О разрешимости дифференциальных уравнений в пространствах

Lp (-со,+со), 1<р<со

Диссертационная работа посвящена исследованию проблемы разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка в пространствах функций, суммируемых по Лебегу на всей оси. Исследованию этой проблемы посвящены классические и фундаментальные работы Эсклангона [41], Ж.Л. Массера [27], Фавара [40], С.Г. Крейна [21. 22], В.Б.Лидского [25], А.М.Молчанова [28], Э.М. Мухамадиева [29, 30, 31]. В этих работах изучены условия обратимости и нормальной разрешимости линейных дифференциальных операторов в пространствах ограниченных и суммируемых в квадрате функций на оси и полуоси.

Исследование линейных обыкновенных дифференциальных уравнений на бесконечных интервалах актуально тем, что, как правило, результаты, относящиеся к исследованию линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами на конечных интервалах, такие как условия разрешимости и нормальной разрешимости, непосредственно не переносятся на случаи, когда коэффициенты неограниченны или область изменения аргумента неограниченна.

Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами или с неограниченной областью изменения аргумента существенно зависит от поведения коэффициентов на бесконечности и вблизи точек неограниченности. Полное исследование этой зависимости применительно к конкретным задачам в конкретных функциональных пространствах еще далеко от своего завершения. В работах Г. Вейла [44], В.Б. Лидского [25], A.M. Молчанова [28], И.М. Глазмана [45], И.М. Рапопорта [46], исследованы свойства спектра самосопряженных операторов, порожденных дифференциальными выражениями в зависимости от поведения коэффициентов.

Особый интерес представляет вопрос о разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных на всей оси функций и в пространстве суммируемых в некоторой степени на всей оси функций. В работах Ж.Л. Массера, Фавара, Э.М. Мухамадиева изучены условия разрешимости и нормальной разрешимости линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами в пространстве ограниченных на всей оси функций. В этом случае важную роль играют так называемые предельные уравнения, порождаемые самими уравнениями.

В работах Лабиба [23, 24] исследованы условия существования ограниченных на всей оси решений для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, когда коэффициенты являются многочленами по независимой переменной. Представляет интерес исследовать условия разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами (необязательно многочлены) в пространствах ограниченных и суммируемых на всей оси функций.

Дополнительные свойства решений дифференциальных уравнений тесно связаны со свойством разделимости соответствующих дифференциальных операторов в функциональных пространствах. Систематическое изучение свойства разделимости дифференциальных операторов в функциональных пространствах берет свое начало от работ В.Н. Эверитта и М. Гирца [43]. В дальнейшем, эта теория развита в работах Ф.В. Аткинсона [1], М.О. Отелбаева [34, 35], К.Х. Бойматова [2, 3] и ряда других авторов. Имеющиеся исследования по теории разделимости дифференциальных операторов в функциональных пространствах в основном опираются на современные методы функционального анализа. В связи с этим представляет научный интерес исследование поведения решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения в зависимости от поведения коэффициентов на бесконечности, особенно в случае неограниченных коэффициентов, и на основе этого изучать условия обратимости и разделимости соответствующего дифференциального оператора в функциональных пространствах.

Настоящая диссертационная работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена исследованию вопроса о разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в пространствах Лебега. Полученные результаты обобщают и дополняют результаты работ Лабиба [23, 24], где исследованы условия разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами в пространстве ограниченных на всей оси функций.

Во второй главе, изучается линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с ограниченными коэффициентами. С помощью предельных уравнений, порождаемых самим уравнением, исследованы условия нормальной и однозначной разрешимости уравнения в пространстве существенно ограниченных на всей оси функций. Полученные результаты применяются при исследовании свойства разделимости линейных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка с неограниченными коэффициентами в пространствах Лебега.

В третьей главе рассматривается вопрос об однозначной разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с локально интегрируемыми коэффициентами в пространстве суммируемых на всей оси функций. Для соответствующего обратного оператора доказан критерий вполне непрерывности, являющийся аналогом критерии A.M. Молчанова [28] в пространстве суммируемых в квадрате на всей оси функций. Полученные результаты об однозначной разрешимости переносятся на сопряженное пространство - пространства существенно ограниченных функций. Затем, с помощью интерполяционной теоремы Рисса, аналогичные результаты выводятся для пространства Lp (—со,+со), 1 <р< со .

Изложим отдельно по главам содержание основных результатов диссертационной работы.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена исследованию вопроса о разрешимости систем линейных дифференциальных уравнений в пространстве Z, (-оо,+оо). Предполагается, что матрица-функция B(t) имеет вид где В0 - постоянная матрица, спектр сг(В0) которой не пересекается с мнимой осью, функция a{t) принадлежит множеству А,

1) х' = B(t)x + fit), xeRn,

2)

B(t) = a(t)BQ+B{(t),

A = < a(t): a(t) - непрерывна, Hm a{t) = oo У ,

В\ (t) - матрица-функция, удовлетворяющая условию (3)

К (Oil lim LLU = o. t\->™ a(t) a /(0 - определенная на всей оси вектор-функция, принадлежащая пространству

О : ГТ~7П~7 G (—со,+00) а(0| +1

Вопрос о разрешимости уравнения (1) в скалярном случае (п=1), в пространстве почти периодических функций был изучен в работе Ж.Л. Массера [27] при предположении о почти периодичности функций a{t) и f(t), в пространстве ограниченных функций в работах Э.М. Мухамадиева [29. 30, 31] при предположении об ограниченности функций a{t) и /(/). В работах Лабиба [23, 24] была изучена разрешимость уравнения (1) в пространстве ограниченных функций, в случае когда элементы матрицы B(t) являются многочленами по t.

Наряду с уравнением (1) рассматривается его частный случай, а именно (4) x'-B0a(t)x + f(t), xeR".

Вопрос о разрешимости уравнения (4) в пространстве Ьр{-оо,+оо) существенным образом связан с поведением скалярной функции a{t) на бесконечности. В первой главе найдено условие на a(t), при выполнении которого уравнение (4) имеет решение в пространствеLp(—00,+со) для любой функции f{t) из Lp.a{—со,+со). Оказывается, что при заданной матрицы В0 поведение функции зависит так же от расположения спектра матрицы В0, точнее от меры близости спектра к мнимой оси. Для удобства изложения вводятся следующие обозначения -а\а{т)с1т

Ya(s) = a(s)\e ' dt>

00 ~р^а{т)ёт у/+р (s) = a(s) j е s dt,

Аа = \ a(s): a(s) е A, sup у/а (я) seR

00

Ap=\a{s)\ a(s)eA, sup y/+p(s) ssR 00

Оказывается, вопрос о разрешимости уравнения (1) в пространстве (-оо,+оо) существенно зависит от ограниченности функций у/~ (s) и y/+p(s), то есть от принадлежности функции a(t) множествам А~ и Ар. Поэтому возникает необходимость в выявлении характерных свойств множеств А~ и Ар как подмножества множества А. Приводятся свойства множеств А~ и Ар из которых видно, что для исследование их структур достаточно анализировать случай а-1, то есть множество Af. Первый параграф посвящен исследованию этого вопроса. В нем достаточно подробно изучается множество Af. Приводятся несколько критерий принадлежности функции a{t) множеству Af. В частности, в случае, когда функция a{t) является дифференцируемой функцией, получены следующие критерии принадлежности a{t) множеству Af.

Лемма 1.1.9. Пусть a(t) дифференцируемая на всей оси функция, удовлетворяющая условию оо а (О

Тогда a(t) е Af.

Ослабив условие предыдущей леммы, получено более точное утверждение. Лемма 1.1.10. Пусть a(t) дифференцируемая на всей оси функция удовлетворяющая условию (6) \a'(t)a~2(t)\<M.

Тогда для того, чтобы a(t) е Af, необходимо и достаточно, чтобы

1па(я) - In a{t)

V) v lim —г^

Ja(r)dr->oo ja(r)dr t

Во втором параграфе рассматривается однородная система линейных дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующая уравнению (1)

8) x' = B(t)x, xeR".

Исследуется вопрос о наличии или отсутствии решений системы (8), принадлежащих пространству Lp (—00,+00).

Основным результатом второго параграфа является следующая

Теорема 1.2.1. Пусть a{t)^A, B^{t) удовлетворяет условию (3) и выполнено одно из следующих условий а) сг(50)сП; б) сг(£0)с=П+.

Тогда система (8) не имеет ненулевых решений, принадлежащих пространству Lp{-со,+со).

Здесь П -левая (П+ -правая ) открытая полуплоскость комплексной плоскости .

В третьем параграфе приведены основные результаты первой главы. Пусть т количество собственных значений матрицы В0, принадлежащих левой полуплоскости, а и /? числа определяемые полосой Па.р = {Я е С: -(5 < Re/l < а] содержащей мнимую ось и не имеющей пересечение со спектром матрицы В0 . Справедлива

Теорема 1.3.1. Пусть a(t)&A~ в случае т = 0, a(t)eA^ в случае т = п и a(t)EA~(^Ap в случае \<т<п — \. Тогда система (4) для любой функции f(t) е Lp.a{—оо,+со) имеет единственное решение из Lp (—00,+00).

Используя экспоненту-матрицу, определяется квадратная матрица-функция GBo (t,s) порядка их п следующим образом: если т = п, то

О при t <s

GBq (t,s) =

B0\a{r)dz e s при t> s, если 1 < m < n - 1, то

GBq (t,s) = t

P\a{r)dr

-U diagie s ,0)U~l при t<s

Щ а(т)с1т

U diag{0,e s )U~l при t>s, если т — 0, то

GBq (t,s) =

В01 а(т)с/т

- е 5 при t<s ,

О при t > s где U -невырожденная матрица , такая что

В0 = Udiag(P, N)U~l, <т(Р) е П+, a(N) е П Введено в рассмотрение интегральное уравнение оо

9) х(0= \GBo(t,s)F(s,x(s))ds,

-00 где

Доказана следующая

Теорема 1.3.2. Пусть a(t) е А~ в случае т = 0, a(t)eAp в случае т = п и a(t)eA~niAp е случае 1<т<п-\. Тогда разрешимость системы (1) в пространстве Z,^(-oo,+oo) эквивалентна разрешимости интегрального уравнения (9) в пространстве Lp (-оо,+оо). Введя обозначения оо

Tx)(t)= jGBo(t,s)B](s)x(s)ds, и оо te)(0= \GBo (t,s)f(s)ds, интегральное уравнение (9) записывается в операторном виде х = Тх + g . Имеет место следующая

Теорема 1.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.2. Тогда оператор Т : Lp(—co,+ao) —> Z, (—оо,+оо) вполне непрерывен.

Вторая глава также состоит из трех параграфов. В параграфе 2.1 приведены основные определения и леммы. Введены в рассмотрения L^ (-оо,+со) пространство измеримых и существенно ограниченных на (—оо,+оо) функций с нормой ll/IL^-oo.H-oo)=vr?/ma* |/(0| = „ inf n sup |/(0|, е(-оо,+оо) E: mesE=0 /€(oo,+oo)\£ а также пространство L^ (—00,4-00), состоящее из ограниченных и абсолютно непрерывных на каждом отрезке функции f(t), для которых производная /'(О принадлежит пространству Lm (-00,+00) и пространство (—со, со), состоящее из функций f{t) g Lx (-00,4-00), для которых производная /'(0 абсолютно непрерывна на каждом отрезке, а вторая производная f"{t) принадлежит пространству Lx (-00,4-00).

1 2

Пространства /^(-00,00) и Z,^ (-00,00) так же являются полными линейными нормированными пространствами с нормами

II/L, ч= sup 1/(01 + 1/1 , \,

II'J III'oo (-00,00) г V п \\L„ (-со,00)' е(-со,+со)

L2, л= sup |/(0| + sup \f'(t)\ + \\f"\\T . ,

WJ »LX (-co,go) ^ К wl r \J v 'I \\J \\LK (-00,00) е(-оо,+со) /e(-oo,+oo) соответственно.

Далее, во второй главе рассматривается линейное дифференциальное уравнение

10) Lx = x" + a(t)x' + b(t)x = f(t), где функции a(t), b(t) и /(t) принадлежат пространству (-со, оо). Функция x(t) называется решением уравнения (10), если она имеет абсолютно непрерывную на каждом отрезке производную л;'(0 и удовлетворяет уравнению (10) почти всюду.

Имеет место следующая Лемма 2.1.1. (Эсклангон). Пусть x(t) - решение уравнения (10), ограниченное на всей оси. Тогда функции x\t) и x"(t) также ограниченны, т.е. x(t) eL^(-co,co).

Наряду с уравнением (10) рассматриваются однородное уравнение

11) Lx = х" 4- a(t)x' 4- b{t)x = 0 и предельные однородные уравнения

12) Lx = х" + a(t)x' + b(t)x = О. где коэффициенты a{t) и b(t) определяются как слабые пределы последовательностей сдвигов {a(t + hk)} и {b(t + hk)}, ( j/z^| —> со при к —» со) в пространстве L2[~T,T] для любого Г.

Через Н(а,Ь) обозначено множество пар функций (a(t), b(t)), определяемые равенствами

00 +00

13) \a(t)q>(t)dt= lim \b(t + hk)cp(t)dt,

-co A->00-00

00

14) \b(t)cp(t)dt= lim \b(t + hk)(p(t)dt,

00 Л-^со-оо для любой непрерывной функции (pit) с компактным носителем. Соответственно через Hib) обозначено множество функций b{t), определяемых равенством (14). Имеют место следующие утверждения.

Лемма 2.1.2 Пусть b(t)GLx(—оо,оо). Тогда для принадлежности функции Z?(?)gL00(—со, со) множеству Н(Ь), необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность {h^}, >со при к—»оо такая, что t t

15) lim JЬ(т + hk )dr = Jb {z)dz Vt e (-oo,+oo). о 0

Лемма 2.1.4. Пусть b(t) < 0 и множество H(b) не содержит ноль. Тогда однородное уравнение (11) не имеет ненулевых ограниченных решений.

В параграфе 2.2 исследуется вопрос о нормальной разрешимости оператора Lx = х" + a{t)x' + b{t)x в пространстве (-оо,+оо). Оператор L рассматривается как ограниченный оператор, действующий из пространства Ьж (-оо,+оо) в (-оо,+оо). Изучается также вопрос об ограниченной обратимости оператора L. Оказывается, что при исследовании выше изложенных вопросов важную роль играют предельные уравнения (12).

Имеет место следующая теорема, которая является основным результатом второй главы.

Теорема 2.2.1. Следующие утверждения эквивалентны: а) Оператор L \ Z,00(—со,+со) —» L00(—со,+со) нормально разрешим. б) Существует М > О такое, что

INz,i(-oo,+0o)^M|Nioo(-0o,+c) +Н°)| + И°)|) УхеЬ1(-со,+со). в) Существует С > 0 такое, что pqL, , <C\\Lx\

11 "^(-00,+со) [|

Vx G ]} (-СО,+аэ) для любого предельного оператора L, определяемого парой функций (a,b) g Н(а,Ь). г) Все однородные уравнения вида (12), где (a,b) е Н(а,Ь), не имеют ненулевых ограниченных на всей оси решений.

Далее, приведены признаки обратимости и нормальной разрешимости оператора L с неположительным коэффициентом b(t). Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2.2, Пусть функция b{t) удовлетворяет условию

16) lim mes{ t: b(t) <0, t0 < t < t0 +1} = 1

Q|-»00 2

Тогда для нормальной разрешимости оператора L: оо,+со) Lx(—со,+сю) необходимо и достаточно, чтобы существовали числа £ >0, I > 0 такие, что

17) lim mes{t: b(t)<-s, tQ<t<t0+l} = a>0. I'ol-»00

Теорема 2.2.3. Пусть b(t)< 0 и множество H(b) не содержит ноль. Тогда неоднородное уравнение (10) для любого f gL00(-со,+со) имеет единственное решение из Ьж (—со,+со).

В третьем параграфе рассматривается дифференциальное уравнение

18) z" - q(t)z — g(t), где q(t), g(t) локально интегрируемые на всей оси функции.

Определение. Говорят, что уравнение (18) обладает свойством разделимости в пространстве Lo0(-со,+со), если из того, что функция g{t) принадлежит пространству Ьж (—оо,+оо) следует, что для решения z(t) уравнения

18), принадлежащее пространству Lx(-со,+00), функции q(t)z(t) и z"(t) также принадлежат пространству L^ (—оо,+оо)

В силу леммы Эсклангона дифференциальное уравнение (18) с ограниченным на всей оси коэффициентом q{t) обладает свойством разделимости. Оказывается, достаточно широкий класс дифференциальных уравнений вида (18) с неограниченными коэффициентами также обладают свойством разделимости в пространстве (-со,+оо) Если уравнение (18) обладает свойством разделимости, то вместе с решением z{t) пространству

-оо,+оо) принадлежит и его производная z\t).

Наряду с уравнением (18) рассмотрим соответствующее однородное уравнение

19) z" - q(t)z = 0.

Лемма 2.3.1. Пусть функция q(t) неотрицательна, локально интегрируема и тождественно не равна нулю на (—со,+оо). Тогда однородное уравнение (19) не имеет ненулевых ограниченных на всей оси решений.

Далее, предполагается, что функция q(t) имеет непрерывные производные q'{t), q"(t) и удовлетворяет условиям:

20) lim q(s) > 0, s|—>00 q'2(s) s|->oo q (я)

22) -oo< lim s|->oo

It 1 Л lim

Ы-»со V 1 Л

4(s).

1.

Имеет место

Теорема 2.3.1. Пусть функция q{t) удовлетворяет условиям (20)-(22). Тогда уравнение (18) обладает свойством разделимости в пространстве £оо (—00,-Ьоо).

Продолжая изучение свойства разделимости уравнения (18) для гладких функций q{t), удовлетворяющих условию

23) lim q{t) = со ,

-> СО и полагая т±= lim —-, М± = jim —-.

5е—>±оо q (5) 5-»+оо q (s) доказана

Теорема 2.3.2. Пусть функция q(t) удовлетворяет условиям

24) тЛ + -М+ <1.

I -I 3

Тогда уравнение (18) обладает свойством разделимости в пространстве (-00,+00).

Далее, изучается свойства разделимости уравнения (18) в общем случае, когда q(t) лишь непрерывная функция. В этом случае предполагается, что существует дважды непрерывная дифференцируемая положительная функция qo(t), удовлетворяющая условиям:

25)

26)

27)

О < Щп Нт ^<оо:

Ы—>+со s ->+со lim

Ы—»+оо q'o2(s) ^оО) со,

-оо< lim

Ы—>00 1 N

Ф) o(s) lim

Ы—>+со 1 Л ф)

0.

Теорема 2.3.3. Пусть функция q(t) непрерывна и удовлетворяет условию (23). Пусть существует положительная функция q<)(t), удовлетворяющая условиям (25)-(27). Тогда уравнение (18) обладает свойством разделимости.

В третьей главе рассматривается линейное дифференциальное уравнение (28) Lx = -x" + q(t)x = g(t), где q(t) и g{t) локально интегрируемые на (-оо,+оо) функции. Исследованию уравнения (28) посвящены многочисленные работы [25, 27, 42]. В частности, получены различные критерии разрешимости уравнения (28) в пространстве Ь2(~со,+со) суммируемых в квадрате на всей оси функций и в пространстве ограниченных на всей оси функций. В данной главе исследуется вопрос о разрешимости уравнения (28) в пространствах Лебега Lp (—оо,+оо), р > 1.

В дальнейшем через Ар обозначим линейный оператор, порожденный дифференциальным выражением — x" + q(t)x, задавая его область определения Dp как множество всех функций x(t), для которых x(t), x'(t) абсолютно непрерывны на каждом конечном отрезке и функции x(t), - х" + q(t)x принадлежат пространству Lp (-со,+со), 1 < р < оо.

В параграфе 3.1 исследуется вопрос о разрешимости уравнения (28) в пространстве Zj (-со,+со). Наряду с уравнением (28) рассматривается однородное уравнение

Имеют место следующие утверждения .

Лемма З.1.1. Пусть q(t)>0. Тогда однородное уравнение (29) не имеет ненулевых решений, принадлежащих пространству (—со,+со).

Лемма 3.1.2. Пусть q(t)>0. Тогда для любого к> 1 на отрезке [—к,к] уравнение (28) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям

Причем, это решение неотрицательно, если функция g(t) неотрицательна. Доказана следующая

Теорема 3.1.1. Пусть q(t)> 0. Тогда для того, чтобы уравнение (28) для любой функции g{t) из Lj(-co,+co) имело решение из (-со,+со), необходимо и достаточно, чтобы q(t) удовлетворяла условию

Параграф 3.2 посвящен вопросу о свойстве разделимости уравнения (28) в пространстве Lj (-со,+оо). Пользуясь теоремой 3.1.1, доказана следующая теорема.

29)

Lx = -х" + q(t)x = 0. x(-k) = x{k) = 0.

Теорема 3.2.1. Пусть функция q(t) ограничена снизу. Тогда уравнение (28) обладает свойством разделимости в L\ (—оо,+со).

В параграфе 3.3 для получения представления оператора Afl строится функция Грина. С помощью функции Грина обратный оператор А^ представляется в виде

31) 00

Следующая теорема дает условие вполне непрерывности оператора^-1 и является аналогом теоремы A.M. Молчанова [28], доказанная им в пространстве Ь2{—со,+СО) .

Теорема 3.3.1. Пусть q(t)>0 и выполнено условие (30). Тогда для вполне непрерывности оператора Afl : Lj (—оо,+со) -» Lj (-со,+со) необходимо и достаточно, чтобы для любого а> 0 выполнялось условие t+a lim = jf|—>00 t

В параграфе 3.4 результаты об однозначной разрешимости переносятся на сопряженное пространство - пространства существенно ограниченных на всей оси функций. Доказана следующая

Теорема 3.4.1. Пусть q(t) > 0 и выполнено условие (30). Тогда уравнение

28) для любой функции g(t) из L(—со,+со) имеет решение, принадлежащее Дд. Обратный оператор А: (-со,+со) —» (-со,+оо) совпадает с сопряженным оператором (^f1) : ^оо (-°о,+°о) L^ (-оо,+оо) оператора, определенного равенством (31).

В параграфе 3.5, с помощью интерполяционной теоремы Рисса [20], результаты об однозначной разрешимости уравнения (28) выводятся для произвольного пространства Lp (-оо,+оо), \< р <со. А именно доказано, что существует ограниченный оператор Вр : Lp (-оо,+со) —> Lp (-оо,+оо), имеющий вид

00

Bpf\t)= \G(t,s)f(s)ds

-co и являющийся обратным к оператору

Арх = -х" + q(t)x, х е Dp.

Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях, проведенных в городах Самарканде (ноябрь 1997г.), Душанбе (июнь 2000г.), на областных конференциях, проведенных в Худжанде (1996, 1997 г.г.), в ряде выступлений на семинарах члена-корреспондента Академии наук Республики Таджикистан, профессора Э.М. Мухамадиева (1994-2000г.г.), на общем семинаре департамента компьютерных наук Худжандского филиала технологического университета Таджикистана (руководитель - профессор П.А.Пулатов, сентябрь 2000г.), на общеинститутском семинаре Института математики Академии наук Республики Таджикистан ( руководитель - академик Академии наук Республики Таджикистан JI. Г. Михайлов, ноябрь 2000г. ), на общем семинаре кафедры теории функций и математического анализа и кафедры высшей математики Таджикского государственного национального университета (руководитель - член-корреспондент Академии наук Республики Таджикистан, профессор Н.Р. Раджабов).

В заключении автор выражает искреннюю благодарность члену -корреспонденту Академии наук Республики Таджикистан, профессору Э.М.Мухамадиеву за неоценимую помощь и поддержку, оказанную им на протяжении многих лет работы.

1. Аткинсон Ф.В. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах. // Математический сборник, том 28, № 1, 1951. — С. 3-13.

2. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости. // ДАН СССР, 1973, том 213, №5. С. 10091011.

3. Бойматов К.Х. О методе Эверитта и Гирца для банаховых пространств // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, том 35, №1, 1997. С. 10-12.

4. Владимиров B.C. уравнения математической физики. М.: Наука, 1987.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1980.

6. Гуломнабиев С.Г. Об ограниченных решениях линейных дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов научно-теоретической конференции молодых ученых, аспирантов и специалистов Ленинабадской области, Худжанд, 1996.-С 6.

7. Гуломнабиев С.Г., Мухамадиев Э.М. Свойства разделимости линейных дифференциальных уравнений второго порядка. // Современные проблемы прикладной математики и экономики. Материалы международной конференции, Самарканд, 1997,-С. 182.-187.

8. Гуломнабиев С.Г. О разрешимости диф-ференциальных уравнений второго порядка в пространствах Лебега // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, №4, 2000. С. 18-24.

9. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1980.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966.

11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

12. Демидович Б.П. О некоторых свойствах характеристических показателей системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // Ученые записки МГУ, 1952, том 163, Математика, №6. С. 123-132.

13. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. -М.: Наука, 1971.

14. Исхоков С.А. О разделимости обыкновенных дифференциальных выражений. // Сборник "Функциональный анализ и его приложения в механике и теории вероятностей", москва, 1984, изд-во МГУ. С. 130-131.

15. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа . -М.: Наука, 1988.

16. Колмогоров А.Н„ Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1988.

17. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

18. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Граничные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом простанстве. // Дифференциальные уравнения, том 11, №3, 1966. С. 382-390.

19. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

20. Лабиб Рашид. О существовании ограниченных решений систем линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами. // ДАН Тадж. ССР, 1989, том 32, № 1. С. 425-427.

21. Лабиб Рашид. К вопросу о разрешимости систем линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами. // ДАН Тадж. ССР, 1989, том 32, № 7. С.5-7.

22. Лидский В.Б. О числе решений с интегрируемым квадратом системы дифференциальных уравнений. // ДАН СССР, 1954, том 95, С. 217-220.

23. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1960.

24. Массера Ж.Л., Шеффер Ж. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1969.

25. Молчанов A.M. Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных операторов второго порядка. // Труды московского математического общества, 1953, том 2. С. 169-200.

26. Мухамадиев Э.М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций. // ДАН СССР, 1971, том 196, № 1.-С. 47-49.

27. Мухамадиев Э.М. Об одном критерий обратимости дифференциальных операторов в пространстве ограниченных на оси функций. // ДАН Тадж. ССР, 1972, том 15, №9.-С. 7-10.

28. Мухамадиев Э.М. К теории ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1974, том 10, №4.-С. 635-646.

29. Мухамадиев Э.М. Метод предельных уравнений в теории сингулярных задач. //Дифференциальные уравнения и их приложения. Материалы международной конференции, посвященной 60-летию Т. Собирова, Душанбе, 2000.- С.-21.

30. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. -М.: Гостехиздат, 1949.

31. Отелбаев М.О. О разделимости эллиптических операторов. // ДАН СССР, 1977, том 234, № 3. С. 540-543.

32. Отелбаев М.О. Коэрцитивные свойства и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в R". // Труды Математического института АН СССР, 1983, том 161.-С. 195-217.

33. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1964.

34. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Иностранная литература, 1963.

35. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ОНТИ, СССР, 1937.

36. Шилов Г.Е. Математический анализ. М.: Изд. МГУ, 1984.

37. Шубин М.А. Теория Фавара-Мухамадиева и псевдодифференциальные операторы. // ДАН СССР, 1975, том 225, №5. С. 1278-1280.

38. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

39. Mohamed A.S., El-Gendi В.А. On the existence and uniqueness of the solutions for ordinary differential equation with matrix coefficient in the weighted spaces. // Asw. Sc. Tech. Bull. South Valley Univer., vol. 16, 1995, 118-125.

40. Everitt W.N., Giertz M. An example concerning the separation property for differential operators. // Proc. Roy. Soc. Edinburg, 1973, vol. 71, 159-165.

41. Weyl H. Ueber gewohnliche differentialgeeichungen mit singularitaten und die zugehorigen entwichlungen willkuklicher funktionen, Math. Ann., 68, 1910, 222-269.

42. Глазман И.М. О спектре линейных дифференциальных операторов. // ДАН СССР, 1951, том 80, С. 153-156.

43. Рапопорт И.М. Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений. // ДАН СССР, 1951, том 78. С 1097-1110.Pt&CITftCttA©M0f> -J ~ С Л