Задача Дирихле для уравнения максимальных поверхностей с особенностями в пространстве Минковского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

л г ^ ч;

I \ 0

На правах рукописи УДК 517.95

Клячин Алексей Александрович

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ МАКСИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ В ПРОГ ! РАНОТВЕ МИНТчОВСКОГО

01.01.01. - Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

//

Новосибирск - 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.М.Миклюков

Официальные оппоненты:

кандидат физико-математических наук Иванов А.О. доктор физико-математических наук Копылов А.П.

Ведущая организация: Кемеровский государственный университет

Защита состоится ЪО 1995 года в 4 €

Ой

_на

заседании диссертационного совета К 002.23.02 в Институте математики СО РАН (630090, Новосибирск, Университетский проспект,

4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета 1/1 / ^

В.В.Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Уравнение максимальных поверхностей

Е-

»=1 dxi

I \

• U

Ун^р

= 0, (1)

обладает рядом специфических свойств, делающпх его принципиально непохожим на равномерно эллиптические уравнения с частными прсь наводными. Так,например, «ш'обладает 'вгрлтгкченнымн р«1»иивми с изолированными неустранимыми особенностями. Поведение решений в окрестности таких особенностей впервые было описано К.Экером Им было показано, что совокупность касательных лучей к графику решения в существенно особой точке образует световой конус.

В диссертации исследуется задача Дирихле для уравнения максимальных поверхностей (1) с особенностями. Именно, пусть П - обйасть в Rn, П({ - ее пополнение во внутренней метрике ni = {<4,021 ai/} - фиксированный набор точек а,- 6 Г2. Зададим непрерывную функцию <р : öfid II и постоянную ц = (ßi, /¿2, P-n)- Рассматривается задача о существовании в области tt \ А решения t = f(x) уравнения (1.), для которого

= ^ /пы^ГЩ; = ^.....^

где П(о,-)- достаточно малые (п —1)-мерные никлы в О охватывающие ТОЧКИ di.

Задача Дирихле, являющаяся частным случаем задачи (2), для уравнения максимальных поверхностей изучалась в работах Флаертп2', Бартнпка и Саймона 3. Флаертп была доказана разрешимость задачи

< 1Ecker К. Area maximizing hypeisurfaces in Minkowski spate having an isolated singularity //Mannscr. Math. 1986. v.SB N 4, p.375-397. • ,

3F!aherty F.J. The boundary value problem for maximal hypeisurfaces// Proc. Not. Acad. Sei. USA, 1979, v.76, N 10, p.4765-4767.

3Bartnilc R.,Simon L. Spuelike Hypersurfaces with Prescribed Boundary Values and Mean Curvature //Comm. Math. Phy». 1982, v.87, N 1, p.131-152.

/

Дирихле для уравнения (1) в ограниченной области 0 при условии, что ее граница дП имеет неотрицательную среднюю кривизну (относительно внешней нормали), а гранитная функция допускает продолжение <р £ С2,а(П) такое, что < 1. Полное исследование проблемы разрешимости задачи Дирихле было дано в3. Там было пока-оано, что решение / уравнения (1) в ограниченной области П с граничной функцией (р существует тогда и только тогда, когда <р допускает пространственноподобное прдолженпе Тр, т.е. | < 1.

Цель работы - исследование вопроса о разрешимости задачи Дирихле для уравнения максимальных поверхностей с особенностями.

Методика исследования. В работе попользуются методы теории эллиптических дифференциальных уравнений, а так-же методы теории функций, связанные с исследованием липшлцевых функций в метрических пространствах.

Научная новиона. Следующие результаты диссертации являются новыми:

1. полное описание следа локально лишшщевой функции с ограничением на градиент;

2. примеры радиально симметричных решений уравнения типа максимальных поверхностей;

3. теорема существования и единственности решения задачи (2), устойчивость такого решения при изменениях /г, в том числе -для случая неограниченных областей параболического типа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной научной конференции "Нелинейные граничные задачи" (Крым, май 1993), семинаре Института математики СО РАН (июнь, 1995), международной конференции "Нелинейные дифференциальные уравнения" (Киев, август 1995), на конференциях и семинарах Волгоградского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5].

О содержании диссертации.

-В первой главе-вводятся" осповныС'опр'еделснпя'и"даются яспомо-гатеяьпые утверждения. Определяется внутренняя метрика ¿п(т,у) а областях О из кг' и связанные с ней понятия пополнения П^ п границы дО-в, = 0.4 \ П. Доказывается, что если является компактным, то граничные значения в смысле внутренней метрике и евклидовой метрике совпадают (лемма 1.1). В дальнейшем мы работаем с гранитными функциями, заданными на ЗП^.

Здесь же вводится уравнения максимальных поверхностей (1), ири-

иЬоУЛЬ"1'аТЬ1. саяйянньт I: питм^ттпхтг-гт.тг» папитт

уравнения {!).

Далее дается определение изолированной особой точки о 6 П для решения / уравнения (1), заданного в П \ {а}, .

Пусть П С нп- область во £ П- некоторая точка. Пусть /(г) — С2—решение уравнения максимальных поверхностей, определенное в П \ {а}. Так как |У/(а;)| < 1 в {а}, то /(х) может быть продолжен^ по непрерывности в точку а. Будем говорить, что точка а есть сущесурвенпо особая точка решения /(х) , если /(ас) не продолжимо до С2- решения па всю область П.

Для произвольного кусочно-гладкого (п — 1)- мерного цикла П(а), лежащего в П и гомологичного {а}, положим

/ \ г < >

= /п (а)

где п— едшшчньш век'гор внешней нормали к П(а). В силу уравнения (1) величина /¿/(а) не зависит от выбора цикла П(а).

В конце первой главы доказывается следующая лемма, характерп-. зующая, в некотором смысле, поведение решения уравнения (1) в изолированной особой точке.

Лемма 1.3. Пусть /(х) - решение уравнения максимальных по-

верхностей заданное в(?\ {а}. Тогда

Вторая глава посвящена решению оадаче о существовании про-странственноподобного продолжения в более общей её постановке. Как мы уже отметили, данная задача, является ключевой в вопросе разрешимости задачи Дирихле для уравнения максимальных поверхностей.

В общем случае при описании множеств допустимых функций в задачах на экстремум площади гиперповерхности в искривленном произведении 4, а также в задачах для других функционалов аналогичного вид^., указанная проблема приобретает следующую постановку. Пусть Я— область в и" п пусть с каждой точкой х = (х, 6 где х 6 П, соотнесено множество Е = Е(х, ¿) из и". Требуется найтп условия, при которых функция <р(х), заданная на множестве К С дО. может быть продолжена до С1—функции /(х), определенной в области П и такой, Что градиент '

у/(х)еН(®,/(®)) Ухе п. (з)

Основу подхода к данной оадаче в настоящей работе составляет возможная в ряде случаев замена условия (3) эквивалентным условием Липшица для функции /(г) в подходящей фпнслеровой метрике. В этой связи мы несколько видоизменяем задачу, рассматривая вместо С1—функций локально лшпипцевы функции, а вместо условия (3) для всех точек г £ П требуя его выполнения почти всюду в Г2. С точки зрения приложений к вариационным задачам такое расширение множества допустимых функций достаточно естественно.

В главе II дается решение поставленной задачи для случая, когда в области О задано непрерывное распределение ограниченных выпуклых множеств Е(а:), содержащих начало координат.

В частности, предположим, что в области И С н" задана положп-

4Бим Д/-.Эрпих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.:Мир,1985.

тельно определенная квадратичная форма

п.

Приводится полное описание следа ¡р(х) /{х)\к локально лтнгитце-вой функции, определенной в О и удовлетворяющей условию

Данный результат может быть истолкован также как описание следа функции с пространственноподобным графиком в прямом лоренце-тзом произведении.

Все результаты получены единым методом в качестве следствий доказанной во второй главе теоремы о продолжении липшицевых функции в метрических пространствах специального вида. Именно,пусть (X, д(х, у)) - полное, локально компактное, линейно связное метрическое пространство с расстоянием совпадающим с внутренней метркой на X. Последнее означает, что расстояние <1(х,у) есть точная нижняя грань длин дуг, соединяющих точки х а у и I.

Формулируемое ниже утверждение является ключевым при описании следов функций с пространственноподобными графиками.

Теорема 2.1. Пусть К С А'— компактное множество и пусть (р : К —> к— некоторая функция. Для того чтобы функция <р была следом функции / : X я, удовлетворяющей условию

"Лй иГп тОВиаЬйОш О и а *. ¿с» V.

:тно допус

:ых функции ь в«рилцнонн><н г.мДи 1С с

необходимо и достаточно, чтобы она обладала свойствами

И*)-¥>(у)| <<*(*,») Ух.уек, (4)

причем '

И*) -<р{У)\ < <*{«.»), (5)

еслиТ(х,у)\ Кф%.

Пусть П С и"— область. Пусть Ф(а;,£)— непрерывная на множестве Нхи" функция со свойствами: .

а) Ф(в,А^) = АФ(«,0 УА>0;

б) С1К|<Ф(»,0<С2|{| (с1,^ = соп81>0);

в) при всех х е П множество

Сх = {£ € : Ф(«,0 < 1}

является выпуклым.

Рассмотрим опорную функцию множества Сг

Н(х,т1) =тах < >,.

где < 77, £ > - скалярное произведение векторов т/ и Справедливо соотношение5

< >

Г / V *

>7^0 Я (я, »7)

Так как функция Н(х,т\) положительно однородна степени 1 по переменной 77, то в области О. может быть определена, финслерова метрика .

р{х,у) = МI Н{х,<1х) х,у£П,

где точная нижняя грань берется по всевозможным локально спрямляемом дугам 7 С П, соединяющим точки х, у € П.

!Руид X. Дифференциальная геометрия фннслеровых пространств. М.: Наука, 1981, 502.

Обозначим через пополнение области П по метрике р. Б}-дем предполагать, что пространство П^ компактно.

________Следующая теорема является-центральным утверждением в главе-----

II.

«

Теорема 2.2. Функция <р : дО.р —* п является следом на ЭО.р локально липтицевой функции / : Й .—» в, удовлетворяющей неравенству

: азЗзирФ(аз, У/(а:)) < I

„а „ „...,.......... _...... ТТ — ^

. '----------.и .__■ *, ШиУ'-Ъп.и ООЛ'Л-

даегп свойствами (4) и (5) в метрике р.

Далее рассматриваются искривленные лоренцевы пространства вида М Хг ¡1, где й— вещественная прямая, снабженная отрицательно определенной метрикой. Предположим, что гиперповерхность Г в М Х{ я определена как график функции /(т), тогда пространственно-подобппст*. графика фунгцпн / эквивалентна неравенству

<55{т))У/(т)| < 1.

Предположим, что М— связное многообразие. Пусть О С область. Положим

' г(тьт2) = Ы] 5~Цго),

ГДЛ Т"*!""" ГГИИС"" ГраПЬ бе^ехся но л.«:ВООМО>КВгДугам С соединяющими точки 7питг £ Й. Предполагаем, чю поыо.та-'ыге Й, области й по метрике г компактно. Тогда описание следа функции с пространственноподобным графиком содержится в следующей теореме..

Теорема 2.3. Функция ю : <9ЙГ —► [? является следом локально липтицевой функции / : й —+ П с пространственноподобным графиком

тогда и только тогда, когда <р удовлетворяет на dflr условиям (4) и (5) в метрике г.

В третьей главе исследуется задача Дпрнхле в ограниченной области для уравнения максимальных поверхностей с особенностями. Именно, пусть Л = U^jfa,} - фиксированный набор точек а; £ П. Зададим непрерывную функцию </> : dild —+ R и постоянную ц = (/¿1,^2) лг)- Рассматривается задача о существовании в области П \ А решения t = f(x) уравнения (1), для которого

/I a.ad = y. м/(»4)=м> (6)

где

= /4/(02). —

Исследование данной задачи основано на изучении свойств отображения fi — которое строится следующим образом. Положим С — »•••>?#) £я"и рассмотрим множество 0(<р, Л) точек £ g rn таких, что

|у?(х) — < <£п(х,сц), jJ( -любых х € dild, (7)

и

Iii - tj| < О,), i Ф j, i, j = I7jV- (8)

Пусть f{(x) - произвольное С2-решение уравнения (1) в области П\»4 с граничным 'СЛОЕНОМ

f\dlld = V. /И) =£ . (9)

Так как краевая задала (9) разрешима при любом £ € 0(<р,Л), то определено отображение

tt=ii(t):teO(<p,A)-*nf(e*N--

ю

.Рассмотрим с брал Л!^, Л) ~ р.{0_{<р, .А)) множества £)(<р, А) С н '._____

Вопрос о разрешимости задачи (6) для уравнения (1) пкшша.ичтт-}: описанию множества М((р, .А). Некоторая информации <>С> гггом < жптся в следующем утверждении.

Лемма З.Б. Отображение «(£) : 0(<р,А) —> М.((р, .А) является

гомеоморфизмом.

■ Таким образом, множество М(<р, Л) содержит нулевой вектор вме-

РФР НР1ГПФППЛТТ ПГПОГТОЛРТИЛ 1 I < I X ДЛ 1//Ч Л 1

еппзу величины

г(<р) = .- £1.

■>'( Ю )

• г V г ! , / л „ у, ) ^ ■и < е < ШШ1 -—г=,йп[¿-1,ОМ,(1)\.

Теорема 3.2. * Пусть П С пя - область, и/иючугя компактное во

набор точек а; £ П^. Существует постоянная Мп(1р,А) такая, что при всяком ц — < М„(уз, Л), краевая задача (2) раз-

решима и притом единственным образом. При п > 3 для постоянной

ип{<р,Л) кмьст место оценка (10), а щщ п = 2 постоянная Л/2 -- го.

Четвертая глава посвящена исследованию задачи (2) в неограниченных областях Д С я".

И

Отметпм следующую оценку интеграла Дирихле разности двух решений уравнения (1) в неограниченной области параболического типа

¡О - /2)Р < - Е {Мак) ~ /¿МХ^лМ - ^2(ак)).

и к=1

В частности, из нее следует единственность решения задачи (2) и его устойчивость относительно изменений, /а.

Доказывается гомеоморфность отображения у. = следствием

чего является основной результат главы IV.

Теорема 4.6. Пусть В - неограниченная область параболического типа. Пусть далее у : сЩг -»и - непрерывная ограниченная функция, для которой выполнены условия (4) и (5). Зафиксируем набор точек А = (а1,а2,...,алг),<н 6 О, к = Тогда существует константа М„ = Мп(<р,А), такая, что для любого р. — {Ц1,Ц2, Лу) & як, < Мп, существует единственное ограниченное решение }{х) уравнения (1) в £) \ А удовлетворяющее условиям • '

/|дОа = <Р, •/*/(<**) = А = 1,'

Причем М2(<р, А) = +оо.

В этой же главе мы рассматриваем задачу Дирпхле для уравнения максимальных поверхностей в прямом лоренцевом произведении.

Авто]) выражает благодарность своему научному руководителю профессору В.М.Миклюкову за постоянное внимание к работе и многочисленные полезные обсуждения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Клз'шн A.A.. лкгелюкоз В.М. Прострап^твенноподобшле глпср-ловсрхпогпт п задача о продолжении функций г огрятпениямп на градиент// ДАН СССР, т.320. N4. г 781-784.

2. Клячин A.A., Милюков В.М. Следы функций с-нространствен-лоподобнымп графиками и задача о продолжении при ограничениях н.ч градиент /ДМатем. сб., 1992, т.183, N 7, с.49-64.

3. Клячин А.А.,Миклюкои В.М. Существование решений с особсн-

ковского. //Матем. сб. 1993. т.184, N 9, с.103-124.

4. Клячин A.A. Задача Дирихле для уравнения максимальных поверхностей в прямом лоренцевом произведении.//Волгогр. гос. ун-т.-Волгоград, 1992,- 33 е.- Деп. в ВИНИТИ, N3509-B92.

5. Кдячин A.A. Радиально симметричные решения уравнения типа максимальных поверхностей.// Тез. докл. XI науч. студ. коннф. ВолГУ, Волгоград 1991 г., с.95.