Проблема продолжения функций при ограничениях на градиент тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Клячин Алексей Александрович

ПРОБЛЕМА ПРОДОЛЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ГРАДИЕНТ

(01.01.01. - математический анализ)

Автореферат на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Авхадиев Фарит Габидинович

доктор физико-математических паук, профессор

Иванов Александр Олегович

доктор физико-математических наук, профессор

Копылов Анатолий Павлович

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стеклова

Защита состоится 2004 года в /.£....... на заседании диссертационного

совета Д 003 015.03 при Институте математики им. С.Л.Соболева СО РАН (630090, Новосибирск, Проспект ак. Коптюга, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С .Л.Соболева СО РАН.

Автореферат разослан года.

Ученый секретарь диссретационного

совета Д 003.015.03

А.С.Романов

(5Чгэ

А. Общая характеристика работы.

Диссертационная работа выполнена в русле геометрического анализа — активно развивающегося в последние десятилетия направления, включающего в себя, в частности, ряд крупных проблем анализа на многообразиях. Основным объектом исследования в работе являются псевдометрические пространства и функции, экстремальные для функционала площади в пространстве Минковского. Круг рассматриваемых задач связан с проблемой продолжения функций с ограничением на градиент и приложениями полученных результатов к проблемам качественного анализа экстремалей функционала площади.

Актуальность темы. Задачи, относящиеся к вопросам существования и единственности, устойчивости и асимптотического поведения, геометрического и топологического строения минимальных поверхностей и максимальных поверхностей в пространстве Минковского рассматривались в работах многих отечественных и зарубежных математиков: Ю.А. Аминова, Р. Бартника, С.Н. Бернштейна, Э. Джусти, А.О. Иванова, В.А Клячина, В.М. Миклюкова, Й.С.С. Ниче, Р. Оссермана, Ю.Г. Ре-шетняка, И.Х. Сабитова, Л. Саймона, В.Г. Ткачева, АА. Тужилина, Р. Финна, А.Т. Фоменко, С. Ченга, Е.М. Чирки, Е.В. Шикина, С. Яу и др.

Исследование решений ряда нелинейных уравнений с частными производными приводит к изучению функций с различного рода условиями на градиент. Например, для многих вариационных задач и краевых задач для квазилинейных уравнений с частными производными ключевой является проблема описания класса допустимых функций. Так, задача Дирихле для уравнения максимальных поверхностей в пространстве Мин-ковского

приводит к исследованию вопроса о продолжении граничной функции до

функции график которой является пространственно подобной поверхностью

в пространстве Минковского (см. работы Ф. Флаерти , Р. Бартника и Л. Саймона

что равносильно требованию Подобная же задача возникает при исследовании вопросов существования решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей, как в ограниченных, так и в неограниченных областях. Стоит также сказать, что даже частичное решение задачи о существовании пространственно подобных продолжений позволило исследовать проблемы устранения особенностей решений уравнения максимальных поверхностей в

(1)

РОС, НАЦИОНАЛЬНАЯ БИВЛИОТЕКА С ОЭ

произвольных областях (см. В.М. Миклюкова (1992)).

Еще одним примером является уравнение газовой динамики (МА Лаврентьев, Б.В. Шабат "Методы функций комплексного переменного", (1987)). Интересно, что возникающие при этом ограничения на градиент интерпретируются как дозвуковое и сверхзвуковое течение газа.

Отметим, что с точки зрения вариационных задач при описании множества допустимых функций для функционала площади

достаточно ограничиться изучением локально липшицевых функций. В этом случае требование пространственной подобности можно заменить условием

для любого компакта

В случае выпуклых областей решение данной проблемы непосредственно

следует из классической теоремы Кирсбрауна о продолжении липшицевых функций (см. теорему 2.10.43 в книге Г. Федерера "Геометрическая теория меры", (1987) и новейшие результаты в работах В.А. Милмана (1997)).

С другой стороны, многие работы посвящены изучению решений уравнения

и их связям с функциями, имеющими постоянный по модулю градиент. В свою очередь такие функции описываются в терминах минимальных и абсолютно минимальных лип-шицевых продолжений. Задачам, связанным с минимальными липшицевыми продолжениями посвящены работы Г. Аронсона (1967), Р. Иенсена (1993), М.Г. Крандолла, Л.С. Эванса, Р.Ф. Гарипи (2001), П. Юутинена (2002) и др. Геометрически условие равенства единице модуля градиента функции означает изотропность ее графика в пространстве Минковского. До настящего времени задача существования изотропных поверхностей с заданным краем не была исследована.

Большой интерес представляют поверхности нулевой средней кривизны в пространстве Минковского, имеющие особые точки. Это обусловлено тем, что решения уравнения максимальных поверхностей допускают наличие изолированных особенностей. Сказанное мотивирует изучение вопросов существования, единственности таких решений и их поведения в окрестности особых точек.

Строение решений уравнения максимальных поверхностей в окрестности конечной особой точки и асимптотические свойства максимальных трубок и лент достаточно

полно изучены в работах В.М. Миклюкова и В.А. Клячина (1991, 1992, 2002, 2003). В этих работах было дано разложение решения в окрестности особенности в степенной ряд, доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделефа для гауссова отображения максимальной поверхности, получен аналог теоремы Й.С.С. Ниче (1967) о единственности решения для уравнения типа максимальных поверхностей. Следует также отметить результаты О. Кобаяси (1983), К. Экера (1986), В.А. Клячина и В.М. Миклюкова (1991, 1992) о световом характере изолированных особенностей. Исследование задачи Дирихле для этого уравнения было начато в работах Ф. Флаерти (1979), Р. Бартника и Л. Саймона (1982/83). Позже вопросы существования и единственности решений с особенностями уравнения (1) в ограниченных и неограниченных областях рассматривались в работах А.А. Клячина и В.М. Миклюкова (1993, 1995).

Среди работ, посвященных изучению целых решений уравнения максимальных поверхностей следует отметить, в первую очередь, работы Е. Калаби (1970), С. Ченга и С. Яу (1976). Ими было установлено, в частности, что графиком решения уравнения (1), определенного всюду в Rn, является гиперплоскость (аналог теоремы С.Н. Бернштей-на (1960) для уравнения минимальных поверхностей). Решения с одной изолированной особенностью изучались О. Кобаяси (1983) и К. Экером (1986). Ими было показано, что графиком решения уравнения максимальных поверхностей, определенного всюду за исключением одной точки является поверхностью вращения в вокруг некоторой времени подобной прямой. Однако, более общая задача описания множества решений уравнения (1) с несколькими особенностями оставалась не исследованной. Главной трудностью при изучении данной задачи было отыскание геометрических характеристик решения, посредством которых такое решение определялось бы однозначно.

Поверхности заданной средней кривизны в пространстве Минковского обладают также рядом отличительных свойств. В первую очередь нужно отметить, что множество целых решений данного уравнения, определенных в Rn, не исчерпывается поверхностями вращения. Вопросам существования таких решений посвящены работы X. Чоя и А. Трайбергса (1982, 1990, 1992, 1993). Ими так же исследовалась задача определения конформного типа двумерных поверхностей заданной средней кривизны. Наиболее полно признаки параболичности и гиперболичности типа таких поверхностей были изучены В.М. Миклюковым (1996).

Определяющую роль при исследовании многих глобальных свойств решений уравнения поверхностей заданной средней кривизны играют теоремы существования и единственности решений задачи Дирихле для данного уравнения, полученные в работах Р. Бартника и Л. Саймона (1982/83, 1984, 1988). Однако, остались незатронутыми вопросы разрешимости задачи Дирихле с особенностями и вопросы асимптотического поведения поверхности в зависимости от поведения средней кривизны поверхности на

бесконечности.

Целью работы является исследование пространственно подобных графиков функций, являющихся экстремалями функционала площади в пространстве Минковского. В связи с этим, нас будут интересовать вопросы относящиеся к проблемам продолжения функций при ограничениях на градиент.

Методика исследований базируется на теоретико-функциональных подходах и изучении поведения липшицевых функций в псевдометрических пространствах.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертационной работе получила дальнейшее развитие техника использования методов теории функций и математического анализа в совокупности с методами теории квазилинейных уравнений эллиптического типа для исследования вопросов существования продолжения функций с ограничениями на градиент. Дано применение полученных результатов для описания условий разрешимости и единственности различного рода краевых задач для уравнения максимальных поверхностей.

Опираясь на указанные методы, автором получены следующие результаты.

• Найдены необходимые и достаточные условия существования функций с заданными граничными значениями при определенных ограничениях на градиент. Даны условия продолжимости липшицевых функций в метрическом и псевдометрическом пространствах.

• Выявлены функциональные условия существования пространственно подобных гиперповерхностей с заданным краем в лоренцевых искривленных произведениях.

• Указаны геометрические характеристики особенностей решений уравнения максимальных поверхностей и в терминах этих характеристик описаны все такие решения.

• Описаны условия на граничную функцию, обеспечивающие существование и единственность решения уравнения заданной средней кривизны.

• Получены оценки асимпотического поведения на бесконечности поверхностей ненулевой средней кривизны в пространстве Минковского.

Структура диссертации. Диссертация содержит 179 страниц и состоит из введения, шести глав и библиографического списка.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских и международных конференциях: "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования" (Москва, 1998 г.), международной конференции - школы по геометрии и анализу (Новосибирск, 2002 г.),

международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003 г.), 11-ой зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, январь 2002 г.), международной школы-конференции "Геометрический анализ и его приложения" (Волгоград, май 2004 г.). На семинарах: Московского государственного университета (руководитель - академик А.Т. Фоменко), Института математики им. В.А.Стеклова (руководитель - академик А.А. Гончар), Институт математики СО РАН (руководитель - академик Ю.Г. Решетняк). А так же на семинарах и конференциях Волгоградского государственного университета и Волгоградской области.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[12].

Охарактеризуем кратко содержание и основные результаты работы.

В главе I вводятся основные определения и доказывается ряд вспомогательных утверждений.

Глава II посвящена исследованию вопросов существования продолжения функций с ограничениями на градиент. Вначале приводятся формулировки и доказательства вспомогательных утверждений о существовании липшицевых продолжений в общих псевдометрических пространствах при некоторых предположениях. Основным здесь является утверждение о существовании продолжения с уменьшением константы Липшица.

В данной главе изучается следующая обобщенная задача о продолжении для функций с ограничениями на градиент.

Пусть - область. Предположим, что для каждой точки

определено некоторое множество

Пусть р(х) : Ш -+ Л - граничная функция. Требуется найти условия существования локально липшицевойфункции /(х) со свойством: /(з:)|ап = <р(х) и такой, что вектор

Данная задача возникает при описании множества допустимых функций в вариационной задаче для функционала

где функция С(х,£) определена й! а(!).т н ы м случаем данного функционала является функционал площади в искривленном лоренцевом произведении.

Нами получен критерий разрешимости поставленной задачи в общем случае локально ограниченных множеств

п.в. в П.

п

В основе нашего подхода к проблеме продолжения с ограничениями на градиент лежит редукция этой проблемы к задаче о липшицевом продолжении в пространствах Финслера, ассоциированных с распределением выпуклых множеств Е(х) в области П. При этом отказ от условий непрерывности распределения множеств Е(ж), симметричности и равномерной ограниченности множеств Е(х) существенно усложняет задачу, поскольку возникающие при этом финслеровы псевдометрики не удовлетворяют традиционным аксиомам метрического пространства. Так асиметрия множеств Е(х) влечет невыполнение для псевдометрики Финслера аксиомы симметрии, отказ от требования локальной равномерной ограниченности распределения влечет невыполнение аксиомы тождества.

Глава III посвящена вопросу существования и единственности изотропных поверхностей в искривленных лоренцевых произведениях с заданным краем. Доказаны теоремы о минимальных липшицевых продолжениях и функциях с постоянным по модулю градиентом, известные ранее для евклидова пространства (см., например, ГАронсона (1967)).

Глава IV посвящена решению вопросов существования и единственности решений уравнения (1), имеющих в качестве особенности компактное множество. Отметим, что данная задача, главным образом, сводится к исследованию поведения таких решений в бесконечности. В силу эллиптичности уравнения (1), нами используются соответствующие методы и доказываются вспомогательные утверждения, справедливые для решений уравнения эллиптического типа. В частности, нами доказано существование предела градиента на бесконечности для решений уравнения максимальных поверхностей, определенных вне компакта. Отметим, что аналогичные утверждения для уравнения минимальных поверхностей и уравнений типа минимальных поверхностей были установлены в работах Л. Берса (1954), X. Дженкинса (1956) и В.М. Миклюкова (1979). Более того, нами показано, что ненулевой вектор потока коллиниарен пределу единичной нормали на бесконечности. Данные факты существенно используются при доказательстве основного результата работы, заключающегося в том, что максимальная поверхность однозначно определяется вектором потока и геометрическим расположением особых точек.

В главе IV исследована задача Дирихле в ограниченной области для уравнения поверхности заданной средней кривизны с особенностями. Результаты этой главы являются продолжением исследования задачи о существовании решений уравнения максимальной поверхности с особенностями в ограниченных областях. В данной главе найдены условия на граничную функцию, обеспечивающие существование к единственность решения с заданными особенностями.

Глава VI посвящена асимптотическому поведению решений уравнения поверхностей

заданной средней кривизны. Следует отметить, что поверхности (как в евклидовом, так и в псевдоевклидовом пространствах) заданной средней кривизны рассматривались многими авторами (см., например, Н.В. Лосеву (1999), В.Г. Ткачева (1990), Р. Барт-ника и Л. Саймона (1982/83), В.М. Миклюкова (1996), X. Чоя и А. Трайбергса (1982, 1990, 1992)). В данной главе доказано существование предела ограниченного решения уравнения поверхностей, заданной средней кривизны и получены оценки скорости его стабилизации на бесконечности.

Пользуясь случаем автор выражает глубокую благодарность профессору В.М. Ми-клюкову за полезные обсуждения по теме диссертации, а также за постановку ряда задач. Автор благодарен коллегам по математическому факультету ВолГУ - профессорам И.В. Журавлеву, А.Г. Лосеву, В.А. Клячину, доценту А.Н. Кондрашову, которые прочитали рукопись диссертации и сделали ряд замечаний по тексту.

В. Результаты, выносимые на защиту.

Все утверждения сохраняют принятую в основном тексте нумерацию.

Пусть X — произвольное непустое множество и пусть р : X х X —► Ы - функция, обладающая свойствами:

а) р(х, х) = 0 и р{х, у) > 0 для всех х, у 6 Х\

Р) Р(х, У) < Р{х> А + Р(2> У) Для всех х,у,г е X.

Пара (Х,р) называется псевдометрическим пространством, а функция р - псевдометрикой. Отметим, что мы не требуем здесь симметрии псевдометрики р, то есть, в общем случае

Пусть «5 — подмножество X. Функция ^ : 5 Л называется р-липшицевой, если существует постоянная такая, что

—Ьр(у,х) < <р(х) - <р(у) < Ь р(х,у) для всех х, у € 5.

Наименьшая из постоянных L называется постоянной Липшица и обозначать символом Далее мы будем изучать функции, для которых

Введем некоторые дополнительные обозначения. Для произвольной тройки точек х,у,г & X пологаем

Так как р- псевдометрика, то A(x,y,z) < 1. Мы буцем называть псевдорасстоянием

от множества V С. X до множества S величину

p(V,S) = inf{p(i,y) :xeV,yeS}.

Расстоянием между множествами V,S С X назовем величину dist (V, S) = rnax{p(V,S), p{S,T)}.

Множество U С X компактно, если из любой последовательноСИточек данного

множества можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке Хо € U.

Зафиксируем множество S С X. Пусть ip - р-липшицева функция с Lip(ip, <S) < 1.

Длялюбых <S > 0 и 0 < и < 1мы полагаем

A4 = Agfa S) = {(x,y)6SxS: р(х, у) > S

и

Следующее утверждение устанавливает необходимые и достаточные условия продолжения липшицевых функций в псевдометрическом пространстве.

Лемма 2.1. Пусть (Х,р) — линейно связное псевдометрическое пространство и псевдометрика р совпадает с внутренним псевдорасстоянием. Пусть S С X — произвольное подмножество и ip : S -> R — р-липшицева функция. Для того чтобы функция р была следом некоторой функции f : X -+ R, удовлетворяющей условию: для любого подмножества существует постоянная

такая, что для каждого

(2)

достаточно чтобы для любого компакта и С X с сЦз(;(£/,5) > О и для всех 5 > О существовало ц € (0,1) такое, что

sup{A(z,i/,z) : (х,у) € АЦ, z € U} < 1.

(3)

Если функция ¡р или множество 5 ограничены, то условие (3) является также и необходимым.

В случае, когда псевдометрика р является метрикой, то есть удовлетворяет аксиомам тождества и симметрии, критерий существования р-липшицевого продолжения функции может быть сформулирован более прозрачно.

Именно, для произвольной пары точек положим

Ясно, что множество не пусто, так как по крайней мере точки

Теорема 2.1. Пусть КС X — компактное множество. Функция : К -> К является следом на К некоторой функции / : Л" И, удовлетворяющей условию

Пусть П С 11" область и пусть Ф(х, £) функция, определенная в С1 х ГГ1, которая

Относительно функции будем предполагать, что она локально ограничена в области П. Ясно, что функция Н{х, £) обладает свойствами а), Ь), с).. Рассмотрим множество

С(х) = {г! € И" : Н{х, т/) < 1}-

Для произвольной пары точек х, у £ П пусть

где точная нижняя грань берется по всем локально липшицевым кривым таким, что

Пусть — пополнение области по псевдометрике и пусть Пред-

положим, что пополнение не пусто.

Следующее утверждение является следствием леммы 2.1 о продолжении липшице-вых функций в псевдометрических пространствах.

Теорема 2.2. Для того чтобы функция <{> : дЯр И являлась следом на д<Лр функции / : Г2 —► И, удовлетворяющей неравенству

ess sup$(z, Vf(x)) < 1 для любого компакта Ucil и

(6)

достаточно, чтобы <р была р-липшицевой и удовлетворяла условию: для всякого 5 > 0 найдется ¡1 € (0,1) такое, что

sup{A(x,y,z) : (х,у) € z € U} < 1

(7)

на каждом подмножестве U С С П.

В случае, когда граница или граничная функция ip ограничены, условие (7) является также необходимым.

Если продолжение функции ip осуществляется с компактного множества, условия продолжимости могут быть существенно упрощены.

Теорема 2.3. Пусть К С дПр - компактное множество. Функция ip : К —► R является следом на К функции / : П R удовлетворяющей неравенству

ess sup Ф(х,У/(ж)) < 1 и

для любого множества U СС il, тогда и только тогда, когда ip удовлетворяет условиям

— p{x2,xi) < <p(xi) — <р(х2) < р(хих2) для всех xi,x2 € К (8)

и

- р{х2,Xl) < tp(xi) - <р(х2) < р(хих2), (9)

если

р(хi,x2)>0 и rfo^nfi ф 0.

Пусть М — риманово многообразие и g — метрика на М. Предположим, что на М задана функция 6{х) > 0 класса С1(М). Пусть L — пространство Лоренца с метрикой I. Следуя Дж. Биму и П. Эрлиху (1990), лоренцевым искривленным произведением M XjL мы будем называть многообразие с лоренцевой метрикой Tj, определенной равенством

g{u,v) = g(iru,irv) + 6(ir(p))l(w, T]v),\tu,v 6 TP(M У-sL)

где р 6 M х L, 7г и г) — естественные проекции на M и L соответственно, и, v 6

Вектор и € TP(MX{L) называется пространственно подобным (изотропным), если

Рассмотрим искривленное лоренцево произведение вида Мх< R, где И.вещественная прямая, снабженная отрицательно определенной метрикой. Будем предполагать, что гиперповерхность F в M хs R определенная как график функции /(m) над областью Î2 С М. Гиперповерхность F называется пространственно подобной, если любой ее касательный вектор пространственно подобен. Если в каждой точке гиперповерхности ортогональный к ней вектор является изотропным, то гиперповерхность называется изотропной. Положим

где точная нижняя грань берется по всем дугам соединяющим точки

Предполагая, что пополнение области по внутренней метрике компактно, мы получим критерий существования пространственно подобного продолжения.

Теорема 2.4. Функция ip : dQr -» R является следом локально липшицевой функции / : Q —» R с пространственно подобным графиком тогда и только тогда, когда <р удовлетворяет условиям (4) и (5) в метрике Гц на dflr.

Полученные условия существования пространственно подобного продолжения позволяют исследовать различные вопросы существования решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей и поверхностей заданной средней кривизны в пространстве Минковского.

Пусть /(х) — решение уравнения максимальных поверхностей в области R" \ К, где - компактное множество с внутренностью Положим

где П - кусочно-гладкая гиперповерхность, охватывающая компакт R, v — единичный вектор внешней нормали к П, а { , ) — скалярное произведение. Отметим, что в силу (1) величина ßf(K, П) не зависит от выбора П, поэтому в дальнейшем мы ее обозначаем через р/(К).

Пусть F — график /(х) в R™+1. Пусть 5д — сфера, охватывающая компакт К С R". Через обозначим прообраз Sr при естественном проектировании графика F на Rn \ К. Пусть V — внешний единичный вектор нормали к 5д на F. По аналогии с вектором потока для минимальных трубок, введенного В М. Миклюковым (1992) для частного случая и в работах В.Г. Ткачева и И.М. Решетниковой (1996, 1999) в общем случае, вектором потока максимальной поверхности назовем вектор, определяемый равенством

Отметим, что вектор

Следующая теорема устанавливает существование предела градиента решения уравнения максимальных поверхностей.

Теорема 4.1. Пусть К С R" — компакт и/(х) — решение уравнения максимальных поверхностей eR" \ К. Тогда существует

При доказательстве теоремы существования и единственности решений уравнения (1) мы используем утверждение, описывающее асимптотическое поведение на бесконечности двумерных максимальных поверхностей.

Теорема 4.2. Пусть /(г) - ограниченное снизу или сверхурешениеуравнениямак-симальных поверхностей, определенное в И2 \ К. Тогда существует конечный предел

где А = щ(К)/2п.

Следующая теорема утверждает существование и единственность максимальных поверхностей с заданными особенностями и времени подобным вектором потока. Пусть задана функция <р: К —ьИ. Будем предполагать, что

для любых

Теорема 4.3. Пусть 1р : К чИ произвольная функция,удовлетворяющаяусловию (10). Тогда для любого времени подобного вектора <5 е К"+1 существует единственное решение /(я) 6 С2(Н," \ К) П £70(11") уравнения (1) такое, что

Рассмотрим уравнение заданной средней кривизны

где .Н{х,£) — непрерывно дифференцируемая функция, определенная й" х ГЪи неубывающая по переменной

Пусть — ограниченная область и , — фиксированный набор

точек а, 6 Г2. Пусть <1ц{х,у) обозначает внутреннее расстояние между двумя точками Пополнение области

Зададим непрерывную функцию ¡р : ->йи постоянный вектор ц = (цх,..., [!ц). Рассматривается задача определения условий существования в области П \ А решения ' = /(г) уравнения (11), для которого

\Ф)~Ч>Ш < I

(10)

(11)

/|ап,, = V, !Ч(А) = /А

(12)

ще

ц}{А) = (д/(а1),...,^/(алг)) Величины /¿/(а,) определяются равенством

где {Сл} - семейство кусочно-гладких поверхностей, охватывающих т о ч кау и достаточно близких к точке а,, V - единичный вектор внешней нормали к С\.

Исследование поставленной задачи основано на изучении свойств отображения ц = которое строится следующим образом Положим £ = (£ь..., £лт) £ И" и

рассмотрим множество таких, что

\у{х) - < ¿я(х, а,) для всех х 6 ¿>П<ь

(13)

(14)

1&-&1 <4(а„а,), %фз, г,] — 1,ЛГ.

Пусть Д(х) - решение уравнения (11) в области П \ А с граничным условием

/180. = V, ЯЛ)=(. (15)

Так как граничная задача (15) разрешима при любых £ € 0(<р,А), то определено ото-

Рассмотрим образ М(<р, Л) = /¿(£>(у>, Л)) множества 0((р, Л) С К.^. Вопрос о разрешимости задачи (12) для уравнения (11) эквивалентен описанию множества Некоторая информация об этом множестве содержится в следующем утверждении. Теорема 5.1 .Отображение ¡х : 0(1р,А) —> М(<р,А) является гомеоморфизмом Таким образом, множество А4(<р, А) содержит нулевой вектор вместе с некоторой окрестностью {¡1 Е : < Мп((р, Л)}. Нами указана оценка снизу величины радиуса этой окрестности

М„(<р,А) > —

Ш)

,р-1

2?"2С(п,р)|П |г>/"-

где С(п,р) постоянная в неравенстве Соболева,

и / — решение соответствующей задачи Дирихле без особенностей.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи (12).

Теорема 5.2. Предположим, что П С R." — область, имеющая компактное пополнение во внутренней метрике dn, <р — непрерывная функция, заданная в dQd и удовлетворяющая условиям (8), (9) во внутренней метрике, Л = (fli, аг, ...,адт) — произвольный набор точек а, (Е i2. Тогда, существует посМвяннОятакая,

что для каждого ц = (fii,fi2i с Щ < Мп(<р,Л) граничная задача (12) одно-

значно разрешима. При n>Z справедлива оценка (16) для постоянноМп(<р,Л), а

Далее будем рассматривать уравнение поверхностей заданной средней кривизны (11) с правой частью H(x,t) = Н(х), то есть уравнение

Q[f(x)} = Я(х), (17)

где Н{х) — непрерывная функция, определенная в R". Положим

tf+(i) = тахЯ(х), H-{t) = тшЯ(х), H*(t) = тах|Я(х)|.

Следующие два утверждения обобщают принцип сравнения для такого уравнения в ограниченных областях.

Теорема 6.1. Пусть /(х) —С2 -решениеуравнения (17), определенное в шаре Вц. Тогда для любого выполнено

osc {/(х) :i6Sf}< osc{/(x) : х е SR}+

Теорема 6.2. Пусть П — ограниченная область в И™ ит), /г(х) — С2-гладкие функции, определенные в О и имеющие пространственно подобные графики в 115й"1. Положим

<2[Мх)} = Нг{х), <г(/2(®)] = Н2(х).

Тогда для любого р> п

тах(Д(х) - /2(х)) < rnax(/i(x) - /2(х)) +

+

С{п,р)2'-Щ'-1! \Hxix) - Щ{х)\йх\

\ 1/0-1)

(19)

гдеС(п,р) - постоянная в неравенстве Соболева — 1-мерная мераЛебегаобласти П.

Отметим, что аналогичная оценка имеет место и для минимума разности /1(1) —

Опираясь на теорему 6.1 и теорему о существовании предела ограниченного решения уравнения поверхностей заданной средней кривизны, мы доказываем следующую оценку разницы между графиком целого решения и поверхностью вращения. В некотором смысле, данное утверждения является аналогом теоремы Лиувилля.

Теорема 6.4. Пусть }{х) - ограниченное решениеуравнения (17), определенное во всем И", п> 2 и такоое, что

/ \Н(х)\с1х < оо.

Тогда выполненынеравенства

00 , я

ах

08С{/(Х): х е 5Г} < / (Я+(г) - я_(г))'п-'

где

оэс{/(х): х 6 Л"} < 1рп ^,

оо

¿3

\/1 + в2""2

В частности, если Н(х) = Яо(|ж|), то графикрешения }(х) является поверхностью вращения.

Более того, мы устанавливаем нижнюю и верхнюю оценку скорости стремления

Список работ, выполненых по теме диссертации

[1] Клячин А.А., Миклюков В.М. Пространственноподобные гиперповерхности и здача о продолжении функций с ограничениями на градиент// ДАН СССР. 1991. Т 320. N 4. С. 781-784.

[2] Клячин А.А., Миклюков В.М. Следы функций с пространственноподобными графиками и задача о продолжении при ограничениях на градиент, Матем сб., 1992, т. 183, N 7, С. 49—64.

[3] Клячин А.А., Миклюков В.М., Существование решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей в пространстве Минковского// Матем. сб., 1993, т. 184, N. 9. С. 103-124.

[4] Клячин А.А. Разрешимость задачи Дирихле для уравнения максимальных поверхностей с особенностями в неограниченных областях // Докл РАН. 1995. Т. 342. С. 161—164.

[5] Григорьева Е.Г., Клячин А.А., Миклюков В.М. Проблема продолжения функций с ограничениями на градиент// Тезисы дгщта поп мржпународвой конференции " Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", Москва, 1998. С. 23.

[6] Клячин А.А. Описание множества целых решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей // Сборник научных трудов "Геометрический анализ и его приложения". Волгоград: Изд-во Волгоградского государственного университета,

1999. С. 166 -188.

[7] Клячин АА. Некоторые оценки решений уравнения поверхностей заданной средней кривизны в пространстве Минковского// "Вестник ВолГУ. Математика. Физика".

2000. С. 28—33.

[8] Клячин АА Теорема существования и единственности целых решений уравнения максимальных поверхностей с особенностями// Тезисы докладов международной конференции-школы по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д.Александрова, Новосибирск. 2002. С.49.

[9] Клячин А.А. Асимптотическое поведение решений уравнения заданной средней кривизны в пространстве Минковского// Труды кафедры математического анализа и теории функций. Изд-во Волгоградского госуниверситета. 2002. С. 47-55.

[10] Grigoryeva E., Klyachin A. and Miklyukov V., Problem of Functional Extension and Space-Like Surfaces in Minkowski Space, ZAA, 2002. V.21. N 3, p. 719-752.

[11] Клячин А.А., Миклюков В.М. Изотропные гиперповерхности и минимальные продолжения липшицевых функций// Тезисы докладов конференции "Колмогоров и современная математика". Изд-во МГУ. 2003. С.889.

[12] Клячин А.А. Описание множества решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей// Мат. сб. 2003. Т. 194. N 7. С.83-104.

Подписано в печать 04.10.2004 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайма Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 265.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062, Волгоград, просп. Университетский, 100.

187 12

РНБ Русский фонд

2005-4 15429

Введение

Глава I. Подготовительные результаты

1.1 Псевдометрические пространства

1.2 Лоренцевы искривленные произведения

1.3 Уравнение максимальных поверхностей

Глава II. Продолжение функций при ограничениях на градиент 66 ^ 2.1 Продолжение липшицевых функций в псевдометрических пространствах

2.2 Финслерова метрика

2.3 Сравнение с евклидовой границей

Глава III. Изотропные гиперповерхности и минимальные продолжения липшицевых функций 102 3.1 Изотропные поверхности в искривленных лоренцевых произведениях 102 ^ 3.2 Существование и единственность изотропного продолжения

3.3 Множество единственности и изотропные поверхности

Глава IV. Решения с особенностями уравнения максимальных поверхностей

4.1 Постановка задачи

4.2 Поведение двумерных максимальных поверностей на бесконечности

4.3 Теоремы единственности

4.4 Существование максимальных поверхностей с заданным вектором потока

Глава V. Существование решений с особенностями уравнения поверхностей заданной средней кривизны в пространстве Минковского

5.1 Постановка задачи

5.2 Множество 0{ф,А)

5.2 Граничные точки можества 0((р,А)

5.3 Предварительные утверждения

5.4 Единственность и устойчивость

5.5 Гомеоморфность отображения (i

5.6 Основная теорема

Глава VI. Асимптотическое поведение решений уравнения поверхностей заданной средней кривизны

6.1 Оценки скорости стабилизации ограниченных решений

6.2 Поведение решений на бесконечности 170 • Список литературы

А. Общая характеристика работы.

Диссертационная работа выполнена в русле геометрического анализа — активно развивающегося: в последние десятилетия направления, включающего в себя, в частности, ряд крупных проблем анализа на многообразиях. Основным объектом исследования в работе являются псевдометрические пространства и функции, экстремальные для функционала площади в пространстве Минковского. Круг рассматриваемых задач связан с проблемой продолжения функций с ограничением на градиент и приложениями полученных результатов к проблемам качественного анализа экстремалей функционала площади.

Актуальность темы. Задачи, относящиеся к вопросам существования и единственности, устойчивости и асимптотического поведения, геометрического и топологического строения минимальных поверхностей и максимальных поверхностей в пространстве Минковского рассматривались в работах многих отечественных и зарубежных математиков: Ю.А. Аминова, Р. Бартника, С.Н. Бернштейна, Э. Джусти, А.О. Иванова, В.А. Клячина, В.М. Миклюкова, Й.С.С. Ниче, Р. Ос-сермана, Ю.Г. Решетняка, И.Х. Сабитова, JI. Саймона, В.Г. Ткачева, А.А. Тужилина, Р. Финна, А.Т. Фоменко, С. Ченга, Е.М. Чирки, Е.В. Шикина, С. Яу и др.

Исследование решений ряда нелинейных уравнений с частными производными приводит к изучению функций с различного рода условиями на градиент. Например, для многих вариационных задач и краевых задач для квазилинейных уравнений с частными производными ключевой является задача описания класса допустимых функций. Так, задача Дирихле для уравнения максимальных поверхностей в пространстве

Минковского div ( . V/ \ = 0 (0.1)

W1 - iwi2/ приводит к исследованию задачи о продолжении граничной функции <р : dQ —> R до функции / : Г2 —» R, график которой является пространственно подобной поверхностью в пространстве Минковского (см. работы Ф. Флаерти [52], Р. Бартника и JI. Саймона [41]), что равносильно требованию |\7/(ж)| < 1.

Подобная же задача возникает при исследовании вопросов существования решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей, как в ограниченных, так и в неограниченных областях. Стоит также сказать, что даже частичное решение задачи о существовании пространственно подобных продолжений позволило исследовать вопросы устранения особенностей решений уравнения максимальных поверхностей в произвольных областях (см. работу В.М. Миклюкова [29]).

Еще одним примером является уравнение газовой динамики (см. [24, с. 314]). Интересно, что возникающие при этом ограничения на градиент интерпретируются как дозвуковое и сверхзвуковое течение газа.

Отметим, что с точки зрения вариационных задач для описания множества допустимых функций для функционала площади \Jl — |V/(;r)|2 dx о достаточно ограничиться изучением локально липшицевых функций. В этом случае требование пространственно подобности можно заменить условием ess sup |V/(:c)| < 1 для любого компакта К С £1. хек

В случае выпуклых областей Q, С Rn решение данной проблемы непосредственно следует из классической теоремы Кирсбрауна о продолжении липшицевых функций (см. теорему 2.10.43 в книге Г. Федерера [39] и новейшие результаты в работах В.А. Милмана [58], [59]).

С другой стороны, многие работы посвящены изучению решений уравнения

Аоо и = О и их связям с функциями, имеющими постоянный по модулю градиент. В свою очередь, такие функции описываются в терминах минимальных и абсолютно минимальных липшицевых продолжений. Задачам, связанным с минимальными липшицевыми продолжениями, посвящены работы Г. Аронсона [40], Р. Иенсена [54], М.Г. Крандолла, JI.C. Эван-са, Р.Ф. Гарипи [50], П. Юутинена [55] и др. Геометрически условие равенства единице модуля градиента функции означает изотропность ее графика в пространстве Минковского. До настоящего времени задача существования изотропных поверхностей с заданным краем не была исследована.

Большой интерес представляют поверхности нулевой средней кривизны в пространстве Минковского, имеющие особые точки. Это обусловлено тем, что решения уравнения максимальных поверхностей допускают наличие изолированных особенностей. Сказанное мотивирует изучение вопросов существования, единственности таких решений и их поведение в окрестности особых точек.

Строение решений уравнения максимальных поверхностей в окрестности конечной особой точки и асимптотические свойства максимальных трубок и лент достаточно полно изучены в работах В.М. Мик-люкова и В.А. Клячина [18], [19], [20], [26]. В этих работах было дано разложение решения в окрестности особенности в степенной ряд, доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделефа для гауссова отображения максимальной поверхности, получен аналог теоремы И.С.С. Ниче [31] о единственности решения для уравнения типа максимальных поверхностей. Следует также отметить результаты О. Кобаяси [56], К. Экера [51], В.А. Клячина и В.М. Миклюкова [18], [30] о световом характере изолированных особенностей. Исследование задачи Дирихле для этого уравнения было начато в работах Ф. Флаерти [52], Р. Бартника и JL Саймона [41]. Позже вопросы существования и единственности решений с особенностями уравнения (0.1) в ограниченных и неограниченных областях рассматривались в работах А.А. Клячина и В.М. Миклюкова [10], [11].

Среди работ, посвященных изучению целых решений уравнения максимальных поверхностей следует отметить, в первую очередь, работы Е. Калаби [45], С. Ченга и С. Яу [46] . Ими было установлено, в частности, что графиком решения уравнения (0.1), определенного всюду в Rn, является гиперплоскость (аналог теоремы С.Н. Бернштейна [1] для уравнения минимальных поверхностей). Решения с одной изолированной особенностью изучались О. Кобаяси [56] и К. Экера [51]. Ими было показано, что графиком решения уравнения максимальных поверхностей, определенного всюду за исключением одной точки является поверхностью вращения в R"+1 вокруг некоторой времени подобной прямой. Однако, более общая задача описания множества решений уравнения (0.1) с несколькими особенностями оставалась не исследованной. Главной трудностью при решении данной задачи было отыскание геометрических характеристик решения, посредством которых такое решение определялось бы однозначно.

Поверхности заданной средней кривизны в пространстве Минков-ского обладают также рядом отличительных свойств. В первую очередь нужно отметить, что множество целых решений данного уравнения, определенных в Rn, не исчерпывается поверхностями вращения.

Вопросам существования таких решений посвящены работы X. Чоя и А. Трайбергса [47], [48], [49], [62]. Ими так же исследовалась задача определения конформного типа двумерных поверхностей заданной средней кривизны. Наиболее полно признаки параболичности и гиперболичности типа таких поверхностей были изучены В.М. Миклюковым в работе [28].

Определяющую роль при исследовании многих глобальных свойств решений уравнения поверхностей заданной средней кривизны играют теоремы существования и единственности решений задачи Дирихле для данного уравнения, полученные в работах Р. Бартника и Л. Саймона [41], [42], [43]. Однако остались незатронутыми вопросы разрешимости задачи Дирихле с особенностями и вопросы асимптотического поведения поверхности в зависимости от поведения средней кривизны поверхности на бесконечности.

Целью нашей работы является исследование пространственно подобных графиков функций, являющихся экстремалями функционала площади в пространстве Минковского. В связи с этим, нас будут интересовать вопросы относящиеся к проблемам продолжения функций при ограничениях на градиент.

Методика исследований базируется на теоретико-функциональных подходах и изучении поведения липшицевых функций в псевдометрических пространствах.

Научная новизна и практическая значимость. В настоящей работе получила дальнейшее развитие техника использования методов теории функций и математического анализа в совокупности с методами теории квазилинейных уравнений эллиптического типа для исследования вопросов существования продолжения функций с ограничениями на градиент. Дано применение полученных результатов для описания условий разрешимости и единственности различного рода краевых задач для уравнения максимальных поверхностей.

Опираясь на указанные методы, автором получены следующие результаты.

• Найдены необходимые и достаточные условия существования функций с заданными граничными значениями при определенных ограничениях на градиент. Даны условия продолжимости липшицевых функций в метрическом и псевдометрическом пространствах.

• Выявлены функциональные условия существования пространственно подобных гиперповерхностей с заданным краем в лоренце-вых искривленных произведениях.

• Указаны геометрические характеристики особенностей решений уравнения максимальных поверхностей и в терминах этих характеристик описаны все такие решения.

• Описаны условия на граничную функцию, обеспечивающие существование и единственность решения уравнения заданной средней кривизны.

• Получены оценки асимпотического поведения на бесконечности поверхностей ненулевой средней кривизны в пространстве Минковского.

Структура диссертации. Диссертация содержит 179 страниц и состоит из введения, шести глав и библиографического списка.

1. Бернштейн С.Н. Об одной геометрической теореме и ее приложениях к уравнениям в частных производных эллиптического типа// Собр. соч. Т. 3. М: Изд-во АН СССР. 1.60. С. 251-258.

2. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. школа, 1991. 303 С.

3. Бим Дж., Эрлих П., Глобальная лоренцева геометрия, М.: Мир, 1990.

4. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука. 1979.

6. Grigoryeva Е., Klyachin A. and Miklyukov V., Problem of Functional Extension and Space-Like Surfaces in Minkowski Space, ZAA, 2002. V.21. N 3, p. 719-752.

7. Клячин A.A., Миклюков В.М. Пространственноподобные гиперповерхности и здача о продолжении функций с ограничениями на градиент// ДАН СССР. 1991. Т. 320. N 4. С. 781-784.

8. Клячин А.А., Миклюков В.М. Следы функций с пространственно-подобными графиками и задача о продолжении при ограничениях на градиент, Матем. сб., 1992, т. 183, N 7, С. 49—64.

9. Клячин А.А., Миклюков В.М., Существование решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей в пространстве Минковского// Матем. сб., 1993, т. 184, N. 9. С. 103-124.

10. Клячин А.А. Разрешимость задачи Дирихле для уравнения максимальных поверхностей с особенностями в неограниченных областях // Докл. РАН. 1995. Т. 342. С. 161—164.

11. Клячин А.А. Описание множества целых решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей // Сборник научных трудов "Геометрический анализ и его приложения". Волгоград: Изд-во Волгоградского государственного университета, 1999. С. 166 188.

12. Клячин А.А. Некоторые оценки решений уравнения поверхностей заданной средней кривизны в пространстве Минковского// "Вестник ВолГУ. Математика. Физика". 2000. С. 28—33.

13. Клячин А.А. Теорема существования и единственности целых решений уравнения максимальных поверхностей с особенностями// Тезисы докладов международной конференции-школы по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д.Александрова, Новосибирск. 2002. С.49.

14. Клячин А.А. Асимптотическое поведение решений уравнения заданной средней кривизны в пространстве Минковского// Труды кафедры математического анализа и теории функций. Изд-во Волгоградского госуниверситета. 2002. С. 47-55.

15. Клячин А.А., Миклюков В.М. Изотропные гиперповерхности и минимальные продолжения липшицевых функций// Тезисы докладов конференции "Колмогоров и современная математика". Изд-во МГУ. 2003. С.889.

16. Клячин А.А. Описание множества решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей// Мат. сб. 2003. Т. 194. N 7. С.83-104.

17. Клячин В.А., Миклюков В.М. Максимальные гиперповерхности трубчатого типа в пространстве Минковского //Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1991. Т.55. N1. С.206-217.

18. Клячин В. А. Об асимптотических свойствах максимальных трубок и лент в окрестности изолированной особенности в пространстве Минковского // Сиб. мат. ж. 2002. Т. 43. N 1. С. 76 89.

19. Klyachin V.A. and Miklyukov V.M.// Annales Academiae Scientiarum Fennicae Mathematica. 2003. V. 28. P.239-270.

20. Кобаяси HI., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии. Т.2. М.: Наука, 1981.

21. Кондратов А.Н. Об одном признаке параболичности римано-вой метрики на плоскости. Вестник ВолГУ. Серия 1: Математи-ка.Физика. 1999. Выпуск 4. С. 13-19.

22. Кондратов А.Н. Двумерные минимальные поверхности в псевдоевклидовом пространстве// ДАН России. 1999ю Т. 365. N 3. С. 319-321.

23. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Москва "Наука",'1987. С. 688.

24. Лосева Н.В. Некоторые свойства трубок заданной средней кривизны/ / "Геометрический анализ и его приложения". Волгоград: Изд-во Волгоградского государственного университета, 1999. С. 288 -305.

25. Миклюков В.М. Максимальные трубки и ленты в пространстве Минковского //Матем. сб. 1992. Т. 183. N12. С. 45-76.

26. Миклюков В.М. Об одном новом подходе к теореме Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальных поверхностей. Матем. сб. 1979. Т. 108. N 2. С. 263-289.

27. Миклюков В.М. Некоторые признаки параболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей. Известия РАН. Сер. мат. 1996. Т. 60. N 4. С. 111-158.

28. Миклюков В.М. Множества особенностей решений уравнения максимальных поверхностей в пространстве Минковского// Сиб. мат. журн. 1992. Т. 131. N 6. С. 131-140.

29. Миклюков В.М. Об одной лоренц-инвариантной характеристике максимальных трубок в пространстве Минковского// Докл. АН СССР. 1992. Т.322. С. 781-784.

30. Ниче И. С. О новых результатах в теории минимальных поверхностей// Математика. 1967. Т. 11. N 3. С. 37-100.

31. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

32. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука, 1981.

33. Суворов Г.Д. Обобщенный "принцип длины и площади" в теории отображений. Киев: Наук, думка, 1985.

34. Ткачев В.Г. Некоторые оценки средней кривизны графиков над областями в Rn// ДАН СССР. 1990. Т. 314. N 1.

35. Ткачев В.Г. Некоторые оценки средней кривизны непараметрических поверхностей, заданных над областями в Rn// Укр. геом. сб. 1992. Т. 35. С. 135-150.

36. Ткачев В.Г., Решетникова И.М. О гауссовом образе минимальных трубок с ненулевым углом вектора-потока// Вестник ВолГУ. Серия "Математика. Физика". 1996. Т. 1. С. 35-40.

37. Tkachev V.G., Ushakov A.N., Fuglede theorem in Finsler space, Tez. dokl. shkoly-seminara "Potential theory", Kiev, 1991.

38. Федерер Г., Геометрическая теория меры, М.: Наука, 1987.

39. Aronsson G., Extension of functions' satisfying Lipschitz conditions, Arkiv for matematik, 1967, Band 6, n. 28, p. 551-561.

40. Bartnik R., Simon L., Spacelike Hypersurfaces with Prescribed Boundary Values and Mean Curvature, Commun. Math. Phys., 1982/83, 87, p. 131-152.

41. Bartnik R. Existence of maximal surfaces in asymptotically flat spacetimes// Commun. Math. Phys. 1984. V.94. P.155-175.

42. Bartnik R. Regularity of variational maximalk surfaces// Acta mathematica. 1988. V. 161. P.143-181.

43. Bers L. Nonlinear elliptic equation without nonlinear entire solutions. J. Rat. Mech. 1954. V. 3. P. 767-787.

44. Calabi E. Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations, Proc. Sys. Pure Math., 1970. V. 15. P. 223-230.

45. Cheng S.Y., Yau S.T. Maximal spacelike surfaces in Minkowski space // Ann. Math. 1976. V. 104. P. 407—419.

46. Choi H.I., Treibergs A. Gauss maps of spacelike constant mean curvature hypersurfaces of Minkowski space // J. Differential Geometry. 1990. N 32. P. 775 817.

47. Choi H.I., Treibergs A. Constructing Harmonic Maps into the Hyperbolic Space// Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1993. V.54. P.101-109.

48. Crandall M.G., Evans L.C., Gariepy R.F., Optimal Lipschitz extensions and the infinity laplasian, Calc. Var., 2001, v. 13, p. 123139.

49. Ecker K. Area maximizing hypersurfaces in Minkowski space having an isolated singularity // Manuscr. Math. 1986. V. 56. N 4. P. 375—397.

50. Flaherty F.J. The boundary value problem for maximal hypersurfaces, Proc. Not. Acad. Sci. USA, 1979, v.76, N 10, p. 4765-4767.

51. Jenkins H. On quasilinear elliptic equations which arise from variational problems. J. Rat. Mech. 1956. V. 10. P. 705-728.

52. Jensen R., Uniqueness of Lipschitz extension: minimizing the sup norm of the gradient, Arch. Rational Mech. Anal., 1993, v. 123, p. 51-74.

53. Juutinen P., Absolutely minimizing Lipschitz extensions on a metric space, Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Mathematica, 2002, v. 27, p. 57-67.

54. Kobayashi О. Maximal surfaces in the 3-dimensional Minkowski space L3. // Tokyo J. Math. 1983. v. 6. p. 297 309.

55. McShane E.J., Extension of range of functions, Bull. Amer. Math. Soc., 1934, 40, p. 837-842.

56. Milman V.A., Extension with minimal Lipschitz coefficient, Institute of Engineering cybernetics, Minsk, Preprint N4, 1997.

57. Milman V.A., Absolutely minimizing extensions of real functions on metric spaces, Institute of Engineering cybernetics, Minsk, Preprint N6, 1997.

58. Moser J. On Harnack's theorem for elliptic differential equations // Communications on pure and applied mathematics. 1961. V. 14. P. 577—591.

59. Tkachev V.G., Reshetnikova I.M. On the Gauss map of embedded minimal tubes // Note di Matematica 19 (1999). N 1. P. 7-17 (2000) (MR 2001k:53122).

60. Treibergs A. Entire Spacelike Hypersurfaces of constant mean curvature in Minkowsky Space // Invent. Math. 1982. V. 66. P. 3956.

61. Vuorinen M., Conformal geometry and quasiregular mappings.// Lectures Notes in Math., 1319, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1988.

62. Whitney H., Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets, Trans. Amer. Math. Soc., 1934, 36, p. 63-89.