Геометрия орисфер пространства Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Семейства орисфер собственной и идеальной областей пространства Лобачевского.

§ 1. Семейства ориентированных гиперплоскостей пространства Еп+1 и семейства гиперорисфер пространства Ай+1.

§ 2. Семейства ориентированных гиперплоскостей пространства 1Еп+1 и семейства гиперорисфер пространства

§ 3. О модели пространства Лобачевского в семействе сфер евклидова пространства.

Глава II. Преобразования JIareppa й их аналоги.

§ 4. Преобразования Лагерра в £3 и преобразования на СР}.

§ 5. Аналоги преобразований Лагерра в пространстве Лобачевского

§6. О преобразованиях Лагерра на псевдоевклидовой плоскости

Глава III. Поверхности вращения постоянной кривизны в псевдоевклидовом пространстве.

§ 7. Поверхности вращения трактрисы в псевдоевклидовом пространстве, когда база и касательная к трактрисе является прямыми одного типа.

§ 8. Поверхности вращения постоянной кривизны в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах и их взаимосвязь . 89 Литература.

Пространства постоянной кривизны - наиболее простые из неевклидовых пространств. Интерес к ним объясняется тем, что они имеют приложения и в математике, и в теоретической физике. Как и любая другая область математики, они всегда будут служить источником различных задач.

Геометрии т - орисфер в неевклидовых пространствах посвящена работа М.И. Горбуновой [5] (см. также [24]). Движения в псевдоевклидовых пространствах изучались в частности, в различных статьях В.Г. Коппа, из которых в данной работе использованы [11] и [12]. С приложением этих преобразований можно ознакомиться, например, по книге [14]. Теория нормализации А.П. Нордена изложена в [18]. Необходимые сведения из теории касательных расслоений можно найти в [6]. Геометрия JIareppa подробно изложена И.М. Яг-ломом в [33] (см. также [9]). Теории дробно - линейных преобразований посвящено много работ Б.А. Розенфельда, З.А. Скопеца, И.М. Яг-лома. Аналоги преобразований JIareppa, действующие в многообразии прямых плоскости Лобачевского, рассмотрены в совместной работе [26] двух последних авторов. А.П. Широков предложил рассматривать аналоги преобразований Лагерра, действующие в многообразиях орициклов плоскости Лобачевского и орисфер пространства Лобачевского [28], [30], [31]. Аналоги преобразований Лагерра в многообразии орициклов плоскости Л2 изучены в работе М.А. Микенберга [15]. Аналоги преобразований Лагерра в идеальной области пространства Лобачевского введены в работе К.П. Шустовой [35]. Связь геометрии касательных расслоений комплексной проективной прямой с геометрией Лобачевского изучалась в работе Н.Н. Переломовой [20].

Классические результаты по геометрии Лобачевского приведены в сборнике [19]. Вопросам вложения поверхностей с определенной метрикой в трехмерное псевдоевкпидово пространство посвящена работа Д.Д. Соколова [27]. Интерпретации пространств постоянной кривизны изложены в книгах Б.А. Розенфельда [24],Ф. Клейна [10], Э. Картана [8], П.А. Широкова [32] и многих других авторов. Свойства псевдоевклидовой инверсии изложены в [25].

Приступим к общей характеристике работы.

Цель работы

Установить взаимосвязь между геометриями семейств орисфер собственной и идеальной областей пространства Лобачевского с одной стороны, и геометриями семейств ориентированных плоскостей евклидова и псевдоевклидова пространств - с другой. Дать истолкование аналогов преобразований Лагерра, действующих в многообразии орисфер пространства Лобачевского. Дать истолкование некоторых однопараметрических подгрупп группы Лагерра на псевдоевклидовой плоскости и изучить поверхности вращения соответствующих траекторий в псевдоевклидовом пространстве.

Методы исследования

Используются методы классической дифференциальной геометрии, теории расслоенных пространств, метод нормализации Нордена, методы теории гладких многообразий и групп Ли, методы теории накрытий.

Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту

Выделим следующие основные результаты.

1. Установлены взаимосвязи между геометриями семейств ориентированных гиперплоскостей евклидова пространства, огибающих ориентированные гиперсферы, и геометриями семейств гиперорисфер пространства Лобачевского, огибающих элементарные поверхности постоянной кривизны этого пространства.

2. Установлены взаимосвязи между геометриями семейств ориентированных гиперплоскостей псевдоевклидова пространства 1Еп+1 и геометриями семейств гиперорисфер идеальной области !A„+1 пространства Лобачевского.

3. Дано истолкование аналогов преобразований Jlareppa исходя из свойств пространства Лобачевского.

4. Введены аналоги трактрисы на псевдоевклидовой плоскости и изучены поверхности вращения этих кривых в псевдоевклидовом пространстве. Изучены поверхности вращения постоянной кривизны в псевдоевклидовом пространстве и установлены их связи со стандартными плоскостями S2,A2, %.

Научное и прикладное значение

Полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов в тех высших учебных заведениях, где проводятся исследования по дифференциальной и неевклидовой геометриям, изучаются основания геометрии.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях ЕГПИ 1994-2001 годов; на международной школе - семинаре на геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 1998 г., 2002 г.); на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 40-летию механико-математического факультета КГУ (Казань, октябрь 2000 г.), на семинаре кафедры геометрии КГУ.

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в статьях и тезисах /[36]- [46]/.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Весь материал разбит на 8 параграфов. Нумерация формул ведется по параграфам. Например, обозначение (8.2)указывает на вторую формулу восьмого параграфа.

1. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. Т.1. - М.: ОНТИ, 1935. -330 с.

2. Берже М. Геометрия. Т. 1,2. -М.: Мир, 1984.

3. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. - 264 с.

4. Гильберт Д. Основания геометрии. М. - JL: ГТТЛ, 1948, - 492 е. -М.: Мир

5. Горбунова М.И. Геометрия т -орисфер в неевклидовых пространствах // Ученые записки Коломенского педагогического ин-та. Т.8, 1964. С. 53-74.

6. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геометрии. 1979. Т.9. -246 с.

7. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1986. - 760 с.

8. Картан Э. Геометрия римановых пространств. М. - Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. - 244 с.

9. Клейн Ф. Высшая геометрия. М. - Л.: ГОНТИ, 1939. - 400 с.

10. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М. - Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936.-356 с.

11. Копп В.Г. Классификация бесконечно малых движений и их пучков в четырехмерном пространстве Лоренца // Ученые записки Казан. ун-та. Т. 123, кн. 1. Казань, 1963. С. 59-77.

12. Копп В.Г. Линейные комплексы и их пучки в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. // Ученые записки Елабужского пед-го ин-та. Т.3.- 1958. С. 35-82.

13. Котельников А.П. Принцип относительности и геометрия Лобачевского //IN MEMORIAM, N.I. LOBATSCHEVSKII. VOL. II, 1927.

14. Лекционные заметки по теоретической и математической физике. Т. 1,ч. 1.2.-Казань, 1996.-496 с.

15. Микенберг М.А. Геометрия Лагерра и ее аналог. Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1994. - 159 с.

16. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во МГУ, - 1980. - 439 с.

17. Новиков С.П. Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. М.: Наука, 1987. - 432 с.

18. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976.-432 с.

19. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М.: ГТТЛ, 1956.-528 с.

20. Переломова Н.Н. Касательные расслоения комплексной проективной прямой и геометрия Лобачевского. Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1989. - 97 с.

21. Переломова Н.Н., Широков А.П. Касательное расслоение второго порядка проективной прямой и геометрия Лобачевского.// Тр. геом. семинара-Казань: Из-во Казан, ун-та, 1990 В. 20. С. 73-85.

22. Попович М. Циклографические методы геометрии гиперболического пространства . Казань: Из-во Казан, ун-та, 1994. - 72 с.

23. Постников М.Л. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982. - 448 с.

24. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. 574 с.

25. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966.

26. Скопец З.А., Яглом И.М. Преобразования Лагерра плоскости Лобачевского и дробно-линейные преобразования двойного переменного. II Ученые записки МГПИ им. Ленина., М., 1965. - С. 366-374.

27. Соколов Д.Д. О регулярности выпуклых поверхностей с дефинитной метрикой в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Проблемы геометрии. 1977. Т.8. -С. 257-276.

28. Талантова Н.В., Широков А.П. Касательные расслоения и геометрия Лагерра. / Казан, ун-т. Казань, 1992. - Деп. в ВИНИТИ1003.92, № 820- В92.-18с.

29. Черников Н.А. Введение геометрии Лобачевского в механику. ОИЯИ, Р2-9620. Дубна, 1976.

30. Широков А.П. Аналоги преобразований Лагерра в плоскости и в пространстве Лобачевского // Памяти Лобачевского посвящается. Казань: Из-во Казан, ун-та. 1992. С. 107-118.

31. Широков А.П. К геометрии орисфер пространства Лобачевского. // Тр. геом. семинара. Казань: Из-во Казан, ун-та, - 1991. - В. 21. - С.118-124.

32. Широков П.А. Избранные работы по геометрии. Казань: Из-во Казан, ун-та. - 1966. 433 с.

33. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. // Математическое просвещение №6.-1961. С. 61-106.

34. Шустова К.П. О преобразованиях Лагерра в псевдоевклидовой плоскости / Казан, ун-т. Казань, 1993. - Деп. в ВИНИТИ2104.93, № 1039-В 93.-14 с.

35. Шустова К.П. Взаимосвязь между преобразованиями Лагерра в трехмерном псевдоевклидовом пространстве и их аналогами в идеальной области трехмерного пространства Лобачевского / Казан. ун-т. Казань, 1993. - Деп. в ВИНИТИ. 15.12.93, № 3077 - В 93.-19 с.

36. Костин А.В. О метрике в многообразии огибающих семейств ори-сфер // Тезисы докладов Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова Ростов-на-Дону, 1996. С.19.

37. Костин А.В. К геометрии орисфер собственной и идеальной областей пространства Лобачевского // Тезисы докладов Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова Ростов-на-Дону, 1998. С.40-42.

38. Костин А.В., Костина Н.Н. О модели пространства Лобачевского в семействе сфер евклидова пространства // Тезисы докладов Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова Ростов-на-Дону, 1998. С.42-43.

39. Костин А.В. О конформной модели пространства и геометрии гиперплоскостей // Молодежный вестник. Межвузовский сборник научных трудов. В. 2. Набережночелнинский пед. ин-т., Наб. Челны, 1999. С. 132-136.

40. Костин А.В. К геометрии гиперорисфер // Тр. Матем. центра, им. Н.И. Лобачевского. Т. 5. Казань, 2000. С. 120-121.

41. Костин А.В. Преобразования аналога группы Лагерра в пространстве Лобачевского // Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания. Межвуз. сб. научных трудов. Пенза, 2001. С. 37-42.

42. Костин А.В. Замечание о преобразованиях Лагерра на псевдоевклидовой плоскости // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского, Т. П.Казань, 2001. С. 157-160.

43. Костин А. В. О преобразованиях Лагерра и поверхностях постоянной кривизны в псевдоевклидовом пространстве // Тр. участников Международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова - Ростов-на-Дону, 2002. с. 35-37.

44. Костин А. В., Костина Н. Н. Об истолковании преобразований в идеальной области пространства Лобачевского // Тр. участников Международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова - Ростов-на-Дону, 2002. с. 37-38.