О проблеме конформного типа подмногообразий псевдоевклидова пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0. Введение

1. НСК-поверхности в псевдоевклидовом пространстве

1.1. Пространство Е"+г.;.

1.2. Уравнения непараметрических НСК-поверхностей в Е"+г

1.3. Конформное представление непараметрических НСК-поверхностей

1.4. Теорема Бернштейна для двумерных НСК-поверхностей

2. НСК-графики

2.1. Параболичность конформного типа

2.2. Асимптотическое поведение графиков

3. Системы уравнений типа НСК

3.1. Классы уравнений.

3.2. Теорема Бернштейна для А-поверхностей.

3.3. Поведение «на бесконечности».

3.4. Трубки класса Л+

Объектом исследования настоящей диссертации являются двумерные пространственноподобные поверхности нулевой средней кривизны (в дальнейшем НСК-поверхности) в псевдоевклидовом пространстве, а также системы дифференциальных уравнений, описывающие такие поверхности.

Проводимые в диссертации исследования уходят своими корнями в теорию минимальных поверхностей в евклидовом пространстве, которая, с одной стороны, продолжает бурно развиваться в настоящее время по разным направлениям, а с другой — имеет результаты, ставшие классическими и широко известными благодаря работам Ф. Альмгре-на, С.Н. Бернштейна, JI. Берса, Дж. Дугласа, И.С.С. Ниче, Р. Оссер-мана, A.B. Погорелбва, Дж. Саймонза, Г. Федерера, Р. Финна, У. Флеминга, А.Т. Фоменко, а также в самые последние годы — Ю.А. Ами-нова, Э. Бомбьери, A.A. Борисенко, Э. Де Джиорджи, Э. Джусти, О.В. Иванова, В.М. Миклкжова, У. Микса, Й.Х. Сабитова, JI. Саймона, В.Г. Ткачева, A.A. Тужилина, Д. Хофмана и др.

В настоящее время возрос интерес к поверхностям нулевой средней кривизны в псевдоримановых многообразиях, что обусловлено применением разрабатываемого математического аппарата в теории релятивистской струны — одного из активно развивающихся направлений современной физики (см. [2]). Важные результаты по этой тематике, установленные Р. Бартником, JI. Саймоном [40], С. Ченгом и С. Яу [62, 64], К. Экером [44], недавно получили свое развитие в работах В.М. Миклкжова [31], А. Трайбергса, X. Чоя [63], A.A. Клячи-на [12] и В.А. Клячина [14] (см. также работы [17]—[15]).

Минимальные непараметрические поверхности xn+i = f(xi,., хп) (графики) в пространстве Rn+1 переменной х = (zi,. ,xn,xn+i) описываются квазилинейным дифференциальным уравнением

5 ( 1x1 + (0-1)

9X1 + • • " дхп + где / - /(хь ., хп), а |У/|2 = Ц + . + Ц.

В 1915 г. С.Н. Бернштейн доказал свою знаменитую теорему, утверждающую, что при п = 2 любое целое решение / = /(ж].,^) уравнения (0.1) является линейной функцией переменных хь^г- Эта теорема дала толчок развитию теории минимальных поверхностей в различных направлениях. В 60-е годы в цикле работ Ф.И. Альмгре-на [39], Э. Бомбьери, Э. Де Джиорджи, Э. Джусти [43], У. Флеминга [49], Дж. Саймонза [51] была решена известная проблема о справедливости аналога теоремы Бернштейна в пространствах размерностью выше трех.

Ведя исследования в этом направлении, разные авторы получали результаты, обобщающие теорему Бернштейна и другие структурные теоремы для минимальных поверхностей. Так, например, в работах Л. Берса [41, 42], В.М. Миклюкова [27, 29], И.С.С. Ниче [55, 56], Р. Ос-сермана [57], Р. Финна [45]—[48] теорема Бернштейна была распространена на различные классы уравнений типа минимальных поверхностей. В статьях Л. Саймона [52], В.М. Кессельмана [11] были получены геометрические обобщения теоремы Бернштейна для поверхностей с квазиконформным гауссовым образом, а в работе В.Г. Ткачева [58] данная теорема была установлена для двумерных р-минимальных поверхностей.

В 1970 г. в работе [61] Калаби предложил рассматривать дифференциальное уравнение

9 1 + ь „,)=0. (0-2)

С, - |У/р; ••■ дх„ \Jl-\VfW где |У/|2 = /2х 4-. + ¡1п < 1, описывающее максимальные гиперповерхности в пространстве Минковского. Калаби установил справедливость теоремы Бернштейна для уравнения (0.2) при п < 4. Несколько позже, в работе [62], Ченгом и Яу было показано, что для уравнения (0.2), в отличие от уравнения (0.1), теорема Бернштейна справедлива при всех п > 2.

Другой традиционной задачей теории минимальных поверхностей является описание асимптотического поведения поверхности «на бесконечности». Исследования, ведущиеся в этом направлении, базируются на том факте, что сужение координатной функции на минимальную поверхность будет гармонической функцией в метрике этой поверхности. Тем самым имеется риманово многообразие, на котором a priori задан класс гармонических функций. В связи с этим важное значение приобретает знание конформного типа данного многообразия. Из работ, в которых рассматривалось асимптотическое поведение НСК-поверхностей «на бесконечности», можно привести, например, работы JI. Берса [41, 42], JI. Саймона [52], В.М. Миклюкова [27]—[31].

Отметим, что кроме непараметрических поверхностей в работах [28, 32] исследовались минимальные поверхности трубчатого типа и поверхности с краем — минимальные ленты, а в работах [31], [14]—[16] аналогичные поверхности в пространстве Минковского.

Целью диссертационного исследования является следующее.

• Получение аналогов теоремы Бернштейна для двумерных про-странственноподобных НСК-поверхностей в псевдоевклидовом пространстве, заданных в непараметрической форме.

• Получение признаков, гарантирующих параболический тип индуцированной метрики двумерных пространственноподобных непараметрических поверхностей и их применение для исследования поведения таких поверхностей «на бесконечности».

• Изучение систем дифференциальных уравнений, описывающих двумерные непараметрические НСК-поверхности в псевдоевклидовом пространстве.

Основные результаты диссертации основаны на использовании па-раболичности конформного типа метрик рассматриваемых поверхностей, возможности глобальной конформной параметризации таких поверхностей и применении методов теории функций.

Все представленные в диссертации результаты, кроме приводимых в обзорно-подготовительном § 1.1, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Главными в ней являются следующие результаты:

1) аналог теоремы Р. Оссермана (о глобальном представлении) для целых двумерных непараметрических пространственноподобных НСК-поверхностей в псевдоевклидовом пространстве;

2) обобщения теоремы С.Н. Бернштейна для систем квазилинейных дифференциальных уравнений, описывающих двумерные непараметрические НСК-поверхности в псевдоевклидовом пространстве;

3) признак параболичности типа метрики обобщенной поверхности, геометрический признак параболичности типа метрики про-странственноподобной непараметрической поверхности;

4) теоремы о геометрических свойствах решений класса систем дифференциальных уравнений типа НСК.

Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании НСК-поверхностей в псевдоевклидовом пространстве, а также при изучении свойств решений некоторых нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными.

Результаты диссертации докладывались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВолгГУ (1996-1999 гг.); на летней школе-конференции «Алгебра и анализ», посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (июнь 1997 г., г. Казань); Международной конференции по геометрии «в целом» (сентябрь 1997 г., г. Черкассы, Украина); молодежной научной школе-конференции по теории функций (сентябрь 1998 г., г. Казань); Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию Ю.Г. Решетняка (август— сентябрь 1999, г. Новосибирск).

Основные результаты диссертации изложены в работах [20]—[26].

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на девять параграфов, и изложена на 95 страницах. В работе используется подчиненная нумерация. При этом нумерация параграфов и формул подчинена нумерации глав, нумерация определений, лемм, теорем, при

1. Альфорс J1. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969.

2. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Модель релятивисткой струны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат, 1987.

3. Бернштейн С.Н. Об одной геометрической теореме и ее приложениях к уравнениям в частных производных эллиптического типа // Бернштейн С.Н. Собр. соч. Т. 3. М.: Изд-во АН.СССР, 1960.

4. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Д.: Наука, 1980.

5. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функцрш. М.: Наука, 1988.

6. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

7. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М/. Наука, 1986.

8. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1991.

9. Зорич В.А. Математический анализ. 4.2. М.: Наука, 1984.

10. Зорич В.А., Кесселъман В.М. О конформном типе римановамногообразия // Функ. анализ и его прил. 1996. Т. 30. Вып. 2. С. 40—55.

11. Кесселъман В.М. О теореме Бернштейна для поверхностей с квазиконформным гауссовым отображением // Мат. заметки. 1984. Т. 35. № 3. С. 445—453.

12. Клячин A.A. Разрешимость задачи Дирихле для уравнения максимальных поверхностей с особенностями в неограниченных областях // Докл. АН России. 1995. Т. 342. С. 161—164.

13. Клячин A.A. Теорема Бернштейна для уравнения типа максимальных поверхностей в пространстве Минковского // Сборник трудов молодых ученых и студентов Волгоградского государственного университета. Волгоград, 1995.

14. Клячин В.А. Максимальные трубчатые поверхности произвольной коразмерности в пространстве Минковского // Изв. РАН. Сер. мат. 1993. Т. 57. № 4. С. 118—131.

15. Клячин В.А., Миклюков В.М. Максимальные гиперповерхности трубчатого типа в пространстве Минковского // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1991. Т. 55. № 1. С. 206—217.

16. Клячин В.А., Миклюков В.М. Условия конечности времени существования максимальных трубок и лент в искривленных лорен-цевых произведениях // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58. № 3. С. 196—210.

17. Клячин В. А., Миклюков В.М. Признаки неустойчивости поверхностей нулевой средней кривизны в искривленных лоренцевых произведениях // Мат. сб. 1996. Т. 187. № 11. С. 67—88.

18. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2. М.: Наука, 1981.

19. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

20. Кондратов А.Н. Двумерные минимальные поверхности в псевдоевклидовом пространстве // Докл. АН России. 1999. Т. 365. № 3. С. 319—321.

21. Кондратов А.Н. Признаки параболичности типа поверхностей заданной средней кривизны в псевдоевклидовом пространстве // Тезисы докладов международной конференции по геометрии "в целом". Черкассы, 1997. С. 23—24.

22. Кондратов А.Н. Об одном признаке параболичности римановой метрики на плоскости // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского / Изд-во Казанское матем. общество, Изд-во УНИПРЕСС, 1998, С. 238—241.

23. Кондратов А.Н. Двумерные поверхности нулевой средней кривизны в псевдоевклидовом пространстве // ВолГУ Волгоград, 1998. Деп. в ВИНИТИ. 26.10.98. № 3082-В98.

24. Кондратов А.Н. Геометрические свойства одного класса систем дифференциальных уравнений // ВолГУ Волгоград, 1998. Деп. в ВИНИТИ. 7.12.98. № 3585-В98.

25. Кондратов А.Н. Теорема Бернштейна для систем уравнений типа НСК // Тезисы докладов международной конференции по анализу и геометрии посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетняка. Новосибирск. Изд-во института математики. 1999.

26. Миклюков В.М. Об одном новом подходе к теореме Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности // Мат. сб. 1979. Т. 108(150). № 2. С. 268—289.

27. Миклюков В.М. О некоторых свойствах трубчатых минимальных поверхностей в Rn // ДАН СССР. 1979. Т. 247. №-3. С. 549—552.

28. Миклюков В.М. О конформном типе поверхностей, теорема Лиу-вилля и теорема Бернштейна // ДАН СССР. 1978. Т. 242. № 3 С. 537—540.

29. Миклюков В.М. Некоторые признаки параболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей // Изв. РАН. Сер. мат. 1996. Т. 60. № 4. С. 111—158.

30. Миклюков В.М. Максимальные трубки и ленты в пространстве Минковского // Мат. сб. 1992. Т. 183. № 12. С. 45—76.

31. Миклюков В.М., Ткачев В.Г. Некоторые свойства трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности // Мат. сб. 1989. Т. 180(222). С. 1278—1295.

32. Оссерман Р. Минимальные поверхности // Успехи матем. наук. 1967. Т. 22. № 4. С. 55—136.

33. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра. М: Наука, 1986.

34. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.

35. Сычев А.В. Модули и пространственные квазиконформные отображения. Новосибирск: Наука, 1983.

36. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

37. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и. групп Ли. М.: Мир, 1987.

38. Almgren F.J. The theory of varifolds — a variational calculus in the large for the ¿-dimensional area integrand // Mimeographed notes. Princeton, 1965.

39. Bartnik R., Simon L. Spacelike Hupersurfaces with Prescribed Boundary Values and Mean Curvature // Commun. Math. Phus. 1982. V. 87. P. 131—152.

40. Bers L. Isolated singularities of minimal surfaces // Ann. of Math. (2) 53 (1951), P. 364—386.

41. Bers L. Non-linear elliptic equations without non-linear entire solutions // Journ. Ration. Mech. Anal. 3(1954). P. 767—787.

42. Bombieri E., De Giorgi E., Giusti E. Minimal cones and the Bernstein problem // Inv. Math. 7(1969). P. 243—268.

43. Ecker K. Area maximiziung hypersurfaces in Minkowski space having an isolated singularity // Manuscr. Math. 1986. V. 56. № 4. P. 375—397.

44. Finn R. A property of minimal surfaces // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 39 (1953). P. 197—201

45. Finn R. Isolated singularities of solutions of non-linear partial differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 75 (1953). P. 385—404

46. Finn R. On equations of minimal surface type // Ann. of Math. 60 (2). (1954). P. 397—415.

47. Finn R. On problem of type, with application to elliptic partial differential equations // Journ. Ration. Mech. Anal. 3(1954). P. 789—799.

48. Fleming W.H. On the oriented Plateau problem // Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 11 (1962). P. 69—80.

49. Hildebranclt S. Liouville theorems for harmonic mappings and approach to Bernstein theorems // Ann. Math. Stud. 1982. V. 102. P. 107—131.

50. Simons J. Minimal varietes in riemannian manifilds,// Ann. of Math. 88 (2). (1968). P. 62—105.

51. Simon, Leon. Asymptotics for exterior solutions of quasilinear elliptic equations // Geometry from the Pacific Rim, Eels.: Berrick / Loo / Wang. Walter de Gruyter & Co. Berlin; New York, 1997.

52. Shen Y. On maximal in pseuclo-Riemannian manifolds //J. Hang —-zhou Univ. Natur. Sei. Ed. 1991. V. 18. № 7. P. 371—376.

53. Milnor J. On deciding whether a surface is parabolic or hyperbolic // Amer. Math. Montly. 1977. V. 60. № 3. P. 397—416.'

54. Nitsche J.C.C. Uber eine mit der Minimalflächengleichung zusam-menhägende analytische Funktion und den Bernsteinschen Satz // Arch. Math. 7(1956). P. 417—419.

55. Nitsche J.C.C. Elementary proof of Bernstein's theorem on minimal surfaces // Ann. of Math. 66(2). (1957). P. 543—544.

56. Osserman R. On the inequality Au > f(u) // Pacif. J. Math. 1957. 7. № 4. P. 1641—1647.

57. Tkachev V. G. External geometry of p-minimal surfaces // Geometry from the Pacific Rim, Eds.: Berrick / Loo / Wang. Walter de Gruyter k Co. Berlin: New York, 1997. P. 363—376.

58. Zheng, Quan. Maximal spacelike submanifolds of dimension n in the Lorentz—Minkowski space Ln+P // Sichuan Daxue Xuebao. 32(1995) № 4. P. 372—376.

59. Xin and Ye. Bernstein-type theorems for space-like surfaces with parallel mean curvature // J. reine angew. Math. 489 (1997). P. 189—198.

60. Calabi E. Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations // Proc. Sys. Pure Math. 15(1970). P. 223—230.

61. Cheng S.-Y., Yau S.T. Maximal space-like hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski spaces // Ann. of Math. 104 (1976). P. 407—419.

62. Yau S.T. Nonlinear analysis in geometry // L'Enseignement Mathématique. 1987. V 33. P. 109—158.РОССИЙСКАЯ ^Ъ'ДАРСтзетИ огбЯИОТИКА6 3.9- A Oí