Обобщенно-касательные структуры на многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ С ОБОБЩЕННО-КАСАТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

§ I.I. Определение обобщенно-касательной структуры и ее свойства.

§ 1.2. Случай интегрируемой обобщенно-касательной структуры.

§ 1.3. Голоморфно-проективные преобразования связности в многообразии с обобщеннокасательной структурой.

Г Л А В А 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ С ПОЛУКАСАТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

§ 2.1. Определение полукасательной структуры

§ 2.2. Лифты тензорных полей в полукасательном расслоении

§ 2.3. Связности на многообразии с полукасательной структурой

§ 2.4. Горизонтальные лифты тензорных полей и связностей

§ 2.5. Примеры связностей в полукасательном расслоении

ГЛАВА 3. ГОЛОМОРФНО-ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИНВАРИАНТНЫЕ ОБЪЕКТЫ

§ 3.1. Голоморфно-проективные преобразования связности в полукасательном расслоении

§ 3.2. Объекты Томаса. Тензор голоморфнопроективной кривизны

§ 3.3. Голоморфно-пр о ектив но-пло с ко е пространство

§ 3.4. Инфинитезимальные голоморфно-проективные преобразования в полукасательном расслоении

В настоящее время дифференциальная геометрия активно занимается изучением дифференцируемых многообразий, снабженных различными геометрическими структурами, в частности, алгебраическими, т.е. изоморфно представляющими некоторую алгебру. К структурам такого типа относится обобщенно-касательная структура - самая общая нильпотентная аффинорная структура класса нильпотентности 2, порождающая на многообразии структуру представления алгебры дуальных чисел.

Изучению многообразий со структурами, определяемыми алгебрами, посвящено большое количество работ. Обзор полученных в этой области результатов дан в работах А.П.Широкова [б4-5б]. За последние годы геометрия алгебраических структур получила значительное развитие, в основном, благодаря работам П.А.Широкова [<47,48], А.П.Нордена [29,31,32], А.П.Широкова [51-53,57], В.В.Вишневского [2-I1] , Г.И.Кручковича [21-2б] , Б.А.Розенфельда [зб-зэ] и их учеников.

Наряду с этим появление работ японских математиков Сасаки, Яно, Ишихары, Кобаяси (см.|^79,80,8l] ) положило начало изучению касательных расслоений дифференцируемых многообразий. В этих работах определяются отображения алгебры тензорных полей дифференцируемого многообразия в алгебру тензорных полей касательного расслоения этого многообразия. С помощью таких отображений строятся вертикальный, полный, горизонтальный лифты тензорных полей. В касательном расслоении определяется связность, являющаяся полным лифтом связности на базе [79]. Кроме этого было выяснено, что в касательных расслоениях возникают различные геометрические структуры. Некоторые из этих структур тесно связаны с алгебрами. В недавней обзорной статье А.П.Широкова [бв] подведены итоги работ, посвященных изучению дифференциально-геометрических структур, возникающих, в касательном расслоении многообразия. Примером такой структуры является достаточно хорошо изученная почти касательная структура ^ [бо], удовлетворяющая условию ft*0-О и имеющая вейерштрассову характеристику В настоящей работе изучается самая общая аффинорная структура, удовлетворяющая условию Jfk— 0 , произвольной вейерштрассовой характеристики 2,,., 2/)1 и названная, поэтому, обобщенно-касательной. Эта структура естественным образом возникает в расслоении X с X *Т 6 , индуцированном расслоениями р • X —щ 6 и р^ТВ^В [43J, т.е. в расслоении р±: ( 5""*'б база Ь заменяется на X , а слои остаются теми же (см. § 2.1).

Обобщенно-касательная структура, возникающая в расслоении

X , позволяет ввести голоморфно-геодезические кривые, являющиеся обобщением геодезических кривых. Впервые такого рода кривые были определены на почти комплексных многообразиях (см. работы Т.Оцуки, Я.Таширо [бб], Я.Таширо [75] , Ш.Ишихары [б4], К.Яно [78j). В связи с рассмотрением голоморфно-геодезических кривых появляется возможность построения теории голоморфно-проективных преобразований связности, обобщающих проективные преобразования связности. Такие преобразования применительно к многообразиям со структурой представления алгебры двойных чисел изучала М.Прванович [б7], общий случай бинарных алгебр рассматривался Г.Г.Марковым, А.П.Норденом £27], а для многообразий с почти кватернионной структурой аналогичные исследования проводил Ш.Фуйимура [бГ-бЗ . Голоморфно-проективные преобразования связности на многообразии с интегрируемой регулярной алгебраической структурой изучал также Г.И.Кручкович [23J. Он доказал, что голоморфно-геодезические кривые принадлежат вполне геодезической поверхности, реализующей геодезическую линию из пространства над алгеброй. Аналогичные вопросы на многообразиях с 2-кратной регулярной структурой представления коммутативной алгебры исследовались В.С.Талапиным [41,42]. Вопросу о существовании тензора голоморфно-проективной кривизны, инвариантного относительно голоморфно-проективных преобразований связности, посвящена работа морфно-проективных преобразований связности и их инвариантов на многообразиях, снабженных обобщенно-касательной структурой.

Целью настоящей работы является систематическое изучение обобщенно-касательной структуры и, в частности, построение теории голоморфных продолжений (лифтов) дифференциально-геометрических объектов в их связи с теорией многообразий над алгебрами, а также приложение этой теории к голоморфно-проективным преобразованиям связности.

Актуальность темы. Почти касательная структура, естественным образом возникающая в касательном расслоении, в настоящее время достаточно хорошо изучена, хотя самая общая нильпотентная аффи-норная структура класса нильпотентности 2 произвольной вейерлась. Изучение обобщенно-касательной структуры дает возможность ее применения в геометрии дифференцируемых расслоений, структуры такого типа возникают в линейчатой геометрии изотропных прямых пространства Минковского и могут быть использованы в тех исследованиях, где появляются структуры, определяемые алгеброй дуальных чисел.

Методика исследования основана на применении тензорного аппарата в многообразиях над алгебрами и их вещественных реализациях. Используются методы построения инфинитезимальной связности на произвольных дифференцируемых расслоениях, основанные на теории отображений. Исследования носят локальный характер в

В.В.Вишневского

Интересным представляется изучение голоштрассовой характеристики до сих пор не изучаклассе достаточно гладких функций.

Научная новизна. Теория пространств над алгебрами достаточно хорошо изучена. В применении к расслоенным пространствам эта теория дает новые результаты. В частности, в настоящей работе с помощью голоморфных продолжений в алгебру дуальных чисел построены лифты тензорных полей и связностей в многообразие с обобщенно-касательной структурой. Решается задача о нахождении объектов, инвариантных относительно голоморфно-проективных преобразований связности. В общем случае плюральных и дуальных структур нахождение такого рода объектов сопряжено с большими трудностями.

Теоретическое значение. Результаты, полученные в работе, являются дальнейшим развитием методов построения теории лифтов дифференциально-геометрических объектов на многообразии с интегрируемой аффинорной структурой и пополняют общую теорию дифференциально-геометрических структур на многообразиях. Кроме того, построенная теория находит приложения в линейчатой геометрии и может служить основой для построения ее обобщений на случай обобщенно-касательных структур высших порядков.

Основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту.

1. Дана новая трактовка полукасательного расслоения 1-го порядка.

2. Выделены тензоры и связности (с кручением), допускающие голоморфное продолжение в полукасательное расслоение, и построены эти продолжения.

3. Построены горизонтальные лифты векторных полей и связностей в полукасательное расслоение.

4. Исследованы голоморфно-проективные преобразования связности полного лифта в полукасательном расслоении и найдены их инварианты .

5. Выделен класс голоморфно-проективно-плоских полукасательных расслоений.

Публикации. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. По материалам диссертации опубликованы четыре рабов равных условиях, в диссертацию включены только результаты, полученные автором.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, состоящих' из 12 параграфов и 25 пунктов, списка использованной литературы. Содержание работы изложено на 118 страницах машинописного текста, список литературы включает 81 название.

1. Беклемишев Д.В. Дифференциальная геометрия пространств с почти комплексной структурой. - Итоги науки. Геометрия. 1963/ ВИНИТИ АН СССР, М., 1965, с. 165-212.

2. Вишневский В.В., Терина Г.А. К теории пространств над тензорными произведениями алгебр. Уч. зап. Казан, ун-та, 1968, т. 128, № 3, с. 12-23.

3. Вишневский В.В. Аффинорные структуры пространств аффинной связности. Изв. вузов. Мат., 1970, № I, с. 12-23.

4. Вишневский В.В. Теория аффинорных модулей. Уч. зап. Казан, ун-та, 1970, т. 129, № 6, с. 33-53.

5. Вишневский В.В. Полиномиальные алгебры и аффинорные структуры. Тр. геом. сем./ Казан, ун-т, 1971, вып. 6, с. 22-35.

6. Вишневский В.В. Пространства над алгебрами, определяемые аффинорами. Дис. . д-ра физ.-мат. наук. - Казань, 1972. -345 с.

7. Вишневский В.В. Аффинорные структуры многообразий как структуры, определяемые алгебрами (обзорная статья). Tensor, 1972, v. 26, р. 363-372.

8. Вишневский В.В. О вещественных реализациях тензорных операций в пространствах над алгебрами. Изв. вузов. Мат., 1974, № 5, с. 62-65.

9. Вишневский В.В. О геометрической модели полукасательных структур. Изв. вузов. Мат., 1983, № 3, с. 73-75.

10. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. - 760 с.

11. Зейлигер Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия. М.-Л.: Гостехиздат, 1934. - 195 с.

12. Кирсанова Т.В. Лифты и связности на многообразии с полукасательной структурой. Казань, 1983. - 12 с. - Рукопись представлена Казан, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 7 декабря 1983,6625-83.

13. Кирсанова Т.В. Голоморфно проективные преобразования связности в полукасательном расслоении. УШ Всесоюзн. конф. по совр. пробл. геометрии. Тезисы докл., Одесса, 1984,с. 70.

14. Кирсанова Т.В. Полукасательные структуры 1-го порядка. -Тр. геом. сем./ Казан, ун-т, 1984, вып. 16, с. 41-46.

15. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. -М.: Наука, 1981, т. I. 344 с.

16. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. -М.: Наука, 1981, т. П. 416 с.

17. Котельников А.П. Винтовое исчисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1895. - 215 с.

18. Котельников А.П. Проективная теория векторов. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1899. - 230 с.

19. Кручкович Г.И. Условия интегрируемости регулярной гиперкомплексной структуры на многообразии. Укр. геом. сб./ Харьк. ун-т, 1970, вып. 9, с. 67-75.

20. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях. Тр. сем. по вект. и тенз. анализу/ Моск. ун-т, 1972, вып. 16, с. 174-201.

21. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные геодезические и их вещественные реализации. Тр./Моск. ин-т радиотехн., электрон, и автомат., 1973, вып. 67, с. 3-II.

22. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях. П. Тр. сем. по вект. и тенз. анализу/ Моск. ун-т, 1974, вып. 17, с. 218-227.

23. Кручкович Г.И. Н -пространства Вейля. Тр. ХХУ научн.-техн. конф. Тезисы докл., Моск. ин-т радиотехн., электрон, и автомат., Москва, 1976, с. 2-8.

24. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях.-Тр. сем. по вект. и тенз. анализу/ Моск. ун-т, 1978, вып. 18, с. 293-299.

25. Марков Г.Г., Норден А.П. О голоморфно-проективных преобразованиях. Изв. вузов. Мат., 1975, № 6, с. 82-87.

26. Норден А.П. Биаксиальная геометрия и ее обобщения. Тр.ТУ Всесоюз. мат. съезда/ Моск. ун-т, 1964, т. 2, с. 236-243.

27. Норден А.П. О структуре связности на многообразии прямых неевклидова пространства. Изв. вузов. Мат., 1972, J& 12, с. I38-I4I.

28. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976.-432 с.

29. Норден А.П. Композиции векторного расслоения. Изв. вузов. Мат., 1978, № 5,0138-141.

30. Норден А.П. Теория композиций. В сб. : Итоги науки и техники. Пробл. геом./ ВИНИТИ АН СССР, 1978, № 5, с. I38-I4I.

31. Павлов Е.В. Един клас пространства с дуална структура. -Научни трудове Пловдивски ун-т. Мат., 1973, т. II, кн. 3,с. 17-23.

32. Павлов Е.В. Някои свързности в многообразие, снабдено с нерегулярна дуална структура. Научни трудове Пловдивски ун-т. Мат., 1973, т. II, кн. 4, с. 145-155.

33. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. - 664с.

34. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. М.: Гостехиздат, 1955. - 744 с.

35. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. - 548 с.

36. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. - 648 с.

37. Розенфельд Б.А. Метод подвижного репера в пространствах над некоммутативными алгебрами. УП Всесоюзн. конф. по совр. пробл. геометрии. Тезисы докл., Минск, 1979, с. 168.

38. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979. - 256 с.

39. Талапин B.C. ti -планарное преобразование связности в вещественных реализациях многообразий над алгебрами. Изв. вузов. Мат., 1979, № 12, с. 72-76.

40. Талапин B.C. Голоморфно проективные преобразования связности на многообразиях со структурой представления коммутативных алгебр и некоторые их геометрические приложения. -Дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1980. - 144 с.

41. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Наука, 1970. -442 с.

42. Чеботарев Н.Г. Введение в теорию алгебр. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 88 с.

43. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемом расслоении.Тр. геом. сем./ Казан, ун-т, 1980, № 12, с. 97-110.

44. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях. -Итоги науки и техники. Пробл. геом./ ВИНИТИ АН СССР, 1983, т. 15, с. 61-93.

45. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах. Мат. сб., 1957, т. 41, № 3, с. 361-372.

46. Широков П.А. Об одном типе симметрических пространств. -Изв. Казан, физ.-мат. об-ва, 1925, сер. 2, т. 25, с. 48-55.

47. Широков П.А. Тензорное исчисление. Л.-М.: Гостехиздат, 1934. - 464 с.

48. Широков А.П. Геометрия обобщенных биаксиальных пространств.-Уч. зап. Казан, ун-та, 1954, т. 114, № 2, с. 123-166.

49. Широков А.П. Об одном свойстве ковариантно постоянных аффиноров. Докл. АН СССР, 1955, т. 102, с. 464-467.

50. Широков А.П. Об одном классе пространств над алгебрами. -Изв. вузов. Мат., 1961, № I, с. 87-97.

51. Широков А.П. К теории пространств, определяемых коммутативными алгебрами. Уч. зап. Казан, ун-та, 1965, т. 125, № I, с. 165-182.

52. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. -Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия./ ВИНИТИ АН СССР, 1969, с. 127-188.

53. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях. -Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия./ ВИНИТИ АН СССР, 1974, т. II, с. 153-208.

54. Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры высших порядков. Итоги науки и техники. Пробл. геом./ ВИНИТИ АН СССР, 1979, т. 9, с. 189-233.

55. Широков А.П. О голоморфно-проективных преобразованиях в касательном расслоении. Тр. геом. сем./ Казан, ун-т, 1979, №11, с. Ill—114.

56. Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами. Итоги науки и техники. Пробл. геом./ ВИНИТИ АН СССР, 1981, т. 12, с. 61-95.

57. Юрьев В.А. Структуры и связности многообразий гиперболических и изотропных прямых пространств постоянной кривизны. -Дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1980. - 107 с.

58. Clark R.S., Bruckheimer М. Sur les structures preaque tangents. C.r. Acad, sci., 1960, 251, p. 627-629.

59. Fujimura S. Q -conections and their changes on an almost quaternion manifolds. Hokkaido Math. J., 1976, v.5, 2, p. 239-248.

60. Fujimura S. On a certain change of affine connections on an almost quaternion manifold. Hokkaido Math. J., 1977, v. 6, 2, p. 249-254.

61. Fujimura S. Q -projective transformations of an almost quaternion manifolds. Hokkaido Math. J., 1979, v. 8, 1, p. 95-1o2.

62. Ishihara S. Holomorphically projective changes and their groups in an almost complex manifold. Tohoku Math. J., 1957, v. 9, 3, p. 279-297.

63. Morimoto A• Prolongation of connections to bundles of infinitely near points. J. Different. Geom., 1976, v. 11, 4, p. 479-498.

64. Otsuki Т., Tashiro Y. On curves in Kahlerian spaces. -Math. J. Okayma Univ., 1954, v. 4, 1, p. 150-158.

65. Prvanovic M. Holomorphically projective transformations ina lokally product apace. Mathematica Balkana, 1971, v. 1, p. 195-213.

66. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of tangent Riemannian manifolds. Tohoku Math. J., 1958, 10, p. 338-354.

67. Scheffers G. Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohn-lich complexen Funktionen. Ber. Sachs. Ak. Wiss. Leipzig,1893, 45, a. 823-848.

68. Scheffers G. Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohn-lich complexen Funktionen. Ber. Sachs. Ak. Wiss. Leipzig,1894, 46, s. 120-134.

69. Schouten J.A., van Danzig D. Uber unitare Geometrie. -Math. Ann., 1930, 103, s. 319-346.

70. Studi E. Geometrie der Dynamen. Leipzig, 1902. - 230 s.

71. Tachibana S., Ishihara S. On infinitesimal holomorphically projective transformations in Kahlerian manifolds. -Tohoku Math. J., 1960, v. 12, 1, p. 77-1o1.

72. Tachibana S., Koto S. On almost-analytic functions tensors and invariant sulspaces. Tohoku Math. J., 1962, 14,p. 177-186.

73. Tashiro Y. On holomorphically projective correspondences in an almost complex space. Math. J. Okayama Univ., 1957, v. 6, 2, p. 147-152.

74. Tong Van Due. Structure presque-transverse. J. Differential Geometry, 1979, 14, p. 215-219.14, p. 9-19.

75. Yano K. Differential geometry on complex and almost com

76. Yano K. On a structure type (1,1) satisfyingplex apaces. Pergamon Pres., New-York, 1965.

77. Yano К., Kobajashi S. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles. General theory. J. Math. Soc. Japan, 1966, v. 18, 2, p. 194-210.

78. Yano K., Ishihara S. Horizontal lifts of tensor fields and connections to tangent bundles. J. Math, and Mech., 1967, 16, p. 1015-1029.

79. Yano K., Ishihara S. Almost complex structures induced in tangent bundles. Kodai Math. Sem. Reports, 1967, 19, p. 1-27,