Расслоения неевклидовых пространств прямолинейными конгруэнциями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

?, КАЗАЙСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И.УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

УДК 514.76

РАХМАТОВ Сафарбой Худой бердиевич

РАССЛОЕНИЯ НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ КОНГРУЭНЦИЯМИ

01. 01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1993

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского государствен ного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Б.Н.Шапуков., Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Московский государственный педагогический университет

Защита состоится 23 декабря 1993 г. в 14.00 на заседании специализированного Совета по математике К 053.29.05 в Казанском государственном университете по адресу:

420008, Казань, ул.Ленина, 18, корпус 2, ауд.217

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского университета

Автореферат разослан 20 ноября 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

профессор В.В.Вишневский. , кандидат физико-математических наук, доцент Е. Н. Сосов.

профессор

Шапуков Б.Н.

<

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория конгруэнций прямых появилась почти одновременно с теорией поверхностей Вопросы геометрической оптики подводили непосредственно к. исследование конгруэнции. Изучение законов прохождения света через кристаллы приводит ухе к конгруэнциям общего типа.

Основы теории конгруэнции были заложены немецким геометром Куммером [9]. Итальянский геометр Санния [11] и американский математик Вильчинский [12] построили так называемую "внутреннюю" теорию конгруэнции, освободив ее от навязанной ей поверхности. П.К. Рашевский [10] распространил теорию конгруэнций на п -мерное евклидово пространство.

Литература по теории конгруэнции богата и почти необозрима. Классическая теория с помощью внешних форм изложена в книге С.: П. 1>иникова [4]. В. Ф. Каган [1] изложил ее в своей монографии, зледуя тензорному изложению Я. С. Дубнова [8]. А. П. Норден [3] рассмотрел конгруэнции связанные с нормализованной поверхностью троективного пространства.

Возникшее в тридцатых годах понятие расслоения оказалось фезвычайно плодотворным и нашло применение в самых разных об-1астях математики и ее приложениях. В частности, с развитие», 'есрии расслоенных пространств связана коренная перестройка юей структуры дифференциально - геометрических понятий, новое юнимание классических результатов , значительное расширение >бласти исследований В центре внимания оказалось понятие связ-:ости. Уже Э. Картан, используя метод подвижного репера, опериро-

вал , по существу, с расслоенным пространством.

Конструкция параллельного перенесения слоев вдоль заданной базисной кривой была затем существенно обобщена В. В. Вагнером в рамках теории составного многообразия. Отображение "локальных пространств" было им осуществлено с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Изящная геометрическая трактовка понятия связности, данная Эресманом, использует понятие горизонтального распределения; В расслоениях со структурной группой на это распределение обычно накладывается еще условие в - инвариантности.

Таким образом , возникла необходимость применения этого нового аппарата, аппарата расслоенных пространств к теории кон-груэнций прямых. Исследований в этом направлении по существу до сих пор не проводилось. Исключением являются лишь работы А. П. Широкова [6], [7]. содержащие некоторые общие идеи и результаты, относящиеся к гладким расслоениям п - мерного проективного пространства.

Цель работы состоит в том, чтобы аппарат теории расслоенных пространств применить к изучению дифференциально - геометрических свойств прямолинейных конгрузнций трехмерного проективного пространства и на этой основе выяснить геометрический смысл объектов, определяющих конгруэнцию.

Научная новизна. В диссертации впервые предпринят новый подход к теории прямолинейных конгрузнций, основанный на теории расслоенных пространств. При исследовании параллельного перенесешь в расслоении дана геометрическая характеристика некоторых типо] дифференциальных уравнений первого порядка с точки зрения геори! проективных связностей. Построена теория нормализованных конгру

энций неевклидовых пространств. Выяснена структура компонент внешней связности и ее тензора кривизны.

Методика исследования. В работе используется классический аппарат тензорного анализа. Исследования носят локальный характер. ¡Сак правило, используется неголономное поле реперов. '

Практическая значимость работы. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы и в тех разделах дифференциальной геометрии, где понятие расслоенного прос-гранства играет существенную роль и в работах по теории поверх-юстей и конгруэнций неевклидовых пространств.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссерта-1ии неоднократно докладывались и обсуждались на геометрическом :еминаре Казанского университета (научный руководитель.проф. А. П. Нироков), на семинаре Московского государственного педагогичес-сого университета (рук. проф. В.Ф.Кириченко), на итоговых научных конференциях Казанского и Самаркандского университетов (1992.993 гг.). Они были также доложены на международной научной сонференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992т).

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации имеется [етыре публикации, две из них в соавторстве с 5.Н. Шапуковым. I диссертацию включены линь результаты, принадлежащие соискателю. Ь них три депонированы в ВИНИТИ [1], [3], [4], одна опубли-:ована в тезисах международной конференции [2]

Структура и обьем работы. Диссертация содержит 94 страницы [ашинописного текста и состоит из введения, трех глав, разбитых :а 12 параграфов со сквозной нумерацией и списка литературы. При :сылке на 4>ормУлУ (х,у), х означает- номер параграфа, у -омер формулы.

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава диссертации состоит из пяти параграфов и посвящена изучении проективных расслоений и проективных связностей.

В этой главе дифференциальная геометрия проективного расслоения рассматривается в естественной связи с геометрией векторного расслоения. При этом следует иметь в виду, что свойства последнего имеют проективный характер лишь в том случае, если ош выдерживают преобразование группы Л слоевых гомотетий. Поэтом; в { 1 находятся условия инвариантности векторных полей, линейны: форы и тензорные полей произвольной валентности откоситель» группы слоевых гомотетий. Далее,- используется техника проекта ровапия в расслоенных многообразиях [5] , с помощью которо: Л - инвариантные объекты переносятся на проективное расслоение

В частности, таким способом построена проективная связност этого расслоения и операция ковариантного дифференцирования получены структурные уравнения связности (#2).

Далее , в 4 3 рассмотрены проективные расслоения ¿*(М ранга один и дана полная геометрическая характеристика уравнени Риккати как дифференциальных уравнений, определяющих процес параллельного перенесения относительно проективной связности Доказана следующая

Теорема 9. Для того, чтобы инфинитезимальная связность расслоена е1(М) была проективной, необходимо и достаточно, чтобы при парал лельном перенесении вдоль любой базисной кривой ангармоническс отношение произвольной четверки точек оставалось постоянны!

$ 4 посвящен специальным классам проективных связностей в £1(М) - аффинным и центроаффинным. Изучена их геометрическая характеристика при параллельном перенесении.

В $ 5 с помощью слоевой инволюции дака геометрическая характеристика некоторых типов дифференциальных уравнений первого порядка.

А.П.Широковым [6] было рассмотрено расслоения проективного пространства Рп (или его области) с помощью ', вообще говоря , криволинейной конгруэнции и показано , что ее нормализация определяет некоторую инвариантную связность. С другой стороны , в первой главе мы построили теорию проективных расслоений как факторизованных векторных расслоений. В частности, определена внутренняя связность этого расслоения и найдено условие, при котором она определяет проективное отображение слоев. Представляет интерес рассмотреть теперь тот случай , когда тотальное простран-. ство проективного расслоения является проективным и выяснйть смысл связности А. П. Широкова. Этому и посвящена вторая глава диссертации. Для простоты мы ограничились случаем п = 3.

В #6 рассматривается нормализованная конгруэнция в Р3, расслаивающая это трехмерное проективное пространство. Найдены деривационные уравнения нормализованной конгруэнции и для случая прямолинейной конгруэнции условия их интегрируемости ($7).

В }8 введен (при £ * 0) инвариантный слоевой оператор, благодаря которому удается описать конгруэнцию с помощью инвариантных тензоров . Изучен параллельный перенос горизонтальных лифтов направлений векторов и ковекторов базы.

В #9 рассматривается секущая поверхность конгруэнции и показывается , что нормализация конгруэнции определяет нормализацию

секущей поверхности в смысле А.П.Нордена 12]. Введен класс нормальных конгрузнций и получен их инвариантный признак: Теорема 20. Конгруэнция является нормальной тогда и только тогда, когда тензор кривизны ее проективной связности

= о- .

Третья глава посвящена полярно нормализованным конгруэнция»/ ъ пространстве с заданной проективной метрикой

В i 10 найдены деривационные уравнения полярно-нормализован-ных конгрузнций и условия их интегрируемости.

В качестве примера в" #11 изучена полярно-норыализованна? конгруэнция эллиптического пространства.

Наконец, в #12 исследована структура объекта внешней рима-новой связности постоянной кривизны.

III. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. В диссертации построена теория прямолинейных конгрузнций, основанная на геометрии векторных расслоений

2. Дана геометрическая характеристика некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с точки зрения теории проективных связностей.

3. Получены деривационные уравнения нормализованных конгру-энций проективного и неевклидовых пространств и условия их интег рируемости.

4. Найдены характеристики внешней римановой связности неев клидова пространства, расслоенного прямолинейной конгруэнцией

Работа выполнен в рамках открытой научно-исследовательской емы кафедры геометрии Казанского университета " Геометрия обоб-енных пространств и пространств со *структурами, определяемыми лгебраюГ ( номер государственной регистрации 0186.0123436 ).

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю учителю профессору Б.Н. Шапукову за постановку задачи и посто-нную поддержку оказанную при выполнении работы, а также ленам кафедры геометрии за доброе отношение.

- ю -

IV. ЛИТЕРАТУРА

1. Каган В.Ф. Осногы теории поверхностей. - Ч. II. -М. -Л.; Гос-техиздат, 1948. - .407 с.

2. Норден А.П. Пространства аффинной связности. -М.; Наука, 1976 - 432 с.

3. Норден А.П. 0 внутренних геометриях поверхностей проективного пространства // Труды семинара по вект. и тенз. ан. - М. -Л.; изд. МГУ, 1948. - вып. 6.. - С. 125 - 226.

4. Фиников С.П. Теория конгруэнций. - М.- Л. ; Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1950. - 528 с.

5. 'напуков Б.Н. Проектируемость тензорных полей и связностей i расслоениях // Тр. геометр, сеы. - Казанск. ун-т, 1979. -вш 17. - С. 84 - 100.

6. Широков А.П. О нормализации в проективном пространстве с заданным расслоением // Изв. вузов. Мат. - 1974. - № 5 (144.' -С. 216 - 221.

7. Широков А.П. Пространства аффинной связности (Некоторые acnei ты метода нормализации А.П.Нордена) // Проблемы геометрш (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - М., 1985. - Т.Г -С.131-151.

8. Dubnow J. Die Differentialgeometrie der Strahlenkongruenze;

м

in tensorieller Darstellung//Abhandlungen aus dem seminar fu vektor-und tensoranálysis. -M.-L. ; STTV, 1933.-L. 1.-s. 223-30

9. Kummer E. klqemeim Theorie der geradlinien Strahlensistem // J. fur reine angew. Math. - 1860. - 57.-s. 189 - 23

10. Rachewsky P. Congruence recti ligne dans l'ecpace euclidien a

H

n -dimensions // Abhandlungen aus dem seminar fur velctor -und tensoranaiysis. -M.-L. , STTV, 1935. - L.2 - 3. -s. 212 - 227.

11. Sannia G. Nuova esposizione della geometria infinitesimale delle ccngruenze rettilinee // Ann. di Math. -1908.-(III). -15.

12. Wilczynski E.J. The General Theory of Congruences. //.Trans. Amer. Math. Soc. - 1915. - 16. - p. 311.

V. ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рахматов С.Х. , Шапуков Б.Н. Проективные расслоения и проективные связности. // Казанск. ун-т. -Казань., 1992. - 20 с. -Деп.

' в-ВИНИТИ 03.06.92. » 1828-В92.

2. Рахматов С.Х. Шапуков Б.Н. Проективные расслоения. //Международная научная конференция "Лобачевский и современная геометрия". Тезисы докладов, 4.1. -Казань, 1992. -С. 82.

3. Рахматов С.Х. Геометрическая характеристика некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка // Казанск. ун-т. - Казань., 1992. - 23 с. -Деп. в ВИНИТИ 30.12.92, № 3716 - В92.

4. Рахматов С.Х. Нормализованные конгруэнции проективного пространства. // Казанск. ун-т. - Казань., 1993. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.07.93, »1835 - В93.