Метод интегральных неравенств в некоторых задачах математической физики и геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. ОПИСАНИЕ ДИШРЕНВДАЛШЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ПРЕДСТАВШИХ В ВИДЕ1 ДИВЕРГЕНЦИИ. ИН

ТЕГРАЛШАЯ ФОРМУЛА.

§ I. Некоторые соотношения в пространстве матричных индексов.

§ 2. Структура 5- (х > j 1р > Т } , порождав мая независимостью функционала ^(х^м^и**4) от значений iMx^ во внутренних точках области.

§ 3. Необходимые и достаточные условия независимости функционала \ З-С*^» ^ U/ x^gU от значения аргумента во внутренних точках области SL

§ 4. Интегральная формула.

Глава II. d- ЭЛЛШТГИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ. ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ.№

§ I, Определение d - эллиптичности нелинейных дифференциальных операторов второго порядка.

§ 2. Интегральный принцип максимума для эллиптических операторов второго порядка и теоремы сравнения.

§ 3. Автомодельные решения неравенств с d - эллиптическими операторами.

§ 4. Квазилинейные направления дифференцирования для операторов второго порядка.

Глава III. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ЗАДА.ЧИ ДИРИХЛЕ С d - ЭШШЖЕСКИМИ

ОПЕРАТОРАМИ.?

§ I. Теоремы единственности.

§; 2. Априорная оценка w\ax \ил

§ 3. Априорная оценка w\ay \и,х\

§ 4. Априорная оценка max \va**\

§ 5. Априорная оценка w\ax \U,xv-"\

§ 6. Граничные мажоранты. Априорная оценка yy\(xx \U,X\- \\

§ 7. Априорная оценка max \\л,Ху\

§ 8. Априорные оценки \\ 1л, \\ с СлЛ

§ 9. Априорная оценка Д^я выпуклых решений уравнения Монжа - Ампера.

§ 10. Априорная оценка выпуклых решений задачи Дирихле для уравнения моняа - Ампера в С (Л^ »

Глава IУ. РЕПЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДШ УРАВНЕНИЯ МОНЖ

АМПЕРА В С ^"^(ЛЛ

§ I. О разрешимости в целом задач с не глобально эллиптическими операторами.

§ 2. Аналитическое построение выпуклой срезающей функции.

§ 3. Решение задачи Дирихле для уравнения монва

V-v 2 + oL

Ампера в пространствах С (л ^ , V. %

§ 4. Несколько гипотез.

Глава У. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДШ УРАВНЕНИЯ M0HIA

АМПЕРА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

§ I. Формулировка основной теоремы.

§ 2. Априорная оценка Yv\Got\u \v - 1.

§ 3. Априорная оценка max \ux4\v - II.

§ 4. Тождество Калаби.

§ 5. Основное интегральное неравенство.

§ 6. Априорная оценка тооЛи. w

§ 7. Теоремы существования решений.

Создание теории квазилинейных эллиптических уравнении второго порядка [2.5] поставило вопрос о применимости её методов к исследованию сущэственно нелинейных уравнений - уравнений, "коэффициенты" которых нелинейно зависят от вторых производных решения. Квазилинейная теория даёт и образцы задач, в процессе решения которых можно проверить действенность того или иного методического приёма, это, в первую очередь, задачи о построении априорных оценок решений в пространствах С , k ^ 0 . Первым объектом изучения в этом плане стала задача Дирихле для глобально эллиптических уравнений. Оказалось, что квазилинейная методика построения априорных оценок продолжима на этот класс задач, но априорную ограниченность вторых производных решения удаётся получить лишь при наличии некоторых структурных ограничений на уравнение с см. ,напр, [1-, [3.51 , [Ъ. 61» [Ъ.Ъ [3.181 , [2>.Z9] ). То, что какие-то структурные ограничения необходимы - сомнения не вызывало, но какова их геометрическая природа - было не ясно, тем более, что требование глобальной эллиптичности оставляет в стороне уравнение Монжа - Ампера, которое с давних пор привлекало внимание как геометров, так и специалистов по дифференциальным уравнениям, и было сравнительно хорошо изучено [3. Я 1 , 1Д.2Л , [3. 3] , [ %. И 1 , \Ь. 3.01 , U-M , [3.1S\ , [3. XI1 .

В предлагаемой диссертации класс нелинейных эллиптических . уравнений сужен до дивергентных, цри этом в качестве исследуемого объекта сохраняется уравнение монжа - Ампера и можно, наблюдая действие механизма "метод, - нелинейная задача Дирихле", осмысленно описать неувязки этого процесса, отдавая, впрочем, должное и положительным результатам, изучение указанного взаимодействия и составляет содержание большей части диссертации.

В качестве центрального метода построения априорных оценок в диссертации выбран метод интегральных неравенств, прошедший испытание в квазилинейной теории [2.5] .В первой главе выясняются формальные границы применимости его в исследовании сущзственно нелинейных задач. Именно, в явной форде выписаны все функции & ( х, \Ау, р , Т ) , х € \С » и, е ХС » р€ fc » т - (1^) , =vl , l, i , для которых функционал У (it) = J 9" (х , U,, М/х , не зависит от значений функции И (х) е , х е si с » во внутренних точках области Л . мнояээство таких функций

It, ) составляет ядро вариационной производной § D , которое совпадает с множеством всех функций 9" , представимых в форме дивергенции тождественно по W (х) . Основные результаты первой главы изложены в публикациях 13.41 , IЪ. А 0] .

Потребность в описании структуры ядра вариационной производной тех или иных функционалов появляется в процессе исследования самых разных нелинейных задач математической физики, важность такого описания для 3 №) = ,хеИ w . с XL , ц, = С U"1 (х^ э,,, , u^Cx4) ^ б С (si) » в теории нелинейных систем уравнений в частных производных первого порядка отмечена ещё Ч.Б.Морри в монографии 12-91 .В статье L 3.2И 1 изложена история попыток решения этой задачи и, наконец, исчерпывающее её решение представлено в публикации [3. .В названных статьях, как и в предлагаемой диссертации, результаты формулируются и доказываются в терминах классического математического языка, решзние обсуждаемой задачи в самой общей постановке даётся в серии работ, связанных с проблематикой уравнения КДФ, на языке алгебраической геометрии с история вопроса и библиография в [2.6] ). Отмечу ещё особенно близкие к содержанию первой главы по выбору точки зрения и результатам, но от1 нюдь не по языку, статьи 13. 19] , [. 3 . X 0 ] .

Во второй главе диссертации даётся описание класса нелинейных эллиптических операторов, подлежащих исследованию), и некоторых основных принципов метода интегральных неравенств. Из всех операторов первой главы выбираются "простейшие", зависящие лишь от вторых производных функций к, (х) . эллиптические операторы этого класса вполне определяются с помощью понятия "Л - эллиптичность на множестве TTtp с С

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовём дифференциальный оператор второго порядка Р (и,) н J (К/**4) & - эллиптическим на множестве m р С С. Si с , если функция есть многочлен второго порядка по ^ = с ^ ,, , ^ ) , обращающийся в нуль лишь при \ = 0 для ц, Сх^> с TflF . 1

Оразличных математических языках ом. [X. 6 1 , гл. I, § I.

Статьи 13-191, [3.20] написаны на языке контактной геометрии.

Здесь и далее

Для d - операторов множество эллиптичности устроено достаточно сложно, равенство ^УЬ ^ = С2 , например, имеет место лишь для линейных oi - операторов. Трудный вопрос о строении множеств /УУЬ р отодвинут в диссертации на задний план. В основном обсуждается полезность тех или иных свойств, которые могли бы у них быть, причём по существу рассматриваются только такие операторы, множество d - эллиптичности которых содержит все функции, выпуклые "вниз".

Многие предложения квазилинейной теории обязаны своим доказательством методу интегральных неравенств, и, возможно, ещё больше место займёт он в существенно нелинейной теории. Ч5ю, к примеру, требуется для построения априорных оценок решений задачи Дирихле вплоть до границы? подходящий набор теорем сравнения и достаточно большой запас функций сравнения - барьеров. Во второй главе приводится и такой набор, и такой запас, причём наличие их обусловливается структурой выбранных операторов. Здесь же вводится понятие о направлениях дифференцирования, квазилинейных для оператора !r (lO =■ ^хх) - новая структурная характеристика оператора. и ^

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовём направление 9 (х) в Ю , задаваемое равенствами х L = х* (Р) » i , квазилинейным для оператора F (и,) = $ (Чхх) > если для любой функции ц, с Г 2 выполнено равенство:

Л Р/ N Э оГ( U/x^ , - v (uo = - и, .

Интересно, что характеристическая форма линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами постоянна вдоль его квазилинейных направлений дифференцирования. Для операторов Г (ил, -j u/) - сумма всех главных миноров порядка ^ гессиана det (.l/C**} , будут квазилинейными, например, все угловые направления сферической системы координат.

Третья глава представляет собой арену действия механизма "метод - задача Дирихле", работа его направлена на доказательство теорем единственности и построение априорных оценок для решений задаячи Дирихле в нормах I (Л. ) , V. О произвольное целое число, <л £ (о > л) . С оценками WWW * ,

С v-il-) U/U ч дело обстоит примерно так не, как и в квазилине й 4 С (с)Sl) ной теории, что не удивительно, поскольку, по существу, используется один и тот же метод, кроме того, тон в этих задачах задаёт первая производная Фреше исследуемых операторов. К примеру, оказалось возможным дать естественное обобщение понятия об уравнениях класса L , %.5 ] , с.33, для уравнений с oL -эллиптическими операторами, для уравнений с операторами соответствующэе определение выглядит так:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что уравнение

F [wi - \ Cx^U/x4) , \ \ ь чч\*>0 tw принадлежит классу U , если интеграл \ i /чЧ-О d/t расо ходится.

У5ке при решении названных задач выясняется, что избранный метод хорошо работает лишь на выпуклых подмножествах множеств & - эллиптичности операторов, и поэтому, кроме линейных, в предпочтительном положении оказываются два из них: V (X; , F (и, = . известно, что Жр , Ж г

W состоят из двух выпуклых компонент связности. к следующему кругу, оценки \ W * \ , \\ \\ ^ \ух \ , допускаются лишь операторы V Cvw^ иЛ , что связано а недостатком сведений о структуре множеств 0L - эллиптичности других операторов. Для названных операторов, в какой-то мере, помогает одно геометрическое неравенство, выведенное А.Д.Александровым в 13.11 . Возможность оценить \ U, хх \ зависит от структуры второй производной фреше операторов Г Си,") и в ней причина дальнейшего сужения класса рассмотренных задач Дирихле.

Итак, процедура доказательства априорной ограниченности оказывается своего рода поэтапным контролем: начинаем с задач со всевозможными операторами второй главы, а без потерь выходит лишь задача Дирихле для уравнения моняа - Ампера, в двумерном случае оценка » ^ - круг, решения этой задачи выведена в монографии LX. %] на основе классического принципа максимума для эллиптических уравнений второго порядка и некоторых геометрических теорем сравнения, замечу, что даже в дшумерном случае переход; от круга к произвольной строго выпуклой области не является тривиальностью;: ради этого перехода пришлось ввести понятие квазилинейных направлений дифференцирования.

Я полагаю, что отсутствие геометрической информации о множествах ОП/р и структуре операторов F (U,) является серьёзным препятствием дальнейшего развития существенно нелинейной теории, что касается технического арсенала теории эллиптических дифференциальных уравнений, то возможности его к настоящему моменту, по-видимому, превышают алгебро-геометрическую разработанность нелинейных проблем.

На сегодняшний день единственной существенно нелинейной задачей, геометрические особенности которой достаточно прояснены, является задача Дирихле для уравнения монжа - Ампера

CUt =■ \ U^jl^x^ 7Г ^ > 0 , U, \ г: ор (>о о) л. долгое время исследование её разрешимости, как в обобщённом, так и в регулярном смыслах, базировалось на теории выпуклых поверхностей А.Д.Александрова I %. -П .В результате, к 1980 году, была доказана регулярная разрешимость задачи (х) в зависимости от регулярности правой части уравнения сзп при Ф (Xs) = 0 . Термин, "решение U, с*4) , регулярное в области Si. 11, введён А.В.Погореловым, L X. 11 ] , которому вместе с А.Д.Александровым принадлежит центральная роль в геометрическом исследовании задачи (» ) , и означает достаточную гладкость функции ии (х) в открытой области SL

Создалась удивительная ситуация. Во-первых, задача с») решена уникальным способом, заведомо не приемлнмым для задач, в в которых 'Wt р не совпадает или не является выпуклой частью множества выпуклых функций, во-вторых, регулярная разрешимость

Л V.-V не тождественна классической - разрешимости в ь (.SL} , V.^

2. » oL£C0,Ji)»a ведь в линейной и квазилинейной теориях доказательство классической разрешимости предшествует регулярной. зцесь же о классической разрешимости при п > ничего известно не было.

В 1983 году стало ясно, что перечисленные особенности задачи с» ) имеют методическое происхождение, связано это с по следними достижениями теории нелинейных уравнений с глобально эллиптическими операторами, в статье Н.В»Крылова L^.tT-l найдены технические приёмы построения априорной оценки 11 U/ \\ г+д с. (л4) решений задачи Дирихле для уравнений с глобально эллиптическими выпуклыми вверх операторами и, как следствие, в [3-183 им доказана разрешимость задачи (») при \ = \С>0 » 34xV Ъ -v ,

О в С . Независимо от Н.В.Крылова ключ: к построению априорной оценки \\ W. хх\\ с^(Л^) нашёл М.В.Сафонов, интересы которого сосредоточены на фактах общей теории нелинейных задач, не зависящих от структуры операторов, [3.2.11 , 1 . 2> 1 .В методику настояпрй диссертации прекрасно вписался один новый, весьма тонкий, результат М.В.Сафонова \1 . 3 1 , что позволило мне доказать в конце третьей главы априорную ограниченность реl-v л шения задачи сзо в норме С (л} t V ъ о » d € (0И) • Глава 1У посвящена доказательству разрешимости задачи с») в пространствах t (, V. ^ ^ , е ( ° > . для этого привлечены традиционные аналитические средства: теорема о неявной функции, принцип неподвижной точки лерэ - даудера и пр. Поскольку задача с») имеет геометрическую природу, кавдая теорема существования сопровождена следствием — геометрической иллюстрацией. например:

СЛЕДСТВИЕ К ТЕОРЕМЕ 4.7. ПУсть г - минимальная из главных кривизн строго выпуклой замкнутой поверхности с) Л с rT" , w > 1 , с)П £ , J* 2. , oL eto' D , предположим, что X и положительная функция ^ Сх^ с с^^(ЛЛ связаны неравенством

Vw t > С W (х})

Тогда на контур с) JTL можно натянуть, причём единсn W V\ V л твенную выпуклую вниз, поверхность \ £ Yv , класса ^ (л4) , гауссова кривизна которой равна к (х) .

В конце четвёртой главы сформулировано несколько гипотез, указывающих направление возможного развития сущзственно нелинейной теории. Вот одна из них:

ГИПОТЕЗА. 4.1. Пусть V >, 1 - какое-либо целое число, oLe (о; о . Предположим, что а) П - ограниченная строго выпуклая область в ^ , w > 1 ; б) 3SL £ С ; в} { € С^ (лЛ .

Тогда сущзствует и притом единственное в конусе 1С I и(х) е С* (ИЛ •-> F (<- iM > о , I - 1 >.,,, vw } решзние u, t C^UeL (XL4) уравнения

Г (wu- U,) = JJ Сх") > О равное нулю на с)

В последней, пятой главе диссертации, обсувдается разрешимость задачи (»"> с в липшецевых областях JTL Для удобства задача квалифицирована как задача об отыскании выпуклых решений в весовых пространствах

Большую часть этой главы составляет вывод априорных оценок для вторых и третьих производных решении в подходящих весовых пространствах. интересно, что вхождение в 4 аргумента U/ х весьма жёстко диктует выбор весовых показателей \ , § В качестве метода построения априорных оценок избран всё тот же метод интегральных неравенств, обогащенный: некоторыми оригинальными приёмами А.В.Погорелова. Построенный набор априорных оценок оказался достаточным, чтобы, в соответствии с естественным ходом вещей, получить разрешимость задачи в весовых пространствах предельным переходом по сглаженным областям с Л^ из теорем четвёртой главы. Тем самым, в частности, дано аналитическое доказательство теоремы А.В.Погорелова о регулярной разрешимости задачи (я4* .

- 16

1. Материалы конференций.

2. Ивочкина н.М. Задача Дирихле для уравнений с d эллиптическими операторами, конференция по нелинейным проблемам математической физики, Донецк, 1979.

3. Ивочкина Н.М. Решзние задачи Дирихле для уравнения монжа -Ампера в весовых пространствах. Совместные заседания семинара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества, третья сессия, 1980, тезисы докладов в УЖ, т.35, в.б.2 -V ci

4. Сафонов М.в. Оценки вблизи границы в норде С для решений нелинейных эллиптических уравнений, всесоюзный семинар по нелинейным задачам математической физики, Ленинград, 1983.

5. Скрыпник и.В. Априорные оценки и разрешимость нелинейной задачи Дирихле в узкой области. Конференция по нелинейным проблемам математической физики, Донецк, 1979, тезисы докладов в УМН, 1980, т.35, В.4.2. Книги.

6. Александров А.Д. Выпуклые многогранники, м., Гостехиздат, 1950.

7. Бакельман и.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений, м., Наука, 1965, 338 с.

8. Бернштейн с.Н. Собрание сочинений, т.Ш, уравнения в частных производных. М., Изд. АН СССР, I960, 439с.

9. Красносельский м.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, м., Гостехиздат, 1956, 392с.

10. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1973 , 576с.

11. Манин Ю.И. Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений, в кн. "современные проблемы математики", т.II, М., 1978.

12. Маркус М., Минк х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М., Наука, 1972, 232 с.

13. Миранда к. Уравнения с частными производными эллиптического типа, м., ИЛ, 1957, 256 с.

14. Иогг^-v С.Ь. 'wViec^rcUs \ v\ colculus o\ V cxrl cx-t \ ov\s. Spt\ V.,

15. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М., Мир, 1977, 232 с.

16. Погорелов А.В. Многомерная проблема минковского. м.» Наука, 1975, 95 с.3. Статьи.

17. Александров А.Д. К теории смешнных объёмов выпуклых тел.-Матем. сб., 1937, т.2, в.5, с.947-972, в.6, с.1205-1238, 1938, т.З, в.1, с.27-46.

18. Александров А.Д. Задача Дирихле для уравнения <ЬП\г.и=Ч вестник ЛГУ, 1958, № I, 0.5-24.

19. Бакельман И.Я., Кантор Б.Е. Задача Дирихле для уравненияМонжа Ампера эллиптического типа. - Учён.зап.ЛГГМ, 1970, в.395, с.3-23.3*4. 'З. conoUilones av\cA -ex'wtviov\l\YNear cfcasticUv. krc. Vtoi . VAecVx. Knolvse, w Ц , оъ.

20. Иванов А.В. Априорные оценки для решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка. зап.науч. семин. ЛОМИ, I97G, т.59, с.31-59.

21. Иванов А.В. Априорные оценки вторых производных решений нелинейных уравнений второго порядка на границе области. -Зап.науч.семин.ЮМ, 1977, т.69, с.65-76.

22. Ивочкина Н.М. 0 возможности интегральных формул в RT. -Зап.науч.семин.ЛОМИ, 1975, т.52, с.35-51.

23. Ивочкина н.М. Построение ацриорных опенок для выпуклых решений уравнения монжа Ампера интегральным методом. -УМЖ, 1978, т.ЗО, $ I, с.45-53.

24. Ивочкина Н.М., Жукова 0.И. Об априорной ограниченности градиента решения задачи Дирихле для неравномерно эллиптических уравнений во внутренних точках области. УМ1, 1979, т.31, $ 2, с.132-14I.

25. Ивочкина н.М. 0 дифференциальных уравнениях второго порядка с <И эллиптическими операторами. - Тр.Мат.ин-таАН ССОР, 1980,т.147, с.40-56.

26. Ивочкина Н.М. Интегральный метод барьерных функций и задача Дирихле для уравнений с операторами типа монжа -Ампера. Матем.сб., 1980, т.Ц2, в.2, с.193-206.

27. Ивочкина н.М. Априорная оценка ^^(.а) выпуклых решений задачи Дирихле для уравнения Монжа Ампера. - зап. науч.семин.ЛОМИ, 1980, т.96, с.69-79.

28. Ивочкина н.М. Решение задачи Дирихле для уравнения монжа Ампера в весовых пространствах. - Зап.науч.семин. ЛОМИ, 1982, т.115, с.97-103.

29. Ивочкина н.М. Априорные оценки решения задачи Дирихле дляуравнения Монжа Ампера в весовых пространствах. - Зап. науч.семин.ЛОМИ, 1983, т.125, с.74-90.

30. Ивочкина н.М. Классическое решение задачи Дирихле для уравнения Монжа Ампера. - Зап.науч.семин.ЛОМИ, 1983, т.431, с. И - 49.

31. Ссх£(х&\ t. improper V\y 04 convex -fcyve &Y\ck с^г\<ггоЛ\гоЛ von s iY\eorev*\ ^>y VC. Vovc^rvs. -MUW^an WoAW.X, \<*5a, v. 5, «1,

32. Крылов H.В. Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения в области. Изв. АН СССР, серия матем., 1983, т.47, № I, с.75-108.

33. Крылов Н.В. О вырождающихся нелинейных эллиптических уравнениях. -Матем.сб., 1983, т.120, в.З, с.311-330.

34. ЛНчагин В.В. Нелинейные дифференциальные уравнения и контактная геометрия. ДАН СССР, 1978, т.238, в.2, 0.273276.

35. Лычагин в.В. Контактная геометрия и уравнения второго порядка. УМН, 1979, т.34, в.1, с.137-165.

36. Runol И. iwt^rat asso c'vaiad w'\\Vv t -ranc^e operators o^ muHiph mle^ra?. ProiUms vv\taUuUvs о\ variations.- v. 14, p. 112-119.

37. Сафонов м.В. Неравенство харнака для эллиптических уравнений и гёльдеровость их решений. Зап.науч.семин.ЛОМИ, 1980, т.96, с.272-287.

38. Уральцева н.Н. Задача с односторонними условиями на границе для квазилинейного эллиптического уравнения. пробл, мат.анал., 1977, в.6, с.172-189.

39. Шишков А.Е. Классическая разрешимость задачи Дирихле для сильно эллиптического уравнения Монжа Ампера. - в кн. "Краевые задачи для уравнений в частных производных", Киев, 1979, с.142-156.

40. Wcx.Vxi W. v. neue vrmere Mi>V'ut w'vcVvt ^ "\v\ear 4 tl v stV\e QWvtVwm^evx vay\& Svbieme.-McAV\. l.> v. ЛЪЧ,

41. WcxVv^ W. v. Ufe^r oUe oUv iweUe-wuneven <A-er Uosuvxc^n WvcVvt fcin-ear^r

42. Yau S.T., cKenc^ Ь.у. Оуч lUe o^Mowc^e £с^иоЛ\ол del (йг1с/с)х L Sx- P U ^ w.^ . Comm. Vuv* MoAY\. , 1 ЪЪЪ , v. XXX ,P, 41