Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи 005050321

Шнурников Игорь Николаевич

Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ иШ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2013

005050321

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

академик РАН, профессор Фоменко Анатолий Тимофеевич

Мантуров Василий Олегович, доктор физико-математических наук, профессор (ФГБОУ ВПО Российский университет дружбы народов)

Москвин Андрей Юрьевич кандидат физико-математических наук (ЗАО "Группа компаний С 7", начальник отдела аналитики)

Математический институт имени В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 22 марта 2013 г. в 1645 на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова (Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А, 8й этаж).

Автореферат разослан 22 февраля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук,

профессор

Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы Актуальность темы

Диссертация относится к теории конфигураций подмногообразий — активно развивающемуся разделу математики, связанному с комбинаторикой, алгебраической топологией, теорией узлов, алгебраической геометрией. Под теорией конфигураций подмногообразий мы имеем в виду в первую очередь результаты, касающиеся комбинаторики и топологии конечных наборов плоскостей и их дополнений в аффинных и проективных пространствах, а также обобщения на наборы подмногообразий в других многообразиях. Базовые факты теории приведены в книге П. Орлика, X. Терао1, а геометрические аспекты — в обзоре В. А. Васильева2. Ряд обобщений для произвольных многообразий сделал П. Дешпанд3.

В диссертации изучаются возможные значения числа / связных компонент дополнения к объединению подмногообразий коразмерности один. Перечислим некоторые результаты, касающиеся числа /.

Комбинаторика числа областей. Пусть евклидово пространство Kd разбивается набором из п плоскостей коразмерности один (гиперплоскостей) в объединение многогранных областей, включая неограниченные. Р. Бак4 нашел числа всех к-мерных граней и числа всех ограниченных А;-мерных граней в разбиениях пространств Rd гиперплоскостями общего положения для к — 0,1,..., d, нашел аналогичные числа для разбиений вещественных проективных пространств RF*. Р. Шеннон5 доказал нетривиальные нижние точные оценки на числа к-мерных плоскостей пересечения и к — мерных клеток в разбиениях пространств RPd конечными наборами гиперплоскостей, для которых пересечение всех гиперплоскостей является пустым множеством. Т. Заславский5 рассматривал разбиения аффинных и проективных пространств конечными наборами гиперплоскостей, определил характеристический многочлен с помощью функции Мёбиуса и в его терминах выразил число всех областей и число всех ограниченных областей пространства. Р. Эренберг, М. Рэдди, М. Слоун7 получили аналогичные ре-

JP. Orlic, Н. Terao, Arrangements of Hyperplanes. Springer, Berlin - Heidelberg, 1992. 329 pp.

2B. А. Васильев, Топология наборов плоскостей и их дополнений. Успехи математических наук, 56:2 (338), (2001), 167-203.

3Р. Deshpande, Arrangements of Submanifolds and the Tangent Bündle Complement. Electronic Thesis and Diasertation Repository, Paper 154 (2011).

4R.C. Buck, Partition of Space. Amer. Math. Monthly 50:9 (1943), 541-544.

5R.W. Shannon, A lower bound on the number of cells in arrangements of hyperplanes. Jour. of combinatorial theory (A), 20 (1976), 327-335.

6T. Zaslavsky, Facing up to arrangements: Face count formulas for partitions of space by hyperplanes. Mem. Amer. Math. Soc. 154:1, 1975.

7R. Ehrenborg, M. Readdy, M. Slone, Affine and toric hyperplane arrangements. Discr. Comp. Geom.

зультаты для клеточных разбиений многомерных торов с локально плоской метрикой конечными наборами плоских замкнутых подторов коразмерности один, а П. Дешпанд обобщил формулы Заславского для конфигураций подмногообразий коразмерности один.

Когомологии дополнения. П. Орлик и JI. Соломон8 выразили кольцо целочисленных когомологий дополнения к набору комплексных гиперплоскостей через ч.у. м. пересечений гиперплоскостей. Они заметили, что характеристический многочлен и число областей для набора вещественных гиперплоскостей совпадают с многочленом Пуанкаре и суммой чисел Бетти дополнения в пространстве Ст к объединению комплексифицированных гиперплоскостей соответственно. Обзор С. А. Юзвинского9 посвящен свойствам алгебр Орлика-Соломона и некоторым их приложениям. М. Горески и Р. Макферсон10 выразили целочисленные когомологии дополнения в вещественном пространстве к набору аффинных плоскостей произвольных размерностей в терминах порядкового комплекса этого набора и размерностей пересечений плоскостей. Г. М. Циглер11 построил примеры наборов вещественных плоскостей коразмерности два с четномерными пересечениями, имеющих одинаковые ч.у.м. пересечений, но у которых дополнения к объединениям плоскостей имеют неизоморфные алгебры Z-когомологий и неизоморфные фундаментальные группы.

Наборы прямых и псевдопрямых на проективной плоскости. Рассмотрим набор из п гладких замкнутых кривых без самопересечений (псевдопрямых) на вещественной проективной плоскости, любые две из которых пересекаются трансверсально в единственной точке; при этом не существует точки, принадлежащей всем псевдопрямым. Обозначим через i; число точек, принадлежащих ровно i псевдопрямым. Изучение возможных значений чисел ti и соотношений между ними — довольно интересная задача, возникшая из гипотезы Дж. Сильвестра, см. обзоры П. Брасса и др.12 и Н. Нилакантана13. Гипотеза Г. А. Дирака14 утверждает, что Î2 > [§], известен также пример с ¿2 = | для четных чисел п > 6. Дж. Сцима и

41:4 (2009), 481-512.

8Р. Orlic, L. Solomon, Combinatorics and topology of complements of hyperplanes. Inventiones Math. 58:2 (1980), 167-189.

9C. А. Юзвинский, Алгебры Орлика-Соломона в алгебре и топологии. Усп. Матем. Я., 56:2(338) (2001), 87-166.

10М. Горески, Р. Макферсон. Стратифицированная теория Морса. М.: Мир, 1991.

UG.M. Ziegler, On the difference between real and complex arrangements. Math. Z. 212 (1993), 1-11.

12P. Brass, W. Mozer, J. Pach, Incidence and Arrangement Problems. In Research Problems in Discrete Geometry, Springer, 2005. Chapter 7, 289-324.

13N. Nilàkantan, Extremal Problems Related to the Sylvester-Gallai Theorem. In Combinatorial and Computational Geometry, ed. by J.E. Goodman, J. Pach, E. Welzl, Cambridge University Press, 2005, 479494.

14G. A. Dirac, Collinearity properties of sets of points. Quart. J. Math., Oxford Ser. (2), 2 (1951), 221-227.

Е.Т. Сойер15 доказали неравенство i2 ^ ^п при п > 8. Б. Грин и Т. Тао16, использовав методы аддитивной комбинаторики, доказали гипотезу Дирака для достаточно больших п. Известны соотношения, касающиеся чисел ^ одновременно для нескольких значений г, например, линейные неравенства Э. Мельхиора17 и Ф. Хирцебруха18. Неравенство Е. Мельхиора обращается в равенство для симплициальных разбиений вещественной проективной плоскости набором псевдопрямых. Ф. Хирцебрух изучал возможные значения отношения чисел Черна для двумерных комплексных многообразий, построенных по наборам комплексных прямых на плоскости С2, а неравенство на числа получил как следствие неравенства Мияоки-Яо (с уточнениями Ф. Сакаи). Б. Грюнбаум19, систематически изучая конфигурации прямых и псевдопрямых на вещественной проективной плоскости, поставил вопрос об описании множества чисел областей /, реализуемых при данном числе прямых п; доказал, что число областей не может принадлежать интервалу (2п-2;3п-6). Позже Н. Мартинов20 полностью нашел множества чисел /, реализуемых наборами п псевдопрямых. А именно, число / не может принадлежать интервалам (лакунам)

{i(n-i + l) + Cf_i; (г + 1)(п — г))

для

2 ^ г < [л/2тг - 5,75 - 0, б]

при n ^ 3 (все остальные числа между минимальными и максимальными возможными значениями реализуются). Н. Мартинов доказал также, что множества чисел /, реализуемые наборами п прямых и наборами тг псевдопрямых, совпадают между собой. В. И. Арнольд21, по-видимому, не зная о результатах Б. Грюнбаума и Н. Мартинова, снова начал изучать множество чисел областей / проективной плоскости, реализуемых при данном числе прямых п. Предложенный им подход отличался от подхода Н. Мартинова большей ролью нижних оценок числа /, зависящих от п и от максимального числа прямых, пересекающихся в одной точке. Эта идея В.И. Арнольд применяется в диссертации в ряде других случаев.

15J. Csima, Е.Т. Sawyer, There exist ordinary points. Discrete Comput. Geom. 9 (1993), 187-202.

ieB. Green, T. Tao, On sets defining few ordinary lines, arxiv: 1208.4714 (2012).

"E. Melchior, Über Vielseite der Projektiven Ebene. Deutsche Mathematik 5 (1940), 461-475.

18F. Hirzebruch, Singularities of algebraic surfaces and characteristic numbers. Contemporary Math. 58 Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1986, 141-155.

1SB. Grünbaum, Arrangements and Spreads. AMS, Providence, Rhode Island, 1972.

20N. Martinov, Classification of arrangements by the number of their cells. Discrete and Comput. Geometry 9:1 (1993), 39-46.

21В.И. Арнольд, На сколько частей делят плоскость п прямых? Матем. просвещение сев. S (20081 12,95-104.

Цель работы

Обобщить результаты Н. Мартинова в следующем смысле. Изучить множества чисел / связных компонент дополнений в многообразиях М к конечным объединениям подмногообразий коразмерности один. Рассмотреть случаи кривых на двумерных поверхностях рода д, гиперплоскостей в семерных аффинных, проективных пространствах и пространствах Лобачевского. Получить нижние оценки числа /, зависящие от числа п и степени "вырождения" набора подмногообразий.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Для наборов п псевдопрямых на вещественной проективной плоскости МР2, в которых не более чем п — 3 псевдопрямые пересекаются в одной точке, найдено и доказано неравенство

»>4

где и — это число точек, каждая из которых принадлежит ровно г псевдопрямым. На основе этого и других известных ранее линейных по и неравенств (Е. Мельхиора и Ф. Хирцебруха) получены нижние оценки числа компонент связности дополнения в Ю?2 к объединениям п прямых (и псевдопрямых).

2. Полностью вычислены множества п) чисел компонент связности дополнений в М к объединениям п замкнутых геодезических для случаев, когда М:

• двумерный тор или бутылка Клейна с любой локально евклидовой метрикой,

• тетраэдр с равными гранями (любыми остроугольными треугольниками).

3. Найдена и доказана точная нижняя оценка числа / связных компонент дополнения в связном, гладком, ¿-мерном компактном многообразии Мл без края к объединению п связных замкнутых подмногообразий коразмерности один

¡>п-<ИтН<1-1(М'1,С) + 1,

где группа С? = Е, если Мл и все п подмногообразий ориентируемы, и й = Ъч иначе.

4. Изучены множества Г(МЛ, п) чисел компонент связности дополнений в ¿-мерных многообразиях МА к объединениям п различных связных подмногообразий определенного типа в следующих случаях:

• вычислены первые 4 по возрастанию числа множества .Р (И*1, п) для вещественного проективного пространства МР^ и наборов из п плоскостей коразмерности один, не имеющих общих точек в совокупности (при п 5г 2<1 + 5 и <1 ^ 3);

• множества Р(Ьл,п) полностью найдены для (¿-мерных пространств Лобачевского 1/ и наборов п плоскостей коразмерности один;

• найдены бесконечные подмножества множеств F(T'i,n) для плоских торов Тл и наборов плоских подторов коразмерности один. Выдвинута гипотеза, что эти подмножества совпадают с множествами •Р(Т<г, п) на основании того, что для й = 2 совпадение доказано.

Основные методы исследования

В диссертации используются свойства функции Мёбиуса частично упорядоченных множеств, методы теории гомологий и некоторые результаты, касающиеся замкнутых геодезических на поверхностях с метриками постоянной кривизны.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в задачах комбинаторной и дискретной геометрии, комбинаторной топологии.

Апробация результатов работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре "Дифференциальная геометрия и приложения" кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ (2011-2012 гг.), на семинарах "Алгебраическая топология и ее приложения" в рамках конференции «Ломоносовские чтения» (2011 - 2012 гг.), "Современные геометрические методы" (20082011 гг.), 'Узлы и теория представлений" (2010-2012 гг.), "Геометрия в целом" (2009-2010 гг.), "Математические вопросы кибернетики" (2010 г.), "Теория автоматов" и "Дискретная геометрия и геометрия чисел" (2011 г.) механико-математического факультета МГУ, а также на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях:

• на международной конференции "Метрическая геометрия поверхностей и многогранников", посвященной 100-летию со дня рождения Н. В. Ефимова, Москва, 2010 г.;

• на международной конференции "Юбилейный симпозиум А. 3. Петрова по общей теории относительности и гравитации", Казань, 2010 г.;

• на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-летию со дня рождения И. Г. Петровского, Москва, 2011 г.;

• на международной конференции "Александровские чтения", Москва, 2012 г.;

• на международной конференции "Дискретная Геометрия", посвященной 100-летию со дня рождения А. Д. Александрова, Ярославль, 2012 г.;

• на семинаре "Algebraische Geometrie" (руководители Prof. Dr. Hubert Flenner, Prof. Gerhard Rohrle, Prof. Dr. Uwe Storch), Бохум, Рурский ун-т, 2009 г.;

• на геометрическом семинаре им. И. Ф. Шарыгина (руководители д.ф.-м.н. И.Х. Сабитов, д.ф.-м.н. В.Ю. Протасов), Москва, МЦНМО, 2009 г.;

• на семинаре по комбинаторной геометрии и топологии (руководитель д.ф.-м.н. В. О. Мантуров), Москва, РУДН, 2012 г.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 9 работах, список которых приведен в конце автореферата, [1 — 9].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (47 наименований). Общий объем диссертации составляет 109 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации дается обзор литературы, формулируются постановки задач и основные результаты работы.

Содержание главы 1

В первой главе рассматриваются конечные наборы псевдопрямых (гладких замкнутых кривых без самопересечений, попарно трансверсально пересекающихся в одной точке) на вещественной проективной плоскости ®Р2. Изучаются соотношения между числами v,e,f,ti,pj вершин, ребер, граней, ¿-кратных точек пересечения и j-угольных граней соответственно. Доказано следующее линейное по U неравенство, аналогичное (но не эквивалентное) неравенству Ф. Хирцебруха для наборов комплексных прямых.

Теорема 1. Если в наборе из п псевдопрямых на проективной плоскости RP2 в одной точке пересекаются не более чем п — 3 псевдопрямые, то

Î2 + l,5i3 >8 +^(2г-7,5)ii.

i> 4

Формулируется и доказывается метод получения нижних оценок числа областей / с помощью линейных по U неравенств. Метод применяется к неравенствам Е. Мельхиора, Ф. Хирцебруха и к неравенству теоремы 1. Получающиеся оценки вида / ^ F(n, m) зависят от числа (псевдо)прямых п квадратично, где m — максимальное число пересекающихся в одной точке (псевдо)прямых. Далее приводится теорема Н. Мартинова, описывающая множество всех пар чисел (п, /), для которых существуют наборы из п псевдопрямых, делящие проективную плоскость на / областей.

Содержание главы 2

Во второй главе рассматриваются конечные наборы замкнутых трансверсально пересекающихся кривых на двумерных компактных поверхностях M без края. Число / компонент связности дополнения в M к объединению кривых вычисляется в случае, когда разбиение поверхности кривыми не обязательно клеточное. Множество всех возможных чисел / для поверхности рода g и п кривых имеет вид

{m е N | m > п - 2g + 1}.

В связи с простотой этого множества возник вопрос о дополнительных ограничениях, которые следовало бы наложить на поверхности и на кривые так, что множества чисел областей стали бы более содержательными. Было предложено взять замкнутые геодезические на гладких поверхностях с метрикой постоянной гауссовой кривизны, а также на многогранниках. В работе рассмотрены случаи равногранных тетраэдров ТГ1 двумерных торов Т2 и бутылок Клейна KL2 с любыми локально евклидовыми метриками. В

разбиениях этих поверхностей наборами замкнутых геодезических определялись условия, при которых все области гомеоморфны диску, после чего число областей выражалось через кратности точек пересечения, число точек пересечения находилось через гомотопические типы геодезических (в случае тетраэдра: через гомотопические типы их поднятий). Явно строился примеры геодезических, реализующих заданное число областей. Для доказательства невозможности остальных чисел быть числами областей использовались оценки числа / в терминах максимального числа параллельных геодезических.

Теорема 2. Множества Т1 всех возможных чисел связных компонент дополнения к объединению п замкнутых геодезических на равногранных тетраэдрах Тг, двумерных торах Т2 и бутылках Клейна КЬ2 с локально плоской метрикой имеют вид:

• Г(Т2,гг) = {п - 1,п} и {I е N | I > 2п - 4} при п > 2,

• Р(КЬ2,п) = {п — 1, п, тг + 1} и {/ е N | I ^ 2п - 4} при п > 2,

• ^(Тг,2) = {3}и{2т | т£М,т>2},

• F(Tr,n) = {п+ 1,2п} и {т. е N | ш > 4п - 6} при п > 3.

Рассматривается связная ориентируемая С°°-гладкая компактная поверхность М без края с метрикой постоянной отрицательной кривизны (конкретно заданной). Для этой поверхности

• доказано, что две замкнутые геодезические без самопересечений длины Т\ и Тг образуют не более чем сТхТг областей для некоторой константы с.

• приведен пример сколь угодно длинных замкнутых геодезических, образующих одну область,

• приведен пример сколь угодно длинных замкнутых геодезических длин Т\ и Тг, образующих не менее чем с\Т\Т2 областей для некоторой константы С1 > 0.

• приведен пример замкнутой геодезической, образующей / областей для любого натурального числа /.

Содержание главы 3

В третьей главе рассматриваются наборы связных замкнутых подмногообразий коразмерности один в многообразии М. Число / компонент связности дополнения в многообразии М к объединению А подмногообразий выражено с помощью гомологической последовательности пары (М,А), после чего получена нижняя точная оценка числа /.

Теорема 3. Пусть А — объединение п попарно трансверсалъно пересекающихся замкнутых и связных подмногообразий коразмерности один в гладком, компактном, связном й-мерном многообразии М^ без края, / =\щ(М<1\А)\. Тогда

/^п + ^ЛтЯ,,.!

где группа С? = Ш, если многообразие МА и все подмногообразия А* ориентируемы, иС — Ж>2 иначе.

Для конечных наборов плоскостей коразмерности один в вещественных проективных пространствах №* определяются функция Мёбиуса ч.у.м. пересечений и характеристический многочлен. Описаны свойства функции Мёбиуса, с помощью которых получены нижние оценки и вычислены несколько первых значений числа / связных компонент дополнения в пространстве МР"1 к объединению п гиперплоскостей.

Теорема 4. Первые четыре по возрастанию значения числа связных компонент дополнения в пространстве МРЙ к объединениям п гиперплоскостей, не имеющих общих точек в совокупности, следующие:

{п-й+ 1)2*-\ 3(п — <£)2?~2, (Зп — Зй + 1)2Й~2, 7(п — с£)2'г_3

при (1^3 и п^ 2(1 + 5.

Изучены множества F (Тй, п) и ^ (Ьа, п) чисел связных компонент дополнений в ¿-мерных торах Тл с локально евклидовой метрикой к объединениям п плоских подторов коразмерности один и дополнений в пространствах Лобачевского Ьл к объединениям п гиперплоскостей соответственно.

Теорема 5. Пусть п ^ <1 ^ 2 — натуральные числа. Тогда

^(Г^п) п-<*+1</<п или / > 2(п - й»,

В заключении приведен неформальный "алгоритм" для изучения множества чисел / связных компонент дополнения и указана важность нижних оценок числа /, зависящих от степени вырождения набора подмногообразий.

Благодарности

Глубоко признателен своему научному руководителю, академику РАН

A. Т. Фоменко за постановки задач и внимание к работе. Глубоко благодарен профессору Н. П. Долбилину, доценту Е. А. Кудрявцевой и профессору

B. Ю. Протасову за неоднократные обсуждения задач и полезные ссылки на литературу. Благодарю всех сотрудников кафедры дифференциальной геометрии и приложений за творческую обстановку и внимание к работе

Особенно поблагодарить хотелось бы академика РАН В. И. Арнольда,

привлекшего внимание к задаче в открытой лекции в 2007 г.

Работы автора по теме диссертации

[1] И.Н. Шнурников, На сколько областей делят плоскость п прямых, среди которых не более п — к коллинеарных? Вестник Моск. ун-та, сер. 1 (2010) 5, 32-36.

[2] И.Н. Шнурников, О числе областей, образованных наборами замкнутых геодезических на плоских поверхностях. Матем. Зам. 90:4 (2011), 636 - 640.

[3] И. Н. Шнурников, Конфигурации подмногообразий коразмерности 1 .Матем. сб. (2012) 203:9, 133 - 160.

[4] И.Н. Шнурников, О числе компонент связности дополнений к объединениям замкнутых подмногообразий. Деп. в ВИНИТИ, № 347 - В 2012, с. 1 - 28.

[5] И.Н, Шнурников, Число областей в разбиениях плоскости прямыми не общего положения. Сборник тезисов международной конференции "Геометрия в «целом», топология и их приложения", Харьков, 2009 г., с. 47.

[6] И.Н. Шнурников, Классификация конфигураций прямых на проективной плоскости по числу областей. Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна — 2010, Воронеж, 2010 г., с. 160 — 161.

[7] И.Н. Шнурников, О числе областей проективного пространства, разделенного п плоскостями. Тезисы докладов международной конференции "Юбилейный симпозиум А.З. Петрова по общей теории относительности и гравитации", Казань, 2010 г., с. 125 — 126.

[8] И.Н. Шнурников, О числе областей, образованных набором замкнутых геодезических на плоских поверхностях. Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-ой годовщине И.Г. Петровского, Москва, 2011 г., с. 396-397.

[9] И.Н. Шнурников, О числе областей дополнений в конфигурациях подмногообразий. Тезисы докладов международной конференции "Дискретная геометрия", посвященной 100-летию со дня рождения А. Д. Александрова, Ярославль, 2012 г., с. 85 — 86.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж [ 0 {?экз. Заказ № 6

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

04201357127 УДК 514.174+515.164.22

Шнурников Игорь Николаевич

Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических

01.01.04 — геометрия и топология

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: академик РАН, профессор А.Т. Фоменко

Москва - 2012

Содержание

Введение 3

1 Наборы псевдопрямых на проективной плоскости 10

1.1 Линейные неравенства на числа точек пересечения фиксированной кратности.......................... 11

1.2 Оценки числа областей для наборов псевдопрямых с ограниченными вырождениями...................... 23

1.3 Множества чисел связных компонент дополнений к наборами псевдопрямых............................ 36

2 Наборы замкнутых кривых на двумерных поверхностях 40

2.1 О числе связных компонент в неклеточных разбиениях сфер с ручками..............................................................41

2.2 Множества чисел областей в разбиениях торов и бутылок Клейна 46

2.3 Разбиения тетраэдров наборами замкнутых геодезических . . 54

2.4 Замкнутые геодезические на замкнутых гиперболических поверхностях ..........................................................61

3 Наборы подмногообразий коразмерности один 71

3.1 Гомологическая оценка числа компонент связности ...... 71

3.2 Применение функции Мёбиуса для наборов гиперплоскостей . 75

3.3 Множества чисел областей в разбиениях проективных пространств 81

3.4 Разбиения плоских ¿-мерных торов и пространств Лобачевского 98

Заключение 104

Список литературы 105

Введение

Работа относится к теории конфигураций подмногообразий — активно развивающемуся направлению, связанному с комбинаторикой, алгебраической топологией, теорией узлов, алгебраической геометрией. Под теорией конфигураций подмногообразий мы имеем в виду в первую очередь результаты, касающиеся комбинаторики и топологии конечных наборов плоскостей и их дополнений в аффинных и проективных пространствах, а также обобщения на наборы подмногообразий в других многообразиях. Базовые факты теории см. в книге П. Орлика, X. Терао [31] 1992 г., а геометрические аспекты — в обзоре В. А. Васильева [3] 2001 г. Ряд обобщений для произвольных многообразий сделал П. Дешпанд [16] в 2011 г.

Обзор основных известных результатов.

Комбинаторика числа областей. Я. Штейнер [36] в 1826 г. рассматривал разбиения трехмерного евклидова пространства конечными наборами поверхностей, состоящими из семейств параллельных плоскостей и концентрических сфер, причем любые две поверхности из разных семейств пересекались и все семейства находились в общем положении относительно друг друга. Я. Штейнер нашел число областей пространства для таких разбиений с указанными числами поверхностей в семействах. Пусть евклидово пространство разбивается набором из п плоскостей коразмерности один (гиперплоскостей) в объединение многогранных областей. Р. Бак [12] в 1943 г. нашел числа всех к -мерных граней и числа всех ограниченных А;-мерных граней в разбиениях пространства М^ гиперплоскостями общего положения для к = 0,1,..., нашел аналогичные числа для разбиений вещественных проективных пространств МР^. Р. Шеннон [34] в 1976 г. доказал нетривиальные нижние точные оценки на числа к -мерных плоскостей пересечения и к -мерных клеток в разбиениях пространства МР^ конечными наборами гиперплоскостей, для которых пересечение всех гиперплоскостей является пустым множеством.

Формула Заславского. Т. Заславский [37] в 1975 г. определил характеристический многочлен набора гиперплоскостей аффинного или проективного пространства с помощью функции Мёбиуса частично упорядоченного множества пересечений; нашел линейные комбинации значений характеристи-

ческого многочлена в некоторых точках, задающие число всех областей и число ограниченных областей в разбиениях пространства гиперплоскостями (для ограниченных областей требуется, чтобы пересечение всех гиперплоскостей было точкой или пустым множеством). Р. Эренберг, М. Рэдди, М. Слоун [18] в 2009 г. определили характеристический многочлен и предъявили аналогичные формулы для клеточных разбиений многомерного плоского тора набором плоских подторов коразмерности один. П. Дешпанд [16] в 2011 г. обобщил формулы Заславского для наборов подмногообразий (в определении наборов подмногообразий требовалось, чтобы пересечение подмногообразий было локально гомеоморфно пересечению плоскостей).

Когомологии дополнения. П. Орлик и Л. Соломон [30] в 1980 г. выразили кольцо целочисленных когомологий дополнения к набору комплексных гиперплоскостей через ч. у. м. пересечений гиперплоскостей (построенная алгебра была названа в их честь). Они заметили, что характеристический многочлен для набора вещественных гиперплоскостей совпадает с многочленом Пуанкаре для комплексифицированного набора. Отсюда следует, что число областей разбиения вещественного пространства Мт набором гиперплоскостей равно сумме чисел Бетти дополнения вСт к объединению комплексифи-цированных гиперплоскостей. Обзор С. А. Юзвинского [10] 2001 г. посвящен свойствам алгебр Орлика-Соломона и некоторым их приложениям. М. Го-рески и Р. Макферсон [4] выразили целочисленные когомологии дополнения в вещественном пространстве к набору аффинных плоскостей произвольных размерностей в терминах порядкового комплекса этого набора и размерностей пересечений плоскостей.

Гомотопические свойства дополнений к наборам плоскостей. Г. М. Циг-лер [38] в 1993 г. построил примеры наборов вещественных плоскостей коразмерности два с четномерными пересечениями, имеющих одинаковые ч.у.м. пересечений, но у которых дополнения' к объединениям плоскостей имеют неизоморфные алгебры Ж-когомологий и неизоморфные фундаментальные группы. Г. Л. Рыбников [9, 33] нашел две комбинаторно эквивалентные конфигурации прямых на комплексной проективной плоскости, у которых фундаментальные группы дополнений не изоморфны.

Наборы псевдопрямых на проективной плоскости. Рассмотрим набор из п гладких замкнутых кривых без самопересечений (псевдопрямых1) на вещественной проективной плоскости, любые две из которых пересекаются транс-версально в единственной точке; при этом не существует точки, принадлежащей всем псевдопрямым. Обозначим через и число точек, принадлежащих ровно г псевдопрямым. Изучение возможных значений чисел и и соотношений между ними — довольно интересная задача, возникшая из гипотезы Дж. Сильвестра^ ^ 1, см. обзоры П. Брасса и др. [13] и Н. Нилакантана [29]. Гипотеза Г. А. Дирака [17] утверждает, что ¿2 ^ [§], известен также пример с ¿2 = \ для четных чисел п ^ 6. Дж. Сцима и Е.Т. Сойер [15] доказали неравенство ¿2 ^ ^^ при п ^ 8. Б. Грин и Т. Тао [20], использовав методы аддитивной комбинаторики, доказали гипотезу Дирака для достаточно больших п.

П. Эрдеш и Г.Б. Пурди [19] в 1978 г. доказали неравенство

тах{£2,£з} ^ п — 1 при п ^ 25;

доказали, что если ¿2 < п — 1, то £3 > сп2 для некоторой положительной константы с. Известны соотношения, касающиеся чисел ^ одновременно для нескольких значений г, например, линейные неравенства Э. Мельхиора [27] и Ф. Хирцебруха [24]. Неравенство Е. Мельхиора обращается в равенство для симплициальных разбиений вещественной проективной плоскости набором псевдопрямых. Ф. Хирцебрух изучал возможные значения отношения чисел Черна для двумерных комплексных многообразий, построенных по наборам комплексных прямых на плоскости С2, а неравенство на числа и получил как следствие неравенства Мияоки-Яо (с уточнениями Ф. Сакаи).

Связь наборов гиперплоскостей с многогранниками. Зоноэдром в называется выпуклый многогранник, все гиперграни которого центрально симметричны. А. Д. Александров [1] в 1933 г. заметил, что зоноэдр является центрально-симметричным многогранником. Имеется следующая связь конфигураций гиперплоскостей в проективных пространствах (т.е. наборов подпространств аффинных пространств коразмерности один) с зоноэдрами, (см. Б. Грюнбаум [21], 1967 г.). Для каждого подпространстваРг конечного набора подпространств в Мп+1 возьмем единичный отрезок, перпендикулярный

1 Пример неспрямляемого набора псевдопрямых можно построить с помощью теоремы Дезарга о кол-

линеарности трех точек пересечения соответствующих сторон двух перспективных треугольников.

рг, после чего возьмем сумму Минковского2 этих отрезков. Например, для конфигураций прямых на проективной плоскости прямые соответствуют пояскам зоноэдра, области плоскости МР2 — парам противоположных вершин зоноэдра, точки пересечения прямых — парам противоположных граней зо-ноэдра; трем не коллинеарным прямым на плоскости ЖР соответствует куб.

Множества чисел областей в разбиениях проективной плоскости. Б. Грюнбаум [22] в 1972 г. впервые поставил вопрос об описании множества возможных чисел / областей в разбиениях вещественной двумерной проективной плоскости наборами из п проективных прямых и доказал, что

/ ^ 3п — 6 при т ^ п — 2,

где т — максимальное число прямых, пересекающихся в одной точке. Тем самым, число областей не может принадлежать интервалу (2п — 2;3п — 6). Также Б. Грюнбаум предположил, что при п ^ 9 число областей не может находиться в интервале (3п — 5,4п — 12). Эту гипотезу независимо друг от друга доказали Р. Кордовил [14] в 1980 г., Дж. Б. Пурди [32] в 1980 г. дляп ^ 40 и Н. Мартинов [25] в 1990 г. Для доказательства гипотезы Б. Грюнбаума Дж. Б. Пурди потребовалось доказать, что если для некоторого целого числа к

т^п-к и п ^ 4/с2 + к + 1, то / > (к + 1)(п - к).

Позже Н. Мартинов [26] в 1993 г. полностью описал все числа отрезка

_ п(п — 1) ,

[2п — 2, ^ 2 ; +1],

которые могут реализоваться в качестве числа областей проективной плоскости, разделенной набором п различных псевдопрямых. В. И. Арнольд [2] в 2008 г., не зная о работе Н. Мартинова, поставил задачу об описании всех возможных чисел областей "с нуля". Он назвал лакунами интервалы (аг,Ьг), где

аг = г{п - г + 1) + Ьг = (г + 1)(п - г).

В. И. Арнольд доказал, что число областей не может принадлежать лакуне номер г для достаточно больших п (для п > г2), однако в его работе [2]

2напомним, что сумма Минковского двух тел А и В. расположенных в аффинном пространстве, состоит из всевозможных точек а + Ь, где а £ А и Ь 6 В.

остался невыясненным вопрос, есть ли в лакуне номер г реализуемые значения числа областей при ^-<п<г2иг^3.

Весьма любопытно сравнить множества пар чисел (п, /), реализуемых наборами прямых на проективной плоскости, с теми же множествами, реализуемыми наборами псевдопрямых. Априори было неизвестно, совпадают ли эти множества, поскольку существуют примеры неспрямляемых конфигураций псевдопрямых. Однако Н. Мартинов заметил, что множества совпадают, поскольку его рассуждения [26] для конфигураций прямых дословно переносятся на наборы псевдопрямых.

Замкнутые геодезические. Птицына [8] в 1994 г. изучала замкнутые локально минимальные сети на равногранных тетраэдрах (грани — равные остроугольные треугольники, авторский термин — квазиправильные).

В.Ю. Протасов [6, 7] в 2007-2008 гг. исследовал простые замкнутые геодезические на тетраэдрах (в основном, неравногранных); доказал, что для любой простой замкнутой геодезической на произвольном тетраэдре существует комбинаторно эквивалентная ей (т.е. пересекающая ребра в том же порядке) замкнутая геодезическая на правильном тетраэдре. Отнеся в один класс замкнутые геодезические, параллельные данной, В.Ю. Протасов доказал конечность числа классов замкнутых простых геодезических на неравногранных тетраэдрах и нашел верхние оценки; получил некоторые необходимые и некоторые достаточные условия того, чтобы на неравногранном тетраэдре существовала хотя бы одна замкнутая простая геодезическая; доказал, что единственные трехмерные многогранники, на поверхности которых есть бесконечное число классов замкнутых простых геодезических, суть равногранные тетраэдры.

Автор не претендует на достаточно полный обзор литературы, упомянуты только некоторые работы, наиболее связанные с темой и результатами диссертации.

Постановка задачи.

Пусть — связное замкнутое многообразие, А — объединение п связных замкнутых подмногообразий коразмерности один. Пусть / — число компонент связности дополнения Ма \ А. Требуется найти или описать множества Р(М(1,п) всех возможных чисел / для данных и п (тем самым, обобщить результаты Н. Мартинова). При этом естественно искать множе-

ства ^(М^п), накладывая некоторые условия на подмногообразия или на их наборы. Например, рассматривать наборы замкнутых геодезических на двумерных многообразиях с метрикой постоянной гауссовой кривизны, наборы плоскостей коразмерности один в аффинных или проективных пространствах. При этом, множества возможных при таких ограничениях чисел / мы будем по-прежнему обозначать через п), указывая, какие именно

наборы рассматриваются.

Для изучения множеств возможных значений чисел / оказывается крайне желательным получать нижние оценки числа /, зависящие от числа п и степени "вырождения" набора подмногообразий.

Результаты диссертации.

1. Для наборов псевдопрямых на вещественной проективной плоскости

су

ИР найдено и доказано неравенство

¿2 + 1, 5£з ^ 8 + ^ {2г — 7,5) и

при условии Ьп = £п_1 = ¿п_2 = 0, где это число точек, каждая из которых принадлежит ровно г псевдопрямым. На основе этого и других известных ранее линейных по ^ неравенств получены нижние оценки числа компонент

су

связности дополнения в МР к объединениям псевдопрямых. Подробнее см. теоремы 1.2 и 1.3 диссертации и работу автора [42].

2. Полностью вычислены множества ^(М, п) чисел компонент связности дополнений в поверхности М к объединениям п замкнутых геодезических для случаев, когда М:

• двумерный тор с любой3 локально евклидовой метрикой,

• двумерная бутылка Клейна с любой локально евклидовой метрикой,

• тетраэдр с равными гранями (любыми остроугольными треугольниками),

см. теоремы 2.3, 2.4 и 2.6 диссертации или работы автора [40, 41].

3. Для объединения А набора из п связных замкнутых подмногообразий коразмерности один в связном гладком компактном многообразии Мс1 без

3отметим, что плоская метрика на торе задается невырожденной двумерной решеткой на плоскости, а множества F(M, п) не зависят от выбора решетки

края, попарно трансверсально пересекающихся, найдена и доказана нижняя оценка числа связных компонент дополнения

|тг0 (М* \ А) | > п - сНт Н(1-1 (Ма, С) + 1,

где группа С = К, если Ма и А{ ориентируемы, и С = Ъ^ иначе. Эта оценка точна в ряде случаев, включающих наборы подторов плоских (¿-мерных торов, наборы гиперплоскостей проективных пространств, наборы замкнутых кривых на двумерных ориентируемых замкнутых многообразиях. Более подробно см. теорему 3.1 диссертации или работу автора [42].

4. Для неприводимых наборов из п плоскостей коразмерности один в семерном вещественном проективном пространстве ЕР^ вычислены первые 4 по возрастанию числа множества Р (МР^п) при п^2й + 5ис?^3, см. теорему 3.5 диссертации или работу автора [42].

5. Полностью найдены множества Р(Ьа,п) чисел компонент связности дополнений в (¿-мерных пространствах Лобачевского к объединениям п плоскостей коразмерности один. Для дополнений в плоских (¿-мерных торах Та к объединениям плоских подторов коразмерности один найдены бесконечные подмножества множеств Р{ТА,п). Выдвинута гипотеза, что эти подмножества совпадают с множествами на основании того, что для с1 = 2 совпадение имеется. Более подробно см. теоремы 3.9 и 3.8 диссертации или работы автора [41, 42].

Благодарности. Глубоко признателен своему научному руководителю, академику РАН А. Т. Фоменко за постановки задач и внимание к работе. Глубоко благодарен профессору Н.П. Долбилину, доценту Е.А. Кудрявцевой и профессору В. Ю. Протасову за неоднократные обсуждения задач и полезные ссылки на литературу. Благодарю всех сотрудников кафедры дифференциальной геометрии и приложений за творческую обстановку и внимание к работе.

Особенно поблагодарить хотелось бы академика РАН привлекшего внимание к задаче в открытой лекции в 2007

В. И. Арнольда, г.

1 Наборы псевдопрямых на проективной плоскости

Определение 1.1. Псевдопрямой^ называется С1 - гладкая регулярная замкнутая кривая без самопересечений на вещественной проективной плос-

Л

кости 1ШР , не гомотопная отображению окружности в точку. Набором псевдопрямыз? называется конечная совокупность А из п ^ 3 псевдопрямых, любые две из которых пересекаются в единственной точке и пересекаются трансе ер сально.

Набору псевдопрямых А соответствует разбиение плоскости КР в виде клеточного комплекса, (который будем обозначать так же, как и набор А) с у(А) вершинами, е{А) ребрами и /(А) двумерными клетками. Вершины комплекса — точки пересечения псевдопрямых, ребра — дуги псевдопрямых без внутренних точек пересечения, двумерные клетки (области) — компоненты связности дополнения в проективной плоскости к объединению псевдопрямых. Из формулы для эйлеровой характе