Целевые точки в областях на плоскости Н.И. Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛШОНОССВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

СУШ Муса

ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ В ОБЛАСТЯХ НА ПЛОСКОСТИ Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО

(OI.OI.C6 - математическая логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991г.

''' -

Работа выполнена на кафедре математического анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, доцент В.НЛуйариков.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Е.М.Тимофеев;

кандидат физико-математических наук, доцент .Я.П.Постникова.

Ведущая организация - Математический институт

им. В.А.Стеклова АН СССР

Защита диссертации состоится Ю-_1991г.

в 46 час. мин. на заседании специализированного

Совета Д053.05.05 при Московском государственном университете

им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы,

МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1408.

Автореферат разослан _1991г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ - главное здание, 14 этаж.

Ученый секретарь специализированного Совета ДС53.С6.05 при МГУ доктор физико-математических наук

В.Н.Чубариков

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Классической задачей теории чисел является проблема Гаусса оценка сверху разности между количеством Ы(Я)целых точек внутри крута х1* Я4 и его площадью , т. е. задача об оценка сверху величины = |М(я)-кк1|при Я .

Её можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим подгруппу движений яа евклидовой плоскости, порождаемую двумя сдвигами (0,1) и (1,0). Тогда М{Р.)дулет равно количеству образов точки (0,0) при действии этой группы, которые попадает внутрь крута х1 + ^ Я4 .В настоящей диссертации мы получаем асимптотические формулы для количества орбит точки при действии модулярной грушш и её конгруэнц-подгрупп, попадаидих внутрь круга на плоскости Лобачевского. Эта задача является аналогом проблемы Гаусса. Исследование её основано на методах аналитической теории чисел (тригонометрические суши Клостерлана, арифметические свойства и особенности рассматриваемых груш).

Ранее подобные задачи решались методами спектральной теории оператора Лалласа-Бельтрами. Постановка таких задач и развитие методов их исследований принадлежат А.Сельбергу С1] , I.Хуберу [2-ЗД , Ж.Дельсарту С4-5] , П.Д.Лэксу и Р.С.Фзшшпсу [6] и Б.М.Левитану [7] .

Наилучшие результаты получены Б.М.Левитаном.

Отметим, что астштотические формулы, содергащиеся в этих работая, зависят от дискретного спзктрз оператора Лапласа-Еельт-рами. Арифметический метод, развеваемый в настоящей работе, дает возможность получить явные формулы. Кроме того, паи метод

позволяет получить новые равномерные оценки остатков асимптотических форлул в зависимости от характеристики конгруэнц-подгрупп. Этим же методом мы решаем задачи о попадании орбит точки при действии модулярной группы в узкое кольцо большого радиуса на плоскость Лобачевского и о попадании орбит точки при действии множества целочисленных матриц с заданным определителем в круг малого радиуса.

Научная новизна. Получены равномерные по параметру конгруэнц-подгрупп асимптотические формулы для количества орбит точки, попадающих внутрь круга большого радиуса. Решена задача о попадании орбит точки при действии модулярной группы в узкое кольцо

1. А- б-^-Сбо-д • Оп

Ргос. 0£ ^„¡.^ Ц^. Шс(ибг), 1-1?.

2. Н- ие^г ¿¿т „»«.«. к«««,. Ри-нкноп^

б^г^Щго«^ ««и, Ь^иы» ЕЬ^Ц

СоIV,те«к н«.еу. - 13Г6 - ьа Зо -5- ¡6 а

3.Н. Ни*«. 2иг Пспч

^и- .'Л! ТисЛ^и.-* ^ -р -

4. I- • виг 1«. ^¡.Йгг $и.с.115С«.« У/ С-Я- Дс«.4. -

4Л.1 - Т. Л<, _ я ш . .

5. X . ^ьНьг ^искЦсл Ц 0ем,1/ге4

Т. К Рлп-1 , , £. За -545.

6. М>. их, к-э- Ра;«сИ. тчс о^ы*

, «ч _ р. ш-зы.

большого радиуса. Получена верхняя граница радиуса круга, внутрь которого попадает орбита точки при действии множества целочисленных матриц с заданным значением определителя.

Все эти результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность работы. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть применены в аналитической теории чисел.

Апробация работы. Результата работы докладывались на Международной конференции по теории чисел, посвященной 100-летию со дня ровдения И.М.Виноградова, на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1991 году и на семинарах по аналитической теории чисел в МГУ под руководством профессора А.А.Караиуйы и д.ф.-м.н. Г.И.Архи-пова, д.ф.-м.н. В.Н.Чубарикова.

Публикация. Основные результата диссертации опубликованы в 1-ой работе автора.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы, включающего 29 названий, и изложена на 59 страницах.

П. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Проблемами о целых точках в областях на плоскости Лобачевского ын называем проблемы, связанные с попаданием орбит точки при действии дискретных подгрупп движений на плоскости Лобачевского зяутрь некоторой области. Эти проблем по своей постановка

л классическим проблемам о целых точках з областях в евкяэдоБсм пространстве, в частности, к проблеме Гаусса о количество целых точек внутри круга.

7, Б.Н.Левитан. Асимптотические Формулы для числа точек решетки з пространствах Евклида а Лобачевского. - JMH, т.42, выпуск 3(255); IS87.

Первая глава диссертации посвящена решении задачи, являющейся аналогом проблемы Гаусса.

Пусть К = K(l,t) - крут с центром в точке i и радиуса Т на плоскости Лобачевского в модели Клейна (верхняя полуплоскость комплексной плоскости). Тогда аналог проблемы Гаусса формулируется так. Найти асимптотическую формулу для количества N (f) орбит точки t при действии модулярной группы, попаданию; внутрь круга К . Мы доказываем следулцие утверждения.

Лемма I.

Пусть Г= ¡ВЗЦД^- ) и ки,т) - круг с центром в точке i радиуса Т на плоскости Лобачевского в модели Клейна.

Через N (т) обозначим число тех преобразований Тер , для которых t (О попадает внутрь круга K(¿,t) . Тогда XNCT) равно числу целых точек, лежащих на поверхности ad - te, = i с условием с-*"»íct,T .

Теорема I.

Справедлива следующая асимптотическая формула при т —» : N(v)= бсы + 0 (г*, где £.?о - сколь угодно малое число. Константа в знаке О - абсолютная.

Во второй главе мы получаем асимптотические формула для количества орбит произвольной точки при действии модуляр-

ной группы и её контруэнц-подгрупп, попадающих внутрь круга К(н.„,т) с центром в любой точке Z„ и радиуса Т . Обозначим через N{£.,4,4*) (соответственно, (?.„,i,T,^) и Т, ^ ) ) число тех У £ Г (соответственно,

Ve 2 Ve Г^Ор ), для которых ?(í) попадает

внутрь круга к (г„,т)

Имеют место следупцие теоремы. Теорема 2.

Справедлива следующая асимптотическая формула при т —» ~=> Ы(а,.а,т) = 6c.br + 0(т4 е + £,Т )

Теорема 3.

Справедливы следущие асимптотические формулы при Т—> :

М.(г.,1.т^)= бсА т/^ + 0(т.*е($'*)т) ;

где £ > о - сколь угодно малое число; константы в знаке О - абсолютные.

В главе Ш в качестве приложения метода, развиваемого в нашей работе, мы решаем две задачи. Первой является задача о попадании орбиты точки в узкое кольцо большого радиуса на плоскости Лобачевского. Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.

-- Г\! Т. \

Пусть 4 = 0(е А ) ;

+ —• ) ) — крутя с центрами

в точке I и с радиусами т и сц-сй (^т + ^) « соответственно;

К„ = «(V, д.гс&(с*т + 1) \ К^.т)

- кольцо.

Тогда в кольцо К„ попадает, по крайней мере, одна орбита точки I при действии модулярной группы

В § 2 главы III мы решаем задачу о попадании образов точки

при действии множества матриц = | (с л) /и. «¿-¿с в круг малого радиуса.

Теорема 6.

- / |г

Пусть и (г, Н ) = —уу;--- функция верхней

полуплоскости Н при 2. = зс + ¡- у е Ц и 2:'= эс'+■ ¿^'е Н Тогда существует преобразование 7 = (с и) 6 •

такое, что

Ш. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены асимптотические формулы для числа орбит точки

при действии дискретных подгрупп движений ( Г, Сф , )

попадающих внутрь круга большого радиуса на плоскости Лобачевского.

2. Решается задача о попадании орбит точки в узкое кольцо при действии модулярной группы.

3. Решается задача о попадании орбит точки при действии множества целочисленных матриц с заданным определителем в круг малого радиуса.

В заключение выражаю глубокую благодарность моему учителю доктору физико-математических наук Владимиру Николаевичу Чуба-рикову за постоянное внимание и помощь в работе и доктору фи-зико-математяческих наук Геннадию Ивановичу Архипову за ценные сохетн.