Квазирефлективные группы движений пространств Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

(

I ЛКАДйЛШ НАУК СССР

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Институт математика

На правах рукописи РУЗШШОЗ Олег Петрович

УЖ 512.517

КВАЗЛРЕФЛШТШШЕ ГРУППЫ ХЩШШ ПРОСТРАНСТВ ЛОЕ1ЧЕЕСКОГО

01.01.04 - г&скетрля и топология

А в т о р с й е р а т

диссертации ка соискание ученой степени кандидата.физшсо-мзгематичэсяях наук

НОБОС'ТЗИРСК 1591

Работа выполнена иа ка&дре алгебры и геометрии Кемеровского государственного университета

Научный руководитель - кандидат физико-математичестах

наук, доцент Г.А.Сойфер

Официальные оппоненте - доктор физико-математических

наук А.Д.Медных

- кандидат физико-математических наук, с.н.с. К.А.Гусевский

Ведущая организация - Московский государственный

университет

Зашита диссертации состоится "_" ___1991 г.

в _ часов на заседании специализированного совета

К 002.23.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО АН СССР. (630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_"_' 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат, физико-математичес: наук, доцент

.В.Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Геометрический катоды изучения диокрот-ншс групп движений прос ^анств Лобачевского, восходящие к классическим работам Ф.Клейка и А.Пуанкаре, основываются на построении фундаментального многогранника заданной группы к порол~ даюцих ее движений, которые попарно совмещают грани максимальной размерности фундаментального многогранника. В.частности, хорошо известная теорема Пуанкаре к ее обобщения позволяют най~ -ти копредставленяе рассматриваемой групга, зная комбинаторное строение и величины двугранных углов ее фундаментального многогранника. Однако, построонио фундаментального многогранника дискретно" группы движений пространства Лобачевского, почти • всегда сложная задача, за исключением некоторых специальных случаев, один из которых - грунта, псрогдзнныо отражениями относительно гиперплоскостей. ...

Широко употрзбитзлыши метод 'доследования дискретных Х'ругш -переход к их подгруппам коночного иицэкса или -даже к соизмеримым с ними группам. Дискретную гру;п:у движений пространства Лобачевского называют рефлективной, если окз оодерлит подгруппу конечного индекса, порожденную отражениями. '

Классический источник примеров дискретных -групп:движений пространств Лобачевского - изучение групп автоглсрфизмоз: целочисленных квадратичных форм сигнатуры {'Л. , I), Подгруппа индекса 2 такой группы мо;кет быть рассмотрена как дискретная группа движений И-мерного 'пространства ЛсЬачёвокото; в; дальнейшем, говоря о группе автоморфизмов квадратичной форма сигнатуры (:■' ,1), т.будем иметь ввиду именно' эту ез Подгруппу.

Еще Е конце прошлого века Р.Фрике ^ показал, что группы автоморфизмов кексторах целочисленных кв&лратичных форм сигнатуры (2, I) рефлактивны, и нашел фунднувнтг -ыше многоугольники их подгрупп, порозданннх отражендезж.

Отметим еще один класс примерок дискретных групп движений пространств Лобачевского - группы Еьякки. Напомним, что группой Бьянки ßiO-и) называется группа Р£ц Xi где f\M ~ кольцо целых элементов мнимого квадратичного пода G (|Руи) и Г - элемент порядка 2 , действующий на А^, как коглплексное сопряжение. Л.Бьянки ^ показал, что группа ßitw) может быть рассмотрена как дискретная »группа движений трехмерного пространства Лобачезского и , при fr? ^ 19, Ш г 14, 17, содержит подгруппу индекса 2 или X, порожденную отражениями. Он также явно описал фундаментальные многогранники полученных дискретных групп, порожденных отражения;.®.

. Для некоторых M , удовлетворяющих условиям Бьянки, Р. Суон ^построил фундаментальные многогранники групп Р&, (Л.) (подгрупп конечного индекса в грушах Bi im) ) и нашел ко-продставления групп s и LA») a QL2 (/!„) ..'

Существенное развитие теория рефлективных групп получила

i) FY¿с4с Ü4e.r eine, ieäondeге K^aäSe digeonii-

nwier&cher Gruppen чееёе'г ginearer £u£sliluti<menh

Wa-ib: A™. -iSSi. - V. 32. -p. ЧЫ-ЧТ-Q.

ßUnck L. Sui ^t-Mppl de Soäiiiu2ionL -¿ineari

сои coe^JiC(,eHii apparbehev-ki a corpi a.màraUci

wma&Aari // A«n.~ W92 V. УО. - P. 332-YÎ2.

/ лп R. .Ger>eraior$ ¿W гeiabLov>S. -y0r derèaLu

;v ';; Special £ыеаг „rcupi // /Ц/ Waih. - 10U. -: • - V.C.-/V1.-P. f.??

в работах Э.Б.Винберга и В.Е.Кнкулина (смотри обзор-' ). В частности, Э.Б.Еинбергом доказано, что если Г - дискретная группа движений пространства Лобачевского. П^ - ее подгруппа, породненная всеми отражениями, содержащимися в группи Г , 2) -выпуклкй фундаментальный многогранник группы Г^ , то

Г Д , где Д - подгруппа группы симметрий мно-

гогранника . Группу Д № будем называть несефлективной частью группы Г , она определена с точностью до внутренних автоморфизмов группы I . Ясно, что в наших обозначениях рефлективность группы Г' акзивзлектна конечности группы Д . В случае, если Н - рефлективная группа автоморфизмов целочисленной квадратичной формы сигнатурк (Ч , I), з указанной работе З.Е.Винберга предложен алгоритм построения фундаментального многогранника группы Р7 , т.е. решена-задача описания самой группы Г. . в частности, с помощь« этого алгоритма' исследованы группы автоморфизмов унимо.иулярных целс^исленны,. квадратичных форм (форм, определители матриц которых равны -I ). Оказалось,

■что эти группы рефлоктизги, оелл и только если ранг фопмн но о )

превосходит 20

¡Группа автоморфизмов четной утшмодулярной целочисленной квадратичной форма сигнатуры (25, I) не рефлективна, однмео

^ Винборг Э.Е., Шварцман О.В. Аискрзтпьнз группы двикений пространств постоянной кривизны // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.29. (Итоги науки, и техн. КШИТИ АН СССР). - М., 1588. - С.147-253.

^Винберг Э.Б. Об унимодуля^чых целочисленных хвадратичннх фермах /' Функц. анализ. - 1972. - Т.6. - С.25-32.

Еинберг О.Б., Каплинекэя И.Гл. О группах ¡^(.'Х)

И Докл. АН СССР. - 1978. - Т.223. - С.1273-1 75.

Дк.Конвея1)описал ыу группу, есполе-ошб ее разложение в полу» лркдяю произведешь исдгр'яхаы отражений л керефлектигной части. В этом случае ^дэме'итльный многогранник подгруппы» порожденной отражениями, ямэ«л бесконечное число граней, которые касаются некоторой орисйэры ш::спмальноЙ раамврностя; норефлекткв-нгя часть группы бесконечна к действуем на згой орисфере, оставляя неподваш™ ее центр - бесконечно уцалзкну?) точку пространства Лобачевского. Учитывая, что всякая конечная группа движений пространств Лобачевского имеет неподвижную точку, и сферы с центром в этой точка инварианты* относительно действия рассматриваемой группу, колгко сказать, что нерефлективная часть группы, мсоледовансй Хк.Конзеем, относится к простершим бесконечным ."чскрегчшм группам лишений пространств Лобачзгского, а сама группа - к простейшим норефлективнкм группам.

Ввиду сказанного выпе, нам представляется естественным исследование дискретных групп движений пространств Лобачевского, нерефлективные части которых имеют неподвижные бесконечно удаленные точки и инвариантно действуют на орисфердх с центра-¡•ли в этих'точках. Мы будем рассматривать только .кристаллографические "руппн, то есть дискретные группы, фундаментальные многогранники которых иглеют конечный объем. Отмртим, что группы Еьянли, группы автоморфизмов целочисленных квадратичных форм и другие наиболее интересные примеры дискретных групп движений пространств Лобачевского являются кристаллографическими группами.

С'иум^ Тйе оил±омог ркс $уц ^гонр о^ ¿Ье 26 - е</еи ипШо^Р&г /,огец"£

¿аИЬсе// 3. Afyetfra.-1.83. -V. ¿О.- Р. 1$Э-1£3.

Цзль работы. I. Изучение гаомогрии дейстзля яриоталго-графическпх гругат дыдош&З пространств Лобачевского, нсрефлок-тиишо части которых имеют неподвижные бесконечно удаленные точки и инвзриантно действуют на орисферах с центрагеи в этих точках; 2. Построение пршлероз зу:ассичсокхх дискретных гругст движений пространств Зсбачеяского, лри.гадлежщпх одисаннод^у в пункте I классу дискретных гругш; 2. Вычисление непредставлении некоторых дискретных групя движений пространств Лобачевского к свя.зопных с ними линейных групп.

Научная новизна. Б работе определен козий хзаес днекрет-ыте групя движений пространств Лобачевского - кяаз и рефлективные группы. Получен крхтор^й клзаз^лфлекткиноотк кристаллографической гругшк на яаыке геометрии фундаментального 'лногогран-ккяя подгруппы отражений дэшгоД групяы. Доказана квазирефлек-

ТИЕКССТЬ ПЯТИ ГРЗПШ Б5ЯНКХ И ИОКОТОрИХ "ГРУПП ИВТ0:Л0Р'1!ИГ,?Л0Б цо-

лочяслекшх квадратичи'л фор:.т. Пр«".гго:>епо '.зднфктсацкя адторит-гла Злпоерга построения фундашвгатьлого многогрз. :яка подгруппы отражений группы вв^смор^зкоэ квадратичной в случае зелп эта группа ктазиртфлектиэка. На^етш конрадстаЕлв:а«я некоторых групп Бьялкн к связанных: с н^т? линейных групп.

Приложения. Ползчепнне результаты тлогут кайтп яримелевкс з гес;лзтрик Лобачевского,' геометрии трэхкорпйс многообразий,' геории чисел и алгебре.

Апсобяц'я. Основное результат/ работа дскладызалисъ на; {еядукародкой конференции по алгебре (Новосибирск, 1989), се-шарс кафэдрн алгобри и геометрии Кемеровского государствен-юго университета, объединен ом сеыяларе отдела анализа и гео-¡етрии института иатскакп-: СО АК СССР.

Публикации. Результаты диссертации частично опубликованы в работах I и 2 , список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работа. Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. Общий объем составляет 83 страши: машинописного текста. Список литераторы содержит 30 наименований.

ОБЗОР С0ДЕШНГО1 РАБОТЫ

Е первой главе настоящей работы дано следующее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Кристаллографическую группу Г движений пространства Лобачевского А назовем ива^рефлективной, если ее нерофлвктявная чаять Д имеет неподвижную бесконечно удаленную точку я. и содержит параболическое деиг.онио про, п ь стракства А

Это определение эквивалентно тому, что нерефлективная часть А грушш Р бесконечна и инвариантно действует на лк>-бой орисфере максимальной размерности с центром в точке О^ . Б предложении 1.1 доказано, что точка является единственной с точностью до Р-эквивалентности параболической точкой группы Р такой, что фактор-группа стабилизатора точки в группе Р по подгруппе отражений бесконечна. При этом указанная фактор-группа изоморфна группе Л -нерефлективной части группы Р (следствие 1.2).

Кристаллографическая группа Г рефлективна.тогда и только тогда, когда фундаментальный многогранник ее подгруппы отражений имеет конечный объем, в частности,все бесконечно удаленные точки этого многогранника являются его вершинами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Пусть Р. выпуклый многогранник в пространстве Л . Будем говорить, что Р - квазиохтзничлтый многогранник, если существует е^анствекная бесконечно удаленная точка С^ многогранника Р , не являющегося его вершиной.

Г1

ТЕОРЕМА IЛ. Пусть I - кристаллографическая группе движений пространства Л , - выпуклый фундаментальный гяюгограннкк группы Г,, - подгруппы отр&яений группы Г . Группа Г7 - квазирефлектяша, если и только если шогогран-ник ÍXj - квазиограниченк й.

Основной предмет изучения главы 2 - группы автоморфизмов гиперболических квадратичных решеток иди, что эквивалентно, группы автоморфизмов целочисленных квадратичных форм.

Квадратичной решеткой мы будем называть свободную абеле-ву группу конечного ранга, снабженную целозначной симметрической билинейной функцией - "скалярным произведением". Если /А - симметричная целочисленная матрица, то через С Л J обозначим квадратичную решетку, матрица Граш некоторого базиса которой совпадает с матрицей А . Через L i М обозначим квадратичную решетку - ортогональную прямую сумму решеток L и /Ч .

Решетка L называется евклидовой (гиперболической),ес-ли векторное пространство Z, Э ff? евклидово (имеет сигнатуру ÍYL , I) ).

Обозначим чероз О ( L) грушу автоморфизмов квадратичной гиперболической решетки , сохраняющих полы конуса векторов с отрицательным скалярным квадратом при действии з псевдоевклидовом пространстве L ® IÍ? • Известно, что oíd - кристаллографическая группа движений пространст- -

ва Лобаче" окого, а о.создкро ванного с псовдоевклкдовнм г;ростран~ рансгвом & 1К . Гиперболическуг, решетку [_, будем на-з зать кказйрефзекгавкой, воля группа О(^). кзазлрофлеж-тавна. В ¡¡том случае гиперболическая репютка необходимо являе^я изотропной, то есть ссдср.таг ненулевой вектор, скалярный кзад.оэт которого равен 0 . .

Нагбсльпа-г"! интерес поздотавляет изучение роаеток, грушш 8&то;до?£:'.0:д0в котоы^с мс-кпикальш среди грули аа'роморфи^ло'г репоток гадаглой размерности. Слс-дунв-гя теорсж, которая яьта-йтся сбоб;:;зпизм неопубликованного результата Р.£арлау, лозво-даот ограничить ныли исследования решеткам специального вида.

ТЕОРЕМ. 2.1. Пусть А1 - изотропная гиперболическая решетка, ргкдаркооги большей 2. Тогда найдется гиперболическая ранетка ¿-. той ке размерности, такая, *'л> 0(А1) £)(/.,) и

— ¿_у I | т р! . где [_, - четкая евклидова решетка.

"аорель 2.2 и 2,3 уточняя? $орцулировку теоремы 2.1 для решетке размерностей 3 и 4 соотвех тв.енно. Доказательства тео-ротл 2.1 - 2.3 опирается на метода теории чисел, но характернее для ден:гой работа, и приведены в приложении к настоа^еН раоо-те.

Так как гияорбодлчееккэ решетки сдасго рода почти Есегд. изоморфны, то изучение гиперболической рсядагкд вида

11 о! 031шчае? изучение т да еактацозой ро-

120ТКИ /4

ШВДШЯКВ 2.2. Пусть '>,[ - кгазгроф-

локгквяая гиперболическая репеп-кг, причем * -е р&еоягп и роде репзткч изоморфна. Тогда в роде е}>-" .сво;! :: со-

держится не более одной нерефлектквной репсткн.

Нгка блажайпая задача - описание группа автоморфизмов квэзирпфлективной гиперболической решетки ]_ [т о] >

где - нерефлектигоая евклидова репорта.

ПРЕД/ТОЕЕККй 2.4, Если четкая евклидова решетка Ь не-рефлектквка, гиперболическая решетка { г ^ '[ ^ ] квазирефлектигаа и Д нзрифлектизыая часть груапы 'О.(Д), то группа Д изоморфна „акторгруппе группы аффишгых автоморфизмов решетки Д по ее подгруппе отражений.

3 § 2 главы 2 предложена неоложная модификация алгоритма Винберга, позволяющая построить фундаментальный многогран-

кик подгруппы отражений группы автоморфизмов решайся [_ , п-

в случае, если - квазирефлективка.

Использовав описанную выше процедуру, мы доказали квазирефлективность следующих решеток сигнатуры (3, I) (примеры 2.1-2.6):

= Г? С I 1 [? о ] - [I }2] 1 [\ о]

^МЬП.у 1с--{\ ад

Ц ~ П П1 [! о]

(I)

Глава 3 посвящена изучению групп Бьянки и связанных с пили линейных групп. Известно, что группа Бьякки Вс (И-г) монет быть влонена в качестве подгруппы конечного индекса в группу О {1.,т) , где •

, [гУЛГо] ес;ш Ы = 1 или 2 Сшс1 Ц)

\ Г2 1 *] [С Я , . (2)

I. 1-1 ] 1 и о] . если Н1 5 5 (ыоо1. Ч)

Группу О (и ойогиащщ через Вс(го) и будем называть расширенной группой. Еьянки.

Обозначим через С (Дт) группу классов идеалов гюля

О ((/-!«) . В работе""' доказано, чти если группа В^ (м) рУЬ-лектиша, то группа С (Ач) - 2-и»риодйчна.

т^ЛОШХЕ 3.1. Если группа Вс (¡и) квазирейлектиБЧс, то С С А „•) - циклическая группа третьего или четвертого порядков.

13 слугее, еслл С имеет.порядок 3, группа

совпадает с группок,, Вс(|н) . в частности, (2.?)= И1(1Ъ) = г 0(1]) Г. Вс (31) Г ^(31) = О (£,) (смотри

I и 2), тек что грулпк Быикк 'Вс (2.5) " п £>¿(31) - кер-ЗЯрСфЛОКС-КБ'Ш.

СЛВДСТШЗ 3 2-. Если .группа 81Ц кЕаспиефлектнгна к группа С (А«?) - цакл'лчсская группа -»етаортого порядка» то группа В £ (т) рефлекичнз.

Еакборг Э.Б. Подгруппы отражекиЛ в гр/пг хУ. Бъякки. Вопросы теории групп и гомолог/леской алгебр;. С . научных трудов. -Яиоолавль, 1967. - СЛ21-126.

В предложении 3.2 доказав, что группа-и Вс(Ъсуть кзазирефлэктивные пшсгруппы групп автоморфизмов рефлективных решеток.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть т = 1 или I {Гп0(&4) или

И ^ ¿"1 . Тогда группа Ее (м) кЕазирефлективна только для т = 14, 17, 23, 31, 39 .

\

ТЕОРЕМА 3.1 является аналогом соответствующего результата

т)

для рефлективных грушг Бьянки'1"'.

Описанные выше результаты главы 2 позволяют найти ко-представленаэ группы автоморфизмов квазирефлективной гипер-бтлической решетки сигнатуры (3, I) . В § 2 главы 3 мк находим копредставление грушш

В¿(25)* О (с,) . Основываясь на том, что группа Р0£г ( Ат) изоморфна подгруппе собственных изометрий группы В с (м) также находим копредставления групп и 01г (Аг2) .

Аналогичные вычисления проделаны для т =39: группа

Вс (з3) хвазирефлективная подгруппа группы автоморфизмов рефлективной решетки.

Приведем конечные результаты наших вычислений:

= Гог.-(рзт1п?|г)гг1; тдгтд; ФТ^Т/'

У Шварцман О.В. Подгруппы отражений в группах Бьянки // Вопросы теории групп и гомологической алгебра. Сб. научных трудов. - Ярослазль, 1987. - С.134-139.

К = ^ ; ^ -- F/- = Ф,г г = <p\ :

= (j.JS^-- (ГЛ:)2Hw^i^f:i :

Ъ з о и ; фгз=-зф: ; 9jr jcp> ■ ■

' - / .

СГЛ-'ОХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕЛЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1, 3*гзк.тюв О.П. Подгруппы- отражений в группах Бьякки Ц ¡/и.тд. ;ссн;:. ~о алгебра ( Новосибирск, 21-26 августа IS82 г. ) : Теп. докл. по тзории групп.--- Новосибирск,1983.-- С. 104.

2. Рузмакои О.П. Подгруппы отра&екгЗ в группах Бьянки // Успехи, :/ат. наук,- IS&G.- Т.45,- С. 189-190.