Описание в терминах RC-особенностей характеристических классов вещественных подмногообразий в комплексных многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕН^ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОЮНОСОВА Механико-магматический факультет

На правах рукописи

Т ИН П1 пп

ДОМРИН АНДРЕЙ ВИКТОРОВИЧ

ОПИСАНИЕ В ТЕРМИНАХ КС-ОСОББННОСТЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КЛАССОВ ВИЦЕСТВЕННЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ В КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

01.01.01 - математический анализ

А ВТО РЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета'имениМ.Б Ломоносова

Научный руководитель - академик РАН А.Г.Витушаш

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник А.Г.Сергеев

кандидат физико-математических наук М.З.Казарян

Ведущая организация - Институт математики Башкирской академии наук

Защита диссертации состоится " 1995 г.

в 16 час.' 05 мен. на заседании Диссертационного Совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.Б.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, кеханиконаатематическЕй факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке мэхалико-иатекатического-факультета МГУ /Главное здание, 14 8тая/ .

Автореферат разослан "Л." <-фЫ^Шй 1995 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д.053.05.04 ври МГУ

профессор Т.П.Лукашенко

ОаЧиЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИЙ Актуальность "от. Изучение RC-особых точек вещественных подмногообразиВ г (¡началось с работы Э. Бишопа [ll. Опираясь я.?, белев ра-ший результат Чженя и Сыеньерь [21, Билоп показал, что гладко ¿¿ожояыая в (С.2 двумерная сфера в общем положении

ТТМЙРФ Tin UP^Iina^ >«CinO TíTjQ ътт-1Гмт»гЛ*гггллт*т»л ID íT* — -------

откуда следу ei, что оС-ллочка голоморфности таков сфсры нетривиальна. Вообще, йяк заметил Р.Уэллс [3], замкнутое ориентированное к -мерное вещественное многообразие М не может быть вложено з С."" без 1RC -особых точек при к Ч- п. , если эйлерова характеристика М или хотя бы один из классов Понтрягина^ М отличны от нуля. Оба этих наблюдения были сильно обобщены ь работе У.йая Ю Вс—первых, в [4J приведены явные формулы, вцрййшций R£-особых точек (подсчитанное надлежащим

образом) г-акгзутогс. ориентированного вещественного подмногообразии М вещественной коразмерности 2 в комплексном многообразии

f.lj. Е. bi^'ócp *;Xf4srí.>uiaí{e i^anL-foü.s bv compíex Euctldta-n

spoxü / Motiv. J. , 1965 , v. 32 , лГ1 4 i - 21.

¡_2j. S.S. Lfiera , E. bpaiáer, A tK«¡rtm. or. orieh-ia?tc surfn-cts

i*. -fcir. - cUi^cnr-i-oait. jpxcc jj Соигт. NLtl. Hetv. v

v. 25, 3 , 205-£09.

[3l. R.O.Wetts, Conrad .real suE manifolds of Q. C0m.ptve Unanúfotcí ■*í\k no f." ¿c^ühtroit kail morptiLC. ta.wjC»d: Biuuííe. U HoutfL. Ann.., Í969, V. ir9 , л/а, 123- 129. [4]. H.-F.Lcu.) CfiaraotorxstU. classes of rtixt su6roarifot<b Lmmtrstd ún complex hnani-fotis Jj Trans. AUS, 19?2 , v. .132, 1-33.

X через, топологические характеристики М и X и через способ погружения М в X (задаваемый классом Эйлера нормального расслоения к М в ■ X ) . В случае - X С2, • эти формулн совпадают с формулами Бишопа [1]. Во-вторых, в работе [4} показано, что для всякого вложенного замкнутого ориентированного к -мерного вещественного подмногообразия М с: С", где п. £ к , гомологический класс, дуальный к классу Эйлера М, может быть представлен циклом, содержащимся в множестве КС-особых точек М , и что то же самое верно для (нормальных) классов Понтрягина М в случаях к= П. и к = + Метода работы [4] представляют собой развитие метода, предложенного в £21, и опираются на явное вычисление" пересечений циклов Шуберта в грассманиа-не ориентированных к -верных плоскостей в

Формулы, полученные Лаем [4] для случая двумерного вещественного подмногообразия М в двумерном комплексном многообразии X (далее мы, как это принято в литературе, называем именно их "формулами Лая") , применялись к различным вопросам топологии [5] у симшшктической геометрии [б! и комплексного анализа [7] . Биб-

15]. В.М.Харламов, Я.М.Элиашберг, 0 числе комплексных точек вещественной поверхности в комплексной поверхности // Труды международной топологической конференции, Ленинград, 1982, 143 - 148.

[6]. Д.Беннекен, Эллиптические задачи, римановы поверхности и симплектяческие структуры // Математический анализ и геометрия, М., 1990, 183 - 206.

[7]. F. Forstixerit , In.ters«.t£.ons of analytic, and. smooth discs // Conitmp. Matfu , 1992, v/Ш , 235- 244.

лиографяю по применениям и обобщениям этих формул ск. в недавних

работах [8] . [9] „

В работе С,Вебстера 110} формулы Лая были обобщены в другом

(ш сравнению с [4jj направлении: для а-мерного замкнутого

ориентированного подмногообразия М в П, -мерной комплексном

многообразии X , имеющего лишь простейшие (R С -особые точки, - - - - г t*\

UU>1 MVVtJ ^WU UUk/iA/U 4AS\JC1t.Гi/Ш aUOA I UU* (jaUViiUW4WV

яме J . В недавней работе Р.Харви и Б.Лаусюна [ll j на зтот же случай была обобщена и вторая формула Лая (см. равенство (2) ниже) . Метод Вебстера опирается на классическую теорему Хопфа о нулях векторного поля, а метод Харви и Лаусона — на развитую ими технику "связностей с особенностями" и на определение классов Чяепя комплексного векторного расслоения через кривизну сгчзностед.

Цель "абглк. Изучить ограничения на взаимное расположение вполне вещественного и комплексного дисков с общей границей в двумерном комплексном многообразии, пользуясь формулами Лая.

[б]. F. FofbtnerliS, Comptcx tarvge-rtts of rtaf. su.rfac.es 'П. complex surfaces / "Du.kt Matfi. J. , 199£ , v. 57 , if 2,

353 - Л б .

[g ji G. IsLkawa.,T. O.Woto , Local iMariaidb of sift^utar surfaces ii\ an atrviost comptw. iaux-manibbL J[ Ana. of Giobat, Ana£. and Gcom. , 1993 , v.li , 125-133. [lOj, S. M. VkUter, Tfit EuUr ш\4. Pon.trjn.gLri. niLM^e-rs of ПК n-wp.tufotA •>. C-" // Comm. MatA. Hetv. i 1985 , '-SO, fj2, 193-216.

ill], F.R.Harvt^ B.Lowson., A tKeor^ of 'cfiaractcrLstlc currents associcCtid wLtti a- si-i^ufar Connection. jj Asterisijue. s 1993, л/ 213, 1 - 263.

Изучить связь глобальных топологических характеристик множества iRC -особых точек вещественного подмногообразия в комплексном многообразии с топологией исходных многообразий. . ...

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми:

1. Получено уравнение для гомологического класса сферы в двумерном комплексном многообразии,, склеенной из непересекающихся вполне вещественного и комплексного вложенных дисков с общей границей.

2. Предложен метод изучения RC -особых точек как особенностей некоторого гомодарфизма'комплексных векторных расслоений.

3. Получено выражение для класса, двойственного по Пуанкаре к множеству R.C -особых точек вещественного подмногообразия М в комплексном многообразии X , имеющего лишь простейшие

JRC -особые точки, через топологические характеристики М и X (классы Чженя и Понтрягина).

4. Изучены кс.м'жнации характеристических классов М и X , представимые циклами, содержащимися в множестве [R.C--особых точек М . - •

Методы исследования. В работе используются общие методы комплексного анализа и алгебраической топологии, а также элементы теории особенностей и метод выпуклого интегрирования М.Л.Громова.

Практическая и теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы при изучении геометрии вещественных подмногообразий в комплексных многообразиях.и теории функций на таких, подмногообразиях.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации до-илады^ались автором на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета ¡¿ГУ но комплексному анализу, на семинаре по комплексному анализу в Рурском университете (Бохум, Германия) и на-конференции "Гесг.тс^рические методы в теории' фуглспий многих комплексных переменных" (Санкт-Петербург, 1994 г.) .

ты. Список публикаций приведен в конце автореферата. '

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и 2 глаг, "разделенных на 7 параграфов. Она снабжена оглавлением и списком литературы из 30 наименований.. Общий объем диссертации -70 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении приведены необходимые определения и обозначен™ к сформулированы в виде теорем 0.1 - 0.4 основные результаты диссертации- Поело формулировки каздой из этих теорем обсувдаются их наиболее интереснее следствия и частные случаи, а также указываются ранее известные результаты, вытекающие из этих теорем. Точку __ р£М вещественного подмногообразия М в комплексном многообра-зш X мы, вслед за Лаем ЗД, называем ЕС-особой, если касательное пространство ТрМ содержит комплексное подпространство пространства ТрХ разыгшости > тах ^ к - »1 0) » где ^ есть аэществеянйл размерность М , а (г - комплексная размерность X . 3 литературе попользуется много других терминов для обозначения этого понятия [ое! перечислены в §7 диссертации)..

Первая глава-диссертации посвящена приложениям формул Лая к вопросу о взаимном расположении вполне вещественного и комплексного дисков с общей границей в 2-мерном комплексном многообразии. Основ-

ним результатом главы является теорема 0.1.

В параграфе 1 главы 1 приведены подробная формулировка и доказательство формул Лая, а также доказательство теоремы 0.1. Согласно классификации Бишопа [l], lRC-особые точки находящегося в общем положении вещественного 2мерного подмногообразия М в комплексном многообразии .X делятся на два класса: эллиптические и гиперболические, в зависимости от того, будет ли коэффициент 'X £ (г [0| + . входящий в каноническую запись w = ZZ + }(zl+z4 + 0(Ы3) многообразия М вблизи рассматриваемой IRC-особой точки, удовлетворять 0 4 X < ^эллиптический случай") или -£< "X - + 00 (гиперболический случай)". Далее, если М орпэнтировано, то каждой [RC-особой точке рбМ приписывается знак "+", если ориентация как комплексной прямой совпадает с ориентацией, индуцированной с - М , и знак если эти две ориентации на ТрМ раз- -личны. Обозначим через 6+ и €_ количество эллиптических ■RG-особых точек М знака "+" и знака соответственно, а через и — аналогичные величины для гиперболических IRC -особых точек. Положим 1+ = , 1_ = е_-Л_ . Считая jM замкнутым ориентированным подмногообразием в X , обозначим через X (М) эйлерову характеристику М , через е(М) — эйлерову характеристику нормального расслоения к М в X , и через С^ХНМ] ~ значение первого класса Чженя с1(Х) £ Н*00 на Цикле [м] £ б Н^Х) (все

гомологии и когомологии — с коэффициентами в 1R.). Если М имеет лишь эллиптические и гипрболические lRC-особые точки, то справедливы формулы Лая:

(1) J+ 4 1_ = Х(М} + е(М),

(2) " 1+-1_ = с4(Х)СМ]. .

Мы даем в параграфе 1 прямое доказательство соотношения (2), опирающееся на определение класса Чжекя с, (X) через теорию препятствий.

Мы приводим также для полноты щю-гга. хоказа^.асгго соогжшзкия (i4-1

следуя работе Вебстера [10]. Кроме того, доказывается следующее (по-видимому, фольклорное) утверждение: если замкнутое ориенти-ровшпюе подмногообразие М погружено в X не более чем с простыми самопересечениями, то

(3) е(М) - М-М-2А,

где М ■ М есть индекс самопересечения 14 в X , а с£ —

__.____________М ТТ. г- ЛО -

называется теорема 0.1.

-Теорема 0.1. Пусть вложенный вполне вещественный диск Т)г и вложенный комплексный диск Т)с в двумерном комплексном многообразии X имеют общую границу, но не имеют общих внутренних точек. Снабдим диск Т)с естественной комплексной ориентацией, 1 а диск "Вр — такой ориентацией, что 2-пепь Т)Г1П)С ' замкнута. Тогда гомологический класс л £ Нг (X) , представленный 2-пиклом Ц 1П)£ в многообразии X , удовлетворяет соотношению

(4) <*•« - с^ХК«] - 0.

В-параграфе 2,главы 1 приведены четыре примера, иллюстрирующих теорему 0.1. В примере 2.1 строятся ограниченная биголоморф-но эквивалентная шару область Л с С3 и вложенный комплексный диск Т) с С5\_0. такие, что ЭТ) <=• . в примере 2.2

строятся погруженный вполне вещественный диск Т>г с Сг и вложенный комплексный диск Т)с с (С2- .о общей траншей, но без. общих внутренних точек. Примеры 2.3 и 2.4 показывают, что (в обозначениях теоремы 0.1) для случаев X = СРг и X г = С-Р1 ^СР1 никаких гомологических ограничений на расположение в X двумерной сферы "Ьг и Т) с . кроме налагаемых равенством (4), не существует.

Вторая глава диссертации посвящена изучению связи глобальных топологических характеристик множества всех КС -особых точек замкнутого ориентированного погруженного вещественного подмногооб-

разия М в комплексном многообразии X с топологическимз с. .характеристиками М и X . На протяжении всей главы вещественная размерность М обозначается через к , а комплексная - размерность X — через П . В случае к= а - 2 указанная связь выражается формулами Лая (l), (2}. Основным результатом .. главы 2 является теорема 0.4. Ее наиболее интересные частные случаи выделены в виде отдельных утверждений — теорем 0.2 и 0.3. Параграф 3 главы 2 посвящен переформулировке задачи о

RC -особых точках вещественного подмногообразия на языке гомеоморфизмов комплексных векторных расслоении над М . В начал з параграфа приведены определения и обозначения, касающиеся, таких гомоморфизмов, а в лемме 3.2 собраны основные свойства множества особых точек для гомоморфизмов общего положения (так называемых Т-гомоморфизмов ) . Термин "Т-гомоморфизм" был предложен Г. Левиным [12] и обозначает такой гомоморфизм L: Е —> F , который, как сечение расслоения Hom.(E,F) , трансверсален каждому из подмногообразий S^c Hom(EjF) всех операторов ранга ro-ak(E) --ft, |Ч= 1,2,... • Затем для всякого гладкого погружения . j: М —> X вещественного к-мерного многообразия М в комплексное п -мерное многообразие ' X строится пара комплексных векторных расслоений £н и F над М и гомоморфизм liM; Ен -+F такие, что RC-особые точки подмногообразия

- в X — это в точности особые точки гомоморфизма (причем того не порядка). Здесь Ем - ТМ©С при к < Ю. и EM=NM®{D при к5-П (через NM обозначается нормальное расслоение к И в X ) , а F - j*TX во всех

[12] H-Le-vlne, A «peratizo-tion. tff 0.'-formuta. of Toil Ц Anals сLa. Acai. Bras, dt Ciuaics , 1965 , v.Yt, л/3-4 , 369 - 3S4.

случаях. Основным техническим мом'ентом параграфа является лемма 3.3, утверждающая, что упомянутый выше гомоморфизм Е м-* —является Т-гомоморфизмом для погружения ] общего положения. Отсвда и из леммы 3.2 вытекает, что для вещественного подмногообразия М ^ X общего положения множество 1ЯС-особнх ■ точек М порядка М либо пусто, либо является гладким подмногообразием ь ¿1 ¿шра^марн^::: 1!;:. ( !" ' -1-,"'} 'чп"">|-дающим при атом канонической ориентацией, если И было ориентировано ) .

В параграфе 4 главы 2 изучается класс гомоморфизмов {и Е-имеющих лишь простейшие особые точки. Гомоморфизм Е—»Р принадлежит этому классу, если он имеет особые точки не более чем

первого порядка и является Т-гомоморфизмом. Кроме того, в случае, когда ожидаемая размерность множества особых точек (ъ нулевая, - можно не требовать трансверсальности (см. определение 4.з). Мы называем К. С -особую точку р вещественного подмногообразия -МсХ простейшей -ЛЯС-особой-точкой, если она является простейшей особой точкой гомоморфизма Ем —

В начале параграфа' 4 изложены известные факты о гомоморфизме переноса ^ и о гомологических свойствах проективизации 1РЕ комплексного векторного расслоения Е (эти свойства собраны в леммах 4.1 и 4.2). На этой основе доказывается, что когомологический класс + , двойственный по Пуанкаре к множеству особых точек гомоморфизма к: Е *Г , имеющего лишь простейшие ■ особые точки, удовлетворяет равенству

(5) Ън5[к) = с,_т(Р-Е).

Этот факт составляет содержание теоремы 4.5. Хотя теорема 4.5 " является частным случаем известной "формулы Портеуса" [13^, мы

[13]. ¡.Я.РоЛеоаз, й^рСе slh.guEari.ti« торг //]_,е.&.НоЬ£5. МкЛ: , 19?!, ¿192, 286-30?.

"приводны ее доказательство как в палях полноты, так к потому, что лемма 4.4, на которой это доказательство основано, существенно используется в дальнейшем. Применение равенства (5) к гомоморфизму : ЕМ->^*ТХ дает следующий результат;

Теорема 0:3. Пусть ]: М—>Х есть гладкое погружение замкнутого ориентированного вещественного к -мерного ■ многообразия М в комплексное п. -мерное многообразие X , причем подмногообразие ¿(М) в X имеет лишь простейшие -особые точки. Тогда когомологический класс

двойственный по Пуанкаре к множеству 3> всех КС-особых точек подмногообразия ^(.М), выражается формулой:

(6) = си_к1+1(]*ТХ-Емч).

В оставшейся части параграфа 4 доказывается следующая теорема, являющаяся основным результатом главы 2 (при Т = 0 она даст теореиде- 0.3 ) .

Теорема 0.4. Пусть \ '■ М —»X есть гладкое погружение замкнутого ориентированного вещественного к -мерного многообразия М в комплексное - к -мерное многообразие X , причем подмногообразие ¿(.М*) в X имеет лишь простейшие КС-особые точки. Тогда при всех г = 0,1,2.,.-. тлеем:

(7) = СрТХ - Ем).

- Здесь = £и П есть "гладкое комплексное векторное

расслоение ранга 1 над множеством 5 всех КС-особых точек ДМ) , а Я^Б)—> НДМ^ означает гомоморфизм гомологических групп, индуцированный включением' Д : Б -»М . Метод доказательства теоремы 0.4 легко дает следующее, утверждение, полученное впервые Левиным [14]. Пусть Е 1Р — комплексные векторные расслоения одинакового ранга • е. «= f над М' и пусть : ■ Е> Р

[14]. Н.Ьеу^гл, Т^е

1964, V. 8 ,*/!,'152-186.'

гомоморфизм, имеющий лишь простейшие особые точки. Тогда (8) СГ+ДП - Сгм^ т ^оДО)

при всех г > 0 , где Q есть комплексное векторное расслоение Е/ к<мг (к) ранга е - i над S>(k) . Это утверждение составляет содержание следствия 4.8.

В параграфе 5 главы 2 вводится понятие индекса изолированной

п-><- . .. _ _

иЧч^ —uCuuuri Tuniud. ¿Оиёжлиего I.rvittiiji nIJ/IIMWI :г и. с ki гг< 1 i к )И маннам 'тчкл

входит в общее число !R(U.-особых точек подмногообразия (см. определение 5. l) и доказывается следующая теорема.

Теорема 0.2. Пусть j: М.~»Х есть гладкое погружение замкнутого ориентированного вещественного 2 т.-мерного многообразия М в комплексное многообразие X комплексной размерности причем подмногообразие j (М) в X имеет лишь изолированные IR.C -особые точки порядка 1. Пусть сумма индексов всех RC-особых точек подмногообразия j [М) равна 16 2. . Тогда

(э) ' I- ^(¿«ТХ-ТМвСНк].

Кроме того, в .параграфе 5 главы 2 с. помощью метода выпуклого интегрирования М.Л.Громова доказывается, что в условиях теоремы 0.2 малым (в метрике С° , но не С1) шевелением подмногообразия И можно убрать все IR<C -особые точки М , если сумма индексов RC-особых точек М равна нулю (см. утверждение 5.4) .

В параграфе 6 главы 2 изучается прямой подход к задаче оО изолированных RC -особых точках. Основным результатом параграфа является следующее утверждение.

Теорема 6.2. Пусть Б ) F — комплексные векторные расслоении ранга "f над замкнутым ориентированным 2пг-мерным гладким многообразием М . Пусть Vj ¡■•••¡'^n — непересекающиеся 2т.~мер-ннё клетки в ' \М", и пусть для каждой точки р'£ (VjU... UV^J задан гладко зависящий от точки р С-линейный изоморфизм Цр); Ep~*Fp- между слоями расслоений Е и F- . Тогда cr(El = t.r(F)

при i* г «г 1И.-1; и C^(F)[M] = с*(Е)[М] + '"uL(fc

-Ц-

Этот результат сходен с равенством (8) вше в том, что он выражает разность классов Чженя расслоений Е е Р через надлежащие когомологические классы с носителем на шо-хесве всех особых точек данного гомоморфизма- Л: Е —*Р . В качестве приложения теоремы 6.2 мы заново получаем формулу для числа 1К.С --особых точек М*1 сХ*. В замечании 6.4 указаны топологические причины, по которым этот метод не может быть прямо обобщен на случай М2"1-^ л5"*' ю. 3 . ' -

В параграфе 7 главы .2 приводится краткий обзор литературы и' известных результатов по теме диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику Анатолию Георгиевичу Витушкину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Вычисление индекса пересечения вполне вещественного и комплексного дисков с общей границей в Рг • ' и Р1 * Р* - // Матем. заметки, 1993, т. 53, tl 4, 31 - 35.

2. О числе 1RС -особых точек 4-мерного вещественного подмногообразия в 5-мерном комплексном многообразия // Матсм. заметки, 1995, т. 5?,