Канонические формы и подсистемы некоторых типов аффинных управляемых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

КОНОВАЛОВА Леонора Борисовна

КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ И ПОДСИСТЕМЫ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ АФФИННЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.09 - Математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена в Вычислительном центре РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Елкин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Г.Н.Яковенко, доктор физико-математических наук, профессор В.И.Цурков

Ведущая организация: Московский Государственный технический

университет им. Н.Э.Баумана

Защита диссертации состоится "_"_1998 г.

в час. мин. на заседании диссертационного совета К 063.91.03 при Московском физико-техническом институте по адресу:

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института.

Автореферат разослан "_"_1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

А.И.Самыловский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена проблеме редукции математических моделей сложных управляемых динамических процессов.

В настоящее время развитие исследований сложных управляемых динамических процессов приводит к созданию все более сложных математических моделей. Решение задач управления с использованием таких моделей вызывает много трудностей и требует больших затрат различных ресурсов, например, машинного времени. Поэтому возникает необходимость в редукции (упрощении) построенных математических моделей. Более простая модель должна, с одной стороны, о блегчить получение результата, а с другой стороны, продолжать отражать существенные качества объекта и процесса управления. Разработка адекватных методов редукции моделей сложных управляемых динамических процессов находится в центре внимания многих исследователей.

Одним из подходов к проблеме редукции математических моделей является подход, разрабатываемый в отделе ВЦ РАН под руководством Ю.Н.Павловского. Согласно этому подходу, исследуемая модель погружается в множество объектов той же структуры. С этими объектами связывается семейство их отображений друг в друга (морфиз-мов), сохраняющих свойства объектов, существенные для рассматриваемого круга задач. Множество объектов с заданными морфизмами образуют категорию. Редукция модели заключается в сопоставлении ей с помощью специальных морфизмов более простых или уже изученных моделей, представляющих собой изоморфные объекты, факто-робъекты и подобъекты исходной модели. Задача редукции состоит в нахождении этих специальных морфизмов и соответствующих им объектов.

Изоморфные или, как еще говорят, эквивалентные объекты имеют одинаковые свойства в рамках данной категории. Построение эквива-

лентной модели, имеющей более простой вид, позволяет свести задачу управления для исходной модели к более простой задаче для эквивалентной модели.

Подобъект представляет собой в известном смысле сужение структуры исходного объекта. Информация о части свойств исходной модели, предоставляемая подобъектом, может оказаться достаточной для решения той или иной задачи управления.

При факторизации упрощение достигается за счет перехода от исходной модели к агрегированной модели, оперирующей с укрупненными характеристиками — агрегатами. Информация, полученная при изучении фактормодели, используется для изучения исходной модели.

Рассмотренные методы редукции (построение эквивалентного объекта, подобъекта, фактор объекта) могут применяться для решения задач управления, связанных с моделями управляемых динамических процессов, совместно и в различной последовательности.

Важным типом математических моделей управляемых динамических процессов являются нелинейные управляемые системы вида

у = /0(у) + /(у)и, yeMcR", и е Rp. (1)

Такие системы называются аффинными. Основной характеристикой системы (1) является множество фаоовых траекторий. Под фазовой траекторией (называемой также решением) понимается функция y(t), для которой существует такое допустимое управление u(t), что y(i), u(t) удовлетворяют (1).

Системы вида (1) можно погружать в различные категории. Первые исследования по редукции аффинных систем велись в категории ASP, морфизмы которой определяются следующим образом. Рассмотрим наряду с системой (1) систему'

x=g0{x) + g(x)v, xeLcRm, veR*. (2)

Гладкое отображение ф фазового пространства М системы (1) в

фазовое пространство L системы (2) называется морфизмом системы (1) в систему (2), если р = s и для каждого решения y{t) системы (1), соответствующего некоторому управлению u(f), функция x(t) = ip(y(t)) яаляется решением системы (2), соответствующим управлению v[t) = u[t). Изоморфизмами являются по существу замены переменных.

Возможности для редукции в категории ASP довольно ограничены. Эти возможности расширяются при использовании более общих морфизмов, т.е. при погружении рассматриваемых систем в более широкие категории.

Наиболее общей категорией аффинных управляемых систем является введенная В.И.Елкияым категория /IS, морфизмы в которой определяются как гладкие отображения фазовых пространств, переводящие решения в решения беэ априорного задания закона изменения управлений. Изучение редукции в этой категории представляет большой интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения.

Цель работы.

Развитие методов редукции аффинных управляемых систем на основе понятий эквивалентности и сужения в категории AS.

Научная новизна.

Исследование проблемы редукции аффинных систем в категории AS относится к новому перспективному направлению в теории управления.

В диссертации получен, ряд результатов по классификации управляемых систем. Найдены условия эквивалентности аффинной системы лине иной системе в терминах двойственных объектов. Разработаны методы построения так называемых почти тривиальных подсистем аффинных управляемых систем. Рассмотрена более широкая постановка задачи линеаризации аффинных систем по сравнению с теми, которые рассматривались ранее. Найдено решение этой задачи

для некоторых типов аффинных систем.

Все полученные результаты являются новыми.

Практическая: ценность работы.

Разработанные методы редукции аффинных управляемых систем позволяют упростить решение ряда задач управления, связанных с управляемыми системами. Как это осуществляется на практике, показало в работе на примере задачи терминального управления. Аналогичным образом развитые методы могут использоваться в задачах оптимального управления, инвариантности по возмущениям, автономности, идентификации и в других задачах.

Апробация работы и публикации.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах ВЦ РАН и научных конференциях МФТИ (1993-1996). Основное содержание диссертации опубликовано в 5 научных статьях.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы (51 наименование). Объем работы — 133 машинописные страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность работы в связи с важностью развития методов редукции математических моделей, используемых для изучения сложных управляемых динамических процессов. Излагаются основные принципы о бщего подхода к редукции управляемых систем, применяемого в работе. Дается краткое описание состояния исследований по редукции управляемых систем и содержания диссертации.

В главе 1 приводятся вспомогательные сведения из теории аффинных управляемых систем и дифференциальной геометрии.

В § 1 вводятся основные понятия, связанные с аффинными системами. Дается определение категории А5 аффинных управляемых систем,

в рамках которой ведется исследование проблемы редукции управляемых систем.

Объектами категории AS являются системы вида (1). Предполагается, что фазовое пространство М — область; /¿(у), а = 0,... ,р, i = 1,..., п, — гладкие функции; rank / (у) = const.

Морфнэмом ф системы (1) в систему (2) называется такое гладкое отображение ф : М -* L, что как только y{t) — решение (фазовая траектория) системы (1), то x(t) = ij)(y(t)) — решение системы (2).

Каждому морфизму ф системы (1) в систему (2) соответствует (неоднозначно) отображение Л : М х Rp -* Rs вида v = A0(j/) -f- \(y)u, обладающее следующим свойством: если y(t) —решение системы (1), соответствующее управлению u(t), то x{t) = ф{у(1)) — решение системы (2), соответствующее управлению v(t) — A(y(t),u(t)).

При изучении редукции в категории /15 эффективным инструментом исследования являются дифференциально-геометрическое понятие аффинного распределения и двойственное понятие i-кораспреде-ления. Объекты такого рода сопоставляются управляемым системам вида (1).

Аффинное распределение F, заданное на многообразии М с Rn, есть отображение, ставящее в соответствие каждой точке у е М аффинное подпространство векторов F(y) в касательном пространстве ТМУ многообразия М. Понятие аффинного распределения является обобщением хорошо известного понятия распределения: F является распределением, если F{y) — линейное подпространство для всех у е М с R".

Каждая аффинная управляемая система (1) порождает в фазовом пространстве М аффинное распределение

F: у еМ -* F(y) = fo(y) + span {fa{y), ar = 1,...,р] сТМу. С аффинным распределением F связываются распределения span F : у -» span {/«(г/), а = 0,...,р}, 5

LF : y-span{/Q(y), oe=l,...,p}.

Величина dimF(y) = dim Lp(y) называется рангом аффинного распределения F в точке у. Точка у называется регулярной точкой аффинного распределения F, еспм в некоторой окрестности точки у ранг F постоянен.

Характеристическим распределением аффинного распределения называется распределение CF, порождаемое такими векторными полями £ е Lf, что [£,17] € Lf, Vr) е F.

Производным рядом для аффинного распределения F называется последовательность аффинных распределений

F0 с Fic ... с Fi с ... (3)

В (3) F0 = F, а для I > 1 F, = £ + [F^F,^], где £ € F.

Аффинное распределение F, заданное в области М, называется диффеоморфным аффинному распределению G, заданному в области L, относительно диффеоморфизма к : М —> L, если к,\ F(y) = G(K(y)), Vy е М, где к»| — дифференциал отображения к в точке у, т.е. линейное отображение, определяемое матрицей Якоби ЦЗк/ЭуЦ.

Двойственный к аффинному распределению геометрический объект называется i-кораспределением. Если аффинное распределение задано в области М с R", то двойственное к нему i-кораспределение задается в области М х R1 с R"+1 и является кораспределением

К : (у,1) € М х Д1 I<(y,t) с Т*(М х

обладающим двумя свойствами. Первое свойство заключается в следующем:

dimii(y,i1)=dimA'(y>ta), VyeM, (4)

В силу (4) корректно определено кораспределение К в М:

у<=М-> {ш = !,...,ш„): и= (wi,...,wn+i) е A"(t/,i')},

где f — произвольное число из R1. Второе свойство, которому должно удовлетворять ¿-кораспределение, есть

dim K{y,t) = dimF(r/), Vy e M, VteR}.

Каждой аффинной системе (1) с ассоциированным аффинным распределением F соответствует i-кораспределение К = FL:

(У, 0 - . ,шп+1) е Т*(М х Rl\y t) : + wn+1 =0, g F(y)}.

Заметим, что кораспределение К является двойственным к распределению Lp-: 7i= (Lf)l.

Величина dim K(y,t) = dim i?(j/) называется рангом ¿-кораспреде-ления К в точке у. Так же, как для аффинных распределений, определяется понятие регулярной точки ¿-кораспредепения.

В окрестности регулярной точки t-кораспределение К может быть задано линейно несвязанной системой Пфаффа вида

w*=w»(y)dy4w*+,(y)di = 0, k = l,...,q, (5)

где q = dim К. Такого рода системы Пфаффа называются ¿-системами Пфаффа, t-система Пфаффа (о), порождающая регулярное (т.е. имеющее постоянный ранг) i-кораспределение К, называется базисной ¿-системой Пфаффа f-кораспределения К.

Для i-кораспределения К, которое порождается в М х R1 базисной ¿-системой Пфаффа (5), определено ¿-характеристическое кораспределение CtK, порождаемое в М системой Пфаффа

f = 0,

k = l,...,q, i = 1,... ,7г, l<j <ji<h<...<jq<n + l.

Здесь = дш^/ду* - диЬ/ду>, i,j = 1,..., n, = ду\ а ква-

дратные скобки означают, что произведено альтернирование по заключенным в них индексам. Если CtK — регулярное кораспределение, то оно является двойственным к распределению CF: CtK = (CF)X.

Производному ряду (3) соответствует двойственный производный ряд дня ¿-кораспределения К =

КоэК^.-.эКю..., ■ (7)

где К1 = (^)х- Если точка у — регулярная точка для каждого ¿-кораспределения К1 в (7), то в некоторой окрестности этой точки для некоторого 1 <п — 1 выполняется

К, = К1+1=К1+2 = ... (8)

Минимальное из чисел I, удовлетворяющих свойству (8), обозначается через N. Число N + 1 называется длиной двойственного производного ряда (7). Описывается алгоритм построения ряда (7) по базисной ¿-системе Пфаффа ¿-кораспределения К.

Кораспределению К ставится в соответствие производный ряд

ВоэВгэ.-.эВ^... (9)

Ряд (9) строится по базисной системе Пфаффа кораспределения Во = К аналогично ряду (7).

Гладкое отображение к : М х Д1 —» Ь х Я1 называется ¿-отображением, соответствующим отображению к : М X, если к = (к^ёщ). ¿-кораспредепение К, заданное в области М х Д1, называется ¿-диф-феоморфным ¿-кораспределению <3, заданному в области Ь х Д1, если к — диффеоморфизм и /с*|(У1<) <?(«(г/, ¿)) =К{у,£), У(у,<) еМхЛ1, где ^Ы) — линейное отображение, характеризуемое транспонированной матрицей Якоби ||Эк/сЬ|| , г = (у,*).

При исследовании вопросов редукции аффинных управляемых систем в некоторых случаях удобно использовать аппарат теории аффинных распределений, а в некоторых случаях — аппарат теории ¿-ко-распределений.

В § 2 излагаются элементы теории кораспределений и ¿-кораспреде-лений. В частности, приводятся сведения, касающиеся вида базисных

систем и ¿-систем Пфаффа, порождающих некоторые кораспределения и ¿-кораспределения. Эти сведения используются в главах 2 и 3.

В § 3 описывается классический алгоритм построения интегральных многообразий систем Пфаффа, на основе которого строится один из методов нахождения подобъектов (подсистем) аффинных управляемых систем в главе 3.

В главе 2 рассматриваются изоморфизмы или, иначе говоря, эквивалентность аффинных управляемых систем в категории АБ.

В § 1 приводятся основные определения и утверждения, касающиеся общих свойств эквивалентных систем.

Системы (1) и (2) называются эквивалентными, если существует такой диффеоморфизм гр : М -* Ь, что как только т/(£) — решение системы (1), то х{1) — — решение системы (2), и наоборот,

если х{£) — решение системы (2), то у(<) = ф~~1(х(1)) — решение системы (1).

Основные свойства управляемой системы, такие, как устойчивость, оптимальность решений, управляемость, сохраняются при переходе к эквивалентной системе. Если для системы (1) известна эквивалентная система более простого вида, то задачи управления, связанные с системой (1), сводятся к аналогичным задачам для более простой эквивалентной системы, и их решение может упроститься.

Справедливо утверждение: аффинные управляемые системы эквивалентны тогда и только тогда, когда их ассоциированные ¿-кораспределения ¿-диффеоморфны.

Из определения эквивалентности следует, что эквивалентные системы (1) и (2) при р = з могут быть получены одна из другой с помощью невырожденной замены управлений вида и = Ао(у) + Л(у)и и невырожденной замены фазовых переменных г = ф(у).

В § 2 рассматривается задача классификации аффинных систем, заключающаяся в описании аффинных систем с точностью до эквивалентности. Эта задача включает в себя установление критериев экви-

валентности двух систем, нахождение ¡замены фазовых координат и управлений, переводящей аффинную систему в эквивалентную ей систему, а также построение канонических форм — наиболее простых представителей классов эквивалентности. Если задача классификации решена, то исследование свойств управляемых систем сводится к изучению свойств канонических форм.

При исследовании вопроса о классификации важную роль играют инварианты системы (1), т.е. величины, не меняющиеся при переходе к эквивалейтной системе. В качестве таких инвариантов в работе используются ранги некоторых ¿-кораспределений и кораспределений, сопоставляемых системе (1), в частности, ранги объектов, составляющих производные ряды (7), (9).

Приводятся результаты по классификации аффинных управляемых систем, характеризующихся равенством dim.fi = 2. Эти результаты носят локальный характер в окрестностях регулярных точек членов производных рядов (7), (9) и некоторых других кораспределений.

Аффинная управляемая система (1), для которой &т1с' = сНтЛ'1 =2, эквивалентна одной из следующих систем

Аффинная система (1), для которой <Ит.К = 2, сИтК\ = сНтК? = 1, эквивалентна одной из следующих систем

¿> =0, х2 = 0,

¿; = V», ^ = з,... ,п,

X1 =0, ¿2 = 1,

аг1 =0,

х1 = и1, г = 2,... ,п - 1, хп = + ...-+- хиии+1,

х1 = 0,

х1 = V', г = 2,... ,п - 1, хп = а;"-1,

' ¿»=0,

1 х' = V', г = 2,... ,п - 1, хп = 1 + Л3 +... + Х2кУи+1,

' х1 =0,

• ¿' = у', г = 2,... ,п -1, х" = я;"-1 + х2«3 + ... + х2>ь2'+1,

X1 =1,

х' = у', г —2, ...,п — 1,

ж1 = 1,

х' = у', г = 2,... ,п- 1,

¿п _ хп-1 + + . .. 4-

¿'=1,

¿' = г = 2,... ,п -1, х" = Я (г) + х2г<3 +.. • + х2*и"+1,

где Я(х) = Я(х1,г2,...,а;2*+1,хп) — произвольная функция; к^ = = 1,..., (тг -3)/2, если п нечетно; к = 1,..., (п - 2)/2, если и четно; 7 = 1,... ,(п - 4)/2, если п четно, тг > 6.

Заметим, что в последнюю из указанных систем входит произвольная функция. Эта система называется приведенной формой в отличие от остальных систем, которые трактуются как канонические формы. Системы с различными Я могут быть эквивалентными, и в то же время имеется бесконечное число неэквивалентных систем. Факт эквивалентности систем с различными Я (или отсутствие его) может быть проверен алгебраическими вычислениями.

Система (1), для которой ИтК=2, сНтК\ = 1, с1ппЛ'2 = 0, эквивалентна одной из следующих систем

х2 = i3,

¿' = V*, 1 = 3,.. х1 = 1 -Ьх21>3,

х2 = х4и3,

х< =и*, 1 = 3,..

£' = у', г = 3,... ,п, х1 = 1 + х2и3, х2 = Н(х)у3, х* = и', г = 3,...,п,

где Я(х) = Я(х*, х2, х3) — произвольная функция, причем дН/дх1 ^ 0.

Система (1), для которой сИтАГ = 2, сИт/^ = 0, Лип.В\ = 2, эквивалентна системе

х1 = х3, х2 = х4,

х1 = V*, 1 = 3 ,...,п.

Система (1), для которой д\шК=2, (йпЛТрО, (1ш1.В1=с1кп.В2:=1> эквивалентна одной из следующих систем

¿1 = х2,

X' = г = 2,..., га- 1,

X" = Я(х) + х3и4 + ...+Х2*

X1 = х2,

X' = «•', г = 2,..., п-1,

х" = 1}(х) + х3ь4 + ...+ + х2>+1уЪ+2,

х' = у', г = 2,... ,п -1,

Л.П .— гг>п— 1

хп-\ + ХЪУА + _ _ + x2J-lг^2i + и^х)^41,

¿»' = и', г = 2,... ,п - 1,

Хп = X"-1 + Х3Ь4 + .. . + Х2г_1112г + х2г+1к2г+2,

где Н(х) = Н(х\...,хи+1,хп), С(х) = С(х1,...,х"+1,хп), Щх) = Щх\ . ..,х2;+2,х"), \¥(х) = ^(х1,. ..,х2*+1,а:п) — произвольные функции, причем сХ?/<9х2 0; к = 1,... ,(п - 2)/2, если п четно, п > 4; к,] = = 1,..., (п - 3)/2, если п нечетно, п > 5; 7,г = 1,... ,(п- 4)/2, если п четно, п > 6; г = 1,..., (л - 5)/2, если га нечетно, п > 7.

Аффинная система (1), для которой {1т/<"=2, сИт/^^О, сИтВ1 = 1, сПт.В2=0, эквивалентна одной из следующих систем

X1 = х2и3, х2 = Н(х) + х4и3, х' = V', г = 3,.. .,п,

г2 — «.5

ха + х4у3,

х1 = 1 + х2и3, х2 = Я(х)+х4!;3, х' — V', г = 3,. ..,тг,

х1 = х4 -Ьх2и3, ¿2 = Я(х)+С(х)и3, х1' = г)', г = 3,.. .,тг,

х' = и', г = 3,.. .,п, х1 = 1 + х2г>3, х2 = х5 + х4и3, х' = V', г = 3,... ,п, x1 = х4 + х21>3,

х2 = х5 + <?(х)и3, х' = и', г = 3,... ,п,

X1 — X2

X1 = X4 +X2V3,

x1 = W(x) + хьуг, x' = v', i = 3,. . .,n,

X1 = X4 + X2V3,

x2 = x6 +a;5u3, x' = v', г = 3,... ,n,

где Н(х) = Н{х\...,х4), = в(х1,...,х4), \У{х) = 1У{х\..., х5) — произвольные функции, причем дв/дх4 0.

Вопрос о том, какой из указанных систем эквивалентна данная управляемая система (1), решается алгебраическими средствами путем подсчета некоторых инвариантов. Для того, чтобы найти замену фазовых переменных, осуществляющую преобразование системы (1) к ее канонической (приведенной) форме, необходимо решить некоторые системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В § 3 рассматривается вопрос об эквивалентности аффинной системы (1) линейной системе

z=Az+Bu>, zeNcRn, w е Rp, удовлетворяющей условию управляемости Калмана rank II В АВ ... Ап~1В\\ = п.

(10)

(11)

Как известно, система (10), для которой выполняется условие (11), невырожденной заменой фазовых переменных х — С г и управлений V = Ш + может быть приведена к системе вида

х\ = xl, х\ =

0»2 -- |V|2 /у»2 ««_» т2

Х1 — x2i х2 — хЗу

1 _ „2

Xi2-\ — X

*2> Xk- = V

2 2 2

(12)

xl ■

hi = rV

£r\ — X

3>

-I — X

xl =vP,

х = (х\,х1,...,х\1,х1...,х12,...,хр1,...,хркг)еЬс В.п, у е к1>к2>...>кр>0. называемой канонической формой Бруновского. Поэтому вопрос об эквивалентности системы (1) линейной системе (10) сводится к во-

р

просу об эквивалентности рассматриваемой системы канонической форме Бруновского (12).

Выводятся необходимые и достаточные условия эквивалентности системы (1) канонической форме (12) в терминах двойственных объектов (¿-кораспределсшш и кораспределений), сопоставляемых системе (1).

Аффинная управляемая система (1) с ассоциированным ¿-кораспре-делением К эквивалентна в некоторой окрестности точки г/о е М линейной системе (12) тогда и только тогда, когда:

1) точка 2/о — регулярная точка всех ¿-кораспределений составляющих двойственный производный ряд (7);

2) К/1/ является нулевым ^-хораспределением (Аг +1 — длина двойственного производного ряда);

3) А"/, / = 0,..., N - 1, являются вполне интегрируемыми кораспре-делениями.

Канонический вид системы (1), удовлетворяющей условиям 1) - 3), определяется значениями инвариантов к 1, ..., кр, которые вычисляются алгебраически по рангам членов двойственного производного ряда (7).

Описывается алгоритм приведения линеаризуемой системы (1) к каноническому виду. Пусть система (1) эквивалентна канонической форме (12), причем т\, ..., га — попарно различные индексы среди к\, ..., кр, а VI, ..., V, — кратности индексов г15 ..., г3 соответственно. Тогда для определения замены фазовых переменных, соответствующей переходу к канонической форме, помимо алгебраических операций требуется последовательно проинтегрировать I вполне интегрируемых систем Пфаффа рангов и\,..., V/ соответственно, где 1 = тах г. Закон преобразования управлений находится алгебраически.

Установлена связь полученных условий линеаризуемости с известными аналогичными условиями в терминах векторных полей и распределений.

При изучении вопроса о приведении аффинной управляемой системы к виду (12) условия линеаризации в двойственной форме удобно использовать при большом количестве управлений, когда ранг ассоциированного с системой i-кораспределения К меньше ранга аффинного распределения F = Эти условия оказываются также полезными при построении линейных подсистем аффинных систем.

В главе 3 изучаются подо бъекты (подсистемы) аффинных управляемых систем в категории AS.

В § 1 формулируются основные понятия, приводятся общие сведения о подсистемах аффинных систем.

Система (2) называется подсистемой системы (1), если существует морфиом гр системы (2) в систему (1), представляющий собой инъек-тивное отображение L -* М, причем пара (Ь,ф) является картой некоторого m-мерного многообразия N, лежащего в М (т.е. множество N = гр(Ь) является многообразием).

Подсистему можно трактовать как систему, заданную на многообразии N.

Значение понятия подсистемы заключается в том, что нахождение части фазовых траекторий исходной системы, лежащих на многообразии N, сводится к нахождению решений подсистемы, заданной на многообразии N. Так как подсистема является, вообще говоря, более простой системой, чем исходная система, то построение подсистем может упростить решение задач управления, связанных с системой (1).

Справедливо утверждение: на многообразии N существует подсистема системы (1) тогда и только тогда, когда на N существует такое регулярное аффинное распределение А, что А(у) с F(y), Vy е N.

В § 2 рассматривается один из типов подсистем аффинных систем, а именно, подсистемы, называемые почти тривиальными. Подсистема (2) называется почти тривиальной, если

rank = m' ;:::!? = m-l, Vz e L.

Важным свойством почти тривиальных подсистем является то, что, как известно, каждая такая подсистема эквивалентна одной из канонических форм, составляющих конечный набор.

Справедливо утверждение: на многообразии N существует почти тривиальная подсистема системы (1) тогда и только тогда, когда N является интегральным многообразием распределения spanF и не является интегральным многообразием распределения Lp, т.е.

IWjCspanFfo), TNy£LF(y), VyeN. (13)

Многообразия N, для которых выполняется (13), называются почти интегральными многообразиями аффинного распределения F. Таким образом, вопрос о существовании и построении почти тривиальных подсистем системы (1) сводится к вопросу о существовании и построении почти интегральных многообразий ассоциированного с системой (1) аффинного распределения F.

Предлагаются два метода построения почти интегральных многообразий. В первом из этих методов используется классический алгоритм построения интегральных многообразий систем Пфаффа.

Пусть кораспределение (span/1)"1" порождается системой Пфаффа

ык — uik(y)dy' = 0, А = 1,...,д-1, (14)

а кораспределение /i=(Lf)x D(spanF)'L порождается системой Пфаффа

ик = ик(у)с1у' = 0, k = l,...,q. (15)

Для построения почти интегрального многообразия, т.е. интегрального многообразия системы Пфаффа (14), не являющегося интегральным многообразием системы Пфаффа (15), следует построить продолжение системы Пфаффа (14). Пусть N — m-мерное почти интегральное многообразие вида уi = ф>(у1,... ,ут), j = т+ 1,... ,п. В каждой точке у б N пространство TNy строится на линейно независимых

векторах (,-, г = 1,..., т, удовлетворяющих условиям

«*(&) = 0, = г',;' = 1 ,...,т, к= 1,...,?-1,

(17)

При переходе в продолженное пространство системы Пфаффа (14) соотношения (16) приводят к системе Пфаффа вида

¿У> = 9{{у,2)йух+... + 9иу,г)йут, ]=т+\,...,п, (18)

Задача построения почти интегрального многообразия N сводится к задаче построения интегрального многообразия системы Пфаффа (18), на котором соблюдаются уравнения (19) и неравенство (20).

Таким образом, для нахождения т-мерного почти интегрального многообразия требуется решить то систем уравнений в частных производных первого порядка. Соотношения (19), (20) означают некоторые условия на начальные функции.

Второй метод построения почти интегральных многообразий аффинного распределения представляет собой некоторую редукцию первого.

Доказывается, что если для распределения И с Ьр и векторного поля £ е ^ выполняется условие

то из интегрального многообразия М' распределения И можно с помощью однопараметрической группы диффеоморфизмов, порождаемой полем получить почти интегральное многообразие N аффинного распределения Р. Точнее, если 2 е Я1, — диффеоморфизмы

(19)

(20)

[£,£] с 5Рап {£+£>},

(21)

М —> М однопараметрической группы, соответствующей полю то многообразие вида э^И') (локально) является почти интегральным многообразием.

При этом для построения т-мерного почти интегрального многообразия N требуется решить т - 1 систему уравнений в частных производных первого порядка и одну систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому если известны векторное поле £ е ^ и распределение В с Ьр со свойством (21), то процесс построения почти интегральных многообразий упрощается.

Рассматриваются способы нахождения векторного поля £ е Е и распределения Б с Ьр, удовлетворяющих (21). В частности, если существует поле такое, что с эрап/1 (т.е. Б = Ьр), то это поле можно найти алгебраически.

В § 3 исследуется вопрос о построении линейных подсистем аффинной системы (1), удовлетворяющих условию Калмана, т.е. подсистем, приводимых к каноническому виду (12).

Значение линейных подсистем заключается в том, что с одной стороны такие подсистемы имеют достаточно богатую структуру, чтобы с их помощью можно было решать задачи управления, связанные с исходной системой, а с другой стороны линейные подсистемы имеют довольно простой вид, и многие задачи управления для них являются решенными.

Рассматриваются такие подсистемы (2) системы (1), размерность, фазового пространства которых совпадает с размерностью фазового пространства исходной системы, т.е. т = п. Такие подсистемы получаются из системы (1) невырожденной заменой фазовых переменных у = ф(х) и, вообще говоря, вырожденной заменой управлений

« =-Мг/) +-Чу)"-

Пусть ассоциированное ¿-кораспределение К системы (1) порождается линейно несвязанной системой Пфаффа (5). Для существования линейной подсистемы системы (1) необходимо и достаточно, чтобы

существовало такое i-кораспределенпе S, которое содержит К и которое соответствует аффинной системе, эквивалентной линейной системе. Очевидно, что система Пфаффа, порождающая такое i-кораспреде-ление S, состоит из уравнений (5) и еще некоторого числа уравнений Пфаффа. Поэтому задача сводится к определению неизвестных уравнений Пфаффа с тем расчетом, чтобы для двойственного производного ряда i-кораспределения S выполнялись условия эквивалентности линейной системе, полученные в § 3 главы 2.

Данный подход применяется к построению линейных подсистем аффинных систем, характеризующихся равенством dim К = 2. Для указанных аффинных управляемых систем доказываются условия существования линейных подсистем, удовлетворяющих условию управляемости Калмана. Результаты носят локальный характер в окрестностях точек, регулярных для некоторых кораспределешш, связанных с системой (1).

У аффинной системы (1), для которой dim К = dim I\\ = 2 или dim А' = 2, dimA'i = dim К2 = 1, нет линейных подсистем, удовлетворяющих условию Калмана.

Аффинная управляемая система (1), для которой не выполняются условия эквивалентности линейной системе и dim А' = 2, dimA'i = 1, dimA'2 = 0, имеет линейную подсистему, удовлетворяющую условию Калмана, тогда и только тогда, когда ранг характеристического ко-распределения С К равен 4. Если линейная подсистема рассматриваемой системы имеет ассоциированное i-кораспределение ранга 3, то эта подсистема приводится к каноническому виду

¿1=^2, ¿2 = zh Н = z\: ¿4 = Ш1,

z\ = w\ i = 2, . .. , П - 3.

У каждой аффинной системы (1), характеризующейся равенствами dim А' = 2, dimA'i — 0, dim В\ = dimB2 = 1, есть линейная подсистема, удовлетворяющая условию Калмана и имеющая ассоциированное

i-кораспределение ранга / = (г + 2)/2, где г = dim С Л". Линейных подсистем с ассоциированным f-кораспределением меньшего ранга у таких систем не существует.

Если для системы (1) dim/i = 2, dim А [ = 0, dim 13 ^ = 1, dim В2 О, dimCiQi = 3 (где Qi —такое i-кораспределение, что Q\с А' и Qi = B\), то у этой системы существует линейная подсистема, удовлетворяющая условию Калмана и имеющая ассоциированное i-кораспределение ранга 3.

Для рассмотренных типов аффинных систем вопрос о существовании линейных подсистем, удовлетворяющих условию управляемости Калмана, решается алгебраическими средствами путем вычисления некоторых инвариантов системы (1). Для построения какой-либо линейной подсистемы системы (1) необходимо решить некоторые системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В главе 4 рассматриваются возможности использования методов редукции, развитых в главах 2 и 3, для решения задачи терминального управления.

Задача терминального управления для аффинной управляемой системы (1) заключается в переводе заданной начальной точки у0 е М в заданную конечную точку у\ е М.

В § 1 показывается, как задача терминального управления для системы (1) может быть решена путем сведения ее к аналогичной задаче для канонической формы.

Пусть система (1) эквивалентна в категории AS системе (2), причем гр — соответствующий изоморфизм, являющийся диффеоморфизмом М на L. Задача терминального управления для системы (1) преобразуется в аналогичную задачу дня системы (2) по переводу точки Ч = Ф{У0) В ТОЧКУ 2! = ф(у{).

Если аффинная система (1) эквивалентна линейной системе вида (12), то после определения соответствующего изоморфизма задача терминального управления решается элементарными средствами.

Для рассмотренных в § 2 главы 2 типов аффинных систем задача терминального управления сводится к исследованию найденных канонических и приведенных форм, которые имеют довольно простой вид.

В § 2 показывается, как в задаче терминального управления могут использоваться линейные и почти тривиальные подсистемы.

Пусть система (2) является подсистемой аффинной системы (1), причем ф : Ь —» М — соответствующий морфизм, являющийся диффеоморфизмом Ь на N = ФЩ С М. Если уо, у\ е Лг, то задача терминального управления для системы (1) допускает сведение к аналогичной задаче для подсистемы (2) по переводу точки хо = ф~1(уо) в точку Я1 = ф~1(у\).

Если у системы (1) существует линейная подсистема, удовлетворяющая условию Калмана, то задача терминального управления сводится к такой же залаче для линейной системы. Для отыскания решения, проходящего через точки г/о? Уи нужно построить линеаризуемую подсистему системы (1) и привести ее некоторым диффеоморфизмом у = к(г) и невырожденной заменой управлений к своему каноническому виду. Затем нужно решить для полученной системы задачу терминального управления по переводу точки хо = к~1(у0) в точку £1 = к~1(у\). Переходя обратно к координатам у, получим фазовую траекторию у(1) системы (1), проходящую через точки у о, у\. Управление и(1), соответствующее этой траектории, определяется из уравнений (1).

Если через точки уо, у\ удалось провести почти интегральное многообразие N системы (1), то вопрос о терминальном управлении сводится к такому же вопросу для почти тривиальной подсистемы и полностью решается элементарными средствами.

выводы

1. Рассмотрена проблема эквивалентности аффинных управляемых систем (т.е. нелинейных систем вида у = fo(y) -I- f{y)u) в категории AS. Получена классификация аффинных систем, характеризуемых равенством rank/(j/) = п — 2, где п — размерность фазового пространства. Найдены наборы инвариантов, определяющих принадлежность управляемой системы тому или иному классу эквивалентности. Указан алгоритм преобразования аффинной системы к ее канонической (приведенной) форме.

2. Исследован вопрос об эквивалентности аффинной системы линейной системе, удовлетворяющей условию Калмана, в терминах двойственных объектов, сопоставляемых аффинным управляемым системам. Получены необходимые и достаточные условия линеаризации аффинной системы с помощью невырожденных замен фазовых переменных и управлений. Предложен алгоритм приведения линеаризуемой аффинной системы к канонической форме Бруновского.

3. Изучены некоторые типы подобъектов аффинных управляемых систем. Разработаны методы построения почти тривиальных подсистем аффинных систем. Показано, как свойства геометрических объектов, сопоставляемых аффинным системам, могут использоваться для упрощения процесса построения многообразий, на которых существуют почти тривиальные подсистемы.

4. Рассмотрен вопрос о построении линейных подсистем аффинных управляемых систем с помощью невырожденной замены фазовых переменных и вырожденной замены управлений. Это является более широкой постановкой задачи линеаризации по сравнению с рассматривавшимися ранее. Получены условия существования линейных подсистем нелинейных аффинных систем, характеризуемых равенством rank f(y) = n - 2. Указан алгоритм нахождения линейных подсистем.

5. В качестве наглядного приложения рассмотрена задача терминального управления, для которой, в случае нелинейных систем, от-

сутствуют регулярные методы решения. Показано, что эта задача может эффективно решаться с помощью развитых в работе методов редукции.

Основное содержание диссертации изложено в следующих опубликованных работах:

1. Коновалова Л.Б. О приведении аффинных управляемых систем к линейному виду // Проблемы математики в физико-технических и экономических задачах: Междувед. сб. М.: МФТИ. 1993. С. 75-89.

2. Елкин В.И., Коновалова Л.Б. Линейные подсистемы нелинейных управляемых систем // Моделирование процессов управления и обработки информации: Междувед. сб. М.: МФТИ. 1994. С. 152-168.

3. Коновалова Л.Б. О построении линейных подсистем аффинных управляемых систем // Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН, 1996. С. 20-36.

4. Коновалова Л.Б. Линейные подсистемы аффинных систем и задача терминального управления // Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики: Тез. докл. XXXIX конф. МФТИ (Долгопрудный, 29-30 ноября 1996 г.) М.: МФТИ, 1996. Вып.2. С. 108.

5. Коновалова Л.Б. О линейных подсистемах управляемых динамических систем // Управление большими системами: Материалы научно-практической конференции (Москва, 22-26 сентября 1997 г.) М.: СИНТЕГ, 1997. С. 312.