Неравенства для мер остовов выпуклых компактов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

а 7 ' г ' ' ' "

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ТО 511.513

ОКУНЕЗА ВЕРА АЛЕКСАНДРОВНА НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МЕР ОСТОВОВ ВЫПУКЛЫХ КОМПАКТОВ 01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена в Роооийохоы государственном педагогической университете ни.А.И.Герцена

Научный руководитель - доктор физико-матештических наук,профеосор

Варнер Алексей Леонидович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Хованский Аскольд Георгиевич, кандидат физико-математических наук Макеев Владимир Владимирович

Ведущая организация - Петербургское отделение Математического

института РАН

Защита диссертации состоится " " 42_199? г.

в 47 час на заседании специализированного совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственной унизерситете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Сг.Пегергоф, Библиотечная пл., 2, матештико-ыеханический факультет СПЗУ).

Защита будет проходить по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб.реки Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ПОМИ).

С диссертацией мояю ознакомиться в библиотеке им.А.Н.Горь-когр Санкт-Петербургского государственного университета, Универ-оитетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "_ " Н_ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Р.А.Шмидт

Г

1 í

ОБ^АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность темы. Неравенства изопериметрического типа являются одной из центральных тем современной геометрии.Создателей теории смешанных объёмов является Г.Минковский.Большой вклад в её развитие внёс А.Д.Александров.Для смешанных объёмов и их частных случаев в малых размерностях построена полная система однородных неравенств. Аналогичная проблема для мер остовов не решена,хотя для многогранников меры остовов определяются и вычисляются проще,чем смешанны» объемы.3 частности,в двумерном и трёхмерном евклидовом пространстве известны неравенства Аберта,полученные соответственно в 1953 и 1963 гг.Константы в этих неравенствах неточны.

Цель работы - уточнение констант в> неравенствах Аберта,получение для них двухсторонних оценок.Кроме того,получен ряд новых неравенотв.

Обдая методика шполнения исследований.3 работе пироко используются методы теории смешанных объёмов выпуклых тел.геометрии " в целой", а также разнообразные алгебраические и.аналитические методы.Вывод одного из неравенств использует также рассмотрение систем уравнений о участием операции суперпозиции функций.

Научная новиэна.Получен ряд новых неравенств для мер остовов выпуклых тел:

3 строкой класса многогранников подтверждена известная гипотеза Мелзака.Решена аналогичная задача.сооттатствующая другому неравенству Аберта.Рассмотрен мнргогранник Ньютона суперпозиции многочленов что позволило подучить новое неравенство для смешанных объёмов параллелепипедов:

-1

-4Ц) .....

Практичеекая ценность.Методы и результаты диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований в теории смешанных объёмов и геометрии " в целом

Апробация работы.Результаты исследований.выполненных по теме диссертации,докладывались на геометрическом семинаре в ЛГПИ им.А.Й. Герцена / руководитель - проф.А.Л.Вернер /,ка семинаре геометров северо-западной зоны г.Петрозаводске/ 1981* г./, в г.Вологде / 1986 г./, на 9 городской конференции молодых специалиствв и ученых в г.Череповце / 1985 г./, на всесоюзной геометрической конферен ции в г.Одессе / 198^ г./ и на всесоюзной геометрической конфере»-ции в г.Кишинёве / сделан стендовый доклад з 1988 г./.

Публикации.По теме диссертации опубликованы четыре работы / две работы выполнены совместно с З.П.Федотовым /.

Объём работы.Диссертационная работа состоит из 53 страниц машинописного текста,включающего Введение,четыре главы. / I.Основные понятия и история вопроса, 2.Основные методы, исследования, 3.Неравенства АберФа и их следствия, '♦.Новая константа, в первом неравенстве Аберта/« Список литературы содержит 35 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертационной работе рассматривается неравенства для мер остовов выпуклых тел,а также некоторые смежные вопросы , связанные о понятием мер остовов.Пусть К - комнахтное выпуклое тело в -мер ном евклидовом пространстве.Тогда ^-остовом тела К называется множество точек,не являпщихся центрами (*м)-мерных шаров,целиком

содержащихся в К, .

Предметом настоящей работы является обобщенная изоперинетрячео-кая задача Эгглстона, Гршбаума л Кли о нахождении для 1 £ г

наименьшего числа г!1» удовлетворяющего неравенству для мер

п *ь -мерных остовов:

11*,%*)-у, (К) * ыю),/5 ш

3 главе I излагаются основные понятия и история вопроса. Здесь прослеживается связь мер остовов выпуклых тел с теорией смешанных объемов. 3 §2 дается классическое определение смешанного объема и формулируются его основные свойства. 3 этой главе приводятся известные неравенства между смешанными объемами (ср.^Ъ» а таюха неравенства, свяэивавцие интегральные поперечные меры (а это частные случаи смешанных объемов) и меры остовов выпуклых тел. В §Э рассматривается сеязь смешанных объемов с типичным числом решений системы алгебраических уравнений. Оказывается, что типичное число решений алгебраической системы уравнений полностью определяется многогранником Ньютона многочленов этой системы. Эта связь уота-новлена Д.Бернштейном (ср. ) и используется нами в главе II при изложении нового мзтода доказательства неравенств между смешанными объемами. 3 этой главе нами доказана теорема.

Теорема I. Пусть

К, л.....К„ . I. м - многогранники Ньютона многочленов £ • • • • /и (*!,**, -Л-) • ? И К к агм) г ЛГ*.,.,.,^) соответственНО. п

Тогда М € Соагг

и.

(с равенством в типичном случае), где объединение распространяет-

^О.Д.Бураго, В.А.Залгаллвр. Геометрические неравенства. - Л.: Наука, 1980. - 283с.

^Д.Н.Бернатейн. функциональный анализ и его приложения. - 1976. - Т.9. - №1. - С. 1-4.

- б - '

ся на все целые точки многогранника I. .

Специальный выбор многочленов ^ , .и ссылка на теорему I позволили получить новое неравенство мевду смешанными объемами. Пусть (*,,..., X.) - Л-/'" + /),• +

-, , гДе р; - многочлен, в кавдое слагаемое которого переменная входит в степени не выше . Кроме того, пусть

о

в р; входят все возможные одночлены, т.е. многогранником Ньютона многочлена ^ служит прямоугольный параллелепипед с ребрами длины лч , на координатных осях. Тогда

Ц)1У (к....., К.) 4 у(± ^ К,.....| «Л,- к±)

для дпбого £ о,

3 §3 получена оценка меры ¿-остова выпуклого компакта К в Р. через смешанный объем:

1 [ ' * к*

где -объем единичного шара в Й .

Здесь же в трехмерном пространстве доказано неравенство, связывающее объем многогранника. М , площадь его поверхности и сумму длин ребер:

( Р , V - меры соответственно 1 , 2 , 3 - остовов в £ :

В главе 3 общая (по размерности) изопериметрическая задача Згглстона, Грвнбаума и Кли рассмотрена нами для случая Л=3 . Естественно начать с исследования этого -вопроса в классе выпуклых многогранников. 3 трехмерном случае для мер 1 , X -остовов и для мер / , 3-остовов не известно точных констант (меры X, 3-остовов отвечает классическому изпериметрическому неравенству

- 7 -<

5> ^ ¿¿"-ЯГ- V , где константа точна и равенство, как известно, достигается здесь на шаре). Аберт^ доказал неравенства

S и ШЯ- V

для многогранников в R . Нами в SI этой главы доказано, что константы iи '¡ЗЛХ заведомо не точны; равенство при них не может быть достигнуто ни на каком многограннике, т.е. справедливы строгие неравенства

Р1>.СЯГ. S „

Обозначив точные константы соответственно yî и JL , мы доказываем встречные оценки:

1/3 JJT <- < 972 у/Т , 6Ж<р 2Н-3.&.

3 1968 году Мелзак^ опубликовал гипотезу о'том, что минимум отношения достигается на правильной треугольной призме, высота которой равна стороне основания; этот минимум равен . Такая призма есть полуправильный многогранник, нами рассмотрен класс таких многогранников. 3 этом классе справедлива доказанная нами теорема.

Теорема 2. В классе полуправильных многогранников и в классе всех параллелепипедов справедливы неравенства:

ÏK Z (H-ZIÎ)-S

р1 2 9Ы&- V

3 этой главе рассмотрена нами также более об:цая задача о нахождении в классе всех многогранников M в £ такого многогранника, на котором достигается минимум произведения Р S V , которое ЙШ On foi ccnirty /

y. ¿onalo/> MaU . Soc. -/973.- /¿r.-MS -p. W-W■

Ссл/ttâéeof

CoHirtfrây /Саны/. /Katf. - ШГ- VJ-fi. Sif.

является функцией показателей С Л" , * ) при заданном М

Мы находим двухсторонние оценки для функции . Нами доказа-

но, что содержательные оценки возможны лишь в плоскости X■+ 2у + Зх - О. Это условие, наряду с условием экспоненциальной однородности Тбс*, Приводит к тому, что

функция г) может рассматриваться как функция Т(^) одного параметра ~Ь . Одна из двухсторонних оценок получается как следствие неравенств Аберта, а вторая из конкретных примеров в классе призм. Здесь нами доказано, что в классе призм минимум произведения £ /г у А достигается на правильной призме, высота которой относится к стороне основания как з^/у"^' * . Этот минимум . у г 12?, Л Я. 5.

В классе аа всех многогранников справедливо неравенство

Теорема 3. Неравенства

справедливы в следующих классах многогранников:

1. класс полуправильных многогранников;

2. класс параллелепипедов;

3. класс призм;

3 классе призм минимум произведения Р V достигается на пра-

вильной треугольной призме, все ребра которой равны меаду собой. 8 классе призм минимум произведения Р $ достигается на треугольной призме, сторона которой относится к высоте как

класс косоусеченных треугольных призм. Доказано, что не может давать минимум РУ\/ многогранник, рассекаемый плоскости на две части так, что сечение ограничено кон-

туром из ребер.

Аберт доказал, что в любой вершине экстремального многогранна- -ка (т.е. такого, на котором достигается минимум отношения P'/V ) сходится из более трех ребер. Нами в главе 4 доказывается аналогичная теорема для Р | ¡> . Здесь нами получена оценка на величину плоских углов в вершине экстремального для Р / S многогранника, ограничивающего его выбор.

Теорема Сумма плоских углов в каждой вершине экстремального многогранника больше либо равна Jt . 3 классе таких многогранников справедливо неравенство Z-fa-Afl) $ » причем равенство достигается на треугольной призме, сторона которой относится к высоте как .

7 7

В классе всех многогранников гипотеза Мелзака нами не доказана.

Йаботц автора по теме диссертации

1. Окунева З.А. Многогранник Ньвтона суперпозиции двух много-членов//Глобальная и риманова геометрия. - Л., - 1983. - С.66-68.

2. Окунева В.А., $здотов З.П. Зотречные оценки констант в обобщенной изопериметрическом неравенстве//Восьмая всесоюзная научная конференция по современный проблемам дифференциальной геометрии. - Одесса. - 1984. - С. III.

3. Окунева В.А., Федотов В,П. О константах в неравенствах Аберта//Исследования по теории поверхностей в римановых пространствах. - Л. - 1984. - С. I08-112.

Окунева З.А, Доказательство гипотезы Мелзака для некоторых классов многогранмиков//Задачи по геометрии в целом для погруженных многообразий. - С.-'^тербург. - 1991.