Параллельные перенесения на поверхности проективного пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

А. Исторический обзор.

Б. Описание работы и результатов.

ГЛАВА 1. Поверхность проективного пространства в репере нулевого порядка

§ 1. Структурные уравнения.

§2. Фундаментальный объект высшего порядка.

§3. Центропроективная связность.

§4. Оснащение Бортолотти и индуцированные связности.

§5. Объект деформации.

§6. Вырожденные параллельные перенесения.

§7. Параллельные перенесения произвольного направления.

§8. Параллельные перенесения нормали 2-го рода.

§9. Протосвязность.

§10. Параллельные перенесения касательного направления.

ГЛАВА 2. Поверхность проективного пространства в репере первого порядка

§ 1. Расслоение, ассоциированное с поверхностью.

§2. Расслоение голономных линейных реперов.

§3. Связность в ассоциированном расслоении.

§4. Оснащение Э.Картана, нормализация А.П.Нордена и композиционное оснащение.

§5. Индуцированные связности трех типов.

§6. Тензоры деформации.

§7. О неподвижности гиперплоскости Бортолотти.

§8. Тензор параллельности.

§9. Абсолютные параллельные перенесения нормали

2-го рода и плоскости Картана.

§10. Перенесение А.П.Нордена.

§11. Перенесение А.В.Чакмазяна.

§12. Перенесение направления общего положения.

§13. Коаффинное параллельное перенесение.

§14. Сильное перенесение нормального направления.

ГЛАВА 3. Поверхность проективного пространства в репере второго порядка

§1. Ассоциированное расслоение.

§2. Объекты связности и кривизны.

§3. Композиционное оснащение и индуцированные связности.

§4. Тензор деформации.

§5. Условия совпадения индуцированных связностей.

§6. Тензор параллельности.

§7. Параллельные перенесения оснащающих плоскостей.

§8. Линейные параллельные перенесения.

§9. Нелинейные параллельные перенесения.

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связ-ностей в различных расслоенных пространствах, а также применение этой теории при исследовании погруженных многообразий. Теории связностей положила начало в 1917 г. работа Леви-Чивита [58] о параллельном перенесении касательного к поверхности вектора в римановом пространстве. Эта идея сразу нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. В частности, сформировалось понятие аффинной связности. Э.Картан касательные векторные пространства дифференцируемого многообразия заменяет аффинными или проективными пространствами и задает отображения соседних пространств друг на друга, что приводит к пространствам аффинной и проективной связностей. В.В.Вагнер [1] и Ш.Эресман [56] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

Дальнейшее развитие теории связностей с привлечением методов Э.Картана и теории геометрических объектов дано в работах Г.Ф.Лаптева [8]. В своих исследованиях Г.Ф.Лаптев придерживался локальной точки зрения, однако, благодаря применяемому методу, полученные результаты фактически приобретают глобальный характер. Одновременно с развитием общей теории погруженных многообразий Лаптев изучал пространства с фундаментально групповой связностью. Им было введено и развито понятие многообразия геометрических объектов, т.е. многообразия расслоенной структуры, снабженного полем образующего элемента, и изложены основы теории дифференциальной связности в многообразиях геометрических элементов, созданной с помощью введения определяющих связность отображений. В дальнейшем связность в расслоенных пространствах вводилась Лаптевым также как поле некоторого объекта, называемого объектом связности [9]. Понятие связности, возникшее в дифференциальной геометрии как обобщение понятия параллельного перенесения, в дальнейшем стало отождествляться с понятием геометрического объекта специального вида. Объект связности (того или иного порядка) является геометрическим объектом относительно дифференциальной группы (соответствующего порядка), либо обобщенной (в каком-то смысле) дифференциальной группы (напр., проективной дифференциальной группы) [10].

Начинает применяться другая трактовка [37] понятия связности, при которой над многообразием как над базой рассматривается последовательность расслоений, слои которых являются линейными представлениями дифференциальных групп, а связность ассоциируется с полями плоскостей, располагающихся в слоях этих расслоений. При этой трактовке понятие связности получает наглядную геометрическую интерпретацию, наблюдается аналогия с конструкциями, рассматриваемыми в классической дифференциальной геометрии. С этой точки зрения изучены аффинные связности и проективные связности.

Наряду с теорией связностей в главных расслоениях создается теория связностей в более общих однородных расслоениях. Связность в однородном расслоении вводится как дифференцируемое распределение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Так ее определил Ю.Г.Лумисте [11,12]. Вагнер рассматривал не только однородные расслоения, но также расслоения, типовыми слоями которых являются общие пространства Веблена-Уайтхеда, т.е. гладкие многообразия, и вводит в них связности (как линейные, так и нелинейные) при помощи систем дифференциальных уравнений определенного вида в локальных координатах. Лаптев ограничивается линейными связностями, определяя их как множесгва отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющих определенным условиям. Нелинейные связности в широком смысле аппаратом, разработанным Лаптевым, исследовал Л.Е.Евтушик [2].

Многие исследователи применяли связности в касательных расслоениях при изучении геометрии подмногообразий, вложенных в риманово пространство, в частности, в пространство постоянной кривизны. Первые применения понятия связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э.Картан. Г.Ф.Лаптев, следуя идеям Картана, выделил естественным образом комплекс внутренних геометрий на многомерной поверхности пространства аффинной связности. А.П.Норденом [16] разработан метод нормализации, позволяющий на подмногообразиях проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. А.В.Столяров [38] вводил аффинные связности на гиперполосном распределении и двойственные им линейные связности на оснащенных многообразиях пространства проективной связности. В работе [39] показано, что в случае гиперполосы n-мерного проективного пространства поле характеристик является параллельным в нормальной связности.

Э.Картан [5] вводил внутренне нормальное дифференцирование и гауссово кручение подмногообразия. В настоящее время эти понятия можно истолковать с помощью связности в нормальном расслоении и ее форм кривизны. Подмногообразия с общим параллельным нормальным векторным полем в пространствах постоянной кривизны рассматривались Ю.Г.Лумисте и А.В.Чакмазяном [13]. Детальное исследование локального строения подмногообразий в пространствах постоянной кривизны, допускающих параллельное поле р-мерных нормальных направлений дано А.В.Чакмазяном в [41]. В работах [42,43] исследовано локальное строение подмногообразия проективного пространства, нормализованного по Нордену, допускающего параллельное поле р-мерных нормальных направлений. Уравнения параллельного перенесения А-струи получены В.В.Шурыгиным в [54]. В работе [14] М.А.Малахальцев рассматривает внутреннюю геометрию связности Нейфельда и ее связь с нормализацией, задающей эту связность. Доказано, что задание нормализации эквивалентно заданию ковекторного поля, найдены условия на этот ковектор, при которых связность допускает поле абсолютно параллельного ковектора. Н.В.Талантовой в [40] дано геометрическое истолкование параллельного переноса вектора во внутренней геометрии нормализованной поверхности.

Для исследования многообразий, погруженных в какое-либо пространство представления Лаптев предлагает следующее [9]: 1) в исходном пространстве представления задается какое-либо погруженное многообразие системой линейных зависимостей между формами, определяющими это пространство представления; 2) система уравнений погруженного многообразия продолжается путем последовательного внешнего дифференцирования, сопровождаемого применением леммы Картана, в результате чего получается последовательность представлений, определяемая вполне интегрируемой системой форм (фундаментальные представления); 3) строятся всевозможные представления, охватываемые фундаментальными; 4) изучаются полученные представления и связи между ними. Эта схема исследования погруженных многообразий названа методом продолжений и охватов.

Большое внимание оснащениям уделено в работах Ю.И.Шевченко [50,52]. Введена обобщенная нормализация [44], позволяющая задать связность в главном расслоении, ассоциированном с поверхностью проективного пространства, представленной как многообразие соприкасающихся плоскостей, и состоящая в задании полей нормалей 1-го, 2-го и 3-го рода. С помощью удачного изложения понятия ковариантного дифференциала геометрического объекта относительно связности главного расслоения [46,48] удалось дать геометрические интерпретации нелинейным связ-ностям в узком смысле, а также линейной комбинации групповой связности на поверхности проективного пространства.

Б. Описание работы

Работа посвящена изучению параллельных перенесений направлений и плоскостей в линейных и нелинейных связностях в узком смысле вдоль линий поверхности проективного пространства, рассматриваемой в реперах 0-го, 1-го и 2-го порядков. Параллельные перенесения задаются вполне и не вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений и описываются с помощью ковариантных дифференциалов квазитензоров в случае нелинейных связностей и проективно-ковариантных дифференциалов в линейных связностях.

Методика исследований основана на применении способа Г.Ф.Лаптева задания связности в главных расслоениях и разработанного им метода продолжений и охватов.

В каждой главе все рассуждения проводятся по одной схеме.

1) В проективном пространстве Рп рассматривается поверхность Хт (0<т<п) как т-мерное многообразие (точек, касательных плоскостей, соприкасающихся плоскостей).

2) Подвижной репер адаптируется образующему элементу так, чтобы при его фиксации вторичные формы являлись инвариантными формами подгруппы в стационарности образующего элемента.

3) С поверхностью Хт в данном репере ассоциируется главное расслоение 0(Хт), базой которого является сама поверхность Хт, а типовым слоем - группа О.

4) В главном расслоении 0(Хт) задается фундаментально-групповая связность способом Г.Ф.Лаптева с помощью поля объекта связности Г на базе Хт.

5) Вводится композиционное оснащение поверхности Хт.

6) Объект связности Г охватывается разными способами фундаментальным объектом 1-го порядка поверхности Хт, оснащающим объектом и его пфаффовыми производными.

7) Строятся тензоры деформации индуцированных связностей, находятся аналитические и геометрические условия совпадения индуцированных связностей.

8) Описываются параллельные перенесения оснащающих плоскостей и направлений (в том числе абсолютные) в групповых связностях, заданных объектом связности Г и его подобъектами.

9) Вводится проективно-ковариантный дифференциал, позволяющий интерпретировать линейные связности с помощью параллельных перенесений направлений.

В главе 1 поверхность проективного пространства Рп изучается в репере 0-го порядка и обозначается Х^ [5,9,10,13]. В §§1,2 находятся дифференциальные уравнения фундаментального объекта р-го порядка { А^, А^,., А^ { } поверхности. Строится последовательность форм, получающихся при продолжении структурных уравнений базисных форм поверхности. Эти формы оказываются симметричными по нижним индексам. Таким образом, над поверхностью Х° , построено расслоение голо-номных линейных реперов произвольного порядка, типовым слоем которого является голономная дифференциальная группа Вагнера-Лаптева.

В главном расслоении центропроективных реперов 1-го порядка, ассоциированном с поверхностью, задается способом Лаптева центропроективная связность Г={ГЛ\, Гн}. Компоненты центропроективной кривизны 11= { , } удовлетворяют уравнениям

-Я^ю?-КМ =

Центропроективная кривизна является псевдотензором, т.е. объектом, обращение которого в нуль инвариантно. Псевдотензором является также подобъект линейной кривизны .

В §§4,5 производится оснащение Бортолотти, состоящее в присоединении к каждой точке поверхности гиперплоскости Бортолотти Рп15 задаваемой квазитензором Оно индуцирует центропроективные связности двух типов в ассоциированном расслоении. Доказаны теоремы (4.1; Б)1Связности двух типов совпадают тогда и только тогда, когда неподвижна гиперплоскость Бортолотти;

2) необходимым и достаточным условием обращения кривизны центропроективной связности (1-го и 2-го типов) в нуль является неподвижность гиперплоскости Бортолотти.

В §6 при изучении параллельных перенесений гиперплоскости Бортолотти в двух связностях исследуются вырожденные параллельные перенесения 1 -го типа (гиперплоскость неподвижна) и 2-го типа (гиперплоскость произвольно смещается во всем пространстве).

Строится проективно-ковариантный дифференциал оснащающего квазитензора Х\, с помощью которого дается геометрическая интерпретация линейной связности Гл\ с помощью параллельного перенесения направления. Также изучены параллельные перенесения направления в центропроективной связности 1-го и 2-го типов с помощью ковариантного дифференциала С использованием внешнего дифференциала от ковариантного дифференциала строится псевдотензор, при обращении которого в нуль перенесение является абсолютным. В §§7,8 параллельные перенесения нормали 2-го рода Нордена описаны в линейной связности Г^.

В §§9,10 построены объект касательной линейной протосвязности П]й и объект центропроективной протосвязности П^ , ITjk, которые геометрически охарактеризованы параллельными перенесениями касательного направления, определенными с помощью проективно-ковариантного и ковариантного дифференциалов. Доказано, что кручение индуцированной касательной линейной протосвязности равно нулю.

В главе 2 поверхность проективного пространства Рп изучается в репере 1-го порядка и обозначается Х]т [1,2,6,7,11,12,14-19]. В §§1,2 над поверхностью строится расслоение голономных линейных реперов произвольного порядка. С поверхностью ассоциируется главное расслоение 1-го порядка GCXj,,), в котором задается групповая связность Г={Г|к,

Гу 5 ^ы, raj, rai}, объект кривизны R={ Rjkl, Rijk, R^, R^jk, Raij} которой является тензором, содержащим, в частности, подтензор линейной кривизны Rjkl. Ассоциированное расслоение G(xJn) содержит в частности подрасс-лоение линейных реперов с уравнениями

DO)j=COkA(r»\, DCO^CO^ACOI +CÖ1 ACÖ^ (©Ь =Аи - -5jcok), в котором связность задается с помощью форм оРк= со]к- Г^со1 . Объект rjj является объектом касательной линейной связности и удовлетворяет уравнениям drjj + = Г]к1 со1. Тензор групповой кривизны R содержит подтензор касательной линейной кривизны.

В §4 производится композиционное оснащение, состоящее в задании плоскостей Картана Cn.m-i и нормалей 2-го рода Нордена Nm.j. Оно задается квазитензором Х={Л,;Д]ь,Л,а}. Доказано, если плоскость Картана смещается в нормали 1-го рода Нордена, натянутой на точку касания и соответствующую плоскость Картана, то нормализация 1-го рода порождает оснащение Картана-Остиану, совпадающее с исходным оснащением Картана. В §5 получены и рассмотрены три типа охвата компонент объекта групповой связности. Приведен способ нахождения охватов и примеры его применения. В §6 исследуются тензоры деформации связностей всех грех типов. Доказано, что условиями совпадения типов связностей является неподвижность гиперплоскости Бортолотти Pni, натянутой на плоскость Картана Cn.mi и нормаль 2-го рода Nmi. Установлено, что при этом кривизна индуцированной связности равна нулю.

В §8 построен тензор параллельности M={Mijk,MlJK, Maij}, компоненты которого есть комбинации компонент объекта кривизны R с коэффициентами - компонентами композиционно оснащающего квазитензора X, при обращении которого в нуль параллельное перенесение становится абсолютным. Подтензор Мук, например, выражается следующим образом £

Myk=Rijk-A,Y В §9 определены параллельные перенесения плоскости

Картана и нормали 2-го рода Нордена в связностях 1 -го и 2-го типа.

В §§10,11 с помощью проективно-ковариантных дифференциалов VjiJ -V|i,b квазитензоров ц',|/, задающих касательное и нормальное направления, получены геометрические характеристики касательной Г^ и нормальной Г^ линейных связностей, которые совпадают с перенесениями А.П.Нордена и А.В.Чакмазяна. С помощью ковариантных дифференциалов в §§13,14 изучены параллельное перенесение касательного направления в коаффинной связности и параллельные перенесения нормального направления, заданные вполне и не вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений.

В главе 3 поверхность рассматривается в репере 2-го порядка и обозначается Х^ [3,4,8]. Найдены уравнения главного расслоения, ассоциированного с поверхностью, типовым слоем которого является подгруппа стационарности соприкасающейся плоскости. Показывается двойственный характер действия некоторых групп, являющихся типовыми слоями под-расслоений главного расслоения. В §2 в ассоциированном расслоении задается групповая связность Г= {Г^ ,Гу,Гь*,Г V,Га1,Г^,Г*,Г'ц,Ги1}, объект кривизны Л= у'-^иу'^^к'-^иу} которой является тензором, содержащим ряд подтензоров.

Произведено композиционное оснащение поверхности состоящее в присоединении к каждой точке поверхности нормали 2-го рода Нордена и двух плоскостей, которые в прямой сумме с касательной и соприкасающейся плоскостями дают соответственно соприкасающуюся плоскость и все пространство. Композиционное оснащение индуцирует групповые связности двух типов в ассоциированном расслоении. В §4 изучается тензор деформации связностей и даются геометрические условия совпадения связностей двух типов и некоторых их подсвязностей. Доказана теорема: если оснащающая плоскость, дополняющая соприкасающуюся плоскость до всего пространства, смещается в нормали 1 -го рода, то композиционное оснащение порождает обобщенную нормализацию, состоящую в задании нормалей 1-го, 2-го и 3-го рода.

В §7 определены и изучены параллельные перенесения оснащающих плоскостей. В линейных связностях Г^ , Г^, Г ^ охарактеризованы параллельные перенесения касательного и двух нормальных направлений (принадлежащего и не принадлежащего соприкасающейся плоскости) с помощью проективно-ковариантных дифференциалов.Введены и геометрически охарактеризованы пучки групповых связностей.

1. Вагнер В. В. Теория составного многообразия // Тр. семин. по вект. итенз. анализу. -М.; Л., 1950. -Вып.8. -С. 11-72.

2. Евтушик Л.Е. Дифференциальные связности и инфинитезимальные преобразования продолженной псевдогруппы // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1963. -Т.2. -С.119-150.

3. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. /ВИНИТИ. -М., 1979. -Т.9. -С.5-247.

4. Картан Э. Пространства проективной связности // Тр. семин. по вект. итенз. анализу, 1937. -Вып.4. -С.160-173.

5. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. -М., Моск. ун-т,1960. -307с.

6. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии.-М.: Наука, 1986. -224с.

7. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, пер. сангл. -М, 1981.-Т. 1.-344с.

8. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразийТр. Моск. мат. о-ва. 1953. -Т.2. -С.275-382.

9. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства //Тр. 4-го Всесоюз. мат. съезда (1961). -Л., 1964. -Т.2. -С.226-233.

10. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. -Т.1. -С.139-189.

11. Лумисте Ю.Г. Связности в однородных расслоениях // Мат. сб. 1966. -Т.69. -С. 434-469.

12. Лумисте Ю.Г. Однородные расслоения со связностью и их погружения //Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1966. -Т.1. -С. 191-237.

13. Лумисте Ю.Г., Чакмазян A.B. Подмногообразия с параллельным нормальным векторным полем// Известия вузов. Математика. 1974. -№5. -С.148-157.

14. Малахальцев М.А. О внутренней геометрии связности Нейфельда // Известия вузов. Математика. 1986. -№2. -С.67-69.

15. Малаховский B.C. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1978. 84с.

16. Норден А. П. Пространства аффинной связности. -М., 1976. -432с.

17. Остиану Н.М. Геометрических объектов теория // Мат. энц. М.,1984. Т.1. С.937.

18. Полякова К. В. Параллельные перенесения направлений вдоль поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1996. -Вып.27. -С.63-70.

19. Полякова К. В. О параллельных перенесениях направлений вдоль поверхности проективного пространства // XXVII науч. конф. Калинингр. ун-та: Тез. докл. Часть 6. -Калининград, 1996. -С. 13-14.

20. Полякова К. В. Параллельные перенесения на многообразии соприкасающихся плоскостей поверхности // Там же. 1997. -Вып.28. -С.59-64.

21. Полякова К. В. Связности в расслоениях, ассоциированных с многообразием пар касательной и соприкасающейся плоскостей поверхности// Тр. геом. семин. -Казань, 1997. -Вып.23. -С.99-112.

22. Полякова К. В. Вырожденные параллельные перенесения на поверхности как точечном многообразии // XXVIII науч. конф. Калинингр. унта: Тез. докл. Часть 6. -Калининград, 1997. -С.7.

23. Полякова К. В. Параллельные перенесения, заданные не вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений // Диф. геом. многообр. фигур. -Калининград, 1998. -Вып.29. -С.48-53.

24. Полякова К. В. Не вполне интегрируемые параллельные перенесения на многообразии касательных плоскостей // XXIX науч. конф. Кали-нингр. ун-та: Тез. докл. Часть 6. -Калининград, 1998. -С.7.

25. Полякова К. В. Parallel displacements along manifold of osculating planes of a surface // International congress of mathematicians, Berlin, 1998. Abstracts of short communications and poster sessions. -P.78-79.

26. Полякова К. В. О голономности поверхности проективного пространства // XXX науч. конф. Калинингр. ун-та: Тез. докл. Часть 6. -Калининград, 1999. -С.7-8.

27. Полякова К. В. Вырожденные параллельные перенесения на поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. -Калининград, 1999. -Вып.29. -С.64-68.

28. Полякова К. В. Три типа связностей на поверхности проективного пространства // материалы школы-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". -Казань, 1999. Тез. докл. -С.179-180.

29. Полякова К. В. Понятие протосвязности на поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. -Вып.31. -С.58-65.

30. Полякова К. В. Тензор параллельности // Тр. мат. центра им. Н.И.Лобачевского. -Казань, 2000. -Т.5. -С. 174.

31. Полякова К. В. Касательная линейная и коаффинная связности на поверхности проективного пространства // Матер, науч. семин. Кали-нингр. госуниверситета. -Калининград, 2000. -С.30-33.

32. Полякова К.В. Индуцированные центропроективная и линейная связности на поверхности // Тр. мат. центра им. Н.И.Лобачевского. -Казань, 2001. -Т. 12. -С.52-53.

33. Полякова К.В. Тензор параллельности и абсолютные параллельные перенесения // Диф. геом. многообр. фигур. -Калининград, 2001. -Вып.32. -С.80-83.

34. Полякова К.В. Псевдосвязность как специальная геометрическая связность // Тр. мат. центра им. Н.И.Лобачевского. -Казань, 2002. -Т. 18. -С.71-72.

35. Polyakova K.V. Pseudoconnection as special geometric connection // Докл. межд. мат. семин.: к 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета. -Калининград, 2002. -С.138-144.

36. Рыбников А. К. Соприкасающиеся пространства и связности. 1 // Вестн. МГУ. Мат. мех. 1979. -№6. -С.44-48.

37. Столяров A.B. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1975. -Т.7. -С. 117-151.

38. Столяров A.B. Двойственные нормальные связности на регулярной гиперполосе // Известия вузов. Математика. 1985. -№9. -С.7275.

39. Талантова Н.В. Геометрический смысл параллельного переноса вектора в методе нормализации Нордена // Тр. геом. семин. -Казань, 1981. -Вып. 13. -С.70-72.

40. Чакмазян А. В. Подмногообразия с параллельным р-мерным подрасс-лоением нормального расслоения// Известия вузов. Математика. -1976. -№8. -С. 107-110.

41. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Ут в Рп// Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1978. -Т. 10. -С.55-74.

42. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990. 116с.

43. Шевченко Ю. И. Об оснащении многомерной поверхности проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1977. -Вып.8. -С. 135-150.

44. Шевченко Ю. И. Параллельные перенесения на поверхности// Там же. 1979. -Вып. 10. -С.154-158.

45. Шевченко Ю. И. Геометрическая характеристика некоторых индуцированных связностей поверхности // Там же. 1981. -Вып. 12. -С. 126130.

46. Шевченко Ю. И. Структура оснащения многообразия линейных фигур // Тез. докл. VI прибалт, геом. конф. Таллин, 1984. -С. 137-138.

47. Шевченко Ю. И. Параллельный перенос фигуры в линейной комбинации связности// Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1987. -Вып. 18. -С.115-120.

48. Шевченко Ю. И. Об основной задаче проективно-дифференциальной геометрии поверхности// Там же. 1989. -Вып.20. -С.122-128.

49. Шевченко Ю. И. Связность в продолжении главного расслоения // Там же. 1991. -Вып.22. -С.117-127.

50. Шевченко Ю. И. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий // Там же. 1994. -Вып. 25. -С. 110-121.105

51. Шевченко Ю. И. Оснащения подмногообразий голономного и неголо-номного дифференцируемых многообразий // Там же. 1995. -Вып.26. -С.113-126.

52. Шевченко Ю. И. Оснащения голономного и неголономного гладких многообразий. Калининград, 1998. -82с.

53. Шурыгин В.В. Уравнения параллельного переноса А-струи // Известия вузов. Математика. 1987. -№9. -С.78-80.

54. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 1937. №3. P.81-89.

55. Ehresmann C. Les connexions infinitésimales das un espace fibré differen-tiable // Colloque de Topologic. Bruxelles, 1950. -P.29-55.

56. Golab St. Tensor calculus. Warszava, 1974. -371p.

57. Levi-Civita T. Nozione di parallelismo in una varieta qualunque e conséquente specificazione geométrica délia curvatura Riemanniana // Rend. Cir-colo math. Palermo. 1917. -№42. -P. 173-205.