Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ромакина Людмила Николаевна

ГЕОМЕТРИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

11 ДЕК 2014 005556650

Саратов — 2014

005556650

Работа выполнена на кафедре геометрии Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского».

Официальные оппоненты:

1. Макаров Виталий Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», кафедра дискретной математики, профессор.

2. Смоленцев Николай Константинович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет», кафедра математического анализа, заведующий кафедрой.

3. Тимофеенко Алексей Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Красноярский государственный педагогический университет имени В. П. Астафьева», кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания, профессор.

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Защита диссертации состоится 11 февраля 2015 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. JI. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. JL Соболева Сибирского отделения Российской академии наук: http: //math.nsc.ru/

Автореферат разослан

2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Егоров Александр Анатольевич

Общая характеристика работы

1. Актуальность темы. Диссертация посвящена геометрии гиперболической плоскости Я положительной кривизны. Построение геометрии плоскости Я проводим в проективной модели.

Первым шагом на пути применения идей проективной геометрии для исследования неевклидовых пространств является работа А. Кэли «Шестой мемуар о формах»1, в которой метрические формулы евклидовой геометрии получены на основе геометрии проективной. Отметим, что ранее величина угла между прямыми евклидовой плоскости проективными средствами была вычислена Лагерром2. Несмотря на то, что сам Кэли к неевклидовым геометриям проективные методы не применил, по мнению Ф. Клейна3, работа Кэли привела его к идее рассматривать евклидову и неевклидовы геометрии в общей схеме, с точки зрения геометрии проективной. Эта схема была предложена Клейном в 1872 году в «Эрлангенской программе»4. В настоящее время проективные модели неевклидовых пространств называют моделями Кэли - Клейна.

В классической схеме Кэли- Клейна овальная линия на проективной плоскости определяет три различные геометрические системы. На внутренней относительно овальной линии области реализуется полная плоскость Лобачевского Л2, или гиперболическая плоскость отрицательной кривизны, а на внешней области, идеальной для плоскости Л2, можно реализовать различные геометрии. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Пусть Я2 — расширенная гиперболическая плоскость с абсолютом 7, т. е. проективная плоскость с фиксированной на ней овальной линией 7. Каждую прямую плоскости Я2 по наличию общих с абсолютом точек можно отнести к одному из трех типов. Прямые, пересекающие абсолют в двух действительных точках, называют гиперболическими, в двух мнимо сопряжениых точках — эллиптическими, а касательные к абсолюту, изотропные иа плоскости Я2 прямые, называют параболическими.

В классическую схему Кэли-Клейна входят две геометрии, реализуемые на внешней относительно овальной линии области проективной плоскости. В одной из них в качестве прямых приняты только гиперболи-

1 Cayly A. A Six memoir upon qualities. Phil. Trans. Roy. Soc., 1859. Vol. 149. P. 61-70; Кэли А. Шестой мемуар о формах. Об основаниях геометрии. М., 1956. С. 222-252.

2 Laguerre Sur la t.heorie des foyers. Nouv. Ann. de Mathein., 1853. Vol. 12. P. 57-66.

3 Клейн Ф. Неевклидова геометрия. M. ; Л., 1936. С. 329.

4 Klein F. Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Vorsehungen (Programm zum Eintritt in die philosophische Facultat und den Senat der Universität zu Erlangen). Erlangen, 1872; Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангенская программа»). Об основаниях геометрии. М., 1956. С. 399-434.

ческие, в другой — только эллиптические прямые. В указанных геометриях не выполняется первый постулат Евклида, не каждые две точки можно соединить прямой. Соответствующие геометрические системы в различных источниках имеют разные названия, например, дважды гиперболическая и антигиперболическая5, бигиперболическая и когиперболическая6. В книге В. Ф. Кагана «Основания геометрии»7 также выражена общая на тот исторический период концепция рассматривать на внешней относительно овальной линии области проективной плоскости две различные геометрические системы, названия данных систем автор не применяет.

Отступая от классической схемы Кэли-Клейна, на внешней относительно линии 7 области проективной плоскости Р2 в качестве прямых будем рассматривать прямые всех трех типов, получим гиперболическую плоскость II положительной кривизны6. Плоскость II не была включена Ф. Клейном в общую схему построения геометрических систем на основе проективной геометрии, но объяснить этот факт наличием каких-либо особенностей геометрии плоскости H не удастся (см. [13, стр. 75]).

Плоскость II можно рассматривать как проективную модель двумерного пространства де Ситтера9, поскольку ее геометрия может быть реализована в псевдоевклидовом пространстве R\ на сфере действительного радиуса р со склеенными диаметрально противоположными точками. Число ^ (р) называют кривизной {радиусом кривизны) плоскости Я.

Для плоскости H используют различные термины. Например, в книге «Неевклидовы геометрии»10 Б. А. Розенфельд называет ее плоскостью Лобачевского положительной кривизны, а в книге «Неевклидовы пространства»11 — гиперболической плоскостью положительной кривизны, включая данный объект в общую схему введения гиперболических пространств. В данных книгах определение плоскости H предложено в двух моделях, в проективной интерпретации Кэли-Клейна и на сферах действительного радиуса в псевдоевклидовом пространстве Щ. Указаны типы прямых; отмечено, что плоскость II гомеоморфна листу Мебиуса

5 Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М., 1969. С. 248, 249.

6 Понарии Я. П. Неевклидовы геометрии с аффинной базой. Киров, 1981. С. 109.

7 Каган В. Ф. Основания геометрии. Ч. 2. М., 1956.

8 Символ «H» впервые использован в работах [16, 20].

9 De Sitter W. On the Relativity of Inertia. Remarks Concerning Einstein's Latest Hypothesis. Proc. Royal Acad., 1917. Vol. 19, iss. 2. P. 1217-1225; Coxeter H.S.M. A Geometrical Background for De Sitter's World. Amer. Math. Moil., 1943. Vol. 50, № 4. R 217-228.

10 Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии. M., 1955. С. 153.

11 Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М., 1969. С. 210.

без границ и имеет общую с плоскостью Лобачевского фундаментальную группу преобразований. В книге «Пространства постоянной кривизны»12 Дж. Вольф доказывает теорему о положительной кривизне пространства, реализованного на гиперсфере действительного радиуса в псевдоевклидовом пространстве размерности п и называет это пространство псевдори-маповым сферическим.

Первое упоминание трехвершшшиков плоскости II принадлежит, скорее всего, Г. С. М. Коксетеру, в статье13 автор изображает трехвершин-ники двух типов, все стороны одного из них — эллиптические прямые, а все стороны другого — гиперболические прямые. В книге [13] доказано, что типы сторон, типы углов и тип расположения несобственных точек сторон на абсолюте определяют 22 типа трехвершшшиков плоскости Н. Трехвершишшки десяти типов являются двусторонними линиями. Трех-вершинники некоторых типов расширенной плоскости де Ситтера на модели в пространстве Щ исследованы Я. Чо, И. Асмусом и Ж.-М. Шлен-кером14. И. Асмус и Ж.-М. Шленкер обращаются, в том числе, к вопросу вычисления площадей трехвершинников плоскости Лобачевского, частично выходящих на идеальную область.

Интерес к вычислению объемов (площадей) фигур в пространствах постоянной кривизны в настоящее время растет и представлен также работами российских авторов15.

1- Вольф, Дж. Пространства постоянной кривизны. М., 1982. С. 84-86.

13 Coxeter Н. S. М. Л Geometrical Background for De Sitter's World. Amer. Math. Mon., 1943. Vol. 50, № 4. P. 217-228.

14 Cho Yun. Trigonometry in extended hyperbolic space and extended de Sitter space. Bull. Korean Math. Sot:., 2009. Vol. 46, № 6. P. 1099-1133; Asmus Im. Duality between hyperbolic and de Sitter geometry. J. of Geometry, 2009. Vol. 96, iss. 1-2. P. 11-40; Schlenkcr J. M. Metriques sur les polyedrcs hyperboliques convexes. J. Diferential Geom., 1998, № 2. P. 323-405.

15 Абросимов H. В., Байгонакова Г. А. Гиперболический октаэдр с тшпт-симметрией. Снб. электрон, матем. изв., 2013. Т. 10. С. 123-140; Абросимов Н. В. К решению проблемы Зейделя об объемах гиперболических тетраэдров. Сиб. электрон, матем. изв., 2009. Т. 6, С. 211-218; Веснин А.Ю., Реповш Д. Двусторонние оценки объемов прямоугольных гиперболических многогранников. Матем. заметки., 2011. Т. 89, №1. С. 1218; Колпаков А. А., Медных А. Д., Пашкевич М. Г. Формула объема Z-2-симметричного сферического тетраэдра. Сиб. матем. жури., 2011. Т. 52, JV!3. С. 582-599; Сабитов Д. И., Сабитов И. X. Многочлены объема для некоторых многогранников в пространствах постоянной кривизны. Модел. и анализ информ. систем., 2012. Т. 19, №6. С. 161-169; Сабитов И. X. Об одном методе вычисления объемов тел. Сиб. электрон, матем. изв., 2013. Т. 10. С. 615-626; Соколова Д. Ю. О площади трапеции на плоскости Лобачевского. Сиб. электрон, матем. изв., 2012. Т. 9. С. 256-260; Mednykh A.D. Brahmagupta formula for cyclic quadrilaterals in the hyperbolic plane. Сиб. электрон, матем. изв., 2012. Т. 9. С. 247-255.

В связи с этим актуальна задача вычисления площадей фигур плоскости H как плоскости постоянной кривизны.

Для вывода формул площадей фигур необходимо введение метрик в пучках прямых различных типов и исследование как траекторий движений точек циклов плоскости II, позволяющих строить наиболее удобные ортогональные системы координат. Классификация углов плоскости II, а именно, выделение пятнадцати типов углов данной плоскости, и обоснование измерения углов различных типов, необходимые в исследовании фигур на Н, по-видимому, впервые проведены автором диссертации [5, 13].

В кииге Ф. Клейна «Неевклидова геометрия»16 на чертежах представлены траектории движений точек плоскости II, предложена аналитическая запись преобразований фундаментальной группы гиперболических плоскостей, в зависимости от количества и природы инвариантных точек выделены три типа преобразований.

На объекты плоскости H выходили и другие геометры. Например, в книге «Основания геометрии»17 В. Ф. Кагана и в работах18 Г. Либмана и C.J1. Певзнера при классификации овальных линий плоскости Лобачевского указаны и некоторые овальные линии, частично или полностью выходящие на идеальную область плоскости Лобачевского, т. е. на собственную область плоскости И. Но как объекты плоскости II овальные линии не рассматривались.

В настоящее время актуальность исследования геометрии плоско сти II обусловлена в первую очередь тем, что она является проективной моделью двумерного пространства де Ситтера, привлекающего на протяжении почти века внимание физиков и математиков.

Значение и перспективные направления исследований физических свойств пространства де Ситтера были отмечены в 2012 г. на семинаре «The Physics of de Sitter Spacetime» (Albert Einstein Institute)19. В 2005 г. доклад У. Мошелла20 о пространстве де Ситтера был представлен на семинаре Анри Пуанкаре21.

16 Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М.;Л., 1936.

17 Каган В.Ф. Основания геометрии. Ч. 2. М., 1956.

18 Liebmann H. Nichteuklidische Geometrie. 2-nd ed. Leipzig, 1912; Певзнер С. Л. Фокально-директориальные свойства кривых 2-го порядка на плоскости Лобачевского. Изв. вузов. Матем., 1960. Nä 6. С. 184-194; Певзнер С. Л. Свойства кривых 2-го порядка на плоскости Лобачевского, двойственные фокально-директориальным. Изв. вузов. Матем., 1961. № 5. С. 39-50; Певзнер С. Л. Детальная классификация нераспадающихся кривых 2-го порядка на плоскости Лобачевского с помощью фокально-директориапьных инвариантов. Изв. вузов. Матем., 1962. JV»6. С. 85-90.

19 http://hep.physics.uoc.gr/deSitter/.

20 http://www.bourbaphy.fr/rnoschella.pdf.

21 http://www.bourbaphy.fr/.

Различные вопросы геометрии пространства де Ситтера решены в статьях Я. Чо, И. Асмуса, Ж.-М. Шлеикера и, например, в работах22.

Исследование геометрии плоскости де Ситтера в ее проективной модели Н открывает новые перспективы, позволяя формулировать и решать принципиально новые задачи. К таким задачам относятся, в частности, задачи построения разбиений.

На современном этапе теория разбиений в значительной степени развита в классических пространствах постоянной кривизны , евклидовом, эллиптическом и пространстве Лобачевского, и тесно связана с теорией дискретных групп движений и теорией многогранников этих пространств. Данное направление представляют следующие авторы: Е. П. Барановский, Б. Н. Делоне, Н. П. Долбилин, В. С. Макаров24, П. В. Макаров, С. С. Рышков, М.И. Штогрин, Р. Юнкен, К. Берёцкий25 и др.

Классические пространства постоянной кривизны (в частности, плоскости) обладают общей особенностью. Все плоскости одной размерности (в частности, прямые) в каждом из них топологически эквивалентны и наделены метрикой одного типа, фундаментальная группа пространства

22 Akutagawa К. On space-like hypersurfaces with constant mean curvature in the de Sitter space. Math. Z., 1987. Vol. 196. P. 13-19; Montiel S. An integral inequality for compact space-like hypersurfaces in a de Sitter space and ajjplication to the case of constant mean curvature. Indiana Univ. Math. J., 1988. Vol. 37. P. 909-917; Cheng Q.M. Complete space-like submanifolds in a de Sitter space with parallel mean curvature vector. Math. Z., 1991. Vol. 20G. P.333-339 Cheng Q.M. Hypersurfaces of a Lorentz space form. Arch. Math., 1994. Vol. 63. P. 271; Liu H., Liu G. Weingarten rotation surfaces in 3-dimensional de Sitter space. J. of Geometry, 2004. Vol. 79, iss. 1-2. P. 156-168; Fusho Т., Izumiya S. Lightlike surfaces of spacelike curves in de Sitter 3-space. J. of Geometry, 2008. Vol. 88, iss. 1-2. P. 19-29; Hefer R. Metric and Periodic Lines in de Sitter's World. J. of Geometry, 2008. Vol. 90, iss. 1-2. P. 66-82; Kasedou M. Singularities of lightcone Gauss images of spacelike hypersurfaces in de Sitter space. J. of Geometry, 2009. Vol. 94, iss. 1-2. P. 107121; Perdomo О. M. Algebraic zero mean curvature hypersurfaces in de Sitter and anti de Sitter spaces. Geometriae Dedicata, 2011. Vol. 152, iss. 1. P. 183-196; Yang D., Hou Z. Linear Weingarten spacelike submanifolds in de Sitter space. J. of Geometry, 2012. Vol. 103, iss. 1. P. 177-190; Takarni Sato. Pseudo-spherical evolutes of curves on a spacelike surface in three dimensional Lorentz-Minkowski space. J. of Geometry, 2012. Vol. 103, iss. 2. P. 319-331.

23 Алексеевский Д. В., Винберг Э.Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. нешряв-леиия. М., 1988. Т. 29. С. 5-146; Винберг Э.Б., Шварцман О. В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. М., 1988. Т. 29. С. 147-259.

24 Макаров B.C. Об одном неправильном разбиении п-мериого пространства Лобачевского конгруэнтными многогранниками. Дискретная геометрия н топология. Тр. МИАН СССР. Т. 196. М., 1991. С. 93-96.

25 Boroczky К. Gombkitoltesek allando gorbuletu terekben. Mat. lapok, 1974, Vol. 25. P. 265-306.

транзитивна на множестве всех плоскостей одной размерности. Вызывает интерес построение теории разбиений, а также теории многогранников (многоугольников), пространств (плоскостей), наделенных плоскостями (прямыми) различных топологических типов. В диссертации по результатам работ автора [4, 9, 16, 17, 20] описаны первые разбиения плоскости, содержащей прямые трех типов.

Расширенная гиперболическая плоскость Я2 в проективном интерпретации является абсолютной плоскостью псевдоевклидова пространства Я?. Поэтому все факты геометрии ее компоненты, плоскоегп Н, открывают и новые факты геометрии пространства Минковского, имеющей многочисленные приложения в физике, в частности, в теории относительности. К примеру, классификация овальных линий плоскости //, про веденная в работе [3], позволяет провести классификацию поверхностей второго порядка пространства R\ в зависимости от взаимного положения абсолютной овальной линии и сечения поверхности абсолютной плоскостью; разбиения плоскости Н индуцируют разбиения пространства связанные с некоторой точкой этого пространства и расположенные вне светового конуса данной точки. Различные вопросы теории поверхностей и многогранников в псевдоевклидовом пространстве исследованы, например, в работах26 В. Л. Гуревича, Д. Д. Соколова, в работе27 А. М. Турина и Jl. Н. Ромакиной при изотропном разбиении пространства Rf использована его проективная интерпретация.

Расширенные гиперболические плоскости принадлежат как собственные различным неевклидовым пространствам, например трехмерным пространствам: копсевдоевклидовому, абсолютом которого в проективной интерпретации является действительный конус, и гиперболическому пространству положительной кривизны, реализуемому па внешней относительно овальной квадрики области проективного пространства Рз. Поэтому построение геометрии плоскости Н является важным этапом в развитии геометрий указанных пространств (см., например, работу28).

2fi Гуревич, B.JI. Выпуклые поверхности в псевдоевклидовом пространстве. Докл. АН СССР, 1978, 240, № 3, С. 512-514; Соколов Д. Д. Поверхности в псевдоевклидовом пространстве. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 11, ВИНИТИ, М., 1980, С. 177201; Соколов Д. Д. О предельном конусе седловых поверхностей в псевдоевклидовом пространстве. УМН, Т. 35, № 6 (216), 1980, С. 171-172; Соколов Д. Д. О регулярности выпуклых поверхностей с дефинитной метрикой в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 8, ВИНИТИ, М., 1977, С. 257-277.

27 Турин A.M., Ромакина JI.H. О правильном изотропном разбиении псевдоевклидова пространства. Докл. Одесского сем. по дискрет, мат. № 11. Одесса, 2011. С. 30-36.

28 Ромакина Л. Н. О параболических многогранниках копсевдоевклидова пространства. Вестник КГПУ им. В. П. Астафьева, 2013. № 1 (23). С. 201-206.

2. Степень разработанности. Диссертация содержит разработанные автором методы исследования различных объектов и открывает широкие перспективы развития как геометрии плоскости Н, так и геометрий пространств, содержащих плоскости данного типа. Решение каждой конкретной задачи, поставленной в диссертации, является самостоятельным завершенным исследованием.

3. Цель и задачи работы. Основной целью работы является систематическое построение геометрии гиперболической плоскости Н положительной кривизны, формирование методов исследования объектов плоскости Я. Для достижения данной цели были сформулированы и решены следующие задачи.

1. Введение; основных объектов плоскости Н: отрезков и лучей гиперболических, эллиптических и параболических прямых; квазиотрезков; углов. Обоснование методов измерения основных объектов; классификация углов. Установление связей между линейными и угловыми величинами, вывод аналогов формулы Лобачевского для угла параллельности.

2. Исследование овальных линий плоскости Н: проведение классификации собственных линий, доказательство основных свойств циклов.

3. Исследование конечных замкнутых п-контуров. В этом направлении подробно изучены п-контуры размерности п = 3,4,5 и правильные п-контуры произвольной размерности. Для простых п-контуров доказан аналог теоремы Жордана.

4. Исследование объектен на простых 4-контурах плоскости II. В рамках данной задачи на простом 4-коитуре в процессе его диссектори-алыюго разбиения построены объекты, не имеющие аналогов в классических плоскостях постоянной кривизны: деревья, ковры и простые ковры. Получены первые примеры ковров; доказано, что ветви дерева на простом 4-контуре «не переплетаются».

5. Классификация параллелограммов плоскости Н. Представление методов исследования многореберников плоскости II на примере гиперболических и параболических параллелограммов.

6. Введение на плоскости Н ортогональных криволинейных систем координат. Доказательство первых формул для вычисления площадей фигур, в частности, доказательство формулы площади прямоугольного трехреберника, с помощью которой удается элементарными методами найти площади различных фигур.

7. Построение первых разбиений плоскости II. Для построения простых разбиений, ячейками которых являются простые 4-контуры, применяем правильный п-контур, правильную гиперциклическую и орицик-лическую ломаные. Доказано, что каждый из этих объектов порождает

черепичное и (или) почти черепичное разбиение, инвариантное при сдвиге вдоль эллипической, гиперболической или соответственно параболической прямой. Разбивая особым образом 3-(1)-контур плоскости Я, получаем объект, названный веером, с помощью которого удается построить первые обладающие симметриями нормальные разбиения плоскости Я.

4. Научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация основана на первом систематическом изложении геометрии плоскости Я, первые части которого представлены в работах автора, в книгах [13, 14] и статьях [1-12, 15-24]. Основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. В п. 2.5.2 включены результаты статьи [24], полученные совместно с ученицей М. А. Бондаревой в равных долях участия, данные результаты на защиту не выносятся.

Диссертация имеет теоретический характер, ее результаты могут быть применены при подготовке спецкурсов по вопросам неевклидовых геометрий и в дальнейшем исследовании пространств с проективными метриками, в частности, гиперболических пространств положительной кривизны в интерпретациях Кэли-Клейна. Материалы диссертации закладывают основу развития теории многогранников и теории разбиений в неевклидовых пространствах, содержащих прямые и плоскости различных топологических типов. В силу того, что плоскость Я является проективной моделью плоскости де Ситтера, представленные в диссертации результаты могут быть использованы в космологии и физике, в частности, в теории относительности.

5. Методы исследования. Все результаты диссертации получены аналитически в проективной модели Кэли —Клейна плоскости Я.

К основным разработанным автором методам, описанным в работах [1-24], относятся следующие: метод классификации фигур, основанный на рассмотрении типа расположения на абсолюте несобственных элементов фигуры; методы вычисления длин отрезков на эллиптических и гиперболических прямых; методы вычисления величин измеримых углов, в частности, метод вычисления величины квазиугла в зависимости от его типа; методы вычисления площадей фигур с применением различных ортогональных циклических систем координат; методы построения наделенных симметриями разбиений плоскости Я, в частности, моноэдральных разбиений и нормальных разбиений.

6. Положения, выносимые на защиту.

1. Классификация углов плоскости Я и обоснование методов их измерения. Доказательство в геометрии плоскости Я аналогов формулы Лобачевского для угла параллельности: введение функций а = а(х) угла

квазипараллелыгости, а = а(х) квазиугла параллельности и /3 = (3{х) угла параллельности [5, 13]:

Справедливы следующие доказанные в работе [5] теоремы.

Теорема 1.7.2. На плоскости Н мера угла квазипараллельности (действительная часть меры квазиугла параллельности) в точке К относительно гиперболической прямой а в заданном на. ней направлении может принимать все действительные положительные значения и возрастает при удалении точки К от прямой а по одной из полува-лиан прямой а.

Теорема 1.7.3. На плоскости Н мера угла параллельности в точке К относительно гиперболической прямой в заданном на ней направлении может принимать все действительные положительные значения и убывает при удалении точки К от полют прямой а относительно абсолюта по одной из полуковалиан прямой а.

2. Теорема о движении точек плоскости Н но инвариантной параболической прямой [4, 14].

Теорема 3.11.1. Пусть на параболической прямой I в последовательности точек (Тр), р е Ъ, точка Тр+\ делит в действительном отношении X, X ф О, А ф —1, отрезок ТрТр^>- Существует единственное преобразование / группы (3: (Ур) / (Тр) = Тр±Преобразование / является:, сдвигом вдоль гиперболической прямой при А > О, А -/ 1; скользящим отражением при А < 0; параболическим сдвигом при А = 1.

3. Диссекториальное разбиение простого 4-контура на Н [12, 14].

Теорема 4.1.11. На плоскости II для дерева Г простого 4-контура

выполняются следующие утверждения.

1. Веса вершин различных ярусов дерева Г связаны условиями:

где я, т, г — натуральные числа, а независимые индексы г>1,...,у8, к\,... ,кт, ... ,<1г принимают значения 0,1.

2. Веса вершин одного яруса дерева Г строго упорядочены:

а < а^...к,,, <

ай1„.<1т < (Чц-.к,

Эр (р=1,т) :

с^ = при í < р и с?г < при Ь =р, t Е N.

4. Введение на плоскости H ортогональных циклических систем координат. Вычисление площадей фигур [6, 23].

Теорема 5.5.1. На плоскости H радиуса кривизны р площадь S прямоугольного трехреберника с гиперболическим (эллиптическим) катетом длиной Ь (а) может быть вычислена по формуле

„ sin — -г cos — sh -

5= Vin—ê-Г^—<-.

sh^ + ch^sin^

5. Построение аналога мозаики в разбиениях плоскости II [4, 14].

Теорема 6.1.2. На плоскости II существует ленточная черепица.

р, определенная парой натуральных чисел (т,п).

6. Построение простых разбиений плоскости Н, инвариантных при сдвиге вдоль эллиптической прямой [4, 14].

Теорема 6.3.1. Правильный п-контур нечет,ной размерности порождает на плоскости H черепичное разбиение.

Теорема 6.3.2. Правильный п-контур четной размерности порождает на H почти черепичное разбиение с инвариантом ячейки Д° = — cos2-к/п.

7. Построение простых разбиений плоскости Н, инвариантных при сдвиге вдоль гиперболической прямой [4, 14].

Теорема 6.5.1. Правильная изотропная h-ломаная порождает счетное семейство черепичных разбиений плоскости II с произвольной ячейкой и счетное семейство почти черепичных разбиений, ячейкой которых является вторичный соапавляющий 4-контур заданного порядка h-ломлной.

8. Построение инвариантных при параболическом сдвиге простых разбиений плоскости Н, порожденных орициклической ломаной [4, 14].

Теорема 6.7.1. Орициклическая ломаная порождает счетное семейство черепичных разбиений плоскости H с произвольной ячейкой и счетное семейство почти черепичных разбиений, ячейка которых — базовый простой 4-конгпур заданного порядка орициклической ломаной.

9. Построение веерных разбиений плоскости H [9].

Теорема 6.8.1. Существует одпотраметприческое сем,е.йство (F\) нормальных JM13биений 3-(1)-контура F па простые 4-контуры, гиперболические диагональные прямые которых параллельны базе контура F.

7. Степень достоверности и апробация результатов.

Основные результаты диссертации являются новыми, снабжены подробными доказательствами и своевременно опубликованы в двух мопо-графих и 22 статьях, в том числе в 12 статьях из журналов, рекомендованных ВАК РФ.

По результатам диссертации проведены доклады на следующих семинарах и конференциях.

1. Международная научная конференция «62 Герценовские чтения» (РГПУ, Санкт-Петербург, 22-24 апреля 2009 г.).

2. Международная научная конференция «Геометрия «в целом», топология и их приложения», посвященная 90-летию со дня рождения академика А. В. Погорелова (ХНУ, Харьков, 22-27 июня 2009 г.).

3. Международная научная конференция «Мегрическая геометрия поверхностей и многогранников», посвященная 100-летию со дня рождения Н.В. Ефимова (МГУ, Москва, 16-21 августа 2010 г.).

4. Международная научная конференция «Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation», посвященная 100-летию со дня рождения А.З. Петрова (КФУ, Казань, 1-6 ноября 2010 г.).

5. Международная научная конференция «63 Герценовские чтения» (РГПУ, Санкт-Петербург, 24-26 апреля 2010 г.).

6. Международная научная конференция, посвященная памяти Кравчука М. (НТУУ, Киев, 13-17 мая 2010 г.).

7. Научный семинар по дискретной математике под руководством профессора А. А. Зыкова (ОНУ, Одесса, 13-19 сентября 2010 г.).

8. Научный семинар «Топология и физика моделей наноструктур» (ХНУ, Харьков, 18 мая 2010 г.).

9. Научный семинар «Узлы и теория представлений» кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ под руководством профессора О. В. Мантурова с «¡руководителями Д. П. Ильютко и И. М. Нико-новым (МГУ, Москва, 7 декабря 2010 г., 2 апреля 2013 г.).

10. Научный семинар кафедры высшей геометрии МГУ иод руководством члена-корреспондента РАН, профессора В. М. Бухштабера (МГУ, Москва, 28 сентября 2010 г.).

11. Международная научная конференция, посвященная 50-летию механико-математического факультета Харьковского национального университета (ХНУ, Харьков, 17-22 апреля 2011 г.).

12. Международная научная конференция «XI Белорусская математическая конференция» (БГУ, Институт математики НАН, Минск, 5-9 ноября 2012 г.).

13. Всероссийская научно-методическая конференция «Информационные технологии в математике и математическом образовании» (КГПУ, Красноярск, 28 ноября 2012 г.).

14. Научный семинар под руководством академика РАН, профессора И. А. Тайманова (Институт математики им. С. JI. Соболева СО РАН, Новосибирск, 12, 19 ноября 2012 г.).

15. Научный семинар под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А. Ю. Веснина (Институт математики им. С. J1. Соболева СО РАН, Новосибирск, 13 ноября 2012 г.).

16. Научный семинар кафедры теоретической механики Харьковского национального университета (ХНУ, Харьков, 2012 г.).

17. Международная научная конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2013» (Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН, Новосибирск, 28-31 августа 2013 г.).

18. 8-я Международная научная конференция по геометрии, топологии и преподаванию геометрии (Черкасский национальный университет, Черкассы, 9-15 сентября 2013 г.).

19. Международная научная конференция «Тараповские чтения, 2013» (ХНУ, Харьков, 1-5 октября 2013 г.).

20. Научный семинар «Группы и лравильнограшшки» иод руководством профессора А. В. Тимофеенко (Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 14 ноября 2013 г.).

21. Научный семинар «Дискретная геометрия и геометрия чисел» под руководством профессора Н. П. Долбилина с соруководителями Н.Г. Мощевитиным и М.Д. Ковалевым (МГУ, Москва, б мая 2014 г.).

22. Ежегодная научная конференция механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского (СГУ, Саратов, 2009-2014 гг.).

23. Научный семинар «Топология и физика моделей наноструктур» (Саратов, Харьков, Красноярск, 2009-2014 гг.).

24. Расширенное заседание кафедры геометрии Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского (13 мая, 2014 г.).

25. Научный семинар под руководством академика РАН, профессора Ю. Г. Решетняка (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 21 мая 2014 г.).

Основное содержание работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, содержащего 118 наименований. Полный объем диссертации составляет 395 страниц.

В первой главе диссертации введены основные понятия и основные метрические формулы геометрии плоскости Я. Проведена классификация углов, обоснованы методы измерения отрезков, квазиотрезков и углов [5, 13]. Показано, что в зависимости от типов сторон и типа содержащего их пучка все углы плоскости Н могут быть отнесены к пятнадцати типам, причем углы шести типов измеримы с помощью абсолюта, углам трех типов можно поставить в соответствие действительные меры (см.

табл. 1). В теореме 1.3.1 установлено, что каждая точка определяет на плоскости Я четыре области [13], инвариантные относительно стабилизаторов первого рода данной точки (см. гл. 3). Теорема 1.7.1 характеризует связь линейных и угловых величин па плоскости Я [13]. В п. 1.7.2 построены аналоги формулы Лобачевского для угла параллельности [5, 13].

Таблица 1. Типы и меры углов плоскости Н

№ п/н Тип угла Мера V (ö) угла ab Тип пучка Тип прямой

а Ь

1 Валиана — г П п

2 Полуковалиана —

3 Гиперболический флаг — г П Г

4 Гиперболический псевдофлаг —

5 Параболический флаг — п

6 Эллиптический флаг — г П Э

7 Эллиптический псевдофлаг —

8 Полуплоскость V е [Q; л-] э Г г

9 Гиперболический угол V е R+ г

1Ü Гиперболический псевдоугол V = 17Г + V, V е К+

11 Полоса — п

12 Псевдополоса —

13 Квазиугол V = cv + г 7Г/2, V е R+, для /i-квазиугла е = 1, для с-квазиугла с = — 1, для прямого — с = 0 г Г э

14 Эллиптический угол ■и € К+ г Э э

15 Эллиптический псевдоугол V = г 7Г — v, и € К+

Во второй главе, содержащей результаты работ [3, 5, 7, 8,14, 22, 24], проведена классификация собственных на плоскости Я овальных линий, доказаны основные свойства циклов данной плоскости.

Классификация овальных линий плоскости Лобачевского Л2 в интерпретации Кэли-Клейна известна29. Согласно данной классификации на Л2 существуют 12 инвариантных относительно группы G типов овальных линий (некоторые линии при расширении Л2 ДО Я2 частично принадлежат Я). Указанная классификация основана на рассмотрении геометрических ковариантов двух квадрик проективной плоскости, а именно, общих точек и общих касательных овальной линии с абсолютом. Назовем эти геометрические коварианты основными. При построении классификации учтены количество основных геометрических ковариантов и их природа (вещественность или мнимость).

29 Liebmann Н. Nichteuklidische Geometrie. 2-nd ed. Leipzig, 1912; Каган В. Ф. Основания геомегрии. Ч. 2. М., 1950.

Известны и другие классификации овальных линий. Например, в работе30 С. Л. Певзнера классификация овальных линий плоскости Лобачевского проведена на основе фокально-директориальных и двойственных к ним свойств овальных линий.

Соответственно представленной в диссертации классификации овальных линий на Н даны позиционные определения линий каждого типа. Для собственных овальных линий получены канонические уравнения. На примере гиперболических ортрис [22] в п. 2.5.1 представлены метрические свойства, общие для некорых типов овальных линий плоскости II. В п. 2.5.2 приведен пример сравнения овальных линий гиперболических плоскостей Л2 и Н, обладающих общим метрическим свойством [24].

Циклы плоскости Н из всех овальных линий выделены следующим свойством. Для каждой собственной точки М цикла <т плоскости II существует такое преобразование / группы С, что для любого натурального значения п точка /П(М) принадлежит линии а. В каждой точке цикла существует касательная к нему, ортогональная оси цикла в данной точке. Касательная к гиперциклу, орициклу и гиперболическому циклу в каждой собственной точке цикла является эллиптической прямой и разделена точкой касания и базой цикла пополам. Гиперцикл, гиперболический и эллиптический циклы являются эквидистантами плоскости Н, кроме того, каждая из этих линий есть множество всех точек плоскости, удаленных от данной точки на заданное расстояние. Орицикл плоскости Н может быть определен метрически так же, как и орицикл плоскости Л2.

Приведем основные теоремы главы 2.

Теорема 2.2.1. ([3,14]) Основные геометрические ковариапты и свойство липни быть выпуклой определяют на Н восемь типов собственных овальных линий: гиперболический и эллиптический циклы, орицикл, выпуклую и невыпуклую эллиптические параболы, выпуклый и невыпуклый эллипсы, гиперцикл.

Теорема 2.4.6. ([14]) Ось гиперцикла плоскости II, проходящая через его точку М, является полярой относительно абсолюта общей точки базы гиперцикла и касательной к нему в точке М.

Теорема 2.4.7. ([14]) На плоскости II радиуса кривизны р касательные гиперцикла ш{1, Н) в его диаметрально противоположных точках образуют эллиптический угол постоянной величины

Iр = 21ь/р.

30 Певзнер С. Л. Детальная классификация нераспадающихся кривых 2-го порядка на плоскости Лобачевского с помощью фокально-директориальных инвариантов. Изв. вузов. Матем., 1962. №6. С. 85-90.

Теорема 2.4.8. ([14]) На плоскости Н любые две оси гиперцикла cj (I, ti) в каждом из квадрантов, образованных этими осями и базой I, высекают на абсолютной линии 7 и на гиперцикле и хорды, принадлежащие прямым, пересекающимся па базе данного гиперцикла.

Теорема 2.4.9. ([8]) На плоскости II радиусл кривизны р, р 6 длина а гиперболической хорды гиперцикла ui(l, /г), соответствующей центральному углу величиной а, а € (0; 7т), определена равенством

ch - = 2sin2§ch2^ - 1.

Р 2 р

Длина а (а) внутренней (внешней) относительно гиперцикла u)(l, ti) эллиптической хорды, соответствующей центральному углу величиной а, а € (0;7г), определена равенством

eos — = 1 - 2sin2§ch2^ feos5 = 2sin2f ch2 ^ - 0 . p 2 p \ p ¿ p j

Теорема 2.4.14. ([7]) Ha плоскости H радиуса кривизны p, p G R+, гиперболические прямые, проходящие через собственную точку М гиперболического (эллиптического) цикла uj^(S,r) (uif>(S,r)) параллельно базе цикла в различных ее направлениях, обрнзуют с касательной к циклу в точке М равные квазиуглы (гиперболические углы) постоянной для данного цикла величины <р:

ch2<p = — 1/sh2 | (ch</? = 1/sin^) .

Теорема 2.4.16. ([7]) Ось SM гиперболического (эллиптического) цик.га (bje(S,r)) на Н, М S г) (М G we(S,r)), является

полярой общей точки базы, цикла и касательной к нему в точке М.

Теорема 2.4.17. ([7]) На плоскости Н радиуса кривизны р каса-гпелъные гиперболического (эллиптического) цикла w^(S,r) (we(S,r)) в его диаметрально противоположных точках образуюгп эллиптический угол (полуплоскость) постоянной величины

íp = 2 г/р.

Теорема 2.4.19. ([7]) На плоскости II действительного радиуса кривизны р каждая собственная точка гиперболического (эллиптического) цикла является серединой опорного отрезка цикла в этой точке. Длина о опорного отрезка цикла в каждой его точке является инвариантом цикла и может быть выражена через радиус г цикла по формуле

cos^ = l-2th2^ (ch2 = l + 2tg^).

Теорема 2.4.30. ([14]) Пусть М — произвольная точка орицикла ы плоскости Н, N — полюс относительно абсолюта оси орицикла и>, проходящей через точку М, а Ь\, Ьо — точки пересечения, ш с параболической прямой, проходящей через точку N и отличной от базы орицикла. Тогда внутренние относительно и хорды МЪ\, М¿2 равны трети эллиптической прямой, т. е. \МЬ\\ = |МЬ2| = тгр/3.

В третьей главе диссертации приведен в сокращении материал о преобразованиях фундаментальной группы С плоскости II2 из книги [14]: результаты классификации по наличию инвариантных точек и прямых, проведенной с учетом количества и природы инвариантных элементов; понятие ориентации семейства II3 канонических реперов второго типа, на основе которого определена ориентация некоторых углов и отрезков негиперболических прямых плоскости Н; понятие рода преобразования. В группу <3 входят три нетождественных неипволюциогшых преобразования, имеющих хотя бы одну двойную параболическую прямую: гиперболический и параболический сдвиги и скользящее отражение. В параграфе 3.11, в теоремах 3.11.1-3.11.4, показан порядок перемещения точек по двойной параболической прямой в указанных преобразованиях.

Представленные в третьей главе основные свойства преобразований группы С, как группы преобразований плоскости Лобачевского, известны. Автором диссертации введено понятие ориентации объектов плоскости Н [14], доказано свойство 3 (6) эллиптического (параболического) сдвига [4,14], сформулированы и доказаны используемые при построении разбиений плоскости Н теоремы 3.11.1-3.11.4 [4,14], основные свойства преобразований описаны в терминах геометрии плоскости Н [4,14].

Теорема 3.11.2. При гиперболическом сдвиге точки луча двойной параболической прямой с началом, в неподвижной точке преобразования движутся по этому лучу в одном направлении (либо к неподвижной точке, либо от нее).

Теорема 3.11.3. При скользящем отражении точка и ее образ на двойной изотропной прямой принадлежат различным лучам, исходящим из неподвижной тючки преобразования.

Теорема 3.11.4. При параболическом сдвиге точки неподвижной прямой движутся в одном направлении.

В главе 4 по результатам работ [1, 2, 10-14] на примере п-контуров и параллелограммов представлены методы исследования многореберни-ков плоскости Н. На простых 4-контурах плоскости Н при разбиении их проходящими через центр параболическими прямыми построены объекты, не имеющие аналогов в классических пространствах постоянной кривизны: деревья, ковры и простые ковры. Все результаты четвертой

главы являются новыми, получены автором диссертации самостоятельно и необходимы в развитии теории разбиений и теории многогранников пространств, содержащих плоскости положительной кривизны.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 4.1.4. (Основная теорема о 4-коптурах [1]). Пусть © — множество всех конечных замкнутых 4-контуров плоскости Н. Справедливы следующие утверждения:

1) любой контур из © или простой, или составной с двумя особыми точками;

2) диагональные прямые каждого контура из <5 пеизотропные и взаимно ортогональные, они различных типов (гиперболического типа) тогда и только тогда, когда контур простой (составной); диагонали простого (составного) контура из © пересекаются в их середине ( квазисередине);

3) прямая, содержащая точки пересечения противоположных, сторон контура из <5, является гиперболической (эллиптической) тогда и только тогда, когда контур является простым (составным)\

4) каждая прямая пересекает по крайней мере два ребра любого составного контура из б; если прямая имеет с составным контуром из © единственную общую точку, то эта точка — особая точка контура;

5) каждая прямая, не содержащая вершину простого контура из <3, либо не имеет с этим контуром общих точек, либо пересекает точно два ребра контура;

6) если параболическая прямая пересекает ребро простого контура из ©, то она пересекает и противоположное ему ребро;

7) любой простой контур из © является выпуклым;

8) каждая точка на ребре простого контура Р из © однозначно определяет два простых контура Р2 из © так, что выполняются условия:

нй П ^ = 0, 7 = Тг и Р2;

9) любой составной контур Р из © имеет внутренность, не являет,ся выпуклым, и его можно представить в виде объединения двух простых контуров Р2 мл © так, что выполняются условия:

йй П ^ Р2 = 0, Р = Рх и Т2.

Теорема 4.1.5. ([13]) Пусть Р, Р2, •••, Рп — простые 4-контуры с основными инвариантами соответственно А, А\, Д2; ..., Д„, п е N. Если контуры Р2, ..., Р„ образуют разбиение контура Р,

m. е. если при любых значениях р, q, где р = 1, п, q = 1, и, р ^ q, выпол-

п _ _

няются условия int Fpflint Fq — 0, (J F; = F, то справедливо равенство

i—i

|А| = П1Л'

¿=1

Теорема 4.1.6. ([16]) На Н не существует четырех конгруэнтных простых 4-конгпуров, сходящихся в общей вершине и смежных по целому ребру.

Теорема 4.1.8. (Основная теорема дпссскториального разбиения [12]). Днссектрисы разбивают простой 4-коптУР Р с основным инвариантом А на две пары конгруэнтных в каждой паре простых 4-контуров. Основной инвариант Д1 (До) контуров разбиения, эллиптические (гиперболические) диагонали которых принадлежат эллиптической (гиперболической) диагонали контура Р, имеет выражение:

Ах = + ^ ГДо = ^

2 V 1 + \/=Ду

Теорема 4.1.23. ([14]) Простой конечный замкнутый п-контур плоскости Н при четном п разбивает Н на две связные части, при нечетном п — не разбивает Н на части.

Параллелограммом назван четырехреберник, имеющий две пары параллельных сторон. Все параллелограммы на Н можно отнести к трем типам [10]. Параллелограмм назван гиперболическим, если все его стороны — гиперболические прямые, и параболическим (бипараболическим), если он имеет одну (две) параболические стороны. В зависимости от типа расположения на абсолюте несобственных точек сторон существует четыре (три) ^ласса гиперболических (параболических) параллелограммов плоскости Н. В теореме 4.2.1 (4.2.4) доказаны основные свойства гиперболических (параболических) параллелограммов, установлены зависимости длин ребер от величин внутренних и внешних углов [10] ([11]).

В пятой главе определено понятие площади фигуры плоскости Я в интерпретации Кэли-Клейна. Выбор проективной модели позволяет использовать для данной цели аналитический метод, значительно у про щающий решение поставленной задачи. На плоскости Я в каждой точке цикла его ось ортогональна касательной к циклу в данной точке. Это позволяет ввести на Я ортогональные циклические системы координат, являющиеся аналогами полярной системы координат плоскости евклидовой. В диссертации описаны лишь некоторые из удобных систем координат (гиперциклическая Я-циклическая ЯСГ, Е-циклическая ЕСГ,

орициклическая С0), с помоил,ью которых доказаны первые формулы площадей фигур плоскости Я. Результаты пятой главы получены автором диссертации и опубликованы в тезисах31 и статьях [6,23].

С учетом того, что на плоскости Я существует два типа неизотропных прямых, инвариантных относительно фундаментальной группы G, введены два типа линейных элементов данной плоскости: гиперболический r//h и эллиптический dle. В табл. 2 для каждой описанной в диссертации ортогональной циклической системы координат представлены формулы связи собственных и циклических координат точек, линейные элементы и формула площади фигуры.

Таблица 2. Ортогональные циклические системы координат (с. к.)

С. к. Формулы связи координат Линейные элементы Формула площади фигуры

Qi ïi = р coa и chu, Х2 = psinuchv, .х-, = pshv, 0 < и < 7Г, V 6 R (dlh)2 = -p2c\?vdu2 + p2di? (dle)2 = p2 ch2 v du2 - p2dv2 S = p2 ffn ch v du dv

НСТ =pch Е Х-2 = Р sh j; sh Ф, х з = р sh -р ch ф, г е R+, Ф el (dl^)2 = ()2dr2 — p2 sh2 dф2 {dle)2 = —p2dv2 -j- p2 sh2 ^ dф2 S = p2[íDsh^dr<b¡,

ЕСТ хг = р cos£, х-2 = р sin т- ch ф, х3 = р sin £ sh ф, -Ц < г < ф 6 К (,dlh)2 = -p2dr2 + p2sm2íd02 (dle)2 = P2dr2 - p2 sin2 J dф2

Со хл= -х2 = ре1', Í3 = pue1', и 6 К, V е R (dlh)2 = -p2e2" du2 + p2dv2 (dle)2 = p2e2v du2 - p2dv2 S = p2 fJD ev du dv

С помощью ортогональной гиперциклической системы координат доказана теорема 5.5.1 о площади прямоугольного трехреберника плоскости Я [б], а также ряд следствий из нее.

Приведем основные следствия теоремы 5.5.1.

Теорема 5.5.2. ([6]) На плоскости И радиуса кривизны р для площади 5 дважды прялюугольного трехреберника с основанием длиной Ь и эллиптическим углом величиной В справедливы равенства

5 = Ьр, 5 = Вр2.

31 Ромакина Л. Н. Ортогональная орициклическая система координат па гиперболической плоскости положительной кривизны. Дни геометрии в Новосибирске, 2013 : тез. докл. междунар. конф. Новосибирск, 2013. С. 74, 75.

Теорема 5.5.3. ([6]) На плоскости Н радиуса кривизны р для площади S прямоугольного трехрсберника с параболической гипотенузой и гиперболическим {эллиптическим) катетом длиной Ъ (а) справедливо равенство

S = р21псЪ^ (s=-p2 lncos^).

Теорема 5.5.4. ([6]) На плоскости II радиуса кривизны р для площади S простого 4-контура, длина гиперболической (эллиптической) диагонали которого равна 2Ь (2а), имеет место равенство

S = 4/э2 ln ch -р (s = —Ар2 lncos ^ .

Теорема 5.5.5. ([6]) На плоскости Н радиуса кривизны, р для площади S простого 4-конт.ура с основным инвариантом Д справедливо равенство

S = -2р21п(-Д).

Теорема 5.5.6. ([23]) На плоскости Н площадь S эллиптического четырехугольника Саккери с основанием длгтой а и боковыми ребрами длиной h может быть вычислена по формуле

1 - tg sh *

& 2 р р

Шестая глава диссертации посвящена разбиениям плоскости Н. Построение разбиений, обладающих симмегриями, в соответствии с работами [4, 9, 14, 16, 17, 20] проводим по следующему плану.

1. Выбор ячейки разбиения.

Наличие на Н трех типов прямых значительно расширяет возможности при выборе ячейки разбиения. Описание разбиений плоскости Н начинаем с тех, все ребра ячеек которых принадлежат параболическим прямым, такие разбиения называем изотропными. В качестве ячейки разбиений принимаем исследованный в четвертой главе простой 4-контур. Моноэдральное разбиение на II, составленное простым 4-контуром, называем простым. В силу теоремы 4.1.6 для простого разбиения плоскости Н справедливо утверждение теоремы 6.1.1: простое разбиение плоскости II не является нормальным.

2. Построение аналога мозаики.

Плоскость Лобачевского бесконечным числом способов можно заполнить без пересечений и пустот равными правильными р-уголыгаками. Если угол при вершине правильного р-уголышка равен 2~/q, то каждая

пара чисел р, <7, удовлетворяющих неравенству (р — 2)(<у — 2) > 4, определяет правильную мозаику32 {р, (или правильные соты), состоящую из q правильных равных между собой р-уголыгаков, сходящихся в общей вершине и смежных по целой стороне. Правильные мозаики {р, д} эллиптической плоскости определены неравенством (р — 2)(д — 2) < 4. На евклидовой плоскости существует лишь три типа правильных мозаик ({3,6} , {4,4} , {6,3}), соответствующих равенству (р — 2)(д — 2) = 4.

Отрицательный ответ на вопрос о существовании правильных мозаик, состоящих из простых 4-контуров плоскости Я, дает теорема 4.1.6, утверждающая, что на плоскости Я не существует четырех сходящихся в общей вершине и смежных по целому ребру простых 4-контуров. Данное утверждение впервые сформулировано и доказано в работе [16].

Следуя тем не менее идее объединения ячеек разбиения в некоторую фигуру, разбивающую плоскость Я, в параграфе 6.1 строим черепицу, которую в простом разбиении плоскости Я можно считать аналогом мозаики в следующем смысле: существует простое разбиение данной фигуры, и существует разбиение плоскости Я данной фигурой [4,14,20].

Основой для построения черепицы является 3-(1)-контур, каждое его простое разбиение определяет черепицу. Меняя ячейку и способ простого разбиения 3-(1)-контура, можно получить несчетное множество черепиц на нем. Свойство конгруэнтности любых двух 3-(1)-контуров позволяет строить на плоскости Я так называемые фрактальные черепицы, которые при неограниченном числе отсечений от них некоторой части, одинаковой при всех отсечениях, остаются конгруэнтными исходной черепице. Строим бесконечные серии фрактальных черепиц. В и. 6.1.3 подробно исследуем фрактальные ленточные черепицы. Доказаны теоремы.

Теорема 6.1.2. ([4,14]) На плоскости Н существует ленточная черепица р, определенная парой натуральных чисел (т, п).

Теорема 6.1.3. ([4,14]) При неограниченном вложении ленточной черепицы НЛ<Ь с кодом (т, п) и несобственной точкой К внутрь себя ее вершина Я перемещается по эллиптическому циклу при тф п, и по прямой ПК при т = п.

3. Построение объекта плоскости Н, обладающего симметрией а порождающего на Н простое разбиение.

В параграфе 6.2 по результатам работ [4,14,16] строим и исследуем правильный п-контур плоскости Я, несобственные точки сторон которого правильно расположены на абсолюте, и существует несобственная для Я точка, поворотом вокруг которой на кратный 2тг/п угол указанные

32 Коксетер Г. С. М., Мозер У.О.Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. М., 1980. С. 80.

точки могут быть попарно совмещены. Описываем особенности строения правильного ?г-контура при нечетных и четных значениях п.

Теорема 6.2.1. Вершина порядка т правильного п-контура принадлежит базе контура тогда и только тогда, когда т, = п/2.

Доказываем теоремы об инвариантах правильного п-контура.

Теорема 6.2.2. На плоскости Н радиуса кривизны р радиус гт гиперцикла ит порядка т правильного п-контура определен равенством

ch2^ = -ctg2^.

Теорема 6.2.3. Инвариант Ар правильного п-контура однозначно определен парой чисел (р, п):

cos ife+Dl _ cos A = _И_ZL

2sin2^ '

n

В параграфе 6.3 доказываем основные теоремы о существовании простого черепичного или почти черепичного разбиения плоскости Н, порожденного правильным тг-контуром нечетной или соответственно четной размерности.

Теорема 6.3.1. Правильный п-контур нечетной размерности порождает на плоскости II черепичное разбиение.

Теорема 6.3.2. Правильный п-коитур четной размерности порождает на Н почти черепичное разбиение с инвариантом ячейки

Д° = - cos2 -.

п

В силу инвариантности правильного п-контура при сдвиге на расстояние 2я"р/п вдоль определенной эллиптической прямой, базы контура, относительно данного сдвига инвариантно и порожденное п-контуром простое разбиение.

Для построения простых разбиений, инвариантных при сдвиге вдоль гиперболической (параболической) прямой, в параграфе 6.4 (6.6) вводим особого вида ломаные со звеньями на изотропных прямых — правильные изотропные h-ломаные (орициклические ломаные). По результатам работ [4, 14, 17] доказываем теоремы об инвариантах введенных ломаных.

Теорема 6.4.1. На плоскости Н действительного радиуса кривизны р радиус гт гиперболического (эллиптического) цикла, (и/™) порядка т ломаной hL с углом а определен ¡мвенством

ch ^ = cth ss (cos ^ = th if) .

Теорема 6.4.3. Инвариант Др и вторичный инвариант. Ар порядка р ломаной кЬ с углом а однозначно определены парой чисел (р, а):

(1 - еа(Р+2)) (1 - е°Р) ___(1 + ес,р)2

р~ (1 _ е«(Р+1))2 ' р~ (1 + е^-1)) (1 + е^«))'

Базовый инвариант До однозначно определен величиной а:

9

До = -

1 + сЬ а'

Теорема 6.6.1. Основной инвариант Дт составляющего порядка тп 4-контура Р™ и основной инвариант Д„ базового 4-контура <3£ порядка п о-ломаной однозначно определены порядком 4-коптура:

_ тп(т + 2) д- п

"т —--;; : гг^-, —

(т + 1)2' п + 1'

В параграфах 6.5, 6.7 доказываем теоремы 6.5.1 и 6.7.1 о существовании черепичных и почти черепичных разбиений плоскости Я, порожденных введенными ломаными. В п. 6.5.2 описываем способ разбиения плоскости Я с помощью ленточной черепицы. Разбиения плоскости Я, порожденные /¿-ломаной, орициклической ломаной и ленточной черепицей, инвариантны относительно сдвига вдоль гиперболической прямой.

4. Построение веерных разбиений плоскости Я.

Построению первых нормальных разбиений плоскости Н посвящены параграфы 6.8, 6.9, основанные на статье [9], в них построены так называемые веерные разбиения плоскости Я. Теорема 6.8.1 обеспечивает основу для построения веера — 3-(1)-контура с заданным на нем нормальным разбиением составленным простыми 4-контурами, гиперболические диагонали которых параллельны базе данного 3-(1)-контура.

Доказаны свойства разбиений исследованы их частные виды. Для построения веерных разбиений плоскости Я, инвариантных при сдвигах вдоль эллиптической, гиперболической и параболической прямой, использованы способы укладки вееров, предложенные для укладки черепиц в черепичных разбиениях плоскости Я. Доказано, что веерные разбиения, порожденные правильной гиперциклической ломаной или орициклической ломаной, являются нормальными.

Реализация данного плана, представленная частично в статьях [4, 9, 16, 17, 20] и монографии [14], является начальным этапом развития теории разбиений пространств, содержащих прямые и плоскости различных топологических типов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации представлено систематическое описание первых фактов геометрии гиперболической плоскости Н положительной кривизны, проведенное в проективной модели Кэли - Клейна.

К основным направлениям исследований относятся следующие.

1. Изучение тг-вершиштков плоскости Н. В этом направлении исследованы п-контуры размерности п = 3,4,5, правильные п-контуры произвольной размерности, для простых п-контуров каждой размерности доказан аналог теоремы Жордана. Для исследования простых 4-контуров, являющихся ячейками в простых и некоторых веерных разбиениях плоскости Н, введен основной инвариант А, с помощью которого можно метрически характеризовать 4-контур и составленные им разбиения.

В процессе диссекториальиого разбиения простого 4-контура. получены объекты, не имеющие аналогов в пространствах постоянной кривизны: деревья, ковры и простые ковры. Доказана теорема сравнения весов вершин дерева на простом 4гК0нтуре, установлено, что ветви дерева «не переплетаются». Вычислены первые примеры ковров. В дальнейшем ковры можно применять при построении различных упаковок плоскости Н.

На примере гиперболических и параболических параллелограммов в диссертации представлены методы исследования многовершинников.

Наибольший интерес в геометрии плоскости Н представляют мно-гореберники — двусторонние многовершинники. Их изучение необходимо продолжить, в том числе с целью поиска возможных ячеек разбиений данной плоскости и возможных граней многогранников в пространствах, содержащих плоскости типа Н.

2. Исследование овальных линий плоскости Н.

Проведена классификация собственных для плоскости Н овальных линий, доказано, что основные геометрические ковариангы и свойство выпуклости определяют восемь типов собственных овальных линий. Все овальные линии плоскости Н образуют пятнадцать типов. Подробно исследованы циклы как траектории точек в движениях группы С.

В дальнейшем предполагаем исследовать метрические свойства овальных линий, не являющихся циклами, изучить линии, обладающие заданными метрическими свойствами, в частности, спирали. Предложенное направление представляется актуальным, поскольку метрические свойства линий плоскости Н определяют, к примеру, метрические свойства поверхностей пространства Минковского.

3. Доказательство новых свойств преобразований фундаментальной группы (3 плоскости Н, необходимых для развития теории разбиений данной плоскости. Автором диссертации доказаны новые факты о движениях

точек по инвариантной параболической прямой в преобразованиях группы б, позволяющие найти способы укладки черепиц и вееров в разбиениях плоскости II.

В дальнейшем исследуем гомотетии и инверсии плоскости Я, например, инверсии относительно овальных линий.

4. Вычисление площадей фигур плоскости Н.

В этом направлении сформированы основные методы и получены первые формулы для вычисления площадей фигур плоскости П. Введены наиболее удобные для этой цели ортогональные системы координат. Доказана теорема о площади прямоугольного трехреберника, применяя которую, удается элементарными методами вывести формулы площадей различных фигур.

В ближайшей перспективе предполагаем выразить площадь много-реберпика (в том числе обобщенного многореберника, частично выходящего на идеальную область плоскости Я) через величины его внутренних углов, установить зависимость площади п-реберника от инвариантов описанных и вписанных в него циклов, в случае их существования.

Построенные в работе ортогональные системы координат могут быть использованы при введении ортогональных систем координат в пространствах, содержащих плоскости типа Я.

5. Построение первых разбиений плоскости Н.

Введены объекты, названные черепицами, являющиеся аналогом мозаики. Исследованы фрактальные ленточные черепицы. Доказано существование ленточной черепицы, определенной любой парой натуральных чисел (гп,, п). Вопрос о числе членов гомологического рядас кодом (гл, тг) остается открытым. Отвлекаясь от метрики плоскости Я, в «евклидовом» варианте, его можно сформулировать следующим образом: сколькими способами можно разбить прямоугольник на п прямоугольников так, чтобы стороны прямоугольников разбиения оказались параллельными сторонам исходного прямоугольника, и не существовало четырех прямоугольников разбиения, сходящихся в общей вершине и смежных попарно по целой стороне. Размеры прямоугольников не имеют значения.

Показано, что исследованные в работе правильный п-коптур, правильная изотропная Л-ломаная и орициклическая ломаная порождают на плоскости Я черепичные и (или) почти черепичные разбиения, инвариантные при сдвигах данной плоскости вдоль эллиптической, гиперболической и соответственно параболической прямой. Черепичные и почти черепичные разбиения плоскости Я, построенные в работе, являются моноэдральными, но не являются нормальными. Построенные автором и описанные в диссертации веерные разбиения плоскости II являются

нормальными, но не являются моноэдральными. В перспективе развития теории разбиений плоскости II — построение нормальных моноэдральных разбиений, поиск правильных разбиений.

Представленные в работе простые разбиения плоскости II (черепичные и почти черепичные) являются моноэдральными, но не являются правильными. Предполагаем доказать, что неправильным является каждое простое разбиение плоскости Н. Тем самым докажем, что простые разбиения дают положительный ответ на вопрос второй части восемнадцатой проблемы Гильберта33 в его постановке для плоскости Н. Вопрос Гильберта сформулирован для евклидова пространства: существуют ли такие многранники, не являющиеся фундаментальными областями группы движений, с помощью которых можно заполнить все пространство без пересечений и пробелов соответствующим укладыванием конгруэнтных экземпляров таких многогранников. Данный вопрос в постановке для плоскости Лобачевского имеет также положительный ответ. В 1991 г. B.C. Макаров в работе3,1 показал, что разбиение плоскости А2, предложенное в работе35 венгерским математиком К. Берёцким, нельзя превратить в правильное перекладыванием его ячеек.

Интересными, по мнению автора, являются незатронутый в диссертации вопрос построения «евклидовых» моделей плоскости Н и развитие методов геометрических построений на данной плоскости.

Автор благодарен всем вступившим в дискуссию по диссертации руководителям и участникам научных семинаров за внимание к работе, полезные советы и замечания и глубоко признателен за научное общение и всестороннюю поддержку Алексею Михайловичу Турину и безвременно ушедшей Галине Васильевне Киотиной.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в рекомендованных ВАК журналах и изданиях

1. Ромакина, Л. Н. Конечные замкнутые 3(4)-контуры расширенной гиперболической плоскости / Л. Н. Ромакина // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2010. — Т. 10, вып. 3. - С. 14-26.

33 Hilbert D. Gesamclte Abhandlungeil, 1935. Vol. III. Р. 290-329; Проблемы Гильберта : сб. статей /' под ред. П. С. Александрова. М., 1969. С. 50.

34 Макаров В. С. Об одном неправильном разбиении n-мерного пространства Лобачевского конгруэнтными многогранниками. Дискретная геометрия и топология. Tjj. МИАН СССР. Т. 196. М., 1991. С. 93-90.

35 Boroczky К. Gombkitoltesek allando gorbuletu terekben. Mat. lapok, 1974. Vol. 25. P. 265-306.

2. Ромакипа, Л. Н. Конечные замкнутые 5-контуры расширенной гиперболической плоскости / Л. Н. Ромакипа // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика, Механика. Информатика. - 2011. - Т. 11, вып. 1. - С. 38-49.

3. Ромакипа, Л. Н. Овальные линии гиперболической плоскости положительной кривизны / Л. Н. Ромакипа // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. —

2012. - Т. 12, вып. 3. - С. 37-44.

4. Ромакипа, Л.Н. Простые разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны / Л. Н. Ромакипа // Математический сборник. - 2012. - Т. 203, № 9. - С. 83-116.

5. Ромакипа, Л.Н. Аналоги формулы Лобачевского для угла параллельности па гиперболической плоскости положительной кривизны / Л.Н. Ромакипа // Сибирские электроные математические известия. —

2013. - Т. 10. - С. 393-407.

6. Ромакипа, Л. Н. Теорема о площади прямоугольного трехреберни-ка гиперболической плоскости положительной кривизны / Л.Н. Ромакипа // Дальневосточный математический журнал. — 2013. — Т. 13, № 1. — С. 127-147.

7. Ромакипа, Л. Н. Циклы гиперболической плоскости положительной кривизны / Л.Н. Ромакипа //' Геометрия и топология, 12 / под ред. А. В. Малюгина, Н. Ю. Нецветаева : Записки научных семинаров ПОМИ. - 2013. - Т. 415. СПб. : Изд-во ПОМИ. - С. 137-162.

8. Ромакина, Л.Н. Длина хорды гиперцикла гиперболической плоскости положительной кривизны / Л.Н. Ромакипа // Сибирский математический журнал. - 2013. - Т. 54, № 5. - С. 1115-1127.

9. Ромакина, Л. Н. Веерные триангуляции гиперболической плоскости положительной кривизны / Л.Н. Ромакина // Математические труды. - 2013. - Т. 16, № 2. - С. 142-168.

10. Ромакина, Л. Н. Гиперболические параллелограммы гиперболической плоскости положительной кривизны / Л.Н. Ромакина // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2013. - Т. 13, вып. 3. - С. 43-52.

11. Ромакина, Л.Н. Параболические параллелограммы гиперболической плоскости положительной кривизны / Л. Н. Ромакина // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2014. - Т. 14, вып. 1. - С. 20-28.

12. Ромакина, Л. Н. Ковры на простых 4-контура.х гиперболической плоскости положительной кривизны / Л. Н. Ромакина // Дискретная математика. - 2014. — Т. 26, вып. 1. - С. 118-132.

Монографии

13. Ромакина, Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 1 : Тригонометрия / Л.Н. Ромакина. — Саратов : Изд-во Саратовского университета, 2013. — 244 с.

14. Ромакина, Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Ч. 2 : Преобразования и простые разбиения / Л. Н. Ромакина. — Саратов : Изд-во Саратовского университета, 2013. —

Труды конференций

15. Ромакина, Л.Н. Определение лучей, отрезков и квазиотрезков различного типа прямых при построении классических неевклидовых геометрий на моделях Кэли-Клейна / Л.Н. Ромакина // Проблемы теории и практики обучения математике : сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «63 Герценовекие чтения» / под ред. В. В. Орлова. СПб. : Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена. - 2009. -С. 103-109.

16. Ромакина, Л. Н. Разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны, порожденные правильным /г-контуром / Л. Н. Ромакина // Теория относительности, гравитация и геометрия : Международная конференция «Petrov 2010 Anniversary Sympozinm on General Relativity and Gravitation» : тр. Казань, 1-6 ноября 2010 г. Казань : Казанский университет. - 2010. - С. 227-232.

17. Ромакина, Л. Н. Простые разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны, порожденные /г-ломаной / Л. Н. Ромакина // Современные проблемы математики и механики. М. : Изд-во Московского университета. — 2011. — T. VI. Математика. Вып. 3. — С. 131-138.

18. Ромакина, Л.Н. Инвариант группы симметрий эквидистанты расширенной гиперболической плоскости / Л. Н. Ромакина /'/ Математика. Механика : сборник научных трудов. Саратов : Изд-во Саратовского университета. - 2009. - Вып. 11. — С. 58-60.

19. Ромакина, Л.Н. Измерение отрезков неизотронных прямых ко-евклидовой плоскости / Л. Н. Ромакина // Учитель — ученик : проблемы, поиски, находки : сборник научно-методических трудов Саратов : ИЦ «Наука». - 2009. - Вып. 7. - С. 75-82.

20. Ромакина, Л. Н. Аналог мозаики на гиперболической плоскости положительной кривизны / Л. Н. Ромакина // Математика. Механика : сборник научных трудов Саратов : Изд-во Саратовского университета. — 2010. - Вып. 12. - С. 69-72.

274 с.

Прочее

21. Ромакйна, Л. Н. К вопросу изложения гиперболической геометр рии в рамках дисциплины специализации / Л. Н. Ромакйна // Учитель — ученик : проблемы, поиски, находки : сборник научно-методических трудов Саратов : ИЦ «Наука». — 2010. — Вып. 8. — С. 52-60.

22. Ромакйна, Л.Н. Гиперболические ортрисы гиперболической плоскости положительной кривизны / Л.Н. Ромакйна // Математика. Механика : сборник научных трудов Саратов : Изд-во Саратовского университета. - 2012. - Выи. 14. - С. 62-66.

23. Ромакйна, Л.Н. О площади эллиптического четырехугольника Саккери на гиперболической плоскости положительной кривизны / Л. Н. Ромакйна // Математика. Механика : сборник научных трудов Саратов : Изд-во Саратовского университета. — 2013. — Вып. 15. — С. 65-69.

24. Ромакйна, Л.Н. Об одном метрическом свойстве овальных линий гиперболических плоскостей / Л.Н. Ромакйна, М.А. Бондарева // Математика. Механика : сборник научных трудов Саратов : Изд-во Саратовского университета. — 2013. — Вып. 15. — С. 69-72.

Ромакйна Людмила Николаевна

ГЕОМЕТРИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 22.09.2014 Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 2. Тираж 100. Заказ 50.

Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.