Управляемость и наблюдаемость упругих колебаний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Знаменская, Людмила Николаевна
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Переславль-Залесский
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Знаменская Людмила Николаевна
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ
01.01.02 — дифференциальные уравнения
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва — 2005
Работа выполнена в Исследовательском центре процессов управления Института программных систем РАН
Научный консультант
доктор физико-математических наук академик РАН, профессор, В.А. Ильин
Официальные оппоненты
доктор физико-математнческих наук, профессор, Ф.П. Васильев
доктор физико-математических наук, профессор, А.З. Ишмухаметов
доктор физико-математических наук, профессор, М.С. Никольский
Ведущая организация
Воронежский государственный университет
Защита состоится 2005 г. в на
заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва,Ленинские горы.МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУ. Автореферат разослан_____2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, / Е.В. Захаров
профессор
^ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность темы. Задачи управления колебаниями в технических устройствах и системах вызваны во-первых, стремлением погасить нежелательные колебания и неустойчивости, а во-вторых, необходимостью генерировать колебания нужной частоты. Решение задач управления упругими колебаниями основывается на использовании динамических воздействий, когда колебания гасятся (или генерируются) с помощью специально рассчитанных внешних воздействий.
Задача наблюдения заключается в том, чтобы по результатам наблюдения на границе объекта за процессом колебаний, выяснить какое начальное состояние объекта вызвало наблюдаемый процесс.
Впервые задачу об управлении колебаниями в достаточно четкой математической форме рассмотрел А.Г. Бутковский в 1963 г. В предложенной им формулировке задача ставилась так. Пусть управляемый процесс описывается уравнением
= а2ихх(х,г), 0 < х < I, 0<*, (1)
с дополнительными условиями
и(х,0) = ф), иг(х,0) = ф(г), (2)
Управление процессом происходит с помощью функций /х(<) и
и(о,*) = /»(«). = о «с*. (з)
При этом на допустимые управления ц{Ь) и наложено ограничение ||1/(4)|| ^ А, где Л — заданная постоянная. Здесь норма элемента берется с учетом того конкретного пространства управляющих функций, элементы которого однозначно определяют решение краевой задачи (классическое или обобщенное), представи-мое в виде ряда Фурье по собственным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля.
Задача состоит в том, чтобы за минимально возможное время полностью «успокоить» колебания системы, т.е. добиться выполнения следующих условий:
= 0, 0 ^ ъ ^
—,----
Предложенный им метод решения основан на сведении задачи к бесконечномерной проблеме моментов и последующем применении обобщения метода H.H. Красовского решения задач подобного рода для конечномерных систем. В разных вариантах этот метод позже применялся многими авторами (Ф.П. Васильев, А.З. Ишмухаметов, М.М. Потапов, А. Керимбеков) для построения точного и приближенного решений этой и других задач управления упругими колебаниями.
Строгие математические исследования в теории управления системами, описываемыми краевыми задачами для уравнений в частных производных, начались с работ Ж.-Л. Лионса.
Динамические задачи оптимального управления для гиперболических систем, когда время в процессе управления учитывается явно, начали рассматриваться в связи с принципом максимума при решении задач по аналитическому конструированию регуляторов и оптимальной стабилизации (А.И. Егоров, В. Комков, Ю.П. Ладиков, К.А. Лурье, Т.К. Сиразетдинов, Г.Б. Шенфельд, D.L. Rassel, P.K.С. Wang).
Первоначально рассматривались линейные колебания упругих стержней и балок с квадратичными (энергетическими) критериями оптимальности.
Примерно в то же время для решения аналогичных задач начали применять метод динамического программирования. В решении задач об оптимальной стабилизации Т.К. Сиразетдинов и его ученики применили аппарат второго метода Ляпунова. Несколько позже более общий подход был применен А.И. Егоровым и его учениками. Предложенный метод позволил использовать обобщенные решения рассматриваемых краевых задач не только в обычных колебательных системах, но и в системах с сингулярными возмущениями, и в системах с отклоняющимися аргументами (В.Е. Капустин, А. Керимбеков, Г.Ф. Кулиев, М. Рахимов, A.B. Фоменко).
Практическое решение рассматриваемых задач обычно получается применением метода Фурье (разделение переменных), что приводит к необходимости исследовать управляемый процесс, который описывается бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким способом удается получить содержательные результаты в исследовании колебаний мембран и объемных (трех-
мерных) тел в предположении, что объект может перемещаться в пространстве как твердое тело, совершая при этом упругие колебания (Г.Л. Дегтярев, Т.К. Сиразетдинов).
Тем же методом Фурье в ряде важных случаях краевые задачи, описывающие процессы, можно сводить к интегральным уравнениям и рассматривать управляемый процесс, описываемый такими уравнениями. В других случаях управляемый процесс может быть описан непосредственно интегральными уравнениями. Для задач такого типа весьма содержательные результаты получил В.И. Сумин.
Линейно-квадратичные задачи управления упругими колебаниями методами классического вариационного исчисления исследовал В.А. Троицкий. Он, в частности, показал, что граничным управлением можно полностью погасить энергию объекта за время Т — 11 ja. Для численного решения задач им были предложены градиентные методы. Несколько более общий подход к решению подобных задач применил A.B. Фоменко.
Проблемам приближенного решения задач оптимального управления упругими колебаниями посвящено много работ. Необходимость исследования проблем аппроксимации определяется тем, что краевые задачи для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами не решаются в замкнутой форме. Ряд дополнительных сложностей вносят особенности задач оптимизации (Ф.П. Васильев, P.D. Федоренко).
Учет волновой природы распространения возмущений в упругом теле позволяет сравнительно просто решать достаточно сложные задачи синтеза оптимального управления упругими колебаниями (оптимальное быстродействие в задаче с ограниченными граничными управлениями). Волновая природа колебательного процесса была учтена А.И. Егоровым при решении следующих задач гашения колебаний: задача гашения колебаний, описываемых волновым уравнением; задача успокоения колебаний, описываемых системой телеграфных уравнений; задача управления колебаниями газа в длинном трубопроводе.
Ж.-Л. Лионе с помощью теории гильбертовых пространств (метод единственности Гильберта) исследовал проблему гашения колебаний, описываемых первой краевой задачи для волнового уравнения, в классе непрерывных абстрактных функций. Задача наблюдаемос-
ти линейных колебательных систем в достаточно общем виде была сформулирована Ж.-Л. Лионсом, им был предложен метод решения для случая, когда наблюдение осуществляется с помощью граничных условий второго рода. Рассматривался процесс, описываемый волновым уравнением (1) с однородными краевыми условиями
u(0,f) = 0, u(l,t) = О,
по наблюдаемой функции w„(0,t) — y(t) необходимо восстановить начальное состояние системы: и(г,0) и ttt(z,0).
В последние годы проявляется большой интерес к волновым процессам, протекающим в сетях (Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, A.B. Боровских и др.), однако вопрос управления такими процессами в достаточной мере не изучен.
Большой цикл работ, выполненных В.А. Ильиным и его учениками, связан с решением задач управления процессом колебаний в классе обобщенных решений WKQj.t), W^fQz.r); здесь через Q^t обозначен прямоугольник [0 ^ х ^ /] х [0 ^ t ^ Т].
Решалась задача управления процессом (1)-(3) в классе обобщенных решений, при этом отдельно исследовались случаи управления по двум концам и управления по одному концу. Первая из таких задач формулировалась следующим образом.
Вместе с начальными условиями (2) вводятся условия окончания процесса
ч(х,Т) = <р г{х), щ(х,Т)=1>1(г), O^x^l. (4)
Задача состоит в том, чтобы для произвольных наперед заданных функций ifi(x),ifii(x) и ф(х),фх(х) установить необходимые и достаточные условия существования граничных управлений ц{€) и i/(t), обеспечивающих переход колебательного процесса (1) из начального состояния (2) в состояние (4) и получить эти управления в явном аналитическом виде. Аналогичным образом формулируется задача об управлении процессом при одной граничной управляющей функции fi(t) или u(t) в граничных условиях (3) (другая функция полагается равной нулю).
Идеи решения задач управления для волнового уравнения были применены В.А. Ильиным для решения задач управления сферически симметричными колебаниями трехмерного шара и для для процессов, описываемых уравнением А(ж)[А(я)ма.(г!,4)]а! — utt(x,i) = 0.
Г.Д. Чабакаури был изучен вопрос об оптимизации граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в классе обобщенных решений и И'з (фг.т)
для случая, когда не выполнены необходимые и достаточные условия, полученные В.А. Ильиным, на функции, задающие начальное и финальное состояние процесса. Получено явное аналитическое представление для оптимального управления.
В.В. Тихомировым решалась задача управления колебаниями струны для случая упруго закрепленного правого конца, т. е. на правом конце струны задавалось однородное краевое условие третьего рода их(1,1) + /ш(/, £) = О, Л > 0. Эта задача также решалась в классе обобщенных решений И'г (Фг,т) волнового уравнения.
Интересные результаты получены В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым при решении задачи граничного управления на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением
«м(®1 *) - а2ихя.(х, I) + с2и(х,«) = 0.
К этому уравнению сводится система телеграфных уравнений для случая, когда сигнал по линии передается с искажением. В случае, когда искажения сигнала нет, получается волновое уравнение (1.1).
Таким образом остается актуальным систематическое исследование управляемости и наблюдаемости колебаний, описываемых неоднородными краевыми задачами с краевыми условиями первого, второго и третьего рода в классе обобщенных решений из Ьг.
Объектом исследований служат системы, процесс колебаний в которых описывается волновым уравнением или системой телеграфных уравнений.
В диссертационной работе по аналогии с пространством ((¿¡,т), введенным В.А. Ильиным, вводится Ь2{С}1,т) — пространство функций, принадлежащих а также принадлежащих пространству [0, /] при любом Ь из сегмента [0, Т] и принадлежащих пространству Хг[0,Т\ при любом х из сегмента [О,/].
Решения краевых задач с неоднородными граничными условиями разных родов ищутся из этого пространства. Вводятся соответствующие пространства обобщенных функций, соответствующие краевым, начальным и финальным условиям.
Целью диссертационной работы является исследование и решение задач управляемости и наблюдаемости для объектов, процесс колебаний которых описывается волновым уравнением или системой телеграфных уравнений в классе обобщенных решений £2 (<?г,г) с краевыми условиями первого, второго и третьего рода.
Сформулируем более точно задачи управления и наблюдения для волнового уравнения, которые решаются в диссертационной работе.
Задача управления. Объект, процесс колебания которого описывается волновым уравнением (1) необходимо перевести из начального состояния (2) в финальное состояние
ч(в,Т) = р!(а), щ{а,Т) = ф1(х), 0 ^ г ^ I, (5)
с помощью управлений /г(£) и и{1), которые задаются краевыми условиями первого, второго или третьего рода на границах х = 0 а х = 1 прямоугольника = {(¡М): 0 < г < 0 < £ < Т} соответственно.
Задача наблюдения. Найти начальное состояние (2) объекта, процесс колебаний которого описывается волновым уравнением (1) с однородными краевыми условиями первого второго или третьего рода по результатам наблюдения на границах г = 0иг = ( прямоугольника (¿¡,т:
«•(М) = »*(<)> или «(О ,<) = у1(«). и*(М) = У2 («). или «(/,«) = у1 («),
в зависимости от того какого рода краевые условия заданы на этих границах.
Обе задачи решаются в классе обобщенных решений и(х,Ь) из
ЫФ.г)-
Методы исследования основаны на априорных оценках классических решений различных типов краевых задач для волнового уравнения, с помощью которых доказываются теоремы существования обобщенных решений класса Ь2{(21,т)- В работе использован аппарат современного математического и функционального анализа.
Научная новизна.
1. Впервые рассматриваются обобщенные решения из Ьг{С11<т) неоднородных и однородных краевых задач для волнового уравнения с краевыми условиями первого, второго и третьего рода и для системы телеграфных уравнений со специальным образом выбранными коэффициентами с различными краевыми условиями. Доказаны теоремы существования и единственности таких обобщенных решений.
2. Получены решения задач управления и наблюдения для краевых условий первого, второго и третьего рода в классе обобщенных решений из Ьг{С$1,т) соответствующих краевых задач для волнового уравнения. Решения выписаны в замкнутой аналитической форме для каждого из рассмотренных типов граничных условий.
3. Решены задачи управления колебаниями с краевыми условиями первого рода при ограничениях типа неравенств на нормы граничных управлений, принадлежащих Ьг.
4. Выявлена неединственность решений задач управления и наблюдения с краевыми условиями первого рода в классе обобщенных решений из 1>г(С}1,т) соответствующих краевых задач.
5. Решены задачи управления колебаниями, описываемыми системой телеграфных уравнений со специальным образом выбранными коэффициентами, для обобщенные решения из Ьг{Я1,т) различных краевых задач. Решения выписаны в замкнутой аналитической форме для каждого из рассмотренных типов граничных условий.
Все основные результаты являются новыми.
Степень обоснования результатов диссертации. Достоверность и обоснованность теоретических положений следует из приведенных в диссертации доказательств утверждений и теорем.
Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемые методы и подходы открывают новые возможности для эффективного решения различных задач управления объектами, описываемыми гиперболическими дифференциальными уравнениями в частных производных. Предложенные в работе способы практического построения граничных управлений могут быть использованы при исследовании других колебательных систем.
Результаты, полученные в работе, используются в научных исследованиях, проводимых в Исследовательском центре процессов управления Института программных систем РАН. Некоторые разделы дис-
сертационной работы используются при чтении курсов по кафедре математики и кафедре системного анализа Института программных систем — «Университета города Переславля», а также используются при написании курсовых и дипломных работ.
Результаты диссертации являются составной частью исследований, выполняемых в Институте программных систем РАН в рамках
— темы фундаментальных исследований «Управление в системах с распределенными параметрами» номер государственной регистрации 01.200.1.11812;
— грантов Российского фонда фундаментальных исследований: 00-01-00731, 01-01-00121, 03-01-14079, 04-01-00461.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на
• XII Байкальской международной конференции «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, 2001);
•XII и XV конференциях «Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения» (Воронеж, 2001, 2004);
• Всероссийской научной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2001);
• Международном симпозиуме «Обобщенные решения в задачах управления» (Переславль-Залесский, 2001);
• International Conference «Differential Equations and Related Topics» dedicated to I.G. Petrovskii (Москва, 2004);
• IFAC Workshop and Satelite Ivents «Generalized Solutions in Control Problems» (Переславль-Залесский, 2004);
• семинаре кафедры Общей математики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета (рук. академик РАН В.А. Ильин, профессор A.A. Дезин, академик РАН Е.И. Моисеев, 2003-2004 гг.);
• семинаре Исследовательского центра процессов управления Института программных систем РАН (рук. д.т.н., профессор В.И. Гурман, 2001-2004);
• семинаре «Методы оптимизации» кафедры Оптимального управления факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., профессор Ф.П. Васильев, 2004).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них 1 монография [5], вышедшая в 2004 г. в издательстве ФИЗМАТ-ЛИТ, 2 статьи [8, 9] в сборниках, вышедших в издательстве «Физ-матлит» в 2004 г. и 6 статей [1-4, б, 7] в центральных журналах.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 283 с. Список цитируемой литературы содержит 147 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В первой главе дан обзор литературы по управлению упругими колебаниями и введены необходимые для изложения дальнейшего материала функциональные пространства.
Обозначим через прямоугольник
Qi,t = {<) : 0 < « < /, 0 < i < Г}.
По аналогии с введенным В.А. Ильиным пространством W2{Qip) вводится пространство L2(Qi,t)-
Определение 1. Функция двух переменных u(x,t) принадлежит L2(Qi,t), если она принадлежит пространству L2(Qi,t), а также принадлежит пространству L2[О,/] при любом t из сегмента [0,Т] и принадлежит пространству 12[0,Т] при любом х из сегмента [0,1\.
Производные функций пространства L2(Qi,t) трактуются в терминах теории обобщенных функций. Поэтому определяются пространства обобщенных функций, соответствующие краевым задачам различных типов для волнового уравнения.
Введем пространства, связанные с краевыми условиями первого, второго, третьего рода соответственно:
îi [0,1} = { /(») € С2 [0, J] : /(0) = /(/) = 0 },
5а[0,1} = { /(») € С2[0, J] : /'(0) = /'(/) = 0 },
λM = {/(*) G С2[0,/]:/'(0)-/3/(0) = /'(0 + af(l) = 0};
здесь а,/3 > 0. Пространство, сопряженное к &[0,/], г = 1, 2, 3, обозначим fi-
Определим пространства основных функций i,j = 1,2,3,
i ф j, соответствующие случаю смешанных краевых условий: когда в точке х = 0 задано краевое условие ¿-го рода, а в точке х = I — краевое условие j-го рода. Пространства, сопряженные к &,Д0, i], обозначим & ' [0, 1\.
Введем также пространства функций, соответствующие заданию начальных и финальных условий:
ко, i) = {m е с2 [о, i) : m = /'(о = о},
m i] = { m € С2 [О, I] : /(0) = /'(0) = 0 };
о
пространства, сопряженные к этим пространствам функций, обозна-о
чим соответственно $'[0,/], 3'[0,/].
о
Через La[0,4 обозначим совокупность функций из Li[0,/], непре-
о
рывных в точке t = 0 и обращающихся в этой точке в нуль. Совокупность функций из L2 [0,(| непрерывных в точке t = I и обра-
о
щающихся в этой точке в нуль обозначим через Ьг[0,/]. Обозначим
¿°[О,/] = 12[О,/]П£2[<М].
о
Для обобщенных функций из £'[0,/], 3'[0,J], &'[0,7] i = 1,2,3,
о
введем понятие первообразной.
Определение 2. Функция Т*{х) € 0, Î] называется первообразной
о
о
обобщенной функции T G 5'[0,/], если для любой функции f(x) из
о
5[0,/] выполняется равенство (Т*, /') = — {Т, /}.
о
Среди элементов F пространства 0 выберем те, для которых
существуют первообразные Т* в смысле определения 2. Совокуп-
0
ность таких элементов обозначим ($')*[0,/].
о
Определение 3. Функция Т+(х) € L2[0, /] называется первообразной функции F класса 5'[0, Г\, если для любой функции f(x) е J[0,1}
о о
выполняется равенство /') = (F,/).
Аналогично, среди элементов Т пространства 5'[0,1] выберем те,
о
для которых существуют первообразные Т, в смысле определения 3. Совокупность таких элементов обозначим ($') [0,/].
о
Определение 4. Функция Т называется первообразной функции Т пространства '[0, если равенство (р, /') = - (Т, /) выполняется для любой функции /(х) е тЫ<М]-
Совокупность элементов Т пространства ^/[О, /], для которых первообразные Т принадлежат пространству ¿г[0, обозначим через (5£)1[0,/].
Поскольку для пространств &•[(),/], » = 2,3, отсутствуют условия I /(0) = 0 или /(/) = 0, то первообразную для пространств обобщен-
ных функций г — 2, 3, определим следующим образом.
Определение 5. Функция 7 € Ь\ [0, /] называется первообразной > функции 7 пространства &'[0,/], если для любой функции /(х) из
&-[0, /] выполняется равенство (7, /'} = —
Среди элементов 7 пространства 1] выберем те, для которых существуют первообразные Т в смысле определения 5. Совокупность таких элементов обозначим &'[0,/].
Для пространств $»¿'[0,1], г,з = 2, 3, можно ввести понятие первообразной Т(х) в смысле определения 5, поэтому обозначим через $¿¿'[0,/] совокупность элементов пространства 1\, для кото-
рых существуют первообразные в смысле определения 5.
Для пространств &,1'[0, /], г = 2,3, вводится понятие первообразной 7"(х) в смысле определения 2. Поэтому совокупность элементов пространства ¡], для которых существуют первообразные в смысле определения 2, обозначим ') *[0>
Для пространств * = 2,3, вводится понятие первообраз-
ной в смысле определения 3, аналогично, совокупность элемен-
' тов пространства ^,¿'[0,/], для которых существуют первообразные
в смысле определения 3, обозначим (§1 ,»').№>4-
Во второй главе приводятся постановки неоднородных краевых задач и их классические решения. Для волнового уравнения (1) с начальными условиями (2) или финальными условиями (5) сформулируем различные краевые задачи.
Первая краевая задача с начальными (финальными) условиями. Найти функцию и(х,Ь), удовлетворяющую уравнению (1) в начальным (2) (финальным (5)) условиям на сегменте [0,1] и краевым условиям
и(0, <) = ц(г), и(I, I) = !/(*), 0 ^ « ^ Т. (6)
Условия (б) называются условиями первого рода.
Третья краевая задача с начальными (финальными) условиями. Найти функцию u{x,t), удовлетворяющую уравнению (1) в <5/,т. начальным (2) (финальным (5)) условиям на сегменте [0, i] и краевым условиям при (3 > 0, а>ОиО^ЦТ
tie(0,i)-y9u(0,i) = M(O. «.(М) + а«(М) = *(*). O^t^T. (7)
Условия (7) называются условиями третьего рода.
При а = ¡3 = 0 получаем вторую краевую задачу, соответствующие краевые условия называются условиями второго рода.
Смешанная краевая задача (i,j) с начальными (финальными) условиями. Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению (1) в Qi,t, начальным (2) (финальным (5)) условиям на сегменте [0,/] и краевым условиям i-ro рода при х = 0 и j-го рода при х = I, где i,j = 1,2,3.
Определяются обобщенные решения класса L2(Qi,t) различных типов краевых задач. Приведем определения обобщенных решений первой и третьей краевой задачи с начальными условиями.
Пусть выполняются следующие условия на функции, задающие начальные и краевые условия первой краевой задачи:
ъеыо,/], 6&'[<),/],
«<ч
Определение 6. Решением из L2{QiyT) первой краевой задачи с начальными условиями называется такая функция u(x,t) из £2(<3/,т), для которой равенство
i
jj u[x,t) [FH{x,t) - a2Fx*{x,t)} dxdt + J >p{x)Ft(x, Q)dx -
<3I,T 0
T
- (ф(-), F(-, 0)) + a2 J [v{t)F.(l,t) - >i{t)Fa(0,«)] dt = 0
о
верно для всех функций F(x,t) е C2(Qi,t) с условиями
F(x,T) = 0, Ft(x,T) = 0, O^x^l, (8)
^((М) = о, *■(/,«) = о,
Для функции первое начальное условие (2) и краевые усло-
вия (6) понимаются в смысле равенства элементов £2[0,/] и 12[0,Т\ соответственно, второе начальное условие понимается в смысле равенства элементов ^[0,/].
Определим обобщенные решения из ((¿¡,т) третьей краевой задачи с начальными условиями при следующих предположениях:
Г€1г[0,1\, ф£дз'[0,1\, ц,и€Г[0,Т].
Определение 2.6. Обобщенным решением из третьей кра-
евой задачи с начальными условиями, называется функция и(г, £) из 1>2 (Я1,т), Для которой равенство
I
JJи(х, <) <) - а2Рм(х, <)] <1х<& + J<р(х)^(х, 0) ¿х -
<?|,т 0
- <*(•), 0)) + а2 (М-), т ■)) - а2 НО. Щ •)> = 0
справедливо для любой функции Р(х^) из С2((}1ут), удовлетворяющей условиям (8) и
и для которой краевые условия (7) выполняются в смысле равен-
о
ства элементов Т], первое начальное условие (2) — в смысле равенства элементов Ц, а второе начальное условие — в смысле равенства элементов 3з'[0,Г].
В § 4 доказываются теоремы единственности обобщенных решений из £г(С?/,т) краевых задач.
В §§ 5-8 устанавливаются априорные оценки для классических решений краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями и неоднородными краевыми условиями или однородным краевым условием на правом конце. В § 9 получены априорные оценки классических решений краевых задач с начальными условиями и однородными краевыми условиями различных родов.
Приведем априорные оценки для первой и третьей краевой задачи с нулевыми начальными условиями:
НМ)Н£,«г,.т) ^ {1И*)1к[о,л + 1Ж1Ь2[о,г]}, (п)
где Л(а, Т) — некоторая константа, зависящая от а и Т;
(12)
где Aj, j = 0, 1, 2, — константы, зависящие от а и Г1.
6 §§ 10-13 с помощью полученных априорных оценок доказываются теоремы существования обобщенных решений класса L2{Qi,t) рассматриваемых краевых задач для волнового уравнения. Приведем теоремы существования обобщенных решений из L^Q^t) для первой и третьей краевой задачи с нулевыми начальными условиями.
Теорема 2.5.г Единственное решение класса L^ (Qi,t) первой краевой задачи с нулевыми начальными условиями для произвольных функций fi(t) и v(t) класса L2 [0, имеет вид
к(г, t) = fi(t - + ~ Ц^).
Черта под функциями pi и и в выражении означает, что эти функции в смысле пространства Li обращаются в нуль при отрицательных аргументах.
Прежде, чем сформулировать теорему существования обобщенного решения третьей краевой задачи с нулевыми начальными условиями. Определим пространства, используемые в ее формулировке.
оценке (12) используется обозначение [/х(-)]*({) = J р(т)Ат.
о
2 Здесь и далее используется нумерация теорем, соответствующая нумерации теорем в диссертации.
Hlb2(<?!,T) ^
^{(i+M1)||M-)]1L2[0,r]+(i+«^2)||H-)]*ILi[0>T]}x
Обозначим 3з[0,/] = 3|0, /] П 5з[0, /], для элементов сопряженного
о
пространства ^'[О,/] определяются первообразные в смысле опреде-
о
ления 2, совокупность таких элементов обозначим через (Зз') [0, ,
тогда (&.')'МП (3?')*М = («зГМ-
В дальнейшем нам также потребуется пространство (©з)*[0, //а], которое определяется следующим образом.
Обозначим 5з[0,/] = 5[0, П^вр), /], для элементов сопряженного
о о
пространства определяются первообразные в смысле опреде-
о
о
ления 3, совокупность таких элементов обозначим через ж[0} /],
тогда л ($')ЛМ = (®>М°»Ч-
Теорема 2.9. Единственное решение класса {Я 1,1 /а) третьей краевой задачи с нулевыми начальными условиями для произвольных функций ¡л({) и из (®з)*[0,1/а] имеет вид
«(*,*) = -ее—[£.(-)е<«"-)],(« - +
+ «—<*-('-.)/•> [Е(.)е<»~>] * (I - ,
Черта под функциями ц и ив этой формуле означает, что соответствующие первообразные как функции класса Ь? равны нулю при отрицательных аргументах.
В третьей главе приводятся постановки задач граничного управления и граничного наблюдения для классических решений различных типов краевых задач. С помощью формулы Даламбера даются решения поставленных задач. В каждом из рассмотренных случаев решения задач управления и наблюдения получены в замкнутой форме.
Приведем решение задачи граничного управления при краевых условиях третьего рода.
Предложение 3.6. Для любого 0 < Т < 1/а и для любых пар функций [^(я), ф(х)\, [<ру (ж), ф\ (г)], удовлетворяющих следующим условиям:
(1) ¥>(*),Ы*) 6 с*[0,1\, ф(х),ф1(х) 6 С1 [О,/];
(2) р'(0) - = 0, <р'(1) + а<р(1) = 0, ^'(0) - /ЭДО) = 0, ф'(1) + аф{1) = 0, (0) - /?у>г (0) = 0, ^(0 + <т(0 = 0,
Ф[ (0) - Их (0) = о, ф[ (/) + афг (I) = 0;
(3) справедливы тождества
<р'(х) - ^^ = 0 при 0 а
<р'(х) + ^^ =0 при а
<р[ (ж) + "Ь^! = 0 при 0 ^ ж / - аТ; а
<р[{х)-^^- = 0 при
управления — #«(0,4) — и их{1,€) +аи(1,£) = перево-
дящие струну из состояния и(х, 0) = <р{х), щ(х, 0) = У>(ж) в заданное состояние и(х,Т) = <Р1 (ж), щ(х, Т) = ф\(х), имеют вид
_ <р'(а1)-0<р(аЬ) у[{аТ - а£) - Ру^аТ - <*) ЩЧ 2 2
а« ат-аь
^ = + + ^ I Иг) + ^ л +
I
I
<р[ (I - (аТ - а*)) + ау!(I - (аТ - а*)) 1
2 2а
/-(аГ-о()
соответственно.
При Т — 1/а условие (3) превращается в следующее условие:
(3') „'(0) - ^ = О, /<1) + ^ = 0, ¿(0) + ^ = О, а а а
а граничные управления имеют вид
рф = <?'(<*)-№<*) + У'Л1 ~ а1) - 0М1 ~ <*) , 2 2
1-аг
2 2
I I
о«
Сформулируем задачу граничного наблюдения за колебаниями при однородных краевых условий третьего рода.
Задача. Найти момент времени Ь = Т и функции <р(х) и тр(х), задающие начальное состояние системы и(х, 0) = щ(х, 0) = тр{х), описываемой уравнением (1) и однородными граничными условиями
«а(0,«)-/3и(0,*) = 0, ММ) + аи{Ц) = 0, (9)
по наблюдаемым значениям
и(0,<) = »*(<), «(М) = **(«). (10)
которые принадлежат Сг[0, Г].
Решение задачи граничного наблюдения при однородных краевых условиях третьего рода имеет следующий вид.
Предложение 3.8. Задача граничного наблюдения для классических решений третьей краевой задачи с однородными граничными условиями решается, если минимальный период наблюдения Т равен 1/а. При этом функции <р(х) и восстанавливаются с помощью формул
г/а (1 — х)/а
(Н)
а/3 £ у1 [г) <1г + аа j у2 (г) ¿г о о
*<») = \
+
соответственно.
В четвертой главе получены обобщенные решения для Ьг [С}1,т) задач граничного управления и граничного наблюдения для краевых условий первого рода. Для решения задачи граничного управления с краевыми условиями первого рода используются обобщенные решения первой краевой задачи с нулевыми начальными и финальными условиями, полученные в главе 2. В классе обобщенных решений доказана неединственность решения задачи управления — граничные управления находятся с точностью до произвольной константы.
Сформулируем задачу управления для обобщенных решений первой краевой задачи. Будем предполагать, что функции (р(х) и <рх (я) принадлежат пространству £2 [0,/], а функции ф(х) и тр1 (г) принадлежат пространству /]•
Задача. Найти момент времени I — Т и функции и 1/(1) в пространстве Ь2[0,Т] такие, чтобы для решения и(х,1) из класса ¿2 (Я1,т) первой краевой задачи с начальными условиями [^(г), Ф(х)) выполнялись в момент времени Ь = Т финальные условия с заданными функциями (ж), ^г (ж)3- Равенства понимаются в смысле соответствующих пространств.
В случае управления колебаниями по одной границе, например, по границе х = 0, ищется только одна управляющая функция /х(£).
В §§ 3 и 4 решена задача управления при отсутствии ограничений на управление.
Теорема 4.5. Для произвольных функций <р(х), ч>\(х) и ф{х), ф1(х), принадлежащих пространствам [0, /] и ($£^[0, Г\ соответственно, решение задачи граничного управления имеет вид
_ уДО + у^-а*) + ф(аг) -фгЦ- аг) + ^ 2 2 а
_ - аЬ) + У1(°"0 Ф{1 - <Л) - Ф\{оЛ) „ _ _ _ с,
а период времени Т равен 1/а.3
Теорема 4.8. Для произвольных заданных функций <р(х),1р 1(3) из ¿2[0,/] и ф(х),фх{х) из решение задачи управления коле-
баниями по одной границе имеет вид
' <р(а£) - <рг (аЬ) ф(аЬ)-ф1(аЛ) 2 + Га
4>х{21 - аЬ) - <р(21 - а£)
2 + , ф{И-а£)-М21-а1) + Та
0<*<
I
I 21 а а
а период времени Т равен 21/а.
В §§ 5 и 6 решена задача управления, когда на нормы управляющих функций наложены ограничения типа неравенств. Задача управления колебаниями с ограничениями типа неравенств на нормы управляющих функций формулируется следующим образом.
Задача. Найти момент времени < = Г и функции ц{{) и и{{) в пространстве ¿г[0,Т], удовлетворяющие условиям |И|ь2[о,г] ^ Л и
«<ч
1М1ь2[0ДЧ ^ такие1 чтобы для решения € первой
краевой задачи с начальными условиями [<р{х), ф(х)} в момент времени Ь = Т выполнялись финальные условия с заданными функциями [<рх(ж),фг^х)]. Равенства понимаются в смысле соответствующих пространств.
В случае управления колебаниями по одной границе х = 0 ищется только одна управляющая функция |И1.ь3[о,т] ^ А-
Теорема 4.10. Пусть заданы произвольные функции р(х), '-р\ принадлежащие пространству Х2[0,/], иф(х), ф\(х) £ (5£)1 [0,1} такие, что <р(х) и 1р\(х) удовлетворяют условиям
к к »=1 »=1
О ^ а; ^ »=!,...,*,
З3десь ф(х) и фг(х) — первообразные функций ф{х) и фг (1).
а фиксированные первообразные ф(х), г/>г(г) е ¿2 [0, /] функций ф(х) и фг(х) соответственно удовлетворяют условиям
}=1 3=1
^ 2аА,
Ыо Л
О^я^г, 7 = 1,..., п. Гогда решение ц{Ь) задачи управления имеет вид
/*(*) =
. 2/г , 2/(»+1) . п , ,
/*•(«), — -г — 0,..., А — 1,
а а
У = 0,..., я — 1.
с (1*{Ь), г = 0,..., к - I, вида 1Г /. 2/г
[I к" («-")-*•(«-!*)]■
2/г / + 2/г
— -,
а а
/ + 2/г 21 + 2/г
и ¡¿(Ь), ] = 0,..., п - I, вида
1 2
ЩЪ + э) ^ ^1 + Щк + з)
5ч I <. ,
а а
а период времени Т, который зависит от выбранных первообразных ■ф(х), фг(х) и от разбиений функций <р(х), <рг(х), гр(х), ф\{х), равен 21(п + к)/а.
Теорема 4.12. Для произвольных функций <р(х), <рг(х) из [0,?] и ф(х), фг(х) из (5£) [0,/], удовлетворяющих только условиям
¥>(*) = ¿У». Ы*) = 1>1(*).
«=1 1=1
1к*(«) - <Р[ С - а!)|х,2[0,»] < 2Л< к нечетное,
#«) = Е м*) = £#'(*).
л=1 3=1
- - ^ ^ 2оЛ, п четное,
решения ¿¿(£) и задачи управления имеют вид
1*4*), — ^ * С £<1±Л, г = 0,..А — 1,
а а
МО = <
1/(0 =
а """ а
; = 0,..., п - 1;
. . ......4-1,
а а
а ^ а '
7 = 0,.. .,п — 1.
соответственно с в » = 0,..., Л — 1, вида
+ (-1)
- +
, (Х'+1 - К/а]) + у'г+1 - /г/а])
и р3 (4) и и* (€), ] = 0,..., п - 1, вида
(Х>[1{к + з + 1)/а-{\)
2
2
Р{1) =
2
2
а период времени Т равен 1(п + к)/а.А
В § 7 решена задача граничного наблюдения — по результатам наблюдения 1^(0,<) = у1 (£) и их(1,Ь) = у2^) восстанавливается начальное состояние системы. Доказана неединственность решения задачи наблюдения, а именно, и(х,0) определяется с точностью до произвольной константы, иг(х, 0) определяется однозначно.
Теорема 4.13. Задача граничного наблюдения для обобщенных решений первой краевой задачи с однородными граничными условиями решается, если период наблюдения Т равен 1/а. Функции <р(х) и ф(х) восстанавливаются с помощью формул
соответственно. При этом начальное значение и(х, 0) = у>(г) находится с точностью до некоторой константы С.
В этом параграфе дано сравнение результатов решения задачи граничного наблюдения с результатами решения соответствующей задачи для конечномерных систем, являющихся конечномерными аппроксимациями первой краевой задачи.
4 Здесь введено следующее обозначение:
х, если г четное, 1-х, если г нечетное,
В пятой главе сформулированы задачи граничного управления для краевых условий других родов (вторая краевая задача, третья краевая задача, смешанные краевые задачи) и даны их решения. При решении задач управления использовались обобщенные решения класса L2(Q¡,t) соответствующих краевых задач, полученные в главе 2. Решения задач управления единственны.
Прежде, чем сформулировать задачу управления для обобщенных решений третьей краевой задачи. Определим пространства, используемые в формулировке задачи.
Введем пространство
то = {/(») G Ca[0,í]: /'(0) = /(0) = m = №}■ Очевидно, что í] = 3[0, Í] Л #0, Z] = fo¡[0, Í] П&[0, Í]. пространство,
о о
сопряженное к #[0,/], обозначим 3'[0,/].
У элементов Т(я) пространства 5 ' [О, Í] существуют первообразные Т(х) в смысле определения 4. Через (З'Л)'^, Í] обозначим совокупность элементов Т(х) пространства 5'[0, /], у которых первообразные Т(х) принадлежат Ь2 [0, /].
Тогда
(ff£)'[0, q л (®з)*[0, /] Л (в»),[0, /] = Эз[0, Í],
(5£)/[o,qn5s[o>q= €3[о,ч, (3£)'Мля»[о,/] = «8[о,/].
Пространства (©3)*[0,Í] и (®з)«[0, i] определены на с. 17. А пространства i] и f)®[0,/] определяются следующим образом:
(к')*[о,*]л&'[о,í] = да,i], (5з').[о, 1}л= Ъ30[о,t\.
о
Задача. Найти момент времени t = Т и граничные функции li(t),i/(t) G £>3[0, Т] такие, чтобы для обобщенного решения u(x,t) из L2(Qi,t) третьей краевой задачи с заданными начальными условиями [y(z),Ф(х)] в момент времени t = Т выполнялись финальные условия с заданными функциями [<tpx(x),i/>i(x)]. Здесь ¡р(х) и v>i(a;) принадлежат Х?[0,/], ф(х) € <£3[0,1} и ф-у(х) £ <S3[0, Í]. Причем равенства понимаются в смысле соответствующих пространств.
Это задача о переводе объекта из состояния [<р(х),ф(х)] за промежуток времени Т в состояние [^1(ж),^1(ж)].
Теорема 5.3. Для произвольных пар функций [(р{х),ф{х)], и [ц>1 (ж), (ж)], принадлежащих пространствам Ь\[й,/] х (£3[0,1] и 1-2 [0,1\ х (£з[0,1] соответственно, граничные управления /х , принадлежащие пространству ®з[0,//а] и переводящие систему из заданного состояния и(х, 0) = <р(ж), щ(х, 0) = Ф[х) в заданное состояние и(х,Т) = ¥>1(ж), щ(х,Т) = ф\(х) имеют вид
= + <р[ (I - ар] - Р [у(о<) + (/ - «<)] +
[ф(а*) - V»! (/ - аЬ)] - /3 - ф[{1 - а*)]
_ [<р>{1 - ае) + у! (а*)] + а [у{1 ~ сЛ) + У1 (ар] _ Пг) - -
[ф{1 - сЛ) - фг (а<)] + а \ф{1 - а*) - ^ (а*)] 2а '
Период времени Т, за который удается перевести систему из заданного состояния в заданное, равен 1/а.
В § 4 решены задачи граничного наблюдения для однородных краевых условий различных родов. Решение задачи наблюдения также единственно в каждом рассмотренном случае.
Сформулируем задачу граничного наблюдения за колебаниями объекта при однородных граничных условиях третьего рода.
Задача. Найти момент времени Ь ~Т и функции <р(х) и ф(х), задающие начальное состояние системы и(ж, 0) = ¥>(ж), щ[х, 0) = ф{х), описываемой уравнением (1) и однородными краевыми условиями (9), по наблюдаемым значениям (10), которые принадлежат , Т].
Теорема 5.10. Задача граничного наблюдения для обобщенных решений и(ж,<) из £г(С?/,т) третьей краевой задачи с однородными краевыми условиями решается, если период наблюдения Т равен 1/а. При этом функция <р{х), принадлежащая ^[О, /], и функция ф(ж), принадлежащая восстанавливаются с помощью формул (11) и (12) соответственно.
В шестой главе решается задача управления для системы телеграфных уравнений со специальным образом выбранными коэффициентами, что соответствует случаю распространения сигнала по линии без искажений:
+ Lit + Ri = О, »« + Cvt + Gv = О,
где R и L —сопротивление и коэффициент самоиндукции, а С и G — коэффициенты емкости и утечки, рассчитанные на единицу длины, коэффициенты удовлетворяют равенству CR = LG.
Сформулируем краевые задачи с начальными условиями.
Краевая задача I с начальными условиями. Найти функции v(x,t) и ¿(as, t), удовлетворяющие в Qi%t системе (13), начальным условиям
г(*,0) = ¥»(«), *(«, 0) = #r), Q^z^l, (14)
и краевым условиям
t/(0 ,t) = fi(t), v(l,t) = 0, O^t^T.
Краевая задача II с начальными условиями. Найти функции v(x,t) и »(».£)I удовлетворяющие внутри Qi<T системе (13), начальным условиям (14) и краевым условиям
v(0, t) = (i(t), «(/, i) = 0, 0 < t < Т.
Аналогичным образом формулируются краевые задачи с финальными условиями
ф, Г) = £(»), ¿(а, Т) = *(»), 0 (15)
Если функции v(x,t) и i(x,t) — дважды непрерывно дифференцируемы, то условие на коэффициенты системы (13) позволяет свести ее к двум волновым уравнениям для функций u(x,t) = v(x,t)eи w(x,t) = где /3 = G/C = R/L. Таким образом, краевая
задача I с начальными условиями сводится к двум краевым задачам для волнового уравнения — первой краевой задаче и второй краевой задаче с начальными условиями для функций u(x,t) и w(x,t) соответственно. Краевая задача II с начальными условиями сводится к двум краевым задачам для волнового уравнения — смешанной краевой задаче (1,2) и смешанной краевой задаче (2,1) с начальными условиями для функций и(х, t) и w(x, t) соответственно. Эти соображения и позволяют определять обобщенные решения класса L2(Qi,t)
краевых задач I и II. Поскольку обобщенные решения краевых задач для волнового уравнения определялись в гл. 2.
Сформулируем задачи управления, которые решаются в этой главе для системы (13).
Задача управления в условиях краевой задачи I. Найти функцию и момент времени Ь = Т такие, чтобы решение [«(ж, 4), «(я;, <)] краевой задачи I с начальными условиями (14) в момент времени £ = Т удовлетворяло условиям (15).
Задача управления в условиях краевой задачи II. Найти функцию ц{€) и момент времени £ = Т такие, чтобы решение [г;(г,<), г(ж,£)] краевой задачи II с начальными условиями (14) в момент времени 1~Т удовлетворяло условиям (15).
Решения сформулированных задач в классе обобщенных решений из £г(Ог,т) дают следующие теоремы.
Теорема 6.1. Для произвольных функций <р{х), <р(х), 4>(х), ф(х) из Ьъ [О, Г) решение задачи управления колебаниями системы (13) в условиях краевой задачи I имеет вид /х(£) = /¿°(4)+/г0(<), где функция /х°(£) задается формулой
2
е-?*
<р№) -
ф(а1)
аС
¡р(21 - а*) +
ф(21 - а£)
аС
О ^ < ^ 1/а,
21/а,
а функция /¿о(£) — формулой
е-/зц-21/а)
<р№) -
ф(аЬ)
ЦъЦ) = е-/3(«-21/а)
<р(21 - сА) +
аС ■¡¡>{21 - сЛ)
о ^ г ^ 1/а,
аС
1/а < * ^ 21/а.
Наименьший период времени Т, за который удается перевести систему из состояния [<р{х), в состояние [<р{х),ф(х)], равен 21/а.
Теорема 6.2. Для произвольных функций >р(х), <<р(х), гр(х), ф(х) из Хг [0, /] решение задачи управления колебаниями системы телеграфных уравнений (13) в условиях краевой задачи II имеет следующий
вид: p(t) = pfi(t) + (i0(í), здесь функция fi>°(t) задается формулой
<p(at)
ф(сЛ)
aC
<p{2l - at) +
ф(21 - at) aC
а функция fto(t) — формулой
e-fi(t-2l/a)
M*) = <
<p(at) —
¿>(at)
aC
OÇtÇl/a, , l/a < t ^ 21/a,
0 ^ t Ç l/a,
e-fi(t-U/a)
ip(21 - at) +
ф(21 - at)
aC
l/a<t ^ 2l/a.
Наименьший период времени Т, за который удается перевести систему из состояния Ф[х)] в состояние [<р{я),Ф{х]\, равен 21/а.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ
Таким образом, новыми результатами, которые выносятся на защиту, являются:
1. С помощью полученных априорных оценок классических решений различных типов краевых задач для волнового уравнения с неоднородными и однородными граничными условиями доказаны теоремы существования обобщенных решений из L2{Qi,t) соответствующих краевых задач и выписан явный вид этих решений. Доказаны теоремы единственности обобщенных решений рассмотренных краевых задач.
2. Решения задач граничного управления получены в замкнутой аналитической форме при каждом из рассмотренных типов граничных условий для волнового уравнения в классе обобщенных решений из L2(Q¡,t)- Доказана неединственность решения задачи граничного управления с краевыми условиями первого рода (при управлении на одной и двух границах).
3. Решены задачи граничного управления (при управлении на одной и двух границах) с краевыми условиями первого рода при ограничениях на нормы управлений.
4. В явном виде получены решения задач граничного наблюдения с однородными краевыми условиями разных родов для волнового уравнения в классе обобщенных решений из Доказана неединственность решения задачи граничного наблюдения для краевых условий первого рода.
5. Получены обобщенные решения задач граничного управления для системы телеграфных уравнений.
Автор выражает благодарность академику РАН В.А. Ильину за постановки задач, постоянное внимание к работе, многочисленные консультации и обсуждения в ходе ее выполнения.
Автор считает своим долгом выразить благодарность руководителю Исследовательского центра процессов управления ИПС РАН профессору В.И. Гурману за постоянную поддержку исследований.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Зцаменская Л.Н. Априорные оценки обобщенных решений волнового уравнения // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 8.
— С. 1062-1070.
2. Знаменская Л.Н. Граничное управление на двух концах волновым уравнением в классе обобщенных решений из _Ь2 // Докл. РАН.
— 2001. — Т. 380, № 6. — С. 746-748.
3. Знаменская Л.Н. Управление колебаниями струны в классе обобщенных решений из Ь2 // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 5. — С. 666-672.
4. Знаменская Л.Н. Управляемость колебаниями струны с одним закрепленным концом при ограничениях на управление // Дифференц. уравнения. — 2003. — Т. 39, №3. — С. 377-382.
5. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 176 с.
6. Знаменская Л.Н. Обобщенные решения класса Ь2 второй краевой задачи // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 4. — С. 539-546.
7. Знаменская Л.Н. Обобщенные решения класса Ь2 смешанных краевых задач // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 5. —
С. 673-680.
8. Знаменская Л.H. Задача граничного наблюдения за колебаниями струны // Программные системы: теория и приложения / Тр. Междунар. конф. «Программные системы: теория и приложения». — ИПС РАН, Переславль-Залесский, май 2004 г. —Т. 2. — М.: Физ-матлит, 2004. — С. 331-347.
9. Znamentkaya L.N. Control of oscillation in hyperbolic system // Generalized solutions in control problems / Procedings IFAC Workshop and Satelite Ivents, GSCP-2004. Pereslavl-Zalessky, September, 21-27. — Moscow: Fizmatlit, 2004. — P. 294-310.
01.01 - 01,03
РНБ Русский фонд
2005-4 42299
2 2 f/'^CÜö
Введение
Глава 1. Обзор литературы и предварительные сведения
§ 1. Обзор литературы по управлению упругими колебаниями . . 15 1.1. Динамические задачи управления колебаниями упругих систем (17). 1.2. Управление колебаниями одномерных тел (21) 1.3. Управляемость и наблюдаемость (23).
§ 2. Классы функций и функциональные пространства.
Глава 2. Классические и обобщенные решения краевых задач. Теоремы существования и единственности
§ 1. Постановки краевых задач.
§ 2. Решение краевых задач методом Даламбера.
2.1. Решения краевых задач с ненулевыми краевыми условиями иО <Т ^ 1/а (35). 2.2. Решения краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями и нулевым краевым условием на правом конце при 0 < Т ^ 21/а (43)
§ 3. Обобщенные решения.
§4. Теоремы единственности обобщенных решений краевых задач
4.1. Теорема единственности решения первой краевой задачи (57). 4.2. Теоремы единственности решения для других краевых задач (61)
§ 5. Априорные оценки решений первой краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями
5.1. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми начальными условиями иТ^ 1/а (62). 5.2. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми начальными условиями при закрепленном правом конце и Т ^ 21/а (65). 5.3. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми финальными условиями и Т^.1/а (67). 5.4. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми финальными условиями при закрепленном правом конце иТ ^ 21/а (70).
§ 6. Априорные оценки решений третьей краевой задачи и смешанных краевых задач (1,3) и (3,1) с нулевыми начальными финальными) условиями.
6.1. Априорные оценки для решений третьей краевой задачи с нулевыми начальными условиями (71). 6.2. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (1,3) с нулевыми начальными условиями (75). 6.3. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (3,1) с нулевыми начальными условиями (79). 6.4. Априорные оценки для решений третьей краевой задачи с нулевыми финальными условиями (83). # 6.5. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (1,3) с нулевыми финальными условиями (87). 6.6. Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи (3,1) с нулевыми финальными условиями (89).
§ 7. Априорные оценки решений второй краевой задачи и других смешанных краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями.
7.1. Априорные оценки для решений второй краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями (92). 7.2. Априорные оценки для решений смешанных краевых задач (3,2) и (2,3) с нулевыми начальными (финальными) условиями (93). 7.3. Априорные оценки для решений смешанных ф краевых задач (1,2) и (2,1) с нулевыми начальными (финальными) условиями (95).
§ 8. Априорные оценки решений второй краевой задачи и смешанных краевых задач (1,2) и (2,1) с нулевыми начальными (финальными) условиями и однородным краевым условием на правом конце.
8.1. Априорная оценка для решений второй краевой задачи с нулевыми начальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (97). 8.2. Ариорная оценка для решения второй краевой задачи с нулевыми финальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (99). 8.3. Априорная оценка для решения смешанной краевой задачи (1,2) с нулевыми начальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (101). 8.4. Априорная оценка смешанной краевой задачи (1,2) с нулевыми финальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (102). 8.5. Априорная оценка для решения смешанной краевой задачи (2,1) с нулевыми начальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (104). 8.6. Априорная оценка смешанной краевой задачи (2,1) с нулевыми финальными условиями и однородным краевым условием на правом конце (105).
§ 9. Априорные оценки решений краевых задач с начальными условиями и с однородными краевыми условиями
9.1. Априорная оценка для решения первой краевой задачи с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (107). 9.2. Априорная оценка для решения третьей краевой задачи с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (111). 9.3. Априорная оценка для решения смешанной краевой задачи (1,3) с начальными условиями неоднородными краевыми условиями (117). 9.4. Априорная оценка для решения смешанной краевой задачи (3,1) с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (122). 9.5. Априорные оценки для решений других краевых задач с начальными условиями и с однородными краевыми условиями (127).
§ 10. Обобщенные решения первой краевой задачи с нулевыми начальными (финальными)
10.1. Решение первой краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями (129). 10.2. Решение первой краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями с закрепленным правым концом (130).
§ 11. Обобщенные решения третьей краевой задачи и смешанных краевых задач (3,1) и (1,3) с нулевыми начальными финальными) условиями.
11.1. Обобщенные решения третьей краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями (132). 11.2. Обобщенные решения смешанных краевых задач (1,3) и (3,1) с нулевыми начальными (финальными) условиями (134).
§ 12. Обобщенные решения второй краевой задачи и других смешанных краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями.
12.1. Теоремы существования обобщенных решений краевых задач с нулевыми начальными (финальными) условиями и неоднородными краевыми условиями (137). 12.2.
Теоремы существования обобщенных решений краевых ^ задач с нулевыми начальными (финальными) условиями и с однородными краевыми условиями на правом конце (139).
§ 13. Обобщенные решения краевых задач с начальными условиями и с однородными краевыми условиями.
Глава 3. Задачи граничного управления и граничного наблюдения. Классические решения.
§ 1. Постановки задач граничного управления.
1.1. Управление колебаниями струны в условиях первой & краевой задачи (149). 1.2. Управление колебаниями струны в условиях других краевых задач (150).
§ 2. Решение задач управления методом Даламбера.
2.1. Решение задачи управления в условиях первой краевой задачи (151). 2.2. Решение задачи управления в условиях третьей краевой задачи (156). 2.3. Решение задач управления в условиях других краевых задач (166).
§3. Постановки задач граничного наблюдения
§ 4. Решение задач наблюдения методом Даламбера.
4.1. Решение задачи наблюдения в условиях первой краевой задачи (169). 4.2. Решение задачи наблюдения в условиях третьей краевой задачи (171). 4.3. Решение задачи наблюдения в условиях второй краевой задачи, краевых задач (2,3) и (3,2) (174). 4.4. Решение задачи наблюдения в условиях краевых задач (1,3), (3,1), (1,2) и (2,1) (175).
Глава 4. Обобщенные решения задач граничного управления и наблюдения в условиях первой краевой зада
§ 1. Постановки задач граничного наблюдения.
§ 2. Неединственность обобщенного решения задачи управления
2.1. Неединственность решения задачи управления для Т = 1/а при управлении по двум границам (181). 2.2. Неединственность решения задачи управления для Т — 21/а при управлении по одной границе (184).
§ 3. Управление колебаниями по двум границам при отсутствии ограничений на управления.
3.1. Гашение колебаний дляТ — 1/а (186). 3.2. Решение задачи о переводе покоящегося объекта в заданное состояние для Т = 1/а (187). 3.3. Обсуждение результатов о наименьшем периоде времени Т (188). 3.4. Решение задачи о переводе объекта из заданного состояния в заданное (190).
§ 4. Управление колебаниями по одной границе объекта при отсутствии ограничений на управления.
4.1. Гашение колебаний для Т= 21/а (191). 4.2. Задача о переводе покоящегося объекта в заданное состояние для Т = 21/а (192). 4.3. Обсуждение результатов о наименьшем периоде времени Т (193). 4.4. Решение задачи о переводе объекта из заданного состояния в заданное (194).
§ 5. Управление колебаниями объекта по одной границе при ограничении на управление.
5.1. Гашение колебаний (195). 5.2. Перевод объекта из заданного состояние в заданное (200).
§ 6. Управление по двум границам колебаниями объекта при ограничениях на управления
6.1. Гашение колебаний (204). 6.2. Решение задачи о переводе объекта из заданного состояния в заданное (208).
§ 7. Решение задачи граничного наблюдения за колебаниями в условиях первой краевой задачи.
7.1. Постановка задачи граничного наблюдения и ее решение (212). 7.2. О неединственности решения задачи граничного наблюдения для обобщенных решений (214). 7.3. Конечномерные аппроксимации (216). 7.4. Сравнение результатов для конечномерных систем и систем с распределенными параметрами (218).
Глава 5. Обобщенные решения задач граничного управления и граничного наблюдения в условиях других краевых задач.
§ 1. Обобщенные решения задач управления в условиях третьей краевой задачи
1.1. Постановки задач (220). 1.2. Решение задачи гашения колебаний (221). 1.3. Решение задачи перевода покоящегося объекта в заданное состояние (222). 1.4. Решение общей задачи управления (224).
§ 2. Обобщенные решения задач управления в условиях смешанных краевых задач (1,3) и (3,1)
2.1. Задачи управления в условиях смешанной краевой задачи (1,3) (226). 2.2. Задачи управления в условиях смешанной краевой задачи (3,1) (231).
§ 3. Обобщенные решения задач управления в условиях краевых задач с краевым условием второго рода.
3.1. Задача управления в условиях второй краевой задачи (235). 3.2. Задача управления в условиях смешанных краевых задач (1,2) и (2,1) (236). 3.3. Задача управления в условиях смешанных краевых задач (2,3) и (3,2) (237).
§ 4. Обобщенные решения задач граничного наблюденияза колебаниями в условиях других краевых задач.
4.1. Постановки задач граничного наблюдения (237). 4.2. Решение задачи граничного наблюдения в условиях третьей краевой задачи (238). 4.3. Решение задачи граничного наблюдения в условиях смешанной краевой задачи (1,3) (241). 4.4. Решение задачи граничного наблюдения в условиях смешанной краевой задачи (3,1) (244). 4.5. Решение задачи граничного наблюдения в условиях краевых задач, с краевыми условиями второго рода (247).
Глава 6. Задачи управления, связанные с телеграфными уравнениями.
§ 1. Краевые задачи и задачи управления.
1.1. Постановки задач (249). 1.2. Сведение краевой задачи I к краевым задачам для волнового уравнения (251). 1.3. Сведение краевой задачи II к краевым задачам для волнового уравнения (254).
§ 2. Классические решения краевых задач I и II.
2.1. Решение краевых задач с начальными условиями (255).
2.2. Решение краевых задач с финальными условиями (258).
§ 3. Классические решения задач управления.
3.1. Решение задач гашения колебаний (259). 3.2. Перевод покоящейся системы в заданное состояние (261).3.3. Решение задач управления (262).
§ 4. Обобщенные решения задач управления.
4.1. Определения обобщенных решений краевых задач I и II (263). 4.2. Обобщенные решения краевых задач I и II с нулевыми начальными (финальными) условиями (264). 4.3. Решение задачи управления в условиях краевой задачи I (267). 4.4. Решение задачи управления в условиях краевой задачи II (268).
Возможность перевода системы из любого заданного начального состояния в любое желаемое состояние за конечный промежуток времени, выбирая соответствующим образом управляющее воздействие, называется управляемостью. Возможность восстановления начального состояния системы по некоторой наблюдаемой линейной операции над ее выходом называется наблюдаемостью. Системы, обладающие свойством управляемости (соответственно, наблюдаемости) называются вполне управляемыми (соответственно, вполне наблюдаемыми).
В теории управления конечномерными системами известны критерии управляемости и наблюдаемости линейных конечномерных систем. А также известно, что задачи управляемости и наблюдаемости являются двойственными задачами. Принцип двойственности в задаче об управляемости и наблюдаемости конечномерных систем был установлен Р. Калманом.
Для бесконечномерных систем (в теории управления их называют системами с распределенными параметрами) решение задач управляемости и наблюдаемости гораздо сложнее, поскольку при этом необходимо учитывать функциональные свойства начального и финального состояния системы.
Исследования задач управления одномерными упругими колебаниями начались с работ А.Г. Бутковского (1963 г.). Затем, в начале 70-х годов, начиная с работ Ж.-JI. Лионса и A.B. Ба-лакришнана, при решении задач управляемости и наблюдаемости стали использоваться различные функциональные пространства (пространства непрерывных абстрактных функций, пространство абстрактных функций суммируемых с квадратом и т.д.). А.И. Егоров (1986 г.) предложил учитывать волновую природу колебательного процесса при решении задачи гашения колебаний, описываемых волновым уравнением, системой телеграфных уравнений и в задаче управления колебаниями газа в длинном трубопроводе. В последние годы в работах В.А. Ильина проблемы граничной управляемости колебаниями, описываемыми уравнением ии(х^) — ихх(х,Ь) = 0, в классе обобщенных решений И^ф^т) были детально проработаны с учетом функциональных свойств начального и финального состояния системы и в явном аналитическом виде получены граничные управления, задающие краевые условия первого рода, которые решают задачу управляемости.
Пространство И7^— пространство функций с конечной энергией, введенное В.А. Ильиным, представляет собой совокупность функций, непрерывных в замкнутом прямоугольнике ф1Т = [0 ^ а; ^ /] х [0 ^ £ ^ Т], имеющих обобщенные частные производные первого порядка, каждая из которых принадлежит
• классу -С/2[0, /] при любом фиксированном £ из сегмента [О, Т] и принадлежит классу 1^2[0,Т] при любом фиксированном х из сегмента [0, /].
В работах В.А. Ильина для обобщенных решений волнового и телеграфного уравнений были получены в явном виде управляющие воздействия — граничные смещения (краевые условия первого рода), переводящие колебательную систему из заданного начального состояния, принадлежащего пространству И^[0,/] хЬ2[0,/], в заданное финальное, также принадлежащее этому пространству. Проанализированы условия полной управляемости колебательной системы.
Задача наблюдаемости линейных колебательных систем в до-ф статочно общем виде была сформулирована Ж.-Л. Лионсом, им был предложен метод решения для случая, когда наблюдение осуществляется с помощью граничных условий второго рода. Эта же задача Ф.П. Васильевым, М.А. Куржанским и М.М. Потаповым решалась с помощью метода прямых в классе непрерывных абстрактных функций.
В диссертационной работе автором по аналогии с пространством И^вводится пространство Ь2(Яг,т) — пространство функций, принадлежащих ¿^(ф^т), а также принадлежащих пространству /] при любом £ из сегмента [О, Т] и принадлежащих пространству Ь2[0,Т] при любом х из сегмента [0,/]. Задачи наблюдаемости и управляемости решаются в этом классе функций для краевых условий первого, второго и третьего рода.
Волновым уравнением описывается процесс колебаний струны, продольные колебания стержней и пружин, крутильные колебания длинных стержней, колебания давления в длинных газопроводах, колебания напряжения и силы тока в электрических проводах и т. п. процессы. Поэтому в дальнейшем будем говорить о колебаниях объекта.
Сформулируем более точно задачи управления и наблюдения для волнового уравнения, которые решаются в работе.
Задача управления. Объект, процесс колебания которого описывается волновым уравнением uu{x,t) - a2uxx(x,t) = 0, (x,t)eQi}T, (0-1) необходимо перевести из начального состояния и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х), 0 ^ х < /, (0.2) в финальное состояние и(х,Т) = <pi{x), щ(х,Т) = ф\(х), 0 < х < /, с помощью управлений ¡i{t) и z/(£), которые задаются краевыми условиями первого, второго или третьего рода на границах х = 0 и х = I прямоугольника Qi,t = {(x,t) : 0 < х < I, 0 < t < Т} соответственно.
Задача наблюдения. Найти начальное состояние (0.2) объекта, процесс колебаний которого описывается волновым уравнением (0.1) с однородными краевыми условиями первого второго или третьего рода по результатам наблюдения на границах х = 0 и х = I прямоугольника Qi,t'ux(0,t) = y1{t), или u(0,t) = y1{t), ux(l,t) = y2(t), или u(l,t) = y2(t), в зависимости от того какого рода краевые условия заданы на этих границах.
Обе задачи решаются в классе обобщенных решений u{x,t) из L2(QI,t).
Объектом исследований являются системы, процесс колебаний в которых описывается волновым уравнением или системой телеграфных уравнений со специальным образом выбранными коэффициентами.
Целью диссертационной работы является решение задач управляемости и наблюдаемости для объектов, процесс колебаний которых описывается волновым уравнением или системой телеграфных уравнений в классе обобщенных решений L,2(Qi,t) с краевыми условиями первого, второго и третьего рода.
Методы исследования основаны на априорных оценках классических решений различных типов краевых задач для волнового уравнения, с помощью которых доказываются теоремы существования обобщенных решений класса В работе использован аппарат современного математического и функционального анализа.
Диссертационная работа состоит из введения и шести глав.
1. Акуленко А.Д. Приведение упругой системы в заданное состояние посредством силового граничного воздействия // Прикл. матем. и мех. — 1981. — Т. 45, вып. 6. — С. 1095-1103.
2. Акуленко А.Д. Управление движением мембраны посредством силовых граничных воздействий // Прикл. матем. и мех. — 1995. — Т. 59, вып. 5. — С. 731-741.
3. Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. — М: Мир, 1977. — 142 с.
4. Ахмедов Ф.Ш. Оптимизация гиперболических систем при локальных краевых условиях типа Бицадзе-Самарского // ДАН СССР. — 1996. — Т. 283, №4. — С. 787-791.
5. Афанасьев В.П. Оптимизация спектра частот собственных колебаний лопаток газотурбинных двигателей: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Днепропетровск, 1983. — 108 с.
6. Бабе Г.Д., Гусев Е.Л. Математические методы оптимизации интерференционных фильтров. — Новосибирск: Наука, 1982. — 216 с.
7. Балакришнан A.B. Прикладной функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.— 384 с.
8. Баничук Н.В. Оптимизация формы упругих тел. — М.: Наука, 1980. — 256 с.
9. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи с распределенными параметрами. — М.: Высшая школа, 1980. — 152 с.
10. Бенсусан А., Лионе Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. — М.: Наука, 1987. — 596 с.
11. Божко А.Е. Оптимальное управление в системах воспроизведения вибраций. — Киев: Наукова думка, 1977. — 218 с.
12. Бокмельдер Е.П., Дыхта В.А. К теории принципа максимума для управляемых систем гиперболического типа // Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления. — Новосибирск: Наука, 1985. — С. 41-58.
13. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М: Наука, 1965. — 474 с.
14. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975. — 568 с.
15. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами // Автоматика и телемех. — 1979. — №11. — С. 16-65.
16. Бутковский А.Г., Пустыльников JI.M. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1988. — 384 с.
17. Бутковский А.Г., Самойленко Ю.И. Управление квантово-механическими процессами. — М.: Наука, 1984. — 256 с.
18. Васильев О.В. Оптимальность особых граничных управлений в системах с распределенными параметрами // Управляемые системы. — 1979. — № 18. — С. 4.-13.
19. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.И. Методы оптимизации и их приложения. — Новосибирск: Наука, 1990. — 150 с.
20. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1989. — 552 с.
21. Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 11. С. 1893-1900.
22. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. — М.: Изд-во МГУ, 1989. — 144 с.
23. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Разгулин A.B. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебаниями струны // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. — 1993. — № 2. — С. 3-8.
24. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебания струны // Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. — 1993. — Ко 3. — С. 8-15.
25. Васницкий Л.И., Милосердова И.В. Оптимальный гаситель продольных колебаний стержня // Прикл. матем. и мех. — 1997.Т. 61, вып. 3. — С. 537-540.
26. Воронцов И.И. Об оптимальности управления колебательными процессами // Кибернетика. — 1973. — № 5. — С. 100-105.
27. Гринев В.В., Филиппов А.П. Оптимизация элементов конструкций по механическим характеристикам. — Киев: Наукова думка, 1975. — 294 с.
28. Губарев В.Ф. Управление параметрами плазмы в термоядерных установках: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1991. — 276 с.
29. Губарев В.Ф. Динамика систем управления положением плазменного шнура в токомаке // Автоматика. — 1979. — № 5. — С. 27-34.
30. Гурман В.И., Знаменская JI.H. Управление колебаниями при ограниченном ресурсе управления // Изв. РАН. Теор. и сист. управления. — 2002. — № 1. — С. 41-49.
31. Данилов В.Я., Федорченко М.С. Оптимальное по быстродействию управление упругими объектами // Вестн. Киевск. ун-та. Выч. и прикл. матем. — 1976. — Вып. 18. — С. 120-123.
32. Данилов В.Я., Фоменко A.B. Об оптимальном управлении в задаче демпфирования периодических колебаний распределенных систем // Вестн. Киевск. ун-та. Выч. и прикл. матем. — 1962.Вып. 47. — С. 122-125.
33. Дегтярев Г.Л. Синтез оптимального управления в распределенных системах при локальном критерии качества // III Всес. Четаевская конф. по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением. — Иркутск: Иркутский ун-т, 1977. — С. 133.
34. Дегтярев Г. Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами.М.: Машиностроение, 1986. — 216 с.
35. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Теория принципа максимума // Методы теории экстремальных задач в экономике. — М.: Наука, 1980. — С. 6-47.
36. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в распределенных объектах // Прикл. матем. и мех. — 1963. —Т. 27, Ко 4. — С. 688-696.
37. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1965. — Т. 29, № 6. — С.1205-1256.
38. Егоров А.И. Оптимальная стабилизация систем с распределенными параметрами // Труды Международной конференции IFIP по технической оптимизации. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1974. — С. 180-188.
39. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. — М.: Наука, 1978. — 464 с.
40. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями // ДАН УССР. Сер. А. — 1986. — № 5. — С. 60-63.
41. Егоров А.И., Капустин В.Е. Точечное управление колебаниями // Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. — Кишинев: Штиинца, 1981. — С. 34-41.
42. Егоров А.И., Кирьян C.B. Об оптимальной стабилизации упругих поперечных колебаний // Приближенное решение задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. — Фрунзе: Илим, 1976. — С. 51-57.
43. Егоров А.И., Фоменко A.B. Об оптимальной стабилизации упругих систем // Динамика управляемых систем. — Новосибирск: Наука, 1979. — С. 111-120.
44. Егоров А.И., Шакиров В.Н. Оптимальное управление колебаниями проводника с током в магнитном поле // Математические методы в механике. — Кишинев: Штиинца, 1980. — С. 34-38.
45. Егоров А.И., Шакиров В.Н. Оптимальное управление колебаниями проводника с током // Оптимизация и устойчивость систем с распределенными параметрами. — Фрунзе: Илим, 1980. — С. 59-75.
46. Егоров А.И., Шенфелъд Г.В. Об одной задаче оптимального управления изгибными колебаниями балки // Тр. Фрунз. политехн. ин-та. Сер. машиностроение. — 1971. — Вып. 45. — С. 38-45.
47. Знаменская Л.Н. Априорные оценки обобщенных решений волно- вого уравнения // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 8. — С. 1062-1070.
48. Знаменская Л.Н. Граничное управление на двух концах волновым уравнением в классе обобщенных решений из Ь2 // Докл. РАН. — 2001. — Т. 380, № 6. — С. 746-748.
49. Знаменская Л.Н. Управление колебаниями струны на двух концах в классе обобщенных решений из Ь2 // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения XII». Тезисы докл. — Воронеж: ВГУ, 2001. — С. 76-77.
50. Знаменская Л.Н. Управление колебаниями с граничными условиями третьего рода // Методы оптимизации и их приложения. Труды XII Байкальской междун. конф. Иркутск, 24 июня -1 июля 2001 г. Т. 2. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2001. — С. 101-104.
51. Знаменская Л.Н. Управление колебаниями струны в классе обобщенных решений из Ь2 // Дифференц. уравнения. — 2002.Т. 38, № 5. — С. 666-672.
52. Знаменская Л.Н. Управляемость колебаниями струны с одним закрепленным концом при ограничениях на управление // Дифференц. уравнения. — 2003. — Т. 39, №3. — С. 377-382.
53. Знаменская Л.Н. Управляемость колебаниями струны при ограничениях типа неравенств на нормы управления // Математика, информатика: теория и приложения. -— Переславль: Изд-во «Университет города Переславля», 2003. — С. 136-143.
54. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 176 с.
55. Знаменская Л.Н. Обобщенные решения класса Ь2 второй краевой задачи // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 4.С. 539-546.
56. Знаменская Л.Н. Обобщенные решения класса Ь2 смешанных краевых задач // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 5. — С. 673-680.
57. Знаменская JI.H. Задача граничного наблюдения // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения XV». Тезисы докл. — Воронеж: ВГУ, 2004. — С. 97.
58. Зубарев С.Н. Оптимальное управление процессами, описываемыми гиперболическими и квазигиперболическими уравнениями: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Киев, 1979. — 122 с.
59. Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975. — 496 с.
60. Зубов В.И. Колебания и волны. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. — 416 с.
61. Иваненко В.И., Мельник B.C. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. — Киев: Наукова думка, 1988. — 286 с.
62. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // УМН — 1960. — Т. XV, вып. 2(92). — С. 97-154.
63. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах // Докл. РАН. — 1999. — Т. 369, № 5. — С. 592-596.
64. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце // Докл. РАН. — 1999. — Т. 369, № 6. — С. 732-735.
65. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени // Дифферент уравнения. — 1999. — Т. 35, № И. — С. 1517-1534.
66. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35, № 12. — С. 1640-1659.
67. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. — 2000. — Т. 36, № 11. — С. 1513-1528.
68. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний наодном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнение. — 2000. — Т. 36, № 12. — С. 1670-1686.
69. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии // Докл. РАН. — 2001. — Т. 376, № 3. — С. 295-299.
70. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на одном конце при закрепленном втором конце и при условии существования конечной энергии // Докл. РАН. — 2001.Т. 378, № 6. — С. 743-747.
71. Ильин В.А. Граничное управление сферически симметричными колебаниями трехмерного шара // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 2001. — Т. 232. — С. 144-155.
72. Ильин В.А. О граничном управлении процессом, описываемым уравнением к(х)к(х)их(х^).х — ии{х^) = 0 // Докл. РАН.2002. — Т. 286, № 2. — С. 156-159.
73. Ильин В.А. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым уравнением к(х)к(х)их(х,Ь).х— иц(х^) — 0// Тр. сем. им. И.Г. Петровского. —2002. — Вып. 22. — С. 121-141.
74. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением // Докл. РАН. — 2002. — Т. 387, № 5. — С. 600-603.
75. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с краевым управлением // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35, № 1.С. 137-138.
76. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35, № 5. — С. 692-704.
77. Ишмухаметов А.З. Синтез оптимального управления для систем, описываемых гиперболическими уравнениями // Дифференц. уравнения. — 1985. — Т. 21, № 4. — С. 597-605.
78. Каимкулов Ы. Оптимизация распределенных колебательных процессов с точечным воздействием: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Фрунзе, 1978. — 130 с.
79. Каниболоцкий М.А., Уржумцев Ю.С. Оптимальное проектирование слоистых конструкций. — Новосибирск: Наука, 1989. — 176 с.
80. Капустин, В.Е. Синтез оптимального управления распределенными системами с запаздыванием по времени: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Днепропетровск, 1982. — 115 с.
81. Капустин В.Е. Оптимальное ограниченное управление сингулярно возмущенными системами с распределенными параметрами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1994. — 295 с.
82. Керимбеков А. Приближенное решение задач оптимального управления процессом, описываемым системой телеграфных уравнений: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Фрунзе, 1987. — 115 с.
83. Когут П.И. Устойчивость и оптимальная стабилизация систем интегро-дифференциальных уравнений нейтрального типа: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Днепропетровск, 1989. — 112 с.
84. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний простых упругих систем. — М.: Мир, 1975. — 158 с.
85. Красовский Н.Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. — 476 с.
86. Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума. I, II // Автоматика и телемех. — 1962. — Т. 23, № 12. — С. 1571-1582; 1963. — Т. 24, № 5. — С. 581-598.
87. Кузьмина A.JI. Об одной задаче оптимального управления // Commentations Mathematicae Universitatis Carolinae. — 1966. — V. 7, m 3. — P. 4-6.
88. Кулиев Г.Ф. Задача точечного управления для гиперболического уравнения // Автоматика и телемех. — 1993. — Т. 80, № 3.С. 80-84.
89. Ладиков Ю.П. Стабилизация процессов в сплошных средах.М.: Наука, 1978. — 432 с.
90. Летов A.M. Динамика полета и управление. — М.: Наука, 1969. — 360 с.
91. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с.
92. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971. — ООО с.
93. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. — М.: Наука, 1987. — 368 с.
94. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. — М.: Наука, 1975. — 478 с.
95. Меркулов В.И. Управление движением жидкости. — Новосибирск: Наука, 1981. — 174 с.
96. Михлин С.Г. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968. — 576 с.
97. Олъхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. — М.: Мир, 1981. — 276 с.
98. Петухов Л.В., Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации для уравнений гиперболического типа при наличии граничных управлений // Прикл. матем. и мех. — 1975. — Т. 39, № 2. — С. 260-270.
99. Плотников В.И. Теория оптимизации систем с распределенными и сосредоточенными параметрами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Горький, 1974. — 386 с.
100. Плотников В.И., Новоженов М.М. Обобщенное правило множителей Лагранжа для распределенных систем с фазовыми ограничениями // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 4. — С. 584-592.
101. Плотников В.И., Сикорская Е.Р. Оптимизация управляемого объекта, описываемого нелинейной системой гиперболических уравнений // Изв. вузов. Радиофизика. — 1972. — Т. 15, № 3. — С. 346-354.
102. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дар-бу // ЖВМиМФ. — 1972. — Т. 12, № 1. — С. 61-77.
103. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимальное управление системами Гурса-Дарбу с правыми частями, дифференцируемыми в обобщенном смысле // Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвуз. сб. — Горький: Горьк. ун-т, 1981. — С. 27-33.
104. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских A.B., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
105. Пузырев В.И. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (обзор) // Зарубежная радиоэлектроника. — 1975. — № 7. — С. 38-57.
106. Пузырев В.И. Управление волновыми каналами // Зарубежная радиоэлектроника. — 1977. — № 10. — С. 3-27.
107. Райтум Х.Ё. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. Математические вопросы. — Рига: Зинат-не, 1989. — 312 с.
108. Рахимов М. О синтезе оптимального управления упругими колебаниями: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ашхабад, 1979. — 128 с.
109. Рахимов М. Применение метода динамического программирования и спектрального разложения в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — М., 1989. — 296 с.
110. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифферент уравнения. — 2000. — Т. 36, № 6. — С. 806-815.
111. Рейтман М.И., Шапиро Г. С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. — М.: Наука, 1976. — 266 с.
112. Ройтенберг H.H. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.
113. Рубин И.К. Оптимальная система обмоток формирования и управления поперечными магнитными полями в «Токомаке» // Автоматика. — 1978. — № 5. — С. 49-57.
114. Рудик А.П. Оптимизация физических характеристик ядерных реакторов. — М.: Атомиздат, 1979. — 278 с.
115. Самойленко Ю.И., Губарев В.Ф., Кривонос Ю.Г. Управление быстропротекающими процессами в термоядерных установках. — Киев: Наукова думка, 1988. — 384 с.
116. Сиразитдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1977. — 498 с.
117. Срочко В.А. Вычислительные методы решения экстремальных задач. — Иркутск: Изд-во Ирктутск. ун-та, 1982. — 110 с.
118. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. 4.1.Нижний Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 1992.
119. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в математической теории оптимального управления распределенными системами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Нижний Новгород, 1998. — 268 с.
120. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I, II // Дифференц. уравнения.2002. — Т. 38, № 3. — С. 393-403; 2002. — Т. 38, № 4. — С. 529-537.
121. Тихонов А.И., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.: Гл. ред. физ.-матем. литературы, 1972. — 736 с.
122. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. — JL: Машиностроение, 1976. — 248 с.
123. Троицкий В.А., Петухов JI.B. Оптимизация формы упругих тел. — М.: Наука, 1982. — 412 с.
124. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978. — 488 с.
125. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. — М: Машиностроение, 1970. — 734 с.
126. Фоменко A.B. Вариационный метод в задачах управления и устойчивости распределенных колебательных систем: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Днепропетровск, 1981. — 124 с.
127. Фоменко A.B. Приближенное решение позиционных задач оптимального управления и дифференциальных игр: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Запорожье, 1991. — 321 с.
128. Фридман А. Вариационные принципы в задачах со свободной границей. — М.: Наука, 1990. — 536 с.
129. Фурсиков A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 350 с.
130. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 12. — С. 16551663.
131. Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в случае ограниченной энергии // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 2. — С. 277-284.
132. Шакиров В.Н. Задача демпфирования полной энергии в колебательных системах // Вычислительная и прикладная математика. — 1981. — Вып. 45. — С. 62-85.
133. Шенфелъд Г.Б. Приближенное решение некоторых задач оптимального управления колебательными системами с распределенными параметрами: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — Фрунзе, 1973. — 121 с.
134. Шенфелъд Г.Б. Синтез оптимального управления движением упругой конструкции // Оптимизация процессов в системах с распределенными параметрами. — Фрунзе: Изд-во Илим, 1975.С. 23-26.
135. Хог д., Apopa Я. Прикладное оптимальное проектирование.М.: Мир, 1983. — 480 с.
136. Ягубов М.Я. Скользящие режимы оптимального управления и необходимые условия оптимальности в системах с распределенными параметрами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. — Баку, 1990. — 223 с.
137. Barbu V. Optimal control of variation inequalities. — London: Pitman, 1984. — 292 p.
138. Egorov A.I., Rachimov M. About the Problem of Synthesis of Optimum Control by Ellastic Oscilllations // Lecture Notes in Computer Sciense. — Berlin-Heidelburg-New York: Springer-Verlag, 1975. — P. 27.
139. Fattorini H. O. Boundary Control Systems // SIAM J. Control.1968. — № 6. — P. 109-113.
140. Lions J.L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. — 1988. — V. 30, № 1. — P. 1-68.
141. Russell D.L. Optimal reglation of linear symmetric hyperbolic systems with finite dimentional controls // M. R. C. Techn. Report. № 566. — Wisconsin: Medison, 1965.
142. Russell D.L. Boundary value control of higher dimensional wave equation. P. 2. Technical Report. — Winconsin: Uneversity of Winconsin, 1970.
143. Russell D.L. Boundary value control of higher dimensional wave equation. Part 1 // SIAM J. of Control. — 1971. — № 9. — P. 29-42.
144. Wang P.K.C. Theory of Stability and Control for Distributed Parameter Systems (a Bibliography) // Int. J. Control. — 1968. — V. 7, № 2. — P. 101-116.
145. Znamenskaya L.N. Control of oscillation in hyperbolic system // Generalized solutions in control problems / Procedings IFAC Workshop and Satelite Ivents, GSCP-2004. Pereslavl-Zalessky, September, 21-27. — Moscow: Fizmatlit, 2004. — P. 331-347.
