Пространства модулей модельных поверхностей в комплексной геометрии вещественных подмногообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

Мамай Игорь Борисович

Пространства модулей модельных поверхностей в комплексной геометрии вещественных подмногообразий

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

На правах рукописи УДК 517.55

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 4 Ш 2013

Москва 2013

005535717

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор Белошапка Валерий Константинови

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Лобода Александр Васильевич. Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, профессор кафедры высшей математики

доктор физико-математических наук, профессор Кацыло Павел Иванович, Финансовый университет, профессор кафедры математики

Ведущая организация: Математический институт

имени В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 15 ноября 2013 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Автореферат разослан 14 октября 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Д 501.001.85 при МГУ, „

доктор физико-математических наук,

профессор В'Н' С°р0КИН

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена решению некоторых задач CR-геометрии с использованием метода модельной поверхности.

Многие задачи комплексного анализа органично связаны с вещественными подмногообразиями комплексного пространства. Это справедливо по отношению к одномерному комплексному анализу, где вещественные кривые - это границы областей и контуры интегрирования. Но в еще большей мере это относится к многомерному комплексному анализу, где ситуация, с геометрической точки зрения, гораздо разнообразнее. Вещественные подмногообразия вещественной коразмерности один - это топологические границы областей. По отношению к биголоморфным отображениям не все точки топологической границы равноправны. Там содержатся особые подмногообразия, например, граница Шилова, которая может иметь более высокую коразмерность. Вещественные подмногообразия возникают также в связи с голоморфными действиями вещественных групп Ли, как орбиты таких действий. Область математики, которая лежит на стыке многомерного комплексного анализа, дифференциальной геометрии и теории групп и алгебр Ли, и которая изучает свойства вещественных многообразий, инвариантные по отношению к голоморфным заменам, называется " CR-геометрия ".

Первая работа по CR-геометрии принадлежит А. Пуанкаре1. В его работе изучались трехмерные вещественные гиперповерхности пространства С2 и была выявлена модельная роль трехмерной гиперсферы. В работе 1932 года Э. Картан2, опираясь на работу Пуанкаре, построил полную голоморфную классификацию однородных вещественных гиперповерхностей пространства С2. В 1974 году вышла совместная работа известных мате" матиков С. Черна и Ю. Мозера3. В этой работе изучались вещественные гиперповерхности комплексного пространства произвольной размерности. Эта статья состоит из двух частей. В первой'части Ю. Мозер, развивая подход А. Пуанкаре, строит аналитическую теорию, а во второй части С. Черн, развивая подход Э. Картана и опираясь на результаты первой части, строит дифференциально-геометрическую теорию. Однако после публикации

'Poincaré H., Les fonctions analytiques de deux variables et la représentation conforme, Rend. Cire. Mat. Palermo. 1907. P.185-220. '

2 Cart an E., Sur la géométrie pseudoconforme des hypersurfac.es de deux variables complexes, Ann. Math. Рига Appl. (4). 1932. V. 5. №3. P.1231-1304.

3Chein S., Mozer J., Real hypersurfaces in complex manifolds, Acta Math. 1974. 133. №3-4. Р.21Э-271.

этой статьи оказалось, что дифференциально-геометрическая часть этой работы ранее была сделана Н. Танакой4.

Для вещественного подмногообразия комплексного пространства в качестве самой первой и грубой характеристики принято указывать два числа пи К, где п - это комплексная размерность комплексной касательной, а К - вещественная коразмерность. Для порождающих подмногообразий через эту пару выражаются как вещественная размерность самого многообразия (2п + К), так и комплексная размерность объемлющего пространства (п + К). Пара (тг,К) называется CR-типом многообразия. А. Пуанкаре и Э. Картан работали с подмногообразиями CR-типа (1,1), С. Черн и Ю. Мо-зер - с подмногообразиями CR-типа (п, 1), Н. Танака разобрал три случая (п, 1), (п, п2) и (п,п2 — 1).

Дифференциально-геометрических подход, идущий от Э. Картана (метод подвижного репера, геометрия G-структур), не позволил ни Н. Танаке, ни С. Черну разобраться с ситуацией произвольной коразмерности. С другой стороны, аналитический подход, идущий от А. Пуанкаре и Ю. Мозера, был успешно развит В. К. Белошапкой5,6. В серии его работ был разработан метод (метод модельной поверхности7'8), который дает подход, пригодный для любого CR-типа. Этот эффективный метод инициировал серию публикаций. Отметим работы А. Е. Туманова9, С. Н. Шевченко10, Н. Ф. Па-линчак11, В. Ежова и Г. Шмальца12,13 по квадратичным модельным по-

4Tanaka N., On generalized graded Lie algebras and geometric structures, Math. Soc. Japan. 1967. 19. №2 P.215-264.

5Белошапка В. К.. Конечномерность группы автоморфизмов вещественно аналитической поверхности, Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т. 52. №2. С.437-442

вБелошапка В. К., О голоморфных преобразованиях квадрики, Матем. сб. 1991. Т. 182. .V2. С.203-219.

'Белошапка В. К., Универсальная модель вещественного подмногообразия, Матем. заметки. 2004. Т.75. №4. С.507-522.

8Белошапка В. К., Вещественные подмногообразия комплексного пространства: их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации, Успехи математических наук 2002. Т.57. Вып.1(343). С.3-44.

9Туманов А. Е., Конечномерность группы CR-автоморфизмов стандартного CR-многообразия и собственные голоморфные отображения областей Зигеля, Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т. 52. №3. С.651-659.

10Шевченко С. Н., Квадрики коразмерности два и их автоморфюмы, Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. .4*4. С.149-172.

пПалинчак Н. Ф., Вещественные квадрики коразмерности три в С6 и их нелинейные, автоморфизмы, Изв. РАН. Сер. матем. 1995. Т. 59. JV3. С.159-179.

12Ezov V., Schmalz G., Poincarê automorphisms for nondegenerate CR quadrics, Math. Ann. 1994. V. 298. №1. P.79-87.

I3Ezov V., Schmalz G., A matrix Poincaré formula for holomorphic automorphisms of quadrics of higher codimension. Real associative quadrics, J. Geom. Anal. 1997. V. 8. №1. P.27-41.

верхностям. А также работы Е. Н. Шананиной14-25, И. Г. Коссовского16'17, Ж. Меркера, М. Сабзевари, А. Хасхеми, Б. М.-Ализаде18 по модельным поверхностям высоких степеней.

Пусть М - гладкое подмногообразие CR-типа (п,К), которое является порождающим в точке После подходящей линейной замены координат уравнение ростка М^ CR-типа (п, К) можно записать в следующем виде:

Im w = Ф(г,г,и), (1)

где u = Rew, z s С", w е Ск, Ф - гладкое отображение окрестности нуля в пространство R*, Ф(0,0,0) = 0, ёФ(0,0,0) = 0. Такая форма записи уравнений ростка называется стандартной.

Обозначим через D\ линейное пространство гладких векторных полей на многообразии М, значения которых в каждой точке принадлежат комплексной касательной ТСМ многообразия М. Далее определим линейное пространство Dj следующим образом: Dj = [Dj-i,Di] + D¿-\, j e N. j > 2. Алгебра Леви-Танаки - это бесконечномерная градуированная алгебра Ли 5 = © где bj — Dj/Dj-i, с операцией [X, Y] - скобкой Ли (коммутатором) векторных полей. Если для какого-то числа £ £ N пространство D( совпадает с касательным пространством ТМ, то многообразие М называется многообразием конечного типа, а минимальное такое Í называется длиной алгебры Леви-Танаки.

Пусть w = u + ¿V = (wi,...,wk) = (ui + ivi,... ,Ufc + ívk), z = (zj,..., zn) - координаты в Cn+K, £ - точка М, a - росток М в точке f. Тогда через autMj будем обозначать алгебру Ли инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов ростка Aíj, то есть алгебру Ли вещественных векторных полей с голоморфными коэффициентами касающихся ростка в точках самого ростка. Запись в координатах имеет следующий вид:

( Í п я ^ я

autM£ = |x(z,w) = 2 Re í

14Шананина E. H., Модели CR-многообразий типа (1,K) при 3<K< 7 и их автоморфизмы, Матем. заметки. 2000. Т. 67 №3. С.452-459.

,5Шананина Е. Н., Полиномиальные модели степени 5 и алгебры их автоморфизмов, Матем. заметки. 2004. Т. 75 №5. С.757-772.

1бГаммель Р. В., Коссовский И. Г., Оболочка голоморфности модельной поверхности степени три и феномен "жесткости", Тр. МИАН, 2006. Т. 253. С.30-45.

17Коссовский И. Г., Об оболочках голоморфности модельных многообразий, Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71. №3. С.113-140.

,8Sabzevari М., Hashemi A., M.-Alizadeh В., Merker J., Applications of differential algebra for computing Lie algebras of infinitesimal CR-automorphisms, arXiv:1212.3070, 2012. P.l-28.

где голоморфные в окрестности точки £ функции /я, в = 1, ...,П И ди í = 1 ,К удовлетворяют системе функциональных соотношений, являющихся условиями того, что векторное поле Х(г, лу) касается ростка Эти векторные поля порождают однопараметрические подгруппы, действующие голоморфно на . Можно рассмотреть соответствующую ахЛМ^ локальную группу - АиЪМ^. То есть АиЬМ^ - это образ а\itMf под действием экспоненциального отображения. Эта локальная группа действует на отображениями, биголоморфными в точке С- Эту алгебру и соответствующую ей группу будем называть алгеброй и группой ростка. Подгруппу автоморфизмов Аисохраняющих точку £ на месте, будем называть стабилизатором группы ростка, а ее алгебру Ли абудем называть стабилизатором алгебры ростка.

Пусть М( - это росток вполне невырожденного вещественного порождающего подмногообразия М СЯ-типа (п, К) в точке Каждому такому ростку может быть поставлена в соответствие его касательная модельная поверхность <2{19, то есть некоторая специальная вещественно алгебраическая поверхность того же СИ-типа (п, К).

Модельная поверхность - это вполне невырожденное алгебраическое многообразие, обладающее набором свойств, которые делают ее удобным и эффективным средством для изучения произвольных СП-многообразий. Приведем список основных свойств модельной поверхности.

1. Симметричность: существует естественное точное представление стабилизатора алгебры ростка в стабилизаторе алгебры модельной поверхности.

2. Конечномерность: критерием конечномерности группы голоморфных автоморфизмов модельной поверхности является ее полная невырожденность.

3. Функториалъностпъ: если два ростка биголоморфно эквивалентны, то эквивалентны и их касательные модельные поверхности. Две модельные поверхности биголоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны линейно.

4. Однородность: всякая модельная поверхность голоморфно однородна, однородность обеспечивается треугольно-полиномиальными автоморфизмами.

19Белон1апка В. К., Вещественные подмногообразия комплексного пространства: их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации, Успехи математических наук 2002. Т.57. Вып.1(343). С.3-44.

Обозначим через Аи^ф подгруппу группы Аи1;(Э, которая состоит из линейных преобразований модельной поверхности, оставляющих начало координат на месте. Подгруппа А^о<Э всегда содержит подгруппу скалярных растяжений вида:

г Лг, А А е К+, з = 2,...,1.

Где ] = 2векторные переменные, такие что выполнено равенство (туг,..., = (гиь..., тк). Причем в векторную переменную •Wj сгруппированы те переменные ь>т, тп £ {1,..., К}, на которые подгруппа скалярных растяжений действует с весом То есть —Л^^, Л € К+.

Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов модельной поверхности - это градуированная алгебра Ли вида:

а^<5 = д_ + 90 + 0+.

Градуировка вводится с помощью задания весов всем переменным и всем операторам дифференцирования по правилу:

и = 1, К] = з, ф = -1, = -з, 3 = 2,...л-

Подалгебре соответствует при экспоненциальном отображении подгруппа А^_<5 группы А^<3 голоморфных автоморфизмов модельной поверхности. Подгруппа Аи1;_(2 обеспечивает голоморфную однородность модельной поверхности. Размерность этой подгруппы совпадает с размерностью модельной поверхности и, как легко видеть, эту подгруппу можно отождествить с самой модельной поверхностью. Подалгебре 0о соответствует подгруппа Аи^ф линейных автоморфизмов модельной поверхности, оставляющих начало координат на месте. Подалгебре соответствует подгруппа Ai.it _ ¿5 нелинейных автоморфизмов модельной поверхности, оставляющих начало координат на месте. Модельные поверхности с тривиальной подгруппой А^+<5 называются жесткими.

Имеет место следующая гипотеза, касающаяся жесткости модельных поверхностей.

ГИПОТЕЗА. Все вполне невырожденные модельные поверхности с длиной алгебры Леви-Танаки ¿>3 являются жесткими.

Эта гипотеза была доказана для ¿ = 3в диссертации И. Г. Коссовско-го20. Автору настоящей диссертации удалось подтвердить эту гипотезу для

20Гаммель Р. В., Коссовский И. Г., Оболочка голоморфности модельной поверхности степени три и феномен "жесткости", Тр. МИАН. 2006. Т. 253. С.30-45.

серии CR-типов при п = 1, а именно для К < 13. Стоит отметить, что при п = 1 и К > 4 длина алгебры Леви-Танаки £ > 3. Тем самым эти результаты не являются следствием теоремы Коссовского.

При изучении модельных поверхностей произвольного CR-типа появляется особенность, которой нет в случае Пуанкаре и которая слабо проявлена в случае Черна и Мозера. Различные ростки одного CR-типа могут быть ассоциированы с голоморфно неэквивалентными модельными поверхностями. причем семейства неэквивалентных поверхностей могут задаваться достаточно большим числом параметров. Модельные поверхности, как было указано в третьем свойстве, голоморфно локально эквивалентны лишь в том случае, если они эквивалентны линейно. Таким образом, задача описания пространства параметров (пространства модулей), нумерующих совокупность голоморфно неэквивалентных модельных поверхностей, погружается в контекст классической теории инвариантов.

Соответствующая конструкция построения пространтсва модулей модельных поверхностей была приведена в работе В. К. Белошапки21, она основана на теореме Гильберта о базисе и использует конструкцию рационального фактора22. В этой работе были разобраны простейшие примеры нетривиальных пространств модулей модельных поверхностей, а также было предложено применение этой конструкции к построению характеристических CR-классов. Настоящая диссертация посвящена рассмотрению более сложных примеров пространств модулей модельных поверхностей. Все они относятся к многообразиям с одномерной комплексной касательной.

Цель работы

Целью диссертации является решение следующих задач:

. Доказать тривиальность компоненты д+ алгебры Ли инфинитезималь-ных автоморфизмов модельных поверхностей CR-типов (1, К) для К от 8 до 12.

Описать пространства модулей модельных поверхностей CR-типов (1, К) для К < 13.

2,Beloshapka V. К., Moduli Space of Model Real Svbmanifolds, Russian J. Math. Phys. 2006. V. 13. №3 P. 245-252.

22Винберг Э. В., Попов В. Л., Теория инвариантов, Алгебраическая геометрия-4, Итоги науки и техн. Сер. Сопрем, пробл. мат. Фундам. направления. 55. ВИНИТИ. М. 1989. С.137-309.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Доказана тривиальность компоненты д+ алгебры Ли инфинитезималь-ных автоморфизмов модельных поверхностей CR-типов (1, К) для К от 8 до 12. Получено полное описание алгебры и группы автоморфизмов модельных поверхностей CR-типов (1, К) для К от 8 до 12.

2. Вычислены конечные системы образующих поля рациональных инвариантов для пространств модулей модельных поверхностей CR.-типов (1, К) для К < 13. Дано топологическое описание пространств модулей CR-типов (1,4) и (1,7).

Основные методы исследования

В диссертации используются методы многомерного комплексного анализа, теории инвариантов, дифференциальной геометрии, а также метод модельной поверхности, развитый в работах В. К. Белошапки.

Теоретическая и практическая ценность работы

Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение. Они могут найти применение в многомерном комплексном анализе, дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли. теории инвариантов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре имени Витушкина механико-математического факультета МГУ (руководители — В. К. Белошапка, С. Ю. Немировский, А. Г. Сергеев и Е. М. Чирка), 2010 г. и 2013 г.

• на международной конференции «CR-Geometry and PDE's - IV» (Тренто, Италия), 2010 г.

• на международной конференции «Ломоносов-2011» (Москва, Россия), 2011 г.

• на летней школе-конференции по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа (Ярославль, Россия), 2011 г.

• на семинаре «Комплексные задачи математической физики» математического института имени В. А. Стеклова РАН (руководители — А. Г. Сергеев и А. В. Домрин), 2013 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, две из которых входят в официальный перечень ВАК. Работ в соавторстве нет. Список работ приводится в конце автореферата [1-3].

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на пункты. Список литературы включает в себя 21 наименование. Общий объём диссертации составляет 96 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации приводятся основные понятия, обсуждается история вопроса, формулируются основные результаты диссертации, а также освещается место полученных результатов в современном многомерном комплексном анализе.

Первая глава диссертации посвящена вычислению алгебры автоморфизмов модельных поверхностей СИ-типа (1, К) для 8 < К < 12. Алгебры автоморфизмов модельных поверхностей СИ-типа (1, К) для 2 < К < 7 были вычислены в работах В. К. Белошапки23 и Е. Н. Шананиной24. В пункте 1.1 уравнение произвольного вполне невырожденного ростка СК-типа (1, К) для 8 < К < 12 приводится к простейшему виду, который является аналогом нормальной жордановой формы.

В пункте 1.2 в явном виде вычисляется алгебра автоморфизмов модельных поверхностей СК-типа (1,К) для 8 < К < 12. Как следствие доказывается следующая теорема.

"Белоптапка В. К., Вещественные, подмногообразия комплексного пространства: их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации, Успехи математических наук 2002. Т.57. Вып.1(343). С.3-44.

24Шананина Е. Н., Модели СЯ-многообразий типа (1,К) при 3<К<7 и их автоморфизмы, Матем. заметки. 2000. Т. 67 №3. С.452-459.

ТЕОРЕМА. Модельные поверхности CR-muna (1,-К) при 8 < К < 12 являются жесткими, то есть их подалгебра = 0.

Эта теорема подтверждает гипотезу о жесткости модельных поверхностей при I > 3.

СЛЕДСТВИЕ 1. Стабилизатор группы ростка CR-muna (\,К) при 8 < К < 12 изоморфен либо К*, либо С*.

СЛЕДСТВИЕ 2. Группа AutQ ростка CR-muna (1, К) при 8 < К < 12 состоит из треугольно-полиномиальных преобразований пространства Ск+1.

Вторая глава диссертации посвящена изучению пространств модулей модельных поверхностей CR-размерности один. В пунктах 2.1 - 2.6 рассмотрены пространства модулей модельных поверхностей CR-типов (1, К) при К < 13. Для них построены конечные системы образующих поля рациональных инвариантов действия линейной группы на пространстве, которое параметризует модельные поверхности. Тем самым получено описание пространств модулей модельных поверхностей CR-типов (1, К) при К < 13.

В пунктах 2.1 и 2.2 дано топологическое описание пространств модулей модельных поверхностей CR-типов (1,4) и (1,7) соответственно.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Пространство модулей ,М(1,4) гомеоморфно отрезку.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Пространство модулей М{1,1) гомеоморфно взвешенному проективному пространству СР(3,1,1)25.

В пункте 2.6 демонстрируется двойственность, имеющая место для пространств модулей модельных поверхностей. Из двойственности следует, что пространства модулей М(1,5) и М( 1,11) гомеоморфны пространствам модулей М{\, 4) и М(1,7) соответственно. Таким образом, верны следующие два утверждения.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Пространство модулей -М(1,5) гомеоморфно отрезку.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Пространство модулей ,М(1,11) гомеоморфно взвешенному проективному пространству СР(3,1,1).

25Это обозначение взвешенного проективного пространства соответствует обозначениям монографии A. R. Iano-Fletcher, Working with weighted complete intersections, London Mathematical Society Lecture Note Series 2000. №.281. P.101-174.

В пункте 2.7 доказано следующее утверждение о строении пространств модулей модельных поверхностей СК-размерности один.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Пространства модулей модельных поверхностей СЯ-размерности один либо тривиальны, либо представляют из себя фактор-пространства вещественных многообразий Грассмана по действию группы 11( 1).

Третья глава диссертации посвящена изучению связи между понятием полной невырожденности и понятием геометрической невырожденности для ростка порождающего С11-многообразия. Первое понятие определяется в терминах форм, которые задают уравнения ростка, а второе понятие определяется в терминах его алгебры Леви-Танаки.

В пункте 3.1 в явном виде вычисляется структура алгебры Леви-Танаки для модельных поверхностей, у которых длина алгебры Леви-Танаки £ = 4. На основании этих вычислений доказывается следующее утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Для ростков СП-многообразий с длиной алгебры Леей- Танаки I = 4 понятия полной невырожденности и геометрической невырожденности эквивалентны.

В пункте 3.2 в явном виде вычисляется структура алгебры Леви-Танаки для модельных поверхностей, у которых длина алгебры Леви-Танаки £ = 5.

В пункте 3.3, на основании вычислений пункта 3.2, доказывается следующее утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 7. Для ростков СЯ-типа (1,12) понятия полной невырожденности и геометрической невырожденности эквивалентны.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Валерию Константиновичу Белошапке за постановку задач, многочисленные обсуждения и постоянное внимание к работе. Автор благодарит также весь коллектив кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова за творческую атмосферу, способствовавшую научной работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Mamai I. В., Model CR-Manifolds with One-Dimensional Complex Tangent, Russian J. Math. Phys. 2009. V.16. №1 P.21-30.

[2] Мамай И. Б., Пространство модулей модельных поверхностей с одномерной комплексной касательной, Изв. РАН. Сер. матем. 2013. Т.77 №2. С.139-164.

[3] Мамай И. Б., Алгебра Леви-Танаки модельной поверхности, Деп. в ВИНИТИ. 2012. ДО426-В2012. С.3-21.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ ТиражЮО экз. Заказ №43

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

042013635?£

МАМАИ ИГОРЬ БОРИСОВИЧ

УДК 517.55

пространства модулей модельных поверхностей в комплексной геометрии вещественных подмногообразий

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук В. К. Белошапка

МОСКВА - 2013

Оглавление

Введение 3

1 Модельные поверхности СК-типа (1, К) при 8 < К < 12 23

1.1 Приведение уравнений ........................................26

1.2 Алгебра автоморфизмов........................................30

2 Пространство модулей модельных поверхностей 38

2.1 Случай К = 4 ..................................................49

2.2 Случай К = 7 ..................................................52

2.3 Случай К = 13..................................................54

2.4 Случай К = 8 ..................................................56

2.5 Случай К = 9 ..................................................61

2.6 Двойственность................................................64

2.7 Общий случай для СИ-типа (1, К)............................71

3 Алгебра Леви-Танаки модельной поверхности 74

3.1 Случай 1 = 4....................................................78

3.2 Случай £ = 5....................................................82

3.3 Случай модельной поверхности СИ-типа (1,12) ............90

Список литературы 94

Введение

Многие задачи комплексного анализа органично связаны с вещественными подмногообразиями комплексного пространства. Это справедливо по отношению к одномерному комплексному анализу, где вещественные кривые — это границы областей и контуры интегрирования. Но в еще большей мере это относится к многомерному комплексному анализу, где ситуация, с геометрической точки зрения, гораздо разнообразнее. Вещественные подмногообразия вещественной коразмерности один — это топологические границы областей. По отношению к биголоморф-ным отображениям не все точки топологической границы равноправны. Там содержатся особые подмногообразия, например, граница Шилова, которая может иметь более высокую коразмерность. Вещественные подмногообразия возникают также в связи с голоморфными действиями вещественных групп Ли, как орбиты таких действий. Область математики, которая лежит на стыке многомерного комплексного анализа, дифференциальной геометрии и теории групп и алгебр Ли и которая изучает свойства вещественных многообразий, инвариантные по отношению к голоморфным заменам, называется "СИ-геометрия".

В изучении СИ-геометрии выделяют несколько подходов. Дифференциально-геометрический подход использовали Э. Картан, Н. Танака, С. Черн и др. Аналитический подход использовали А. Пуанкаре, Ю. Мозер и др. Впервые аналитический подход применил А. Пуанкаре (см. [21]) в 1907 году для изучения трехмерных вещественных гиперповерхностей в С2. Еще один подход, получивший название "Метод модельной поверхности" был предложен в работах В. Белошапки [1], [4], [6]. Метод модельной поверхности является развитием аналитического подхода и применим для вещественных подмногообразий произвольной

коразмерности.

Существенной особенностью вещественного подмногообразия М в комплексном пространстве См при N > 1 является наличие комплексной части в касательном пространстве ТМ — комплексной касательной ТСМ. Комплексная касательная ТСМ может быть определена как пересечение ТМ П ЛТМ), где 7 — оператор комплексной структуры (7?; = г ■ у). Если вещественная размерность подмногообразия больше комплексной размерности пространства, то комплексная касательная ТСМ гарантированно будет ненулевой.

Введем необходимые понятия. Гладкое подмногообразие М пространства С^ называется порождающим в точке £ £ М, если линейная оболочка объединения пространств Т^М и J(T^M) совпадает с объемлющим пространством . Если гладкое многообразие М в См является порождающим в точке £ е М, то оно будет порождающим в некоторой окрестности этой точки. Этого будет достаточно, так как в настоящей диссертации рассматривается именно локальная теория вещественных подмногообразий комплексного пространства.

Пусть М — гладкое подмногообразие комплексного пространства, которое является порождающим в точке Обозначим через п комплексную размерность комплексной касательной ТСМ. Через К обозначим вещественную коразмерность подмногообразия М. Тогда N = п + К — это размерность объемлющего комплексного пространства. Пару (п. К) будем называеть СИ-типом подмногообразия М.

Перенесем начало координат в точку £ е М. Тогда после подходящей линейной замены координат уравнение ростка М^ СИ-типа (п. К) можно записать в следующем виде:

1гшу = Ф(г. г, и), (1)

где и = Ке\у, 2 е С™, б Ск, Ф — гладкое отображение окрестности нуля в пространство Ф(0, 0, 0) = 0, с!Ф(0,0,0) = 0. Такую форму записи уравнений ростка будем называть стандартной.

Дадим определение понятия алгебры Леви-Танаки СИ-многообразия М. Будем считать, что многообразие М является гладким и порождающим. Обозначим через линейное пространство векторных полей на многообразии М, значения которых в каждой точке принадлежат комплексной касательной ТСМ многообразия М. Определим линейное пространство следующим образом: В3 = + .7 € М, ] > 2.

Определение 1. Алгебра Леви-Танаки — это бесконечномерная градуированная алгебра Ли с) = ф^, где = В3!В3_ь с операцией [X, У] — скобкой Ли (коммутатором) векторных полей.

Если для какого-то числа £ е N пространтсво £>£ совпадает с касательным пространством ТМ, то многообразие М называется многообразием конечного типа, а минимальное такое I называется длиной алгебры Леви-Танаки.

Пусть г = (¿1,..., гп), = и + {у = (ги .... и)к) — {щ +ъу\, . . ., ик + IVк) ~ координаты в Сп+А, £ — точка М, а М^ — росток М в точке Тогда через аиХМ^ будем обозначать алгебру Ли инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов ростка М^, то есть алгебру Ли вещественных векторных полей с голоморфными коэффициентами, касающихся ростка М^ в точках самого ростка. Запись в координатах имеет следующий вид:

{( п д к д

\в=1 ^ ¿=1 11 где голоморфные в окрестности точки £ функции и удовлетворяют системе функциональных соотношений, являющихся условиями того, что векторное поле Х(г, касается ростка М^. Эти векторные поля по-

рождают однопараметрические подгруппы, действующие голоморфно на М^. Можно рассмотреть соответствующую дмкМ^ локальную группу — А\itMj:. То есть АиХМ^ — это образ аиЬМ^ под действием экспоненциального отображения. Эта локальная группа действует на М^ отображениями, биголоморфными в точке Эту алгебру и соответствующую ей группу будем называть алгеброй и группой ростка. Подгруппу автоморфизмов Аи^М^, сохраняющих точку £ на месте будем называть стабилизатором группы ростка, а ее алгебру Ли амЬ^М^ будем называть стабилизатором алгебры ростка.

Пусть — это росток вполне невырожденного вещественного порождающего подмногообразия М СИ-типа (п,К) в точке Определение понятия полной невырожденности для тех СИ-многообразий, которые рассматриваются в данной диссертации, будет дано ниже, а определение для общего случая дается в главе 3. Каждому такому ростку М^ может быть поставлена в соответствие его касательная модельная поверхность С}^ (см. [6]), то есть некоторая специальная вещественно алгебраическая поверхность того же СИ-типа (п. К). Понятие модельной поверхности было введено в работах В. К. Белошапки (см. [5]).

Модельная поверхность — это вполне невырожденное алгебраическое многообразие, с помощью которого можно локально аппроксимировать другие вполне невырожденные многообразия. Модельные поверхности обладают набором свойств, которые делают их удобным и эффективным средством для изучения произвольных СИ-многообразий.

Рассмотрим в пространстве сп+к росток вещественно-аналитического порождающего вполне невырожденного СИ-многообразия М, имеющего СИ-тип (п,К). Запишем уравнение этого ростка в стандартной форме (1).

Сначала рассмотрим случай, когда длина алгебры Леви-Танаки £ = 2. Разложим функцию Ф(г, г, и2) в ряд Тейлора. Затем зададим вес каждой переменной по следующему правилу: [г] = 1, [\у2] = 2. Следует отметить, что задавая вес [\у2] = 2, мы предполагаем, что [и2] = [Ые\у2] = 2, [\2] = [1т\у2] = 2. Теперь перепишем уравнение (1) в следующем виде:

\rnw2 = 2КеВ{г, г) + (г., г) + 0(3),

где (г, г) — набор из К эрмитовых форм, В(г, г) — набор из К квадратичных форм, а 0(3) — слагаемые веса 3 и более. Теперь можно с помощью полиномиальной замены координат убрать плюригармонические слагаемые. После чего уравнение ростка примет следующий вид:

1т\у2 = {г, г) + 0(3). (2)

Поверхность 1т\у2 = (г, г) будем называть касательной квадрикой для ростка заданного уравнением (2). Для рассматриваемого случая касательная квадрика — это и есть модельная поверхность. СИ-тип квадрики — это СИ-тип ростка, которому она соответствует.

По определению условие полной невырожденности ростка и условие полной невырожденности касательной квадрики заключаются в том, что координатные формы {г. г)3 должны быть линейно независимы и не должны иметь общего ядра. Следует отметить, что условие линейной независимости может выполняться только в следующем диапазоне для коразмерности: 1 < К < п2, так как размерность линейного вещественного пространства эрмитовых форм от п переменных равна п2. Длина алгебры Леви-Танаки касательной квадрики, так же как и для ростка вида (2), равна 2.

Приведем список основных свойств касательной квадрики, которая для рассматриваемого случая является модельной поверхностью.

1. Универсальность: Росток любого вполне невырожденного многообразия СИ-типа (п, К) при К < п2 эквивалентен ростку вида (2).

2. Конечномерность: Группа голоморфных автоморфизмов квадрики общего положения является конечномерной группой Ли. Критерием конечномерности группы голоморфных автоморфизмов квадрики является ее полная невырожденность.

3. Однородность: Всякая квадрика голоморфно однородна, однородность обеспечивается аффинными автоморфизмами.

4. Полиномиальность алгебры: Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов квадрики — это некоторая алгебра полиномиальных векторных полей, степени коэффициентов которых не превосходят 2.

5. Рациональность группы: Группа автоморфизмов вполне невырожденной квадрики — это группа Ли, являющаяся подгруппой группы бирациональных преобразований Сг+К, для которых степени знаменателя и числителя ограничены некоторой константой.

6. Симметричность: Размерность группы инфинитезимальных автоморфизмов всякого вполне невырожденного ростка с условием К < п2 не превосходит размерность группы голоморфных автоморфизмов его касательной квадрики. Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов квадрики параметризует семейство биголоморфных отображений одного вполне невырожденного ростка в другой.

7. Функториальность: Если два ростка биголоморфно эквивалентны, то эквивалентны и их касательные квадрики. Две квадрики биголоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны линейно.

8. Групповая структура: Квадрика обладает естественной структурой группы Ли.

Теперь опишем алгебраические свойства квадрики. Алгебра инфини-тезимальных автоморфизмов квадрики — это градуированная алгебра Ли вида:

ах^ф = 0-2 + 0-1 + Во + 01 + 02-Градуировка вводится с помощью задания весов всем переменным и всем операторам дифференцирования по правилу: [г]= 1, [ш2] = 2, =

Подалгебре 0_ = 0_2 + 0-1 соответствует при экспоненциальном отображении подгруппа Аи^ф группы Аи^ голоморфных автоморфизмов квадрики. Подгруппа обеспечивает голоморфную однородность квадрики. Размерность этой подгруппы совпадает с размерностью квадрики и, как легко видеть, эту подгруппу можно отождествить с самой квадрикой.

Подалгебре 0о соответствует подгруппа Аи^ф группы Ат^ф, которая состоит из линейных преобразований квадрики, оставляющих начало координат на месте. Подгруппа Аи^ф всегда содержит подгруппу скалярных растяжений вида:

г Аг, |А|2\у2, А е С\{0}.

Подалгебре 0+ = 01 + 02 соответствует подгруппа Аг^+ф нелинейных автоморфизмов квадрики, оставляющих начало координат на месте. Квадрики с тривиальной подгруппой называются жесткими.

Если условие К < п2 не выполнено, то квадрика является вырожденной по причине, указанной выше. Такая квадрика не может быть использована в качестве модельной поверхности для ростка вполне невырожденного СИ-многообразия. Также следует отметить, что если К > п2, то длина I алгебры Леви-Танаки вполне невырожденного ростка должна

быть больше двух. В работе [4] для решения этой проблемы была построена кубическая модельная поверхность для ростков, у которых длина алгебры Леви-Танаки равна трем. Если К > п2, то можно коразмерность К представить в виде К = п2 + к, к > 0. Число к будем называть термином избыточная коразмерность. В работе [4] показано, что уравнения ростка порождающего вполне невырожденного СИ-многообразия в пространстве С'1+г,2+к в подходящей системе координат могут быть записаны в следующем виде:

1пш2 = (г, г) + 0(3), 1т\у3 = 2Яе Ф{г, г, г) + 0(4),

где (г, г) — вектор из п2 линейно независимых эрмитовых форм, Ф(г, г, г) — вектор из к однородных кубических многочленов бистепени (2,1), которые являются симметричными по первым двум аргументам, г € С", \¥2 <Е С'г2, ш3 е Ск, 0(3) — слагаемые веса 3 и более, 0(4) — слагаемые веса 4 и более. Веса переменных заданы следующим образом: [г]=1, [\у2]=2, [Ш3]=3.

Поверхность, заданная системой уравнений вида:

1т\У2 = (г, г) 1т\у3 = 2Ле Ф(г, г. г) называется касательной кубикой ростка, заданного системой уравнений (3). Для рассматриваемого случая касательная кубика — это модельная поверхность.

Вектор (г. г) состоит из набора эрмитовых форм, который образует базис в пространстве эрмитовых форм от п переменных. Из этого следует, что все такие вектора (г, г) одинаковы с точностью до умножения на невырожденную вещественную матрицу. Таким образом можно считать, что вектор (г, г) определен однозначно с точностью до вещественно-

линейной замены переменной

По определению полная невырожденность ростка вида (3) и полная невырожденность его касательной кубики заключаются в линейной независимости всех координатных форм Ые Ф°(г, г, г), ] = 1,.... к вектора

Яе Ф{г, г, г).

Нетрудно найти, что размерность линейного пространства форм вида 11е Ф](г, г, г) равна п2-(п+1). Следовательно, кубика может быть использована в качестве модельной поверхности только при 0 < к < п2 ■ (п + 1) или, что тоже самое, при п2 < К < п2 ■ (п + 2). У кубики длина алгебры Леви-Танаки £ = 3.

Аналогично квадрике, кубическая модельная поверхность обладает рядом основных свойств:

1. Универсальность: Росток любого вполне невырожденного многообразия СИ-типа (п, К) при п2 < К < п2 ■ (п + 2) эквивалентен ростку вида (3).

2. Конечномерность: Группа голоморфных автоморфизмов кубики общего положения является конечномерной группой Ли. Критерием конечномерности группы голоморфных автоморфизмов кубики является ее полная невырожденность.

3. Однородность: Всякая кубика голоморфно однородна, однородность обеспечивается квадратично-треугольными автоморфизмами.

4. Полиномиальность алгебры: Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов кубики — это некоторая алгебра полиномиальных векторных полей, степени коэффициентов которых не превосходят 5.

5. Рациональность группы: Группа автоморфизмов вполне невырожденной кубики — это группа Ли, являющаяся подгруппой группы би-рациональных преобразований Сп+А, для которых степени знаменателя

и числителя ограничены некоторой константой.

6. Симметричность: Размерность группы инфинитезимальных автоморфизмов всякого вполне невырожденного ростка с условием п2 < К < п2 ■ (п + 2) не превосходит размерность группы голоморфных автоморфизмов его касательной кубики. Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов кубики параметризует семейство биголоморфных отображений одного вполне невырожденного ростка в другой.

7. Функториальность: Если два ростка биголоморфно эквивалентны, то эквивалентны и их касательные кубики. Две кубики биголоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны линейно.

8. Групповая структура: Кубика обладает естественной структурой группы Ли.

Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов кубики — это градуированная алгебра Ли вида:

аг^ф = + 0_2 + + 0о + &+■

Градуировка вводится с помощью задания весов всем переменным и всем операторам дифференцирования по следующему правилу: [г] = 1,

М = 2, [„,] = 3, Щ = -1, [£] = -2, [£] = -3.

Подалгебре = 0_з + 0-2 + 0-1 соответствует при экспоненциальном отображении подгруппа А\гЬ_(5 группы Аг^ф голоморфных автоморфизмов кубики. Подгруппа Аи1;_<3 обеспечивает голоморфную однородность кубики. Размерность этой подгруппы совпадает с размерностью кубики и, как легко видеть, эту подгруппу можно отождествить с самой кубикой.

Подалгебре 0о соответствует подгруппа Аи^ф группы Аи^, которая состоит из линейных преобразований кубики, оставляющих начало координат на месте. Подгруппа Аи^ф всегда содержит подгруппу веществен-

ных скалярных растяжений вида:

г —>• \г, \У2 —Л2W2, —> А3\у3, Л 6

Подалгебре д+ соответствует подгруппа Аи1;+(5 нели