Дифференциальная геометрия многообразий многомерных квадрик тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Стр.'

Введение

Глава I. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

ГЕОМЕТРИИ МНОГООБРАЗИЙ МНОГОМЕРНЫХ КВАДРИК.

§1. Система дифференциальных уравнений многообразиnfl/n^ квадрик Qp.

§2. Многообразия

§3. О порядке основного объекта многообразия (&,ягл)р квадрик Qp

§4. Теорема об основном объекте многообразия субквадратичных элементов.

Глава II. ФОКАЛЬНЫЕ ОБРАЗЫ МНОГООБРАЗИЙ

МНОГОМЕРНЫХ/ КВАДРИК.

§1.Фокальное многообразие квадрики Qp.

§2.Фокальные точки квадрики Qp многообразия^,^,и,)р

§3.Частично канонизированный репер конгруэнции коник в Рк,.

§4.Характеристические многообразия

§5.Характеристические точки первого ранга квадрики Qp

§6.Многообразия квадрик Qp с характеристическими точками первого ранга.

§7.Частично канонизированный репер

§8.Характеристические многообразия высших рангов квадрики Qp 6(&.

Глава III. СВЯЗНОСТИ В ГЛАВНЫХ РАССЛОЕНИЯХ

АССОЦИИРОВАННЫХ С МНОГООБРАЗИЕМ КВАДРИК.

§1 .Основные уравнения.

§2.Геометрическая характеристика подобъектов объекта связности.

§3.Частные случаи

§4.Связность в расслоении ассоциированном с многообразием обобщенных пространственных элементов.

§5.Геометрическая характеристика подобъектов объекта связности.

Глава 1У. МНОГООБРАЗИЯ КВАДРИК В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ

ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

§1.Многообразия (3,3,коник Q

§2.Построение геометрически фиксированного репера.

§3 «Некоторые,ассоциированные с многообразием

3,3, 4)j. ,геометрические образы.

§4. Многообразия К.

§5.Конгруэнции коник в Р^ с неопределейными фокальными поверхностями.

§6.Расслояемые пары C-fi

§7.Многообразия 3.

§8.Многообразия (ЬЛ, tu^.

Актуальность темы. Одним из разделов современной дифференциальной геометрии является геометрия семейств линий и поверхностей ,т .е., многообразий,образующим элементом которых является линия или поверхность рассматриваемого пространства.

В.С.Малаховский [l4-2l] осуществил в ^ -мерном проективном пространстве инвариантное построение дифференциальной геометрии: многообразий квадратичных элементов(( к -2)-мерных невырожденных квадрик),а также изучил [13-15] многообразия,образующим элементом которых является плоская алгебраическая поверхность размерности 2к.

В.В.Махоркин [23-28] исследовал многообразия гиперквадрик в Рл. .В работах [l-7] Г.П.Бочилло осуществила в многомерном проективном пространстве инвариантное построение дифференциальной геометрии многообразия невырожденных ( -2)-мерных конусов с нульмерной вершиной,а также ассоциированного с ним многообразия нуль-пар .Таким образом,в /г -мерном проективном пространстве достаточно глубоко изучена дифференциальная геометрия многообразий,образующим элементом которых является точка,прямая,плоскость [в] £22] квадратичный элемент,гиперквадрика.Однако многообразия р -мерных квадрик ( А ^ р < п.-4) почти не изучались.Их исследование составляет важную часть общей теории многообразий квадрик в многомерных пространствах.Данная работа в определенном смысле решает эту проблему.

Цель исследования состоит в изучении некоторых общих вопросов, связанных с дифференциальной геометрией многообразий многомерных квадрик,исследовании: фокальных образов и их геометрической характеристики, изучении. связностей в главных расслоениях ассоциированных с многообразиями квадрик,а также изучения некоторых конкретных ти пов многообразий квадрик в четырехмерном пространстве.

Методика исследования основана на применении, инвариантного - теоретико-группового метода Г.Ф.Лаптева. В работе применяются также методы теории чисел. й а у ч н а я новизна. Полученные в работе результаты относятся к геометрии многообразий Р -мерных квадрик ранее почти не изучавшихся. Они могут быть использованы в теории поверхностей, а также при изучении, многообразий, образующий элемент которых отличен от точки исходного пространства. Методика разработанная для оценки порядка основного объекта многообразия, применима для различных многообразий.

Исследования, вслю.ченные в диссертацию,- выполнены без. соавторов.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ [36-48].

Апробация диссертации. Основные результаты работы докладывались на 5 и 6 Прибалтийских геометрических кон-, ференциях (Друскининкай,1978 г., Таллин,1984 г.ХУ конференции Литовского математического общества (Вильнюс,1974 г.), I областной Гродненской конференции молодых ученых (Гродно,1979г.),на семинарах по дифференциальной геометрии многообразий фигур: при Калининградском университете (1974-1984г.г.),на научно-исследовательском семинаре при кафедре геометрии МГПИ им.В.И.Ленина (1980 г., 1982 г., 1984 г.).

Структура диссертации. BI главе получены основные уравнения, изучаются общие вопросы дифференциальной геометрии многообразий Р-мерных квадрик. Во П главе исследуются фокальные образы многообразий квадрик. В Ш главе рассматриваются связности в главном расслоении, ассоциированном с многообразием многомерных квадрик. В 1У главе исследуются некоторые, конкретные типы многообразий квадрик в Р^. При этом построения проводимые в каждой главе, опираются на результаты, полученные в предыдущих главах.

Содержание диссертации. Первая глава посвящена общим вопросам .дифференциальной геометрии многообразий многомерных квадрик Qp.

В § I получены уравнения стационарности многомерной квадрики Qp , выделены структурные формы квадрики, получена система дифференциальных уравнений, определяющая многообразие ( h 2 квадрик QP . Доказано, что многообразие (П/ГПч'ЧР квадрик

Qp определяется с произволом Зтфушщий ГП аргументов, где

Ср+з*(Р*2)(п-р-4)-пъЧ, m-h ftn ~ ) z

Ср+з -m+h-i , m>h , в § 2 рассматриваются многообразия (h,h,ln)p квадрик Qp , из структурных форм выделены базисные и получена замкнутая система .дифференциальных уравнений, определяющая многообразие квадрик Ор .

Параграф третий посвящен определению порядка основного объекта многообразия (k,rnln)p квадрик Qp . Доказано, что для того, чтобы основной объект многообразия квадрик Qp имел порядок выше достаточно

2 о Jk

2. Р п +2п+т + .••+№

В § 4 рассмотрены многообразия (п-4 ,/г) и,-з сусЗ— квадратичных элементов (невырожденных квадрик И- верного проективного пространства, имеющих размерность ). .Доказано, что внутренний фундаментальный объект первого порядка

Mnji M J )

I I и icявляется основным объектом многообразия

Пг^ич, субквадратичных элементов.

Вторая глава посвящена изучению фокальных образов многообразий многомерных квадрик.

В первом параграфе вводится понятие фокально невырожденных многообразий квадрик Qp и дается определение фокального многообразия квадрики Q. Получена система уравнений, задающая фокальное многообразие квадрики Ор в (К, Ь;М ) р >а также найдено необходимое условие существования этого фокального многообразия. Во втором параграфе исследуется случай, когда фокальное многообразие квадрики является точечным многообразием, Выделен класс многообразий многомерных квадрик - многообра-' зия (|гн,К1--1у которых локальная коника обладает фокальными точками.

Доказано I) существование у каздой коники бифокальных точек; 2) совпадение числа фокальных точек с произволом существования многообразий (Kl"^М"/, . Доказано также, что число фокальных точек может быть только четным.

В § 3 осуществлено инвариантное построение частично канонизированного репера конгруэнции'коник в Рп , в котором доказано, что для каждой фокальной точки коники существует направление,вдоль которого касательная к фокальной линии, проведенной в фокальной точке совпадает с касательной к кривой в той же точке.

В § 4 введено понятие характеристического многообразия первого ранга квадрики

Орб (|гДл)р , получена система уравнений, определяющая это многообразие, определены его размерность и порядок. Введено понятие характеристически невырожденного многообразия квадрик Qp . в § 5 рассматривается случай, когда характеристическое многообразие первого ранга квадрики (fbявляется точечным многообразием, получено условие р = Ке; 1-3,и,5,. являющееся для характеристически невырожденного многообразия квадрик UP , необходимым для существования характеристических точек первого ранга. Показано, что в общем случае квадрика

QP характеристически невырожденного многообразия(jfl,кд) р обладает 2 характеристическими точками.

Б § 6 рассмотрены многообразия квадрик с характеристическими точками первого ранга. Доказано, что если размерность квадрики больше или равна трем (р>3) , то существует \П типов характеристически невырожденных многообразий квадрик Qp с характеристическими точками первого ранга, причем

IU =

2.-И , если Р - нечетное число, s. 2 , если jp - четное число, здесь £ - число всевозможных, различных собственных делителей числа Р . Введено понятие индекса квадрики Qp многообразия

1г,Нд)р .

Показано, что если размерность проективного пространства Рп больше или равно шести, то в этом пространстве существует Й. типов характеристически невырожденных многообразий квадрик Qp с характеристическими точками первого ранга,, причем , если П - четное число,

Z , если ft- - нечетное число, где 2 - число всевозможных различных собственных делителей числа П- .

В § 7 осуществлено построение частично канонизированного репера Кг. многообразия (КЛл)р квадрик UP с характеристическими точками первого ранга. Показано, что касательная \l -мерная плоскость к h, - мерной поверхности, описываемой характеристической точкой первого ранга инцидентна касательной Р -плоскости к квадрике Qp в этой же точке и наоборот,всякая инвариантная точка квадрики Qp ,описывающая ^--мерную поверхность, касательная плоскость которой инцидентна р -мерной касательной плоскости квадрике в этой точке является характеристической точкой первого ранга.

В §8 изучаются характеристические многообразия квадрики высших рангов .Введено понятие характеристического многообразия квадрики второго ранга.Показано,что при каждая квадрика dp невырожденного многообразия ь)р обла

0 К fix f дает в общем случае 2 ™ характеристическими точками второго ранга.

Показано,что одномерные невырожденные многообразия квадрик с характеристическими точками второго ранга существуют в пространствах К »где lb -кратное трем, а р -четное число; каждая квадрика Qpcfr^i ~!г)р в общем случае обладает восемью характеристическими точками второго ранга.Введено понятие числового индекса квадрики

Of многообразия

В третьей главе изучаются связности в расслоении,ассоциированном с многообразием квадрик.

В §1 получены основные уравнения и с помощью поля объекта связности задана фундаментально-групповая связность в главном расслоении базой которого является b -мерное многообразие плоскостей L\>H квадрик Qp ,а типовым слоем подгруппа стационарности плоскости Lpn. В §2 произведено оснащение Бортолоття ассоциированного многообразия ,показано,что это оснащение позволяет ввести связность в главном расслоении,охарактеризованы подобъекты и объект связности.В §3 рассмотрены некоторые частные классы многообразий квадрик Q р в которых оснащение возникает внутренним образом и для конгруэнции коник в Рп, дана геометрическая характеристика оснащающей плоскости.

Б § 4 - 5 изучается связность в расслоении ассоциированном с многообразием обобщенных пространственных элементов [52] , то есть плоскостей Lpn вместе с инцидентными им плоскостями Li Дана геометрическая характеристика подобъектов и объекта связности.

В четвертой главе рассматриваются конгруэнции квадрик в четырехмерном проективном пространстве.

В § I получены основные уравнения, определяющие многообразие (3,3,4)j коник Q^ в Рц , а также выведены^уравнения, задающие фокальное многообразие коники i , которое состоит в данном случае из восьми точек.

Второй параграф посвящен канонизации репера R '{^А^Аг,— Вершины Ai и А г. помещены в фокальные точки коники Q-f точка/)з помещена в подпространство - полярно-сопряженное прямой LA1A2.I, а также Дз инцидентна двумерной плоскости коники Qj . Вершины fis ~ лежат на прямой, являющейся линией пересечения касательных гиперплоскостей к гиперповерхностям iAi), с А2.), (£ ) соответственно в точках А. А.В . Здесь l - фокальная точка прямой [A t Л J- Кроме того, вершины А4 , fis - являются фокусами луча прямолинейной конгруэнции (/]ц

В § 3 получены некоторые, ассоциированные с многообразием р

3,3,4)геометрические образы: касательные гиперплоскости к гиперповерхностям (л-/), {Jiz), (

Аз ), характеристические точки граней репера, фокусы лучей прямолинейных конгруэнций, образованных ребрами геометрически фиксированного репера. р

В § 4 рассмотрен частный класс многообразий (3,3,4)j многообразия К . Получена система уравнений Пфаффа многообразия, доказано, что многообразия tL существуют и определяются с произволом четырех функций трех аргументов.Получены некоторые геометрические свойства,характеризующие многообразия К .

В §5 рассмотрены конгруэнции коник в А с неопределенными фокальными поверхностями,т.е. такая конгруэнция коник Qi ,у которой любые две коники имеют общую точку.Исходя из определения получена вполне интегрируемая система уравнений Пфаффа,задающая конгруэнцию, найдена инвариантная гиперплоскость и стационарная квадрика, которой принадлежат все коники конгруэнции (3,3/4)j. В §6 обобщено понятие расслоения от конгруэнции коник к конгруэнции ции ассоциированных плоскостей на случай четырех и п-мерного проективных, пространств,

В §7 рассмотрено двумерное многообразие (2,2,4)^ все коники которого инцидентны стационарной гиперквадрике^Показано,что каждая коника такого многообразия обладает четырьмя фокальными точками, которые геометрически охарактеризованы".

В §8 осуществлено обобщение задачи предыдущего параграфа на случай многомерного пространства.

Таким образ ом, пол учены следующие результаты:

Г;Решены общие вопросы геометрии многообразий многомерных квадрик,определен произвол существования многообразия (-t,*1,^ р квадрик Qf> .оценены порядки основных объектов многообразий квадрик Of ,найдены порядки основных объектов многообразий (п-1,п-1,п)^п-3 субквадратичных элементов.

2.Введены в рассмотрение и изучены фокальные многообразия квадрикиQpe&^ksj *}> Доказано,что фокальными точками обладает лишь коника Of невырожденного многообразия (n-I,n-I,n)j найдено число этих фокальных точек и показано,что число фокальных точек может быть только четным.

Заведены понятия характеристических многообразий квадрики Qpe(k,k f различных рангов. Изучены многообразия^,^, hfc квадрик Q-p с характеристическими точками первого ранга,определено число типов таких многообразий.Получена геометрическая характеристика характеристических точек первого ранга.Определено понятие числового индекса квадрики Qf> многообразия^/ h) f

4.Изучены связности в главном расслоении ассоциированном с многообразием плоскостей квадрик.Показано,что оснащение Бортолотти многообразия && /позволяет ввести связность в главном расслоении G'(В/vJ .Охарактеризованы подобъекты объекта связности.Рассмотрены частные случаи,когда оснащение Бортолоттги возникает внутренним образом; в одном из них геометрически охарактеризована оснащающая плоскость.Решен аналогичный круг задач для многообразия обобщенных пространственных элементов. р

5^Доказано,что коники многообразия (2,2,4)| , инцидентные стационарной гиперквадрике,обладают четырьмя фокальными точками. Показано,что существует направление вдоль которого касательная к линии,описываемой точкой,совпадает с касательной к конике в той же точке.Аналогичные результаты получены для многомерного пространства. На случай четырех и - п-мерного проективных пространств обобщено понятие расслоения от конгруэнции коник к конгруэнции ассоциированных плоскостей.

Проводимые в работе рассмотрения носят локальный характер. Все встречающиеся в ней функции предполагаются аналитическими.

- 13

1.б0чилл0 Г.П. О двупараметрическом многообразии двумерных конусов в .-Материалы 2 Прибалт.геометри.конф.Тарту,Т965,с.14

2. Бочилло Г.П. Некоторые вопросы многообразий двойственных себе элементов в проективном пространстве.-ХХУ научно-педагогич. конф.математических кафедр педвузов Уральской зоны.Тезисы докл. и- сообщений,Свердловск,1967,С.39-4Г.

3. Бочилло Г.П. О конгруэнции конусов в п-мерном проективном пространстве.-ХХУ научно-педагогич.конф. математических: кафедры педвузов Уральской зоны.Свердловск, 1967,с.39-41.'

4. Бочилло Г.П. 0 конгруэнции конусов в п-мерном проективном пространств е. II Гмежвуз. научная конф. по проблемам геометрии. Казань ,1967,с*22-23.

5. Бочилло Г.П. О многообразии-конусов в п-мерном проективном пространстве.-Тр.Томского ун-та,1968,с.55-69.

6. Бочилло Г.П. О некоторых многообразиях проективного пространства двойственных самим себе.2-я Прибалт.геометр.конф. Тезисы докладов.Паланга,1968,с.28-30.

7. Бочилло Г.П. К проективно-дифференциальной геометрии некоторых многообразий,элементы которых двойственны сами себе. 1У Всесоюзная межвузовская конф.по геометрии.Тбили,19б9,с.25.

8. Гейдельман Р.Н.Дифференциальная геометрия семейств под- • пространств в многомерных однородных пространствах.-В кн.:Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.Алгебра.Топология.Геометрия (1965) М., 196 7,с.З 23-376.

9. Лумисте Ю.Г. Теория связностей в расслоенных пространствах.-В кн.:Алгебра.Топология.Геометрия.1969 (Итоги науки и техники.ВИНИТИ АН СССР),М.,I97I,c.I23-I67.

10. Maлаховский B.C. Инвариантное гостроение дифференциальной геометрии многообразий плоских алгебраических элементов.Докл.АН СССР, 1963,15 2, $3, с 350-552.

11. Малаховский B.C. Многообразия алгебраических элементов в И'-мерном проективном пространстве.-Тр.Томского ун-та,1963,168, с. 28-42.

12. Малаховский B.C. Многообразия алгебраических элементов в к- -мерном проективном пространстве.-Лит.математич.сборник,1963,3, )Ь2, с. 128-132.

13. М§лаховский B.C. Многообразия алгебраических фигур в-мерном однородном пространстве.-Докл.3-й Сибирской конф. по математике и механике,1964,Томск,с.8-10.

14. Малаховский B.C. Общая характеристика многообразий плоских алгебраических элементов.-Тр.Томского ун-та,1964,176,с.5-10.

15. Малаховский B.C. Дифференциальная геометрия семейств квадрик.-Первая Белорусская математич.конф.Тезисы докл.Минск, 1964,с.40-44.

16. Малаховский B.C. Дифференциальная геометрия многообразий фигур и пар фигур в однородном пространстве.-В кн.:Тр.геометрич. семинара ВИНИТИ АН СССР,1969,C.T79-2Q6.

17. Махоркин В.В. Некоторые типы многообразий квадрик.-В кн.: Дифференц.геометрия многообразий фигур,вып.3,Калининград,1973, с.50-59.

18. Махоркин В.В.Многообразия .квадратичных гиперповерхностей со специальными свойствами ассоциированных многообразий.В кн.:Дифференциальная геометрия многообразий фигур,вып.6, Калининград,1975,с.90-93.

19. Махоркин В.В.Однопараметрические семейства квадрик в трехмерном проективном пространстве.-В кн.Дифференциальная геометрия многообразий фигур.Вып.7,Калининград,1976,с.61-63.

20. Махоркин В.В.Многообразия гиперквадрик в п-мерном проективном пространстве и их фокальные многообразия.-В кн.Дифференциальная геометрия многообразий фигур,вып.8,Калининград,1978, с .<60-63.

21. Махоркин В.В. Конгруэнция квадрик в ft Пятая Прибалтийская геометрич.конф.Тезисы докл.Друскининкай,1978,с.55.

22. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии.ГИТЛ,М.,-Л.,1948.

23. Фиников С;П. Теория конгруэнций,ГИТЛ,М.,1950.

24. Ходж В. и Пидо Д. Методы алгебраической геометрии.т.2, НЛ,М.,1954.

25. Худенко В.Н. О многообразиях субквадратичных элементов в п-мерном проективном пространстве.-Литовский математич.сборник И 2,1975,с. 148-149.

26. Худенко В.Н. Об основном объекте (п-1)-мерного многообразия субквадратичных элементов.-В кн.Дифференциальная геометрия многообразий фигур,вып.6,Калининград,1975,с.222-222.- 103

27. Худенко В.Н. О многообразиях многомерных квадрик.- 5 Прибалтийская геометрич.конф.Тезисы докл.,Друскининкай,1978,с.9Г,

28. Худенко В.Н. О многообразиях многомерных квадрик.-В кн.: Дифференциальная геометрия многообразий фигур.Вып.10,Калининград, 1979,с.135-140.

29. Худенко В.Н. Многообразия коник в Рч с неопределенными фокальными поверхностями.- В кн.Дифференциальная геометрия многообразий фигур,вып.12,Калининград,1981,с.II8-I20,

30. Худенко■B.Hi Об одном классе двумерных многообразий коник в Рч -В кн.:Дифференциальная геометрия многообразий фигур, вып.I,Калининград,1982,с Л03-106.

31. Худенко В.Н. Связность в расслоении ассоциированном с многообразием квадрик- В кн.:Дифференциальная геометрия многообразий фигур.Вып. 14,Калининград, 1983, с»'99-102.

32. Худенко В.Н. О связности в расслоении,ассоциированном с многообразием многомерных квадрик.-В кн.Дифференциальная геометрия многообразий фигур,вып.15,Калининград,1984,с.96-99.

33. Худенко В.Н. О связности в расслоении,ассоциированном с многообразием многомерных квадрик.-У1 Прибалтийская геометрическая конференция.Тезисы докладов,Таллин,1984,с.130.

34. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многообразий а плоскостей в проективном пространстве.-В кн.Дифференциальная геометрия многообразий фигур,вып.9,Калининград,1978,сЛ24-134.

35. Ви^СШ^А/, Проективная классификация грассмановых соотношений и определение линейных моделей совокупностей обобщенных пространственных элементов. Ann. ma-kb. puia- ect &PP&-,1955 } af'4j3/ft -<1601