Строение "В ЦЕЛОМ" максимальных поверхностей в пространстве Минковского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.95

Клячин Владимир Александрович

СТРОЕНИЕ Ч'В ЦЕЛОМ" МАКСИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО

01.01.01. - Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.М.Миклюков

Официальные оппоненты:

кандидат физико-математических наук Тужилин A.A. доктор физико-математических наук Водопьянов С.К.

Ведущая организация: Омский государственный университет

Защита состоится 10 ьуи^о-Х^Л 1995 года в 46

на

заседании диссертационного совета К 002.23.02 в Институте математики СО РАН (630090, Новосибирск, Университетский проспект,

4)-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН. г-

Автореферат разослан _ 1995 года.

Ученый секретарь д^ссертаf. совета

ионного

Иванов В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тем!:. Один т;а1шоле<- интенсивно развивающихся-раядслив матемтпки - это теория релятивистской струны п ее обобщения: теория суперструн и релятивистской мембраны 5. Релятивистская струна (мембрана) является объектом описываемым поверхностями нулевой средней кривизны в пространстве Минковского (или в общем случае - в пространстве Лоренца). При этом ьомкнутой струне соответствует поверхность трубчатого типа, т. е. поверхность с компактным множеством фиксированного времени. Открытая струпа соответствует поверхности нулевой средней кривизны с определенно устроенным краем, т.е. максимальной (минимальной) ленте.

Как геометрические объекты, трубки и ленты нулевой средней кривизны в евклидовом пространстве были предметом изучения начиная, по-видимому, с работ Р.Оссермана.М.Шиффера2, И.Нпче 3, которые изучали вопросы существования минимальных поверхностей типа кольца. В дальнейшем этот объект изучался в работах Р.Шоена, А.Т.Фоменко, В.М.Миклюкова, А.Д.Веденяпина, В,Г,Т1;ачева. В этом направлении были получены различные результаты, касающиеся внешнего строения минимальных трубок п лент в евклидовом пространстве. Например, доказано, что минимальные трубчатые гппер-. поверхности размерности больше 2 расположены между двумя гиперплоскостями. Затем это свойство было распространено на поверхности произвольной коразмерности.

Трубчатые минимальные поверхности с нетривиальными группами симметрии изучались в работе Фоменко А.Т. 4

Основным объектом диссертации является прогтранственноподоб-

'Барбашоа K.M., Нестеренко И.О. Сулорструнм - лоаый подход к теории фундаментальных »»аимодойствий //УФН, 1986. T.1S0.N4 С.489-521. '

'Osserman Н.., Schiffer М. Doubly connected minimal surfaces // Arch. Rat. Mech. Anal. 1974/Г5. V.58. P.285-306. '

'Nitsche J.C.C. A characterization of the catenoid //Journal of Math. Moch., 1962. V.ll. P.293-302.

4>1>оменко A.T. О скорости роста и наименьших объемах глобально минимальных поверхностей в кобордкомах // Тр. семинара' по векг. и тени, анализу, Вып. 21, М.:МГУ, 1985. С.3-12.

ные поверхности нулевой средней кривизны в пространстве Мпнков-ского и"41. Цель работы - исследование внешне геометрического строения этих поверхностей.

Специальные вопросы, посвященные случаю непараметрического задания максимальных гиперповерхностей научались в р . "отах Ченга, Яу, Бартника, Саймона п Экера.

Цель работы. Исследование внешне геометрического строения максимальных поверхностей в пространстве Минковского и лоренце-вых пространствах специального вида.

Методика исследования. В работе применяется емкостная техника оценок решений эллиптических уравнений на максимальных поверхностях, техника связанная с исследованием решений некоторых нелинейных дифференциальных неравенств для выпуклых функций. Для вычисления геометрических характеристик погружения широко используется аппарат ковариантной производной.

Научная новизна. В работе установлен ряд новых результатов, характеризующих строение "в целом" максимальных поверхностей, а именно:' ,

1. получено дифференциальное неравенство для функции обхвата максимальной поверхности трубчатого типа и, как следствие, точная оценка времени существования максимальной трубки;

2. доказаны утверждения об асимптотическом поведении максимальных, трубчатых поверхностей в терминах их расположения относительно светового конуса;

3. доказаны различные достаточные признаки гиперболичности типа максимальных трубок и лент в искривленных лоренцевых произведениях в терминах кривизны и изоперпметричности. На основе этих признаков получены условия конечности времени существования трубок и лент в искривленных лоренцевых произведениях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XXX Международной научной студенческой конференции (г.

Новосибирск, 1992 Г.), на паучных семинарах МГУ , Математического института РАН (им. В. А. Стек лова) (декабрь 1992 г.), Института математики СО РАН (июнь 1995), на Международной ггпф^уенп"™ пг дифференциальной геомо^ргпх umm^ ¡r/Iu.**'-'-", сентябрь 1995 г.), ил к«»»»*»»рсгаишх и г^гшиарлл Волгоградского государственного университета.

Публичкации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[4].

О содержании диссертации.

В первой главе вводятся основные понятия и приводятся вспомогательные утверждения. Определяются пространства Лоренца и Мин-ковского как многообразия с заданным на них метрическим тензором сигнатуры (1, п). В связи с этим касательные векторы разбиваются на врсмениподобные, пространственноподобные, светоподобные (или изотропные) в зависимости от знака их скалярного квадрата. Совокупность светоподобных векторов с даппой вершиной с r"+! образует световой конус С(хо)> который в свою очередь разделяет все врсмениподобные вектора на два класса: расположенных в верхней - С^(хо) и нижней - С~(хо) его полостях.

Здесь же вводится класс, трубчатых поверхностей п лент п лбняпс лоренцевых пространствах, на которых пги'иш нрована некоторая С2-гладкая футгпппя f(z) с врем'-шшодобны.-! тгш'-итада |V/(.z){2 < О, называемая временной функцией. Такое лоренцево многообразие называется пространством-временем.

Будем говорить, что поверхность М = (М,и) есть ¿сита с проекцией (а,Ь), где —со < а < Ь < +оо, относительно временной функции f(z), er ли

1. для всякого г. 6 (а, Ь) множество

и(ЭМ) n{z£N: f{z) = т}

не пусто;

2. для всяких Т\, т2 € (а, 6), т\ < г2 множества

М(г„ т2) = и(М) n{zeN:n< f(z) < г2}

предкомпактны;

3. если точка тп € дМ есть точка гладкости края дМ и V - внешняя нормаль на М к дМ, то < V/, и >=0;

4. если т 6 дМ - точка нерегулярности края дМ, то контингенция соиЦт)и(М) не содержит световых лучей.

Конечную или бесконечную величину Ь — а будем называть временной протяженностью (длиной) ленты. .

Поверхность М. — (М,и) в N называется поверхностью трубчатого типа относительно временной функции /(г), если М - многообразие без края и (М, и) обладает свойством 2.

Выбор временной функции в общих лоренцевых многообразиях довольно затруднителен. Поэтому мы обращаемся к более узкому классу искривленных лоренцевых произведений # в 5, где функция времени есть проекция точки Я х$ в на второй сомножитель в. В частности, в плоском пространстве Минковского в качестве /(г) выбираем временную координату точки г. Через /(т) впредь будем обозначать сужение временной функции на поверхность М.

Далее более подробно разбираются характеристики максимального погружения в пространство-время Минковского. Именно, показывается, что координатные функции х¿(т) в метрике поверхности являются

гармоническими, а функция ь{т) — (£ х}{гп))1^2 - субгармонической,

¿=1

и вычисляется точное значение ее оператора Лапласа. К найденным уравнениям для получения оценок их решений будет применена емкостная техника.

Пусть М - р-мерное, связное С2-гладкое, ориентируемое многообразие с краем или без него. Предположим, что на М задала С'-гладкая функция 6(т) > 0. Пусть П С М - область на М и Р, <5 С П - замкнутые подмножества, Р П = 0. Всякая тройка (Р,<?;П) называется конденсатором. 6-Емкостью конденсатора (Р, (д; П) называется вели-

5Бни Дж., Эрлих П. Глобальна» лоренцева геоцетри*. М.:Мир, 1985.

чпнг

гд»» тстттал нижняя граттт, берется по всевозможным локально лшпни-цевым функциям у . таким, что 0 < у < 1 всюду на П и ^ = 0 на Р, <р = 1 на ф.

Многообразие М называется 6-параболическим, если для любого компакта РсМ существует исчерпание М отноептел но открытыми ограниченными множествами .Р СС <?1 СС СС ^>¡64 = М такое, что

■ ЦтЫ сар*{.Р, М\С,] М) = 0.

В противном случае М называется 6-гиперболическим.

Вторая глава посвящена исследованию внешнего строения максимальных трубчатых поверхностей с использованием дифференциального неравенства для функщпг обхвата.

Пусть М - трубчатая поверхность в' пространстве Минковского С поверхностью М можно связать функцию

р(*)=т£ах(Нт)!2 + &'* §

называемую функцией обхвата поверхности М. Через обозначим величину которая, как мы покажем ниже, достигается в .

некоторой конечной точке

Будем говорить, что трубчатая поверхность М. с проекцией (о, Ь) имеет начальную особенность, если р(а) — = 0.

Отметим, что наличие особенности является спецификой именно поверхностен в пространстве Минковского. В евклидовом пространстве трубчатые минимальные поверхности особенностей такого вида не имеют.

Методика исследования в этой главе максимальных трубчатых поверхностей основана на дифференциальном неравенстве для функции' ' обхвата. Поэтому следующее утверждение можно считать ключевым утверждением главы. *

Теорема 2.1 Пусть М. = {М,и} - р-мерная максимальная труб'

ка в пространстве Минковского я^4"1. Тогда функция обхвата p(t) является выпуклой на (а,Ь) и удовлетворяет почти всюду ка этом промежутке дифференциальному неравенству

При этом, если существует т0 6 (а,Ь) такая, что f/(r0) > 1 (//(го) < -1), то всюду на (го,6) (на (a,r0)j f/(t) > 1 (pf(t) < -I) и для любых То <п<т3< b (а < rj < т2 < Го)

рЫ

dp

I

> Ъ - ти

edee(t)=pr-1/y/fft{t)-l.

Если же в каждой точке дифференцируемости функции p(t) спра* ведливо |*/(i)|< 1, то при Ь — +оо (а = —оо) существует предел

¿mjt - p(t)) < +00 (jmji+/>(*)) > -оо) .

Как следствия получаем ряд утверждений о. внешне геометрическом строении трубок- Первое из них дает качественную и количественную характеристику максимальной поверхности в окрестности особенности заданной графиком функции /(аг). Именно, если максимальная трубчатая гиперповерхность М С Hjt1, имеет изолированную особенность в точке х — А то объединение лучей, касательных к М в х = 0» образует световой конус, и, более того,

__1*1-!/(*)! ... ■•-."■':'

tnnSQp , -<00.

«-о Iii2"-1

Для произвольной максимальной трубки t — f(x), имеющей изо ли рованную особенность в х — 0, мы положим

2(2я - 1) lim sup |Ж|,~|/(13:)| =»/. «-о Iii3"-1

Эта величина характеризует отклонение максимальной трубки от светового конуса в окрестности особой точки. Более того, можно найти связь между величиной V в протяженностью I трубки вдоль сси времени, выраженную соотношением ; : "

< 1+со(1+с-3

Равенство будет выполнено тогда и только тогда, когда М есть мак-* симальная поверхность вращения.

Аналогичный результат получен и для минимальных трубчатых поверхностей в евклидовом пространстве. В этом случае мы приводим иной способ вывода дифференциального неравенства для функции обхвата. Как следствие, приводится оценка протяженности минимальной трубки произвольной коразмерности, улучшающая доказанную ранее.

Теорема 2.4. Пусть (М, Л) - р- мерная, трубчатая минимальная поверхность в Тогда

• функция обхвата р{1) выпукла вниз и почти всюду но (а, Ь) удовлетворяет дифференциальноиу неравенству

Г Р"Ц)Р{1)>{Р-\){РП{1) + 1У,

• в частности, при р > 3 имеет место оценка

, , • +00 . длина М < 2р6<рр « 2ро ] _ {•

В конце второй главы приводится довольно широкий класс минимальных трубок, для которых; в оценке из теоремы 2.4 выполнено ра-. венство. Именно, пусть {е*},?=0- ортонормпрованный базис в Вп+1, а х0,хи.1.,хп— соответствующие координаты. Через 571-1 мы обозначим сферу радиуса 1: .

5П-1 = € н?+1 : х0 = 0, х? + ... + х* = 1}.

Рассмотрим (р — 1)-мерную поверхность, лежащую на 5я-1 и заданную С2-погружением R: F —♦ компактного многообразия F.

Зафиксируем произвольный интервал (а,Ь) и С2-функцию r(í), определенную на (а, Ь). Тогда можно построить р-мерну? товерхность М, заданную С2-погружением и : F X (а,Ь) —* Rn+1 ,

u(y,t)-r(t)R(y) + teо. где y€F,t£(a,b).

Оказывается, что поверхность М указанного вида является минимальной трубкой с проекцией (а, Ь) в том и только в том случае, когда R : F —* 5я-1 минимальное погружение в сферу, а функция r(t) является решением дифференциального уравнения

r"(t)r(t) = (p-l)(l+rn(t)).

В главе III для исследования м^ахсимальных трубчатых поверхностей применяются емкостные методы. В частности, простые внешне геометрические признаки параболичности позволяют естественным образом определить неограниченную гармоническую функцию исчерпания. Применяя технику дифференцирования интеграла по параметру, мы показываем, что р-мерная максимальная трубчатая поверхность с особенностью при р > 3 имеет конечную длину проекции на временную ось. Следует отметить существенность наличия у поверхности особенности. В противном случае существуют максимальные трубки произвольной размерности и неограниченной протяженности. Соответствующие примеры строятся на основе следующего утверждения.

Лемма 3.5. Пусть поверхность М задана радиус-вектором

r{xi,x2l... ,x„-i) = = (хь х3,..., a;n_i, q(xit..., x„-i), q{xi, xn-i))-

Поверхность Л4 максимальна тогда и только тогда, когда

Тем самым мотивируется интерес к исследованию внешнего строения поверхностей размерности р > 3 неограниченной протяженности. Заметим,.что поверхности из леммы 3.5 имеют конечный объем. Это свойство, оказывается, имеет более общий характер. Именно, если (М,«) — р—мерная максимальная трубчатая поверхность с проекцией (а, +оо), причем при р — 2 выполнено неравенство |p'(£)j < 1,. то

21

vo\(M(t0 + ро,+оо)) < — ро, где vol обозначает р - мерный объем М, а

- постоянная, не зависящая от t и равная потоку градиента функция f(m) = - < u(m),eо > через течение Et.

При исследовании внешнего строении двумерных максимальных трубок полезным оказывается хорошо известный пршгоип "длины и площади": оценка колебания функции через емкость и се интеграл Дирихле. Двумерные примеры из леммы 3.5 обладают еще одним интересным свойством. Они сколь угодно близко приближаются к некоторой светоподобноц прямой. В общей ситуации, используя "принцпп длины и площади", мы приходим к геометрической интерпретации теоремы об устранимой особенности для гармонических функций.

Именно, пусть I- прямая в неортогональная осп времени. Рассмотрим гиперплоскости 1

Я« = {X € R?+1: < Х.ео >= -*} и обозначим через £(i) пересечение i7j ПI. Положим

Имеет место \

Теорема 3.5.Пусть (М,и) - 2-мерная максимальная трубчатая поверхность с проекцией (о, +оо). Предположим, что и(М) С С4(0). Тогда существует светоподобная прямая I такая, что

1ша г, («) = 0.

¿-»+00 4 '

Невозможность распространения данного результата на случай поверхностей размерности р > 3 иллюстрируется на примере, который строится с применением леммы 3.5.

Используемые методы позволяют изучать поведение максимальных трубок в зависимости от строения их края. Доказывается, что если для двумерной максимальной трубки выполнены условия теоремы 3.5, а край лежит в некоторой ¿-мерной плоскости, то сама поверхность лежит в некотором (к + 1)-мериом подпространстве.

Глава IV посвящена максимальным трубкам и лентам в искривленных лоренцевых произведениях Я й, где 6 — С1—гладкая функция на римановом многообразии Я ив числовая прямая, снабженная отрицательно определенной метрикой (-Л2).

Пусть А - р-мерное подмногообразие в Я и Р - р-мерное рнманово многообразие, полученное введением на М римановой метрики, перенесенной с П посредством отображения я-ои ■ М '—* О, где зг : Я х«й —* Н естественная проекция. В этом случае будем говорить, что максимальная поверхность М. = (М, и) задана над Р. Заметим, что Р локально изометрично П, а в случае, когда проекция ж биективна, Р естественным образом отождествляется с П.

Максимальные ленты в исследовались в работе Миклюкова В.М. 6. Там же указаны определенные взаимосвязи рассматриваемого класса объектов с теорией релятивистской струны и сформулированы некоторые задачи, отражающие эти взаимосвязи. При этом было замечено, что конечность времени существования максимальной ленты

"Микяюкои U.M. Максимальные трубки и ленты в пространств« Минковского //Матсм. сб. 19Э2. N12. С.45-78. "

М С н"+1 с однозначной проекцией П на гяггсрхиид:ко«-гь Т ~ 0 явяяртгг при п > 3 сдодетвдйи гин»»рбо7пгшости тттпа. П. •«

Мы распространяем отот результат на случай максимальных трубок и лент в искривленном лоренцевом произведении. При этом оказывается, что на самом деле конечность времени существования максимальных трубок и лент связана напрямую с гиперболичностью типа проекции П и не зависит от размерности п поверхности М. Так, например, всякая двумерная максимальная трубка * = /(г), заданная над односвязной областью П С в2 с непустой границей, имеет конечную временную протяженность.

Для формулировки основного результата вводятся понятия концов областей на многообразиях и их емкостная классификация. Основной результат главы составляет

Теорема 4.1. Пусть П С Я - р-мерное, связное , ориентируемое подмногообразие и М = (М, и) - максимальная трубка или лента в искривленном лоренцевом произведении Н 6, заданная над Г. Если конец £м расположен над концом (р ¿-гиперболического типа , то также имеет 6-гиперболический тип «, как следствие, конечное время существования.

В целях иллюстрации теоремы 4.1 рассматриваются примеры максимальных трубок и лент в пространствах Шварцшильда и де-Ситтера. Пусть Я есть прямое произведение (г1,г2) х 5 с метрикой

'.'■. с!>я=а2(г)<1г2 + 02(г)с112,

где ¿1 элемент длины компактного многообразия 5. Для этих метрик найдены необходимые и достаточные условия ¿-гиперболичности при 6 = 6(г). Кроме этого выписаны уравнения максимальных трубок в Н й, аналогичных поверхностям вращения в пространстве Минков-

СКОГО. •

В силу теоремы 4.1 задача об условиях конечности времени существования сводится к определению признаков ¿-гиперболичности соответствующих концов в области О С Н. В частности, эти признаки получены в терминах кривизны и 0-изопериметричности.

Пусть О С Н - р-мерное подмногообразие в Н и в - неотрицательная, непрерывная, неубывающая на [0, +оо) функция. Зафиксируем конец Будем говорить, что конец является в-изопериметрпчным, если для некоторой порождающей его цепи {О*} и произвольной области В С П, граница которой сШ разделяет и при некоторых к и I, выполнено

где Лт - т-мерная мера Хаусдорфа в Н.

Доказывается, что если конец подмногообразия П является в

-иооиериметричным и выполнено

/+» ¿у

. _ Щ<+со'

то конец £п ¿-гиперболичен. •

Пусть П - р-мерное односвязное подмногообразие в Н неположительной средней кривизны Риччи. Тогда на П можно ввести глобальные полярные координаты (г, в), где г - геодезическое расстояние от фиксированной точки, а в € В этих координатах элемент площади ¿(Та имеет вид

йсга = и(г, 8)<1г<1в.

Пусть П - двумерное подмногообразие неположительной гауссовой кривизны К(х) и < Уг, V ><0, где V - внешняя нормаль к дО в П. Предположим, что существуют функции А (И и ¿(г) такие, что к(г) не возрастает, а ^^ не убывает по г при фиксированном в € 5Р_1 и

. -К(х)>к2(г).

Тогда, если

то П имеет 6 -пшсрбопический тип.

Данный признак обобщает признах гиперболичности Мплнора 7, доказанный для метрик неположительной хрнвпзны специального «« Да.

Дзлсг ^циво^тггг": признан 6-тчгоериодичностп для многомерных областей, который основан на специальном поведении объема геодезического шара на рпмановом многообразии. Именно, пусть П - р-мерное подмногообразие неположительной кривизны Рпччи и < Уг, V >< О, где V - внешняя нормаль к ЗП в П. Если существует 6(г) такая, что при всяком в 6 ^'функция не убывает по г и

Г

dr

< +00,

6(r)rP~

то П имеет ¿-гиперболический тип.

Пользуясь случаем, приношу глубокую благодарность моему научному руководителю профессору В.М.Мшслюкову за постоянное внимание к работе и многочисленные полезные советы.

'Milnor J. On deciding whether a surface is parabolic or hyperbolic //Amer. Math. Monthly. 1977. V.84,N1. P.43-46.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Клячпн В.А., Миклюков В.М. Максимальные гиперповерхности трубчатого типа в пространстве Минковского //Изв. АН СССР. Сер. Матем.1991. Т.55,т. С.206-217.

2. Клячпн В.А. Оценка протяженности трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности //Сиб. мат. ж. 1992. Т.ЗЗ.Иб. С.201-206.

3. Клячин В.А. Максимальные трубчатке поверхности произвольной коразмерности в пространстве Минковского //Изв.РАН.Сер.матем. 1993. Т.57,Ш. С.118-131.

4. Клячин В.А., Миклюков В.М. Условия конечности времени существования максимальных трубок и лент в искривленных лоренцевых произведениях// Изв. РАН.Сер.матем.1994. Т.58,Ш. С.195-210.