Безопасные зоны областей управляемости аффинно-управляемых динамических систем второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Стародубровская Наталья Сергеевна

БЕЗОПАСНЫЕ ЗОНЫ ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ АФФИННО-УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

З 'у!А,1 2072

Нижний Новгород 2012

005018919

Работа выполнена на кафедре численного и функционального анализа факультета вычислительной математики и кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Бутенина Наталия Николаевна.

Официальные оппоненты:

Ризниченко Галина Юрьевна, доктор физико-математических наук, профессор, МГУ им. М. В. Ломоносова, профессор.

Савельев Владимир Петрович, кандидат физико-математических наук, доцент, ННГУ им. Н. И. Лобачевского, доцент.

Ведущая организация:

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Защита состоится "iL" JLtfÄ.... 2012 г. в М.Ь. часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.06 при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, электронный адрес: http:// www.unn.ru.

Автореферат разослан ".Ш..Г¿W.J'JJÄ. 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.166.06 кандидат физ.-мат. наук, доцент

В. И. Лукьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Данная работа посвящена изучению областей управляемости и зон иммунитета (максимальных безопасных зон областей управляемости) нелинейных управляемых динамических систем (УДС) второго порядка с аффинным управлением. (Безопасной зоной области управляемости будем называть подмножество этой области, граница которого допустимыми траекториями пересекается только вовнутрь). Исследование зон иммунитета тесно связано с исследованием областей управляемости и достижимости и является необходимым элементом решения задач реализации тех либо иных стационарных режимов работы УДС.

Проблема изучения множеств управляемости и достижимости - одна из основных в теории управляемых динамических систем.

К настоящему времени достаточно полно разработана теория управляемости линейных систем. Р. Калманом введено понятие управляемости и получены критерии управляемости линейных систем с неограниченным управлением. Вопросы управляемости и достижимости линейных систем при наличии ограничений на управление рассматривались Н. Н. Красовским, Р. Габасовым и Ф. М. Кирилловой, А. М. Формальским, И. В. Гайшуном, Ю. М. Семеновым, А. И. Овсеевичем и Т. Ю. Фигуриной, С. Ф. Николаевым и Е. Л. Тонковым и другими.

Большое число работ посвящено изучению билинейных управляемых динамических систем. Указанные системы исследовались К. Лобри, С. В. Емельяновым, С. К. Коровиным и С. В. Никитиным, Н. Л. Лепе, А. Филипп, Ю. Л. Сачковым, Л. Т. Ащепковым и С. В. Лифантовой, Е. Н. Хайловым и другими авторами.

В работах по управляемости нелинейных систем отражено разнообразие как решаемых задач, так и применяемых методов. Вопросы локальной управляемости нелинейных систем рассматривались С. А. Вахрамеевым и А. В.

Сарычевым, В. И. Коробовым, Н. Н. Петровым, Г. В. Смирновым, Ю. В. Мастерковым, О. В. Зудашкиной, М. В. Юхановой и другими.

Одной из основных задач теории управляемых динамических систем является получение достаточных условий и критериев управляемости. Данные вопросы изучались в работах В. Н. Семенова, С. Гершвина и Д. Якобсона, Л. Ханта, С. В. Емельянова, С. К. Коровина и С. В. Никитина, Е. С. Пятницкого, О. Р. Каюмова, А. М. Ковалева, Ю. В. Мастеркова, А. П. Крищенко и других. В этих работах, в частности, доказаны критерии управляемости нелинейных систем с фазовыми ограничениями как при отсутствии, так и при наличии ограничений на управление, установлены достаточные условия полной и параметрической управляемости механических систем.

При невыполнении критериев управляемости возникает вопрос о построении (точном или приближенном) множеств управляемости и достижимости. Указанные множества аппроксимируют при помощи эллипсоидов и многогранников, оценивают с помощью функций Беллмана, Ляпунова, локально липшицевых оценочных функций, теоремы о накрытии нелинейным отображением и т.д. Оценки множеств управляемости и достижимости получены Дж. Лейтманом, В. А. Комаровым, Ф. Л. Черноусько, А. И. Овсеевичем, М. С. Никольским, М. М. Хрусталевым, В. Грантхамом, А. Плоховым и П. Бургмайером, А. И. Панасюком, Л. Т. Ащепковым и Д. В. Долгим, Е. К. Костоусовой, Д. Я. Рокитянским и многими другими авторами.

Кроме общетеоретических, имеется большое число работ, в которых исследуются частные виды управляемых динамических систем. Вопросы управляемости и достижимости таких систем рассматривались И. С. Максимовой и В. Н. Розовой, А. П. Крищенко и А. Н. Назаренко, В. И. Коробовым и С. С. Павличковым, Е. Н. Хайловым и Э. В. Григорьевой, И. В. Рублевым, Ю. Н. Корниловым и Ю. П. Петровым и другими. Исследование конкретных УДС, в частности, управляемых уравнений Ван-дер-Поля и Льенара, проведено в работах М. М. Байтмана, П. В. Плисса, Р. Конти,

Л. Барбанти, Г. Виллари, И. М. Ананьевского, Ф. Л. Черноусько, Ю. И. Бердышева и других.

Одной из важнейших задач теории управляемых динамических систем является изучение зависимости множества управляемости от параметра. Данная задача в различных постановках рассматривалась в работах многих авторов. Так, Н. К. Алексеевым, Н. Н. Петровым, Д. А. Степановой и другими исследована зависимость множеств управляемости как линейных, так и нелинейных систем от ограничений на управление, П. В. Плиссом, Р. М. Бианчини - от параметров рассматриваемых систем.

Среди разнообразных методов, используемых при изучении свойств управляемости и достижимости, следует выделить методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Указанные методы применялись в работах Д. Бюшау, Э. Роксина и В. Спинадела, Э. Б. Ли и Л. Маркуса, М. М. Байтмана, А. Г. Бутковского, В. П. Савельева, 3. Г. Павлючонок, Н. Н. Бутениной и других. В этих работах, в частности, исследованы составляющие элементы фазового портрета УДС, обоснован метод построения границ областей управляемости и достижимости простейшей нелинейной управляемой динамической системы второго порядка с ограниченным скалярным управлением. Также для двумерных нелинейных УДС общего вида с аффинным управлением изучена структура границы области управляемости, введено понятие зоны иммунитета фиксированного состояния, указаны достаточные условия существования и описана структура границы таких зон, исследована зависимость этих зон от ограничений на управление.

Отметим, что исследование вопросов управляемости и достижимости проводится как на ограниченных, так и на неограниченных промежутках времени. Данные вопросы на ограниченных интервалах времени рассматривались Н. Н. Красовским, А. П. Крищенко, Дж. Лейтманом, М. С. Никольским, Е. Н. Хайловым и Э. В. Григорьевой, И. В. Рублевым, Ю. И. Бердышевым и другими, а на неограниченных - Р. Калманом, А. М. Формальским, С. В. Емельяновым, С. К. Коровиным и С. В. Никитиным, В. И.

Коробовым, Е. С. Пятницким, Ф. Л. Черноусько, Н. К. Алексеевым, П. В. Плиссом, Э. Б. Ли и Л. Маркусом, М. М. Байтманом, А. Г. Бутковским и многими другими авторами.

Цель работы состоит в 1) разработке приемов качественного исследования управляемых динамических систем второго порядка с векторным управлением; 2) изучении вопроса о возможности управления объектом в многоцелевом режиме; 3) исследовании зависимости от ограничений на управление области управляемости в окрестность устойчивого неподвижного фокуса и зоны иммунитета этого состояния.

Методы исследования. При решении поставленных в диссертации задач использованы методы теории функций действительного переменного, обыкновенных дифференциальных уравнений, качественной теории двумерных автономных динамических систем, теории бифуркаций указанных систем, а также методы качественного исследования аффинно-управляемых динамических систем на плоскости.

Результаты работы и научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Разработана методика качественного исследования управляемых динамических систем второго порядка с векторным управлением.

2. В предположении, что автономная система, принадлежащая семейству двумерных аффинно-управляемых динамических систем, имеет несколько устойчивых предельных множеств, установлено необходимое и достаточное условие, при котором возможно управление объектом в каждое из указанных предельных множеств, а также перевод из одного предельного множества в другое.

3. Для нелинейной аффинно-управляемой динамической системы второго порядка со скалярным управлением, в которой автономные системы, отвечающие постоянным значениям управляющего воздействия, имеют устойчивый неподвижный фокус, доказано существование ограничений на управление, при которых значения управляющей функции в пространстве

параметров принадлежат области устойчивости рассматриваемого фокуса, но область управляемости в окрестность этого состояния равновесия не содержит безопасных зон.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы как в теории управляемых динамических систем, так и при исследовании конкретных УДС.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

• VI Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 1999);

• V и VI Международных конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 1999), (Н. Новгород, 2002);

• конференции "Математика и кибернетика 2002" (Н. Новгород, 2002);

• VII Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2002);

• Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - - XIV" (Воронеж, 2003), "Понтрягинские чтения - XX" (Воронеж, 2009);

• Международной конференции "Dynamics, Bifurcations and Chaos" (H. Новгород, 2005);

• Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего (Москва, 2009).

По теме диссертации были также сделаны доклады на семинарах кафедры ЧиФА факультета ВМК ННГУ (рук. проф. С. Н. Слугин, 2004; рук. проф. Д. В. Баландин, 2011).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 научных работах, в том числе 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикаций

материалов диссертаций. В работах, выполненных совместно с научным руководителем Н. Н: Бутениной, диссертантом проведены доказательства всех утверждений, исследованы конкретные УДС. Н. Н. Бутениной принадлежат постановки задач исследования и общее научное руководство.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 105 страниц, из них 74 страницы основного текста, 17 страниц рисунков и 14 страниц библиографического списка. Нумерация формул, лемм и теорем ведется по главам, при этом номер каждой формулы, леммы и теоремы состоит из двух частей, первая из которых означает номер главы, вторая - - порядковый

номер внутри главы. Для удобства чтения рисунки расположены в соответствии с текстом.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулированы основные результаты, кратко описан круг вопросов, рассмотренных в работе.

В первой главе диссертации приведены некоторые сведения из теории управляемых динамических систем второго порядка с гладкими по фазовым переменным правыми частями и со скалярным и векторным управлениями.

Во второй главе диссертации исследована управляемая динамическая

система второго порядка с непрерывной, кусочно-гладкой по фазовым

переменным правой частью, фазовыми ограничениями и векторным

управлением. Указанная система при некоторых конкретных управляющих

функциях является простейшей математической моделью сахарного диабета.

Рассматриваемая УДС имеет вид

(dx/dt = -a¡xy + a2(x0-x)H(дг0 -x)+z(t) ^^

\dyldt^bi{x-x„)H(x-x0)-b1y + w{t).

Здесь (х,у)е£1, и = {(л:,>0: 0 < ^ < , 0< у < у„„}; z(t), и(г) - внешние источники сахара и инсулина, и(/) = (г(г),и(г)) - допустимое управление, и(г)еУ, V =и,,г2]х х[н'1,»'2], где г, = »с, = 0. Точка О(х0,0) - устойчивое состояние равновесия системы (1) при и(0э(г,,и',) (г,и',- системы). В дальнейшем г, и и<, считаем параметрами УДС (1).

Система (1) исследована как при отсутствии, так и при наличии внешнего источника инсулина. Для рассматриваемой УДС изучена зависимость множества управляемости в полуокрестность состояния О и зоны иммунитета этого состояния от ограничений на управление и параметра , й, <(Ь2ут -и'2)/(хюк -х0). Показано, что при увеличении г2 или н>2 либо уменьшении />, зона иммунитета /(О) сжимается. Найдены критические значения 1) ограничений на управление и 2) параметра ьх, при переходе через которые указанная зона исчезает скачком. Этот результат может быть использован в доказательной медицине. Математически доказано, что максимальное безопасное количество введенного натощак сахара определяется индивидуально.

Отметим, что в УДС (1) существуют особые траектория и полутраектория сшитых систем одностороннего пересечения, отличные от тех, которые возможны в управляемых динамических системах с гладкими по фазовым переменным правыми частями. Такими являются сшитое состояние равновесия О г,^,- системы и положительная полутраектория сшитой системы положительного пересечения, выходящая при возрастании г из угловой точки О контактной кривой Ф (х,у,ч>1) = Ь2у--

Третья глава диссертации посвящена изучению вопроса о возможности управления объектом в многоцелевом режиме, а также решению этого вопроса для конкретной УДС.

Рассматривается управляемая динамическая система вида

Л/Л = Р0« + Х>,(0/>(*), (2)

где xeG^R2 (G - область), Pl(x) = (P<"(x),P:2>(x)), i = o7n, - вектор-функция класса Ck(k>3), и(г) = («, ('), ...,ujt)) - допустимое управление, u(t)e V, V ={(и,(0, -."„(О): и,™ <щ(1)<и™, ,=й}.

Предположим, что ограничения на управление таковы, что автономная динамическая система, отвечающая некоторому постоянному значению управляющего воздействия u(t) = и0, и0 = const, ы0 е V \ V0, где V0 = {(«!(/), •-■«„(')):«,(0 = «"'', = 1 v2, i = l,n}, структурно-устойчива и имеет г устойчивых предельных множеств £2,,..., Пг (г>2). Каждое из указанных предельных множеств соответствует определенному режиму работы УДС (2). Пусть целью управления является обеспечение работы системы (2) (объекта) в каждом из таких режимов, а также переход из одного режима в другой (многоцелевой режим управления). Множество управляемости в произвольную точку множества О, обозначим символом V(Q,), i = \,r.

Теорема 3.1. Управление объектом в многоцелевом режиме возможно тогда и только тогда, когда в системе (2) имеет место равенство U(Q;) = U0

а=Гг).

Рассмотрен следующий пример управляемой динамической системы:

Здесь и(0 = 0*(0,МО) - допустимое управление, м(/)е V, V = [Л,,Я2] х[//,,//,], где Л, > 0, //, > 0. Система (3) при постоянных значениях управляющего воздействия описывает движение самолета в вертикальной плоскости. В дальнейшем Л1, Л2, ^ и считаем параметрами УДС (3).

При определенных ограничениях на управление автономная динамическая система с цилиндрическим фазовым пространством, отвечающая постоянному значению управляющего воздействия = имеет два устойчивых

предельных множества, одно из которых (состояние равновесия О) соответствует равномерному прямолинейному движению, а другое (предельный цикл Ь, охватывающий цилиндр) - последовательности "мертвых 10

dpldt = 2р (Л(0 - ц(г)р - sin <р) dcp!dt = р-со$(р.

(3)

петель". Согласно теореме 3.1, управление движением самолета в двухцелевом режиме возможно в том и только в том случае, когда в системе (3) множества управляемости и (О) и U(L) совпадают, т.е. зоны иммунитета предельных множеств О и L пусты.

Для решения поставленной задачи исследована зависимость зоны иммунитета ¡(О) от ограничений на управление. При фиксированных Л,, Л, и ju2 найдено критическое значение //', сколь угодно малое уменьшение которого приводит к скачкообразному исчезновению 1(0). При //*-<?<//,<ц\, S>0, зона иммунитета l(L) также пуста и, следовательно, при указанных ограничениях на управление возможно движение самолета в режимах равномерного прямолинейного движения и "мертвых петель". Приведен пример управления, осуществляющего одно из таких движений.

В четвертой главе диссертации рассмотрено неподвижное состояние равновесия типа устойчивый фокус, расположенное в узловой особой точке контактной кривой, и исследована зависимость зоны иммунитета этого состояния от ограничений на управление.

Задана управляемая динамическая система вида

dxldt = Р(х)+u(i) Q(x), (4)

где xeR2, Р(х), Q(x) - вектор-функции класса Ск (к >5), u(t) {/?' —»/?'} -допустимое управление, т < u(t) < п.

Пусть при н(?) = /л fj = const, т<ц<п, система (4) (ц- система) имеет устойчивый фокус О, в котором Р(0) = Q(0) = 0 (неподвижное состояние равновесия). В этом случае точка О совпадает с особой точкой контактной кривой F(x) = del(P(x),Q(x)) = 0. Будем считать, что указанная особая точка является узловой и расположена в начале координат. Также будем предполагать выполненными следующие условия:

1) при fl,<fl<fl0 (n0<V<ti2) фокус О fj- системы устойчив (неустойчив), а при // = //„ состояние равновесия О ц- системы является сложным неустойчивым фокусом кратности 1;

2) в окрестности фокуса О траектории ц- системы ориентированы отрицательно (по часовой стрелке);

3) ограничения т и п на управление удовлетворяют неравенству р, <т<п<ц0.

Изучен характер состояния равновесия О каждой из сшитых систем одностороннего пересечения (тп- и пт- систем). (Сшитая тп(пт)- система -система (4) при u(t) = m(n) в F+, u(t) = n(m) в F~, m<u(¡)<n на кривой F(x) = 0;

- часть плоскости, в которой F(x)>0(F(x)<0)). При расширении промежутка [т,п\ векторное поле тп (пт) - системы вращается в отрицательном (положительном) направлении. Следовательно, при выбранной в окрестности точки О ориентации траекторий ц- системы состояние равновесия О тп-системы является устойчивым фокусом, а характер и устойчивость состояния равновесия пт - системы в зависимости от величины промежутка [т,п] могут быть различными. Для исследования характера состояния равновесия О пт-системы в некоторой окрестности точки О на одной из дуг контактной кривой, примыкающей к О, построена функция последования, определяемая траекториями этой системы. Установлено, что при определенных ограничениях на управление состояние равновесия О пт- системы является сшитым фокусом.

При дальнейшем изложении ограничения т и п, //, <m<n</J0, на управление будем считать параметрами УДС (4). При фиксированном т, < m<¿(0, исследована устойчивость сшитого фокуса О пт - системы.

Теорема 4.1. Для любого фиксированного т, ц,<т<ца, существует такое значение п = п, т<п <ца, что при пе(т,п ) сшитый фокус О пт-системы устойчив, а при ле(л',й] - неустойчив.

Заметим, что при обращении в нуль первой фокусной величины фокуса О пт- системы, как показали вычисления, одновременно обращается в нуль и вторая фокусная величина. Знак третьей фокусной величины (если эта величина отлична от нуля) определяет характер устойчивости сложного фокуса О пт-системы. 12

В дальнейшем будем предполагать, что 1) при п = п третья фокусная величина фокуса О пт- системы отлична от нуля; 2) сшитые тп- и пт-системы в достаточно малой окрестности точки О имеют конечное число замкнутых траекторий; 3) каждому бифуркационному значению параметра п соответствует лишь одна бифуркация особых траекторий УДС (4).

При фиксированном т, //„-<т<//0, ¿>0, исследована зависимость зоны иммунитета /(О) от параметра п.

Теорема 4.2. Пусть при ц = //„ состояние равновесия О ц- системы является сложным неустойчивым фокусом кратности 1. Тогда существуют такие ограничения т и п, //, < т < п < ¡иа, на управление, что при и{г)<= [т,п] множество [(О)/О = 0.

Отметим, что при условии положительной ориентации траекторий ц-системы в окрестности точки О с ростом параметра п при фиксированном т происходит смена устойчивости сшитого фокуса О тп - системы. Фокус О пт-системы при этом сохраняет устойчивость. Рассмотрим также случай, когда при /?,<//<//„ (р0</и<р2) фокус О ц- системы неустойчив (устойчив), а при ц = ца состояние равновесия О //- системы является сложным неустойчивым фокусом кратности 1. В этом случае при //„ <т<п<рг в зависимости от ориентации траекторий ц- системы в окрестности точки О с уменьшением параметра т при фиксированном п происходит смена устойчивости сшитого фокуса О тп- либо пт - системы.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикаций материалов диссертаций:

1. Стародубровская Н. С. Управление движением самолета в двухканальном режиме / Бутенина H. Н., Стародубровская Н. С. // Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 1(25). Н. Новгород. 2002. С. 202 - 210.

2. Стародубровская Н. С. Устойчивый неподвижный фокус и его зона иммунитета в управляемой динамической системе второго порядка / Бутенина H. Н„ Стародубровская Н. С. // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 11. С. 1468-1478.

Публикации в прочих изданиях:

1. Стародубровская Н. С. Области управляемости и зоны иммунитета в математической модели сахарного диабета / Бутенина H. Н., Стародубровская Н. С. // VI Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. Пущино. 1999. С. 48.

2. Стародубровская Н. С. Зоны иммунитета одной управляемой динамической системы с негладкой правой частью / Бутенина H. Н„ Стародубровская Н. С. II Математика. Компьютер. Образование. Вып. 6. Часть II. Сб. научных трудов / Под ред. Г. Ю. Ризниченко. М.: "Прогресс-Традиция". 1999. С. 478 - 484.

3. Стародубровская Н. С. Исследование одной управляемой динамической системы с векторным управлением / Стародубровская Н. С. // V Международная конференция "Нелинейные колебания механических систем". Тезисы докладов. Н. Новгород. 1999. С. 209 - 210.

4. Стародубровская Н. С. Применение методов качественного исследования управляемых динамических систем к математической модели сахарного диабета / Бутенина H. Н., Стародубровская Н. С. // Нелинейная динамика и

управление. Вып. 1: Сб. статей / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М.: Физматлит. 2001. С. 253 - 262.

5. Стародубровская Н. С. Исследование устойчивости сшитого фокуса, расположенного в узловой особой точке контактной кривой / Стародубровская Н. С. // Конференция "Математика и кибернетика 2002". Материалы конференции. Н. Новгород. 2002. С. 88 - - 89.

6. Стародубровская Н. С. Управление движением самолета в двухканалыюм режиме / Стародубровская Н. С. // VII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тезисы докладов. М.: Изд-во ИПУ РАН. 2002. С. 132 - 134.

7. Стародубровская Н. С. Собственные зоны и зоны суверенитета в области достижимости / Андреева М. С., Стародубровская Н. С. // VI Международная конференция "Нелинейные колебания механических систем". Тезисы докладов. Н. Новгород. 2002. С. 8 - 9.

8. Стародубровская Н. С. Об одной динамической системе с двухканальным управлением / Стародубровская Н. С. // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения - XIV". Тезисы докладов. Воронеж. 2003. С. 137- 138.

9. Starodubrovskaya N. S. Stable focus in the risk zone of the controllability set / Butenina N. N., Starodubrovskaya N. S. // Journal of Dynamical and Control Systems. 2004. V. 10. № 1. P. 107- 108.

10. Стародубровская H. С. Безопасные зоны управляемых динамических систем на плоскости / Бутенина H. Н., Стародубровская Н. С. // Международная конференция "Dynamics, Bifurcations and Chaos". Тезисы докладов. H. Новгород. 2005. С. 43 - 44.

11. Стародубровская Н. С. О бифуркациях, приводящих к исчезновению безопасных зон в областях управляемости / Стародубровская Н. С. // Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ

академика В. А. Садовничего. Материалы конференции. Москва. 2009. С. 215.

12. Стародубровская Н. С. Устойчивый неподвижный фокус в зоне риска области управляемости / Стародубровская Н. С. // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения - XX". Тезисы докладов. Воронеж. 2009. С. 171 - 172.

Подписано в печать 06.04.2012. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1. Заказ № 208. Тираж 100.

Отпечатано в Центре цифровой печати Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

61 12-1/1002

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи

Стародубровская Наталья Сергеевна ь^

БЕЗОПАСНЫЕ ЗОНЫ ОБЛАСТЕЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ АФФИННО-УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Специальность 01.01.02. - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент Бутенина Н. Н.

Нижний Новгород 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

Введение 3

I. Некоторые сведения из теории управляемых динамических систем

второго порядка. 15

1.1. Основные определения. 15

1.2. Свойства контактной кривой и структура границ областей управляемости и зон иммунитета управляемых динамических систем со скалярным

управлением. 16

1.3. Управляемые динамические системы с векторным управлением. 21

II. Качественное исследование одной управляемой динамической системы с негладкой по фазовым переменным правой частью. 25

II. 1. Исследование управляемой динамической системы со скалярным

управлением. 26

II.2. Исследование управляемой динамической системы с векторным

управлением. 36

III. Многоцелевой режим управления в управляемых динамических

системах второго порядка. 53

III. 1. Структура границ множеств управляемости и зон иммунитета в зависимости от ограничений на управление. 54

III.2. Пример движения самолета, включающего равномерное прямолинейное движение и "мертвые петли". 67

IV. Устойчивый неподвижный фокус и его зона иммунитета

в управляемой динамической системе второго порядка. 69

IV. 1. Построение функции последования, определяемой траекториями сшитой системы. 69

IV.2. Исследование устойчивости сшитого фокуса. 84

Литература 92

ВВЕДЕНИЕ

При введении управляющего воздействия в ту или иную систему возникает вопрос о том, позволяет ли это управление переводить систему (объект) из одного режима работы в другой. Решение этого вопроса сводится к исследованию множества управляемости в заданное состояние, множества достижимости из заданного состояния и множества полной управляемости.

Проблема изучения множеств управляемости и достижимости является одной из основных в теории управляемых динамических систем.

К настоящему времени достаточно полно разработана теория управляемости линейных систем. Р. Калманом [1] введено понятие управляемости и получен ранговый критерий полной управляемости линейных стационарных систем dxl dt = Ах л- В и с неограниченным управлением, где х - вектор состояния системы, и - вектор управления. Критерий полной управляемости указанных систем, основанный на использовании ленточных матриц специальной структуры, представлен М. Ш. Мисрихановым [2]. Для линейных нестационарных систем dx / dt = A{t)x + Bit) и, u(t) неограничено, справедлив критерий Р. Калмана [1], применение которого требует знания фундаментальной матрицы решений системы dxl dt = A(t) х. Критерий управляемости, не требующий знания фундаментальной матрицы, предложен С. В. Емельяновым, И. А. Буровым и

B. Н. Кирилычевым [3].

Наличие ограничений на управление существенно влияет на свойство системы быть управляемой. Вопросы управляемости и достижимости в этом случае рассматривались H. Н. Красовским [4], Р. Габасовым и Ф. М. Кирилловой [5], А. М. Формальским [6, 7], И. В. Гайшуном [8], Ю. М. Семеновым [9, 10]. Отметим также следующие работы. В работе [11] исследована зависимость множества достижимости линейной нестационарной системы dxl dt = A(t)x + B(t) и, xe R", ueV cz Rm, с p- интегрируемым управлением от показателей p. M. Маурером [12] установлены некоторые свойства множества достижимости и получены необходимые и достаточные условия квазиуправляемости линейных нестационарных систем, правые части которых по переменной t имеют лишь разрывы первого рода. В работе А. И. Овсеевича и Т. Ю. Фигуриной [13] описано асимптотическое поведение областей достижимости как неустойчивых, так и включающих устойчивую подсистему линейных периодических управляемых систем.

C. Ф. Николаевым и Е. JI. Тонковым [14] в предположении докритичности линейной

нестационарной системы ёх/Ж = А (Ох + 6(/) и, хе Я", \ и | < 1, показано, что множество управляемости этой системы в расширенном фазовом пространстве представимо в виде объединения непересекающихся гладких многообразий понижающейся размерности.

В приведенных выше работах рассматривались лишь конечномерные линейные управляемые системы. Результаты по управляемости и квазиуправляемости бесконечномерных линейных систем как с конечномерным, так и с бесконечномерным управлениями содержатся в обзоре [15].

Большое число работ посвящено билинейным системам - системам вида ёх/Ж = (А + иВ)х. Указанные системы исследовались К. Лобри [16], С. В. Емельяновым, С. К. Коровиным и С. В. Никитиным [17, 18], Н. Л. Лепе [19] и А. Филипп [20]. Из более поздних отметим работы Ю. Л. Сачкова [21 - 24], Л. Т. Ащепкова и С. В. Лифантовой [25], Е. Н. Хайлова и В. Б. Домогатской [26], Е. Н. Хайлова [27, 28], М. В. Топунова [29]. Опишем некоторые из этих работ. В работе [21] установлены достаточные условия управляемости двумерных и трехмерных билинейных систем со скалярным управлением в положительном ортанте; в [22] в рассматриваемом ортанте получены условия положительной управляемости по Бутби некоторого класса двумерных билинейных систем с векторным управлением. В работе [25] показано, что выпуклость множества достижимости двумерной билинейной системы с векторным управлением зависит от положения начальной точки и длительности управления. При определенных предположениях в [26] построена аналитическая конечномерная параметризация моментами переключения управления множества управляемости билинейной системы с ограниченным по абсолютной величине скалярным управлением.

В работах по управляемости нелинейных систем отражено разнообразие как решаемых задач, так и применяемых методов.

Результаты по локальной управляемости нелинейных систем приведены в обзоре [30]; вопросы локальной управляемости рассматривались также в [31 - 42].

Одной из основных задач теории управляемых динамических систем является получение достаточных условий и критериев управляемости. Эти вопросы в отсутствии ограничений на управление рассматривались В. Н. Семеновым [43], С. Гершвиным и Д. Якобсоном [44], Л. Хантом [45]. С. В. Емельяновым, С. К. Коровиным, И. Г. Мамедовым и С. В. Никитиным [46] приведен критерий управляемости нелинейных систем при фазовых ограничениях. В работе [47] для двумерной нелинейной системы доказан критерий управляемости при наличии ограничений как на фазовые переменные, так и на управление. Е. С. Пятницким [48, 49] и О. Р. Каюмовым [50 - 52] получены

достаточные условия полной и параметрической управляемости механических систем. В. И. Матюхиным [53] установлен критерий управляемости механических систем при учете динамики управляющих приводов. В работе А. Ю. Федорова [54] для нелинейной системы указаны достаточные условия управляемости типа Калмана по линейному приближению исходной системы. А. М. Ковалевым в [55] приведен критерий управляемости нелинейных систем, сводящийся к проверке существования решений уравнений в частных производных типа уравнений Ляпунова в теории устойчивости и Леви-Чивиты в теории инвариантных многообразий; в [56] на основе метода ориентированных многообразий доказан критерий управляемости нелинейных систем по всем и части фазовых переменных. Ю. В. Мастерковым [57] введено понятие глобальной устойчивой управляемости нелинейной системы и указаны достаточные условия этого типа управляемости. В работе [58] для некоторого класса нелинейных нестационарных систем с аффинным управлением установлены достаточные условия устойчивой управляемости в критическом случае. Л. Л. Львовой [59] с помощью принципа неподвижной точки нелинейного оператора получены достаточные условия управляемости нелинейных систем, зависящих от параметра. Отметим также результаты В. Н. Брандина [60], А. П. Крищенко [61, 62], Е. В. Воскресенского и А. Ю. Павлова [63].

При невыполнении критериев управляемости возникает вопрос о построении (точном или приближенном) множеств управляемости и достижимости. При оценке этих множеств используются различные методы. В частности, Дж. Лейтман [64] указал на возможность оценки множеств достижимости с помощью функции Беллмана. Этот подход использован в работах [65 - 67]. В работе Ф. Л. Черноусько [68] множества достижимости линейных систем сколь угодно точно оцениваются с помощью пересечений и объединений эллипсоидов. Метод эллипсоидальных аппроксимаций используется в работах [69 - 76]; этот метод применяется и к некоторым нелинейным системам [68, 77, 78]. М. М. Хрусталевым [79] для сколь угодно точной двусторонней оценки множеств достижимости и управляемости использованы локально липшицевы оценочные функции. В. Грантхам [80], А. Плохов и П. Бургмайер [81], А. И. Панасюк [82] решают задачу оценки с помощью функций Ляпунова. Л. Т. Ащепковым и Д. В. Долгим [83], Е. К. Костоусовой [84] предложены методы построения аппроксимаций многогранниками множеств достижимости линейных систем. В. И. Коробовым [85] введена функция управляемости, играющая ту же роль, что и функция Ляпунова в теории устойчивости, и предложен метод построения функции управляемости для линейной системы с ограниченным управлением. Указанный метод использован в работах [86, 87].

М. С. Никольским [88] с помощью теоремы о накрытии нелинейным отображением установлена некоторая оценка изнутри множества достижимости нелинейного управляемого объекта. Оценки множеств достижимости и управляемости получены также в работах [89-94].

Основные результаты в теории управляемых динамических систем, полученные с помощью методов дифференциальной геометрии и топологии, содержатся в обзорах [95, 96, 30, 97]. Указанные методы используются также в работах А. П. Крищенко [98],

B. И. Елкина [99], X. Вонга [100], В. И. Краснощеченко и А. П. Крищенко [101], Н. Д. Егупова, Ю. И. Мышляева и др. [102]. Работы, основанные на теории слоений, рассмотрены в обзорах [18, 103]; методы этой теории применяются также в [104,105].

Кроме общетеоретических, имеется большое число работ, в которых исследуются частные виды управляемых динамических систем. Например, в работе И. С. Максимовой и В. Н. Розовой [106] получен ряд критериев управляемости для линейных систем dxldt - Ах + B(t)u, A = const, B(t) = Bl cos cot + B2 sincot, te[tQ,T], с управляющими воздействиями специального вида. Дж. Килем [107] рассмотрена область нуль-управляемости системы d2x/dt2 = f(x,dx/dt,u) в случае, когда функция f(x,dx/dt,u) не зависит от х либо dx/dt. В работе [108] изучены области управляемости системы d2у / dt2 + f(y,dy/dt) = g(y, dy / dt) и, g(y, dy / dt) Ф 0, для частного случая фазовых ограничений при отсутствии и наличии ограничений на управление. В. И. Коробовым и

C. С. Павличковым в [109] с помощью теоремы Брауэра о неподвижной точке доказана полная управляемость треугольных нестационарных систем с равномерно ограниченными возмущениями в классе непрерывных управлений; в [110] приведены достаточные условия существования решения задачи полной управляемости, непрерывно зависящего от начального и конечного состояний, для класса треугольных нелинеаризуемых систем. При определенных предположениях Е. Н. Хайловым и Э. В. Григорьевой [111, 112] исследованы множество достижимости нелинейной двумерной системы dx/dt = Ах + иср (x) b + d с ограниченным скалярным управлением и некоторые свойства этого множества. В работе [113] дано полное описание класса треугольных управляемых систем, отображающихся на линейные лишь с помощью замены переменных, и установлены условия полной управляемости систем этого класса. И. В. Рублевым [114, 115] получены некоторые свойства множества достижимости каскадной управляемой системы с эллипсоидальными ограничениями на управление, а также построено в аналитическом виде множество достижимости трехмерной системы указанного вида. Ю. Н. Корниловым и Ю. П. Петровым [116, 117] для линейных и некоторых нелинейных

двумерных систем предлагается регулятор, с помощью которого реализуется область управляемости.

Большое число работ посвящено изучению конкретных управляемых динамических систем Д. Бюшау [118] первым построил области управляемости линейной двумерной системы с постоянными коэффициентами. Из нелинейных задач наиболее полно изучена задача об области управляемости уравнения Ван-дер-Поля с ограниченным управлением

| и(0 \ <а [119 - 123]. Выяснилось, что при 0 <а <а область нуль-управляемости

этого уравнения ограничена, а при а > а - совпадает со всей фазовой плоскостью. В работах [124, 125] исследуется управляемость уравнения Льенара в зависимости от ограничений на управление. К. Лобри [16] рассмотрены вопросы управляемости в задаче о вращении твердого тела вокруг центра масс. И. М. Ананьевским [126 - 128] и Ф. Л. Черноусько [129] решается задача приведения механических систем посредством ограниченного управления в заданное состояние как за фиксированное, так и нефиксированное время. В работе [130] построены способы управления движением плоского многозвенника как целого на горизонтальной плоскости в заданном направлении. А. Мариго и А. Бикчи [131] исследуются вопросы управляемости и достижимости механических систем двух тел с регулярными твердыми поверхностями, вращающихся одно на другом. Ю. И. Бердышевым [132] предложен алгоритм построения области достижимости к фиксированному моменту времени для нелинейной системы третьего порядка, описывающей движение автомобиля в горизонтальной плоскости, при условии предварительного сближения с наперед заданной точкой. Исследование управляемости и достижимости механических систем проведено также в работах [133 -- 135].

Одной из важнейших задач теории управляемых динамических систем является изучение зависимости множества управляемости от параметра. Данная задача в той или иной форме рассматривалась в работах многих авторов, в частности, в работах Н. К. Алексеева [136 - 138], Н. К. Алексеева и Н. С. Реттиева [139], Н. Н. Петрова и Н. К. Алексеева [140]. В этих работах введено понятие непрерывной зависимости множества управляемости системы йх/вх = /(х, и), хеЯ.", и е Я1", || и || < а, от параметра а ; установлено, что для линейных, симметричных и некоторых нелинейных систем указанная зависимость непрерывна. Также доказаны утверждение о существовании разрыва области управляемости диссипативной системы и теорема о существовании не более чем счетного числа разрывов в случае, когда функция /(х, и) является аналитической по х. В [141] изучена зависимость от параметра а области

управляемости уравнения Дюффинга в случае мягкой упругой характеристики и в отсутствии сопротивления. В работе [142] предложен метод численной оценки точек разрыва множества управляемости автоколебательной системы с управлением. Д. А. Степановой и Н. К. Алексеевым [143] качественно исследована непрерывная зависимость от параметра а множества управляемости системы сЬс! Л = у,

с1у /Л = х3 + ¿х + и(7), t € [О, Г], описывающей поведение пружины при наличии внешней силы. Зависимость множества управляемости системы йх/Л = /(х, и, Л), х е Я", | и \ < 1, Л = (Лх,...,Лк), к >2, от параметров Я,, ..., Лк изучалась в работах П. В. Плисса [144, 145], Р. М. Бианчини и П. В. Плисса [146]. В этих работах исследованы причины возникновения разрывной зависимости множества управляемости от параметров; также для некоторого класса нелинейных систем показано наличие кривой разрывов множества управляемости и проведена оценка этой кривой.

Отметим те работы, в которых исследование свойств управляемости и достижимости проводится с использованием методов качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Д. Бюшау [118] первым построил области управляемости линейной двумерной системы с постоянными коэффициентами и ограниченным скалярным управлением с помощью фазовых портретов автономных систем, соответствующих граничным значениям управления. Э. Роксин и В. Спинадел [147] изучали достижимые зоны управляемой динамической системы (УДС) со скалярным управлением, в частности, достижимые зоны двумерного нелинейного объекта й1х1(Мг +/(х, ёх/Ж) = и (Г) с односторонним ограничением на управление и(/) > 0. Э. Б. Ли и Л. Маркусом [148] исследованы области нуль-управляемости системы с12х1Ж2 +/(х, (}х!Ж) = /(х, <Ьс/&) € С1, /(0,0) = 0, с ограниченным управлением в некоторых частных случаях (когда неуправляемая система имеет единственное состояние равновесия). В работе М. М. Байтмана [149] выделены кривые, которые могут составлять границу области управляемости двумерной УДС с линейно входящим ограниченным скалярным управлением. На основе этой работы в [150] проведен анализ линий переключения на плоскости. А. Г. Бутковским [154, с. 136] поставлена задача построения качественной теории УДС. В работах [151 - 156] изучены составляющие элементы фазового портрета УДС. В. П. Савельевым [157] исследованы локальные свойства границы области управляемости локально-управляемой системы

с12х!Л2 +/(х, ск/&) = и (?) с кусочно-непрер