Инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения пространств аффинной связности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

€У

□□3465 165

Моргун Мария Владимировна

ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-В

Казань - 2009

003465165

Работа выполнена на кафедре алгебры Пензенского государственного педагогического университета имени В.Г. Белинского

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, профессор Султанов Адгам Яхиевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Аминова Ася Васильевна, доктор физико-математических наук,

профессор Столяров Алексей Васильевич

Ведущая организация:

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Защита состоится 23 апреля 2009 года в 14 ч. 30 мин. на заседании Диссертационного совета Д. 212. 081.10 при Казанском государственном университете имени В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан марта 2009 года

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Липачев Е.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория движений в пространствах аффинной связности является одним из активно развивающихся разделов современной дифференциальной геометрии. Впервые вопрос о движениях в пространствах аффинной связности был поставлен в 1927 году Л.П. Эйзенгардтом и М.С. Кнебельманом. Они получили систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, определяющую составляющие бесконечно малого движения в пространстве аффинной связности и доказали, что размерность группы движений не превосходит п2 + тг, где п - размерность пространства аффинной связности. Ими же установлено, что пространства, допускающие группу движений размерности тг2 + п, являются локально плоскими. К одним из первых работ по движениям в пространствах аффинной связности относятся работы Э. Картана [7], П.К. Рашевского [11], П.А. Широкова [16]. Систематические исследования групп движений в пространствах аффинной связности впервые начаты И.П. Егоровым. Внимание И.П. Егорова привлекла опубликованная в 1903 году теорема Фубини: не существует риманова пространства с полной группой движений порядка "("+1) — ^ то есть на единицу меньше наивысшего порядка п|'"2+1^, который допускают лишь пространства постоянной кривизны и только они. И.П. Егоров впервые поставил аналогичный вопрос для пространств аффинной связности, а именно: существуют ли пространства аффинной связности, обладающие полными группами движений порядка г = п2 + п — 1? В 1945 году им установлено, что максимальная размерность групп движений пространств аффинной связности без кручения ненулевой кривизны равна точно п2. Из этого следовало, что не существует пространств аффинной связности полные группы движений которых имеют размерности г, где п2 < г < тг2 + п (п > 2). Тем самым была выявлена первая лакуна в распределении размерностей полных групп движений простраств аффинной связности. Затем им были установлены и другие лакуны. Вопросами движений в различных пространствах занима-

з

лись А.З. Петров, Н.С. Липатов, Г.И. Кручкович, A.C. Солодовников, Н.С. Синюков, A.B. Аминова, В.Р. Кайгородов, А.И. Егоров, А.Я. Султанов, A.A. Ловков, Н.Д. Никитин, В.И. Паньженский, Л.С. Горшкова, А.Т. Кондратьев и другие геометры. Из зарубежных геометров, занимавшихся вопросами движений, отметим К. Яно, У. Муто, Г. Врэнчану, Ш. Кобаяси, К. Номидзу, Ямагути, Мацумото, И. Левина, В. Думитраша. Обзор результатов этих геометров приведен в статьях И.П. Егорова [5], [6]. Б.Л. Лаптев исследовал многообразия с объектами аффинной и проективной связностей, зависящими от точки и направления, им получены условия интегрируемости уравнений проективных и аффинных движений в инвариантной форме [8]. В работах A.B. Аминовой [1], [2] исследуются аффинные, проективные, почти проективные движения в пространствах аффинной связности; максимальная размерность интранзитивных групп движений непроективно-евклидовых пространств аффинной связности установлена А.Я. Султановым [12]. Дальнейшее развитие теории связностей, производной Ли получили в работах Б.Н. Шапукова [14], [15], В.В. Шурыгина [17].

В 1963 году в работе [9] А.П. Нордена введено понятие пространства декартовой композиции. В этой же работе А.П. Норден показал, что задание аффинной связности, по отношению к которой композиция является декартовой, равносильно заданию произвольной аффинной связности на любой позиции каждого базисного многообразия. Среди этих связностей можно выделить связности, являющиеся прямым произведением аффинных связностей. Вопрос о движениях в прямых произведениях двух пространств аффинной связности оставался открытым. Исходя из выше изложенного, тема диссертационной работы является актуальной.

Целью диссертационной работы является исследование алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямых произведений двух пространств аффинной связности и их размерностей.

Методы исследования. В диссертации применяются результаты и методы локальной дифференциальной геометрии, теории групп Ли преобразований, используется аппарат тензорного анализа и производной Ли.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и заключаются в следующем:

1) установлены необходимые и достаточные условия, при которых прямое произведение двух пространств аффинной связности является проективно-евклидовым, симметрическим, рекуррентным пространством аффинной связности,

2) получены оценки верхних границ размерностей алгебр Ли инфини-тезимальных аффинных преобразований прямых произведений неплоских проективно-евклидовых пространств аффинной связности и локально плоского пространства аффинной связности,

3) установлены оценки верхних границ размерностей алгебр Ли инфините-зимальных аффинных преобразований прямых произведений двух неплоских проективно-евклидовых пространств аффинной связности,

4) найдены оценки верхних границ размерностей алгебр Ли инфинитези-мальных аффинных преобразований прямых произведений проективно-евклидовых и непроективно-евклидовых пространств аффинной связности,

5) получены оценки размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямых произведений двух непроективно-евклидовых пространств аффинной связности. Доказана точность полученных оценок.

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследованииях прямого произведения пространств аффинной связности, а также при чтении спецкурсов и факультативных курсов для студентов математических специальностей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на всероссийских молодежных научных школах-конференциях "Лоба-

невские чтения"(Казань, КГУ, 2005, 2006, 2007), на международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения"(Казань, КГУ, 2007), на международном геометрическом семинаре им. Г.Ф. Лаптева (Пенза, ПГПУ, 2007), на геометрическом семинаре кафедр геометрии и алгебры ПГПУ (Пенза, 2005-2008 гг.), на внутривузовских научных конференциях профессорско-преподавательского состава ПГПУ (Пенза, 2006, 2007, 2008), на геометрическом семинаре кафедры геометрии КГУ (Казань, 2008), на геометрическом семинаре при МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, списка литературы. Объем диссертации составляет 115 страниц.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы основные результаты диссертации, приведено краткое содержание работы.

Глава 1 состоит из 7 разделов. В разделе 1.1 описано построение прямого произведения гладких многообразий. В разделе 1.2 дается определение прямого произведения пространств аффинной связности по А. П. Нордену. В разделе 1.3 вводятся понятия естественного продолжения векторных полей, линейных дифференциальных форм, тензорных полей с гладких многообразий на их прямое произведение. В разделе 1.4 рассмотрены некоторые свойства прямого произведения аффинных связностей, связанные с естественными продолжениями векторных полей. Приведены формулы для вычисления компонентов тензорных полей кручения и кривизны связности, являющейся прямым произведением двух аффинных связностей. В разделе 1.5 полу-

чены необходимые и достаточные условия, при которых прямое произведение двух пространств аффинной связности является проективно-евклидовым пространством аффинной связности. В разделах 1.6, 1.7 найдены условия, при которых прямое произведение двух неплоских пространств аффинной связности является симметрическим, рекуррентным.

В главе 2 исследуются инфинитезимальные аффинные преобразования прямых произведений проективно-евклидовых пространств аффинной связности. И. П. Егоровым [4] доказано, что не существует проективно-евклидовых пространств аффинной связности с антисимметричным тензорным полем Рич-чи. Поэтому для проективно-евклидовых пространств аффинной связности возможны лишь два случая: либо пространство это с симметричным тензорным полем Риччи, называемое эквипроективным [10], либо с тензорным

о

полем Риччи, обладающим ненулевыми симметричной Я =Ягс'+) и антисим-

о

метричнои 5 = Яге*"* частями. Предполагается, что Я приведено к каноническому виду в окрестности некоторой точки хо. Тогда существует координат-

о

ная окрестность, содержащая точку то, такая, что Я^, ф 0 для некоторого

индекса ¿1. Возможны следующие случаи: о о

(а) Я^, ф 0, Яу = 0 (г ф и существует составляющая вида 5;11г ф О, о о

(Р) Я;,;, ф 0, Яу = 0 (г ф ¿), = 0 (4 = 2,3,..., п), но существует составляющая вида ф 0.

Таким образом, при построении прямого произведения проективно-евклидовых пространств аффинной связности основными являются следующие случаи:

(1) одно пространство является неплоским эквипроективным пространством аффинной связности, а другое пространство — плоское;

(2) одно пространство — проективно-евклидово, тензорное поле Риччи которого не является симметричным и удовлетворяет условиям (а), а другое пространство является плоским;

(3) одно пространство — проективно-евклидово, тензорное поле Риччи ко-

торого не является симметричным и удовлетворяет условиям (/?), а другое пространство является плоским;

(4) оба пространства являются неплоскими эквипроективными пространствами аффинной связности;

(5) оба пространства — проективно-евклидовы с несимметричными тензорными полями Риччи;

(6) одно пространство — неплоское эквипроективное, а другое является проективно-евклидовым, тензорное поле Риччи которого не является симметричным.

В результате рассмотрения каждого из случаев, доказано следующее:

Теорема 1. Пусть !У) — неплоское эквипроективное простран-

ство аффинной связности, (2М„2, 2 V) — локально плоское, тогда размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения (1М„1 х2 М„2,1Ух2У) не больше, чем п2+п2+2п2, причем указанная граница — точная.

Теорема 2. Пусть (1М„1, 'V) — проективно-евклидово пространство аффинной связности, удовлетворяющее условиям (а). Пространство (2МП2, 2У) является локально плоским. Тогда размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства {1МП1 х2 М„2, х2 V) не превосходит п\ + п\ + 2пг — тг\ + 1.

Теорема 3. Пусть СМП1, — проективно-евклидово пространство аффинной связности, удовлетворяющее условиям (/3). Пространство (2МПг, 2У) является локально плоским. Тогда алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения (}МЩ х2 МП2, 1V х2 V) изоморфна прямой сумме алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространств (аМПа,а V) (а = 1,2).

Из этой теоремы получено

Следствие. Если (1МЩ, — проективно-евклидово пространство аффинной связности, тензорное поле Риччи которого удовлетворяет условиям

(/?), (2М„2, 2У) — локально плоское пространство, то размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения этих пространств не превосходит п\ + п\ — 2щ +П2 + 3.

Теорема 4. Алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения (1МП1 х2 МП2, 1У х2 V) неплоских проективно-евклидовых пространств аффинной связности изоморфна прямой сумме алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований этих пространств.

Следствиями теоремы 4 являются следующие предложения:

Предложение 1. Максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоских экви-проективных пространств аффинной связности равна точной2 + п\.

Предложение 2. Максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидовых пространств аффинной связности с несимметричными тензорными полями Риччи равна точно п2 — щ + п\ — Щ + 2.

Предложение 3. Максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского экви-проективного пространства аффинной связности и проективно-евклидово пространства аффинной связности, тензорное поле Риччи которого не является симметричным, равна точно п\ + га^ — Пг + 1, где п\ — размерность эквипро-ективного пространства аффинной связности, П2 — размерность проективно-евклидово пространства с несимметричным тензорным полем Риччи.

В главе 3 рассматриваются инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения пространств аффинной связности, в случае когда хотя бы одно из них непроективно-евклидово. В частности, в разделах 3.1, 3.2 исследуются прямые произведения проективно-евклидового и непроективно-евклидового пространств аффинной связности, в разделе 3.3 — прямые произведения непроективно-евклидовых пространств аффинной связности.

Пространство (М„, V) (п > 3) является непроективно-евклидовым, если

тензорное поле Вейля IV отлично от нулевого. В локальных координатах условие IV ф 0 равносильно условию Щф 0 для некоторых индексов а ф а, /9,7 [13]. Это условие эквивалентно выполнению одному из следующих:

(а) существует карта гладкого атласа ((/, ха) такая, что существует хотя бы одна составляющая тензорного поля кривизны вида Щ,\а2аз отличная от нуля для некоторых попарно различных между собою индексов;

(б) в каждой карте (V, уа) все составляющие тензорного поля кривизны вида Д^а2а3 равны нулю, но существует карта (17, ха) такая, что существует хотя бы одна составляющая тензорного поля кривизны вида отличная от нуля для некоторых попарно различных между собою индексов.

Из этого следует, что при рассмотрении прямых произведений неплоского проективно-евклидового и непроективно-евклидового пространств аффинной связности существенными являются следующие случаи:

(1) один сомножитель является неплоским эквипроективным пространством аффинной связности, другой сомножитель является непроективно-евкли-довым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условию (а);

(2) один сомножитель является неплоским эквипроективным пространством аффинной связности, другой сомножитель является непроективно-евкли-довым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условию (б);

(3) один сомножитель является проективно-евклидовым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условиям (а), другой сомножитель является непроективно-евклидовым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условию (а);

(4) один сомножитель является проективно-евклидовым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условиям (а), другой сомножитель является непроективно-евклидовым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условию (б);

(5) один сомножитель является проективно-евклидовым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условиям (/3), другой сомножитель

является непроективно-евклидовым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условию (а);

(6) один сомножитель является проективно-евклидовым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условиям (/3), другой сомножитель является непроективно-евклидовым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условию (б).

Если оба сомножителя прямого произведения непроективно-евклидовы пространства аффинной связности, то возникают следующие случаи:

(1) оба сомножителя являются непроективно-евклидовыми пространствами аффинной связности, удовлетворяющими условию (а);

(2) оба сомножителя являются непроективно-евклидовыми пространствами аффинной связности, удовлетворяющими условию (б);

(3) один сомножитель удовлетворяет условию (б), другой сомножитель — условию (а).

При рассмотрении каждого из случаев, доказаны следующие теоремы, в которых п\ — размерность первого сомножителя, щ — размерность второго сомножителя.

Теорема 1. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского эквипроективного пространства аффинной связности и непроективно-евклидового пространства аффинной связности, удовлетворяющего условию (а), не превосходитп^ + п! —«2 + 3, причем указанная граница точная.

Теорема 2. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского эквипроективного пространства аффинной связности и непроективно-евклидового пространства аффинной связности, удовлетворяющего условию (б), не превосходитп^Ч-п^ — 2п2+5, причем указанная граница точная.

Теорема 3. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового пространства аф-

финной связности, удовлетворяющего условиям (а), с непроективно-евклидо-вым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условию (а), не превосходит п2 + тг2 — щ — п^ + 6.

Теорема 4. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового пространства аффинной связности, удовлетворяющего условиям (а), с непроективно-евклидо-вым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условию (б), не превосходит п\ + п\ — щ — 2п2 + 9.

Теорема 5. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового пространства аффинной связности, удовлетворяющего условиям (/?), с непроективно-евклидо-вым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условию (а), не превосходит тг\ + п2 — 2п! — 2щ + 8.

Теорема 6. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидового пространства аффинной связности, удовлетворяющего условиям (/3), с непроективно-евклидо-вым пространством аффинной связности, удовлетворяющим условию (б), не превосходит п\ + тг^ — 2щ — Зпг + 11.

Теорема 7. Если каждое пространство (°М„,, "V) (а = 1,2) удовлетворяет условию (а), то размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения этих пространств не превосходит п2 — 5п + 14, где п = щ + пг, причем указанная граница является точной.

Теорема 8. Если каждое пространство (аМПо, "V) (а = 1,2) удовлетворяет условию (б), то размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (1М„, х2 М„2, 'V х2 V) не превосходит п2 — 7п + 22, где п = щ + пг, причем указанная граница является точной.

Теорема 9. Если пространство [1МЩ, 'V) удовлетворяет условию (б), а (2МП2, 2У) — условию (а), то размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (1М„1 х2 Мпг, х2 V) не превос-

ходит п2 — 6п + 18, где п = п^ + П2, причем указанная граница — точная.

В главе 4 рассматриваются инфинитезимальные аффинные преобразования вещественных реализаций Vй голоморфной линейной связности V на где А — алгебра двойных чисел. Так как вещественная реализация многообразия есть многообразие причем =1М„ х2 Мп и V® V х2 V [3], то результаты полученные в предыдущих главах применены к пространству (М^,, V11) с учетом того, что многообразия аМ (а = 1,2) имеют одну и ту же размерность.

Список литературы

[1] Аминова, A.B. Группы проективных и аффинных движений в пространствах общей теории относительности, I / A.B. Аминова // Труды геометрического семинара. ВИНИТИ. - Т. 6. -М., 1974 - С. 317-346.

[2] Аминова, A.B. Группы почти проективных движений пространств аффинной связности / A.B. Аминова // Известия вузов. Математика. — 1979. - № 4. - С. 71-75.

[3] Вишневский, В.В. Пространства над алгебрами / В.В. Вишневский, А.П. Широков, В.В. Шурыгин. — Казань.: Изд-во Казан, ун-та, 1984. — 262 с.

[4] Егоров, И.П. Движения в пространствах аффинной связности.: Дис.... докт. физ.-мат. наук: 01.01.04 / И.П. Егоров. — МГУ, 1955.

[5] Егоров, И.П. Движения в обобщенных дифференциально-геометрических пространствах / И.П. Егоров // Итоги науки / ВИНИТИ: Алгебра, топология, геометрия. 1965. - М., 1967 - С. 375-428.

[6] Егоров, И.П. Автоморфизмы в обобщенных пространствах / И.П. Егоров // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. - Т. 10: Проблемы геометрии. -М., 1978. - С. 147-192.

[7] Картан, Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства / Э. Кар-тан. - М.: ИЛ, 1949. - 384 с.

[8] Лаптев, Б.Л. Дифференцирования Ли / Б.Л. Лаптев // Итого науки / ВИНИТИ: Алгебра. Топология. Геометрия. 1965. - М., 1967. - С. 429-465.

[9] Норден, А.П. Пространства декартовой композиции / А.П. Норден // Известия вузов. Математика. - 1963. - № 4(35). - С. 117-128.

[10] Норден, А.П. Пространства аффинной связности / А.П. Норден. - М.: Наука, 1976. - 431 с.

[11] Рашевский, П.К. Симметрические пространства аффинной связности / П.К. Рашевский // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. - Вып. 8, 1950. - С. 82-92.

[12] Султанов, А.Я. О максимальной размерности интранзитивных групп

движений пространств аффинной связности / А.Я. Султанов // Движения в обобщенных пространствах: Межвузовский сборник научных трудов. - Пенза, 2000. - С. 79-90.

[13] Схоутен, И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии / И.А. Схоутен, Д.Дж. Стройк. - М.: Гос. изд. ин. лит., 1948. - Т. 2. - 348 с.

[14] Шапуков, В.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях./ Б.Н. Шапуков // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. - Т. 15: Проблемы геометрии. - М., 1983. - С. 61-93.

[15] Шапуков, Б.Н. Производная Ли на расслоенных многообразиях / Б.Н. Шапуков // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. - Т. 73: Современная математика и ее приложения. Темат. обзоры. - М., 2002. - С. 103-134.

[16] Широков, П.А. Избранные работы по геометрии / П.А. Широков. -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1966. - 442 с.

[17] Шурыгин, В.В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй / В.В. Шурыгин // Успехи матем. наук. - 1993. -Т. 48. - № 2(290). - С. 75-106.

Публикации автора по теме диссертации

[18] Моргун, М.В. Некоторые свойства прямого произведения линейных связностей / М.В. Моргун // Движения в обобщенных пространствах: Меж-вуз. сб. научн. тр. - Пенза: ПГПУ, 2005, С. 84-90.

[19] Моргун, М.В. О прямом произведении линейных связностей / М.В. Моргун // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казанского матем. об-ва, 2005. - Т. 31. - С. 104-106.

[20] Моргун, М.В. Об аффинных векторных полях прямого произведения проективно-евклидовых пространств аффинной связности / М.В. Моргун // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казанского матем. об-ва, 2006. - Т. 34. - С. 164-165.

[21] Моргун, М.В. О размерностях алгебр Ли инфинитезимальных аффин-

ных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности / М.В. Моргун // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Меж-вуз. темат. сб. научн. тр. — Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2006. — Вып. 37. - С. 113-119.

[22] Моргун, М.В. О размерностях алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямых произведений пространств аффинной связности / М.В. Моргун // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. — Чебоксары, 2006. - С. 112-117.

[23] Моргун, М.В. Об алгебрах Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения проективно-евклидовых и непроективно-евклидовых пространств аффинной связности / М.В. Моргун // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казанского математического об-ва, КГУ, 2007. - Т. 36. - С. 151-154.

[24] Моргун, М.В. Об алгебрах Ли аффинных векторных полей прямого произведения проективно-евклидового пространства аффинной связности и непроективно-евклидового пространства аффинной связности / М.В. Моргун // Петровские чтения: Материалы XIX Международной летней школы-семинара по современным проблемам теорет. и математ. физики. — Казань, 2007. - С. 34-35.

[25] Моргун, М.В. Об алгебрах Ли аффинных векторных полей прямого произведения проективно-евклидового и плоского пространств аффинной связности / М.В. Моргун // Лаптевские чтения: Сб. тр. Международ, геометр. семин. им. Г.Ф. Лаптева. - Пенза: ПГПУ. - Пенза, 2007. - С. 74-79.

[26] Моргун, М.В. О прямом произведении неплоских проектиено-евклидо-вых пространств аффинной связности / М.В. Моргун // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. — Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. - Вып. 38. - С. 103-106.

[27] Моргун, М.В. Об алгебрах Ли аффинных векторных полей вещественных реализаций голоморфных линейных связностей / М.В. Моргун,

А.Я. Султанов // Известия вузов. Математика. — 2008. — № 4. — С. 59-65.

[28] Моргун, М.В. О вещественной реализации голоморфной линейной связности специального вида над алгеброй двойных чисел / М.В. Моргун // Петровские чтения: Материалы XX Международ, летней школы-семин. по современным проблемам теорет. и матем. физики. — Казань, 2008. — С. 43

[29] Моргун, М.В. Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения двух пространств аффинной связности с дополнительными условиями. I / М.В. Моргун // Известия Пензен. гос. пед. ун-та. Физ.-матем. и тех. науки. — Пенза, 2008. — № 8(12). - С. 28-32.

[30] Моргун, М.В. Аффинные преобразования вещественных реализаций голоморфных линейных связностей с несимметричным тензорным полем Рич-чи над алгеброй двойных чисел / М.В. Моргун // Тр. участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 9-15 сентября. — Ростов-на-Дону, 2008. — С. 49-50.

Подписано к печати "10"марта 2009 г. Усл.-печ. л. 1,12. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №28/09.

РИО Пензенского государственного педагогического университета имени В.Г. Белинского: 440026, г. Пенза, ул. Лермонтова, 37. Корпус 5. Комн. 466.

ВВЕДЕНИЕ

1 Прямое произведение пространств аффинной связности

1.1 Прямое произведение гладких многообразий.

1.2 Прямое произведение пространств аффинной связности по А. П. Нор-дену.

1.3 Продолжение тензорных полей с гладких многообразий на их прямое произведение

1.4 Прямое произведение аффинных связностей и естественные продолжения векторных полей.

1.5 О проективно-евклидовости прямого произведения пространств аффинной связности.

1.6 Симметрические прямые произведения пространств аффинной связности.

1.7 Рекуррентность прямого произведения пространств аффинной связности.

2 Инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения проективно-евклидовых пространств аффинной связности

2.1 Алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований

2.2 Исследование уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности

2.3 О размерностях алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евкли-дового пространства аффинной связности и плоского.

2.4 Алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоских проективно-евклидовых пространств аффинной связности

3 Инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения пространств аффинной связности в случае? когда хотя бы одно из них непроективно-евклидово

3.1 О прямом произведении пепроективно-евклидового и плоского пространств аффинной связности

3.2 Аффинные преобразования прямого произведения неплоского проективно-евклидового и непроективно-евклидового пространств аффинной связности.

3.3 Аффинные преобразования прямого произведения непроективно-евклидовых пространств аффинной связности.

4 Аффинные преобразования вещественных реализаций голоморфных линейных связностей над алгеброй двойных чисел

4.1 Голоморфные функции над алгеброй двойных чисел.

4.2 Гладкие многообразия над алгеброй двойных чисел и их вещественные реализации.

4.3 Вещественные реализации векторных полей и голоморфных линейных связностей.-.

4.4 Инфинитезимальные аффинные преобразования вещественных реализаций голоморфных линейных связностей над алгеброй двойных чисел.

Актуальность темы. Понятие аффинной связности возникло в 1917 г. в римановой геометрии (в виде Леви-Чивита связности); самостоятельный смысл оно обрело в 1918-24 гг. в работах Г. Вейля [51] и Э. Картана [50]. В 1927 году впервые поставлен вопрос о движениях в пространствах аффинной связности JI. П. Эйзенгардтом и М. С. Кнебельманом. Они получили систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, определяющую составляющие бесконечно малого движения в пространстве аффинной связности и доказали, что группа движений конечномерна и ее размерность не превосходит п2 + п. Ими же было установлено, что пространства, допускающие группу движений размерности п2 + п, являются локально плоскими. Начиная с 30-х годов^исследуются движения симметрических проективно-евклидовых пространств аффинной связности П. А. Широковым [45]. В это же время в теории симметрических пространств аффинной связности проводились исследования Э. Картаном [23], П. К. Рашевским [36]. Изучением симметрических пространств занимались также И. JI. Кантор, А. И. Сирота, А. С. Солодовников [22]. Начиная с 40-х годов, исследованием групп движений пространств аффинной связности занимались К. Яно, У. Муто, И. Левин, Г. Вранчаиу, Я. Л. Шапиро, В. Думитраш. Результаты, полученные вышеуказанными учеными приведены в обзоре И. П. Егорова [21]. Б. Л. Лаптев исследовал многообразия с объектами аффинной и проективной связностей, зависящими от точки и направления, им получены условия интегрируемости уравнений проективных и аффинных движений в инвариантной форме [29]. Дальнейшее развитие теории связностей, производной Ли было продолжено Б. Н. Шапуковым [43], [44], В. В. Шурыгиным [46].

Важные результаты в теории групп движений пространств аффинной связности были получены и И. П. Егоровым [14] - [21]. Внимание И. П. Егорова привлекла опубликованная в 1903 году теорема Фубини: не существует рима-новых пространств с полной группой движений порядка — 1, то есть на единицу меньше наивысшего порядка , который допускают лишь пространства постоянной кривизны и только они. И. П. Егоров впервые поставил аналогичный вопрос для пространств аффинной связности, а именно: существуют ли пространства аффинной связности, обладающие группами движений порядка г = п2 + п — 1? В 1945 году им установлено, что максимальная размерность группы движений пространств аффинной связности без кручения ненулевой кривизны равна точно п2, причем, как оказалось, такие группы движений необходимо транзитивны. Из этого следовало, что не существует пространств аффинной связности, группы движений которых имеют размерности г, где п2 < г < п2 + п (п > 2). Тем самым была выявлена первая лакуна, то есть интервал 'запрещенных' размерностей групп движений пространств аффинной связности. Им же найдена максимальная размерность интранзитивных групп движений не плоских пространств аффинной связности, которая равна тт.2 — 1. Все пространства, допускающие группы движений размерности п2,п2 — 17были названы пространствами второй лакунарности (пространства первой лакунарности —■ локально плоские пространства). Пространства второй лакунарности имеют следующую тензорную характеристику: эти пространства просктивно-евклидовы ненулевой кривизны и тензорное поле Риччи — симметричное. Такие пространства называются эквипроек-тивными. Изучая группу аффинных преобразований проективно-евклидовых пространств с несимметричным тензорным полем Риччи, И. П. Егоров доказал, что максимальная размерность групп движений таких пространств равна точно п2 — п + 1. Таким образом, было доказано наличие еще одной лакуны. Пространства с группами движений размерности п2 — п — 2, п2 — п — 1, п2 — тт., п2 — п + 1 называются пространствами третей лакунарности. Далее И. П. Егоровым было установлено, что пространствам, максимальная размерность групп движений которых равна п2 — n +1, предшествуют пространства, допускающие группы движений максимальной размерности п2 — 2п + 5 {п > 3). Эти группы являются транзитивными. Пространства, размерности групп движений которых не превосходят п2 — 2п + 5, являются непроективпо-евклидовыми, то есть тензор Вейля таких пространств отличен от нуля. Непроективио-евклидовые пространства аффинной связности относятся к пространствам четвертой лакунарности. Максимальная размерность интранзитивных групп движений непроективно-евклидовых пространств аффинной связности была установлена в 2000 году А. Я. Султановым [39], она равна п2 — 2п + 3. В своих исследования И. П. Егоров применил метод, основанный на изучении условий интегрируемости уравнений движений, который в последствии нашел развитие и применение в работах А. В. Аминовой [1], [2], Н. С. Синюкова [38], А. 3. Петрова [35], А. Я. Султанова [39], [40] и других ученых.

В 1963 году в работе [33] А. П. Нордена введено понятие пространства декартовой композиции. В этой же работе А. П. Норден показал, что задание аффинной связности, по отношению к которой композиция является декартовой, равносильно заданию произвольной аффинной связности на любой позиции каждого базисного многообразия. Среди этих связностей можно выделить связности, являющиеся прямым произведением аффинных связностей. Исследованию групп движений пространств аффинной связности, представляющих собою прямое произведение двух пространств аффинной связности, посвящена данная диссертационная работа. Известно, что размерность групп движений пространства аффинной связности равна размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований.

Целью диссертационной работы является исследование алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности, инфинитезимальных аффинных преобразований вещественной реализации голоморфной линейной связности над алгеброй двойных чисел.

Методы исследования. В диссертации применяются результаты и методы локальной дифференциальной геометрии, теории групп Ли преобразований, используется аппарат тензорного анализа и производной Ли.

Научная новизна результатов. В диссертационной работе получены оценки размерностей алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения двух пространств аффинной связности в следующих случаях:

1) одно из пространств является неплоским проективно-евклидовым, а другое локально плоским;

2) оба сомножителя прямого произведения являются неплоскими проек-тивно-евклидовыми пространствами аффинной связности;

3) одно пространство — проективно-евклидовое, а другое пространство является непроективно-евклидовым;

4) оба пространства являются непроективно-евклидовыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании прямого произведения пространств аффинной связности, в теоретической и математической физике, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов и факультативных курсов для студентов-математиков.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на всероссийских молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения"(Казань, КГУ, 2005, 2006, 2007), на международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения"(Казань, КГУ, 2007), на международном геометрическом семинаре им. Г.Ф. Лаптева (Пенза, ПГПУ, 2007), на геометрическом семинаре кафедр геометрии и алгебры ПГПУ (рук. проф. В. И. Папьженский и проф. А. Я. Султанов), на внутривузовских конференциях профессорско-преподавательского состава физико-математического факультета ПГПУ (2006, 2007, 2008), на геометрическом семинаре кафедры геометрии КГУ (2008).

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации отражены в 13 опубликованных работах автора, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы и списка публикаций автора по теме

1. Аминова, А. В. Группы проективных и аффинных движений в пространствах общей теории относительности / А. В. Аминова // Труды геометрического семинара. ВИНИТИ. - Т. 6. - М., 1974 - С. 317-346.

2. Аминова, А. В. Группы почти проективных движений пространств аффинной связности / А. В. Аминова // Известия вузов. Математика. — 1979. № 4. - С. 71-75.

3. Бишоп, Р. Геометрия многообразий / Р. Бишоп, Р. Криттенден. — М.: Мир, 1967. 335 с.

4. Бурбаки, Н. Алгебра. Алгебраические структуры, линейная и полилинейная алгебра / Н. Бурбаки. — М.: Физматгиз, 1962. — 516с.

5. Вольф, Дж. Пространства постоянной кривизны: Пер. с англ. / Дж. Вольф. М.: Наука. - 1982. - 480 с.

6. Винберг, Э. Б. Об инвариантных линейных связностях / Э. Б. Винберг // ДАН СССР. Т. 128. е 4. - 1959. - С. 653-654.

7. Винберг, Э. Б. Инвариантные линейные связности в однородном пространстве / Э. Б. Винберг // Тр. Московск. матем. о-ва. — Т. 9. — 1960. — С. 191210.

8. Вишневский, В. В. О вещественных реализациях тензорных операций в пространствах над алгебрами / В. В. Вишневский // Известия вузов. Математика. 1974. - № 5. - С. 62-65.

9. Вишенвский, В. В. Интегрируемые аффинные структуры и их плюральные интерпретации / В. В. Вишневский // Итоги науки и техники / ВИНИТИ — Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М., 2002. С. 5-64.

10. Вишневский, В. В. Пространства над алгебрами / В. В. Вишневский,A. П. Широков, В. В. Шурыгин. — Казань.: Издательство Казанского университета, 1984. — 262 с.

11. Громол, Д. Риманова геометрия в целом / Д. Громол, В. Клингенберг,B. Мейер. М.: Мир, 1971. - 297 с.

12. Джекобсон, Н. Алгебры Ли / Н. Джекобсон. — М.: Мир. — 1964. — 355с.

13. Дубровин, Б. А. Современная геометрия. Методы и приложения / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. — М.: Наука, 1979. — 760 с.

14. Егоров, И. П. О порядке групп движений пространств аффинной связности / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 57, № 9. - 1947. - С. 867-870.

15. Егоров, И. П. О порядке групп движений пространств аффинной связности / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 61, № 4. - 1948. - С. 605-608.

16. Егоров, И. П. О группах движений пространств несимметрической аффинной связности / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 64, № 5. - 1949.C. 621-624.

17. Егоров, И. П. О группах движений пространств общей несимметрической аффинной связности / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 73, № 2. - 1950.- С. 265-267.

18. Егоров, И. П. Тензорная характеристика максимально подвижных Л.п ненулевой кривизны / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 84, № 2. - 1952.- С. 209-212.

19. Егоров, И. П. Движения в пространствах аффинной связности.: Дис. докт. физ-мат. наук: 01.01.04 / И. П. Егоров. — МГУ, 1955.

20. Егоров, И. П. Эквиаффинные пространства третьей лакунарности / И. П. Егоров // ДАН СССР. Т. 103, № 1. - 1956. - С. 151-152.

21. Егоров, И. П. Движения в обобщенных дифференциально-геометрических пространствах / И. П. Егоров // Итоги науки / ВИНИТИ: Алгебра, топология, геометрия. 1965. — М., 1967. — С. 375-428.

22. Кантор, И. JI. Один класс симметрических пространств с расширяемой группой движений и обобщений модели Пуанкаре / И. JI. Кантор, А. И. Сирота, А. С. Солодовников // Докл. АН СССР, 1967. — № 3 С. 511-514

23. Картап, Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства / Э. Кар-тан. М.: ИЛ, 1949. - 384 с.

24. Келли, Дж. Общая топология / Дж. Келли. — М.: Наука, 1981. — 432 с.

25. Кобаяси, Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси. — М.: Наука, 1986. 224 с.

26. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1 / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. — М.: Наука, 1981. — 344 с.

27. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2 / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

28. Косневски, Ч. Начальный курс алгебраической топологии / Ч. Коснев-ски. М.: Мир, 1983. - 302 с.

29. Лаптев, Б. Л. Дифференцирования Ли / Б. Л. Лаптев // Итого науки / ВИНИТИ: Алгебра. Топология. Геометрия. 1965. М., 1967. - С. 429-465.

30. Малахальцев, М. А. Структуры многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе / М. А. Малахальцев // Труды геом. семин. Казанск. ун-т, 1994. - № 22. - С. 47-62.

31. Мищенко, А. С. Дифференциальная геометрия и топология / А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко. М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1980. - 439 с.

32. Номидзу, К. Группы Ли и дифференциальная геометрия / К. Номидзу.- М.: ИЛ, 1960. 128 с.

33. Норден, А. П. Пространства декартовой композиции / А. П. Норден // Известия вузов. Математика. 1963. - № 4(35). - С. 117-128.

34. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. М.: Наука, 1976. - 431 с.

35. Петров, А. 3. Классификация пространств, определяемых полями тяготения по группам движений / А. 3. Петров // Успехи матем. наук, 1956. — № 4. С. 181-182.

36. Рашевский, П. К. Симметрические пространства аффинной связности / П. К. Рашевский // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. Вып. 8, 1950.- С. 82-92.

37. Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. — М.: Гос. изд-во технико-теорет. литер., 1953. 363 с.

38. Синюков. Н. С. Геодезические отображения римановых пространств / Н. С. Синюков. М.: Наука, 1979. - 256 с.

39. Султанов, А. Я. О максимальной размерности интранзитивных групп движений пространств аффинной связности / А. Я. Султанов // Движения в обобщенных пространствах: Межвузовский сборник научных трудов. -Пенза, 2000. С. 79-80.

40. Султанов, А. Я. Аффинные преобразования многообразий с линейной связностью и автоморфизмы линейных алгебр / А. Я. Султанов // Известия вузов. Математика. 2003. - № И. - С. 77-81.

41. Схоутен, И. А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии / И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк. — М.: Гос. изд-во иност. лит-ры, 1948. -Т. 2. 348 с.

42. Фоменко, А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы / А. Т. Фоменко. М.: МГУ, 1983. - 217 с.

43. Шапуков, Б. Н. Связности на дифференцируемых расслоениях./ Б. Н. Шапуков // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. Т. 15: Проблемы геометрии. - М., 1983. - С. 61-93.

44. Шапуков, Б. Н. Производная Ли на расслоенных многообразиях / Б. Н. Шапуков // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - М., 2002. -С. 103-134.

45. Широков, П. А. Избранные работы по геометрии / П. А. Широков. -Казань: изд-во Казанск. ун-та, 1966. 442 с.

46. Шурыгин, В. В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй / В. В. Шурыгин // Успехи матем. наук. 1993. -Т. 48. - № 2(290). - С. 75-106.

47. Шурыгин, В. В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и многообразия Вейля / В. В. Шурыгин // Итоги науки и техники / ВИНИТИ- Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры.- М., 2002. С. 162-236.

48. Эйзенхарт, Л. П. Непрерывные группы преобразований / Л. П. Эйзен-харт. М.: ИЛ, 1947. - 359 с.

49. Эйзенхарт, Л. П. Риманова геометрия / Л. П. Эйзенхарт. М.: ИЛ, 1948 -316 с.

50. Cartan, Ann. scient. Ecole norm, super / E. Cartan, 1923 T. 40 — Pp. 325-412,

51. Weyl, Raum, Zeit, Materie / H. Weyl // 5 Aufl., В., 1923,

52. Yano, К. The theory of Lie derivatives and its applications / K. Yano // Amsterdam: North-Holland. 1957. - 299 pp.Публикации автора по теме диссертации

53. Моргун, М. В. Некоторые свойства прямого произведения линейных связностей / М. В. Моргун // Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. научн. тр. — Пенза: ПГПУ, 2005, С. 84-90.

54. Моргун, М. В. О прямом произведении линейных связностей / М. В. Моргун // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казанского матем. общества, 2005. — Т. 31. — С. 104-106.

55. Моргун, М. В. О размерностях алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямых произведений пространств аффинной связности / М. В. Моргун // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. — Чебоксары, 2006. — С. 112-117.

56. Моргун, М. В. Об алгебрах Ли аффинных векторных полей вещественных реализаций голоморфных линейных связностей / М. В. Моргун, А. Я. Султанов // Известия вузов. Математика. — 2008. — № 4. — С. 59-65.