Полукасательные структуры высших порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

ГАФОРОВ Саттор

ПОЛУКАСАТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

01. 01. 04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1992

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор А.С.$еденко кандидат физико-математических наук, доцент В.Г.Подольский

Ведущая организация: Московский государственный педа-

Защита состоится " " декабря 1992г. в _час.

на заседании специализированного Совета по математике К.053.29.о5 в Казанском государственном университете имени 3.И.Ульянова-Ленина по адресу: 420003, г.Казань, ул.Ленина, 13, корп.2, ауд.217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г.Казань, ул.Ленина,13).

Автореферат разослан " 10 ноября_ 1992 г.

профессор В.В.Вишневский

гогический университет

_ Э -

I. Общая характеристика работы.

Актуальность темы, 1)дним неперспективных направлений :атематики, в котором происходит синтез алгебраических и «ометрических идей., является изучение пространств над ал-ебрами и их вещественных реализаций,- Работы В. Гамильтона, ..П.Котельникова, З.Штуди, Д.Н.Зейлигера положили начало :эученив пространств над алгебрами, которые в самом начале X века возникли в линейчатой геометрии и её" приложениях- к [еханике. Теория пространств над алгебрами была далее разви-■а в работах П.А.Широкова, А.П.Нордена, Б.А. Розенфельда, ..П.Широкова,. В.В.Вишневского, их учеников, а также других 1Второэ. В'частности, било установлено, что дифференциально-•еометрические структуры на многообразиях, определяемые юсоциативными и коммутативными алгебрами, возникапт в слу-[ае существования на них некоторой системы аффинорных труктур, изоморфно представляющих эти алгебры.

С другой стороны, наряду с исследованиями в области ространств над алгебрами в 50-е - 60-е годы появились рабо-'ы японских математиков Исихары С., Сасаки С., Тасиро Я., !но К., в^которых было положено начало изучению касательных «сслоений, являющихся важным случаем расслоенных многооб-йзий. Касательные расслоения первого порядка обладают тем ;войством, что несут на себе нильпотентнуо интегрируемую .ффинорнув структуру половинного ранга, с точки зрения кого-юй они являвтся вещественными реализациями многообразий ¡ад алгеброй дуальных чисел. Соответственно, касательные >асс.лоения высших порядков реализуют многообразия над алгеб-

- * -

рой плюральных чисел.

В последние годы появилось много работ, в которых строились лифты различных дифференциально-геометрических объектов в касательные расслоения высших порядков. В работах Тасиро Я., Яно К. появились так называемые голоморфно-геодезические кривые, являощиеся обобщением геодезических кривых, причём определены они были на почти комплексных многообразиях. В дальнейшем эти понятия обобщались на случай более общих структур на многообразиях и применялись к .голоморфно-геодезическим преобразованиям связностей, сохра нявщим класс голоморфно-геодезических линий [!}•

Как обобщение касательных расслоений в работе £2]вводятся " полу касательные расслоения первого и высших порядков Для случая полукасательного расслоения первого порядка построена теория голоморфных продолжений (лифтов) тензорных полей и связностей и получены некоторые приложения эюй теории. Такие лифты тензорных полей и связностей на полукасательном расслоении 2-го порядка построены в

Обобщение этих результатов для случая полукасательногс расслоения -высшего порядка является, несомненно, важной и

актуальной "задачей, так как позволит осуществить подход к построении теории лифтов тензорных полей и связностей в полукасательное расслоение более общего вида. С другой стороны, представляет интерес и определение места полукасательных расслоений в общей теории дифференцируемых многообразий с интегрируемыми аффинорными структурами.

Целью работы является выделение тех классов тензорных полей и связностей, которые допускают лифты (голоморфные

_ э -

продолжения) в полукасательное расслоение произвольного порядка, фактическое построение этих лифтов и применение теории лифтов к исследованию инвариантных объектов относительно голоморфно-геодезических преобразований связносгей в полукасательном расслоении произвольного пооядка.

Методикой исследования в настоящей работе являются тензорные методы в сочетании с применяемым в ней аппаратом теории пространств над алгебрами. Исследование носит локальный характер в классе достаточно гладких функций.

Теоретическое и практическое значение. Полукасательные расслоения высотах порядков, рассмотренные в диссертации, являются интересным примером и достаточно общим классом многообразий с интегрируемыми нидьпогентными аффинерными структурами. Проектируемая связность в этих многообразиях порождает полный лифт, представляющий собой связность, сохраняющую ффинорную структуру. Преобразования этих связностей и их полных лифтов и, в частности, голоморфно-геодезические преобразования, изучаемые в диссертации, являются интересными примерами преобразований этих многообразий. Применение построенной ■еории к частному случаю субмерсии ЗС :ТИ~»М приводит к воз-шкновению на полукасательном расслоении структуры полиаффи-юрной нефробениусовой алгебры.

1. Вилневский 3.3. К вопросу о тензоре проективной кривизны //Труди геом.сем.Казань.-1933.-вып.15.~ С.1^-23.

2. Вилневский В.В. и геометрической модели пол^касательных структур //Лзв.вузов,Матеи.-1933.-й 3.- С.73-75.

. - б -

Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту.

1. Выяснены свойства полукасатеявной структуры выслего порядка, её место среди обобщенных касательных структур высшего порядка и её плюральная интерпретация.

2. Построена теория лифтов проектируемых векторных,, тензорных полей и связностей в полукасательное расслоение выслего порядка и их плюральная интерпретация.

3. Изучены свойства производной Ли лифтов проектируемых векторных полей и связностей на полукасательном расслоении 1-го и 2-го порядка и, в частности, горизонтальных ли(ф-тов.

4. Выделен специальный вид полукасательного расслоения, которое является обобщенной суммой Уитни Т*^) ©Т^И .

5. Исследованы голоморфно-геодезические преобразования связности полного лифта; выделены обобщенный объект Томаса

и обобщенный тензор Вейля, инвариантные относительно этих преобразований.

6. Найден класс годоморфно-геодезически-^плоских многообразий с полукасательными структурами второго порядка и установлен их признак.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1) На Итоговых'научных конференциях преподавателей

3 Кирсанова Т.В. Подукасательные структуры 1-го порядка //Груды геом.сем.Казаньг-1934.- вып.16,- С.41-46.

и сотрудников Казанского университета ( январь, 1990, январь 1991, январь 1992).

2) На научном семинаре кафедры геометрии Казанского университета (рук. профессор А.П.Широков - декабрь 199и, январь 1991, сентябрь 1992).

3) На Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (г.Казань, август 1992).

4) На семинаре Московского государственного педагогического университета (рук. профессор Л.Ь.Ьвтушик - сентябрь 1992).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, вклвчающих восемнадцать параграфов, списка отечественной и зарубежной литературы. Общий объем работы 132 стр. машинописи.

П. Содержание диссертации.

В первой-главе, которая является основной, изучаются дифференцируемые многообразия с полукасатеяьной структурой (S+£) -го порядка.

В § I даётся определение полу касательной структуры^* tyro порядка. Пусть 31: М—»■ В -расслоение на дифреренцируемом многообразии класса , определяемое субмерсией Ж , л ричём dim IM = И- ,dimB = т , П? М . Тогда адаптированные к ней локальные координаты в окрестности Up точки Р€ М имеют вид (ЗС^Х') , где -слоевые координаты, о^Д^,..

= . . . , Я - W j X1 ~ базовые координаты,I, j,K,...=

= H-m+l, Я-т + 2,.. . , It • Пополним М струями S -го

- а -

порядка, а В -струями ($ 4 £) -го порядка . Получим

новое многообразие, которое обозначим символом

[5] . Координаты точки нового многообразия р 6Тп-пцт(М) задаются в виде набора переменных в окрестности ^р , являющейся продолжением окрестности Цр:

а • • * *

(Т-Р тЛ г*} т^ т1г "гН + Р ^

, л , л ^ * .Л- 1 •л- ? ^ у • ' * 1 -Л, /,

П олукасательное расслоение Т&-т,т(И) обладает интегрируемой аффинорной структурой X вейерлтрассовой характеристики

и удовлет-

•V-----V-

воряет условию д = 0 • Зга структура называется полукасательной структурой -го порядка, а Тп-'т^т (М) -полукасательным расслоением многообразия' М . На Тп-пцт(М) имеет место условие Д^УА , где Д -якобиева матрица преобразования переменных в окрестности Цр .

В § 2 формулируются необходимые в дальнейшем определения проектируемых тензорных полей, изучаемых в работе [бЗ .

Для проектируемых векторных и ковекторных полей на

Т^тД (М)

построены лифты (полный, промежуточный и вертикальный), доказывается их инвариантность и голоморфность.

4. Пантелеева Т.А. Дважды проектируемые тензорные поля и

■ связности в полукасательном расслоении второго порядка //Грудч геом.сем. Казань.-1936.-вып.17.- С.43-53.

5. Ви'лневйкий 3.3. Многообразия над плюральными числами и полукасательные структуры //Итоги науки и техники.ВИНИТИ. Проблемы геометрии.-19сЗо.-Т.20,- С.33-74.

6. Лапуков о.Н. Связности на дифференцируемых многообразиях-//Итоги науки и техники. ЗЛНЙТИ. Проолемы геометрии.-1933. -Т. 15.- С.'61-93.

(Отметим, что наТи-ж^т(М) увеличится количество типов промежуточных и вертикальных лифтов для названных полей). Находится взаимный след полей. Доказана теорема I, которая гласит: На полу касательном расслоенииТи-т+,т(И) коммутатор полных лифтов проектируемых векторных полей совпадает с полным лифтом коммутатора этих полей, т.е. [•си>с17'3 —

В § 3 даётся определение проектируемой связности Й-С помощью уеловия= найдены все существенные компо-

ненты связности полного лифта СУ . Выяснено, что связности

'и \7 взаимно однозначно определяют друг друга на Тп-м,т. (М) (теорема 2). Что касается компонент связностей' промежуточных и вертикальных лифтов, то они легко получаются из свёртыванием по лпбому индексу с соответствующими

степенями аффинора у .

В § 4 даётся определение проектируемого тензорного поля типа (1,5) и доказана теорема 3, как признак проектируем ости тензорного поля типа (1,5). С помощью лифта проектируе-

мой связности \7 и равенства С'И'ЖЗ соответст-

венно для тензоров кривизны и кручения доказаны теоремы 4 -7, которым равносильны следующие коммутативные диаграммы

У — — £ V- —>Б

Н 1е

с\7 и7

где и -полные лифты тензора кривизны К и тензора кручения И связности .

В § 5 на полукасательных расслоениях 1-го и 2-го порядков Тп-Ж,М СМ) и ТЙ«,*(М) исследуются свойства

7. Широков П.А. Тензорное исчисление,- Казань, 1961.- 445 с,

- 10 -

производной Ли проектируемых векторных, полей и связностей. Доказаны теоремы <3-11, которые устанавливает следующие коммутативные диаграммы на Та-т,»г(№):

°и Г

с

X

Ч

Далее, доказаны теоремы 12-14 о справедливости аналогичных диаграмм в Тл-«,м(М).

В § 6

показывается, что горизонтальный лифт наТд-в^й

СМ)

определяется инвариантно независимо от выбора адаптированных к расслоению координат, и исследуются свойства производной Ли горизонтальных лифтов проектируемых векторных полей на ТЙт,*(М) (теорема 15).

В § 7 в качестве примера рассмотрено полукасательное расслоение двумерного многообразияТ^т,«

(М)при 11=2,01=1.

В § б выделен специальный вид полукасательного расслоения, которое является обобщенной суммой Уитни ТМеТ'М ([а! стр. 151-153).

Во второй главе изучается плюральная интерпретация полукасательного расслоения (5+£)~го порядка.

В § 9 собраны необходимые сведения из теории алгебр (3, 93 . Приведены некоторые результаты и рабочие формулы из [5, 8], касающиеся алгебры плюральных чисел

ная полем вещественных чисел , которая определяется следующим

3. Зидневский В.З., Широков А.П., Лурыгин В.В. Пространства над алгебрами. Казань,1935,- 262 с.

9. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.- М.:ЙЛ,1947.- 403 с.

образом:

$ (£к) = £ а0 + а,£ йк£к | ек+= о, си б К

В § 10 введены плюральные координаты £51 на гладкой многообразии и их закон преобразования (Отметим, чтоИ-Щ

переменных принадлежат радикалу алгебры плюральных чисел, a tU переменных - всей алгебре).

Показано, что полу касательное расслоение Ttf-m,m.(M) является вещественной реализацией гладкого многообразия + )над алгеброй плюральных чисел (S+E) -го порядка.

В § II построена плюральная инт.ерпретация лифтов векторных и ковекторных полей, найден их взаимный след.

В § 12 показано, что линейная связность М (£ ) вещественно реализуется в виде линейной связности наТл-т,т(М), сохраняющей % ,т.е. удовлетворяющей условию Найдены все ненулевые компоненты плюральной связности Сю1 .

В § 13 приведены две известные теоремы ( 17, 18) £8^ для тензорных полей, которые является критерием голоморфности тензорного поля с применением связности, сохраняющей-структуру. Указана плюральная интерпретация тензора типа (1,S ). На основе этого записаны все ненулевые компоненты

10. Вишневский В.В. Аффинорные структуры пространств аффинной связности //йзв.вузов.Матем.-1970.~$ I,- С. 12-23.

11. Кирсанова Т.Н. Обобщенно-касательные структуры на многообразиях: Автореф.дис.канд.физ-мат.наук.- Казань,1935.-13 с.

12. Пантелеева Т.А. 0 продолжении тензора Риччи в полукасательное расслоение второго порядка //Труды геом.семин.-Казань.-1991.- вып.21.- С.79-85.

плюрального продолжения тензора кривизны и тензора кручения. Для тензора типа (0,2) показывается, что полный лифт может быть определен в двух частных случаях. На Тп-т,т(М) для проектируемого тензора Риччи получены некоторые результаты, аналогичные результатам [5] , [11,121 , т.е. ее ли ^ТР01- ~ тензор Риччи проектируемой связности, то для него, вообще говоря, полный лифт в не определяется.

В § 14 изучена плюральная интерпретация двумерного многообразия над алгеброй ) , как частный случай предыдущих параграфов данной главы.

Третья глава представляет собой приложения построенной в первой главечтеории голоморфных продолжений.

В § 15 исследуются уравнения голоморфно-геодезических кривых в. полука-сатеяьном расслоении (М) • Мы ограничи-

ваемся достаточно .общим случаем полукасательного расслоения ТпЦ*(М) с возникающей на нём аффинорной структурой ^ , которая удовлетворяет условию . Доказывается теорема

20 о реализации гол.оморфно-геодезической линии на 1п.-т,т (И) геодезической на ^ и обобщенным полем Якоби вдоль геодезических.

(А

Найдено строение тензора аффжнной деформации на

Тп'-т,т(М)' Показывается, что полный лифг геодезического преобразования является голоморфно-геодезическим преобразованием на Т^т,« (М) > ЧТ° с гочки зрения плюрального многообразия [^(В4") имеет вполне естественное истолкование.

Б § 16 строится и изучается обобщенный обьект Томаса. В общем случае параметра Томаса не допускают лифта в Тп'-т • Однако, несмотря на это, в может

быть построен дифференциально-геометрический объект, инвариантный относительно голоморфно-геодезических преобразований ш Тп.-'ж.пДМ) и названный обобщенным объектом Томаса (теорема 22). Обобщенный объект Томаса является вещественной реализацией некоторого объекта в ¡^Е2).

В § 17 рассматривается обобщенный тензор голоморфно-геодезической. кривизны. Используется тот факт, что при геодезических преобразованиях на остаётся инвариантным тензор геодезической кривизны Вейля, который непосредственно не может быть поднят в Т^^и^М). Однако, применяя специальный вид тензора кривизны проектируемой связности, мы строим такой.аналог тензора Вейля - обобщенный тензор Вейля, который обладает свойством инвариантности относительно голоморфно-геодезических преобразований на 1п-т,п1 (М) (теорема 23).

В § 18 выделяются голом орфно-гэодезически-плос кие полукасательные расслоения второго порядка, допускающие голоморфно-геодезические отображения на локально-плоские пространства.

Доказана следующая теорема 24: Многообразие Т)^ т(М)

при П1т£0 голоморфно-геодезически-плоско тогда и только тогда, когда тензор голоморфно-геодезической кривизны равен нулю.

Выражаю благодарность и искреннюю признательность научному руководителю профессору В.В.Вияневскому за постоянное внимание и всестороннюю помощь при выполнении настоящей работы.

Ш. Работы автора, опубликованные по теме_диссертации.

1. Гафоров С. Полукасательные расслоения высших порядков //Тезисы докл. Международной конф. "Добачевский и современная геометрия".- Казань,1992, ч.1.- С.22-23.

2. Гафоров С. Производная Ди и горизонтальный лифт в полукасательном расслоении 1-го порядка. Казан.ун-т.~ Казань,1991,- 7 с.ДШв ВИНИТИ 12.II.91. 4246-В91.

3. Гафоров С. Об одном примере полукасательного расслоения 2-го порядка. Казан.ун-т.- Казань,1992.- 5с,- ДШ в ВИНИТИ 30.U6.92., К» 2Ю6-В92.

Гафоров С. Полукасательное расслоение двумерного многообразия и его плюральная интерпретация. Казан.ун-т.- Казань,1992.- Юс.- ДЕЛ в ВИНИТИ 30-.U6.92.,* 2107-В92.

фй