Преобразования Лагерра в псевдоевклидовых пространствах и геометрия Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

_ —

На правах рукописи

7 ПН V,:/!

ШУСТОВА Ксения Петровна

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАГЕРРА В ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО

01.01. 04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1993

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского государственного университета.

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РСФСР,

доктор физико-математических наук, профессор А.П.Широков.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Вишневский, кандидат физико-математических наук, доцент В.Г.Копп.

Ведущая организация: Калининградский государственный

университет.

Защита состоится " 27 " января_ 1994 года

в 14 часов на заседании специализированного Совета по математике К 053.29.05 Казанского университета по адресу: 420008, Казань, ул. Ленина 18, корпус № 2, аудитория 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета /Казань, ул. Ленина 18/.

Автореферат разослан " " (х^саэ/и^ 1993 ГОда

Ученый секретарь ^р^ациализированного Совета, профессор / Б.Н.Шапуков /

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Геометрия псевдоевклидовых пространств и геометрия Лобачевского, а также геометрия касательных расслоений дифференцируемых многообразий занимают ванное место в современной геометрии.

На протяжении у газ более полутора, веков вопросы неевклидовых геометрий находятся в центре внимания многих геомэтров. Эти*.: вопросам посвящены, например, работы С 3 ,4,7,81

Изучение касательных расслоений дифференцируемых многообразий является одним пз наиболее быстро развивающихся направлений современной геометрии С б ,2,1?, 16, 19,153 . Геометрия касательного расслоения в настоящее время активно изучается в различных направлениях С 3 7 •

Актуальным является вопрос о приложениях теория касательных расслоений к различным разделам геометрии ж теоретической физики. Здесь можно отметить, например, работы С I , 5 , 12 3 .

В настоящей диссертации даются приложения теории касательных расслоений к изучению осевых круговых преобразований в псевдоевклидовых пространствах и их аналогов в идеальной области пространств Лобачевского. Осевые круговые преобразования впервые рассматривались французским математиком Эдаондом 1а-герром ( 1834-1886 годах), поэтому их часто называют преобразованиями Лагерра. Позднее ёти преобразования рассматривали И. М. Яглом С'3,141, А. П. Широков (например, £10 , II 3 ) . В этих работах А. П. Широков изучает аффинные коллинеавдги

х-

связности 2 при »г = | и получает интересные аналоги группы Лагерра в релятивной линейчатой геометрии плоскости, где 2 - связность в касательном'расслоении индикатрисы,

Приведем здесь один из результатов статьи [11] , который используется в настоящей диссертации: 6-членная группа в касательном расслоении индикатрисы (окружности псевдоевклидовой плоскости), инфинитезимальные преобразования которой образованы как полными, так и вертикальными лифтами векторных полей базы ( индикатрисы) в ее касательное расслоение, является группой преобразований Лагерра ка псевдоевклидовой плоскости.

Изучение преобразований Лагерра в псевдоевклидовых пространствах и идеальной области пространств Лобачевского представляет интерес с точки зрения возможных приложений к задачам теоретической физики.

Цель работы. Изучить аналоги преобразований Лагерра в идеальной области плоскости Лобачевского в связи как с преобразованиями Лагерра в. псевдоевклидовой плоскости, так и с преобразованиями в различных касательных расслоениях. Построить возможное обобщение на случай идеальной области трехмерного пространства Лобачевского.

Методы исследования. Используются методы тензорного анализа, аппарат дифференцирования-Ли и поднятия геометрических объектов с базы в касательное расслоение. Исследования носят локальный характер.

Теоретическое и практическое значение работы. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер и могут быть применены в исследованиях по неевклидовым геометриям, связанных с различными их моделями и их приложениями в исследовании линейчатых образов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научно-исследовательского

семинара при кафедре геометрии Казанского университета /руководитель профессор А. П. Широков/, на итоговой научной конференции Казанского университета в 1993 году, на семинаре при кафедре геометрии.и алгебры Калининградского университета / руководитель профессор В. С. Малаховский/.

Публикации. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-43.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 121 странице машинописного текста и состоит из введения, трех глав, содержащих 15 параграфов, и списка литературы из 53 наименований. Нумерация параграфов сквозная.

2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дана краткая историческая справка, обоснованы актуальность темы диссертации, научная новизна полученных результатов и изложено краткой содержание работы.

В первой главе даются некоторые представления группы Ла-герра псевдоевклидовой плоскости 1 Е г •

В § 1 показано, что 6-членная группа преобразований в касательном расслоении ТМг » индуцирующая группу Лагерра в псевдоевклидовой плоскости 1Ег , порождает группу псвЕдо-еъклидовых движений в трехмерном псевдоевклидовом пространстве 'Ез с линейным элементом 52 = еС а,г - сК?2 4 & К.2. Сначала преобразования Лагерра этой группы, а точнее ее операторы, рассматриваются на многообразии ориентированных прямых псевдоевклидовой плоскости. Ориентированные прямые

- 6 -

X-^u1 — -t л2 — о

( О

псевдоевклндовой плоскости задаются элементами (и/,и2)касательного расслоения Т М i окружности ( индикатрисы) М ( с центром в начало координат действительного радиуса 1 ( и.' -угол наклона радиус-вектора индикатрисы к оси ох ,(Х,У)-ортогональныв координаты в ^Е г ) . Затем делается переход к многообразию ркружностей мнимого радиуса, которое обладает структурой трехмерного псевдоевклидова пространства.

В § 2 рассматривается классификация по В. Г. Копну С1/! одночленных подгрупп 6-параметрической группы движений в 'Ез . Находятся огибающие семейств прямых, получившихся при преобразованиях, индуцированных каждой из указанных одночленных подгрупп этой группы &е . Т.о., дается геометрическая характеристика выделенных подгрупп.

В § 3 делается переход от многообразия ориентированных прямых псевдоевклндовой плоскости к многообразию орторепе-ров этой плоскости. Группа Лагерра, порозщающая движения в 1Е з , представлена как групп* преобразований в многообразии орторепаров псевдоевклндовой плоскости.

В § 4 устанавливается локально диффеоморфяая связь ор-торвпера \ псевдоевклндовой плоскости с элементом

Си.', и*, и?) касательного расслоения второго порядка Т2М| индикатрисы М i . 6-параметрнческая груша, поровдающая преобразования в многообразии ортореперов псевдоевклидовой плоскости, представлена как группа преобразований в Т Mi. Т.е., на преобразование ортореперов плоскости 1Е-г. можно

л

смотреть как на преобразование 2-струй в Т Mf, и наоборот

В § 5 установлена связь орторепера {Д, , с эле-

ментом С н',2^, н3) касательного расслоения второго порядка Т2Р| вещественной проективной прямой Р| . Указанное отображение является локально диффеоморфным. Найден базис операторов 6-параметрическоЭ группы преобразований в расслоении Т2Р| , индуцированных 6-членной группой Сгд , порождающей преобразования в многообразии ортореперов плоскости 1Е г. .

В.§ 6 ортореперн псевдоевклидовой плоскости изображаются точками 3-мерного проективного пространства со структурой би-гксиального пространства параболического типа. На основании этого локально взаимно однозначного соответствия 6-иараиетри-1еская группа Лагерра преобразований^ плоскости 'Ег интэр-фетирована как группа преобразований трехмерного проективного трастранства.

В § 7 дается краткое содержание первой главы /более под-юбноо, чем во введении/.

Вторая глава посвящена изучению аналогов преобразований [агерра в идеальной области плоскости Лобачевского.

Б § '8 установлено локально даффеоморфяов отображение мно-

'ообразия ориентированных прямых псевдоевклидовой плоскости в

ногообразие орициклов идеальной области 'Ла плоскости Ло-

ачевского. Это сделано следующим образом. Сначала показывает-

я, что прямую С 1 ) можно задать элементом С^1, г2) £ТР| ,

ведя на вещественной проективной прямой Р, локальную неод-

и1

ородную проективную координату н' = • Затем рас-

матривается интерпретация Пуанкаре идеальной области '^г. лоскости Лобачевского в псевдоевклидовой полуплоскости над рямой £ - О , выступающей в качестве абсолюта, и в этой Аласти - орициклы

где (?■,£) - ортогональные координаты в 1Ег / ^ > ° /. Т.е., элементу ( г1,н2")^ТР| ставится в соответствие орицикл (2).

Т.о., элементу (г'^г2-), с одной стороны, ставится в соответствие ориентированная прямая в 'Ез. , с другой стороны, - орицикл (2) в 'Л 2 .Т. е., ориентированной прямой из 'Ег ставится в соответствие орицикл ( 2. ) в 1Л 2. /исключаются из рассмотрения прямые, проходящие через начало координат/.

Дана геометрическая характеристика отображения многообразия ориентированных прямых плоскости 'Еа в многообразие орициклов плоскости - '«Л2. .

В § 9 сделан переход от многообразия орициклов плоскости ^Ло. к многообразию ортореперов идеальной области 'Ла плоскости Лобачевского. Дана проективная интерпретация преобразованиям ортореперов идеальной области плоскости Лобачевского. Установлено локально диффеоморфное отображение многообразия ортореперов псевдоевклидовой плоскости в многообразие ортореперов идеальной области плоскости Лобачевского. Показано, что такое отображение находится в связи как с геометрией касательных расслоений вещественной проективной прямой, так и с геометрией бяаксиального пространства параболического типа. Группа Сг£ , порождающая преобразования ортореперов -е (сА. и, Д' и,' ) , ( ък и.1 , «¿V) в плоскости 'Ег , индуцирует 6-параметрическую группу преобразований ортореперов ё*, (¿о ск / ) , ёо^у , ¿есА,у) в плоскости 2 , где у

- У -

гол наклона орта §*[ к оси о ^ С т.е., еТ, направлен по рямой, касательной к орициклу (£) } . Найден базис операто-ов этой группы. Тем самым, решен вопрос о взаимосвязи преоб-азований ортореперов в 'Е^ и в * Л 2. •

В § 10 построена 10-членяая группа преобразований в 'Еа. . азис операторов которой образуют операторы указанной выше руппы и операторы, пороащающие соответственно сдвиги,

омотетии и порепарные вращения в 'Ег • Показано, какие пре-бразования порождают эти только что указанные преобразования трехмерном проективном пространстве Рз ив идеальной об-асти плоскости Лобачевского. Найдена 6-членная группа

зометрических движений в многообразии ортореперов идеальной бласти плоскости Лобачевского с линейным элементом (Ь 52 = г - <1 ¡¿^-ь ^-&г, где :в1 - линейный элемент в , сГв,-

бсолютная производная первого орта в риманоЕОй с вяз-

ости Г}„ .

« К

В § 11 приведено краткое содержанке второй главы /более одробное, чем во введении/.

В третьей главе строится возможное обобщение изучения налогов преобразований Лагерра в на случай идеальной

бласти '1//з трехмерного пространства Лобачевского.

В § 12 посредством введения параметров, задающих ориен-ированную плоскость, построена 10-членная группа Лагерра в рехмерном псевдоевклидовом пространстве ' Е з. с метрическим ензсром

9 \0 -I ) .

В § 13 указанная 10-членная группа Лагерра представляется ак группа псевдоевклидовых движений в четырехмерном псевдо-

- 10 -

евклидовом пространстве 1 Ei/ с линейным элементом d

- d О.2" + (L - d сг4ol R.2. Это делается посредством перехода к многообразию сфер мнимого радиуса в ' Е 3 •

В § 14 установлено диффеоморфное отображение многообразия ориентированных плоскостей из ' £ 3 в многообразие орисфер идеальной области '</?з трехмерного пространства Лобачевского. Пространство ' J]при этом рассматривается в интерпретации Пуанкаре в псевдоевклидовом полупространство над плоскостью €> - о , выступающей в качестве абсолюта. Дана геометрическая характеристика указанного отображения.

В § 15 дается краткое содержание третьей главы /более под робнов, чем во введении/.

Научная новизна и основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. 6-членная группа Лагерра преобразований ориентированны прямых в псевдоевклидовой плоскости 'Ег. представлена как группа • псевдоевклидовых движений в трехмерном псевдоевклидовоы пространстве 'Е3 . Дана геометрическая характеристика выделенных В. Г. Коппом СЧ 1 существенных одночленных подгрупп 6-параметриче ской группы движений в G 3 .

2. Группа преобразований в многообразии ортореперов плоскости 1 Е 2. t индуцированная указанной 6-чяенной группой Лагерра, представлена как с точки зрения касательного расслоения второго порядка индикатрисы T M (, так и с точки зрения касательного расслоения "Т2 Р| вещественной проективной прямой.

3. Установлено локально диффеоморфное отображение многообразия ориентированных прямых плоскости ' Е з. в многообразие орициклов идеальной области 1 J?2_ плоскости Лобачевского. Дана геометрическая характеристика этого отображения.

- II -

4. Группа преобразований в многообразии ортореперов плос-сости '£2 представлена как группа преобразований в многооб-)азии ортореперов плоскости [Яг.

5. Установлено диффеоморфное отображение многообразия иоскостей трехмерного псевдоевклидова пространства 'Ез в «ногообразие орисфер идеальной области трехмерного про-¡транства Лобачевского. Дана геометрическая характеристика >того отображения.

6. Построена 10-членная группа преобразований в многооб->азии плоскостей пространства '¿Е з , индуцирующая группу Ла-•ерра преобразований плоскостей в 'Е3 . Эта группа пред-давлена как группа движений в 4-мерноы псевдоевклидовом фостранстве 1 £ ц . Преобразования указанной Ю-членной •рушга индуцируют одновременно и преобразования в многообразии фисфер пространства '«Л з , порождающие аналоги цреобразова-гий Лагерра в идеальной области '71з трехмерного пространст-)а Лобачевского.

Работа выполнялась в соответствии с пианом НИР Казанского •осударственного университета в рамках темы "Геометрия обоб-{енных пространств и пространств со структурами, определявмы-ш алгебрами", имеющей государственный регистрационный номер 1186.0123456.

Приношу свою глубокую благодарность научному руководителю [. ф.-м. н., профессору Александру Петровичу Широкову за вни-аниэ и постоянную поддержку при выполнении настоящей работы.

Литература

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.-М.:Наука.-1989.-472 с.

2. Капустина Т.В. Геометрия касательного расслоения второго порядка римансва пространства.-Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.-1980.-125 с.

3. Клейн Ф. Неевклидова геометрия.-М.-Л.:ОНТИ-НКТП.-1936.-355 с.

4. Копп В.Г. Косой поляритет в псввдоэвклидовом пространства.■ Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.-1952.-180 с.

5. Переломова H.H., Широков А.П. Касательное расслоение 2-го порядка.проективной прямой и его приложения к геометрии Лобачевского /Казанск. ун-т.-Казань.-1988.-21 с.-Деп. в ВИНИТИ 12.04.68.-* 2746-388.

6. Подольский В.Г. Специальные инфинитезимальныв преобразования в касательном расслоении риманочых многообразий.-Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.-1981.-129 с.

7. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии.-М.:ГИТТЛ.-1955,-744 с.

8. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства.-М.:Наука.-1969.-574 с.

9. Широков А-Я. Геометрия касательных расслоений и пространств над алгебрами.-В кн.: Итоги науки и техники.-ВИНИТИ: Проблемы геометрии.-1981.-Т. 12.-С. 61-95.

10. Широков А.П. Замечание о релятивной линейчатой геометрии аффинной плоскости //Тр. геом. семинара.-Казань.-1978.-Вып. 10.-С. 113-120.

И. Широков А.П. О группе Лагерра п еэ аналогах э релятивной линейчатой геоизтрлн плоскости //Дзн~зния в обобщенных пространствах.Межвузовски!! сборник научных трудов.-Рязань. -1985.-С. 25-30.

L2. Штробель X. 0 геометрии общерэлятивистского пространства состояний частицы.-Киев.-1S71.-23 е.- Препршт/Ия-т тео-реу. физики АН УССР: ИИ-71-132 Р .

.3. Яглом И.М. Геометрические преобразования.-М.:ГИТТЛ.-1956.-Т. 2.-612 с.

.4. Яглом И.М. Проективные мероопределения на плоскости и комплексные числа.-Труды семинара по векторному и тензорному анализу.-М.-Л.-1949.-Вып. 7.-С. 276-318.

5. Djaa Kustapha, Gûnoarzswica Jacek. -^—strictures sur le fibre tangent d'ordre r.-Cah. math. Univ. d'0ran.-1086.-Н 1.-P. 3-26.

6. Ganoarsswicz J., lînhi S. Goodesiquos dan3 le fibre tangent d'ordre supérieur.-Cah. math. Univ. d'Oran.-19S6.-П 1.-P. 27-52.

7. Toug Van Duo. Sur la geciaetris différentielle du fibre tangent d'ordre 2.-Rend. Cire. mat. Palermo.-1986.-35.-H 1.-P. 118-134.

9. ïano K., Eobayaohi S. Prolongations of terror fields and connections to tangent bundles.1.General theory.//J.Math. Soo. Japan.-1966.-18.-H 2.-P. 194-210.

- 14 -

Публикации автора по томе диссертации

1. Шустова К.П. О преобразованиях Лагерра в псевдоевклндовой плоскости //Казанск. ун-т.-Казань.-1993.-14 с.-Деп. в ВИНИТИ 21.04.93.-Js> 1039-В93.

2. Шустова К.П. Проективная интврпретацкя ьзшгообразкя орто-реперов в псевдоевклидовой плоскости //Казанск. ун-т,, Казань.-1993.-12 с.-Деп. в ВИНИТИ 05.07.93.-1 1&37-В93.

3. Шустова К.П. Преобразования Лагерра в псевдоэвклЕдовой плоскости и их аналоги в идеальной области плоскости Лобачевского .//Казанск. ун-т.-Казань.-1993.-26 с.-Деп. в ВИНИТИ 15.11.93.-й 2838-В93.

4. Шустова К.П. Взаимосвязь между прообраз овашхяш Лагерра. в трехмерном псевдоевклидовом пространстве и их аналогами в идеальной области трехмерного пространства Лобачевского // Казанск. ун-т.-Казань.-1993.-19 с.-Деп. в ВИНИТИ 15.12.93. £ 3077-В93.