Трехмерные аффинные управляемые С-системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.

Г л а в а 1. Основные определения.

Г л а в а 2. Классификация трехмерных аффинных управляемых систем.

§ 2.1. Существующая классификация.

§ 2.2. Эквивалентные преобразования приведенной системы

§ 2.3. О-Системы и их классификация.

Г л а в а 3. Допускаемые алгебры канонических систем

§ 3.1. Трехмерные канонические системы.

§ 3.2. Приведенная система.

§ 3.3. С-Системы.

§ 3.4. Связь С-систем и Ьх-систем.

Г л а в а 4. Структуры допускаемых алгебр.

§ 4.1. Классификация трехмерных алгебр Ли.

§ 4.2. Структуры допускаемых алгебр Ли.

Г л а в а 5. Факторизация канонических систем

§ 5.1. Условия факторизации управляемых систем

§ 5.2. Факторизация приведенной системы.

§ 5.3. Факторизация на независимые уравнения.

§ 5.4. Факторизация канонических С-систем.

Г л а в а 6. Задача терминального управления.

§ 6.1. С-Системы класса (0,С2)+.

§ 6.2. С-Системы класса (Сь 0)+, Сх >

В математическом моделировании для описания сложных динамических процессов приходится применять все более сложные математические модели. На смену линейным управляемым динамическим системам где А я В — постоянные матрицы, все чаще приходят нелинейные управляемые динамические системы следующего вида:

Такие системы, правые части которых линейно зависят от управления, называются аффинными управляемыми системами. Настоящее исследование посвящено изучению трехмерных (п = 3) аффинных управляемых систем.

Современную прикладную науку, оперирующую с математическими моделями процессов, невозможно представить себе без преобразования этих моделей к некоторой другой математической форме. Основная цель, которая, как правило, при этом преследуется — упростить, в каком-то смысле, процесс получения решения.

По сути, процесс решения задачи можно представить последовательностью преобразований ее исходных данных в различные новые формы с целью получения окончательной формы, которая и даст ответ задачи. После преобразований возникает новый образ поставленной задачи, в котором становится более очевидной логика ее решения. у = Ау + Ви, УеМсШп, г

1) у = /оЫ + Яг/)«, yeNcRn, «еГ.

2)

Используемые преобразования математических моделей условно можно разделить на две группы.

К первой группе можно отнести преобразования, которые приводят исследуемую математическую модель к некоторой стандартной форме (к некоторому известному типу), для которого известны методы решений. В русле этого подхода лежит метод классификации математических объектов и поиск преобразований их к каноническим формам. Решающую роль здесь может сыграть запас уже изученных моделей и алгоритмов. Однако, не исключена ситуация, когда реальная исследуемая математическая модель не будет сводится ни к одному известному классу моделей. К задачам теории управления в рамках этого подхода значительный вклад внесен Бруновским П. [50], Херманом Р. [51], Кренером А.Дж. [54], Елки-ным В. И. [8, 9, 11, 15, 20], А. П. Крищенко [34], и другими исследователями.

Другим подходом к поиску процесса решения поставленной задачи является поиск таких преобразований, которые переводят математическую модель в себя, т. е. инвариантных преобразований или преобразований симметрии. Математические основы этого подхода были заложены еще в трудах норвежского математика Софуса Ли на основе введенного им понятия непрерывной группы преобразований [55, 56]. Цель, которая при этом ставится — поиск инвариантов моделей, т. е. величин не меняющихся при преобразованиях математических моделей. Инварианты определяют способность моделей к факторизации. В дальнейшем развитие этой теории привело к формированию научного направления „симметрического (группового) анализа математических моделей". В рамках этого направления к задачам управления указанный подход разработан Ю. Н. Павловским [36, 38, 39, 40], В. И. Елкиным [11, 14, 15], A.M. Канатниковым и А. П. Крищенко [33], Г.Н. Яковенко [47, 48], A. PL Кухтенко, В. Н. Семеновым и В. В. Удило-вым [35] и другими исследователями.

В данной работе, при исследовании трехмерных аффинных управляемых систем, были применены оба подхода, которые взаимно дополняют друг друга.

В процессе моделирования многомерных управляемых систем возникают проблемы как математического, так и вычислительного характера (так как объем вычислений сильно зависит от размерности задачи). В таких случаях к исходной математической модели применяют методы редукции, стремясь декомпозировать систему, т. е. разбить ее на независимые части (объекты) меньшей размерности (см. работы [15, 21, 37, 39, 43]).

Согласно подходу, разработанному школой Ю. Н. Павловского [39, 4, 44], для формального определения понятий редукции управляемую систему необходимо погрузить в категорию, одним из объектов которой является исходная модель. В рамках этой категории редукция основана на сопоставлении исходному объекту изоморфного объекта, факторобъекта и подобъек-та.

Для аффинных управляемых систем (2) наиболее удобной категорией является категория аффинных систем введенная в работе [15, с. 5]. Объектами этой категории являются системы вида (2), а морфизмы определяются следующим образом. Гладкое отображение х = ф(у) является морфизмом категории Л.с> системы (2) в систему

X = д0(х) + д(х)у, хе М СГ, и Е К®, (2') если из того, что — решение системы (2) при некотором управлении и{€) следует, что х{£) = ф(у(Ь)) — решение системы (2;) при каком-то управлении г>(£). Если морфизм ф является изоморфизмом, то системы (2) и (27) эквивалентны в категории ЛБ.

Редукция управляемой системы (2) к эквивалентной системе (2') (где т = п) целесообразна, если последняя имеет более простой или уже изученный вид. В частности, сложная нелинейная система может быть эквивалентна линейной системе. В этом случае нелинейность является „случайной чертой", которая стирается при переходе к эквивалентной системе.

Существенные свойства управляемых систем такие как управляемость, устойчивость, оптимальность решений сохраняются при переходе к эквивалентной системе.

При факторизации упрощение достигается за счет перехода с множества N на фактормножество N/R по некоторому отношению эквивалентности R. При таком переходе точки множества N, принадлежащие одному классу эквивалентности, склеиваются в одну точку множества М = N/R (см. например [11, 13, 15]). Факторизация является методологической основой для декомпозиции исходной системы на системы меньшей размерности.

В связи с изучением различных проблем дифференциально-геометрической теории аффинных управляемых систем возникли понятия С-системы и Li-системы. С-Системы были введены автором при исследовании классификации аффинных систем с трехмерным фазовым пространством [27], а при исследовании симметрий и декомпозиции аффинных систем В. И. Ел-киным были определены Li-системы [14]. Определения этих рассматриваемых систем, которые удобно сделать в терминах категории AS [15, с. 5], совершенно различны по форме. Однако, как будет показано в главе 3 данной работы, речь, по-существу, идет об одинаковых системах (для случая трехмерного фазового пространства). Точнее, трехмерные строго Li-систе-мы суть С-системы.

Обнаруженная автором, совместно с В. И. Елкиным [18], взаимосвязь С-систем и Li-систем, выражает взаимосвязь проблем классификации, существования симметрий и декомпозиций для управляемых систем и позволяет продвинуться в понимании этих сложных проблем.

Актуальность исследования трехмерных аффинных управляемых систем. Трехмерные аффинные управляемые системы часто возникают в результате декомпозиции управляемых систем большой размерности на независимые блоки. Также трехмерные управляемые системы возникают в механике при изучении движения управляемой материальной точки в трехмерном пространстве.

Для аффинных управляемых систем, даже малой размерности, решение многих классических задач теории управления (исследование управляемости, синтез терминального управления, поиск оптимального управления, решение задачи стабилизации и др.) наталкивается на препятствия, не позволяющие получить их точное решение. В таких случаях применяют методы редукции, с целью приведения управляемой системы к более простой форме, для которой решение уже известно. Затем с помощью обратного преобразования решение переносится в исходную систему. В связи с изложенным, представляется актуальной проблема нахождения таких простых форм, изучение их свойств и разработка для них алгоритмов решения задач теории управления. В качестве простых форм управляемых систем могут служить канонические формы или различные виды приведенных форм.

Уже трехмерные аффинные управляемые системы оказываются довольно сложным объектом. Среди них появляются существенно нелинейные системы, т. е. неэквивалентные линейным, которые мало изучались ранее. Поэтому их исследование представляет интерес для понимания природы нелинейных управляемых систем.

Целью работы является детальное изучение трехмерных аффинных управляемых систем в плане приведения их к наиболее простому виду. Особое внимание уделено анализу раннее малоизученного типа трехмерных систем: приведенных систем, их классификации.

Методы исследования. В диссертации использовалась дифференциально-геометрическая теория аффинных распределений и двойственных объектов ¿-кораспределений в теории управления [15], теория систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковой главной частью [7], методы группового анализа и алгебры Ли [3, 25, 46].

Основные результаты работы. При исследованиях по теме диссертации получены следующие основные результаты: среди приведенных систем выделен новый тип управляемых систем — С-системы, для которого проведена классификация и найдены соответствующие канонические формы; для всех трехмерных канонических систем найдены допускаемые алгебры Ли, а для конечномерных алгебр Ли установлена их структура; доказана теорема о конечномерности допускаемой алгебры Ли для приведенных систем, а для С-систем доказана теорема о трехмерности допускаемой алгебры; установлена, совместно с В. И. Елкиным, связь между строго Ь\-системами и С-системами; определены необходимые условия локальной эквивалентности двух произвольных приведенных систем; проанализированы условия факторизации приведенной управляемой системы и проведена факторизация канонических С-систем; проанализированы условия решения задачи терминального управления для С-систем и, в качестве примера, решена задача для одного типа С-систем.

Публикация результатов исследования. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 10 работах автора [17, 18, 19, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32].

Отдельные результаты диссертационных исследований обсуждались и докладывались на:

Международной конференции «Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений», г. Орел, 14-19 ноября 1996 года;

Международной научно - практической конференции «Управление большими системами», г. Москва, 22-26 сентября 1997 года;

Герценовских чтениях в г. Санкт-Петербурге, апрель 1996 года.

Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре «Декомпозиция математических моделей» ВЦ РАН под руководством член-корр. РАН Ю. Н. Павловского.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав с 15-ю параграфами и заключения. Список литературы включает 57 наименований. Всего в диссертации содержится 118 с. текста.

Выводы главы 6

Факторизация канонических управляемых систем на независимые уравнения позволяету найти решения систем либо в квадратурах, либо при постоянных управлениях, и проанализировать (решить) задачу терминального управления для С-счистем.

Заключение

При исследовании трехмерных аффинных управляемых систем было использовано два подхода. Первый подход основывался на поиске преобразований, упрощающих системы и приводящих их к более простому виду. Сюда же относится проблема классификации и поиска канонических форм. Второй подход состоял в поиске симметрий или допускаемых преобразований управляемых систем.

В рамках первого подхода, при поиске преобразования одной приведенной системы к другой, были найдены необходимые условия локальной эквивалентности приведенных систем. Симметричный вид этих условий позволил выделить новый тип управляемых систем — С-системы. Для С-систем условия локальной эквивалентности являются не только необходимыми, но и достаточными. Это дало возможность описать классы эквивалентности С-систем, т. е. установить их классификацию. Классы эквивалентности для С-систем обозначаются (Сх, С2)+ и (Сх, С2)~, где С\ и С2 — действительные числа и С2 ^ 0. Если С\ ф 0 и С2 ф 0, то классы пусты.

Для каждого класса эквивалентности С-систем, кроме класса (Сх, 0)~, Сх > 0, найдены представители, которые можно принять за канонические формы.

• Класс (Сх, 0)+, Сх > 0: х = 1 + ги, у = и, где а = у2у/Сг. аг2 tg (ах) и,

Класс (0, С2)+: где а = 1/2 С2.

Класс (О, С2) : где а = у2С2.

Класс (Сх, 0)+, Сх < 0 (два представителя): х = 1 + у = и, где а = 1/2у/-С1. (е2ах+у2аг2) и,

Ж = 1 + 214, у = и, где а = у2 л/-Сх. = —а22

Класс (Сх, 0)~, Сх < 0 (два представителя):

Ж = 1 +

У = и, где а = у2 у/-Съ (-е2аж+ 1/2а22)и,

Ж = 1 +

У = и, где а = у2

2 = —а22 ^(ая)^,

Для различных задач управления может быть удобным использование различных представителей классов.

В рамках второго подхода при исследовании трехмерных аффинных управляемых систем (поиска симметрий) найдены допускаемые алгебры Ли для 13 раннее известных [9] канонических систем 1-УН и 1Х-Х1У. Все допускаемые алгебры оказались бесконечномерными. Для приведенных систем типа VIII доказана теорема о том, что для них допускаемые алгебры Ли конечномерны и размерность их не больше 3.

Найдены допускаемые алгебры Ли для канонических С-систем. Они все оказались трехмерными. Доказана теорема, о том, что для приведенной системы допускаемая алгебра Ли является трехмерной, тогда и только тогда, когда система является С-системой. На основании этой теоремы дано инвариантное определение С-систем, независящее от приведенной формы: трехмерная аффинная управляемая система является С-системой, если ее алгебра ai — трехмерная.

Автором, совместно с В. И. Елкиным, доказана теорема о том, что трехмерные алгебры, допускаемые С-системами, обладают L-свойством. Следовательно, С-системы — это трехмерные строго Lx-системы. Таким образом, предложенная автором классификация С-систем является классификацией трехмерных строго Ь\-систем.

Допускаемая алгебра Ли является классификационным признаком для трехмерных управляемых систем: если для трехмерной управляемой системы допускаемая алгебра Ли бесконечномерна, то управляемая система эквивалентна одной из 13 канонических форм по классификации [9]; если допускаемая алгебра Ли конечномерна, то управляемая система эквивалентна приведенной системе типа VIII по классификации [9]; если размерность допускаемой алгебры Ли равна 3, то управляемая система является С-системой.

Исследована классификация алгебр Ли над полем действительных чисел размерностью не более трех. Найдены соответствующие инварианты, с помощью которых исследованы структуры допускаемых алгебр для канонических С-систем. Эти допускаемые алгебры распределены по существующей классификации и выяснено, что для классов (Ci,0)+ и (Ci,0)-,

1. Гото М. Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир. 1981. 336 с.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Госиздат, технико-теоретической литературы. 1953. 488 с.

3. ДжекобсонН. Алгебры Ли. М.: Мир. 1964. 356 с.

4. Елкин В. И. Об условиях агрегирвания управляемых динамических систем // ЖВМ и МФ. 1978. Т. 18. № 4. С. 928-934.

5. Елкин В. И. Методы алгебры и геометрии в теории управления. Векторные поля и группы диффеоморфизмов. М.: ВЦ АН СССР, 1982. 62 с.

6. Елкин В. И. Методы алгебры и геометрии в теории управления. Управляемые динамические системы. М.: ВЦ АН СССР, 1984. 66 с.

7. Елкин В. И. Общее решение уравнений в частных производных с одинаковой главной частью // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. № 8. С. 1389-1398.

8. Елкин В. И. К вопросу о классификации и канонических формах нелинейных управляемых систем // Автоматика и телемеханика. 1985. № 1. С. 31-41.

9. Елкин В. И. Методы алгебры и геометрии в теории управления. Управляемые динамические системы. М.: МФТИ, 1996. 111 с.

10. Елкин В. И. Эквивалентность, классификация, факторсистемы и подсистемы аффинных управляемых систем // Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. матем. и техн. Тематические обзоры. Оптимизация и управление-1 / ВИНИТИ. 1996. Т. 29. С. 121-184.

11. Елкин В. И., Ивашко Д. Г. О декомпозиции трехмерных нелинейных управляемых систем // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 34.11. (в печати)

12. Елкин В. И., Леонова M. М. Классификация некоторых типов управляемых систем // М., 1989. 14 с. Рукопись деп.в ВИНИТИ 15.02.89, № 1002-1389. Деп.

13. Елкин В. И., Павловский Ю. П. Декомпозиция моделей управляемых процессов // Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. и ее прил. Тематические обзоры. Оптимизация и управление-1 /ВИНИТИ. 1996. Т. 29. С. 185-238.

14. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск, 1979.

15. Жевнин A.A., Колесников К. С., Крищенко А. П., Толокнов А. И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций задач обратной динамики (обзор) //Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. № 4. С. 180-188.

16. Жевнин A.A., Крищенко А. П. Управляемость нелинейных систем и синтез управления // ДАН СССР. 1981. Т. 258 № 4, С. 805-809.

17. Ибрагимов H. X. Группы преобразований в математической физике. М., 1993.

18. Ивашко Д. Г. Эквивалентные преобразования и допускаемые алгебры для трехмерных управляемых систем // Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН, 1995г. с. 37-50.

19. Ивашко Д. Г. О классификации трехмерных управляемых систем // Моделирование процессов управления и обработки информации. Ме-ждувед. сб. / МФТИ. М. 1996. С. 142-153.

20. Ивашко Д. Г. Структура конечномерных допускаемых алгебр трехмерных управляемых систем // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. Междувед. сб. /МФТИ. М. 1997. С. 97-109.

21. Ивашко Д. Г. О факторизации трехмерных управляемых систем // Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН. 1997г.

22. Ивашко Д. Г. О классификации и допускаемых алгебрах трехмерных управляемых систем // Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных управлений. Труды международной конференции г. Орел, 14-19 ноября 1996 года. Орел, 1996. С. 61-62.

23. Ивашко Д. Г. Об одной задаче терминального управления для С-сис-тем // Моделирование, оптимизация и декомпозиция сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН. 1999. С. 48-55. (в печати).

24. Канатников А. Я., Крищенко А. П. Симметрии и декомпозиция нелинейных управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 11 С. 1886-1891.

25. Крищенко А. П. Исследование управляемости и множеств достижимости нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1984. № 6. С. 30-36.

26. Кухтенко А. И., Семенов В.Н., Удилов В. В. Геометрические и абстрактно-алгебраические методы в теории автоматического управления // Кибернетика и вычислительная техника. Киев: Наукова думка. 1975. Вып. 27. С. 3-20.

27. Павловский Ю. Н. Групповые свойства управляемых динамических систем и фазовые организационные структуры //Ж.вычисл. мат. и мат. физ. 1974. Т. 14. № 4 С. 869-872/ Т. 14 № 5 С. 1093-1193.

28. Павловский Ю. Н. Агрегирование, декомпозиция, групповые свойства, декомпозиционные структуры динамических систем // Кибернетика и вычислительная техника. Киев, наукова думка. 1978. Вып. 39. С. 53-63.

29. Павловский ДО. Н. Теория факторизации и декомпозиции управляемых динамических систем // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. № 2. С. 45-47.

30. Павловский ДО. Н., Смирнова Т. Г. Проблема декомпозиции в математическом моделировании. М.: Фазис. 1997. 300 с.

31. Павловский ДО. П., Яковенко Г. Н. Группы, допускаемые динамическими системам // Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука. 1982. С. 155-189.

32. Петров А. 3. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука. 1966. 496 с.

33. Хрусталев И. М. Необходимые и достаточные условия слабой инвариантности // Автоматика и телемеханика. 1968. № 4. С. 17-21.

34. Цурков В. И. Динамические задачи большой размерности. М.: Наука. 1988. 287 с.

35. Черноилеков А. Н. Алгебраические аспекты факторизации динамических систем // Кибернетика и вычисл. техн. 1981. вып. 51. С. 29-36.

36. Шилов Г.Е. Математический анализ. М.: Наука, 1972. Ч. 1-2.

37. Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований. М. 1947.

38. Яковенко Г. Н. Декомпозиция управляемых нелинейных систем с группой симметрий // Механика гироскопических систем. Киев: Вища школа. 1986. Вып. 5. С. 131-137.

39. Яковенко Г. Н. Симметрия по состояниям в системах с управлением // Прикладная механика и математик: Междувед. сб. М.: /МФТИ. 1992. С. 155-175.

40. Bianchi L. Lesioni sulla teoría dei gruppi continui finiti di transformazioni sperri. Pisa. 1918.

41. Brunovsky P. A classification of linear controllable systems // Kibernetica. 1970. V. 3. P. 173-187.

42. Hermann R. The GS algorithm for exact linearisation to Brunovsky normal form // IEEE Trans. Aut. Contr. 1992 V. 37. № 2. P. 224-236.

43. Hirschorn R. M. (A,B)-invariant distributions and the disturbance decoupling of nonlinear systems // SIAM J. Control and Optimiz. 1981. V. 19. № 1. P. 1-19.

44. Isidori A., Krener АЛ., Gori-Giorgi C., Monacko S. Nonlinear decoupling via feedback: a differential geometric control // IEEE Trans. Aut. Contr. 1981. V. AC-26. № 2. P. 331-345.

45. Krener A. J. On the equivalence of control systems and the linearisation of nonlinear systems // SIAM J. Control. 1973. V. 11. P. 670-676.

46. Lie S. Vorlesungen über differentialgleichungen mit becaunten infmitesi-malen transformationen / Leipzig, Druck und verlag von Teubner, 1894. 568 p.-118

47. Lie S. und Engel F. Theorie der Transformationsgruppen. Bd. 3. Leipzig. 1893.

48. Nvmeijer H. Feedback decomposition of nonlinear control systems // IEEE Trans. Aut. Contr. 1983. V. AC-28. № 8. P. 861-863.