Дифференциальное неравенство для функции обхвата трубок заданной средней кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

^РАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ V

•С*

На правах рукописи УДК 517.9

ЛОСЕВА НАТАЛИЯ ВЛАДИМИРОВНА

Шг

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ФУНКЦИИ ОБХВАТА ТРУБОК ЗАДАННОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ

01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функции Волгоградского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Миклюков

Официальные оппоненты - доктор фноико-матоматических наук,

профессор В.Г.Шсретов, кандидат физико-математических наук В.А.Белоусов

Ведущая организация - Институт математики СО РАН

Защита состоится 1997 г. в час. на заседа-

нии Диссертационного Совета К 063.74.04 в Саратовском государственном университете (410071, Саратов, Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан '^ЩЗгЛ997 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических

наук доцент П.Ф.Недорезов

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основным объектом изучения в работе служат гиперповерхности предписанной средней кривизны в евклидовом пространстве, в том числе гиперповерхности, задаваемые графиками гладких функций. Последнее обстоятельство позволяет тесно связать изучение геометрических свойств поверхностей с соответствующими аналитическими вопросами теории функций. Физической моделью поверхностей такого типа являются, в частпости, границы раздела двух или нескольких физических сред, находящихся в равновесии1.

Диссертация посвящена выводу и исследованию дифференциального неравенства для функции обхвата трубчатых гиперповерхностей заданной средней кривизны. В качестве следствий этих результатов мы получаем некоторую геометрическую информацию о строении таких поверхностей.

Поверхность М С 11"+1 называется трубчатой относительно прямой Ь, если всякая порция этой поверхности, заключенная между двумя гиперплоскостями, ортогональными прямой Ь, является компактным множеством. Если проекция поверхности М на прямую Ь совпадает со всей прямой, то М называют трубчатой в целом2.

Ладим определение функции обхвата р(£) трубчатой гиперповерхности .Г С 11п+1.

Пусть % — (г>0> х € КЛ - точка из Обозначим через Е{т)

1 Лао Чонг Тхи, Фоменко Л.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. - М.:Яаука ■ 1987 г. - 312 с.

2Ведепяпин А.Д., Миклкжов В.М. Внешние размеры трубчатых минимальных гиперпо-верхпостей//Мат. сб. - 1986 - т.Ш - N2 - с.240-250.

сечение поверхности F гиперплоскостью t = г, то есть множество

ß(r) = {A- = (x>OeRB+,:A:eF1< = r}.

Пусть (а,/3)— максимальный из интервалов на прямой И такой, что Ут £ («,/?) множество Е(т) ф 0. Положим

Начало изучению различных классов минимальных трубок в Л3 (то есть трубок, средняя кривизна которых тождественно равна нулю) было положено в работах М.Шиффмана3 и И.С.С.Ниче4. В многомерном случае минимальные трубки произвольной коразмерности

Известно, что всякая трубчатая в целом минимальная поверхность в R3, являющаяся поверхностью вращения, есть катеноид. Оказывается2, что в отличие от классического случая проекция многомерного катеноида на ось вращения в R"+1 при тг > 3 есть ограниченное множество. Тем же свойством обладают при п > 3 произвольные трубчатые поверхности нулевой средней кривизны.

В связи с этим возникает вопрос о протяженности вдоль прямой L трубок, имеющих заданную среднюю кривизну.

С.Н.Бернштейном6 было показано, что в случае когда поверхность имеет постоянную среднюю кривизну Н > 0, она не может лежать над

3ShifTman М. On surfaces of stationary arca bounded by two circles, or convex curves, in parallel planes// Ann. of Math. - 1056 - v.63 - p.77-90.

4Nitsche J.C.C. A uniqueness theorem of Bernstein, s-type for minimal surfaces in cylindrical coordinates// J. Math. Mech. - 1957 - v.6 - p.859-864.

5Миклюков U.M. О нскотрых свойствах трубчатых минимальных поверхностей в R" //ДАН СССР - 1979. - т.247, N 3 - с.549-552.

6Бернштейн C.II. О поверхностях, определяемых посредством их средней или полной кривизпы//СоГ>р. соч.- т.З. - М.: Изд-во АИ СССР - 19G0. - с.122-140.

1/2

введены в рассмотрение В.М.Мгаслюковым5.

областью, содержащей внутри себя замкнутый круг радиуса jj. Некоторые обобщения последнего утверждения имеются у Дж.Серрина и Г.Ф.Вайнбергера7. В частности, ими показано, что если поверхность в R3, определенная над множеством D, обладает свойством ¿2 > к (¿2— одна из главных кривизн поверхности), то D не может содержать замкнутый круг радиуса

Р.Финн8 показал, что если поверхность, средняя кривизна которой больше или равна Н, определена над открытым кругом радиуса jj, то она необходимо является полусферой.

Заслуживает внимания вопрос об области задания поверхности, средняя кривизна которой непостоянна. Некоторые оценки на функцию средней кривизны непараметрических поверхностей и множество в R", над которым они заданы, приведены В.Г.Ткачевым9.

По проблематике настоящая работа относится к очерченному направлению.

Цель работы - дальнейшее исследование строения в целом поверхностей предписанной средней кривизны в евклидовом пространстве, а именно, вывод и исследование решений дифференциального неравенства для функции обхвата трубчатых гиперповерхностей.

Методика исследования. В работе применяется техника, связанная

с изучением решений некоторого нелинейного дифференциального

-2

неравенства в пространстве /ос. Используются другие теоретико-

7Серрин Дж., Вайнбергер Г.Ф. Неравенства на кривизну поверхностей, заданных над кругом// Некоторые проблемы маг. и мех., Ленинград, 1970 г. - Л.гНаука - 1970 г.-с.242-251.

8Finn R. Remarks relevant to minimal surfaces and to surface of constant mean curvature// J. d'Anal.Math. - 1965, 14 - p.139-160.'

9Ткачев В.Г. Некоторые оценки средней кривизны графиков над областями в R" //ДАН СССР - 1990. - т. 314, N 1 - с.140-143.

функциональные и дифференциально-геометрические методы.

Научная новизна. Следующие результаты диссертации являются новыми.

1. Установлено дифференциальное неравенство для функций обхвата трубчатых гиперповерхностей заданной средней кривизны.

2. Получена оценка протяженности трубчатой гиперповерхности заданной средней кривизны вдоль своей оси. Найдены условия на функцию средней кривизны трубки, заданной в II3, при выполнении которых длина проекции поверхности на ось 01 ограничена.

3. Приведены условия, при которых гиперповерхность предписанной средней кривизны задана либо над неограниченной областью, либо над областью, лежащей в некотором шаре.

4. Дана оценка ширины слоя между двумя компактами, на которые натянута гиперповерхность заданной средней кривизны.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международном конгрессе женщин-математиков (г.Пущино, 1994 г.), на III Международной конференции женщин-математиков (г.Воронеж, 1995 г.), на IV Международной конференции женщин-математиков (г.Волгоград, 1996 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного университета (1991-1996 гг.). Все результаты подробно докладывались на семинаре по нелинейному анализу Волгоградского государственного университета.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [1]-[7].

Содержание диссертации. В первой главе излагаются необходи-

мые понятия, определения и вспомогательные утверждения.

Во второй главе изучаются трубчатые гиперповерхности в Rn+1 заданной средней кривизны. Их исследование проводится с помощью описания свойств функции обхвата p(t) данной поверхности, удовлетворяющей некоторому нелинейному дифференциальному неравенству.

В теореме 4.1 показано, что функция обхвата р(т) гиперповерхности знакопостоянной средней кривизны выпукла вниз и, тем самым,

_2

принадлежит классу Wj;ос(а, /3), т.е. имеет обобщенную производную второго порядка, являющуюся мерой10.

Основным результатом работы является следующее дифференциальное неравенство для функции обхвата трубчатой поверхности F.

Теорема 4.1. Пусть F - гиперповерхность трубчатого типа в R"+1 с проекцией (а, /3) на ось Ot. Предположим, что в каждой точке х 6 F средняя кривизна F есть функция Н(х) > 0. Тогда функция обхвата p(t) поверхности F выпукла вниз на (ct,{3) и почти всюду на (а,/3) удовлетворяет дифференциальному неравенству

П 1 > nHa(p(t),t),

(1 + pP(t))W p(f)(HV2«)1/2

где

Ho(r,t) = min H(x,t).

\z\=r

Аналогичное неравенство известно для гиперповерхностей нулевой средней кривизны2. Лля минимальных трубок произвольной ко-

10Гольдштейп В.М., Решетник Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными произ-

водпыми и квазиконформные отображения. - М.:11аука - 1983 - 284 с.

размерности оно получено сначала В.М.Миклюковым и В.Г.Ткачевым11, затем в уточненной форме - В.А.Клячиным12. Подобное неравенство для гиперповерхностей постоянной средней кривизны было установлено М.В.Приваловым13.

Величину

«£(а,/3)

назовем наименьшим радиусом обхвата поверхности Л

С использованием теоремы 4.1 доказывается

Теорема 5.1. Пусть трубчатая гиперповерхность Р С И"+1 имеет в каждой почке х € Р среднюю кривизну Н{х) > 0. Тогда наименьший радиус обхвата поверхности Р ро > 0.

Для формулировки следующей теоремы необходимо ввести в рассмотрение функцию

t

*»(*) = ¡^ -1)-1/2^, 1

которая монотонно возрастает и выпукла вверх на [1,+оо). Обозначим через

4>п = Фп(оо).

Нетрудно проверить, что 1р2 — +оо, а при п > 2

"Миклюков В.М., Ткачев В.Г. Некоторые свойства трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности//Ма.темат.сб.- 1989.- т.180,N9.- с.1278-1295.

,2Клячин Е. А. Оценка протяженности трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности// Сиб. мат. журнал • 1992 - т.33, N 5 - с.201-205.

13 Привалов М.В. Некоторые свойства функции обхвата трубчатой гиперповерхности постоянной средней кривизны//Тез. докл. VI науч. конф./Волградский гос. университет. -Волгоград, 1989. - с.04.

Vn = ¡{s^-iy^ds

OO

Обратная функция Ф„ = Ф"1 определена всюду на [0, </?„), выпукла вниз и Фп(>п) = оо. Поверхность, образованная вращением графика функции Ф„(£) вокруг оси Ot, есть многомерный аналог катеноида2.

Имеет место

Теорема 5.2. Пусть F С Rn+1 - гиперповерхность трубчатого типа неотрицательной средней кривизны. Пусть ро - наименьший радиус обхвата F и пусть = p(to). Тогда

Для минимальных поверхностей это неравенство было известно

Как отмечалось выше, особого внимания заслуживает вопрос о множестве, над которым определена поверхность, или о множестве, в котором находится проекция поверхности на некоторую гиперплоскость. В следующей теореме указаны условия на функцию средней кривизны, при выполнении которых поверхность будет находится внутри некоторого шара, то есть ее проекция на гиперплоскость t — О будет ограничена.

Теорема 6.1. Пусть Р С И""1"1 - гиперповерхность трубчатого типа со средней кривизной Н(х, > 0, и ра = р(0) - ее наименьший радиус обхвата. Предположим, что для некоторой непрерывной на (ро,+°о) функции Н\(г) выполнено

0<#i(M)< H(x,t)

(1)

и

R

J Hi{r)rn~ldr >

n

где Д - некоторая постоянная, то проекция поверхности Р на гиперплоскость 1 = 0 содержится внутри шара радиуса Я с центром в нуле.

Если же для некоторой положительной, непрерывной функции Н{г) выполнено

то существует трубчатая гиперповерхность вращения, имеющая

среднюю кривизну H(x,t) = i/(|:c|), проекция которой на гиперплоскость t = 0 не ограничена.

Для поверхностей постоянной средней кривизны величина постоянной Л из теоремы 6.1 может быть конкретизирована.

Следствие 6.1. Пусть F С Rn+1 - гиперповерхность трубчатого типа со средней кривизной Н(х) = h = const > 0, и ро — р{0) - ее наименьший радиус обхвата. Тогда проекция F на гиперплоскость t = 0 содержится в шаре B(R) = {х € R" : |х| < Л}, где

Одной из важнейших характеристик внешнегеометрического строения поверхности является ее протяженность вдоль оси 01. Оценка длины проекции рассматриваемой поверхности на ось 0£ дается следующей теоремой.

Теорема 7.1. Пусть Р - гиперповерхность в п > 3, трубчато-

го типа со средней кривизной Н(х) > 0, и ро = о) - ее наименьший радиус обхвата. Тогда для длины проекции Р на ось 0£ выполнено неравенство

/3~а< 2р01рп.

При этом если функция Но{\х\,£) неубывает по |ж| на (0,+оо) при всяком t €Е (а,/3), то знак равенства имеет место в том и только том случае, когда Р есть минимальная трубка, полученная посредством вращения графика функции

вокруг оси 01.

В частности, здесь показано, что в И""1"1 длина проекции поверхности положительной средней кривизны на ось Ot конечна при п > 3.

Для конечности длины проекции поверхности, заданной в И3, необходимы дополнительные условия на среднюю кривизну, что и устанавливается в формулируемой ниже теореме 7.2. Введем в рассмотрение функцию

Яп(р,йо) = /г-^ВДА-,

ро

где Н\(г) некоторая непрерывная неотрицательная функция. Заметим, что тогда в силу неотрицательности функции Яп(р-,Ро) > 0. Имеет место

Теорема 7.2. Пусть Р С Л3 - трубчатая гиперповерхность, средняя кривизна которой есть функция Н(х) > 0, и рц - ее наименьший радиус обхвата. Если, существует непрерывная на (р0,+оо) функция Н1(£),

для которой выполнено условие (1) и при р —+ +оо

р

"НЛгЫг =

Q2(P,P0) = j гHi(r)dr = ^+o(p-k),

Ро

где к > 0, тогда тогда протяженность трубки вдоль оси Ot конечна.

Рассмотрим два (п — 1)— мерных компакта Г„ и Г^ в Rn+1. Обозначим

Ра = max |х| рр= max \х\.

(z,t)tTa

Предположим, что компакты Га и лежат соответственно в гиперплоскостях i = а и i = ^ с расстоянием h = fi — а > О между ними.

Известно2, что если на компакты Га и Г^ натянута вложенная минимальная поверхность, то расстояние между компактами не может превышать некоторой величины, зависящей лишь от величин ра, рр и размерности поверхности п. В теореме 7.3 дана оценка ширины слоя между компактами Г„ и Гр, на которые натянута гиперповерхность заданной средней кривизны. Близкие по содержанию оценки для минимальных трубок и для трубок малой средней кривизны были получены У.Дирксом14, И.С.С.Ниче15, Р.Оссерманом и М.Шиффером10,

14Dierkes U. Maxiraum principles and nonexistence results for minimal submanifolds // Manuscr.Math. - 1990 - v.69 - p.203-218.

15Ниче И.С.С. О новых результатах в теории минимальных поверхностей// Сб. переводов "Математика" - 1967- т.11, вып.З - с.37-100.

16Osserman R., Schiffer M. Double connected minimal surfaces // Arc.Rat.Mech. and Anal. - 1975 - v.58 N4 - p.285-306.

С.Хильдебрандтом17.

При Qn(p,i>o) < определим функцию

Ч ( r2(n-l) \

Fi{p,Po) = , ,,-i п ,-~ 1 dr.

/„ UPo — nQn(r, Po)) /

Теорема 7.3. Если существует трубчатая гиперповерхность средней кривизны Н(х) > Я,(|.г|) > 0 и наименьшим радиусом обхвата ро, натянутая на Г„ и Tß, то

h < Fi{pa,Po) + Fi(PßiPo)-

В частности,

h<\{n){pa + pß), (2)

где

\(п) = max -Ф„(<).

4 ' 1<Коо t "v '

Замечание. Неравенство (2) распространяет на рассматриваемый случай соответствующее неравенство2, полученное для минимальных гиперповерхностей. Это неравенство точное и достигается в случае, когда Н = 0, а Га и Tß - сферы одинакового радиуса, и поверхность является подходящим образом выбранным катеноидом.

Пользуясь случаем, приношу глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.М.Миклюкову за постоянное внимание к работе, а также В.Г.Ткачеву за полезные обсуждения.

I7Hildebrandt S. Maximum principles for minimal surfaces and for surfaces of continuous mean curvature// Math. Z. - 1972 - v.12« - p.253-2G9.

Работы автора по теме диссертации

1. Лосева Н.В. О строении трубок с переменной средней кривиз-ной//Тез. докл. XII научн. конф./ Волгоградский гос. университет. - Волгоград, 1992. - с.145.

2. Лосева Н.В. О некоторых свойствах седловых гиперповерхностей трубчатого типа//ДАН - 1994. - т.336, N4. - с.444-445.

3. Loseva N.V. The extrinsic dimensions of saddle hypcrsurfaces of tubulär type in Minkowski spacc // Труды Международного конгресса ассоциации "Женщины - математики" - 1994. - вып.2 - с.49-52.

4. Лосева Н.В. О некоторых свойствах трубчатых гиперповерхностей заданной средней кривизны // 1995. - 24с. - Рукопись представлена Волгоградским ун-том. Деп. в ВИНИТИ 23 мая 1995 г. - N 1449-В 95.

5. Лосева Н.В. О внешнем строении гиперповерхностей трубчатого типа заданной средней кривизны// Труды III Международной конференции женщин-математиков - 1995. - вып.1 - с. 119-123.

6. Лосева Н.В. Гиперповерхности предписанной средней кривизны // - Сборник трудов молодых ученых и студентов ВолГУ - 1995 -с.371-373.

7. Лосева Н.В. Об одном свойстве трубчатых гиперповерхностей заданной средней кривизны //Тез. докл. IV Международной конференции женщин-математиков - Волгоград, 1996. - с.85.