О краевых задачах с импульсными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

РГ& ол

ШАБРОВ СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

О краевых задачах с Импульсными коэффициентами

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2000

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

Ведущая организация — Удмуртский государственный университет

Защита состоится 27 декабря в 15.40 в ауд. 314 гл. корпуса ВГУ заседании диссертационного совета К063.48.09 в Воронежском госуд ственном университете, 394693, Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского гс дарственого университета.

доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Покорный

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Баскаков А.Г. доктор физико-математических наук, профессор Розов Н.Х.

Автореферат разослан

2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В £-/3- 3, о Л

Задорожний В.Г.

Актуальность темы. Изучению обыкновенного дифференциального эавнения второго порядка

обобщенными коэффициентами и соответствующей задачи Штурма-'иувилля

зсвящено достаточно большое количество работ. Решения со скачками эоизводных описаны уже в классической монографии Ф. Аткпнсоиа. остаточно тонкий анализ однородного уравнения вида (ри')' + Q'u — О юводился Курцвейлем. Более полную библиографию с комментариями эжно найти, например, у Ф. Аткинсона, А.Ф. Филиппова, С.Т. Завали-ина и А.Н. Сесекина. Из обширного числа публикаций особо отметим 1боты В.Я. Дерра, Ю.В. Егорова, С.Т. Завалищина, М.Г. Крейна, A.C. еченцова, Dragovich В., Радыно Я., Хренникова А. и А.Н. Сесекина. Уравнения с обобщенными коэффициентами традиционно исслгдуют-[ с позиций теории распределений (Шварца-Соболева). Однако в не->торых качественных вопросах такой подход оказывается недостаточно |>фектнвным — известен ряд до конца нерешенных проблем в теории юбщенных функций (например — проблема перемножения обобщенных ункций). В этом плане теоремы сравнения (типа Штурма) для уравпе-1й с обобщенными коэффициентами, установленные недавно А.Д. Мыш-[сом в терминах распределений Шварца, являются большим прорывом., В настоящей диссертации обсуждаются вопросы качественного анали-решений дифференциального уравнения, включая информацию о зна-шеременах и нулях решений, о числе нулей собственных функций, о юстоте (алгебраической и геометрической) всех точек спектра и пр.

(0.0.1)

(0.0.2)

В рамках классической осцилляционной теории подобный круг волросо] обсумсдается обычно с помощью хорошо развитых методов, восходящи) к Штурму. Однако эти методы оказываются непригодными для обоб щепных (по Шварцу-Соболеву) производных, не позволяющих трак товат] себя как поточечные отображения из К в Я. Эту трудность мы обхо дим, следуя концепции Ю.В. Покорного, согласно которой уравнении — (ри')' + иС)' = Р может быть придано поточечное представление

(0.0.3

где — означает обычное дифференцирование по //-мере (в смысле Радона ац

Никодима), а мера определяется параметрами Р (и Л) исходно!'! зада чи. Такой подход, снимал покров таинственности с поточечных значат! обобщенных производных и придавая решениям сильный смысл, '] ребус переноса классических методов регулярной теории на случай уравнений < производными по мере, что и делается в настоящей работе. Основные про блемы ниже связаны с переходом от обычных интегралов к интеграла? Леб.:га-Стилтьеса и с использованием общей теории интеграла Радона : интересах качественной теории уравнений второго порядка с квазппроиз водной.

Используемому нами понятию /¿-производной можно придать следую щнй вид: //-суммируемая функция /(х) называется /¿-производном Р(.г) если на множестве полной /¿-меры

<с

Р(х) - / f{s){d^í)(s) = const.

Последняя формула позволяет определять значения /(х) — —-Р(х)

АР

точке £ либо как предел отношения ——, либо пару односторонних пре делов (левые и правые производные), если они различны, любо трой

ку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной "собственно в точке равней

F({ + 0) - F(( - 0)

отношению скачков —7-—-г-7-——. Подобная ситуация возникает,

Mlf + 0) - - 0)

например, при дифференцировании фупкции Хевисайда 0(х) (равной 1 при х > 0 и нулю при х < 0) по fi(x) = х + 9(х), когда вместо привычного в'(х) = 6(х) в соответствующем уравнении (0.0.3) оказывается d9

—(х) = я(х), где ъ(х) = 0 при тг(0) = 1. В более общей ситуации

сщ

уравнение — (ри')' + uQ' — F'^ в точках, где (г имеет скачок, принимает вид -Д (ри') + и ■ AQ = AF, где, как и далее, Az- скачок функции л, т.е. Az(£) = г(£ + 0) — z(£ — 0). Именно таким образом мы "раскрываем" уравнение в сингулярных точках, придавая ему сильный смысл. Цель работы. Установить осцилляционность спектра задачи

- (ри% + uQ; = «(0) = и( 1) - 0,

а именно, вещественность, дискретность, простоту (алгебраическую и юо-метрическую) и перемежаемость нулей собственных фунций.

Методика исследований. В работе используется аппарат теории меры, теории интеграла Лебега-Стилтьеса, качественной теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Установлена точная параллель классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

2. Доказаны аналоги теорем Штурма о перемежаемости нулей решений однородных дифференциальных уравнений.

3. Получено представление неосциллирующего дифференциального оператора в виде суперпозиции квазипроизводных.

4. Построена теория неосцилляции однородного уравнения.

5. Доказана осцилляционность спектра задачи Штурма-Лиувплля.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет тео ретический характер.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались н; IX Саратовской математической школе "Современные проблемы теорш функций и их приложения" в 1998 г., Второй международной конференцш "Дифференциальные уравнения и их приложения" (С.-Петербург, 1998г.) на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинскпе чте ния - VIII" (1997 г.) и "Понтрягинские чтения - X" (1999 г.), на сомина pax профессора Покорного Ю.В. в 1996-2000гг. и профессора Задорожне го В.Г. в 1998 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликоианы i работах [1]-[5].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из иведе ния. 4 глав и списка цитируемой литературы из 39 наименований. Общш объем диссертации — 74 стр.

В первой главе строится аналог обычной теории обыкновенных диффе ренциальных уравнений. В §1 в порядке мотивации избранного подход рассматривается вариационная задача

Краткое содержание работы

Ф(и)

mm

(1

для функционала

при условиях

ы(0) = «(1) - О,

где интегралы понимаются по Лебегу-Стилтьесу. На примере задачи о неоднородной струне комментируется физически!! смысл функций ограниченной вариации p,Q,F : р(х) — плотность натяжения струны. Q{x)

— суммарная упругость внешней среды на участке от О до а; и F(x) — перерезывающая сила, т.е. суммарная на [0. х] сила, действующая на систему. В этом плане ограниченность вариации рассматриваемых функций

— вполне естественное и достаточно общее условие.

Классическая схема Лагранжа приводит задачу (1) для функционала [2) к уравнению

X

(ри1) (х) - J uclQ + F(x) = const, (3)

о

переход от которого к уравнению — (ри')' + uQ' = F' оказывается возможным за счет подбора (по F и Q) специальной строго возрастающей функции р{х).

В §2 главы I дается точное описание классов, в которых рассуатри-ваются функции, вводится специальное расширение [0,отрезка [0.1] добавлением к нему "расщепленных" точек разрыва р, Q и F. Устанавливается аналог теоремы Коши-Пикара о нелокальной разрешимости уравнения на [0,1]^, а имеено, доказана

Георема 1.2.1 При любых щ, vo и любой точке xq £ [0,1]^ уравнение

-—(pu^ + Qv'u^f (1.2.1)

имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям

и(х0) — щ, и(х о) = г'о-

В §3 вводится аналог определителя Вронского и устанавливаются его классические свойства. Показано, что размерность пространства решений однородного уравнения равна двум.

В §4 изучается зависимость решений задачи Коши от начальных уел вий и от спектрального параметра.

Предположим, что коэффициенты р, Q, F, R от параметра Л не завись Нас интересует вопрос о зависимости от параметра Л решения ураьнеш (1.2.1) с начальными условиями, зависящими от Л.

Теорема 1.4.1 Если функции ф\ и гр2 непрерывны по X, то соотвстств ющее условиям

и(хй) = ^(Л), ■ и'(х0) = ф2{\) решение и\{х) уравнения (1.2.1) зависит от А непрерывно по метра ЦиЦ^, = шах|и| + Vq(pu'), где V^((p) — вариация у на [0,1]. Следующая теорема валена для спектральной задачи. Теорема 1.4.2 Пусть ид — решение уравнения

+ (во + WA)gi)u = (/о + i/>2(A)/i),

где qo, q\, /о, fi являются (i-суммируемыми. при начальных условиях

и(х о) = щ, u'(xq) = v0

при каком-то xq £ [0,1]^. Тогда и\ непрерывна по А вместе с з/'i. Ф-i непрерывно дифференцируема по А вместе с фi,

Вторая глава посвящена изучению краевой задачи Штурма-Лиувил. для рассматриваемого уравнения (1.2.1). В §2.1 вводится соответству! щее определение (по Гильберту) функции Грина, доказывается ее суш ствованне. В §2.2 устанавливается ее главное свойство — возможное интегрального представления решения задачи. В третьем параграфе гл вы II доказываются аналоги теорем Штурма.

Теорема 2.3.1 Для любых двух линейно независимых решений ■ однородного уравнения

d .

х нули в [0,1] перемежаются, т.е. для любой пары различных нулей ь £2 решения <р1 другое решение меняет между ними знак (и наоборот). Рассмотрим теперь два уравнения

-^(ри') + 91« = 0, (2.3.2)

--^(ру')+д2у = 0. (2.3.3)

'еорема 2.3.2 Пусть 91 > 92 6 естественном смысле, т.е. функция (<71—<72— неубывающая пох. Пусть и(х) — нетривиальное решение

2.3.2) £2 (€1 < £,2) — его нулевые точки в [0,1] . Тогда любое решение 0) уравнения (2.3.3) меняет в (£1,^2) знак. Четвертый параграф второй главы посвящен построению точных апа-огов основных результатов теории неосцилляции однородного уравпе-ия.

В третьей главе изучается спектральная задача Штурма-Лиувнлля

U (3.0.1)

( u(0) = u(l) = 0.

i первом параграфе устанавливаются дискретность и простота собствен-ых значений. Далее — вещественность спектра. В пятом параграфе — лавный результат:

^еорема 3.0.0 Если функции Q и R строго монотонны, то спектр зада-и (3.0.1) вещественней, положителен и дискретен. При перенумерации го точек в порядке возрастания Ао < Ai < Аг < ... соответствующие обственные функции ipa, ¡p\, ipi,... обладают следующими свойствами:

а) tpk имеет в (0,1) точно к нулей (узлов);

б) при каждом к нули (рк и <pk+i перемежаются;

в) при каждом п набор есть система Чебышева на (0,1).

Четвертая глава, состоящая из одного параграфа, посвящена разрешимости задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения с производными по мере.

Главные трудности, преодолеваемые в работе. В классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений широко используется аппарат .ладкого дифференцирования с теоремами Коши о конечных приращениях, правилом Лопиталя и пр. В общей теории интеграла все рассмотрения проводятся на фиксированном отрезке, производная Радона-Никодима обозначена лишь в принципе, как плотность меры, никакого аппарата для работы с ней нет. Интеграл с переменным верхним пределом — естественная форма первообразной — не изучается. Анализ

I

зависимости этого интеграла j от х осложняется тем обстоятельством,

о

что (в отличие от интегралов Римана, Лебега и Римана-Стилтьеса) интеграл Лебега-Стилтьеса не аддитивен по отрезку, т.е. J не равен, вообще

а

« 0

говоря, / + / ПРИ а < £ < Р, если в точке £ находится атом меры. Все чти

особенности приходится преодолевать средствами общей теории меры.

Изложенные результаты выполнены в рамках тематики, которая поддержана грантом Минвуза (КЦ СПбГУ) № 97-0-1.8-100, грантом Минвуза (КЦ Новосибирского госун-та).

А^тор выражает сердечную признательность профессору Ю.В. Покорному за постановку задачи и руководство работой.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Покорный Ю.В., Шабров С.А. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с обобщенными коэффициентами // Труды математического факультета ВГУ (новая серия). - 1999. - вып. 4. - С.84-96.

[2] Шабров С.А. О /¿-регуляризации функции с конечным изменением

// Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. - Воронеж, 1999. - С.166-169.

[3] Шабров С.А. О разрешимости нелинейных квазидифферешшаль-ных уравнений второго порядка // Воронежская зимняя математическая школа "Современные проблемы теории функций и их приложения": Тез. докл. - Воронеж, 1999. - С.230.

[4] Покорный Ю.В., Шабров С.А. О дифференциальных уравнениях в пространствах функций ограниченной вариации // Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций и их приложения": Тез. докл. - Саратов, 1998. - С.130.

[5] Покорный Ю.В., Боровских A.B., Шабров С.А. О колеблемости уравнений с обобщенными коэффициентами // Вторая международная конференция "Дифференциальные уравнения и их применения": Тез. докл. - С.-Петербург, 1998. - С. 145.

В совместных работах [1,4] соавтору (Ю.В. Покорный) принадлежат постановка задачи и общее описание результата, а в работе [5] соавторам (Ю.В. Покорный и A.B. Боровских) — еще и некоторые соображения по доказательствам. Полные доказательства, уточнения, а так же комментарии и следствия принадлежат С.А. Шаброву.

Заказ №¿7/ от 25-11.2000 г. Тир WO экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.