Выпуклые гиперповерхности с заданной условной кривизной в гиперболическом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ЕгВОЭЭ'Г-

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДБНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ СО АН СССР

На правах рукописи УДК 514.77

ЩЕРБАКОВ Акатслий Александрович

ВЫПУШК ПШЕИТОЕРРХНОСТИ С ЗАДАННОЙ услоаюя КРИШЗНОЙ В П1ГШРБ01ИЧЕС1ФМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.04 - геометрия и топологая

Автореферат

диссертации на. соиекаше ученой степени кандидата физико-мдтзматичэоких наук

Новосибирск - 1991

Работа выполнена на кафедр*» геометрии Ленинградского государственного педагогического института им.А.И.Герцена.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор А.Л.Вернер

Официальной оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор О.Ф.Борисов

кандидат фиэико математических наук, доцент В.В.Славсний

Ведущее учреждение

- Физико-технический институт низких температур АН Украинской ССР

Защита диссертации состоимся

1991 г.

часов на заседания специализированного совета

К 002.23.02 по присузздению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО АН СССР (630090, Новоеибирск-90, Университетский проспект, 4).

С диссертацией кояно ознакомиться в библиотеке:'' Института математики СО ЛИ СССР,

Автореферат разослан

1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета. / ' кандидат физико-математических / наук, доцент

В.В.Иваяов

а

ОБЩАЯ Х^РЛ;СГКРИСТЯКА'Р,Ж)1Ы

; ^ Л:ОУА5ЬНОСТЬ TFMi И UEwlb РШШ. дтесертащи при-

надлежи? к крупному разделу ccapcvflKF.oîi. дч'Иеденцкэя¿-ной геометрии "в цел/ч", ч» котором реяакотс* прй&геан сукестиова-. нян и единственности поверхности с заданным гсомАтунческими

В начале сороковых годов Л.Д.А^ексацдройьм бмлк рассмотрена задача восстановления выпуклой поверхности над сферой по сооей анеиней кривизне, .перенесенной на эту сферу. Аналитически данкрл задача" сводится к уравнения Мояжа-Avnepb . оямтгимзйхЬго , Чтиц ^ббрадсч, .р^еиве-дагллдиой гв<*- ••• vevpn'tccKo!î задачи позволяет пелувдт решемче достаточно слоянего •

значительной степени объясняет чктррее, который та ."шмяала. у геометров. Основной вклад ß ее реиепие внесет А:Л*Avrèirсан--', дров" fi] Д.Б.Погорег.ся f'J я [2] . В

наиболее обвэ«« виде задач« рьссмогрпна in работе ['«] , гда. она решена а шогомерноч; проС'ф&кетв* Дт условней Уфияиачы;-':

: i .Л . Зернсром задача■ росстансвлснкк наперхно^та пс со псренесоийей внсоней 'крив??»»« ^.ш;рв<йо<йрранб«?..'й31-. гетшрбс- •

№«3cküö проатранстио ; [?J ,. fcj . Однако ед»;нет«№ностъ поверхности с заданной перенеаекной на;сф^у«' плоскость .-«.".и

Й . А .Д. Александров, :Д,чН

Ш. А.^по.гореяои, дмуссср,; >

ХЗД . •И.'Й,Ба»(вяь»№«.. rervHvp'^îecKhe мегод» эл'жпти- ■

"..•■ уравнений / ~ .M.:у.";

[4J. А.Ь.Ппгсрслоз. !&fom«ep№^.-yp/№KCTii!R-Мдшва-Ам^ер«.; 'У«.: Наука, ,ÎS8G.:; v,'-'/". -М^УУ^-У ^7:/.У'Чч \; .Л'

T.2I8,

IÏ9-Ï2Ê; ;-_/. ; - У *У У^^УуУУл:У Уу' УУ- - - ' {d. A.J!.:Bef)»iëp.''M^^i'yaal'-f^^i^ 'iâCsù-y:'.:

орисферу внешней кривлЕН^й была доказана только для поверхности с конечной-внешней кривизной.

Авторов установлена единственность поверхности с бесконечной шеаней кривизной, но при условии ограниченности области проекщи поверхности (в частности, сюда входят все поверхности , восстанавливаемые над сферой). Причем единственность поверхности была доказана по произвольней перенесенной симметрической функции глазных ¡грязи зн. Однако при доказательстве этого факта существенно использовалась регулярность восстанавливаемой поверхности.

В настоящей работе вводится понятие условной кризизнк произвольной (не обязательно регулярной) гиперповерхности а гиперболическом пространстве, рассматривается задачи существования я единственности гиперповерхности с заданной перенесенной условной кривизной.

НАУЧНАЯ Н0Е13ЫА. ¡3 работе впервые определена условная кривизна гиперпоиерхноети а гиперболическом пространстве, доказаны -теоремы существования и единственности гиперповерхности с заданной условной криаизней, перенесенной на гиперплоскость, гиперсферу или гяперорисферу, получено дифференциальное уравнение, сущестгзовиие и единственность решения которого следует из существования и единственности гиперповерхности .

МЕТОДЫ ИССЯЩОВ/ШЯ. Теорема существования доказывается сначала для бесконечных полных поверхностей с коночным числом веряин экстремальным методом, разработанным А.В.Пого-релозь./. Произвольн-л поверхность находится как предел поверхностей с конечным числом вергаин. Основным этапом доказательства теоремьт единственности является построение преобразования гиперболического пространства, монотонко изменяющего условную кривизну гиперповерхностей (в некотором смысле аналог гомотетии евклидова пространства).

АПРОБАЦИИ РАБОТЦ. Результаты диссертации докладывались на геометрическом семинаре кафедры геометрии ЛГПИ им.А.И.Герцена (1938-69 гг.), на Герценовских чтениях (Петрозаводск,

1959 г.), на семинаре по симановоГ« геометрии ИМ СО АН СССР (руководитель проф. В.А.Топоногов, 1929 г.), на Республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике (Алмп-Лт'а, Т9Ш г.), на Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 19ЙЭ г.), на семинаре кафедры дифференциалы,ой геометрии НГУ (Новосибирск, 1990г.,).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертация опубликованы в семи работах, список которых приведен в конце автореферате.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДОСГРТАЩИ. Лиссертация содеркят 70 страниц машинописного текста. Она состоит из введения и восьми параграфов. Имеется семь рисунков. В списке литературы 5:8 наименований. . -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ

Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем перечислены используемые форсу та тригонометрии Лобачевского и вкнесенм решения двух громоздких вычислительных задач.

Во втором параграфе описан класс \х/ поверхностей, в рато.ак которого и решается задача сутябЬтвования и единственности. Помимо вьтугслосги от поверхностей требуется ограниченность их области проекции на поверхность 2Г. , на которую они, однозначно про .(тируютсн .(плоскость, сферу илиорк-сферу). В случае, когда ^ - /плоскость, дополнительно предполагается, что рассматриваемые поверхности лежат по одну сторону от 27 . Эти требования существенно используются как при определении условной кривизны, так и при доказательство теоремы единственности.:Тем не менее ответим, что если гиперповерхность ? однозначно проектируется на некоторую гиперплоскость 27 , то всегда найдется; гиперплоскость X?' , по.отношению к кртороя.гйпбрпов'^етость;/"?/ тгринадлеяяг : рассматриваемому классу \х/ . В случае, когда ¿Г - сфера, условие ограниченности области' проекции , естествен-

но, всегда выполняете я.', •; ^'' ■

В § 3 зводчтея поняло' -ерчэльиого отображения гиперпо-

верхноетсЯ гиперболического пространства. 3 первом пункте параграфа дано определение нормального отображения и перечислены егг> оенсанае свойства.

I'yc r-ь гаперллоскость'. .JT & W . Следом ' jf на Z назсвям точку га £ > принадлежащую общему перпендикуляру

jf и «С . Нормальным изобраяетем множества h с Т таоиек г'нохестээ vitf) - множество следов всех гиперплоскостей, яв^коткся спорными гиперплоскости?« к в точках множества М .

Докляквазгся, что так же, как и сфйркчеекое изображение, норуальное иэоСрздениэ обладает следтаими свойствами.

I. Нормальное изс-браязние замкцуюго множества является зауинутш иножеитаом. '

- Нормальное иосбрахение борелезского множества явля-

емся борелвяским. ;;

3« Нормальное изображение точки язляатсл замкнутым вы-пуклнм множзгтвом. Нормальное изображение гладкой точки есть точна. -

4, Множество всех то^ея на 27 , для которых отображение» обратное нормальному, нэоднозначно, имеет меру нуль.

Известно, что для поверхностей евклидова пространства внеиняя кривизна К в точке равна пределу отношения площади сферического отображения к площади поверхности при стремлении последней к нуло. Второй пункт параграфа посвящен доказательству того, что предел отношения площади нормального изображения к площади поверхности У равен

L(p>

где п - функция одной переменной, конкретная для каждой поверхности .27 (плоскости, сферы или орисферы), В - функция, явно .задающая поверхность ^ над 2 » в Р - опорная функция поверхности Т , равная длине общего перпенди-. куляра Ли и плоскости, опорной к У в рассматриваемой точке.

В четвертом параграфе даяо определетг?' усцгсшсс£ гтштэ-Ны гипертоэерхности У £Г \х/ .

Пусть задана поьожмтгльная негфзръшная ^/кищя

я,-.у*) . где л*, г) -

координат« гтрсиэволмюй точил пространства, > У*) -

координатыпроизвольной течки на ]>2 . Ус лов. ой кривизной Гиперповерхности ? б и/ я гиперболическом презгранстве На множестве Не У назовем величину

5?(А/) = I ¿Е,

М

(XI,..., - точке гиперповерхности с

нормальным изображение* /Ух #..; , ¿/л) , а интегрирование Выполняется по мере нормального изображения у{М) множества И .

Условной кривизнойпшерпозерхчостм } & перенесенной на .57 . назозем функцл» множеств ^ ( М ) , которая на каядом борелевеком множестве 21 прини-

мает значение М*) * ) , где /7 с ? -

множество, проекцией которого на 22 является /1* .

Показано, что сбытая т&тяя кривизна является частным «¡лучаем условной кривизны.

При доказательстве единственности поверхности с заданной перенесенной условной кривизной в евклидовом пространстве важную роль играет преобразование подобия (в случав, когда задача решается на сфере) ;и параллельного перекоса (в случае, когда задача рассматривается на плоскости). В 5 5 определено преобразование сдвяга относительно £ , которое является аналогом казванкзх преобразований евклидова пространства. При сдоите относительно 27 не все точки пространства имеют образи. Однако пешшгко, что если гиперповерхность получена сдвигом относительно гиперповерхности ' . Т & Ь/ , то 1>/ к нормальное изобра-

конке жбого «'нокегтнэ П С. совпадаем с нормальнмм

изображ отояества /7 ., где П с У - прообраз жожестп?. Н' прл сдвиге относительно 2 .

Вес'!'«:', параграф поспящен доказательству теореми существования.

В перром пункте теорема доказана для гиперповерхностей клаг а V/ о конечтп того» вергмн..-

ТЕОРг'МЛ I. Густь £2 ■ - плоскость или орисфера и.функ-. г;чя 2) . издающая условную кривизну, удовлетво-

ряет уолоьип I*, 2, У) *■ °° при 2 —*-»<*» .

Тогда над лио'оЯ -ограниченной областью С* с 2 суаеатэует гиперповерхность власса о хрнемяак числом вер<кн, кг'торп-а проектпруютея я-заданные точки • Л» & ■ , к услозмуэ крнвязни в которых - равны'задонкнм полсжителышл! числам ¿1.1 ■ .

лгкааатегьствс. зте^ теорвмы'основано на экстремальном метола, разработачно?' »ЧЕ.Погорелбвым.

' П,?«тсае, когда , - сфера, на числа накладыва-

ется е.\\\ч гдио условие. _ ■ . е ' ' - •

Во второе пункта-доказана'теорема компактности, которая утвяряяает, что .если"функция' & , удовлетворяет условию

9 ' в"л* —» *■ о° при, г —♦ ч то л»бсе семейство . гиперповерхностей класса , заданных над & с ¿ЕГ и итяь» конечные условные кр -визны Н) , перене-

сенные на , ограничено над лвбьш множеством ' ¡1 С-6 , таким, что // с. . .

В пункте 3 теорема существования доказана для произвольной поверхности класса IV' . Т.«3?Е!,!А 4. Пусть . Ц ■

является гиперплоскостью или гиперормаферой и положительная непрерывная функция " , ./ задающая условную кривизну/удовлетворяет .условию

Пусть .функция ¿А ( М) задана т.-бореяевсккх множествах некоторой ограниченной области ' ¿с 2 и удовлетворяет условиям:

ь;

1) ' ' неотрицательна и вполне адситивна;

2) И) конечна для любого борелевсклгг

М с & , если N с С

Тогда существует гиперповерхность ? 6 У . имеющая своей проекцией на едожество С» , для которой функция У1 Ш) является перенесенной на условной кривизной. .

В случае, когда .27 - гиперсфера накладывается еще одно дополнительное условие на функции ^ .

При доказательстве существования поверхности по гг перенесенной условной кривизне в евклидовом пространстве от функция в требовалось только стремление у со при

2 -* о° . В,четвертом пункте приведен пример, показывающий» что более жесткие условия, наложенше та функции & в гиперболическом пространстве, необходимы. А именно, предъявлены функция при 2 -* *■ ье , где О < а < 4 , и поверхность IX/ , учлозная кривизна которой , перенесенная, на ТЕГ , удовлетворяет условиям теоремы 4. Таким образом, невнясненнм остался ливь случай, когда 9*0 при 2 -» со .

3 5 7 доказана теорема единственности.

ТЕОРЕМА б. Если, функция & I х. У) . определимая условную кривизну, строго возрастает по .¿Г , то поверхности класса I*/ однозначно определяются своими функциями условных кривизн, перенесенными на

Доказательство теоремы спирается на введенное в пятом параграфе преобразование гиперболического пространства.

В заключительном восьмом параграфе выведено дифференциальное уравнение, существование и единственность решения которого следует из теорем существования и единственности гиперповерхности.

Автор внраткает ксхректэя благодарность А.Л.Вернеру за постановку задачи и постоянное внимание к данной работе.

Рабоп; p.Evopa но теме диссертации

1, Щербаков A.A. Аналога -преобразований подобия в ри^ачовых пространствах.' Деп. s ЖН'лТК. П.О'З.Ш, tf 305&-В39.

1. ¡Дэрбаког- А,.\. Рдчнствснность выпуклых поверхностей в каазигия6рб.ол*ч«;ских пространств** с заданной. перенесен-"-но« - си?.*ме?рйчссксй функцией гл^сннх кривизн.Деп. в ЬЖТИ. . 20. С£'. У'4 0GCUB0&.Л.'• •■ ;'-.'.-' "

3. Щербаков А.А.: /калопт-ареобрайс^аниИ подобия в Heenkta-jobüx пространств«'» /У Л'еа.' дикл. Республиканской межвузовской кокфер^н^'И адтемнтг^з и механи-

■ ■ ке. - ЗЯСО;- г« С.17?. -

Дербакпа Л. 1^р.4обрйрооа№.я подобия гиперболического г ' . лровтры;вт*з // Тбэ. докв^ Сс-Я,фу/глинсккх;чтений. - Целиноград, 4-С ок?»бря г.. С Л??. : ; - -

5. П5ербакг,& А.А. !даж:тйе>мость; выпуклых. почврхксстеЯС "... заданной перенесенной счмуетрнч^скср. фушадей глав>!ых криэкзч з. яо(ЮТорг«;.ря1.»иовых. пространствах неположительной крииизчк!.// 'докл.' Зсбссюс-ной конференции логео-матрйи к'.анализу; г. -

С.09. ' •"••'>• '""vV.-'-vлi".

6. Щербаков. А. к.: Шиусте-;гйпфпо£йр.^о'чти.-с- заданной условно:'? КрЦИЙОНОЙ-» 1Ш6рбо}ЛЧй0КС»:Г1рОС,1йаНСЗ'П9. ;

■ 5*НМ™. ^.ил^, 7I-53-ÜÄ. - ' '. . • '■•' '•■:■..'■

7. Щлрбалса_ A.A., '^жастчбванкЦк/^не'ГВВ^да/зсть гиперповерхности, с :-ад«1Кной услсвчо^.крКБИпнсй с. -.«ербстачееко« прос*тнетае. •//' ia.c'. • дохii.' ;;Йгёсовэко:£ ссяецйни.чмоладьпс, учпч»ч.< дч^ере^уилльной: геометрии, .-п^вяченнсго *0-ти лемю Ь.Ь.^фкмоак.--- .Дбрау-Люосо, Ii? сентября.- б.лйтября ГЛО г. - С. УЛ ■ . ''V';;';