Глобально управляемые механические системы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им МВ ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Каюмов Олег Рашидович

ГЛОБАЛЬНО УПРАВЛЯЕМЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

01.02 01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ииль8807

еКА

Москва - 2007

003158807

Работа выполнена на кафедре математики филиала Омского государственного педагогического университета в г Таре.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ананьевский Игорь Михайлович доктор физико-математических наук, профессор Голубев Юрий Филиппович доктор физико-математических наук Матюхин Владимир Иванович

Ведущая организация:

Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева (КАИ)

Защита диссертации состоится 26 октября 2007 года в 16 00 на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при МГУ им МВ Ломоносова по адресу. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 25 сентября 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

В А Прошкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В процессе проектирования и эксплуатации механических систем управления (роботов-манипуляторов, подвижных частей летательных аппаратов, транспортных механизмов и др) требуется, чтобы имеющихся ресурсов управления было достаточно для достижения целей движения, те система должна быть управляемой В последние десятилетия в работах РВ Гамкрелидзе, RE Kaiman, J. Р La Salle, НН Красовского, Н Hermes, R Hermann, RW Brockett, L Markus, C. Lobry, HJ Sussmann, В.И Коробова, AM Ковалева, E.C Пятницкого и др были получены результаты, составившие теорию управляемости динамических систем Здесь многие идеи опираются на теорию устойчивости Ляпунова, развитую в работах Н.Г Четаева, И.Г Малкина, Н.Н Красовского, Е А Барбашина, В И Зубова, В В Румянцева, В М. Матросова и др

Проблему управляемости динамической системы впервые сформулировал Kaiman RE (1961), предложивший для линейной стационарной системы необходимые и достаточные условия Близкий критерий ранее предлагал Р.В. Гамкрелидзе в задаче с ограничениями на управление В случае линейной нестационарной системы достаточные условия управляемости были получены Н Н Красовским. Для нелинейных систем общего вида универсальных конструктивных критериев управляемости, видимо, не существует

Необходимое условие локальной управляемости исследовалось (6 Lobry, Н Hermes, R.W Brockett, Н J Sussmann и др) на основе теоремы Рашевского-Chow как свойство алгебры Ли векторных полей, параметризованных значениями управлений Дополнительными достаточными условиями глобальной управляемости оказались либо компактность пространства состояний (С Lobry), либо симметричность векторного поля (R Hermann, Н J Sussmann, V Jurdievic), либо другие критерии На этом основано управление конфигурациями изменяемых механических систем (А А Аграчев, Ю А Сачков), наглядно демонстрируемое в задаче «о падающей кошке» (В В

Козлов) Свойства симметрий и методы теории групп применялись к анализу

з

управляемости в работах Г Н Яковенко Отсутствие инвариантного многообразия выявлялось (В Н Семенов) как неинтегрируемость вспомогательного уравнения Пфаффа В работах А М Ковалева приведены примеры неуправляемых систем, не имеющих инвариантного многообразия, и в связи с этим предложен метод ориентированных многообразий

Другой подход в теории управляемости опирается на известное свойство линейной стационарной управляемой системы распадаться на канонические подсистемы (Р A Brunovsky) Преобразование нелинейной системы к такой форме оказалось возможным (В И Коробов) для так называемых треугольных систем, удовлетворяющих специальному условию «регулярности» Результат был распространен (А М Ковалев) и на нестационарный случай Позднее были найдены (В Jakubczuk, W Respondek, В И Коробов, С С Павличков) треугольные системы частного вида, не удовлетворяющие условию регулярности, и потому названные (S Ceiikovsky, Н Nijmeyer) сингулярными, тем не менее, глобально управляемые В работах А А Жевнина, А П Крищенко, А А Аграчевам и Ю А Сачкова получены условия точной линеаризации систем, аффинных по управлению Попытки дать наглядное представление о геометрии фазовых потоков дифференциальных включений привели к понятию фазового портрета управляемой динамической системы (А В Бутковский) Свойства управляемости при сочетании нескольких ограничений на управляющие воздействия были подробно рассмотрены А М Формальским Применительно к динамическим системам в R" вопросы стабилизируемое™ и оценки области управляемости с использованием теорем устойчивости анализировались L Markus, В В Румянцевым, А П Блиновым, А П Крищенко, В М Морозовым, В И Каленовой, Е Н Шевелевой и др

В работах Е С Пятницкого, В.И Матюхина для некоторых классов лагранжевых систем общего вида сформулированы необходимые и достаточные условия их глобальной управляемости в предположении, что параметры могут быть любыми (из ограниченного заданного диапазона) Будучи «робастным», этот критерий, очевидно, не исчерпывает возможностей собственной динамики

4

конкретных механизмов Например, не охватывается случай, когда управляемость обеспечивается числом управлений меньшим, чем число степеней свободы

Таким образом, универсальных критериев управляемости нелинейных систем в настоящее время не существует, поэтому представляют интерес достаточные условия управляемости конкретных классов объектов с учетом их специфики.

Особенностью рассматриваемых в работе механических систем является то, что 1) исследуется их глобальная управляемость в цилиндрическом фазовом пространстве, 2) число управлений меньше числа степеней свободы, а сами управляющие функции ограничены заранее заданными величинами.

«Модельный» уровень обсуждаемых систем соответствует предварительному анализу многих реальных объектов Рассуждения о свойствах управляемости можно относить к гипотетическим «внештатным» ситуациям, когда часть имеющихся управляющих ресурсов «вышла из строя» В этом смысле информация о предельных динамических возможностях объекта актуальна.

Цель работы - обоснование достаточных условий глобальной управляемости лагранжевых систем, включая сопутствующие вопросы теории устойчивости в цилиндрическом фазовом пространстве, а также проблемы влияния массо-инерционных характеристик на управляемость механизма Рассматриваются также некоторые свойства оптимального синтеза

Методы исследования. В работе используются классические методы аналитической механики, теории устойчивости Ляпунова, теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, а также принцип максимума Понтрягина в теории оптимальных процессов

Научная ценность и новизна. Путем введения понятия связной функции Ляпунова на основе прямого метода в теории устойчивости даны достаточные условия стабилизируемое™ и глобальной управляемости натуральных лагранжевых систем в случае, когда число управляющих воздействий меньше числа степеней свободы Предложен метод «достижимых кривых», благодаря которому подход распространен на негладкие механические системы В

5

частности, показана глобальная управляемость некоторых объектов с сухим трением, а также систем с идеальными односторонними связями Введено понятие параметрической управляемости и даны его достаточные условия применительно к механическим объектам. Решены две задачи синтеза оптимального управления и предложен эффективный по быстродействию способ синтеза ограниченного управления системой твердых тел

Практическая значимость. Полученные в исследовании результаты могут применяться в процессе проектирования и управления роботами-манипуляторами, транспортными механизмами, космическими объектами

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на различных конференциях, семинарах и, в частности, на. - семинарах кафедры динамики полета и управления Казанского авиационного института в 1983, 1985 гг (рук. проф Т К. Сиразетдинов), - семинарах кафедры теоретической механики КАИ в 1986, 1987 гг (рук проф В Н Скимель ), - семинаре в Институте проблем управления РАН в 1985 г (рук чл -корр. РАН Е С. Пятницкий), - семинаре в МГУ им Ломоносова в 1985 г (рук акад. В В Румянцев), - V Всесоюзной конференции по управлению в механических системах в 1985 г (г Казань), - семинаре кафедры механики и процессов управления Ленинградского политехнического института в 1986 г (рук проф А А Первозванский), - VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в 1986 г (г Ташкент), - V Всесоюзной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в 1987 г (г Казань); - семинаре в Институте проблем механики РАН в 1987 г (рук акад Ф Л Черноусько); - семинаре в Институте механики МГУ в 1987 г (рук проф И В Новожилов), - II Всероссийском Ахметгалеевском семинаре "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в 1995 г (г Казань), -VIII и IX Четаевских международных конференциях "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в 2002 г (г Казань) и в 2007 г (г Иркутск); - VII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания

механических систем» в 2005 г (г Нижний Новгород), - Всероссийской

б

конференции с международным участием «Математика, ее приложения и математическое образование» в 2005 г (г Улан-Удэ), - IX Всероссийском Съезде по теоретической и прикладной механике в 2006 г (г Нижний Новгород) В целом результаты работы докладывались на семинаре в Институте проблем механики в 2006 г (рук акад Д М Климов и акад В Ф Журавлев), на семинаре в МГУ в 2006 г (рук чл -корр РАН В В Белецкий и проф Ю Ф Голубев), на Казанском городском семинаре по механике в 2006 г (рук проф. Г В Голубев)

Статья [6] отмечена премией редколлегии журнала «Прикладная математика и механика» (1998 г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 статьях и монографии В совместную работу [6] авторы внесли равный вклад

Структура и объем диссертации. Работа состоит из предисловия, введения, шести глав, заключения и списка литературы из 207 наименований Общий объем диссертации составляет 268 страниц, включая 47 рисунков

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В предисловии и введении описана постановка задачи и дан обзор литературы, отражающий основные идеи и подходы в теории управляемости динамических систем, а также кратко изложено содержание работы по главам Указаны цели диссертации, основные методы исследования, актуальность, научная новизна и практическая значимость

Глава I. Стабилизируемостъ в цилиндрическом фазовом пространстве

В первой главе рассматриваются некоторые вопросы теории устойчивости с целью дальнейшего их применения для анализа стабилизируемости, управляемости и синтеза ограниченного управления в механических системах Основные идеи прямого метода Ляпунова обобщаются на случай цилиндрического фазового пространства ТМ = Тк х Rm В § 1 1 вводится понятие связной функции Ляпунова (СФЛ)

Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

У=/0>), уеТкхПт (11)

где у = (<рг, х1 У, х е Шт, ф е Тк, вектор-функция /(у) удовлетворяет условиям существования, единственности и продолжаемости решений у(() в некоторой открытой связной области Р а Тк х К", которая считается полуинвариантной, т е из у((0)еР следует е Р V/ > /„, Ьт _у(/) е Р

При этом 0 е Р, У(0) = О В силу локальной метризуемости Тк х К", классическое определение устойчивости нулевого решения по Ляпунову (в малом) используется без изменений. Вводятся обозначения. ()у — {.у: ||дУ / = 0},

Еу={с:с = У(у),уеР}, Нс = {у.У{у)<с,сеЕу}.

Определение 1.3. Непрерывную вместе со своими частными производными однозначную функцию У (у) ( У е Тк х Я"), определенно-положительную на РаТкхЛт в смысле Ляпунова (е Р У(у)>0, V = 0 => у = 0) называют функцией Ляпунова.

Определение 1.4. Функцию Ляпунова У (у) (у еТ1 х Ят) будем называть связной на Р а Тк х В!", если каждое множество Нс П Р (с & Еу) является связным.

Например, в теории Морса известна «функция высоты» на торе Т2. Ее линии равного уровня получаются пересечением «вертикально» расположенного тора «горизонтальными» плоскостями, а значения соответствующих констант равны расстояниям от нижней вершины О до этих плоскостей Такая функция будет связной функцией Ляпунова на Т2

Замечание 1.1. Если невозмущенное движение системы (1 1) асимптотически устойчиво в большом в области Р, то найдется некоторая функция Ляпунова, связная на Р

В § 1 2 формулируются достаточные условия связности функции Ляпунова

Замечание 1.3. Если функция Ляпунова У(х) (х е Ят) удовлетворяет

условию ()у = 0, то она является связной на Я"'

Замечание 1.4. Если множество Qv\0 для функции Ляпунова У(<р)

( <р&Тк) состоит из конечного числа изолированных точек, в которых матрица

д2У/д<р2 имеет отрицательное собственное значение, то функция У(<р)

является связной на Тк

Например, для и-звенного маятника в вертикальной плоскости его

п

потенциальная энергия В(<р) = ^¿,(1 — сов(р<), Ь1 > 0, (г = 1,2, . ,п) —

1=1

связная функция Ляпунова на Т" Далее вектор у представляется в виде

у = (у[,у1)\ У1 е х Я""1, у2еГхЯ', к>з,т>1 (12) где частному случаю т=1 соответствует у 1 е 1

Замечание 1.5. Пусть функция Ляпунова У{у) (у &Тк х Ят) удовлетворяет условиям У(у)>Ж{(у^, У(у)>РУ2(у2), где Щ(уг)- связная функция Ляпунова на Ткз хЖ""', а РУ2(у2) - на Т! х Я1 Если множество {Эу\0 состоит из конечного числа изолированных точек, в которых матрица д2У/ду2 имеет отрицательное собственное значение, то У (у) - связная

функция Ляпунова на Тк х Ят

Например, полная энергия и-звенного маятника в вертикальной плоскости

¥(/р,<р) = 1 /2фгА(ф)<р + В{ф), <реТ" -связная функция Ляпунова на

Т" х Я" Приводятся также другие достаточные условия связности функций Ляпунова, необходимые далее для анализа стабилизируемости

С использованием введенных понятий формулируется обобщение теоремы Барбашина—Красовского для случая рассматриваемого цилиндрического пространства

Утверждение 1.1. Если в области Р аТк х К" существует связная функция Ляпунова У(у), для которой множества Нс (с е Бу) компактны, а вдоль

решений (1 1) в Р\0 выполняется У (у) < 0, У(у) ^ 0, то невозмущенное движение системы (11) асимптотически устойчиво в большом в области Р

В обозначениях (1 2) дается обобщение теоремы В В Румянцева об устойчивости по части переменных

Утверждение 1.2. Пусть на Р с Тк х В!" существует функция Ляпунова У (у), для которой множества Нс (се Ег) компактны, а на Р! с: Тк~" х В.™4 существует связная функция Ляпунова причем У(у)>Ж(у{)

(Уу е Р) Если вдоль решений (1 1) в Р выполняется V (у}<0, V (у)&0, то невозмущенное движение системы (11) асимптотически у, —устойчиво в большом в области Р

В § 1.3 рассматривается класс механических систем, к которым относятся, например, многозвенные маятники, мостовые краны, роботы-манипуляторы

Функция Лагранжа имеет вид Ь(ц^) = ^ qтA(q}q - В(д), где вектор

обобщенных координат Я = (дх,Я2,—,Ч„)Т, В(д) - скалярный потенциал Конфигурационное пространство М = Тгу.Яп'г, где Тг г-мерный тор, фазовое пространство ТМ-ТгхЦ2,"г Запись (</,<?) £ ТМ подразумевает, что числовые значения координат берутся из соответствующего накрывающего пространства Иг х К1п г Элементы положительно определенной матрицы инерции А(д) считаются ограниченными В уравнениях движения

Л

дЬ

--~ = к (13)

дд

вектор управлений и-(щ, -,ип)г удовлетворяет ограничениям [м,| < а,, а, -

заданы (г =1,2, , п) В частном случае некоторые из величин а, могут быть

ю

нулевыми Потенциальная энергия B(q) ограничена снизу B(q)>0, В(0) = О В этом случае множество положений равновесия

непустое Аналогичное множество состояний равновесия системы при подходящем действии управления обозначается через Предполагается, что множество <2Н а М состоит из конечного числа изолированных точек

Если обратной связи и = и(д,д) соответствует сепаратрисная поверхность в ТМ, движение по которой к особой точке (д,0) е С,а в силу (1 3) происходит за бесконечное время, то поверхность обозначается

Определение 1.7. Система (13) называется стабилизируемой на Р с ТМ по входам и( (¡ = 1,2, ,тп), если ее можно перевести из каждой точки (</,<7) е Р в любую £ - окрестность точки (О, О) при и) = 0 (] = т +1, ,п)

Утверждение 1.3. Пусть В(д) -связная функция Ляпунова на М, а множества Нс(В(ц)) (с е Ев) компактны Если система (1 3) при и = 0 не допускает частного решения д] = (исключая (<у 0) е ¿¡0), то она стабилизируема по входу и] (у е 1,2, , п) на множестве ТМ \ 0.(и]) В §1.4 стабилизирующее управление предлагается в виде обратной связи

Утверждение 1.4. Удовлетворяющая условиям утверждения 1 3 система (1 3) с обратной связью (1 4) будет асимптотически устойчивой на некотором

Здесь и далее используется определение решения дифференциального

Со ={(?,?)• ЯdB/dq = 0, и = 0}

где под а понимается правая часть у-го уравнения Эйлера-Лагранжа в

и = О

форме q — F(q,q) + А'1 (q)u при свободном движении (и = 0)

открытом всюду плотном в ТМ множестве TM \ Q, {uj)

п

уравнения с разрывной правой частью по правилу А Ф Филиппова

В качестве примера рассмотрено управление упругим стержнем без трения, взятым в конечномерном приближении Посредством ограниченного управляющего момента, приложенного в шарнире, объект в горизонтальной плоскости поворачивается на угол 90° с асимптотическим гашением колебаний Численные расчеты используют сплайн-интерполяцию

Глава 2. Глобальная управляемость натуральных лагранжевых систем В §2 1 с использованием предыдущих результатов рассматриваются свойства управляемости системы (13) в случае, когда количество управляющих параметров меньше числа степеней свободы Используется симметрия натуральной лагранжевой системы относительно обращения времени в виде

(2 1)

когда из существования управляемой траектории и(/) </,)—» > Чг)

I е [0, Т] вытекает возможность движения «в обратном времени» и(Т —/) ~Чт) ~* ~~Ч\)- Область нуль-управляемости определяется как множество начальных точек (д0, ^) е ТМ, из которых систему (13) можно привести в состояние (0,0) за конечное время с помощью ограниченного измеримого управления (называемого далее допустимым управлением)

Определение 2.1. Система (1 3) называется локально управляемой по входам м, {1 = 1,2, . ,т) в окрестности точки (ц., 0) е ТМ если (ц., 0) является внутренней для открытого множества точек, каждая из которых может быть переведена в (<у,, 0) посредством допустимых управлений за конечное время прииу я* 0 (У ~т + \,-..,п)

Определение 2.2 Система (1 2) называется глобально управляемой в ТМ по входам м, (г = 1,2, ,т), если ее можно перевести из произвольного состояния

(Ча>Уо)е ТМ в любое наперед заданное за конечное время с

12

помощью допустимых управлений при и} s 0 (у = т +1, ,п)

Следующие достаточные условия глобальной управляемости в некотором смысле обобщают теорему L Markus

Утверждение 2.1. Если система (1 3) стабилизируема по входу и

(у е 1,2,...,п) на множестве TM \ Q.{Uj) и в окрестностях всех точек

(q,,0) е локально управляема по тому же входу и}, то она глобально

управляема при действии только uj

В качестве примера показана глобальная управляемость рассмотренного выше п —звенного маятника в вертикальной плоскости без трения, когда единственный управляющий момент ип, приложенный в последнем шарнире,

ограничен по модулю наперед заданной величиной

В §2 2 утверждение 2 1 обобщается на случай системы (1 3) с циклическими координатами Формулируются достаточные условия глобальной управляемости в ситуации, когда потенциальную энергию удается сделать связной функцией Ляпунова путем добавления искусственного потенциала (за счет части управлений) В качестве примера рассматривается система из п математических маятников на общем подвижном основании в виде тележки (рис 1), движущейся вдоль горизонтальной прямой без трения Единственное управляющее воздействие - силам (|ы|<а, а—задано), приложенная к тележке

те

Рис 1

Рис 2

Показано, что для глобальной управляемости (при конструктивном обеспечении невозможности отрыва тележки от поверхности) достаточно, чтобы длины маятников были попарно различны

В §2 3 рассматривается случай нескольких устойчивых состояний покоя Утверждение 2.3. Пусть для системы (1.3) потенциал В{ц) (д е М) имеет конечное число критических точек, причем невырожденных. Одновременно пусть существует число с0 е Ев такое, что множества Нс(В(д)) при любом

с>с0 связны и компактны. Если при свободном движении (и = 0) не существует частных решений д,=0 (/е 1,2,..,«), кроме положений равновесия е а в окрестностях этих точек имеется локальная

управляемость по тому же входу и,, то система (1 3) глобально управляема при действии только и1

В качестве примера рассмотрена система из п тяжелых колечек пренебрежимо малых размеров, которые соединены последовательно невесомыми пружинами и могут скользить по гладкой замкнутой кривой Показано, что система будет глобально управляема при действии единственной внешней ограниченной силы, приложенной к первому колечку коллинеарно скорости

Утверждение 2.4. Если система (13) глобально управляема в ТМ = У х 112А~Г, то она глобально управляема и в соответствующем накрывающем пространстве ТМ0 = Яг х Я2" г

В силу утверждения 2 4 все рассмотренные маятниковые механизмы глобально управляемы и в накрывающем фазовом пространстве. Их можно перевести скалярным ограниченным управлением за конечное время из произвольного начального состояния (д0, (¡0) в любое наперед заданное (<¡/■>4/) с указанием требуемого результирующего числа полных оборотов каждого отдельного звена

В §§2 4, 2 5 рассматриваются системы твердых тел, которые заведомо не

14

удовлетворяют условиям утверждения 2.1, однако являются глобально управляемыми за счет возможности стационарных движений Предполагается, что в системе (13) координата д, = — циклическая, те q ~ (<р, у1)',

у/ <=М,- Г'4 хR"~r Вводится вектор х = (у,у/т ,у/т )' бйх ТМХ, у — ср — cot На многообразии R х ГМ, рассматривается непустое множество состояний относительного покоя = {х у = 0, дВ] !ду/-О, у/ = О, и-0}, в которых достигаются экстремумы приведенного потенциала

= В(у/)-\12а>гап(у/) + с (2 2)

Утверждение 2.5. Пусть в системе (1 3) возможно движение и = 0, (р = СО, у/ = 0, где q = ((р, 1//Т)Т, у/&М, Допустим также, что приведенный потенциал (2 2) является связной функцией Ляпунова на Mv а множества Нс(В] {if/)) компактны Тогда 1) если в относительном движении X — (у,Ц/т ,ц/т)т при и = 0 в системе (1 3) отсутствуют частные решения у = О (кроме состояний относительного покоя хе^), то эта система стабилизируема по входу и, в области Я х ТМх \ fi(w,), 2) если к тому же в окрестностях состояний х е имеется локальная управляемость по входу и,, то система (1 3) глобально управляема по входу и, на ТМХ

В качестве примера рассмотрен п — звенный маятник (рис 2) в горизонтальной плоскости Силы трения и тяготения отсутствуют, а единственный внешний ограниченный момент Щ^а (а- заданная величина) приложен к

первому звену Показано, что система на рис 2 будет глобально управляемой при условии, что центр масс второго звена не может геометрически совпадать с точкой G0 В простейшем случае (невесомых стержней и сосредоточенных в шарнирах масс) это означает неравенство длин первых двух звеньев

В §2 6 условия глобальной управляемости натуральных лагранжевых

15

систем (13) обобщаются путем применения вспомогательных «достижимых» кривых в фазовом пространстве

Определение 2.3. Точку (с/,, Ц,)фазового пространства назовем глобально достижимой, если систему (13) можно перевести в эту точку допустимым управлением за конечное время из любой точки фазового пространства

Определение 2.4. Глобально достижимой кривой в фазовом пространстве системы (1 3) назовем замкнутую кривую, отвечающую периодическому (с конечным периодом) движению и содержащую глобально достижимую точку

Утверждение 2.6. Необходимым и достаточным условием глобальной управляемости натуральной лагранжевой системы (13) является существование глобально достижимой кривой, содержащей как некоторую точку (</*, </,), так и ей симметричную (у, (либо (—</.))

Приводятся примеры механических систем (1.3), в которых глобальная управляемость обеспечивается наличием достижимых кривых. Предложенный метод особенно оправдывается при анализе некоторых негладких систем, где другие подходы в теории управляемости не эффективны

Глава 3. Управляемость при действии сил трения

В §3 1 рассматривается обобщение системы (1 3) в виде

£ , л

А7"

- + иеи (3 1)

дд

где Л{-ц) — А(ц), = а дополнительные силы Окч, ([)

моделируют трение в цилиндрических шарнирах, телескопических сочленениях, на поверхностях качения или скольжения систем твердых тел Эти силы удовлетворяют неравенствам Qlql < 0 (г = 1,2, ., п) и не могут быть скомпенсированы управляющими воздействиями, так как число управлений меньше числа степеней свободы

Замечание 3.1. Если в системе (3 1) действуют силы вязкого трения Q = -hq„ ht>0 и существуют числа Д такие, что \dB/dqt\ <Д (i = 1,2, . ,ri), то система (3 1) не является глобально управляемой

Подробно рассматриваются системы с сухим трением, задаваемым по закону Амонтона-Кулона в виде

Q=-i7,sign(£), (i = l,2, ,п) (32)

Величины 7]t символизируют максимальные значения сил трения, в общем случае зависящие от координат и скоростей Формулы (3 2) применимы как для режимов скольжения, где так и в зонах застоя, где на многообразиях

q,=0 (г G 1,2, ,ri) возможны режимы бесконечно быстрой перемены знака функции sign(<7,) Заменяемая эквивалентной непрерывной функцией по правилу Филиппова, эта функция даст значение силы трения покоя

Формулируются достаточные условия неуправляемости систем с сухим трением в виде векторных неравенств Показано, что для управляемости требуются некоторые минимальные необходимые ресурсы управления, те условия вида 0<ai0 <а, (/ = 1,2,. ,п). Приведен пример системы с двумя

степенями свободы, показывающий, что в общем случае оценка необходимых ресурсов управления выходит за рамки анализа геометрии «зон застоя» и требует учета динамических свойств конкретного механизма В §3.2 при условии

Q(q,-q) = -Q(<i,q) (3 3)

формулируются условия управляемости систем (3 1) с сухим трением

Утверждение 3.1. Для глобальной управляемости системы (3 1) необходимо и достаточно существования такой глобально достижимой точки для

которой симметричная точка (либо (</*, — </.)), была бы глобально

достижимой в обращенной системе вида

А л

дь) дь ч

дя) дя

(3 4)

Утверждение 3.2. Пусть в системе (3 1) функция Лагранжа Ь(ц, у) и вектор-

функция ()(д, ц) не зависят явно от переменной х, где ц = у/1)', так что прямая система (3 1) имеет частное решение

* з V, у/ == у/, (3 5)

а обращенная во времени система (3 4) - частное решение

х = у, у/^-у/, (3 6)

Если при этом для систем (3 1) и (3 4) имеется стабилизируемость соответственно к режимам (3 5) и (3 6), а также локальная управляемость в их окрестностях, то система (3 1) глобально управляема

В §3 3 рассматривается система (рис. 3) из трех твердых тел массы т, соединенных линейными пружинами жесткости с, которая может двигаться прямолинейно по шероховатой плоскости при действии сил трения Амонтона -Кулона вида (3.2) при Г]1—/(} = 1,2,3) Кинематические ограничения отсутствуют (исключены конструктивно)

мт

шм

п/п/шшш! п/шг) шш/ип/шп) п)и> )Ш'/ттп

Рис 3

Единственное управляющее воздействие - внешняя сила и, приложенная к первому телу и удовлетворяющая условию (в безразмерных переменных)

\и\<,а, а = 3/ + ах+е (3 7)

е > 0- сколь угодно мало Требуемый ресурс управления а превосходит суммарную силу трения 3/ плюс характерное значение а,, зависящее от выбранного способа рассуждения Показано, что при значении

a^YnWc (з8>

система за конечное время может быть переведена из любого начального состояния (q0,q0)eR6 в некоторую точку с положительными значениями обобщенных скоростей Этого оказалось достаточно для обоснования стабилизируемое™ к режимам (3 5), (3 6) При выполнении условий (3 7), (3 8) система (рис 3) глобально управляема в R6

В §3 4 рассмотрены примеры систем при качении с проскальзыванием При малых ресурсах управления для них типична неуправляемость ввиду известного «стремления избегать трения» (Р Appell), переходя за конечное время в режим качения без проскальзывания

Глава 4. Глобальная управляемость при наличии односторонних связей

В §4 1 механическая система (1 3) рассматривается при наложении идеальных односторонних связей

f(q)>0 (4 1)

Гладкие функции fj(q) Q = 1,2, .,/) удовлетворяют условиям dfj/dq&O в точках <jr,, для которых fj(q„) = 0, те в конфигурационном пространстве М границами множеств (41) служат регулярные поверхности Фазовое пространство TM = {(q,q) еГх R2"'r • f(q) > 0} } Как и прежде, полагаем B(q)>0, B(q) — 0, причем считаем, что точка q = 0 не принадлежит сразу двум или более поверхностямfj(q) = 0(ie 1,2, ,I) В частных случаях ограниченность функции B(q) может быть обусловлена соотношениями (4 1) В окрестности J -й связи вводится вектор (s, у'), dim у = п — 1, где s = f (q),

а на оставшуюся компоненту вектора конфигурации у связь не наложена Если при движении системы поверхность 5 = 0 достигнута при s^O, то решение доопределяется в рамках классической теории абсолютно упругого удара

Р+=Р- , Т+=Т (4 2)

Индексы плюс и минус соответствуют величинам до и после удара, время которого пренебрежимо мало, Т - кинетическая энергия в терминах скоростей (5,_уг), р — дТ / ду - обобщенный импульс компоненты у В условиях допущений (4 2) для сохранения независимого характера соотношений (1 3) и (4 1) рассматриваются лишь такие объекты, в которых нет стесненных ударов

В §4.2 формулируются достаточные условия стабилизируемости систем (1.3), (4.1), (4 2). С этой целью даются признаки связности функций Ляпунова на множестве Р = {у е.Тг х Лт : /(у) > 0}, которое считается связным Все гиперповерхности /;{у) -0 {] —1,2,. ,/)—регулярны Вводятся обозначения

др = р\р0, р0 = {увГхПт /оо>0} Пересечение к гиперповерхностей — 0 (к<1) считается такой

поверхностью размерности 5 = г + т — к, в точках которой к векторов g = д^ / ду линейно независимы Каждой точке у, € дР ставится в соответствие множество №(у,) номеров всех гиперповерхностей /,(>>) = 0, которым она принадлежит Через Г (у,) обозначается определитель Грама, построенный на векторах градиентов (V/€ М(у,)) Для функции

У(у)(у€: Р) вектор Ь = дУ!ду, вычисленный в точке у,едР. вместе с к векторами gXУ•) порояедает другой определитель Грама (к + 1)-го порядка, обозначаемый Гу () В окрестности точки у, € существуют локальные координаты {} = 1,2,. ,«) и матрица д2У0/д^2, где У0(<Ц) = У(у) Из множества условных критических точек функции У(у) на дР выделяется подмножество 0,у (дР) = {уедР Г^ (у) = 0, bTg1 > (9 V; е Ы(у)} и вводится обозначение ц/^ (е) = {у е дР Гу < еГ{у)}.

Утверждение 4.1. Пусть функция Ляпунова У(у) (у е Р) не имеет критических точек на Р0, за исключением, быть может, точки у —0, и существует £0>0 такое, что множество Ц>у(£) при любом £ < £0 состоит из конечного числа связных компактных подмножеств Если множество Qy(дP)\0 состоит из конечного числа изолированных точек, в которых

матрица д2У0/д£2 имеет отрицательное собственное значение, то У (у) -связная функция Ляпунова на Р

Рис 4 Рис 5

Например, на рис 4 изображены линии равного уровня функции У^,х2) = х22+х2/( 1 + *?) и заштрихована область Я2\Р0, граница дР которой асимптотически приближается (сверху вниз налево) к линии V — с, Функция Ляпунова У(х}, х2)

— связная на Я2, однако не связная на Р Условия утверждения 4.1 не выполнены ввиду некомпактности множества у/у(б)

Рассматривается пример математического маятника в вертикальной плоскости (рис 5) с односторонними связями Я < х < I, где I - длина нити, Я -радиус неподвижного диска с центром в точке подвеса, (р х - полярные координаты маятника В силу утверждения 4 1 в безразмерных переменных а = (/ — /?)//, г = (х — /)//, у = (<р, г)т приведенная потенциальная энергия

2!

маятника У(у) = 1 — (г + 1)со8#> - связная функция Ляпунова на множестве Р = {у ев'хЯ'. Ау)>0}, = +

Утверждение 4.2. Пусть в системе (1 3) с односторонними связями (4 1) (и условиями (4 2) при ударах) потенциал В(ц) — связная функция Ляпунова на Р, а все множества Нс(В(д)) (свЕв)— компактны Тогда если при свободном движении (и = 0) система не допускает частного решения д/ = О (исключая положения равновесия), то она стабилизируема по входу и) {] е 1,2, , п) на множестве ТМ \ )

В §4 3 для доказательства свойств управляемости систем с односторонними связями используется утверждение 4 2 и свойство обратимости во времени траекторий системы, склеенных процедурами припасовывания Утверждение 4.3. Необходимым и достаточным условием глобальной управляемости натуральной лагранжевой системы (13), (4 1), (4 2) является существование глобально достижимой кривой, содержащей как некоторую точку (Ч* ><?*)> так и ей симметричную ,-</,)

Показано, что для системы (1.3), (4 1), (4 2) с двумя степенями свободы глобально достижимые кривые могут быть найдены явно

Выделяются три качественно разных случая Первый - когда в окрестности состояния покоя нет точек «запретной» области - является тривиальным и не рассматривается Второй случай соответствует равновесию при ненулевой силе реакции односторонней связи, те в пространстве конфигураций состоянию покоя отвечает внутренняя точка «запретной» области В третьем случае эта точка является граничной, поэтому реакция односторонней связи равна нулю

Для равновесия второго типа выводится необходимое условие управляемости, исключающее инвариантные множества в виде «скользящих» режимов При выполнении этого условия система с двумя степенями свободы может иметь достижимую кривую, описывающую режим автоколебаний с ударами о связь

Достаточное условие существования такой кривой формулируется в виде

22

конечности значения вспомогательного интеграла, записанного явно в результате асимптотического разложения

В §4 4 рассматриваются системы со вторым типом положения равновесия Например, маятник (рис 4) при действии внешней ограниченной управляющей силы и, приложенной к точке под острым углом а к вертикали, может быть переведен за конечное время из любого начального состояния (дс0,л:0,#>0,#>0) в любое требуемое (х^,х¡,<р^,(р^ при наличии односторонних связей Удары

маятника о диск и удары при натяжении нити считаются абсолютно упругими

Рассматривается также система (рис 6) из двух тел пренебрежимо малых размеров массами щ и т2, скрепленных пружиной Ее жесткость достаточна для того, чтобы в состоянии равновесия системы тела не соприкасались Возможные удары между телами и тела Щ о преграду считаются абсолютно

упругими Внешняя управляющая сила и приложена к тг, < а (где а-заданная сколь угодно малая величина) Потенциальная энергия системы является связной функцией Ляпунова на Р = {ц е Я2 • д{ > 0, цг + с? ;> 0}. Предлагаемая здесь глобально достижимая кривая описывает режим периодических ударов /я, о преграду, когда точка пг2 удерживается в покое частью управления Система на рис 6 - глобально управляема

В §4 5 рассматривается случай третьего типа, отвечающий нулевой реакции

односторонней связи при равновесии Формулируются достаточные условия перехода системы в скользящий режим в малой окрестности состояния покоя Приводится пример глобально управляемой системы с двумя степенями свободы (рис 7) и единственной управляющей силой и, действующей на точку т1 коллинеарно скорости Здесь взаимодействие между точками щ и т2 (внутри гладкой бесконечной трубки) происходит только в моменты соударений

Во всех случаях при описании движений в малой окрестности состояния равновесия при действии односторонней связи используется введенная В Ф Журавлевым (1978) негладкая замена переменных, а также предложенная А П Ивановым и А П Маркеевым (1984) каноническая форма кинетической энергии в специальных переменных

Глава 5. Влияние параметров на управляемость систем твердых тел

В §§5 1, 5 2 в качестве примера рассматривается двузвенный маятник в горизонтальной плоскости при действии внутреннего момента (от первого звена ко второму) Модель может соответствовать манипулятору при отказе управления в первом шарнире Показано, что существенно различаются свойства управляемости объекта в зависимости от параметра Х = 1хИ2, где /,, /2 — длины звеньев В случае Л < 1 система допускает равномерное вращение первого звена (при управляемых колебаниях второго), что соответствует достижимой кривой на многообразии нулевого кинетического момента Это позволяет, например, положительно ответить на два вопроса всегда ли удастся перевести объект из любого состояния покоя в любое другое

1) в фазовом пространстве при возможности однократного (мгновенного) изменения массы груза на конце второго стержня''

2) внутри гиперповерхности нулевого кинетического момента, если к системе добавлена третья степень свободы (рис 8) за счет малого груза, совершающего колебания на пружине вдоль первого стержня''

В случае X > 1 ответ на первый вопрос получается отрицательным (второй вопрос не рассматривается) Для двузвенника с одним управляющим моментом в первом шарнире случай Л = 1 был в некотором смысле вырожденным только он соответствует неуправляемости (§2 4)

В §5 3 вводится понятие параметрической управляемости как свойства точной модели («нежесткой») механической системы быть управляемой, когда приближенная («жесткая») модель не является управляемой Уравнения движения второй модели могут получаться из уравнений первой путем обращения в нуль некоторого малого параметра в Пусть вектор состояния в фазовом пространстве ТМ составлен из двух частей в виде у е ТМ{ (упрощенной модели, сйт у — п) и г б ТМ2 (дополнительных координат, уточняющих модель) Если скорости дополнительных степеней свободы при £—>0 стремятся к нулю, то «уточненный» объект может иметь вид регулярно возмущенной системы

у = /(ул,£,и), г = у, г, е), иеи (5 1)

Если же эти скорости при е->0 стремятся к бесконечности, то система

У = /{У, г, е, и), ег = Г (у, г, е), иеи (5 2)

будет сингулярно возмущенной. В обоих случаях объекту (5 1) (или (5 2)) можно поставить в соответствие упрощенную модель (при £ = 0)

У^Яу.г0,0,и), иеи (5 3)

символизирующую, например, абсолютную твердость тел (в сравнении с их малой изменяемостью) При этом решения сравниваемых систем для значений

параметров 8 = 0 и 1»£ > 0 полагаются близкими, т е считаем обеспеченными для '(5 1) - условия теоремы Пуанкаре, а для (5 2) - теоремы Тихонова (где равенству Р(у, г, 0) = 0 соответствует г = т е в уравнении (5 3) берется г0 — 0)

Определение 5.1. Систему (5.1) (либо (5 2)) назовем параметрически управляемой на множестве Рх с ТМ1, если при сколь угодно малом £ > 0 ее можно перевести из любого состояния уд е Рх в любое требуемое у^ & Рх

допустимым управлением за конечное время, а при £ = 0 это сделать в общем случае невозможно

Подробно рассматривается система (1 3) с циклической первой координатой, когда в обозначениях # = хт)г, х = (д2, д3, ,.,дп)т матрица инерции А и потенциал В зависят только от х. В практически важном случае, отвечающем движению с начальным (или конечным) положением равновесия, закон сохранения рх =дЫ дд{ = 0 задает инвариантное многообразие Г с: ТМ Функция Рауса Я = Ь ~ ¿¡] дЫ ддх определяет в пространстве (лс, лг) динамическую подсистему

£(<Ж

Инвариантное множество р1=0 описывается уравнением

д1+сгт(х)х = 0 (5 5)

- — = «*, их € и с Я"1 (5 4)

дх

Для жесткой системы вектор конфигурации (<7,, 57 )г имеет размерность

к <п, причем каждая координата вектора 5 встречается среди координат вектора х Закон сохранения импульса для жесткой системы приводится к виду

= 0 (5.6)

Вводятся в рассмотрение матрицы О = да / дх и N =-■ дт] /д$, от

симметричности которых зависит наличие параметрической управляемости

Утверждение 5.1. Пусть система (1.3) с малым параметром £ имеет циклическую координату «у,, которой соответствует закон сохранения (5 5) (при

£ > 0 ) либо (5 6) (при £ = 0 ) Пусть при этом для динамической подсистемы (5.4) область нуль-управляемости совпадает со всем фазовым пространством (х,х) Тогда если Ыт = N, От то система (13) параметрически

управляема на множестве (5 5)

В §5 4 даются примеры сингулярно возмущенных систем Показана параметрическая управляемость на множестве Р\~0 двузвенника с дополнительной степенью свободы (рис 7), которой пренебрегают в жесткой модели при т3 0 (либо с —»<х>, где с - жесткость пружины) Показана также параметрическая управляемость (на р1 =0) двузвенника, уточненная модель которого учитывает упругость второго звена. В §5.5 дан пример регулярно возмущенной системы в виде планетарного механизма с проскальзыванием дисков Параметрическая управляемость обусловлена возможностью изменять силу взаимного давления дисков при малых деформациях водила

Глава б. Некоторые примеры оптимального синтеза

Рассмотренные в шестой главе три задачи иллюстрируют частные свойства синтеза оптимального управления, причем первая и (частично) третья задачи - в глобальном, а вторая - в локальном аспекте Во всех случаях использован принцип максимума Понтрягина, понимаемый как достаточное условие оптимальности в форме регулярного синтеза

В §6 1 показано, что в общем случае управляемой лагранжевой системы с одной степенью свободы задача оптимального быстродействия решается явно Рассматривается частная задача оптимального управления эллиптическим маятником при действии на точку подвеса внешней силы и, ограниченной по модулю наперед заданной величиной Уравнения движения редуцируются на двумерный цилиндр (р х (р в виде

(р = -$та>+ со$<Р [и + —(£-рсоз<р)] (6 1)

(1 + е) Ж

где (р - угол от вертикали, е - отношение массы маятника к массе тележки Задача оптимального быстродействия и (<р, <р) —> (0,0) при 8 — 0 решается путем явного интегрирования сопряженной системы (из принципа максимума Понтрягина) в эллиптических функциях Якоби Оптимальное управление найдено в форме регулярного синтеза, для чего построен фазовый портрет на цилиндре Для близкой задачи £«1 линия переключения оптимального управления строится численно

В §6 2 обсуждается локальное устройство поверхностей переключения оптимального управления в окрестности нуля фазового пространства, где лагранжева система (13) вырождается в линейную и в случае выполнения рангового критерия управляемости распадается на несколько «канонических» систем вида

л:(л) = и , |м| < / (6 2)

Для канонической системы рассматривается задача синтеза оптимального быстродействия, те отыскания такого закона управления и(х,х,. , х{п~Г)), чтобы в силу уравнения (6.2) движение из произвольной точки (л0, х0, ., е Я" в (0,0,.О) происходило за наименьшее время

Предлагается способ решения такой задачи в пространстве новых координат г,, г2, .,2„, получаемых в виде функций от первых интегралов системы (6 2) при постоянном управлении Поочередное обнуление этих координат уменьшает размерность подпространства, в котором целиком лежит конечная часть оптимальной траектории, т е. оптимальная стратегия имеет вид

(г„г2, ,гя)--->(г„г2, -»

и=-5№пг, ^ ...-►(Г,, 0, ,0)--> (0,0, ,0)

Первые интегралы системы (6 2) при и — +1 получаются явно в виде многочленов от X, X, ., х'""1' Запись выражений для новых координат 2рг2, ,,гп требует решения алгебраических уравнений в радикалах и доступна (в рамках предлагаемого алгоритма) при п <4. Ранее общий подход к решению задачи синтеза в системе (6,2) (при любом п е N, но без дополнительного условия оптимальности быстродействия) был предложен В И Коробовым с применением введенной им «функции управляемости»

В §6 3 рассматривается частный случай механической системы (13) с «угловыми» координатами, функция Лагранжа которой состоит лишь из кинетической энергии. Модель может описывать робот-манипулятор вне поля тяготения Уравнения движения системы имеют вид

(Л(д)д)- — -дтА(д)д

Л ' дд

1

2

= и (6 3)

где и = (щ, .,ип)т, \и11 < а1, а,- заданы (г = 1,2, , п) Предполагаются ограниченными элементы матрицы А(ц) и их частные производные Требуется в области О е К2п найти управление и, = и,(Ц,Ч>Ч/)> переводящее систему (6 3) из произвольного состояния требуемое {ц^, 0) за наименьшее время

Ввиду недоступности такой задачи ставится задача синтеза субоптимального управления, т е близкого к оптимальному по быстродействию в том смысле, что регулятор должен 1) в линейном приближении (те в малой окрестности целевой точки) совпадать с оптимальным, 2) в случае одной степени свободы (и =з 1) совпадать с оптимальным, 3) обеспечивать асимптотическую устойчивость в большом тривиального решения в некоторой конечной окрестности целевой точки.

Предлагается переход к новым координатам

V = АШЧ - 9/), Р = А(Ч)Ч (6 4)

и доказывается, что трем перечисленным требованиям удовлетворяет обратная связь вида

и, =-а,зщп(ад + У2р\р\) {¡ = 1,2 ,п) (6 5)

Доказывается также, что регулятор (6 5) является робастным, т е обеспечивает асимптотическую устойчивость также в случае малых возмущений параметров либо дополнительных малых сил, не учтенных моделью

Численные эксперименты подтверждают, что регулятор (6 5) решает поставленную задачу синтеза для большой области начальных условий и для широкого диапазона массо-инерционных параметров систем (6 3) различной кинематических схем с двумя и более степенями свободы При этом во многих случаях время переходного процесса соизмеримо с оптимальным (которое находилось численно по методу и с помощью программы В Д Осоргина)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В работе рассмотрены свойства глобальной управляемости лагранжевых систем с ограниченной потенциальной энергией Этот класс механизмов имеет много приложений в виде многозвенных маятников, моделирующих роботы-манипуляторы, подвижные части летательных аппаратов и т п Отличительной особенностью объектов является то, что их фазовое пространство -цилиндрическое, число управляющих воздействий меньше числа степеней свободы, а сами управления ограничены заранее заданными величинами

1 Введено понятие связной функции Ляпунова и указаны достаточные условия связности функций Ляпунова на многомерном цилиндре

2 Формализм прямого метода Ляпунова в теории устойчивости распространен на случай цилиндрического пространства. Получены аналоги теоремы Барбашина—Красовского об устойчивости в большом, теоремы Румянцева об устойчивости по части переменных

- 3 'Попучены достаточные условия стабилизируемое™ лагранжевых систем в цилиндрическом фазовом пространстве Предложен способ синтеза релейного управления, при котором отсутствуют «зоны застоя» в фазовом пространстве Приведены примеры, включая системы с распределенными параметрами, взятые в конечномерном приближении

4 Получены достаточные условия глобальной управляемости натуральных лагранжевых систем, включая системы с циклическими координатами, с несколькими устойчивыми состояниями равновесия, со стационарными движениями Например, показана глобальная управляемость многозвенного маятника в горизонтальной плоскости при действии одного управляющего момента, приложенного в неподвижном шарнире Приведены другие примеры

5 Показано, что глобальная управляемость на цилиндре влечет глобальную управляемость в соответствующем накрывающем пространстве

6 Предложены необходимые и достаточные условия глобальной управляемости лагранжевых систем с применением «достижимых кривых» Метод позволяет обнаруживать глобальную управляемость не только натуральных лагранжевых систем, но и некоторых систем с трением, а также систем с абсолютно упругими ударами. Приведены примеры

7 Получены достаточные условия глобальной управляемости систем с двумя степенями свободы и идеальными односторонними связями С этой целью доказаны достаточные условия связности функций Ляпунова в цилиндрическом фазовом пространстве с кинематическими ограничениями

8 Исследована зависимость свойства управляемости от массо-инерционных параметров системы Например, рассмотрена динамика горизонтального двузвенного маятника с нулевым кинетическим моментом при действии одного внутреннего управляющего момента Показано, что в общем случае транспортная задача управления такой системой при однократном мгновенном изменении массы груза разрешима лишь при условии, что второе звено длиннее первого Показано, что эта система становится управляемой (на многообразии нулевого кинетического момента) при подходящем «размораживании» параметров, добавляющем новые степени свободы

9 Введено понятие параметрической управляемости и доказаны ее некоторые достаточные условия Приведены примеры параметрически управляемых регулярных и сингулярных систем

10 Решена задача синтеза оптимального по быстродействию управления

31

эллиптическим маятником на двумерном цилиндре

11 Предложен подход к решению задачи синтеза оптимального быстродействия в линейной канонической системе путем перехода к подходящим координатам, выраженным через первые интегралы системы с постоянными управлениями

12 Предложен способ синтеза эффективного по быстродействию ограниченного управления системой твердых тел при отсутствии потенциальных сил Показана робастность предложенного регулятора и близость траекторий к оптимальным

Автор глубоко признателен ИФ Борецкому и проф ВН Скимелю, ныне покойному, за постоянное внимание к работе

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монография:

1 Каюмов О Р Глобально управляемые механические системы М ФИЗМАТЛИТ 2007 г 166 с

Статьи:

2 Каюмов О.Р Оптимальное управление эллиптическим маятником Изв АН СССР Механика твердого тела. 1985, №4. С 38-44.

3 Каюмов О.Р О глобальной управляемости некоторых лагранжевых систем Изв АН СССР Механика твердого тела 1986. №6. С. 16-24

4 Каюмов О.Р Асимптотическая устойчивость в большом в системах с цилиндрическим фазовым пространством Изв вузов. Математика. 1987 №10 С. 61-63.

5. Каюмов О Р К синтезу управления системой твердых тел Труды Пятой Всесоюзной конференции по аналитической механике, теории устойчивости и управлению движением (.г Казань, 1987) (Задачи устойчивости, управления, колебания) М-ВЦ АН СССР 1990 С 101-109

6. Борецкий И.Ф , Каюмов О Р Глобально управляемые системы твердых тел Прикладная математика и механика 1998. Т 62 ВыпЗ С 405-412

7 Каюмов О Р Глобально управляемые системы твердых тел с несколькими устойчивыми состояниями покоя Прикладная математика и механика 2002 Т 66 Вып 5 С 775-781

8 Каюмов О Р Параметрическая управляемость одной механической системы Материалы Всероссийской конференции с международным участием Математика, ее приложения и математическое образование Улан-Удэ. 2005 С 116-123

9 Каюмов ОР Параметрическая управляемость некоторых механических систем Нелинейные колебания механических систем VII Всероссийская научная конференция Труды Нижний Новгород 2005 с 305-307

10 Каюмов ОР Параметрическая управляемость некоторых систем твердых тел Прикладная математика и механика 2006 Т 70 Вып 4 С 581-604

11 Каюмов О Р О глобальной управляемости некоторых систем твердых тел при действии трения Изв РАН Механика твердого тела 2007. №1 С 37-50 12. Каюмов ОР Связные функции Ляпунова и их применение IX Международная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" 12-16 июня 2007 г г Иркутск Труды Т 2 С 108-116

13 Каюмов О Р О глобальной управляемости некоторых механических систем с абсолютно упругими ударами Прикладная математика и механика 2007 Т 71 Вып 6 (в печати)

14 Каюмов О Р Синтез субоптимального по быстродействию ограниченного управления системой твердых тел Изв РАН Теория и системы управления 2008 (в печати)

Подписано в печать 12 09 07 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Гарнитура Тайме Печать на ризографе Усл. печ л 2,06 Тираж 100 экз Заказ №321

Отпечатано в копировально-множительном центре ТФ «ОмГАУ», 646530 г Тара, ул Тюменская, 18, тел 2-02-40

ПРЕДИСЛОВИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Стабилизируемость в цилиндрическом фазовом пространстве

§1.1. Понятие связной функции Ляпунова и ее свойства.

§ 1.2. Достаточные условия асимптотической устойчивости в большом на цилиндре.

§ 1.3. Достаточные условия стабилизируемости лагранжевых систем.

§ 1.4. Стабилизация с помощью релейной обратной связи.

§ 1.5. Заключительные замечания к главе 1.

ГЛАВА 2. Глобальная управляемость натуральных лагранжевых систем

§ 2.1. Достаточные условия глобальной управляемости натуральных лагранжевых систем.

§ 2.2. Случай циклических координат.

§ 2.3. Системы с несколькими устойчивыми положениями равновесия

§ 2.4. Системы со стационарными вращениями.

§ 2.5. Управляемость многозвенного маятника в горизонтальной плоскости.

§ 2.6. Применение достижимых кривых.

§ 2.7. Заключительные замечания к главе 2.

ГЛАВА 3. Управляемость при действии сил трения

§3.1. Необходимые ресурсы управления для систем с трением.

§3.2. Достаточные условия глобальной управляемости систем с сухим трением.

§3.3. Пример глобально управляемой системы с сухим трением.

§3.4. Управление при качении с проскальзыванием.

§3.5. Заключительные замечания к главе 3.

ГЛАВА 4. Глобальная управляемость при наличии односторонних связей

§ 4.1. Особенности динамики систем с неудерживающими связями.

§ 4.2. Условия стабилизируемости систем с неудерживающими связями

§ 4.3. Глобально достижимые кривые в системах с двумя степенями свободы.

§ 4.4. Примеры глобально управляемых систем с неудерживающими связями.

§ 4.5. Управляемость в случае нейтральной односторонней связи.

§ 4.6. Заключительные замечания к главе 4.

ГЛАВА 5. Влияние параметров на управляемость систем твердых тел

§5.1. Управляемость за счет изменения массоинерционных параметров.

§ 5.2. Модель двузвенника с дополнительной степенью свободы.

§5.3. Понятие параметрической управляемости и ее некоторые условия.

§ 5.4. Примеры сингулярно возмущенных систем.

§ 5.5. Пример регулярно возмущенной системы.

§ 5.6. Заключительные замечания к главе 5.

ГЛАВА 6. Некоторые примеры оптимального синтеза

§6.1. Оптимальное управление эллиптическим маятником.

§ 6.2. Локальное устройство поверхностей переключения.

§ 6.3. Синтез субоптимального управления системой твердых тел при отсутствии кинематических ограничений.

§ 6.4. Заключительные замечания к главе 6.

Как известно, теория управления движением решает задачи отыскания законов управления, т.е. способов воздействия, вследствие которых объект будет двигаться подходящим образом. Например, транспортными средствами управляют с помощью рулей либо путем изменения тяги двигателя. Другой пример - механическая рука робота-манипулятора; ее целенаправленное движение обычно осуществляется электродвигателями, расположенными между звеньями конструкции.

Во многих случаях законы управления программируются заранее, а сама система работает автоматически (греч. mtomatos - самодействующий). Уровень «самостоятельности» аппарата (на космической орбите, в глубинах океана, в опасной для человека среде) диктует и соответствующие требования к разработке системы управления.

Как правило, проектирование начинается с математического моделирования, т.е. описания предполагаемых процессов дифференциальными уравнениями. В этих уравнениях управляющим воздействиям соответствуют функции, которые можно будет назначать по своему усмотрению (из целей движения). Если речь идет о механическом объекте, то состояние системы в каждый момент времени описывается обобщенными координатами и скоростями. Совокупность их мгновенных числовых значений задает одну точку в фазовом пространстве, а движению системы во времени будет соответствовать перемещение упомянутой точки по фазовой кривой.

В процессе планирования возможных движений объекта заранее предполагается, что имеющиеся ресурсы и способы управления в принципе позволяют выполнить поставленную задачу, т.е. изначально система должна быть управляемой. Именно свойство управляемости - в центре внимания всех дальнейших рассуждений в работе. Не каждый динамический объект является управляемым.

В последние десятилетия в работах Р.В. Гамкрелидзе, R.E. Kalman, J. P. La Salle, H.H. Красовского, H. Hermes, R. Hermann, R.W. Brockett., L. Markus, C. Lobry, H.J. Sussmann, В.И. Коробова, A.M. Ковалева, E.C. Пятницкого и др. были получены результаты, составившие теорию управляемости динамических систем. Здесь, как и во всей науке об управлении движением, многие идеи опираются на теорию устойчивости Ляпунова, развитую в работах Н.Г. Четаева, И.Г. Малкина, Н.Н. Красовского, Е.А. Барбашина, В.И. Зубова, В.В. Румянцева, В.М. Матросова и др. (см., например, [108], [163], [109], [143], а также обзоры [139], [13], [111]).

Мы затронем лишь вопросы, относящиеся к управлению механическими системами, конкретнее - системами, которые описываются уравнениями Ла-гранжа, «линейными по управлению». Чаще всего это будут многозвенные механизмы с кинематической структурой дерева, например, многозвенные маятники, мостовые краны, роботы-манипуляторы. Впрочем, «модельный» уровень обсуждаемых систем как раз и соответствует предварительному анализу свойств управляемости многих реальных объектов. Поскольку число степеней свободы в наших примерах будет всегда превосходить число управляющих воздействий, то рассуждения о свойствах управляемости можно относить к гипотетическим «внештатным» ситуациям, когда часть имеющихся управляющих ресурсов «вышла из строя». Общая цель работы состоит в том, чтобы обосновать достаточные условия управляемости лагранжевых систем. Отличительной особенностью обсуждаемых далее задач является вопрос о глобальной управляемости в цилиндрическом фазовом пространстве, когда управляющие функции ограничены заранее заданными величинами.

Автор глубоко признателен Игорю Федоровичу Борецкому, общение с которым послужило как постановкам задач, так и пониманию многих идей в теории управления. Автор также благодарен Виктору Николаевичу СкимелкУ ныне покойному, за многолетнюю поддержку и переданные знания из теории устойчивости движения.

ВВЕДЕНИЕ

Проблема управляемости динамической системы была впервые сформулирована в [60]. По мере накопления фактов теория управляемости выделилась во вспомогательную часть теории оптимальных процессов, а затем и в самостоятельный раздел теории управления движением.

На формальном языке под управляемостью динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями

У=/(У>и), yeR\ ueUczRm (0.1) понимают возможность путем подходящего выбора управляющих измеримых функций u(t) (со значениями из заданного множества U) перевести объект за конечное время из некоторого начального состояния у0 в требуемое конечное yf. Если упомянутая система допускает положение равновесия у = у*9 и = 0, f(y*,0) = 0 (0.2) то в его окрестности говорят о локальной управляемости, когда точка у—У* является внутренней для открытого множества начальных точек, каждую из которых можно привести в состояние у* посредством допустимых управлений за конечное время. Было показано [194], [106], что локальную управляемость достаточно обнаружить в линейном приближении, то есть для системы x=Dx + Nu (0.3) где х=у-у*, а матрицы D=df/dy, N=df/du вычислены при y=y*f и=0. Впервые для линейной стационарной системы х^Ах+Ви, xeR", ueRm (0.4) необходимое и достаточное условие управляемости в виде

T2LvkK=n, К= В,АВ,.,Ап1В

0.5) доказано в [60] для случая т=1 и в [190] для случая т>1.

Ранее условие (0.5) в сочетании с требованием устойчивости матрицы А (т.е. Re Л; <0, где (i=l, 2, ., п) - ее собственные числа) предлагалось [40] как достаточное для существования оптимального управления u(t): Xq—>0 (\/Хо eR") в системе (0.4) с ограничениями

I И/1 <а,- (i=l, 2, т) (0.6)

Иными словами, это условие [40] является достаточным для нуль-управляемости системы (0.4) с ограничением (0.6), т.е. для возможности перевести эту систему из произвольного начального состояния Хо в точку Х=0 за конечное время при условии (0.6). Позднее было показано [84], что совместное выполнение соотношений (0.5) и Re^ =0 (i—1, 2, п) является необходимым и достаточным для глобальной управляемости системы (0.4), (0.6), т.е. для возможности перевести ее из любого состояния Хо в любое Xf за конечное время. Очевидно, что дополнительные соотношения (0.6) качественно меняют условия управляемости даже линейной стационарной системы.

Для линейной нестационарной системы (когда в уравнении (0.4) все элементы матриц А и В являются дифференцируемыми функциями времени t) достаточные условия управляемости на интервале te [to, tj] были получены [99], [180], [204] в виде

Зге [t0) tj]: rankK(t) =n, K= ,K2,.,Kn J

K1(t)=B(t), Kj(t)=A(t) Kj.}(t) - — K;i(t) (i=2, 3, n)

Для нелинейных систем общего вида универсальных конструктивных критериев управляемости, видимо, не существует. Поэтому многочисленные исследования (отраженные, например, в обзорах [14], [20], [47]) опираются либо на специфические методы исследования, либо на частные свойства конкретных систем. Например, управляемость квазилинейных (т.е. близких к линейным) систем исследовалась в [193], [171], [149], [92].

Поскольку линейная система (0.4) при отсутствии ограничений на векторы X, и инвариантна относительно растяжения масштабов координат и управлений, то локальная (т.е. в сколь угодно малой окрестности точки) управляемость равносильна глобальной. Для нелинейной системы эти свойства не тождественны.

Здесь и далее, говоря о локальной управляемости, мы не подразумеваем обязательного наличия TV-локальной управляемости [126] («small time local controllability»), когда вместе с уменьшением окрестности асимптотически убывает и время движения к цели, а также гарантируется [179] «локальная асимптотическая стабилизируемость». Известный [126] пример системы х=-х+и, ueU, U={0, 1} демонстрирует случай локальной управляемости при отсутствии TV-локальной управляемости. Существуют и другие разновидности понятия управляемости ([38], с. 38). Появление локальной управляемости за счет варьирования точки равновесия было названо бифуркацией управляемости [188].

Очевидно, что локальная управляемость в окрестности точки пространства состояния возможна лишь в случае, когда не существует инвариантного многообразия, содержащего эту точку. Отсутствие такого многообразия можно обнаруживать ([191], [184], [206], [186], [205]), анализируя (на основе теоремы Рашевского-Чжоу [136], [181]) алгебры Ли векторных полей, параметризованных значениями управлений [31], [107]. Пусть дана система х = f(x) + g{x)u, хеМ, и eU (0.7) где М- гладкое многообразие, f- гладкое векторное поле на М, g - гладкое линейное отображение векторного пространства U в касательное расслоение ТМ многообразия М. Тогда необходимое условие управляемости в вещественно-аналитическом случае состоит в том [191], [184], что алгебра Ли векторных полей, порожденная полями / и gu для всевозможных значений U eU , имеет полный ранг в каждой точке хеМ: rank^Li е(/, gu) = dim М (0.8)

Иными словами, повторяющиеся коммутаторы полей f и gu в каждой точке X £ М порождают касательное пространство ТХМ. Проверка этого условия сводится к вычислению коммутаторов

U,gu\ = df-f-d-LgU (0.9)

ОХ ОХ затем [/, [/, gu]], [/, [/, [/, gu]]] и т.д. до тех пор, пока еще получаемые векторы (вместе с f и gu) составляют линейно независимую систему.

Для линейной системы (0.4) условие (0.8) тождественно критерию (0,5), однако в нелинейном случае оно является лишь необходимым, но не достаточным. Например [123], в системе ч х2=и, xeR2, иеR управляемость (по X] ) отсутствует, хотя ранг алгебры Ли равен 2, поскольку g = (0,1)т, так что векторы f = (/, 0)т и gu линейно независимы при и^О. Для выявления некоторых случаев неуправляемости была предложена [123] модификация условия (0.8), фактически исключающая f из системы полученных векторов (на этапе вычисления ранга).

Применение алгебр Ли распространено [183] на случай «составного» (stratified) конфигурационного пространства механической системы, когда исследуемая точка равновесия лежит на пересечении многообразий (например, отвечающих разным фазам двухопорной ходьбы робота).

Близкий по смыслу (к теореме Чжоу) результат получается [166] путем подсчета уравнений вспомогательной системы, образованной «процедурой пополнения» посредством коммутирования дифференциальных операторов (аналогично вычислению скобок Ли). В работе [145] отсутствие инвариантного многообразия выявлялось как неинтегрируемость вспомогательного уравнения Пфаффа, полученного таким проектированием векторного поля, при котором вектор управления имеет нулевую проекцию.

Отмечено [144], что подобные способы анализа носят локальный характер и не связаны напрямую со свойствами глобальной достижимости и управляемости. Последние могут гарантироваться при встречающихся иногда дoпoлi нительных условиях компактности пространства состояний [192] либо других признаках эргодичности векторного поля, сохраняющего элемент объема при любых управляющих воздействиях [144], что порождает аналог теоремы Пуанкаре «о возвращении» [18]. Дополнительным достаточным условием управляемости может служить также симметричность векторного поля [185], когда орбиты точек совпадают с множествами достижимости. На этом основано управление конфигурациями изменяемых механических систем ([2], гл. 7), наглядно демонстрируемое в задаче «о падающей кошке» [88].

Свойства симметрий и методы теории групп применялись к анализу управляемости в работах [165], [167], [168].

Заметим, что для нелинейных динамических систем (в отличие от линейных) отсутствие инвариантного многообразия является необходимым условием управляемости, но не достаточным: известны примеры [83] неуправляемых систем, не имеющих инвариантного многообразия. В связи с этим предложен [83], [87] метод ориентированных многообразий. В частности, для склерономных систем х=/(х, и), хеМ, ueUc:Rm (0.10) где М— «-мерное гладкое многообразие, /е(7) доказано [84], [45], что необходимым и достаточным условием глобальной управляемости является отсут* ствие ориентированных относительно системы (0.10) многообразий (с гладкой границей [82]). Такой подход фактически нацелен на выявление неуправляемости, поэтому (по аналогии с теоремой Н.Г. Четаева о неустойчивости [163]) сводится к уравнениям в частных производных относительно неизвестной знакопеременной функции V(x). Критерий модифицирован [85] на случай управляемости по части переменных. Ранее свойство управляемости по части переменных было исследовано [36] лишь для линейных систем.

Другой подход в теории управляемости опирается на известное свойство линейной стационарной системы (0.4); при выполнении условия (0.5) сущест-; вует [177] такая замена координат и управлений, при которой уравнения движения приводятся к совокупности систем вида xt=xM (i=l, 2, к-1), хк=и, и\<с (0.11) называемых каноническими.

Очевидно, что приводимость динамической системы (в подходящих переменных) к линейной канонической равносильна ее управляемости. Преобразование нелинейной системы к форме (0.11) оказалось возможным [95], [94] для так называемых треугольных систем

Xi = f,(xl9x2,.,xM) (i=l, 2, ., п-1), хп = /л(Хр*2,.»,*„,«) (0.12) при условии их «регулярности» в смысле д/,

За:

Ki а>0 (i=l, 2, п) V(x,,x2,.,xn+1) (0.13)

Этот результат доказан [83] и для нестационарного случая, когда функции fi зависят также от времени t. Позднее были найдены ([187], [96]) треугольные системы (0.12) частного вида, не удовлетворяющие условию (0.13) (и потому названные [178] сингулярными), тем не менее, глобально управляемые.

В работах [48], [49], [187] в терминах скобок Ли были получены условий точной линеаризации систем, аффинных по управлению. Более общее условие глобальной линеаризуемое™ системы, заданной на гладком многообразии, приведено в [2].

Важным свойством механического объекта является характерное разделение уравнений на динамическую и кинематическую подсистемы. Например, в задаче ориентации твердого тела при действии реактивной силы условие [37] управляемости в фазовом пространстве оказалось идентичным условию [83] управляемости динамической подсистемы (в пространстве угловых скоростей). В работе [61] переход к специальным переменным привел к эффективУ ным критериям управляемости неголономных механических систем (в линейном приближении).

Попытки дать наглядное представление о геометрии фазовых потоков дифференциальных включений привели к понятию фазового портрета управляемой динамической системы [32], [21]. Как и в классическом случае фазового портрета [15], наибольший эффект здесь достигается для двумерных систем (на плоскости).

Применительно к динамическим системам в R" вопросы стабилизируемо-сти и оценки области управляемости с использованием теорем устойчивости анализировались, например, в [140], [28], [35].

В работах [131], [132], [116], [118], [119], [117] для некоторых классов ла-гранжевых систем общего вида сформулированы необходимые и достаточные;, условия их глобальной управляемости в предположении, что массо-инерционные параметры объектов могут быть любыми (из ограниченного наперед заданного диапазона). Такая постановка задачи отличается от рассматриваемой нами далее тем, что речь идет не о конкретной системе, а совокупности (классе) систем с общим для всех критерием управляемости. Будучи «робастным», этот критерий, очевидно, не исчерпывает возможностей собственной динамики конкретных механизмов. Например, не охватывается случай, когда управляемость обеспечивается числом управлений меньшим, чем число степеней свободы (в так называемых «super-articulated mechanical systems,". [200]). Кроме того, как будет показано, существуют механические объекты, р которых именно числовые значения массоинерционных параметров оказываются определяющими для управляемости.

Известно [173], что не каждую управляемую систему (0.7) можно стабилизировать с помощью гладкой обратной связи и(х) е. С1. Например, «неголо-номный интегратор» Брокетта является управляемым, но не является С^-стабилизируемым. Способы построения разрывного стабилизирующего управления такими системами обсуждаются, например, в работе [86]. Сравнительный анализ различных понятий и свойств устойчивости в системах управления дан в [203].

Свойства управляемости при сочетании нескольких ограничений на управляющие воздействия были подробно рассмотрены в [158].

Для нелинейных систем наиболее конструктивным, видимо, является достаточное условие нуль-управляемости в Rn, сочетающее требования стабилизируемое™ и локальной управляемости в окрестности нуля, которую оказалось достаточно обнаруживать по линейному приближению [106]. Этот результат распространяет идею [40] на случай нелинейной системы.

Было показано [100], что "ранговый" критерий (0.5), записанный для системы (0.4), в точности повторяется и для системы вдвое большего порядка t х =Ах + Ви

Именно такую структуру получают линеаризованные уравнения Лагранжа, описывающие движение механических объектов в малой окрестности состояния равновесия.

В работе везде речь пойдет о глобальной управляемости механических систем. С этой точки зрения практический интерес представляют существенно нелинейные системы, моделирующие роботы-манипуляторы, подвижные час ч ти космических летательных аппаратов и пр. Для них оценить свойства управляемости в конечных областях фазового пространства удается лишь путем использования специфики конкретных классов объектов.

Особенностью рассматриваемых далее лагранжевых систем является то, что 1) их движение рассматривается в цилиндрическом фазовом пространстве, так как некоторые обобщенные координаты являются «угловыми» (задаются с точностью до числа полных оборотов); 2) число управлений меньше числа степеней свободы, а сами управляющие функции ограничены заранее заданными величинами.

Предлагаемые достаточные условия глобальной управляемости в некотором смысле развивают результат [106], опираясь на свойства стабилизируемости, т.е возможности перевести систему из каждой точки фазового пространства в сколь угодно малую окрестность характерного режима; в простейших случаях это может быть состояние равновесия. Для доказательства стабилизируемое™ традиционно привлекается прямой метод Ляпунова [108] в теории устойчивости. Чтобы распространить известную теорему Барбашина—Красов-ского [24] на случай цилиндрического фазового пространства, нами вводится понятие связной функции Ляпунова [62].

Изложим кратко содержание работы по главам.

В первой главе дано определение и простейшие признаки связной функции Ляпунова. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости в большом - аналог теоремы Барбашина-Красовского для систем на цилиндре'. Сформулированы достаточные условия стабилизируемости лагранжевой системы (с ограниченной потенциальной энергией) в цилиндрическом фазовом пространстве. Показана применимость такого подхода к системам с распределенными параметрами, взятым в конечномерном приближении, а также обоснован частный способ стабилизации с помощью релейной обратной связи.

Во второй главе предложены достаточные условия глобальной управляемости натуральных лагранжевых систем, когда число степеней свободы больше числа управляющих воздействий Отдельно рассмотрены случаи объектов с циклическими координатами, а также особенности систем с неединственным состоянием устойчивого равновесия. Показано, что глобальная управляемость в цилиндрическом фазовом пространстве влечет за собой и управляемость в накрывающем евклидовом пространстве. Метод применен и к системам, допускающим стационарные движения. Общая суть предлагаемого подхода - в использовании так называемых «достижимых кривых» в фазовом пространстве. Этот прием оказывается эффективным даже в случаях негладких систем, рассмотренных далее.

В третьей главе обсуждаются условия глобальной управляемости систем с трением, которые записываются дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью. Приведены частные признаки неуправляемости систем с трением. Доказаны достаточные условия глобальной управляемости систем с сухим трением, допускающих стационарные движения.

Четвертая глава посвящена управляемости лагранжевых систем с идеальными односторонними связями. При движении этих механических объектов возможны соударения звеньев, рассматриваемые в рамках классической теории абсолютно упругого удара. Введены дополнительные критерии связности функций Ляпунова, пригодные для систем с кинематическими ограничениями. Подробно проанализированы глобально управляемые модели с двумя степенями свободы, включая и такие, где взаимовлияние частей системы возможно лишь в моменты ударов.

В пятой главе обсуждается влияние массо-инерционных параметров механической системы на ее управляемость. Даны примеры моделей, в которых геометрические характеристики звеньев являются определяющими для свойства управляемости. Введено новое понятие параметрической управляемости как свойства точной модели («нежесткой») быть управляемой, тогда как приближенная («жесткая») модель не является управляемой. Доказаны некоторые достаточные условия параметрической управляемости. Отдельно рассмотрены случаи регулярных и сингулярных систем, которые отличаются введением малого параметра соответственно в правую или в левую часть дополнительного дифференциального уравнения, разрешенного относительно старшей производной.

В шестой главе на примере трех частных задач рассмотрены некоторые свойства синтеза оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина [129]. Показано, что в общем случае управляемой натуральной лагранжевой системы с одной степенью свободы задача оптимального быстродействия решается явно. Построен синтез оптимального управления эллиптическим маятником на двумерном цилиндре. Решена задача оптимального быстродействия в линейной канонической системе размерности п<4, Управление построено в форме синтеза в пространстве новых переменных, получаемых как функции от первых интегралов исходной системы при постоянных значениях управления. Наконец, предложен эффективный по быстродействию способ синтеза ограниченного управления многозвенными маятниковыми системами при отсутствии потенциальных сил и фазовых ограничений, когда количество управляющих воздействий равно числу степеней свободы. Приведены данные численных экспериментов, иллюстрирующие близость траекторий к оптимальным. Показана робастность предложенного регулятора.

Все приводимые в работе теоретические результаты иллюстрируются наглядными примерами глобально управляемых механических систем. В конце каждой главы в виде заключительных замечаний даются краткие комментарии к полученным результатам, а также ссылки на близкие по тематике источники.

В заключительной части работы еще раз перечислены основные теоретические результаты и даны рекомендации по их возможному применению.

Перечислим вкратце характерные особенности исследования.

Актуальность. Свойства управляемости механических систем важны как на этапе проектирования новой техники, так и в процессе ее эксплуатации, включая гипотетические нештатные режимы, когда, например, часть управляющих воздействий выходит из строя. Поэтому информация о предельных динамических возможностях объекта актуальна. Поскольку универсальных критериев управляемости нелинейных систем в настоящее время не существует, то представляют интерес достаточные условия управляемости конкретных классов объектов с учетом их специфики. В работе рассматриваются механик ческие системы с цилиндрическим фазовым пространством, когда число управлений меньше числа степеней свободы, а сами управляющие функции ограничены заранее заданными величинами. Этот тип объектов охватывает практически значимые модели роботов-манипуляторов, мостовых кранов, подвижных частей летательных аппаратов.

Цель работы - обоснование достаточных условий глобальной управляемости лагранжевых систем, включая сопутствующие вопросы теории устойчивости в цилиндрическом фазовом пространстве, а также проблемы влияния мас-со-инерционных характеристик на управляемость механизма.

Методы исследования. В работе используются классические методы аналитической механики, теории устойчивости Ляпунова, теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, а также принцип максимума Пон-, трягина в теории оптимальных процессов.

Научная ценность и новизна. Путем введения понятия связной функции Ляпунова на основе прямого метода в теории устойчивости даны достаточные условия стабилизируемости и глобальной управляемости натуральных лагранжевых систем в случае, когда число управляющих воздействий меньше числа степеней свободы. Предложен метод «достижимых кривых», благодаря которому подход распространен на негладкие механические системы. В частности, впервые показана глобальная управляемость некоторых объектов с сухим трением, а также систем с идеальными односторонними связями. Введено, понятие параметрической управляемости и даны его достаточные условия применительно к механическим объектам. Решены две новые задачи синтеза оптимального управления и предложен эффективный по быстродействию способ синтеза ограниченного управления системой твердых тел.

Практическая значимость. Полученные в исследовании результаты могут применяться в процессе проектирования и управления роботами-манипуляторами, транспортными механизмами, космическими объектами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на различных конференциях, семинарах и, в частности, на: - семинарах кафедры динамики полета и управления КАИ в 1983, 1985 гг (рук. проф. Т.К. Сиразетдинов);

- семинарах кафедры теоретической механики КАИ в 1986,1987 гг (рук. проф. В.Н. Скимель);

- семинаре в Институте проблем управления в 1985 г (рук. чл.-корр. РАН Е.С. Пятницкий);

- семинаре в МГУ в 1985 г (рук. акад. В.В.Румянцев);

- Пятой Всесоюзной конференции по управлению в механических системах в 1985 г (г. Казань);

- семинаре кафедры механики и процессов управления ЛИИ в 1986 г (рук. проф. А.А. Первозванский);

- Шестом всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в 1986 г (г. Ташкент); *

- Пятой всесоюзной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в 1987 г (г. Казань);

- семинаре в Институте проблем механики РАН в 1987 г (рук. акад. Ф.Л. Чер-ноусько);

- семинаре в Институте механики МГУ в 1987 г (рук. проф. И. В. Новожилов);

- Втором Всероссийском Ахметгалеевском семинаре "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в 1995 г (г. Казань);

- Восьмой Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в 2002г (г. Казань);

- Всеросссийской конференции с международным участием «Математика, ее приложения и математическое образование» в 2005 (г. Улан-Удэ);

- Седьмой Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» в 2005 г (г. Нижний Новгород);

- Девятом Всероссийском Съезде по теоретической и прикладной механике в 2006 г (г. Нижний Новгород);

- Девятой Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в 2007г (г. Иркутск).

В целом результаты работы докладывались на семинаре в Институте про: блем механики в 2006 г (рук. акад. Д.М. Климов и акад. В.Ф. Журавлев), на семинаре в МГУ в 2006 г (рук. чл.-корр. РАН В.В.Белецкий и проф.

Ю.Ф.Голубев), на Казанском городском семинаре по механике в 2006 г (рук. проф. Г.В. Голубев).

Автор благодарен всем коллегам, принявшим участие в обсуждении работы, редколлегии журнала «Прикладная математика и механика», отметившей своей премией (1998 г) статью [30], а также Российскому фонду фундаментальных исследований, выделившему средства на опубликование монографии [63].

Основные результаты главы 6 опубликованы в [73], [72], [66].

Итак, в §6.1 показано, что в общем случае лагранжевой системы управления с одной степенью свободы задача оптимального быстродействия решается явно. Для эллиптического маятника уравнения движения редуцируются на двумерный цилиндр за счет циклической координаты. В результате удалось проинтегрировать сопряженную систему (из принципа максимума Понтрягина) в эллиптических функциях Якоби. Оптимальное управление найдено в виде обратной связи, для чего построен фазовый портрет на цилиндре. Он становится топологически эквивалентным плоскому портрету регулярного синтеза [29], если разрезать цилиндр по «линии разделения». Эта процедура известна с первых работ по оптимальному синтезу на двумерном цилиндре [106], [27].

Отметим характерную особенность рассмотренной задачи: даже для построения программных движений, удовлетворяющих фиксированным краевым условиям, здесь невозможно использовать традиционные методы обратных задач динамики [39] из-за обращения в нуль сомножителя COS при управлении.

Кроме иллюстративных качеств, задача управления эллиптическим маятником в некоторых постановках (библиография этих работ приведена в [160]) имеет также практический смысл - в приложениях к мостовым кранам и т.п. В последнее время появились работы по стабилизации и оптимальному управлению маятниковыми и близкими к ним системами в окрестностях неустойчивых состояний равновесия [26], [44], [43], [156], [155], [110], [170], [138], а также конструктивные способы перевода объекта в такую окрестность [137].

В §6.2 решена задача оптимального быстродействия в линейной канонической системе управления (6.19) размерности п<4. Управление построено в форме синтеза в пространстве новых координат, получаемых в виде функций от первых интегралов исходной системы при постоянном управлении. Поочередное обнуление этих координат уменьшает размерность подпространства, в котором целиком лежит конечная часть оптимальной траектории.

К достоинству предложенного подхода можно отнести возможность «аппаратной» (в виде микросхемы) реализации определяемых один раз выражений для новых координату (7=7, 2, ., п). К недостаткам - стремительный рост порядка степенных форм относительно интегралов вида (6.28), (6.31) в этих выражениях с ростом порядка п. Анализ трудностей в решении простейшей задачи (6.19) оптимального синтеза оставляет мало надежд на точное аналитическое решение других систем большого порядка.

Ранее общий подход к решению задачи синтеза в системе (6.19) (при любом n&N, но без дополнительного условия оптимальности быстродействия) был предложен в [93], где вводится так называемая функция управляемости. Производная от этой функции Ляпунова в силу уравнений системы удовлетворяет специальному неравенству, гарантирующему движение к цели за конечное время.

Рассмотренный в §6.3 способ управления системой (6.35) был впервые предложен в [66] как совпадающий с оптимальным в линейном приближении, а также в случае одной степени свободы. Было показано, что регулятор (3.8)-(3.9) наделяет невозмущенное движение системы свойством устойчивости по Ляпунову (в малом). В §6.3 для этого же регулятора дано обоснование асимптотической устойчивости в большом как в системе (6.35), так и для случая малых возмущений параметров либо дополнительных сил, не учтенных моделью.

В работе [161] (см. также [162], [146]) рассмотрена близкая (особенно для ; модели (6.35)) постановка задачи, однако вместо нелинейной замены переменных (6.44) было отдано предпочтение линейной замене (т.е. в формуле (6.44) вместо матрицы A(q) берется ее некоторая аппроксимация Л). Это позволило достичь ряда удобств, присущих линейным подсистемам. С другой стороны, как показано выше, в системе (6.41) с одной степенью свободы оптимальное быстродействие реализуется управлением вида (6.43), которое не может быть получено методом [161]. Таким образом, в работе [66] и в работе [161] фактически рассмотрены разные постановки задач синтеза субоптимального управления. Отличие нашего подхода - в обязательном выполнении условия 2 (из перечисленного выше перечня трех условий субоптимальности управления).

Заметим, что особую актуальность рассмотренная в §6.3 постановка задачи синтеза имеет по отношению к роботам-манипуляторам. Большинство методов управления такими объектами использует идею стабилизации полученной заранее программной траектории qф (/) чаще всего путем компенсации всех сил и моментов за счет управления. В некотором смысле, системе навязывается «искусственная» динамика, будь то гурвицева линейная структура [46] или более сложные лагранжевы свойства [196], требуемые для отслеживания программных движений. Близкая по смыслу схема [134], [133], [114] названа принципом декомпозиции. Речь идет о переходе за конечное время (из достаточно малой окрестности в пространстве скоростей) в режим точного следова

251 ния заданной программе q*(t) посредством релейных управлений, причем по каждой степени свободы функция qjt (t) назначается произвольно, без учета взаимовлияния звеньев и при минимуме информации о параметрах модели. Основная трудность здесь выносится в процедуры планирования траекторий и изначального попадания системы в указанную окрестность в пространстве скоростей. Идея динамической развязки движений манипулятора за счет свойств конструкции рассматривалась в [150].

В работах [12], [10], [9] предложены алгоритмы, в которых преимущества скользящих режимов (робастность, конечность времени регулирования) достигаются посредством управляющих функций с конечным числом точек разрыва, а в работе [11] аналогичные результаты достигаются при условии непрерывности управления.

Характерные задачи оптимального управления маятниковыми механизмами и манипуляторами с разных точек зрения рассматривались, например, в [27], [16], [199], [1], [7], [102], [6], [5]. Способ оптимального по быстродействию управления манипулятором по параметрически заданной траектории схвата изложен в [172], [201].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены свойства глобальной управляемости лагранжевых систем с ограниченной потенциальной энергией. Этот класс механизмов имеет много приложений в виде многозвенных маятников, моделирующих роботы-манипуляторы, подвижные части летательных аппаратов и т.п. Отличительной особенностью объектов является то, что их фазовое пространство -цилиндрическое, число управляющих воздействий меньше числа степеней I свободы, а сами управления ограничены заранее заданными величинами.

1. Введено понятие связной функции Ляпунова и указаны достаточные условия связности функций Ляпунова на многомерном цилиндре.

2. Формализм прямого метода Ляпунова в теории устойчивости распространен на случай цилиндрического пространства. Получены аналоги теоремы Барбашина-Красовского об устойчивости в большом, теоремы Румянцева об устойчивости по части переменных.

3. Получены достаточные условия стабилизируемости лагранжевых систем в цилиндрическом фазовом пространстве. Предложен способ синтеза релейного управления, при котором отсутствуют «зоны застоя» в фазовом пространстве. Приведены примеры, включая системы с распределенными параметрами, взятые в конечномерном приближении.

4. Получены достаточные условия глобальной управляемости натуральных лагранжевых систем, включая системы с циклическими координатами, с несколькими устойчивыми состояниями равновесия, с стационарным^ движениями. Например, показана глобальная управляемость многозвенного маятника в горизонтальной плоскости при действии одного управляющего момента, приложенного в неподвижном шарнире. Приведены другие примеры.

5. Показано, что глобальная управляемость на цилиндре влечет глобальную управляемость в соответствующем накрывающем пространстве.

6. Предложены необходимые и достаточные условия глобальной управляемости лагранжевых систем с применением «достижимых кривых».

Метод позволяет обнаруживать глобальную управляемость не только натуральных лагранжевых систем, но и некоторых систем с трением, а также систем с абсолютно упругими ударами. Приведены примеры.

7. Получены достаточные условия глобальной управляемости систем с двумя степенями свободы и идеальными односторонними связями. С этой целью доказаны достаточные условия связности функций Ляпунова , в цилиндрическом фазовом пространстве с кинематическими ограничениями.

8. Исследована зависимость свойства управляемости от массо-инерционных параметров системы. Например, рассмотрена динамика горизонтального двузвенного маятника с нулевым кинетическим моментом при действии одного внутреннего управляющего момента. Показано, что в общем случае транспортная задача управления такой системой при однократном мгновенном изменении массы груза разрешима лишь при условии, что второе звено длиннее первого. Показано, что эта система становится управляемой (на многообразии нулевого кинетического момента) при подходящем «размораживании» параметров, добавляющем новые степени свободы. •

9. Введено понятие параметрической управляемости и доказаны ее некоторые достаточные условия. Приведены примеры параметрически управляемых регулярных и сингулярных систем.

10. Решена задача синтеза оптимального по быстродействию управления эллиптическим маятником на двумерном цилиндре.

11. Предложен подход к решению задачи синтеза оптимального быстродействия в линейной канонической системе путем перехода к подходящим координатам, выраженным через первые интегралы системы с постоянными управлениями.

12. Предложен способ синтеза эффективного по быстродействию ограниченного управления системой твердых тел при отсутствии потенциальных сил и кинематических ограничений. Показана робастность предложенного регулятора и близость получаемых траекторий к оптимальным.

1. Аветисян В.В., Болотник Н.Н., Черноусько Ф.Л. Оптимальные программные движения двузвенного манипулятора // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985. №3, С. 123-131.

2. Аграчев А.А., Сачков Ю.А. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005. 392 с.

3. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. I, II //Автоматика и телемеханика. 1974. №7. С.33-47., №8. С. 39-61.

4. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. -М.: Наука, 1987.

5. Акуленко Л.Д. Оптимальное управление движениями бифилярного ма: ятника // Прикл. матем. и мех. 2004. - Т. 68, вып. 5. -С. 793-806.

6. Акуленко Л.Д. Управление относительными движениями маятника на вращающемся основании // Прикл. матем. и механика. 2000. Т. 64. Вып. 2. С. 204-210.

7. Акуленко Л.Д., Болотник Н.Н. Синтез оптимального управления транспортными движениями манипуляционных роботов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. №4, С. 21-29. f

8. Акуленко Л.Д., Михайлов С.А., Черноусько Ф.Л. Моделирование динамики манипулятора с упругими звеньями // Изв. АН СССР: Механика твердого тела. 1981. №3. С. 118-124.

9. Ананьевский И.М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 2001. №2. С. 39-47.

10. Ананьевский И.М. Ограниченное управление реономными механическими системами в условиях неопределенности // Прикл. матем. и механика. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 809-821.

11. Ананьевский И.М. Синтез непрерывного управления механической системой с неизвестной матрицей инерции // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 2006. -№3.-С. 24-35.

12. Ананьевский И.М. Управление механической системой с неизвестными параметрами посредством ограниченной силы // Прикл. матем. и механика. 1997. Т. 61. Вып. 1.С. 52-62.

13. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова//Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ. 1975. Т. 2. С. 53-112.

14. Андреев Ю.Н. Дифференциально-геометрические методы в теории управления//Автоматика и телемеханика. 1982. №10.С. 5-46.f

15. Андронов А.А., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физмат-гиз. 1959.

16. Анчев А.А., Меликян А.А. Об оптимальной переориентации спутника на круговой орбите // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1980. №6. С. 37-42.

17. Аппель П. Теоретическая механика. Т.2. М.: Физматгиз. 1960. 487 с.

18. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М. Наука, 1989.

19. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975. 240 с.

20. Асмыкович И.К., Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М., Марченко В.М. Задачй управления конечномерными системами //Автоматика и телемеханика. 1986. №11. С. 5-29.

21. Бабичев А.В., Бутковский А.Г. Результаты и перспективы выполнения программы создания единой геометрической теории управления // Приборы и системы управления. 1996, №12, с.31-33.

22. Бакаев Ю.Н. Построение рабочих зон систем автоматического регулирования фазы // Изв. АН СССР: ОТН. Энергетика и автоматика. 1960. №2. С. 132136.

23. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука. 1970. 240 с.

24. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР, 1952. Т.86. №3. С.453-456. ;

25. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969. 300 с.

26. Белецкий В.В. Двуногая ходьба. Модельные задачи динамики и управления. М.: Наука. 1984. 286 с.

27. Белецкий В.В. Об оптимальном приведении искусственного спутника Земли в гравитационно-устойчивое положение // Космические исследования. 1971. Т.9. Вып. 3. С. 366-375.

28. Блинов А.П. Об оценке области управляемости в нелинейных системах // Прикл. матем. и механика. 1984. Т.48. Вып. 4. С. 593-600.

29. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука. 1969. 407 с.

30. Борецкий И.Ф., Каюмов О.Р. Глобально управляемые системы твердых тел // Прикл. матем. и мех. 1998. Т.62. Вып.З. С. 405-412.

31. Брокетт Р.У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления/Математические методы в теории систем. Сер. Математика. М.: Мир, 1979. С. 174-220.

32. Бутковский А.Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем; М.: Наука. 1985. 136 с.

33. Веретенников В.Г., Зайцев В.В. Применение второго метода Ляпунова для оценок областей устойчивости и притяжения//Прикл. матем. и механика. 1984. Т.48. Вып. 5. С. 714-723.

34. Виттенбург И. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. 292с.

35. Волынский В.В., Крищенко А.П. Оценки областей стабилизируемости нелинейных систем // Дифф. уравнения. 1997. Т. 33. №11. С. 1474-1483.

36. Воротников В.И. О полной управляемости и стабилизации движения относительно части переменных//Автомат, и телемеханика. 1982. №3. С. 15-21.

37. Вуйичич В.А., Ковалев A.M. Управляемость и декомпозиция в механических системах // Прикл. матем. и механика. 2000. Т. 64. Вып. 1. С. 29-40.

38. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

39. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. М.: Наука. 1981. 143 с.

40. Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных процессов в линейных системах //Докл. АН СССР. 1957. Т. 116.№1.С. 9-11.

41. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

42. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. М.: Стройиздат. 1965. 448 с.

43. Голубев Ю.Ф. Робот-эквилибрист на цилиндре // Прикл. матем. и механика. 2003. Т. 67. Вып. 4. С. 603-619.

44. Гришин А.А., Ленский А.В., Охоцимский Д.Е., Панин Д.А., Формаль-ский A.M. О синтезе управления неустойчивым объектом. Перевернутый маятник // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 2002. - №5.- С. 14-24.

45. Губин С.В., Ковалев A.M. Глобальная управляемость склерономных систем // Механика твердого тела. Киев: Наук, думка. 1990. Вып. 22. С. 72-76.

46. Динамика управления роботами / В.В. Козлов, В.П. Макарычев, А.В. Тимофеев, Е.И. Юревич. Под ред. Е.И. Юревича. М.: Наука. 1984. 334 с.

47. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. Нелинейные системы. Управляемость, стабилизируемость, инвариантность// Итоги науки и техн. Сер. Техн. кибернетика. 1988. Т. 23. С. 3-107.

48. Жевнин А.А., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Докл. АН СССР. Сер. Кибернетика и теория регулирования. 1981. Т. 258. №4. С. 805-809.

49. Жевнин А.А., Крищенко А.П., Глушко Ю.В. Управляемость, наблюдаемость нелинейных систем и синтез терминального управления // Докл. АН СССР. Сер. Кибернетика и теория регулирования. 1982. Т. 266. №4. С. 807-811.

50. Журавлев В.Ф. Механика систем с односторонними связями // Успехи механики. 1989. Т. 12. №2. С.37-69.

51. Журавлев В.Ф. Уравнения движения механических систем с идеальными односторонними связями // Прикл. матем. и механика. 1978. Т.42. вып. 5. С. 781-788.

52. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высш. школа. 1982. 285с.

53. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука.1975.495с.

54. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высш. школа. 1984. 232с.

55. Иванов А.П. Аналитические методы в теории виброударных систем // Прикл. матем. и механика. 1993. - Т. 57, вып. 2. - С. 5-21.

56. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997. 336 с.

57. Иванов А.П. К задаче о стесненном ударе // Прикл. матем. и механика. 1997. Т.61. Вып. 3. С.355-368.

58. Иванов А.П. О кратном ударе // Прикл. матем. и механика. 1995. Т.59. вып. 6. С. 930-946.

59. Иванов А.П., Маркеев А.П. О динамике систем с односторонними связями // Прикл. матем. и механика. 1984. Т. 48. Вып. 4. С. 632-636.

60. Калман Р.Е. Об общей теории систем управления/АГр. 1-го Междунар. Конгр. ИФАК. М.: Изд-во АН СССР, 1961. Т. 2. С. 521-546.

61. Каленова В.И., Морозов В.М., Шевелева Е.Н. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами // Прикл. матем. и механика. 2001. Т. 65. Вып. 6. С. 915-924.

62. Каюмов О.Р. Асимптотическая устойчивость в большом в системах с цилиндрическим фазовым пространством // Изв. вузов. Математика. 1987. №10. С. 61-63.

63. Каюмов О.Р. Глобально управляемые механические системы. М.: ФИЗ-МАТЛИТ. 2007 г. 165 с.

64. Каюмов О.Р. Глобально управляемые системы твердых тел с несколькими устойчивыми состояниями покоя // Прикл. матем. и мех. 2002. Т.66. Вып. 5. С.775-781.

65. Каюмов О.Р. Локальная управляемость плоского многозвенного маятника // Депонировано в ВИНИТИ. 05.07.94, №1670-В94.

66. Каюмов О.Р. О глобальной управляемости негладких лагранжевых систем // IX Всероссийский Съезд по теоретической и прикладной механике. Ан-нот. Докл. Нижний Новгород. 2006. Т.1. С. 65.

67. Каюмов О.Р. О глобальной управляемости некоторых лагранжевых систем // Изв. АН СССР: Мех. тверд, тела. 1986. №6. С. 16-24.

68. Каюмов О.Р. О глобальной управляемости некоторых механических систем с абсолютно упругими ударами // Прикл. матем. и механика. 2007. Т. 71. (в печати).

69. Каюмов О.Р. О глобальной управляемости некоторых систем твердых тел при действии трения // Изв. РАН: Мех. тверд, тела. 2007. №1. С. 37-50.

70. Каюмов О.Р. Один подход к исследованию задачи быстродействия в линейной канонической системе//Деп. в ВИНИТИ 07.09.87. №6536-В87.16 с.

71. Каюмов О.Р. Оптимальное управление эллиптическим маятником//Изв. АН СССР: Мех. тверд, тела. 1985. №4. С. 38-44.

72. Каюмов О.Р. Параметрическая управляемость некоторых механических систем // Нелинейные колебания механических систем: VII Всероссийская научная конференция. Труды. Нижний Новгород. 2005. с. 305-307.

73. Каюмов О.Р. Параметрическая управляемость некоторых систем твердых тел // Прикл. матем. и механика. 2006. Т. 70. Вып. 4. С. 581-604.

74. Каюмов О.Р. Параметрическая управляемость одной механической системы// Материалы всерос. конф. с международным участием. Математика, ее приложения и математическое образование. -Улан-Удэ. 2005. С. 116-123.

75. Каюмов О.Р. Применение достижимых кривых к анализу глобальнойуправляемости лагранжевых систем // Депонировано в ВИНИТИ. 17.01.07, №43-В2007. 21 с.

76. Каюмов О.Р. Применение теорем устойчивости для анализа глобальной управляемости лагранжевых систем // Шестой Всесоюзный Съезд по теоретической и прикладной механике. Аннот. Докл. Ташкент. 1986. С. 338.

77. Каюмов О.Р. Связные функции Ляпунова и их применение// IX Четаев-ская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". 12-16 июня 2007 г. г. Иркутск. С.

78. Каюмов О.Р. Связные функции Ляпунова и их применение в задаче стабилизируемое™ // Депонировано в ВИНИТИ. 17.01.07, №42-В2007. 26 с.

79. Каюмов О.Р. Синтез ограниченного управления для некоторых механических систем // Пятая Всесоюзная конференция по управлению в механических системах. Тезисы докладов. Казань 1985. С. 42.

80. Ковалев A.M. Критерий управляемости и достаточные условия стабилизируемое™ динамических систем // Прикл. матем. и механика. 1995. Т. 59. Вып. 3. С. 401-409.

81. Ковалев A.M. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. Киев: Наук. Думка. 1980. 175 с.

82. Ковалев A.M. Ориентированные многообразия и управляемость динамических систем // Прикл. матем. и механика. 1991. Т. 55. Вып. 4. С. 639-646.

83. Ковалев A.M. Управляемость динамических систем// Прикл. матем. и механика. 1993. Т. 57. Вып. 6. С. 41-50.

84. Ковалев A.M., Неспирный В.Н. Импульсно-разрывная стабилизация интегратора Брокетта // Изв. РАН: Теор. и сист. упр. 2005. №5. С. 5-15.

85. Ковалев A.M., Щербак В.Ф. Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость динамических систем. Киев: Наук, думка. 1993. 236 с.

86. Козлов В.В. Динамика изменяемых систем и группы Ли// Прикл. матем. и механика. 2004. Т. 68. Вып. 6. С. 899-905.

87. Козлов В.В. Конструктивный метод обоснования теории систем с не-удерживающими связями // Прикл. матем. и механика. 1988. Т.52. Вып. 6. С.883-894.

88. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ. 1991. 168 с.

89. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука. 1974. 831 с.

90. Коробов В.И. Геометрический критерий локальной управляемости динамических систем при наличии ограничений на управление // Дифф. уравнения, 1979. Т. 15. №9. С. 1592-1599.

91. Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости // Матем. сб. 1979. Т. 109. №4. С. 582-606.

92. Коробов В.И. Сведение задачи управляемости к граничной задаче //Дифф. уравнения. 1976. Т. 12. №7. С. 1310-1312.

93. Коробов В.И. Управляемость, устойчивость некоторых нелинейных систем // Дифф. уравнения. 1973. Т. 9. №4. С. 614-619.

94. Коробов В.И., Павличков С.С. Управляемость треугольных систем, неэквивалентных каноническим системам/УВ юник Харювського нацюнального университету. Сер. Математика, прикладна математика i мехашка. 2000. №475. С. 323-329.

95. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 211 с.

96. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений. Дополнение к книге И.Г. Малкина: Теория устойчивости движения. -М.: Наука. 1966. 530с.

97. Красовский Н.Н. Проблемы управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости динамических систем//Тр. II Всес. Съезда по теор. и прикл. меха-; нике (Москва, 29 янв.-5 февр. 1964 г.). Вып. 1.М.: 1965. С. 77-93.

98. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

99. Кухтенко А.И., Семенов В.Н. Удилов В.В. Геометрические и абстрактно алгебраические методы в теории автоматического управления//Кибернет. и вычисл. техника. 1975. Вып. 27. С. 3-20.

100. Лавровский Э.К., Формальский A.M. Оптимальное управление раскачит ванием и торможением качелей // Прикл. матем. и механика. 1993. - Т. 57, вып. 2.-С. 92-101.

101. Лакота Н.А., Рахманов Е.В., Шведов В.Н. Управление упругим манипулятором на траектории//Изв. АН СССР: Техн. кибернетика. 1980. №2. С. 53-59.

102. Леонов Г.А. Второй метод Ляпунова в теории фазовой синхронизации Ц Прикл. матем. и мех. 1976. - Т. 40, вып. 2. -С. 238-244.

103. Леонов Г.А. Глобальная устойчивость двумерных систем управления угловой ориентацией//Прикл. матем. и механика. 2000. Т.64. Вып. 5. С.890-895.

104. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 574с.

105. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления //Математические методы в теории систем. Сер. Математика. М.: Мир, 1979. С. 134-173.

106. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостех-издат. 1950.472 с.

107. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966. 530 с. ,

108. Мартыненко Ю.Г., Формальский A.M. К теории управления моноциклом // Прикл. матем. и механика. 2005. Т. 69. Вып. 4. С. 569-583.

109. Матросов В.М., Маликов А.И. Развитие идей A.M. Ляпунова за 100 лет: 1892-1992 // Изв. вузов. Математика. 1993. №4. С. 3-47.

110. Матросов В.М., Финогенко И.А. О притяжении для автономных механических систем с трением скольжения // Прикл. матем. и механика. 1998. Т. 62. Вып. 1.С. 100-120.

111. Матросов В.М., Финогенко И.А. Об устойчивости положения равновесия автономных механических систем с трением скольжения // Прикл. матем. и механика. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 934-944.

112. Матюхин В.И. Непрерывные универсальные законы управления манипу-ляционным роботом // Автоматика и телемеханика. 1997. №4. С. 31-44.

113. Матюхин В.И. Стабилизация движений лагранжевых систем за конечное время переходного процесса//Докл. РАН. 1997. Т.353. №4.

114. Матюхин В.И. Универсальные законы управления механическими системами. М.: МАКС Пресс. 2001. 252 с.

115. Матюхин В.И. Управляемость механических систем при учете динамики приводов // Автоматика и телемеханика. 2005. №12. С. 75-92.

116. Матюхин В.И. Управляемость неголономных механических систем в классе ограниченных управлений// Прикл. матем. и механика. 2004. Т. 68. Вып. 5. С. 758-775.

117. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Управляемость механических систем в классе управлений, ограниченных вместе с производной // Автоматика и телемеханика. 2004. №8. С. 14-38. f

118. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир. 1965. 184 с.

119. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. 121 с.

120. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.400 с.

121. Овсеевич А.И. Об одном необходимом условии управляемости нелинейной системы // Прикл. матем. и механика. 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 184-186.

122. Осипов С.Н. Вопросы программного и с силовой обратной связью управления манипуляционными системами // Автореф. дисс. . канд. физ. -мат. наук. М. 1987. 17 с.

123. Персидский К.П. Об одной теореме Ляпунова // Докл. АН СССР. 1937. Т( 14. №9. С. 541-544.

124. Петров Н.Н. Локальная управляемость автономных систем//Дифф. уравнения. 1968. Т. 4. №7. С. 1218-1230.

125. Позднякович А.Е. О пассивной стабилизации механической системы типа «качели» методом размораживания параметров // Механика твердого тела. -1997. вып. 29. С. 62-64.

126. Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота-манипулятора. М.: Наука. 1976. 103 с.

127. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. 392 с.

128. Потапенко Е.М. Устойчивость управляемых упругих распределенных систем//Прикл. матем. и механика. 1989. Т. 53. Вып. 4. С. 587-595.

129. Пятницкий Е.С. Критерии полной управляемости классов механических систем с ограниченными управлениями//Прикл. матем. и механика. 1996. Т. 60. Вып. 5. С. 707-718.

130. Пятницкий Е.С. Критерий полной робастной управляемости механических систем с ограниченными управлениями // ДАН. 1997. Т. 352. №5. С. 620623.

131. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами// ДАН СССР. 1988. -Т. 300. №2. - С. 300-303.

132. Пятницкий Е.С. Синтез управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1987. №3. С. 92-99.

133. Рапопорт Л.Б. Устойчивость равновесия систем с неудерживающими связями и знакоопределенность пучка квадратичных форм в конусе // Прикл. матем. и механика. 1992. Т. 56. Вып. 4. С. 597-604.

134. Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне неголоном-ного пространства допустимой линией // Учен. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. Либкнехта. Сер. физ. -мат. наук. 1938. №2. С. 83-94.

135. Решмин А.С. Метод декомпозиции в задаче управления перевернутым двойным маятником с использованием одного управляющего момента// Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 2005. №6. С. 28-45.

136. Решмин А.С., Черноусько Ф.Л. Оптимальное по быстродействию управление перевернутым маятником в форме синтеза // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 2006. №3. С. 51-62.

137. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. Т. 1. С. 5-66.

138. Румянцев В.В. Об управлении и стабилизации систем с циклическими координатами//Прикл. матем. и механика. 1972. Т. 36. Вып. 6. С. 966-976.

139. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части пере-менных//Вестн. МГУ. сер.1. Математика, механика. 1957. № 4. С.9-16.

140. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256с.

141. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир. 1980. 300 с.

142. Семенов В.Н. Дифференциально-геометрические методы исследования управляемых динамических систем/ЛСибернетика и вычислительная техника. Киев: Наук. Думка. 1978. Вып. 39. С. 63-71.

143. Семенов В.Н. Об управляемости нелинейных динамических сис-тем//Кибернетика и вычислительная техника. Киев: Наук. Думка. 1971. Вып. 8. С. 34-40.

144. Соколов Б.Н. Ограниченное позиционное управление механической системой вблизи положения равновесия // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2006. №4, С. 108-112.

145. Сумбатов А.С. О предельных движениях систем с сухим трением// Прикл. матем. и механика. 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 12-19.

146. Сунада, Дубовски. Об исследовании динамики и характеристик промышленных роботов-манипуляторов с упругими звеньями//Тр. Америк, о-ва инж.-мех. Констр. и технология машиностроения. 1983. №1. С. 161-172.

147. Тонков Е.Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению // Прикл. матем. и механика. 1974. Т. 38. Вып. 4. С. 599-606.

148. Тывес Л.И. К задаче динамической развязки движений манипулятора по обобщенным координатам // Машиноведение. 1986. №2. С. 17-23.

149. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления! М.: Наука, 1981.

150. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука. 1966.623 с.

151. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985,224 с.

152. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой ча-стью//Матем. сб. 1960. 51. №1. С. 99-128.

153. Формальский A.M. О стабилизации двойного перевернутого маятника при помощи одного управляющего момента // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 2006. №3. С. 5-12.

154. Формальский A.M. Перевернутый маятник на неподвижном и подвижном основании // Прикл. матем. и механика. 2006. Т. 70. Вып. 1. С. 62-71.

155. Формальский A.M. Перемещение антропоморфных механизмов. М.: Наука, 1982. 368 с.

156. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука. 1974. 368 с.

157. Черноусько Ф.Л. Динамика управляемых движений упругого манипуля-тора//Изв. АН СССР: Техн. кибернетика. 1981. №5. С. 142-152.

158. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука. 1980. 383 с.

159. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах // Прикл. матем. и мех. 1990. -Т. 54, вып. 6. - С. 883-893.

160. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: ФИЗМАТ ЛИТ. 2006. 328с.

161. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1946.

162. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. М.: Наука, 1972, 622 с.

163. Яковенко Г.Н. Групповой подход к управляемости и инвариантности дит намических систем // Кибернет. и вычисл. техн. / Киев, 1978. Вып. 39. С. 26-39.

164. Яковенко Г.Н. Необходимое условие управляемости//Вопросы прикладной математики. Иркутск: Изд-во СО АН СССР. 1975. С. 108-119.

165. Яковенко Г.Н. Однократность управляемости у групповых систем // Кибернет. и вычисл. техн. / Киев, 1985. Вып. 65. С. 39-43.

166. Яковенко Г.Н. Решение задачи управляемости с использованием сим-метрий // Прикладная механика и процессы управления: Межвед. сб. науч. тр. / МФТИ. М., 1991. С. 17-31.

167. Angeli D. Almost global notion of input-to-state stability // IEEE. Trans. Autom. Contr. V. 49. June 2004. N6. P. 866-874.

168. Aoustin Y., Formal'sky A., Martynenko Yu. Stabilization of unstable equilib^ rium postures of a two-link pendulum using a flywheel // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 2006. №2. С. 43-50.

169. Aronsson G. A new approach to nonlinear controllability // J. Math. Analysis and Applic. 1973. V. 44. N. 3. P. 763-772.

170. Bobrov J.E., Dubowsky S., Gibson J.S. Time-optimal control of robotic manipulators along specified path // Int. J. Robot. Res. 1985. V.4. N. 3. P. 3-17.

171. Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization/ZDifferential Geometric Control Theoiy/Eds. R.W. Brockett, R.S. Millman, H.J. Sussman. Boston: Birkhauser, 1983. P. 181-191.

172. Brogliato B. Nonsmooth Impact Mechanics. London. U.K. : Springer-Verlag, 1996.

173. Brogliato B. Some perspectives on the analysis and control of complementary systems// IEEE Trans. Automat. Contr. V.48. 2003. N. 6. P. 918-935.

174. Brogliato В., Niculescu S., Orhant P. On the control of finite-dimensional mechanical systems with unilateral constraints// IEEE Trans. Automat. Contr. V.42. 1997. N. 2. P. 200-215.

175. Brunovsky P. A Classification of linear controllable systems//Kybernetika. 1970. V. 6. N.3.P. 173-188.

176. Celikovsky S., Nijmeijer H. Equivalence of nonlinear systems to triangular form: the singular case//Systems and Control Letters. 1996. V. 27. P. 135-144.

177. Celikovsky S., Nijmeijer H. On the relation between local controllability and stabilizability for a class of nonlinear systems// IEEE Trans. Automat. Contr. V. 42. 1997. N. 1. P. 90-94.

178. Chang A. An Algebraic characterization of controllability // IEEE Trans. Automat. Control. 1965. V. AC-10. N. 1. P. 112-113.

179. Chow W.L. Uber Systeme von linearen partiellen differentialgleichungen er-ster ordnung//Math. Ann. 1939.117. P.98-105.

180. Geering H. P., Guzella L., Hepner S.A.R., Onder С. H. Time-optimal motions of robots in assembley tasks // IEEE Trans. Autom. Contr. 1986. V. 31. N. 6. P. 512518.

181. Goodwine В., Burdick J.W. Controllability of kinematic control systems on stratified configuration spaces// IEEE Trans. Automat. Contr. V.46. 2001. N. 3. P. 358-368.

182. Haynes G.W., Hermes H. Nonlinear controllability via Lie theory // SIAM. J'. Control. 1970. V. 8. N. 4. P. 450-460.

183. Hermann R. On the Accessibility Problem in Control Theory//Internat. Symp. on nonlinear diff. equations and nonlinear mech. New York. Academic Press. 1963. P. 325-332.

184. Hermes H. Controllability and Singular Problem//SIAM J. Control. 1965. V. 3. N. 2. P. 241-260.

185. Jakubczyk В., Respondek W. On linearization of control systems//Bull. Acad. Sci. Polonaise Ser. Sci. Math. 1980. V. 28. P. 517-522.

186. Kang W. Bifurcation and normal form of nonlinear control systems. Part I and II // SIAM J. Control and Optimization. V. 36. 1998. N. 1. P. 193-232.

187. Khorasani K., Spong M.W. Invariant manifolds and their applications to robot manipulators with flexible joints/ЛЕЕЕ Int. Conf. Rob. And Autom. St. Louis. Mo. March. 25-28. 1985. Silver Spring. Md. 1984. P. 978-983.

188. La Salle J.P. Time Optimal Control Systems. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. V. 45. N. 1959.

189. Lobry С. Controlabilite des systemes non lineaires//SIAM J. Control. 1970. V. 8. N. 4. P. 573-605.

190. Lobry C. Controllability of Nonlinear Systems on Compact Manifolds//SIAM J. Control. 1974. V. 12. N. 1. P. 1-4.

191. Lukes D.L. Global controllability of nonlinear systems // SIAM. J. Control. 1972. V. 10. N. 1. P. 112-126.

192. Markus L. Controllability of nonlinear processes // SIAM. J. Control. 1965. V. 3. N. 3. pp. 78-90.

193. Menini L., Tornambe A. Asymptotic tracking of periodic trajectories for a simple mechanical system subject to nonsmooth impacts// IEEE Trans. Automat. Contr. V. 46. 2001. N.7. P. 1122-1126.

194. Miyazaki F., Arimoto S. Stability and robustness of some feedback control schemes for robot manipulators// Кэйсоку дзидо сэйге гаккай ромбунсю. 1985. №1. V. 21. pp. 78-83; М.: ВИНИТИ. Экспресс-информация. Робототехника. 1985. №40. С. 8-17.

195. Peiffer К., Savchenko A. Ya. On passive stabilization in critical cases // J. Math. Analysis and Applic. 244. P. 106-119.

196. Sato O., Shimojima H., Kitamura Y. Minimum-time control of a manipulator with two degrees of freedom // Bull. ISME. 1983. V. 26. N. 218. P. 1404-1410.

197. Seto D., Baillieul J. Control problems in super-articulated mechanical systems// IEEE Trans. Automat. Contr. V. 39.1994. N. 12. P. 2442-2453.

198. Shin K.G., McKay N.D. Minimum-time control of robotic manipulators with geometric path constrains // IEEE Trans. Autom. Contr. 1985. V. 30. N6. P. 531541.

199. Silverman L., Meadows H. Controllability and observability in time-variable linear systems // SIAM J. Control. 1967. V. 5. N. 1. P. 64-73.

200. Sontag E.D., Wang Y. New characterizations of input-to-state stability // IEEE. Trans. Autom. Contr. V. 41. 1996. N. 9. P. 1283-1294.

201. Stubberud A.A. Controllability criterion for class of linear systems//IEEE Trans. An Applications and Industry. 1964. V. 68. P. 411-413.

202. Sussmann H.J. A General theorem on local controllability//SIAM J. Control and Optimization. 1987. V. 25. N. 1. P. 158-194.

203. Sussmann H.J., Jurdjevic V. Controllability of nonlinear systems // J. Different. Equat. 1972. V. 12. N. 1. P. 95-116.

204. Tornambe A. Modeling and control of impact in mechanical systems: theory and experimental results// IEEE Trans. Automat. Contr. V.44. 1999. N. 2. P. 294309.