Движения в общих пространствах путей аффинной связности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И.УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

4 ьиа

1 !

На правах рукописи

ОЛЕГА ВАЛЕРЬЕВНА

ДВИЖЕНИЯ

В ОБЩИХ ПРОСТРАНСТВАХ ПУТЕЙ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ. НАУК

КАЗАНЬ - 1996

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РСФСР,

доктор физико-математических наук, профессор А.П.Широков. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Р.Кайгородов, кандидат физико-математических наук А.Я.Султанов. Ведущая организация: Калининградский государственный

университет.

Зашита состоится " 3£ " ГуТшга!1/^_199 6 г.

—— / —

в 14 часов на заседании диссертационного Совета по математике № К с5 Ъ. 2 (] , Казанского университета по адресу: 420008, Казань, ул.Ленина, 18, учебный корпус № 2, аудитория 2X7.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета /г.Казань, ул.Ленина,18 /

Автореферат разослан " ¿¿> " щш^и/и. 199 6 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат-физико-математических наук

Ю 1——*_/З.В.%рыгин/.

_ з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность теш.На рубеже 19-20в.в. основным объектом исследования геометров стали обобщенные дифференциально-геометрические пространства.К этому времени относится возникновение одной из важных теорий в дифференциальной геометрии-теории автоморфизмов, в основе которой лежат работы С.Ли Cl] и Б.Римана [2] .

Большой вклад в развитие многомерной геометрии инесли отечественные ученые: П.А.Широков,А.П.Норден,А.П.Широков,И.П.Егоров, В. И. Ведерников, H. С. Синюков, В. С. Малахов ский, Г. Ф. Лаптев, H. О с тиа-ну и др. Важные результаты по теории пространств опорных элементов" принадлежат Б.Л.Лаптеву [3] .который впервые применил понятие производной Ли для изучения движений в этих пространствах.

После появления фундаментальной работы И.П.Егорова [4J интерес к изучению движений значительно возрос.В настоящее время теория движений в обобщенных пространствах является интенсивно развивающейся областью дифференциальной геометрии.Получено много интересных результатов по движениям в римановых,финслеровых про-

[1] [¿-U, J-, inxjit F. T-iu&ùc din- %амф%гпоЛ1шгр - ywffiw,— Aipù-^ :

TtoWu., VM, Lîîî, 63<?i • V.ïï, ИЗО, 5556; V. iïï, ¿/53, m.

[2]. Ciftw» tlkv cUt Hijovtiim , uiU&fu, dit ficwtxii- Xu- C'uuuit iiipn, (its*), Ь-тш^иг Vdvikb ±%ЧЬ, ¿.SSI'MB

[31 Лаптев Б.Л. Производная Ли для объектов,являющихся функциями точки и направления.-Изв. физ.-мат. о-ва при Казанск. ун-те,1938,сер.З, № 10,с.3-38. [4] Егоров И.П. Группы движений пространства аффинной связности. Казань,библиотека КГУ,канд.диссертация,1945.

странствах,пространствах Дейвиса и др.Теория движений широко применяется в общей теории относительности.Много работ А.З.Петрова и его учеников посвящено движениям в четырехмерных римановых пространствах, связанных с полями тяготения [5] .Теория движений в римановых пространствах,пространствах путей аффинной и проективной связности представляв"! интерес и с прикладной точки зрения. Движения многих типов механических систем,а также тел или частиц в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде часто происходит по траекториям,которые можно рассматривать как геодезические линии финслерова или риманова пространств,или как пути пространств путей аффинной и проективной связности,определяемых энергетическим режимом рассматриваемого процеееа.Позтому, например,два аффинно связных пространства, имеющие общие пути, описывают процессы,нпротекающие при эквивалентных внешних нагрузках по одним и тем же траекториям, но при различных энергетических режимах.Следовательно,один из этих процессов можно моделиро-иать другим.При этом степень подвижности пространств будет характеризовать тот произвол,который можно использовать при выборе модели,а также с целью оптимизации изучаемых процессов.

Одним из важных вопросов в исследованиях движений в обобщенных пространствах является вопрос определения всевозможных пространств, допускающих группы движений и самих этих групп.И.П.ЕгороЕ [63 получил классификацию двухмерных пространств аффинной связ-ности^¿(а;) по группам движений. Движения в двухмерных общих пространствах путей цроективной Рг(£>у-) и аффиннойЛг^ул связности изучал Д.Левин [7] .В.Думитраж [8] определил трехмерные прост-

[5] Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности.-М.: Наука,1966,496с.

[6]Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности.-КА-зань:Изд.Казанск.ун-та,1965, с. 5-179.

ранства аффинной связности^-ьС х) с группами движений всех возможных порядков.Задача определения неплоских трехмерных пространств проективной связности Р5(х) .допускающих группы движений,решена А.Я. Султановым [9J .А.А.Ловков [10] классифицировал трехмерные общие пространства путей проективной связности Ps(x,y) по группам движений.В связи с этими исследованиями естественно возникла задача классификации трехмерных общих пространств путей аффинной связностипо группам движений,которая до последнего времени так и оставалась полностью нерешенной.Зто объясняется прежде всего рядом трудностей алгебраического и аналитического характера, связанных с группами, алгебрами Ли,теорией интегрирования дифференциальных уравнений.Решение ее вносит известную логическую завершенность в теорию движений общих пространств путей.

Цель работы.Целью данной работы является определение всех трехмерных общих пространств путей аффинной связности .допускающих группы движений всех возможных: порядков т. (i4 г í S) «а также самих этих групп движений.

Научная новизна и основные задачи,решенные в диссертации и выносимые на защиту.__

[7] Lссш, MAnüUiOfA in, qmMUíucL ifwui-'ßvtx.- »Яшм.. Matfu. See., i9SL , St р. ЧЧ7- (f5£

^^ "Di-imlttaj V. ^М-щпшшсо íjiaiiltob Лл cu g-tuptuiMitCiX

iiiuUl w cmita-ii tncvt. JUacL.'ñód, i9$7, t,rlL-¿ ,á. ИЪ~2ЪЧ,

19] Султанов А. Я. Об автоморфизмах в пространствах проективной

связности.-Одесса, библиотека ОГУ, канд.диссертация,1981. [10]Ловков A.A. 0 движениях в общих пространствах путей проектиЕ-ной связности.-Казань,библиотека КГУ,канд. диссертация,1980.

В данной работе:

1.Определены все Г однородные и неоднородные ) общие пространства путей афринной связностиД^х,^) с разрешимыми и неразрешимыми группами движений всех возможных порядков при общем предположения строения стационарной подгруппы Н группы движений данной точки пространства (н может быть линейной и нелинейной) -

2.Для пространств с разрешимыми и неразрешимыми группами движений выше четвертого порядка решена задача о полноте допускаемых ими групп движений.

3.Исследованы на полноту групп движений однородные,субпроективные, симметрические общие пространства путей аффинной связности одного класса К.

4.Доказано,что существуют два максимально подвижных неизоморфных общих пространства путей аффинной связности,отличных от точечных, с полными разрешимыми группами движений восьмого порядка.Первое-пространство-однородное, симметрическое и заведомо субпроективное. Второе-однородное,субпроективное,но несимметрическое.

5.Доказано,что максимальный порядок полных групп движений в неоднородных трехмерных общих пространствах путей аффинной связности равен пяти.

6.Доказано,что максимальный порядок полных неразрешимых групп движений в пространствах путей равен семи.

7.Введены ( обобщением на общие пространства путей) и геометрически проиллюстрированы понятия: заведомо субпроективных пространств, субпроективных, проективно соответствующих,проективно евк-лиеовых, к-кратно проективных общих пространств путей аффинной связности.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты, полученные в работе,имеют теоретическое значение и могут быть использованы в геометрии при изучении подвижности других диффере-нциально-геометричесхих пространств,а также в теории дифференци-

альных уравнений,в теории алгебр Ли и в теоретической физике.

Полученные результаты являются естественным продолжением исследований, проводящихся в теории движений обобщенных пространств.

Методика исследования.Исследования основаны на использовании свойств алгебр Ли,групп Ли, теории дифференциальных уравнений и имеют локальный характер.

Апробация работы.Основные результаты диссертации догадывались и обсуждались на заседаниях семинара кафедры геометрии Казанского государственного университета Г1995г..научный руководитель доктор физико-математических наук,профессор Б.Н.шалуков) и на заседаниях семинара кафедры геометрии Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г.Белинского (19921995 г.г.,научный руководитель кандидат физико-математических наук,доцент А.Я.Султанов) .

Публикации.Основные результаты диссертации отражены в семи опубликованных работах.

Структура и объем работы.Диссертация состоит из введения, четырех глав,списка литературы из 75 наименований и приложения. Текст диссертации изложен на 154страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении содержится обоснование актуальности выбранной теш исследования,приводится исторический обзор с краткой характеристикой различных направлений исследований автоморфизмов в обобщенных пространствах,непосредственно примыкающих к теме настоящей диссертации.

Первая глава .состоит из четырех параграфов. §1,§2 имеют реферативный характер,в них содержатся необходимые в дальнейшем сведения из . теории алгебр Ли,групп Ли,дифференцирования Ли.

В § 3,§ 4 приводятся определения общих пространств путей аффинной связности и движений в них.

В 1928г. й. Дуглас [11] вводит понятие общих пространств путей аффинной связности,а М.С.Кнебельман [12] развивает общую теорию движений в этих пространствах.

Общим пространством путей аффинной связностиХ^я, у) называется дифференцируемое многообразиезаданным на нем фундаментальным дифференциально-геометрическим объектом Г-

е %

Компоненты этого объекта в Т(Ц) |( где КСЛ") -координатная окрестность базисного многообразия М», ) ЯЕ_

I

ляются функциям? от ¿л- , независимых переменных

.....

хеНсЛъ, уеТк(ц) ,

однородными второго измерения относительно переменных

ГП1=4Г1. , ' (I)

В каждой координатной окрестности (Мх*) базисного многообразия функции ГЧя,определяют семейство кривых - интегральных линий системы дифференциальных уравнений

^ Г1 _ . _

Интегральные кривые этой системы называются путями,а параметр каноническим или аффинным параметром.

Точечное преобразование базисного многообразия (.т)

на себя,при котором пути пространствами^?у) переходят в пути этого же пространства с сохранением аффинности параметра называется аффинным движением (короче-движением^пространстЕа^нфЮ

[11].с1Ыуал, уяпиЩ ^ралЬ. -Ал. Мик, 1№,29,/>. - i66.

[12СсШмайсмь (мАмИша 1п> (¡тнл&мЛ ¿¡ишл .-Ател . ЛЫК., 19г9, 51, />. 5$?- 564.

Теорема [3] Локальная группа преобразований ^ с базисными операторами ^дСзс)^ ) является локальной группой

движений общего пространства путей аффинной связностиЛиГг, тогда и только тогда, когда производная Ли от компонент фундаментального объекта ПТЧ вдоль любого шля инфинигезимального преобразования, определенного группой ^ .обращается в нуль.,сйх^1 Б развернутой записи эти уравнения движений представляются в виде следующей системы дифференциальных уравнений в частных производных

В § 3 вводятся также понятия Г обобщением на общие пространства путей аффинной связности) :проективно соответствующих,проектиЕНо евклидовых,к-крагно проективных, Си-г) -кратно проективных,заведомо субпроективных и субпроективннх общих цространств путей аффинной связности.Здесь' же доказываются следующие теоремы.

Теорема.Общие пространства путей аффинной связности Л (х, у) и с фундаментальными объектами соответственно у) и являются проективно соответствующими тогда и только тогда когда компоненты фундаментальных объектов этих пространств в одной локальной координатной системе удовлетворяют условиям

где ^(я, у) -деформирующая функция первого измерения однородности относительно

Теорема.Для того,чтобы общее пространство путей аффинной сеязности,заданное фундаментальным объектом Г(Г1) было субпроективным, необходимо и достаточно,чтобы компоненты фундаментального объекта имели вид

где функция ^(зс, ^) -первого измерения однородности относительно

«функция у) -второго измерения однородности относительно ср .

Теорема.Для того,чтобы общее пространство путей аффинной связности Ли (я, было субпроективным,необходимо и достаточно,чтобы компоненты объекта связности определялись форь/улами:

Г/к = '¿У^ад + £1к

Теорема.Для того,чтобы две аффинные связности I Г^(х,у)имели общие пути,необходимо и достаточно,чтобы выполнялись следующие равенства

, П.Ч = Г7к с*,у) + ^^ ^.к,

где функция тоднородная первого измерения относительно

переменных ^ .

Теорема.Заведомо субпроективные пространства путей являются субпроективными пространствами.

Вторая глава (§5,46,§7] посвящена нахождению пространств .допускающих разрешимые группы движений ^ , г * 5" . Б § 5 определяются пространства Л-^Сх,^) с группами движений

.В основе определения пространств ^ (х,у.) с группами движений малых порядков лежит классификация алгебр Ли Ьт., данная Л.Бианки [13] и упрощенная И.П.Егоровым [14] .Дня каждой

алгебры (от. (грассматриваются в трехмерном пространстве всевозможные неподобные представления в виде алгебр операторов

ЩОМ,.....Хг)]

.Отметим,что все исследования ведутся локаль-

[13] УЬьОцлРи. . ¿топь оьИа, "¿есиа, с(и ¡/шрь1 СопИщй ^¿плЫ ¿11 . - 19И .

[14] Егоров И.П. Геометрия.-М. просвещение, 1979, 256с.

- и -

но и задание локальной группы Ли 0г по существу эквивалентно заданию алгебры Ли операторов .Затем,для катщого представления интегрируется,с учетом условия однородности (1) .система уравнений инвариантности (2) относительно неизвестных компонент Г"'(1=17ь) фундаментального объекта,который определяет искомые общие пространства путей аффинной связности^-ьСх, .Найденные пространства допускают рассматриваемые локальные группы в качестве групп движений.

В § 5 доказывается,что все трехмерные общие пространства путей аффинной связности,допускающие группы движений с базисными операторами, действующими на одномерных поверхностях транзитивности, являются субпроективными: пространствами путей.

Выше приведенный метод определения пространств путей применяется в § 6 для отыскания пространствам^) с разрешимыми груп-пат движений .В § 6 доказаны теоремы.

Теорема.Трехмерные общие пространства путей аффинной сеяз-ности,допускающие группы движений ^ со структурами

или

[X; ШХчИг; = Ц

являются аффинно-плоскими с нулевой кривизной или точечными пространствами аффинной связности.

Теорема.Не существует общих пространств путей аффинной связности Лъ(эс,ц) с полными группами движений .структуры которых определяются (3) и ^ ]) ^ ( ^) =.А.■

В § 7 рассматриваются структуры разрешимых пятимерннх алгебр,которые могут быть алгебрами групп движений вЛъСэьу) .Они получаются методом расширения разрешимых алгебр движений Цц до ¡-¡г , который основал на том факте,что всякая разрешимая алгебра содер;:сит по крайней мере один разрешимый идеал на единицу меньшей размерности.Расширяются до ^ только те Ьц .которые явля-

ются алгебрами движений е .Затем для алгебр L 5- строятся

соответствующие им неподобные представления в виде операторов Локальных груш трехмерного пространства [10] и определяются общие пространства путей аффинной связности с фундаментальными объектами Г (Г"") .допускающие исходные группы в качестве локальных групп движений.Пространства JUix.,у) исследуются на полноту групп ДЕИкений.Дяя этого в уравнения инвариантности подставляют найденные Г" и рассматривают полученные уравнения,как уравнения с неизвестными функциями ^ 1(х) -компонентами общего оператора X- gW^Pi полной группы движений.Отметим,что три уравнения инвариантности распадаются на систему из 27 уравнений,кавдое из которых будет уравнением в частных производных второго порядка относительно g .Из условий интегрируемости этой системы находим число независимых связей над переменными "2>k."§J и устанавливаем порядок полной группы движений. Интегрируя последнюю систему относительно J1*-®-) с учетом найденных связей,получаем базисные операторы полной группы движений.Среди пространств d-bix^f с группами движений Cfg выделяются точечные пространства аффинной связности и также исследуются на полноту групп движений.В § 7 определены все трехмерные общие пространства путей аффинной сеяз-ности с разрешимыми группами движений пятого порядка.

В третьей главе С§ 8,§ 9,§ 10) найдены трехмерные общие пространства путей аффинной связности с разрешимыми группами движений высших порядков. В § 8,§ 9 приводятся структуры всех шестимерных алгебр L&.i ~ Ls.di »соответствующие им локальные группы Cfe и фундаментальные объекты общих пространств путей аффинной сеязности,допускающие в качестве групп движений.Все най-

денные Л.ъfx, у) исследованы на полноту групп движений и Еыделекы пространства с полными группами движений , ЦТs • В § 10 получены и исследованы на полноту групп движений однородные, симметрические общие пространства путей аффинной сеязности с

алгеброй е.¿9 .В этом параграфе доказана теорема

Теорема. Общие пространства путей аффинной связности,определенные фундаментальным объектом

ных,'.второго измерения однородности относительно ^ являются симметрическими.

Из результатов,полученных в § 8, § 9,§ 10 еле,дует,что максимальный порядок полных разрешимых групп движений в трехмерных общих пространствах путей аффинной связности равен еосьми.По ходу исследований получено два различных максимально подвижных трехмерных пространства путей с полными грушами движений восьмого порядка.Первое-однородное, симметрическое и заведомо субпроективное. Второе-однородное,субпроективное,но несимметрическое. Таким образом,определены все пространства Лг>(х, у) .группы движений которых шестого юрядка.Каждая из разрешимых групп седьмого и восьмого порядков содержит,по крайней мере,одну разрешимую подгруппу шестого порядка и поэтому все трехмерные общие пространства путей аффинной связности,допускающие разрешимые группы движений найдены.

Во второй и третьей главах получены все трехмерные общие пространства путей аффинной связности с разрешимыми группами движений всех возможных порядков.

В четвертой главе С § 11,§ 12, § 13, § 14 ) определяются трехмерные общие пространства путей аффинной сеязности с неразрешимыми группами движений.

В § 11 находятся все Аъ(х,ц) с неразрешимыми группами движений

.Используя структуры действительных неразрешимых алгебр Ли третьего,четвертого,пятого порядков,рассматриваем их неподоб-

некоторых координатных окрестностях трехмерного пространства.

ные представления в виде локальных групп

Для каждого представления,интегрируя уравнения инвариантности, получаем компоненты

Р Ч*,у)фундаментальных объектов пространств Лг>(х, у) .допускающих рассматриваемые неразрешимые группы ^ {(Х^Хг,...^] как локальные группы движений.

В § 12 найдены пространства с неразрешимыми группами ^ь" и

исследованы на полноту групп движений.В этом параграфе получены следующие результаты. Неразрешимые группы с алгебрами Ь $ ,

которые раскладываются в прямые суммы простых алгебр и абелева радикала,не могут быть группами движений в .Неразрешимые

группы $5 с алгебрами .которые раскладываются е прямые суммы простых алгебр и неабелева радикала,допускаются пространствами путей -в качестве полных транзитивных групп движений.При нахождении пространств Дэ(а^) с алгеброй .имеющей неразложимую неразрешимую структуру,получаем,^частности,что существует один класс общих пространств путей аффинной связности, допускающих полную неразрешимую группу движений седьмого порядка. В § 13 найдены все трехмерные общие пространства путей аффинной связности,допускающие неразрешимые группы движений шестого порядка, используя классификацию структур шестимерных алгебр,построенную А.А.Лобковым [10] .Проведены исследования полученных пространств на полноту групп движений.Доказано,что полупростые шестимерные неразрешимые алгебры определяют лишь один класс трехмерных общих пространств путей аффинной связности с полной неразрешимой группой движений $ь .Среди пространств путей,определяемых неразрешимыми неразложимыми шестимерными алгебрами,существует один класс пространств с полной неразрешимой группой дви-

кений .

В § 14 изучены общие пространства путей аффинной связности с неразрешимыми группами движений седьмого и восьмого порядков. Любая неразрешимая семимерная алгебра представима в виде полу-

прямой суммы полупростых шестимерных алгебр и одномерной алгебры или е Еиде полупрямой суммы простых алгебр и четырехмерного радикала. Доказано, что не существует общих пространств путей аффинной сеязности с семимерными алгебрами указанных структур.Не существует также трехмерных общих пространств путей аффинной связности, допускающих неразрешимые группы движений восьмого порядка.

Результаты,полученные в § 12—§ 14,позволяют сделать вывод, что максимальный порядок полных, неразрешимых групп движений в трехмерных общих пространствах путей аффинной сеязности равен точно семи. Существуют два класса субпроективных трехмерных общих пространств путей аффинной связности с полными неразрешимыми транзитивными группами движений седьмого порядка.

Максимальный порядок групп движений ^г. общих рространств путей аффинной связности,отличных от точечных пространств аффинной связности,равен точно г-п3-- <?п+5 ,что было доказано А.И.Егоровым [152 .Этот факт подтверждается в трехмерных пространствах путей ,что следует из результатов данной диссертации.

В приложении к диссертации приведены структуры алгебр,их неподобные представления,компоненты фундаментальных объектов и исследования на полноту групп движений трехмерных общих пространств

путей аффинной связности,многие из которых не вошли в осноеной текст,т.к. это значительно увеличило бы объем диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Городничая О.В. О трехмерных общих пространствах путей аффинной связности с группами движений пятого порядка.- Пенз.гос.

[15]Егоров А. И. Движения в пространствах тензорных опорных элементов.-Казань, библиотека КГУ,канд.диссертация,1974.

пед.ин-т.Пенза, 1989,12с. .библиогр. :1назв.-Деп.в ВИНИТИ 12.12. 1989,№ 7376-89.

2._Городничая О.В. Общие пространства путей аффинной связности с группами движений четвертого порядка.-Пенз.гос.пед.ин-т.Пенза, 1989,13с.,библиогр.: 1назв.-Дед. в ВИНИТИ 12.12.1989,№ 7374-89.

3.Городничая О.В. О движениях в трехмерных общих пространствах матей малой подвижности.-В кн. ¡Движения в обобщенных пространствах . -Сб. науч. тр .Пенз. гос. пед. ин-та. Пенза, 1991, с. 29-38.

4.Малжелеева О.В. О пространствах путей аффинной связности с группами движений шестого порядка.-Пенз.гос.пед.ин-т.Пенза,1992, 12с.,библиогр.:2назв.-Деп. в ВИНИТИ 6.5.1992,16 1499-82.

б.Манжелеева О.В. Общие пространства путей аффинной сеязности с неразрешимыми группами движений малых порядков.-Пенз.гос.пед. ин-т.Пенза,1992,12с.,библиогр. :1назв.-Деп. в ВИНИТИ 6.5.1992, £ 1500-92.

6.Манжелеева О.В. .Егорова Л.И. О максимально подвижных трехмерных общих пространствах путей аффинной связности.-Медцунар. матем.конфер.посвященная 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского, 4-8дек. 1992.Тезисы докладов.-Минск,изд. ЕГУ,1993,с.63.

7.Манделеева О.В. .Егорова Л.И. О движениях в общих пространствах

путей аффинной связности.-Изв.БУЗов,математика, 1995,Л 7 (398 ). Казань,с.22-28.